Ecuații exponențiale la nivelul profilului Unified State Exam. Ecuații exponențiale

Această lecție este destinată celor care abia încep să învețe ecuațiile exponențiale. Ca întotdeauna, să începem cu definiția și exemplele simple.

Dacă citiți această lecție, atunci bănuiesc că aveți deja o înțelegere minimă a celor mai simple ecuații - liniare și pătratice: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ etc. A fi capabil să rezolvi astfel de construcții este absolut necesar pentru a nu „răpi” în subiectul care va fi discutat acum.

Deci, ecuații exponențiale. Permiteți-mi să vă dau câteva exemple:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Unele dintre ele ți se pot părea mai complexe, în timp ce altele, dimpotrivă, sunt prea simple. Dar toate au o caracteristică importantă în comun: notația lor conține funcția exponențială $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Astfel, să introducem definiția:

O ecuație exponențială este orice ecuație care conține o funcție exponențială, adică. expresie de forma $((a)^(x))$. Pe lângă funcția indicată, astfel de ecuații pot conține orice alte construcții algebrice - polinoame, rădăcini, trigonometrie, logaritmi etc.

OK atunci. Am rezolvat definiția. Acum întrebarea este: cum să rezolvi toate prostiile astea? Răspunsul este atât simplu, cât și complex.

Să începem cu vestea bună: din experiența mea de a preda mulți studenți, pot spune că cei mai mulți dintre ei găsesc ecuații exponențiale mult mai ușor decât aceleași logaritmi, și cu atât mai mult trigonometrie.

Dar există o veste proastă: uneori, scriitorii de probleme pentru tot felul de manuale și examene sunt loviți de „inspirație”, iar creierul lor inflamat de droguri începe să producă ecuații atât de brutale încât rezolvarea lor devine problematică nu numai pentru elevi - chiar și pentru mulți profesori. ramane blocat in astfel de probleme.

Cu toate acestea, să nu vorbim despre lucruri triste. Și să revenim la acele trei ecuații care au fost date chiar la începutul poveștii. Să încercăm să le rezolvăm pe fiecare dintre ele.

Prima ecuație: $((2)^(x))=4$. Ei bine, la ce putere trebuie să ridici numărul 2 pentru a obține numărul 4? Probabil al doilea? La urma urmei, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - și am obținut egalitatea numerică corectă, adică. într-adevăr $x=2$. Ei bine, mulțumesc, Cap, dar această ecuație a fost atât de simplă încât până și pisica mea a putut să o rezolve.

Să ne uităm la următoarea ecuație:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Dar aici este puțin mai complicat. Mulți elevi știu că $((5)^(2))=25$ este tabla înmulțirii. Unii bănuiesc, de asemenea, că $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ este în esență definiția puteri negative(prin analogie cu formula $((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))$).

În cele din urmă, doar câțiva selectați realizează că aceste fapte pot fi combinate și pot da următorul rezultat:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Astfel, ecuația noastră originală va fi rescrisă după cum urmează:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Dar acest lucru este deja complet rezolvabil! În stânga în ecuație există o funcție exponențială, în dreapta în ecuație există o funcție exponențială, nu este nimic altceva în afară de ei. Prin urmare, putem „arunca” bazele și echivalăm în mod prostesc indicatorii:

Am obținut cea mai simplă ecuație liniară pe care orice student o poate rezolva în doar câteva linii. Bine, în patru rânduri:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Dacă nu înțelegeți ce s-a întâmplat în ultimele patru rânduri, asigurați-vă că reveniți la subiectul „ ecuații liniare„și repetă. Pentru că, fără o înțelegere clară a acestui subiect, este prea devreme pentru a vă ocupa de ecuații exponențiale.

\[((9)^(x))=-3\]

Deci cum rezolvi asta? Primul gând: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, deci ecuația originală poate fi rescrisă după cum urmează:

\[((\stanga(((3)^(2)) \dreapta))^(x))=-3\]

Apoi ne amintim că atunci când ridicăm o putere la o putere, exponenții sunt înmulțiți:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Iar pentru o astfel de decizie vom primi doi sincer meritati. Căci, cu equanimitatea unui Pokemon, am trimis semnul minus în fața celor trei chiar la puterea acestor trei. Dar nu poți face asta. Și iată de ce. Aruncă o privire la grade diferite tripleti:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrice)\]

Când am compilat această tabletă, nu am pervertit nimic: am luat în considerare puterile pozitive, și pe cele negative, și chiar pe cele fracționale... ei bine, unde este cel puțin un număr negativ aici? A plecat! Și nu poate fi, deoarece funcția exponențială $y=((a)^(x))$, în primul rând, ia întotdeauna doar valori pozitive (indiferent cât de mult este înmulțit sau împărțit cu doi, va fi totuși un număr pozitiv), iar în al doilea rând, baza unei astfel de funcții - numărul $a$ - este prin definiție un număr pozitiv!

Ei bine, atunci cum se rezolvă ecuația $((9)^(x))=-3$? Dar în niciun caz: nu există rădăcini. Și în acest sens, ecuațiile exponențiale sunt foarte asemănătoare cu ecuațiile pătratice - poate să nu existe și rădăcini. Dar dacă în ecuațiile pătratice numărul de rădăcini este determinat de discriminant (discriminant pozitiv - 2 rădăcini, negativ - fără rădăcini), atunci în ecuațiile exponențiale totul depinde de ceea ce se află în dreapta semnului egal.

Astfel, să formulăm concluzia cheie: cea mai simplă ecuație exponențială de forma $((a)^(x))=b$ are rădăcină dacă și numai dacă $b \gt 0$. Cunoscând acest simplu fapt, poți determina cu ușurință dacă ecuația care ți se propune are rădăcini sau nu. Aceste. Merită să o rezolvați deloc sau să scrieți imediat că nu există rădăcini.

Aceste cunoștințe ne vor ajuta de multe ori atunci când trebuie să rezolvăm probleme mai complexe. Deocamdată, destule versuri - este timpul să studiem algoritmul de bază pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale.

