Aria unui triunghi 2. Aria unui triunghi

Uneori, în viață, există situații în care trebuie să vă adânciți în memorie în căutarea cunoștințelor școlare de mult uitate. De exemplu, trebuie să determinați suprafața unui teren în formă triunghiulară sau a venit timpul pentru o nouă renovare într-un apartament sau o casă privată și trebuie să calculați cât material va fi necesar pentru o suprafață cu o formă triunghiulară. A existat o perioadă în care ai putea rezolva o astfel de problemă în câteva minute, dar acum încerci cu disperare să-ți amintești cum să determini aria unui triunghi?

Nu vă faceți griji! La urma urmei, este destul de normal când creierul unei persoane decide să transfere cunoștințe neutilizate de multă vreme undeva într-un colț îndepărtat, din care uneori nu este atât de ușor să le extragi. Pentru a nu trebui să vă luptați cu căutarea cunoștințelor școlare uitate pentru a rezolva o astfel de problemă, acest articol conține diverse metode, care facilitează găsirea zonei necesare a triunghiului.

Este bine cunoscut faptul că un triunghi este un tip de poligon care este limitat la numărul minim posibil de laturi. În principiu, orice poligon poate fi împărțit în mai multe triunghiuri conectând vârfurile sale cu segmente care nu îi intersectează laturile. Prin urmare, cunoscând triunghiul, puteți calcula aria aproape oricărei figuri.

Dintre toate triunghiurile posibile care apar în viață, se pot distinge următoarele tipuri particulare: și dreptunghiulare.

Cel mai simplu mod de a calcula aria unui triunghi este atunci când unul dintre unghiurile sale este drept, adică în cazul unui triunghi dreptunghic. Este ușor de observat că este o jumătate de dreptunghi. Prin urmare, aria sa este egală cu jumătate din produsul laturilor care formează un unghi drept între ele.

Dacă cunoaștem înălțimea unui triunghi, coborât de la unul dintre vârfurile sale pe latura opusă, și lungimea acestei laturi, care se numește bază, atunci aria se calculează ca jumătate din produsul înălțimii și bazei. Aceasta se scrie folosind următoarea formulă:

S = 1/2*b*h, în care

S este aria necesară a triunghiului;

b, h - respectiv, înălțimea și baza triunghiului.

Atât de ușor de calculat suprafața triunghi isoscel, deoarece înălțimea va traversa partea opusă și poate fi măsurată cu ușurință. Dacă aria este determinată, atunci este convenabil să luați lungimea uneia dintre laturile care formează un unghi drept ca înălțime.

Toate acestea sunt bineînțeles bune, dar cum să determinați dacă unul dintre unghiurile unui triunghi este drept sau nu? Dacă dimensiunea figurii noastre este mică, atunci putem folosi un unghi de construcție, un triunghi de desen, o carte poștală sau un alt obiect cu formă dreptunghiulară.

Dar dacă avem un teren triunghiular? În acest caz, procedați după cum urmează: numărați din partea de sus a așteptărilor unghi drept pe o parte distanța este multiplu de 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), iar pe cealaltă se măsoară distanța în aceeași proporție care este multiplu de 4 (40 cm, 160 cm, 4 m) . Acum trebuie să măsurați distanța dintre punctele de capăt ale acestor două segmente. Dacă rezultatul este un multiplu de 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), atunci putem spune că unghiul este corect.

Dacă lungimea fiecăreia dintre cele trei laturi ale figurii noastre este cunoscută, atunci aria triunghiului poate fi determinată folosind formula lui Heron. Pentru ca acesta să aibă o formă mai simplă, se folosește o nouă valoare, care se numește semiperimetru. Aceasta este suma tuturor laturilor triunghiului nostru, împărțite la jumătate. După ce semi-perimetrul a fost calculat, puteți începe să determinați zona folosind formula:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), unde

sqrt - rădăcină pătrată;

p - valoarea semiperimetrului (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - muchiile (laturile) triunghiului.

Dar dacă triunghiul are formă neregulată? Există două moduri posibile aici. Prima este să încercăm să împarți o astfel de cifră în două triunghi dreptunghic, a căror suma suprafețelor se calculează separat și apoi se adună. Sau, dacă unghiul dintre două laturi și dimensiunea acestor laturi sunt cunoscute, atunci aplicați formula:

S = 0,5 * ab * sinC, unde

a,b - laturile triunghiului;

c este dimensiunea unghiului dintre aceste laturi.

Cel din urmă caz ​​este rar în practică, dar, cu toate acestea, totul este posibil în viață, așa că formula de mai sus nu va fi de prisos. Succes cu calculele tale!

