Pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile de ce. Fapte interesante despre teorema lui Pitagora: aflați ceva nou despre celebra teoremă (15 fotografii)
Arhitectul roman Vitruvius a evidențiat în mod deosebit teorema lui Pitagora „a numeroaselor descoperiri care au oferit servicii dezvoltării vieții umane” și a cerut ca aceasta să fie tratată cu cel mai mare respect. Acest lucru s-a întâmplat în secolul I î.Hr. e. La începutul secolelor XVI-XVII, celebrul astronom german Johannes Kepler a numit-o una dintre comorile geometriei, comparabilă cu măsura aurului. Este puțin probabil ca în toată matematica să existe o afirmație mai ponderală și mai semnificativă, deoarece în ceea ce privește numărul de aplicații științifice și practice, teorema lui Pitagora nu are egal.
Teorema lui Pitagora pentru cazul unui triunghi dreptunghic isoscel.
Știință și viață // Ilustrații
Ilustrarea teoremei lui Pitagora din Tratatul Polului de Măsurare (China, secolul al III-lea î.Hr.) și demonstrația reconstruită pe baza acesteia.
Știință și viață // Ilustrații
S. Perkins. Pitagora.
Desen pentru o posibilă dovadă a lui Pitagora.
„Mozaic lui Pitagora” și împărțirea lui al-Nairizi a trei pătrate în demonstrarea teoremei lui Pitagora.
P. de Hooch. Stăpână și servitoare în curte. Pe la 1660.
J. Ochtervelt. Muzicieni rătăciți la ușa unei case bogate. 1665
pantaloni pitagoreici
Teorema lui Pitagora este poate cea mai recunoscută și, fără îndoială, cea mai faimoasă din istoria matematicii. În geometrie este folosit literalmente la fiecare pas. În ciuda simplității formulării, această teoremă nu este deloc evidentă: privind un triunghi dreptunghic cu laturile a< b < c, усмотреть соотношение a 2 + b 2 = c 2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один pătrat mare, sau două mici. Ce vei alege? Părerile s-au împărțit în jumătate și a apărut o discuție plină de viață. Imaginează-ți surpriza elevilor când profesorul le-a explicat că nu e nicio diferență! Dar trebuie doar să ceri ca catetele să fie egale, iar afirmația teoremei va deveni clară (Fig. 1). Și cine după aceasta se va îndoi că „pantalonii pitagoreici” sunt egali în toate direcțiile? Dar aici se află aceiași „pantaloni”, doar într-o formă „îndoită” (Fig. 2). Acest desen a fost folosit de eroul unuia dintre dialogurile lui Platon numit „Meno”, filosof celebru Socrate, discutând cu un băiat sclav problema construirii unui pătrat a cărui suprafață este de două ori mai mare decât aria pătratului dat. Raționamentul său, în esență, s-a rezumat la demonstrarea teoremei lui Pitagora, deși pentru un anumit triunghi.
Cifrele prezentate în Fig. 1 și 2, seamănă cu cel mai simplu ornament de pătrate și lor părţi egale- un model geometric cunoscut din timpuri imemoriale. Ele pot acoperi complet un avion. Un matematician ar numi o astfel de acoperire a unui plan cu poligoane parchet, sau gresie. Ce legătură are Pitagora cu asta? Se dovedește că el a fost primul care a rezolvat problema parchetelor obișnuite, care a început studiul plăcilor de gresie pe diferite suprafețe. Deci, Pitagora a arătat că planul din jurul unui punct poate fi acoperit fără goluri de poligoane regulate egale de numai trei tipuri: șase triunghiuri, patru pătrate și trei hexagoane.
4000 de ani mai târziu
Istoria teoremei lui Pitagora datează din cele mai vechi timpuri. Mențiuni despre ea sunt cuprinse în texte cuneiforme babiloniene din vremea regelui Hammurabi (sec. XVIII î.Hr.), adică cu 1200 de ani înainte de nașterea lui Pitagora. Teorema a fost folosită ca regulă gata făcută în multe probleme, dintre care cea mai simplă a fost găsirea diagonalei unui pătrat de-a lungul laturii sale. Este posibil ca babilonienii să obțină relația a 2 + b 2 = c 2 pentru un triunghi dreptunghic arbitrar prin simpla „generalizare” a egalității a 2 + a 2 = c 2 . Dar acest lucru poate fi iertat pentru ei - pentru geometria practică a anticilor, care se rezuma la măsurători și calcule, nu era necesară o justificare strictă.