Cum se rezolvă ecuații exponențiale

Deci, haideți să formulăm problema. Este necesar să se rezolve ecuația exponențială:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b \gt 0\]

Conform algoritmului „naiv” pe care l-am folosit mai devreme, este necesar să reprezentăm numărul $b$ ca putere a numărului $a$:

În plus, dacă în locul variabilei $x$ există vreo expresie, vom obține o nouă ecuație care poate fi deja rezolvată. De exemplu:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(align)\]

Și, în mod ciudat, această schemă funcționează în aproximativ 90% din cazuri. Atunci ce rămâne cu restul de 10%? Restul de 10% sunt ecuații exponențiale ușor „schizofrenice” de forma:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Ei bine, la ce putere trebuie să ridici 2 pentru a obține 3? Primul? Dar nu: $((2)^(1))=2$ nu este suficient. Doilea? Nici: $((2)^(2))=4$ este prea mult. Care atunci?

Probabil că studenții cunoscători au ghicit deja: în astfel de cazuri, când nu este posibil să rezolvi „frumos”, „artileria grea” - logaritmii - intră în joc. Permiteți-mi să vă reamintesc că folosind logaritmi, orice număr pozitiv poate fi reprezentat ca o putere a oricărui alt număr număr pozitiv(cu excepția unuia):

Îți amintești această formulă? Când le spun elevilor mei despre logaritmi, avertizez mereu: această formulă (este și principala identitate logaritmică sau, dacă doriți, definiția unui logaritm) vă va bântui foarte mult timp și vă va „apărea” cel mai mult. locuri neașteptate. Ei bine, ea a ieșit la suprafață. Să ne uităm la ecuația noastră și la această formulă:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Dacă presupunem că $a=3$ este numărul nostru original din dreapta și $b=2$ este însăși baza functie exponentiala, la care dorim să reducem partea dreaptă, obținem următoarele:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(align)\]

Am primit un răspuns ușor ciudat: $x=((\log )_(2))3$. Într-o altă sarcină, mulți ar avea îndoieli cu un astfel de răspuns și ar începe să-și verifice soluția: ce se întâmplă dacă o eroare s-ar fi strecurat pe undeva? Mă grăbesc să vă mulțumesc: nu există nicio eroare aici, iar logaritmii din rădăcinile ecuațiilor exponențiale sunt o situație complet tipică. Așa că obișnuiește-te.

Acum să rezolvăm cele două ecuații rămase prin analogie:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(align)\]

Asta este! Apropo, ultimul răspuns poate fi scris diferit:

Am introdus un multiplicator în argumentul logaritmului. Dar nimeni nu ne împiedică să adăugăm acest factor la bază:

În plus, toate cele trei opțiuni sunt corecte - sunt doar forme diferite de a scrie același număr. Pe care să o alegeți și să scrieți în această soluție este la latitudinea dvs. de a decide.

Astfel, am învățat să rezolvăm orice ecuație exponențială de forma $((a)^(x))=b$, unde numerele $a$ și $b$ sunt strict pozitive. Cu toate acestea realitate dură Lumea noastră este de așa natură încât sarcini atât de simple vor fi întâlnite foarte, foarte rar. De cele mai multe ori veți întâlni ceva de genul acesta:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Deci cum rezolvi asta? Se poate rezolva deloc asta? Și dacă da, cum?

Nu vă panicați. Toate aceste ecuații se reduc rapid și ușor la formulele simple pe care le-am luat deja în considerare. Trebuie doar să vă amintiți câteva trucuri de la cursul de algebră. Și, desigur, nu există reguli pentru a lucra cu diplome. O sa va povestesc despre toate astea acum :)

Conversia ecuațiilor exponențiale

Primul lucru de reținut: orice ecuație exponențială, oricât de complexă ar fi, într-un fel sau altul trebuie redusă la cele mai simple ecuații - cele pe care le-am luat deja în considerare și pe care știm să le rezolvăm. Cu alte cuvinte, schema de rezolvare a oricărei ecuații exponențiale arată astfel:

1. Scrieți ecuația inițială. De exemplu: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Fă niște prostii ciudate. Sau chiar niște prostii numite „conversia unei ecuații”;
3. La ieșire, obțineți cele mai simple expresii de forma $((4)^(x))=4$ sau altceva de genul acesta. Mai mult, o ecuație inițială poate da mai multe astfel de expresii simultan.

Totul este clar cu primul punct - chiar și pisica mea poate scrie ecuația pe o bucată de hârtie. Al treilea punct pare să fie, de asemenea, mai mult sau mai puțin clar - am rezolvat deja o grămadă de astfel de ecuații mai sus.

Dar ce zici de al doilea punct? Ce fel de transformări? Transformă ce în ce? Și cum?

Ei bine, hai să aflăm. În primul rând, aș dori să notez următoarele. Toate ecuațiile exponențiale sunt împărțite în două tipuri:

1. Ecuația este compusă din funcții exponențiale cu aceeași bază. Exemplu: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Formula conține funcții exponențiale cu baze diferite. Exemple: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ și $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09 USD.

Să începem cu ecuațiile de primul tip - sunt cele mai ușor de rezolvat. Și în rezolvarea lor, vom fi ajutați de o astfel de tehnică precum evidențierea expresiilor stabile.

Izolarea unei expresii stabile

Să ne uităm din nou la această ecuație:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Ce vedem? Cei patru sunt crescuți în grade diferite. Dar toate aceste puteri sunt simple sume ale variabilei $x$ cu alte numere. Prin urmare, este necesar să ne amintim regulile de lucru cu grade:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\end(align)\]

Mai simplu spus, adunarea poate fi convertită într-un produs de puteri, iar scăderea poate fi convertită cu ușurință în împărțire. Să încercăm să aplicăm aceste formule la grade din ecuația noastră:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(align)\]

Să rescriem ecuația originală ținând cont de acest fapt și apoi să colectăm toți termenii din stânga:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -11; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(align)\]

Primii patru termeni conțin elementul $((4)^(x))$ - să-l scoatem din paranteză:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(align)\]

Rămâne să împărțim ambele părți ale ecuației la fracția $-\frac(11)(4)$, adică. în esență înmulțiți cu fracția inversată - $-\frac(4)(11)$. Primim:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\end(align)\]

Asta este! Am redus ecuația inițială la cea mai simplă formă și am obținut răspunsul final.