Aria unui triunghi. În multe probleme de geometrie care implică calculul ariilor, se folosesc formule pentru aria unui triunghi. Sunt mai multe dintre ele, aici le vom privi pe cele principale.Listarea acestor formule ar fi prea simplă și inutilă. Vom analiza originea formulelor de bază, cele care sunt folosite cel mai des.

Înainte de a citi derivarea formulelor, asigurați-vă că vă uitați la articolul despre.După ce ați studiat materialul, puteți restabili cu ușurință formulele din memorie (dacă acestea „zboară” brusc în momentul de care aveți nevoie).

Prima formulă

Diagonala unui paralelogram îl împarte în două triunghiuri de suprafață egală:

Prin urmare, aria triunghiului va fi egală cu jumătate din aria paralelogramului:

Formula ariei triunghiului

* Adică, dacă știm orice latură a triunghiului și înălțimea coborâtă în această latură, atunci putem calcula întotdeauna aria acestui triunghi.

Formula doi

După cum sa menționat deja în articolul despre aria unui paralelogram, formula arată astfel:

Aria unui triunghi este egală cu jumătate din aria sa, ceea ce înseamnă:

* Adică, dacă oricare două laturi dintr-un triunghi și unghiul dintre ele sunt cunoscute, putem calcula întotdeauna aria unui astfel de triunghi.

Formula lui Heron (a treia)

Această formulă este greu de obținut și nu vă este de nici un folos. Uite ce frumoasă este, poți spune că ea însăși este memorabilă.

*Dacă sunt date trei laturi ale unui triunghi, atunci folosind această formulă putem calcula oricând aria acestuia.

Formula patru

Unde r– raza cercului înscris

*Dacă cele trei laturi ale unui triunghi și raza cercului înscris în el sunt cunoscute, atunci putem găsi întotdeauna aria acestui triunghi.

Formula cinci

Unde R– raza cercului circumscris.

*Dacă cele trei laturi ale unui triunghi și raza cercului circumscris în jurul lui sunt cunoscute, atunci putem găsi întotdeauna aria unui astfel de triunghi.

Se pune întrebarea: dacă sunt cunoscute trei laturi ale unui triunghi, atunci nu este mai ușor să-i găsiți aria folosind formula lui Heron!

Da, poate fi mai ușor, dar nu întotdeauna, uneori apare complexitatea. Aceasta implică extragerea rădăcinii. În plus, aceste formule sunt foarte convenabile de utilizat în problemele în care sunt date aria unui triunghi și laturile sale și trebuie să găsiți raza cercului înscris sau circumscris. Astfel de sarcini sunt disponibile ca parte a examenului unificat de stat.

Să ne uităm la formula separat:

Este un caz special al formulei pentru aria unui poligon în care este înscris un cerc:

Să o luăm în considerare folosind exemplul unui pentagon:

Să conectăm centrul cercului cu vârfurile acestui pentagon și perpendicularele inferioare de la centru la laturile sale. Obținem cinci triunghiuri, cu perpendicularele căzute fiind razele cercului înscris:

Aria pentagonului este:

Acum este clar că dacă vorbim despre un triunghi, atunci această formulă ia forma:

Formula șase

Formula zonei este necesar să se determine aria unei figuri, care este o funcție cu valoare reală definită pe o anumită clasă de figuri din planul euclidian și care îndeplinește 4 condiții:

1. Pozitivitate - Zona nu poate fi mai mică de zero;
2. Normalizare - un pătrat cu unitate laterală are aria 1;
3. Congruență - figurile congruente au aria egală;
4. Aditivitate - aria unirii a 2 figuri fără puncte interne comune este egală cu suma ariilor acestor cifre.

Formule pentru aria figurilor geometrice.

Figura geometrică	Formula	Desen
Rezultatul adunării distanțelor dintre punctele medii laturi opuse al unui patrulater convex va fi egal cu semiperimetrul acestuia.
Sectorul cercului. Aria unui sector de cerc este egală cu produsul arcului său și jumătate din rază.
Segment de cerc. Pentru a obține aria segmentului ASB, este suficient să scădeți aria triunghiului AOB din aria sectorului AOB.	S = 1 / 2 R(s - AC)
Aria elipsei este egală cu produsul dintre lungimile semiaxelor majore și minore ale elipsei și numărul pi.
Elipsă. O altă opțiune pentru calcularea ariei unei elipse este prin două dintre razele sale.
Triunghi. Prin bază și înălțime. Formula pentru aria unui cerc folosind raza și diametrul acestuia.
Patrat . Prin partea lui. Aria unui pătrat este egală cu pătratul lungimii laturii sale.
Pătrat. Prin diagonalele sale. Aria unui pătrat este egală cu jumătate din pătratul lungimii diagonalei sale.
Poligon regulat. Pentru a determina aria unui poligon regulat, este necesar să-l împărțiți în triunghiuri egale care ar avea un vârf comun în centrul cercului înscris.	S= r p = 1/2 r n a