Acum, aproape 4000 de ani mai târziu, avem de-a face cu o teoremă de record pentru numărul de dovezi diferite. Apropo, colectarea lor este o tradiție lungă. Vârful interesului pentru teorema lui Pitagora a avut loc în a doua jumătatea anului XIX- începutul secolului al XX-lea. Și dacă primele colecții nu conțineau mai mult de două sau trei duzini de dovezi, atunci sfârşitul secolului al XIX-lea secolului, numărul lor s-a apropiat de 100, iar o jumătate de secol mai târziu a depășit 360, iar acestea sunt doar cele care au fost colectate de surse diferite. Oricine a preluat soluția acestei probleme atemporale - de la eminenti oameni de știință și popularizatori ai științei până la congresmeni și școlari. Și ceea ce este remarcabil este că, în originalitatea și simplitatea soluției, alți amatori nu au fost inferiori profesioniștilor!
Cea mai veche dovadă a teoremei lui Pitagora care a ajuns la noi este de aproximativ 2300 de ani. Unul dintre ele - axiomatic strict - aparține matematicianului grec antic Euclid, care a trăit în secolele IV-III î.Hr. e. În Cartea I a Elementelor, teorema lui Pitagora este listată ca „Propoziția 47”. Cele mai vizuale și frumoase dovezi se bazează pe remodelarea „pantalonilor pitagoreici”. Arată ca un puzzle pătrat inteligent de tăiat. Dar faceți piesele să se miște corect - și vă vor spune secretul celebrei teoreme.
Aceasta este o dovadă elegantă care este obținută pe baza unui desen dintr-un tratat chinez antic (Fig. 3), iar legătura sa cu problema dublării ariei unui pătrat este imediat clară.
Aceasta este tocmai dovada pe care Guido, în vârstă de șapte ani, eroul precoce de inteligent al nuvelei „Micul Arhimede” a scriitorului englez Aldous Huxley, a încercat să o explice prietenului său mai tânăr. Este curios că naratorul, care a observat acest tablou, a remarcat simplitatea și convingerea dovezii, așa că a atribuit-o... lui Pitagora însuși. Dar personajul principal Povestea fantastică a lui Evgeniy Veltistov „Electronicist - un băiat dintr-o valiză” cunoștea 25 de dovezi ale teoremei lui Pitagora, inclusiv cele date de Euclid; totuși, a numit-o din greșeală cea mai simplă, deși de fapt în ediția modernă a „Principiilor” ocupă o pagină și jumătate!
Primul matematician
Pitagora din Samos (570-495 î.Hr.), al cărui nume a fost mult timp legat indisolubil de o teoremă remarcabilă, într-un anumit sens poate fi numit primul matematician. Cu el începe matematica ca o știință exactă, în care orice cunoaștere nouă este rezultatul nu al reprezentărilor vizuale și al regulilor învățate din experiență, ci rezultatul raționamentului și al concluziilor logice. Acesta este singurul mod de a stabili adevărul oricărei propoziții matematice odată pentru totdeauna. Înainte de Pitagora, se folosea numai metoda deductivă filosof grec anticși omul de știință Thales din Milet, care a trăit la începutul secolelor VII-VI î.Hr. e. El a exprimat însăși ideea dovezii, dar nu a aplicat-o sistematic, selectiv, de regulă, la afirmații geometrice evidente precum „un diametru împarte un cerc în jumătate”. Pitagora a mers mult mai departe. Se crede că el a introdus primele definiții, axiome și metode de demonstrare și, de asemenea, a creat primul curs de geometrie, cunoscut grecilor antici sub numele de „Tradiția lui Pitagora”. El a fost, de asemenea, la originile teoriei numerelor și stereometriei.
Un alt merit important al lui Pitagora este întemeierea unei școli glorioase de matematicieni, care timp de mai bine de un secol a determinat dezvoltarea acestei științe în Grecia Antică. Termenul „matematică” însuși este asociat cu numele său (de la cuvânt grecescμαθημa - predare, știință), unind patru discipline înrudite ale sistemului de cunoștințe creat de Pitagora și adepții săi - pitagoreici: geometria, aritmetica, astronomia și armonicii.