În același timp, în procesul de rezolvare am descoperit (și chiar l-am scos din paranteză) factorul comun $((4)^(x))$ - aceasta este o expresie stabilă. Poate fi desemnată ca o nouă variabilă sau pur și simplu o puteți exprima cu atenție și obține răspunsul. În orice caz, principiul cheie al soluției este următorul:

Găsiți în ecuația originală o expresie stabilă care conține o variabilă care este ușor de distins de toate funcțiile exponențiale.

Vestea bună este că aproape fiecare ecuație exponențială vă permite să izolați o expresie atât de stabilă.

Dar vestea proastă este că aceste expresii pot fi destul de complicate și pot fi destul de greu de identificat. Deci, haideți să vedem încă o problemă:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Poate că cineva are acum o întrebare: „Pașa, ești lapidat? Există baze diferite aici - 5 și 0,2.” Dar să încercăm să convertim puterea la baza 0.2. De exemplu, să scăpăm de fracția zecimală reducând-o la una obișnuită:

\[(((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

După cum puteți vedea, numărul 5 a apărut în continuare, deși la numitor. În același timp, indicatorul a fost rescris ca negativ. Și acum să ne amintim unul dintre cele mai importante reguli lucreaza cu grade:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Aici, desigur, am mințit puțin. Pentru că pentru o înțelegere completă, formula pentru a scăpa de indicatorii negativi trebuia scrisă astfel:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right))))=((\left(\frac(5)(1) \ dreapta))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Pe de altă parte, nimic nu ne-a împiedicat să lucrăm doar cu fracții:

\[((\left(\frac(1)(5) \right)))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ dreapta))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Dar, în acest caz, trebuie să puteți ridica o putere la o altă putere (permiteți-mi să vă reamintesc: în acest caz, indicatorii sunt adunați împreună). Dar nu a trebuit să „inversez” fracțiile - poate că acest lucru va fi mai ușor pentru unii.

În orice caz, ecuația exponențială originală va fi rescrisă astfel:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(align)\]

Deci, se dovedește că ecuația inițială poate fi rezolvată chiar mai simplu decât cea considerată anterior: aici nici măcar nu trebuie să selectați o expresie stabilă - totul a fost redus de la sine. Rămâne doar să ne amintim că $1=(((5)^(0))$, din care obținem:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end(align)\]

Asta e solutia! Am primit răspunsul final: $x=-2$. În același timp, aș dori să notez o tehnică care a simplificat foarte mult toate calculele pentru noi:

În ecuațiile exponențiale, asigurați-vă că scăpați de zecimale, convertiți-le în cele obișnuite. Acest lucru vă va permite să vedeți aceleași baze de grade și să simplificați foarte mult soluția.

Să trecem acum la ecuații mai complexe în care există baze diferite care nu pot fi reduse una la cealaltă folosind puteri.

Utilizarea proprietății Degrees

Permiteți-mi să vă reamintesc că avem două ecuații mai deosebit de dure:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Principala dificultate aici este că nu este clar ce să dea și pe ce bază. Unde setați expresii? Unde sunt aceleași temeiuri? Nu există nimic din toate acestea.

Dar să încercăm să mergem într-un alt drum. Dacă nu există baze identice gata făcute, puteți încerca să le găsiți prin factorizarea bazelor existente.

Să începem cu prima ecuație:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\end(align)\]

Dar puteți face opusul - faceți numărul 21 din numerele 7 și 3. Acest lucru este deosebit de ușor de făcut în stânga, deoarece indicatorii ambelor grade sunt aceiași:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(align)\]

Asta este! Ați scos exponentul în afara produsului și ați obținut imediat o ecuație frumoasă care poate fi rezolvată în câteva rânduri.

Acum să ne uităm la a doua ecuație. Totul este mult mai complicat aici:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

În acest caz, fracțiile s-au dovedit a fi ireductibile, dar dacă ceva ar putea fi redus, asigurați-vă că îl reduceți. De multe ori vor exista motive interesante, cu care puteți lucra deja.

Din păcate, nu a apărut nimic special pentru noi. Dar vedem că exponenții din stânga în produs sunt opuși:

Permiteți-mi să vă reamintesc: pentru a scăpa de semnul minus din indicator, trebuie doar să „întoarceți” fracția. Ei bine, să rescriem ecuația inițială:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(align)\]

În a doua linie am efectuat pur și simplu indicator general din produsul dintre paranteze conform regulii $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x)) $, iar în acesta din urmă a înmulțit pur și simplu numărul 100 cu o fracție.

Acum rețineți că numerele din stânga (la bază) și din dreapta sunt oarecum similare. Cum? Da, este evident: sunt puteri de același număr! Avem:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac((((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac() 10)(3) \dreapta))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10)) \dreapta))^(2)). \\\end(align)\]

Astfel, ecuația noastră va fi rescrisă după cum urmează:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right)))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\dreapta))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right)))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

În acest caz, în dreapta puteți obține și o diplomă cu aceeași bază, pentru care este suficient să „întoarceți” pur și simplu fracția:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Ecuația noastră va lua în sfârșit forma:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Asta e soluția. Ideea sa principală se rezumă la faptul că chiar și cu baze diferite x încercăm, prin cârlig sau prin escroc, să reducem aceste baze la același lucru. Transformările elementare ale ecuațiilor și regulile de lucru cu puteri ne ajută în acest sens.

Dar ce reguli și când să folosiți? Cum înțelegeți că într-o ecuație trebuie să împărțiți ambele părți cu ceva, iar în alta trebuie să factorizați baza funcției exponențiale?

Răspunsul la această întrebare va veni odată cu experiența. Încearcă-ți mai întâi ecuații simple, apoi complică treptat problemele - și foarte curând abilitățile tale vor fi suficiente pentru a rezolva orice ecuație exponențială din același examen de stat unificat sau orice muncă independentă/test.