Un triunghi este așa figură geometrică, care constă din trei linii care se leagă în puncte care nu se află pe aceeași linie. Punctele de legătură ale liniilor sunt vârfurile triunghiului, care sunt desemnate prin litere latine (de exemplu, A, B, C). Liniile drepte de legătură ale unui triunghi se numesc segmente, care sunt de obicei notate cu litere latine. Se disting următoarele tipuri de triunghiuri:

• Dreptunghiular.
• Obtuz.
• Unghiar acut.
• Versatil.
• Echilateral.
• Isoscel.

Formule generale pentru calcularea ariei unui triunghi

Formula pentru aria unui triunghi bazată pe lungime și înălțime

S= a*h/2,
unde a este lungimea laturii triunghiului a cărui zonă trebuie găsită, h este lungimea înălțimii trasate la bază.

Formula lui Heron

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
unde √ este rădăcina pătrată, p este semiperimetrul triunghiului, a,b,c este lungimea fiecărei laturi a triunghiului. Semiperimetrul unui triunghi poate fi calculat folosind formula p=(a+b+c)/2.

Formula pentru aria unui triunghi bazată pe unghiul și lungimea segmentului

S = (a*b*sin(α))/2,
Unde b,c este lungimea laturilor triunghiului, sin(α) este sinusul unghiului dintre cele două laturi.

Formula pentru aria unui triunghi având în vedere raza cercului înscris și trei laturi

S=p*r,
unde p este semiperimetrul triunghiului a cărui zonă trebuie găsită, r este raza cercului înscris în acest triunghi.

Formula pentru aria unui triunghi bazată pe trei laturi și raza cercului circumscris în jurul acestuia

S= (a*b*c)/4*R,
unde a,b,c este lungimea fiecărei laturi a triunghiului, R este raza cercului circumscris triunghiului.

Formula pentru aria unui triunghi folosind coordonatele carteziene ale punctelor

Coordonatele carteziene ale punctelor sunt coordonate în sistemul xOy, unde x este abscisa, y este ordonata. Sistemul de coordonate carteziene xOy pe un plan este axele numerice reciproc perpendiculare Ox și Oy cu origine comună în punctul O. Dacă coordonatele punctelor din acest plan sunt date sub forma A(x1, y1), B(x2, y2). ) și C(x3, y3 ), atunci puteți calcula aria triunghiului folosind următoarea formulă, care se obține din produs vectorial doi vectori.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
unde || reprezintă modul.

Cum să găsiți aria unui triunghi dreptunghic

Un triunghi dreptunghic este un triunghi cu un unghi care măsoară 90 de grade. Un triunghi poate avea doar un astfel de unghi.

Formula pentru aria unui triunghi dreptunghic pe două laturi

S= a*b/2,
unde a,b este lungimea picioarelor. Picioarele sunt laturile adiacente unui unghi drept.

Formula pentru aria unui triunghi dreptunghic bazată pe ipotenuză și unghiul ascuțit

S = a*b*sin(α)/ 2,
unde a, b sunt catetele triunghiului, iar sin(α) este sinusul unghiului la care se intersectează liniile a, b.

Formula pentru aria unui triunghi dreptunghic bazată pe latura și unghiul opus

S = a*b/2*tg(β),
unde a, b sunt catetele triunghiului, tan(β) este tangenta unghiului la care catetele a, b sunt conectate.

Cum se calculează aria unui triunghi isoscel

Un triunghi isoscel este un triunghi care are două laturi egale. Aceste laturi se numesc laturi, iar cealalta parte este baza. Pentru a calcula aria unui triunghi isoscel, puteți utiliza una dintre următoarele formule.

Formula de bază pentru calcularea ariei unui triunghi isoscel

S=h*c/2,
unde c este baza triunghiului, h este înălțimea triunghiului coborât la bază.

Formula unui triunghi isoscel bazat pe latură și bază

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
unde c este baza triunghiului, a este dimensiunea uneia dintre laturile triunghiului isoscel.

Cum să găsiți aria unui triunghi echilateral

Un triunghi echilateral este un triunghi în care toate laturile sunt egale. Pentru a calcula aria unui triunghi echilateral, puteți folosi următoarea formulă:
S = (√3*a*a)/4,
unde a este lungimea laturii triunghiului echilateral.