Este imposibil să separăm realizările lui Pitagora de realizările elevilor săi: urmând obiceiul, ei și-au atribuit propriile idei și descoperiri Învățătorului lor. Primii pitagoreici nu au lăsat nicio scriere și și-au transmis toate informațiile pe cale orală. Așadar, 2500 de ani mai târziu, istoricii nu au de ales decât să reconstruiască cunoștințele pierdute pe baza transcripțiilor altor autori, mai târziu. Să dăm grecilor cuvenitul: deși au înconjurat numele lui Pitagora cu multe legende, nu i-au atribuit nimic din ceea ce el să nu poată descoperi sau să dezvolte într-o teorie. Iar teorema care îi poartă numele nu face excepție.
O dovadă atât de simplă
Nu se știe dacă Pitagora însuși a descoperit relația dintre lungimile laturilor dintr-un triunghi dreptunghic sau a împrumutat această cunoaștere. Autorii antici au susținut că el însuși și îi plăcea să povestească legenda despre cum, în onoarea descoperirii sale, Pitagora a sacrificat un taur. Istoricii moderni sunt înclinați să creadă că el a învățat despre teoremă prin familiarizarea cu matematica babilonienilor. Nu știm nici sub ce formă a formulat Pitagora teorema: aritmetic, așa cum se obișnuiește astăzi, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor, sau geometric, în spiritul anticilor, un pătrat construit. pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic este egală cu suma pătratelor construite pe catetele lui.
Se crede că Pitagora a fost cel care a dat prima dovadă a teoremei care îi poartă numele. Desigur, nu a supraviețuit. Potrivit unei versiuni, Pitagora ar fi putut folosi doctrina proporțiilor dezvoltată în școala sa. În special, teoria similitudinii, pe care se bazează raționamentul, sa bazat pe aceasta. Să desenăm într-un triunghi dreptunghic cu catetele a și b altitudinea până la ipotenuza c. Obținem trei triunghiuri similare, inclusiv cel original. Laturile lor corespunzătoare sunt proporționale, a: c = m: a și b: c = n: b, de unde a 2 = c · m și b 2 = c · n. Atunci a 2 + b 2 = c · (m + n) = c 2 (Fig. 4).
Aceasta este doar o reconstituire propusă de unul dintre istoricii științei, dar dovada, vezi tu, este foarte simplă: durează doar câteva rânduri, nu e nevoie să completezi nimic, să remodelezi, să calculezi... Nu este de mirare. că a fost redescoperit de mai multe ori. Este conținut, de exemplu, în „Practica de geometrie” a lui Leonardo din Pisa (1220), și este încă citat în manuale.
O astfel de dovadă nu a contrazis ideile pitagoreenilor despre comensurabilitate: inițial ei credeau că raportul dintre lungimile oricăror două segmente și, prin urmare, ariile figurilor rectilinii, poate fi exprimat folosind numere naturale. Nu au luat în considerare alte numere, nici măcar nu au permis fracții, înlocuindu-le cu rapoartele 1: 2, 2: 3 etc. Totuși, în mod ironic, teorema lui Pitagora a fost cea care i-a condus pe pitagoreici la descoperirea incomensurabilității diagonala unui pătrat și latura acestuia. Toate încercările de a reprezenta numeric lungimea acestei diagonale - pentru un pătrat unitar este egal cu √2 - nu au dus nicăieri. S-a dovedit a fi mai ușor de demonstrat că problema este de nerezolvat. Pentru un astfel de caz, matematicienii au o metodă dovedită - demonstrarea prin contradicție. Apropo, este atribuită și lui Pitagora.
Existența unui raport care nu poate fi exprimat prin numere naturale a pus capăt multor idei ale pitagoreenilor. A devenit clar că numerele pe care le cunoșteau nu erau suficiente pentru a rezolva nici măcar probleme simple, cu atât mai puțin de geometrie! Această descoperire a reprezentat un punct de cotitură în dezvoltarea matematicii grecești, problema sa centrală. În primul rând, a condus la dezvoltarea doctrinei cantităților incomensurabile - iraționalitate, iar apoi la extinderea conceptului de număr. Cu alte cuvinte, istoria de secole a cercetării setului de numere reale a început cu el.