Și pentru a vă ajuta în această problemă dificilă, vă sugerez să descărcați un set de ecuații pentru decizie independentă. Toate ecuațiile au răspunsuri, așa că vă puteți testa întotdeauna.

În general, vă doresc un antrenament de succes. Și ne vedem în lecția următoare - acolo vom analiza ecuații exponențiale cu adevărat complexe, unde metodele descrise mai sus nu mai sunt suficiente. Și nici un antrenament simplu nu va fi suficient :)

Accesați canalul de youtube al site-ului nostru pentru a fi la curent cu toate noile lecții video.

În primul rând, să ne amintim formulele de bază ale puterilor și proprietățile lor.

Produsul unui număr o apare pe sine de n ori, putem scrie această expresie ca a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Putere sau ecuații exponențiale– sunt ecuații în care variabilele sunt în puteri (sau exponenți), iar baza este un număr.

Exemple de ecuații exponențiale:

În acest exemplu, numărul 6 este baza este întotdeauna în partea de jos, iar variabila x grad sau indicator.

Să dăm mai multe exemple de ecuații exponențiale.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Acum să vedem cum se rezolvă ecuațiile exponențiale?

Să luăm o ecuație simplă:

2 x = 2 3

Acest exemplu poate fi rezolvat chiar și în capul tău. Se poate observa că x=3. La urma urmei, pentru ca părțile din stânga și din dreapta să fie egale, trebuie să puneți numărul 3 în loc de x.
Acum să vedem cum să oficializăm această decizie:

2 x = 2 3
x = 3

Pentru a rezolva o astfel de ecuație, am eliminat temeiuri identice(adică doi) și a notat ce a mai rămas, acestea sunt grade. Am primit răspunsul pe care îl căutam.

Acum să rezumam decizia noastră.

Algoritm pentru rezolvarea ecuației exponențiale:
1. Trebuie verificat identic dacă ecuația are baze la dreapta și la stânga. Dacă motivele nu sunt aceleași, căutăm opțiuni pentru a rezolva acest exemplu.
2. După ce bazele devin aceleași, echivala grade și rezolvați noua ecuație rezultată.

Acum să ne uităm la câteva exemple:

Să începem cu ceva simplu.

Bazele din stânga și din dreapta sunt egale cu numărul 2, ceea ce înseamnă că putem să renunțăm la baza și să le echivalăm puterile.

x+2=4 Se obţine cea mai simplă ecuaţie.
x=4 – 2
x=2
Răspuns: x=2

În exemplul următor puteți vedea că bazele sunt diferite: 3 și 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Mai întâi, mutați cele nouă în partea dreaptă, obținem:

Acum trebuie să faci aceleași baze. Știm că 9=3 2. Să folosim formula puterii (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Se obține 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Acum este clar că în partea stângă și în dreapta bazele sunt aceleași și egale cu trei, ceea ce înseamnă că le putem elimina și echivala gradele.

3x=2x+16 obținem cea mai simplă ecuație
3x - 2x=16
x=16
Răspuns: x=16.

Să ne uităm la următorul exemplu:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

În primul rând, ne uităm la bazele, bazele două și patru. Și avem nevoie să fie la fel. Transformăm cele patru folosind formula (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Și folosim, de asemenea, o formulă a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Adăugați la ecuație:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Am dat un exemplu din aceleași motive. Dar alte numere 10 și 24 ne deranjează Ce să facem cu ele? Dacă te uiți cu atenție, poți vedea că în partea stângă avem 2 2x repetate, iată răspunsul - putem pune 2 2x din paranteze:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Să calculăm expresia dintre paranteze:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Împărțim întreaga ecuație la 6:

Să ne imaginăm 4=2 2:

2 2x = 2 2 baze sunt aceleași, le aruncăm și echivalăm gradele.
2x = 2 este cea mai simplă ecuație. Împărțiți-l la 2 și obținem
x = 1
Răspuns: x = 1.

Să rezolvăm ecuația:

9 x – 12*3 x +27= 0

Să transformăm:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Obținem ecuația:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Bazele noastre sunt aceleași, egale cu trei În acest exemplu, puteți vedea că primele trei au un grad de două ori (2x) decât al doilea (doar x). În acest caz, puteți rezolva metoda de înlocuire. Înlocuim numărul cu cel mai mic grad:

Atunci 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Înlocuim toate puterile x din ecuație cu t:

t 2 - 12t+27 = 0
Primim ecuație pătratică. Rezolvând prin discriminant, obținem:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Revenind la variabilă x.

Luați t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Prin urmare,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

S-a găsit o rădăcină. Îl căutăm pe al doilea din t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Răspuns: x 1 = 2; x 2 = 1.

Pe site poti pune intrebari de interes in sectiunea AJUTA LA DECIZI, cu siguranta iti vom raspunde.

Alăturați-vă grupului

Înapoi Înainte

Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Tipul de lecție

: o lecție de generalizare și aplicare integrată a cunoștințelor, abilităților și abilităților pe tema „ Ecuații exponențialeși modalități de a le rezolva.”

Obiectivele lecției.

Educațional:

repetați și sistematizați materialul principal al temei „Ecuații exponențiale, soluțiile lor”; consolidarea capacității de a utiliza algoritmi adecvați la rezolvarea ecuațiilor exponențiale de diferite tipuri; pregătirea pentru examenul de stat unificat.

Educațional:

dezvoltarea gândirii logice și asociative a elevilor; promovează dezvoltarea abilității de aplicare independentă a cunoștințelor.

Educațional:

cultivați dedicarea, atenția și acuratețea atunci când rezolvați ecuații.

Echipament:

calculator și proiector multimedia.

Folosit în clasă tehnologia de informație : suport metodologic pentru lecție – prezentare în Microsoft Power Point.

Progresul lecției

Fiecare abilitate vine cu munca grea

eu. Stabilirea unui obiectiv de lecție(Slide numărul 2 )

În această lecție, vom rezuma și vom generaliza subiectul „Ecuații exponențiale, soluțiile lor”. Să ne întâlnim sarcini tipice Examen de stat unificat de diferite ani pe acest subiect.