Formulele de mai sus vă vor permite să calculați aria necesară a triunghiului. Este important să rețineți că pentru a calcula aria triunghiurilor, trebuie să luați în considerare tipul de triunghi și datele disponibile care pot fi utilizate pentru calcul.

Triunghiul este o figură familiară tuturor. Și asta, în ciuda varietate bogată formele sale. Dreptunghiular, echilateral, acut, isoscel, obtuz. Fiecare dintre ele este diferit într-un fel. Dar pentru oricine trebuie să aflați aria unui triunghi.

Formule comune tuturor triunghiurilor care folosesc lungimile laturilor sau înălțimii

Denumirile adoptate în ele: laturile - a, b, c; înălțimi pe laturile corespunzătoare pe a, n în, n cu.

1. Aria unui triunghi se calculează ca produsul dintre ½, o latură și înălțimea scăzută din acesta. S = ½ * a * n a. Formulele pentru celelalte două părți ar trebui scrise în mod similar.

2. Formula lui Heron, în care apare semiperimetrul (se notează de obicei cu litera p mică, spre deosebire de întregul perimetru). Semiperimetrul trebuie calculat după cum urmează: se adună toate laturile și se împart la 2. Formula pentru semiperimetru este: p = (a+b+c) / 2. Atunci egalitatea pentru aria lui ​​figura arată astfel: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Dacă nu doriți să utilizați un semiperimetru, atunci o formulă care conține doar lungimile laturilor va fi utilă: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Este puțin mai lung decât precedentul, dar vă va ajuta dacă ați uitat cum să găsiți semi-perimetrul.

Formule generale care implică unghiurile unui triunghi

Notații necesare pentru citirea formulelor: α, β, γ - unghiuri. Ele se află laturi opuse a, b, c, respectiv.

1. Potrivit acestuia, jumătate din produsul a două laturi și sinusul unghiului dintre ele este egal cu aria triunghiului. Adică: S = ½ a * b * sin γ. Formulele pentru celelalte două cazuri ar trebui scrise într-un mod similar.

2. Aria unui triunghi poate fi calculată dintr-o latură și trei unghiuri cunoscute. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Există și o formulă cu una partid cunoscutși două unghiuri adiacente. Arata astfel: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Ultimele două formule nu sunt cele mai simple. Este destul de greu să le amintești.

Formule generale pentru situația în care se cunosc razele cercurilor înscrise sau circumscrise

Denumiri suplimentare: r, R - raze. Primul este folosit pentru raza cercului înscris. Al doilea este pentru cel descris.

1. Prima formulă prin care se calculează aria unui triunghi este legată de semiperimetrul. S = r * r. Un alt mod de a-l scrie este: S = ½ r * (a + b + c).

2. În al doilea caz, va trebui să înmulțiți toate laturile triunghiului și să le împărțiți cu de patru ori raza cercului circumscris. În expresia literală arată astfel: S = (a * b * c) / (4R).

3. A treia situație vă permite să faceți fără a cunoaște laturile, dar veți avea nevoie de valorile tuturor celor trei unghiuri. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Caz special: triunghi dreptunghic

Aceasta este cea mai simplă situație, deoarece este necesară doar lungimea ambelor picioare. Ele sunt desemnate prin literele latine a și b. Aria unui triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din aria dreptunghiului adăugat acestuia.

Din punct de vedere matematic, arată astfel: S = ½ a * b. Este cel mai ușor de reținut. Deoarece arată ca formula pentru aria unui dreptunghi, apare doar o fracție, indicând jumătate.

Caz special: triunghi isoscel

Deoarece are două laturi egale, unele formule pentru zona sa par oarecum simplificate. De exemplu, formula lui Heron, care calculează aria unui triunghi isoscel, ia următoarea formă:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Dacă îl transformi, va deveni mai scurt. În acest caz, formula lui Heron pentru un triunghi isoscel este scrisă după cum urmează:

S = ¼ în √(4 * a 2 - b 2).

Formula ariei pare oarecum mai simplă decât pentru un triunghi arbitrar, dacă știi laturiși unghiul dintre ele. S = ½ a 2 * sin β.

Caz special: triunghi echilateral

De obicei, în probleme, partea despre ea este cunoscută sau poate fi aflată într-un fel. Apoi formula pentru găsirea ariei unui astfel de triunghi este următoarea:

S = (a 2 √3) / 4.

Probleme pentru a găsi zona dacă triunghiul este reprezentat pe hârtie în carouri

Cea mai simplă situație este atunci când un triunghi dreptunghic este desenat astfel încât picioarele acestuia să coincidă cu liniile hârtiei. Apoi trebuie doar să numărați numărul de celule care se potrivesc în picioare. Apoi înmulțiți-le și împărțiți-le la doi.