Probleme privind rezolvarea ecuațiilor exponențiale pot fi găsite în orice parte a sarcinilor de examinare unificată de stat. În partea „ IN " De obicei, ele oferă să rezolve cele mai simple ecuații exponențiale. În partea „ CU " Puteți găsi ecuații exponențiale mai complexe, a căror soluție este de obicei una dintre etapele de finalizare a sarcinii.

De exemplu ( Slide numărul 3 ).

• Examenul unificat de stat - 2007

Q 4 – Găsiți cea mai mare valoare a expresiei x y, Unde ( X; la) – soluția sistemului:

• Examenul unificat de stat - 2008

Q 1 – Rezolvați ecuațiile:

O) X 6 3X – 36 6 3X = 0;

b) 4 X +1 + 8 4X= 3.

• Examenul unificat de stat - 2009

Q 4 – Găsiți sensul expresiei x + y, Unde ( X; la) – soluția sistemului:

• Examenul unificat de stat - 2010

– Rezolvați ecuația: 7 X– 2 = 49. – Aflați rădăcinile ecuației: 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X – 1 = 0. – Rezolvarea sistemului de ecuații:

II. Actualizarea cunoștințelor de bază. Repetiţie

(Slide-urile nr. 4 – 6 prezentări pentru lecție)

Afișat pe ecran rezumatul de fond al materialului teoretic pe subiect.

Se discută următoarele probleme:

1. Ce ecuații se numesc indicativ?
2. Numiți principalele modalități de a le rezolva. Dați exemple de tipurile lor ( Slide numărul 4 )

(Rezolvați independent ecuațiile propuse pentru fiecare metodă și efectuați un autotest folosind slide-ul)

3. Ce teoremă se folosește atunci când se rezolvă ecuații exponențiale simple de forma: și f(x) = a g(x) ?
4. Ce alte metode de rezolvare a ecuațiilor exponențiale există? ( Slide numărul 5 )

• Metoda de factorizare
(pe baza proprietăților puterilor cu motive identice, tehnică: se scoate din paranteze gradul cu cel mai mic indicator).
• Metoda de împărțire (înmulțire) cu o expresie exponențială alta decât zero la rezolvarea ecuațiilor exponențiale omogene
.

• Sfat:

La rezolvarea ecuațiilor exponențiale este util să se facă mai întâi transformări, obținând puteri cu aceleași baze de ambele părți ale ecuației.

1. Rezolvarea ecuațiilor folosind ultimele două metode cu comentarii ulterioare

(Slide numărul 6 ).

. 4 X+ 1 – 2 4 X– 2 = 124, 4 X– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 X– 2 62 = 124,

4 X– 2 = 2, 4 X– 2 = 4 0,5 , X– 2 = 0,5, x = 2,5 .

2 2 2х – 3 2 X 5X - 5 5 2X= 0¦: 5 2 X 0,

2 (2/5) 2х – 3 (2/5) X - 5 = 0,

t = (2/5) x, t > 0, 2t 2 - 3t- 5 = 0,t= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, X= ?...

III. Rezolvarea sarcinilor Unified State Exam 2010

Elevii rezolvă în mod independent sarcinile propuse la începutul lecției de pe diapozitivul nr. 3, folosind instrucțiuni pentru rezolvare, verifică progresul lor în rezolvare și răspund la acestea folosind o prezentare ( Slide numărul 7). În timpul lucrului, se discută opțiuni și soluții și se atrage atenția asupra posibilelor erori în soluție.

: a) 7 X– 2 = 49, b) (1/6) 12 – 7 x = 36. Răspuns: O) X= 4, b) X = 2. : 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X– 1 = 0. (Poate fi înlocuit cu 0,5 = 4 – 0,5)

Soluţie. ,

X 2 + 3X – 2 = -X 2 - 4X + 0,5 …

Răspuns: X= -5/2, X = 1/2.

: 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y, la cos y< 0.

Indicații către soluție

. 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y¦ 5 tg y 0,

5 5 2 g y+ 4 5 tg y – 1 = 0. Fie X= 5 tg y , …

5 tg y = -1 (?...), 5 tg y = 1/5.

Din moment ce tg y= -1 și cos y< 0, atunci la Sfertul de coordonate II

Răspuns: la= 3/4 + 2k, k N.

IV. Munca în echipă la bord

Se are în vedere o sarcină de pregătire de nivel înalt - Slide numărul 8. Cu ajutorul acestui slide are loc un dialog între profesor și elevi, facilitând elaborarea unei soluții.

– La ce parametru O ecuația 2 2 X – 3 2 X + O 2 – 4O= 0 are două rădăcini?

Lasă t= 2 X, Unde t > 0 . Primim t 2 – 3t + (O 2 – 4O) = 0 .

1). Deoarece ecuația are două rădăcini, atunci D > 0;

2). Deoarece t 1,2 > 0, atunci t 1 t 2 > 0, adică O 2 – 4O> 0 (?...).

Răspuns: O(– 0,5; 0) sau (4; 4,5).

V. Lucru de testare

(Slide numărul 9 )

Elevii efectuează munca de testare pe bucăți de hârtie, exersând autocontrolul și autoevaluarea lucrării efectuate cu ajutorul unei prezentări, consolidându-se în tematică. Ei determină în mod independent pentru ei înșiși un program pentru reglarea și corectarea cunoștințelor pe baza greșelilor făcute în registrele de lucru. Foile cu lucrarea independentă finalizată sunt predate profesorului pentru verificare.

numere subliniate - nivel de bază, cu un asterisc – complexitate crescută.

Soluție și răspunsuri.

0,3 2X + 1 = 0,3 – 2 , 2X + 1 = -2, X= -1,5.

(1; 1).

3. 2 X– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 X– 1 76 = 19, 2 X– 1 = 1/4, 2 X– 1 = 2 – 2 , X– 1 = -2,

x = -1.

4 *.3 9 x = 2 3 X 5X+ 5 25 X | : 25 X ,

3 (9/25) x = 2 (3/5) X+ 5,

3 (9/27) X = 2 (3/5) X + 5 = 0,

3 (3/5) 2X – 2 (3/5) X - 5 = 0,…, (3/5) X = -1 (nu se potriveste),

(3/5) X = 5, x = -1.

VI. Temă pentru acasă

(Slide numărul 10 )

• Repetați § 11, 12.
• Din Materiale pentru examenul de stat unificat 2008 – 2010 selectați sarcini pe tema și rezolvați-le.
• Lucru de testare la domiciliu
:

Nu vă speriați de cuvintele mele, ați dat peste această metodă deja în clasa a VII-a când ați studiat polinoamele.

De exemplu, dacă ai nevoie de:

Să grupăm: primul și al treilea termen, precum și al doilea și al patrulea.

Este clar că primul și al treilea sunt diferența de pătrate:

iar al doilea și al patrulea au un factor comun de trei:

Atunci expresia originală este echivalentă cu aceasta:

De unde să derivăm factorul comun nu mai este dificil:

Prin urmare,

Cam asta vom face atunci când rezolvăm ecuații exponențiale: căutați „comunalitate” între termeni și scoateți-o din paranteze, apoi - orice ar fi, cred că vom avea noroc =))

Exemplul nr. 14

Dreapta este departe de a fi o putere de șapte (am verificat!) Și stânga nu este cu mult mai bună...

Puteți, desigur, să „tai” factorul a din al doilea termen din primul și apoi să te ocupi de ceea ce ai primit, dar hai să fim mai prudenți cu tine.

Nu vreau să mă ocup de fracțiile care se formează inevitabil atunci când „selectez”, așa că nu ar trebui să-l scot mai degrabă?

Atunci nu voi avea nicio fracție: după cum se spune, lupii sunt hrăniți și oile sunt în siguranță:

Calculați expresia dintre paranteze.

Magic, magic, se dovedește că (în mod surprinzător, deși la ce să ne mai așteptăm?).

Apoi reducem ambele părți ale ecuației cu acest factor. Primim: , de la.

Iată un exemplu mai complicat (destul de puțin, într-adevăr):

Ce problemă! Nu avem un punct comun aici!

Nu este complet clar ce să faci acum.

Să facem ce putem: mai întâi, mutați „patru” într-o parte și „cinci” în cealaltă:

Acum să scoatem „generalul” din stânga și din dreapta:

Deci ce acum?

Care este beneficiul unui astfel de grup prost? La prima vedere nu se vede deloc, dar haideți să privim mai profund:

Ei bine, acum ne vom asigura că în stânga avem doar expresia c, iar în dreapta - orice altceva.

Cum facem asta?

Iată cum: Împărțim mai întâi ambele părți ale ecuației cu (deci scăpăm de exponentul din dreapta), apoi împărțim ambele părți cu (deci scăpăm de factorul numeric din stânga).

În sfârșit obținem:

Incredibil!

În stânga avem o expresie, iar în dreapta avem o expresie simplă.

Atunci tragem imediat concluzia că

Exemplul nr. 15

O să-i dau soluția pe scurt (fără să mă deranjez cu explicații), încercați să înțelegeți singur toate „subtilitățile” soluției.

Acum pentru consolidarea finală a materialului acoperit.

Rezolvarea independentă a următoarelor 7 probleme (cu răspunsuri)

1. Să scoatem factorul comun dintre paranteze: Unde:
2. Să prezentăm prima expresie sub forma: , împărțim ambele părți la și obținem asta
3. , apoi ecuația inițială este transformată în forma: Ei bine, acum un indiciu - caută unde tu și cu mine am rezolvat deja această ecuație!
4. Imaginați-vă cum, cum, ah, bine, apoi împărțiți ambele părți la, astfel încât să obțineți cea mai simplă ecuație exponențială.
5. Scoateți-l din paranteze.
6. Scoateți-l din paranteze.

ECUAȚII EXPONENTARE. NIVEL MEDIU

Presupun că după ce am citit primul articol, despre care se vorbea ce sunt ecuațiile exponențiale și cum să le rezolvi, ai stăpânit minimul necesar cunoștințe necesare pentru a rezolva exemple simple.

Acum mă voi uita la o altă metodă de rezolvare a ecuațiilor exponențiale, aceasta este...

Metodă de introducere a unei noi variabile (sau înlocuire)

El rezolvă majoritatea problemelor „dificile” pe tema ecuațiilor exponențiale (și nu numai a ecuațiilor).

Această metodă este una dintre cel mai des folosit în practică.În primul rând, vă recomand să vă familiarizați cu subiectul.

După cum ați înțeles deja din nume, esența acestei metode este să introduceți o astfel de schimbare a variabilei, încât ecuația dvs. exponențială să se transforme în mod miraculos într-una pe care o puteți rezolva cu ușurință.

Tot ce vă rămâne după rezolvarea acestei „ecuații simplificate” este să faceți o „înlocuire inversă”: adică, întoarcerea de la înlocuit la înlocuit.

Să ilustrăm ceea ce tocmai am spus cu un exemplu foarte simplu:

Exemplul 16. Metodă simplă de înlocuire

Această ecuație poate fi rezolvată folosind „înlocuire simplă”, așa cum o numesc în mod disprețuitor matematicienii.

De fapt, înlocuirea aici este cea mai evidentă. Nu trebuie decât să vezi asta

Apoi ecuația inițială se va transforma în aceasta:

Dacă vă mai imaginați cum, atunci este absolut clar că este necesar să înlocuiți...

Desigur.

Ce devine atunci ecuația originală? Iată ce:

Îi poți găsi cu ușurință rădăcinile singur: .

Ce ar trebui să facem acum?

Este timpul să revenim la variabila inițială.

Ce am uitat sa mentionez?

Și anume: la înlocuirea unui anumit grad cu o variabilă nouă (adică la înlocuirea unui tip), voi fi interesat de doar rădăcini pozitive!

Tu însuți poți răspunde cu ușurință de ce.