Când triunghiul este acut sau obtuz, trebuie să fie desenat într-un dreptunghi. Apoi figura rezultată va avea 3 triunghiuri. Una este cea dată în problemă. Iar celelalte două sunt auxiliare și dreptunghiulare. Zonele ultimelor două trebuie determinate folosind metoda descrisă mai sus. Apoi calculați aria dreptunghiului și scădeți din el cele calculate pentru cele auxiliare. Se determină aria triunghiului.

Situația în care niciuna dintre laturile triunghiului nu coincide cu liniile hârtiei se dovedește a fi mult mai complicată. Apoi trebuie să fie înscris într-un dreptunghi, astfel încât vârfurile figurii originale să se afle pe laturile sale. În acest caz, vor exista trei triunghiuri dreptunghiulare auxiliare.

Exemplu de problemă folosind formula lui Heron

Stare. Unele triunghiuri au laturi cunoscute. Ele sunt egale cu 3, 5 și 6 cm. Trebuie să-i aflați aria.

Acum puteți calcula aria triunghiului folosind formula de mai sus. Sub rădăcina pătrată se află produsul a patru numere: 7, 4, 2 și 1. Adică, aria este √(4 * 14) = 2 √(14).

Dacă nu este necesară o precizie mai mare, atunci puteți lua rădăcina pătrată a lui 14. Este egală cu 3,74. Atunci zona va fi 7.48.

Răspuns. S = 2 √14 cm 2 sau 7,48 cm 2.

Exemplu de problemă cu triunghi dreptunghic

Stare. Un picior al unui triunghi dreptunghic este cu 31 cm mai mare decât al doilea. Trebuie să aflați lungimile lor dacă aria triunghiului este de 180 cm 2.
Soluţie. Va trebui să rezolvăm un sistem de două ecuații. Primul este legat de zonă. Al doilea este cu raportul picioarelor, care este dat în problemă.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
În primul rând, valoarea lui „a” trebuie înlocuită în prima ecuație. Rezultă: 180 = ½ (in + 31) * in. Are o singură cantitate necunoscută, deci este ușor de rezolvat. După deschiderea parantezelor se dovedește ecuație pătratică: în 2 + 31 in - 360 = 0. Oferă două valori pentru „în”: 9 și - 40. Al doilea număr nu este potrivit ca răspuns, deoarece lungimea laturii unui triunghi nu poate fi negativă valoare.

Rămâne de calculat al doilea etapă: adăugați 31 la numărul rezultat. Rezultă 40. Acestea sunt cantitățile căutate în problemă.

Răspuns. Lamele triunghiului au 9 și 40 cm.

Problema găsirii unei laturi prin aria, latura și unghiul unui triunghi

Stare. Aria unui anumit triunghi este de 60 cm 2. Este necesar să se calculeze una dintre laturile sale dacă a doua latură este de 15 cm și unghiul dintre ele este de 30º.

Soluţie. Pe baza notației acceptate, latura dorită este „a”, latura cunoscută este „b”, unghiul dat este „γ”. Apoi formula zonei poate fi rescrisă după cum urmează:

60 = ½ a * 15 * sin 30º. Aici sinusul de 30 de grade este 0,5.

După transformări, „a” se dovedește a fi egal cu 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Adică 16.

Răspuns. Latura necesară este de 16 cm.

Problemă despre un pătrat înscris într-un triunghi dreptunghic

Stare. Vârful unui pătrat cu latura de 24 cm coincide cu unghiul drept al triunghiului. Ceilalți doi se întind pe laterale. Al treilea aparține ipotenuzei. Lungimea unuia dintre picioare este de 42 cm Care este aria triunghiului dreptunghic?

Soluţie. Luați în considerare două triunghiuri dreptunghiulare. Prima este cea specificată în sarcină. Al doilea se bazează pe catelul cunoscut al triunghiului original. Sunt asemănătoare deoarece au un unghi comun și sunt formate din linii paralele.

Atunci rapoartele picioarelor lor sunt egale. Lamele triunghiului mai mic sunt egale cu 24 cm (latura pătratului) și 18 cm (cu cât este 42 cm minus latura pătratului 24 cm). Picioarele corespunzătoare ale unui triunghi mare sunt de 42 cm și x cm. Acest „x” este necesar pentru a calcula aria triunghiului.

18/42 = 24/x, adică x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Atunci aria este egală cu produsul dintre 56 și 42 împărțit la doi, adică 1176 cm 2.

Răspuns. Suprafața necesară este de 1176 cm2.