Astfel, tu și eu nu suntem interesați, dar a doua rădăcină este destul de potrivită pentru noi:

Atunci de unde.

Răspuns:

După cum puteți vedea, în exemplul anterior, un înlocuitor ne-a cerut doar mâinile. Din păcate, acest lucru nu este întotdeauna cazul.

Cu toate acestea, să nu trecem direct la lucrurile triste, ci să exersăm cu încă un exemplu cu o înlocuire destul de simplă

Exemplul 17. Metodă simplă de înlocuire

Este clar că cel mai probabil va trebui înlocuit (acesta este cel mai mic dintre gradele incluse în ecuația noastră).

Cu toate acestea, înainte de a introduce o înlocuire, ecuația noastră trebuie să fie „pregătită” pentru aceasta, și anume: , .

Apoi puteți înlocui, ca rezultat obțin următoarea expresie:

Oh, groază: o ecuație cubică cu formule absolut groaznice pentru rezolvarea ei (ei bine, vorbind în termeni generali).

Dar să nu disperăm imediat, ci să ne gândim la ce ar trebui să facem.

Îți voi sugera să înșeli: știm că pentru a obține un răspuns „frumos”, trebuie să-l obținem sub forma unei puteri de trei (de ce ar fi asta, eh?).

Să încercăm să ghicim cel puțin o rădăcină a ecuației noastre (voi începe să ghicesc cu puteri de trei).

Prima presupunere. Nu o rădăcină. vai și ah...

.
Partea stângă este egală.
Partea dreapta:!

Mânca! Am ghicit prima rădăcină. Acum lucrurile vor deveni mai ușoare!

Știți despre schema de împărțire „colț”? Bineînțeles că da, îl folosești când împărți un număr la altul.

Dar puțini oameni știu că același lucru se poate face cu polinoamele.

Există o teoremă minunată:

Aplicând la situația mea, acest lucru îmi spune că este divizibil fără rest prin.

Cum se realizează împărțirea? Iată cum:

Mă uit să văd cu ce monom ar trebui să înmulțesc pentru a obține

Este clar că pe atunci:

Scăd expresia rezultată din, obțin:

Acum, cu ce trebuie să înmulțesc pentru a obține?

Este clar că pe, atunci voi obține:

și din nou scădeți expresia rezultată din cea rămasă:

Ei bine, ultimul pas este înmulțirea cu și scăderea din expresia rămasă:

Ura, diviziunea s-a terminat! Ce am acumulat în privat?

Desigur: .

Apoi am obținut următoarea extindere a polinomului original:

Să rezolvăm a doua ecuație:

Are rădăcini:

Apoi ecuația inițială:

are trei rădăcini:

Desigur, vom arunca ultima rădăcină, deoarece este mai mică decât zero.

Și primele două după înlocuirea inversă ne vor da două rădăcini:

Raspuns: ..

Nu am vrut să te sperii cu acest exemplu!

Mai degrabă, dimpotrivă, scopul meu a fost să arăt că, deși am avut un înlocuitor destul de simplu, totuși a dus la destul de ecuație complexă, a cărui soluție a necesitat niște aptitudini speciale de la noi.

Ei bine, nimeni nu este imun la asta. Dar înlocuirea în acest caz a fost destul de evidentă.

Exemplul nr. 18 (cu o înlocuire mai puțin evidentă)

Nu este deloc clar ce ar trebui să facem: problema este că în ecuația noastră există două baze diferite și o bază nu poate fi obținută din cealaltă prin ridicarea ei la orice putere (rezonabilă, firesc).

Totuși, ce vedem?

Ambele baze diferă doar prin semn, iar produsul lor este diferența de pătrate egală cu unu:

Definiţie:

Astfel, numerele care sunt bazele în exemplul nostru sunt conjugate.

În acest caz, pasul inteligent ar fi înmulțiți ambele părți ale ecuației cu numărul conjugat.

De exemplu, pe, atunci partea stângă a ecuației va deveni egală cu, iar dreapta.

Dacă facem o înlocuire, atunci ecuația noastră inițială va deveni astfel:

rădăcinile sale, atunci, și amintindu-ne asta, obținem asta.

Răspuns: , .

De regulă, metoda înlocuirii este suficientă pentru a rezolva majoritatea ecuațiilor exponențiale „școlare”.

Următoarele sarcini nivel superior dificultățile sunt preluate din opțiunile Unified State Exam.

Trei sarcini de complexitate crescută din variantele Unified State Exam

Sunteți deja suficient de alfabetizat pentru a rezolva singur aceste exemple. Voi oferi doar înlocuirea necesară.

1. Rezolvați ecuația:
2. Găsiți rădăcinile ecuației:
3. Rezolvați ecuația: . Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului:

Și acum câteva explicații și răspunsuri scurte:

Exemplul nr. 19

Aici este suficient să observăm că...

Atunci ecuația inițială va fi echivalentă cu aceasta:

Această ecuație poate fi rezolvată prin înlocuire

Faceți singur calculele ulterioare.

În final, sarcina ta se va reduce la rezolvarea unor probleme trigonometrice simple (în funcție de sinus sau cosinus). Soluţie exemple similareîl vom analiza în alte secțiuni.

Exemplul nr. 20

Aici puteți face chiar și fără înlocuire...

Este suficient să mutați subtraendul la dreapta și să reprezentați ambele baze prin puteri a două: , și apoi să treceți imediat la ecuația pătratică.

Exemplul nr. 21

Acest lucru este, de asemenea, rezolvat într-un mod destul de standard: să ne imaginăm cum.

Apoi, înlocuind, obținem o ecuație pătratică: atunci,

Știi deja ce este un logaritm, nu? Nu? Atunci citeste urgent subiectul!

Prima rădăcină evident că nu aparține segmentului, dar a doua este neclară!

Dar vom afla foarte curând!

Din moment ce, atunci (aceasta este o proprietate a logaritmului!)

Scădem din ambele părți, atunci obținem:

Partea stângă poate fi reprezentată ca:

înmulțiți ambele părți cu:

poate fi înmulțit cu, atunci

Apoi compara:

de atunci:

Apoi a doua rădăcină aparține intervalului necesar

Răspuns:

După cum puteți vedea, selectarea rădăcinilor ecuațiilor exponențiale necesită o cunoaștere destul de profundă a proprietăților logaritmilor, așa că vă sfătuiesc să fiți cât mai atenți când rezolvați ecuații exponențiale.

După cum înțelegeți, în matematică totul este interconectat!

După cum a spus profesorul meu de matematică: „matematica, ca și istoria, nu poate fi citită peste noapte”.

De regulă, toate Dificultatea în rezolvarea problemelor cu un nivel crescut de complexitate este tocmai alegerea rădăcinilor ecuației.

Inca un exemplu de practica...

Exemplul 22

Este clar că ecuația în sine este rezolvată destul de simplu.

Făcând o înlocuire, reducem ecuația noastră inițială la următoarea:

Mai întâi să ne uităm la prima rădăcină.

Să comparăm și: de atunci. (proprietatea unei funcții logaritmice, at).

Atunci este clar că prima rădăcină nu aparține intervalului nostru.

Acum a doua rădăcină: . Este clar că (din moment ce funcția la este în creștere).

Rămâne de comparat și...

de atunci, în acelaşi timp.

În acest fel, pot „conduce un cuier” între și.

Acest cui este un număr.

Prima expresie este mai mică, iar a doua este mai mare.

Atunci a doua expresie este mai mare decât prima și rădăcina aparține intervalului.

Raspuns: .

În cele din urmă, să ne uităm la un alt exemplu de ecuație în care înlocuirea este destul de neobișnuită.

Exemplul nr. 23 (Ecuația cu înlocuire nestandard!)

Să începem imediat cu ce se poate face și ce - în principiu, se poate face, dar este mai bine să nu o facem.

Îți poți imagina totul prin puterile lui trei, doi și șase.

La ce va duce asta?

Nu va duce la nimic: un amestec de grade, dintre care unele vor fi destul de greu de scăpat.

Atunci de ce este nevoie?

Să observăm că a

Și ce ne va oferi asta?

Și faptul că putem reduce soluția acestui exemplu la soluția unei ecuații exponențiale destul de simple!

Mai întâi, să ne rescriem ecuația ca:

Acum să împărțim ambele părți ale ecuației rezultate la:

Eureka! Acum putem înlocui, obținem:

Ei bine, acum este rândul tău să rezolvi problemele demonstrative și le voi face doar comentarii scurte pentru a nu te rătăci! Noroc!

Exemplul nr. 24

Cel mai dificil!

Este atât de greu să vezi un înlocuitor aici! Dar, cu toate acestea, acest exemplu poate fi rezolvat complet folosind evidenţiind un pătrat complet.

Pentru a o rezolva, este suficient să rețineți că:

Atunci iată înlocuitorul tău:

(Vă rugăm să rețineți că aici, în timpul înlocuirii noastre, nu putem elimina rădăcina negativă!!! De ce credeți?)

Acum, pentru a rezolva exemplul, trebuie să rezolvi doar două ecuații:

Ambele pot fi rezolvate printr-o „înlocuire standard” (dar al doilea într-un exemplu!)

Exemplul nr. 25

2. Observați asta și faceți o înlocuire.

Exemplul nr. 26

3. Descompuneți numărul în factori coprimi și simplificați expresia rezultată.

Exemplul nr. 27

4. Împărțiți numărătorul și numitorul fracției la (sau, dacă preferați) și faceți înlocuirea sau.

Exemplul nr. 28

5. Observați că numerele și sunt conjugate.

REZOLVAREA ECUATIILOR EXPONENTARE FOLOSIND METODEA LOGARIFHM. NIVEL AVANSAT

În plus, să ne uităm la un alt mod - rezolvarea ecuațiilor exponențiale folosind metoda logaritmului.

Nu pot spune că rezolvarea ecuațiilor exponențiale folosind această metodă este foarte populară, dar în unele cazuri doar aceasta ne poate conduce la soluția corectă a ecuației noastre.

Este folosit în special pentru a rezolva așa-numitul „ ecuații mixte„: adică cele în care apar funcții de diferite tipuri.

Exemplul nr. 29

în cazul general, poate fi rezolvată doar luând logaritmi ale ambelor părți (de exemplu, la bază), în care ecuația inițială se va transforma în următoarea:

Să ne uităm la următorul exemplu:

Este clar că conform ODZ al funcției logaritmice, ne interesează doar.

Cu toate acestea, acest lucru rezultă nu numai din ODZ al logaritmului, ci și din încă un motiv.

Cred că nu vă va fi greu să ghiciți care este.

Să luăm logaritmul ambelor părți ale ecuației noastre la bază:

După cum puteți vedea, luarea logaritmului ecuației noastre originale ne-a condus rapid la răspunsul corect (și frumos!).

Să exersăm cu încă un exemplu.

Exemplul nr. 30

Nici aici nu este nimic greșit: să luăm logaritmul ambelor părți ale ecuației la bază, apoi obținem:

Să facem un înlocuitor:

Totuși, am omis ceva! Ai observat unde am greșit? La urma urmei, atunci:

care nu satisface cerința (gândiți-vă de unde a venit!)

Răspuns:

Încercați să scrieți soluția ecuațiilor exponențiale de mai jos:

Acum compară decizia ta cu aceasta:

Exemplul nr. 31

Să logaritmăm ambele părți la bază, ținând cont de faptul că:

(a doua rădăcină nu este potrivită pentru noi din cauza înlocuirii)

Exemplul nr. 32

Să luăm logaritmii la bază:

Să transformăm expresia rezultată în următoarea formă:

ECUATII EXPONENTARE. SCURTĂ DESCRIERE ȘI FORMULE DE BAZĂ

Ecuație exponențială

Ecuația de formă:

numit cea mai simplă ecuație exponențială.

Proprietățile grade

Abordări ale soluției

• Reducere la aceeași bază
• Reducere la același exponent
• Înlocuire variabilă
• Simplificarea expresiei și aplicarea uneia dintre cele de mai sus.