Mozaicul lui Pitagora
Dacă acoperiți un plan cu pătrate de două dimensiuni diferite, înconjurând fiecare pătrat mic cu patru mari, veți obține un parchet „Mozaic pitagoreic”. Un astfel de design are podele din piatră decorate de mult timp, amintind de dovezile antice ale teoremei lui Pitagora (de unde și numele). Prin aplicarea unei grile pătrate pe parchet în diferite moduri, este posibil să se obțină pereți despărțitori de pătrate construite pe laturile unui triunghi dreptunghic, care au fost propuse diferiți matematicieni. De exemplu, dacă aranjați grila astfel încât toate nodurile ei să coincidă cu vârfurile din dreapta sus ale pătratelor mici, fragmente din desenul pentru demonstrația matematicianului persan medieval an-Nairizi, pe care le-a plasat în comentariile la Elementele lui Euclid, va apărea. Este ușor de observat că suma suprafețelor pătratelor mari și mici, elementele originale ale parchetului, este egală cu aria unui pătrat al grilei suprapuse pe acesta. Aceasta înseamnă că diviziunea specificată este într-adevăr potrivită pentru așezarea parchetului: prin conectarea poligoanelor rezultate în pătrate, așa cum se arată în figură, puteți umple întregul plan cu ele fără goluri sau suprapuneri.
» Profesor emerit de matematică la Universitatea din Warwick, celebrul popularizator al științei Ian Stewart, dedicat rolului numerelor în istoria omenirii și relevanței studiului lor în epoca noastră.
Ipotenuza pitagoreică
Triunghiurile pitagorice au unghiuri drepte și laturi întregi. Cea mai simplă dintre ele are latura cea mai lungă de lungime 5, celelalte sunt 3 și 4. Sunt 5 în total poliedre regulate. O ecuație de gradul cinci nu poate fi rezolvată folosind rădăcinile a cincea - sau orice alte rădăcini. Rețelele pe un plan și în spațiul tridimensional nu au simetrie de rotație cu cinci lobi, astfel încât astfel de simetrii sunt absente în cristale. Cu toate acestea, ele pot fi găsite în rețelele din spațiul cu patru dimensiuni și în structuri interesante cunoscute sub numele de cvasicristale.
Hipotenuza celui mai mic triplu pitagoreic
Teorema lui Pitagora afirmă că cea mai lungă latură a unui triunghi dreptunghic (numita ipotenuză) este legată de celelalte două laturi ale acestui triunghi într-un mod foarte simplu și frumos: pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lui. celelalte două laturi.
În mod tradițional, numim această teoremă cu numele de Pitagora, dar de fapt istoria ei este destul de vagă. Tăblițele de lut sugerează că vechii babilonieni cunoșteau teorema lui Pitagora cu mult înaintea lui Pitagora însuși; Faima descoperitorului i-a fost adusă de cultul matematic al pitagoreenilor, ai căror susținători credeau că Universul se bazează pe legi numerice. Autorii antici au atribuit o varietate de teoreme matematice pitagoreenilor - și, prin urmare, lui Pitagora, dar de fapt nu avem idee în ce fel de matematică a fost implicat Pitagora însuși. Nici măcar nu știm dacă pitagoreenii au putut demonstra Teorema lui Pitagora sau dacă pur și simplu au crezut că este adevărată. Sau, cel mai probabil, aveau dovezi convingătoare ale adevărului ei, care totuși nu ar fi suficiente pentru ceea ce considerăm astăzi dovezi.
Dovezile lui Pitagora
Prima demonstrație cunoscută a teoremei lui Pitagora se găsește în Elementele lui Euclid. Aceasta este o dovadă destul de complexă folosind un desen pe care școlarii victoriani l-ar recunoaște imediat drept „pantaloni pitagoreici”; Desenul seamănă într-adevăr cu chiloții care se usucă pe o linie. Există literalmente sute de alte dovezi, dintre care majoritatea fac afirmația mai evidentă.
// Orez. 33. Pantaloni pitagoreici
Una dintre cele mai simple dovezi este un fel de puzzle matematic. Luați orice triunghi dreptunghic, faceți patru copii ale acestuia și asamblați-le în interiorul pătratului. Într-un aranjament vedem un pătrat pe ipotenuză; cu celălalt - pătrate pe celelalte două laturi ale triunghiului. Este clar că suprafețele în ambele cazuri sunt egale.
// Orez. 34. Stânga: pătrat pe ipotenuză (plus patru triunghiuri). Dreapta: suma pătratelor de pe celelalte două laturi (plus aceleași patru triunghiuri). Acum eliminați triunghiurile
Disecția lui Perigal este o altă dovadă a puzzle-ului.
// Orez. 35. Disecția lui Perigal
Există, de asemenea, o demonstrație a teoremei folosind aranjarea pătratelor pe un plan. Poate că așa au descoperit pitagoreenii sau predecesorii lor necunoscuți această teoremă. Dacă vă uitați la modul în care pătratul înclinat se suprapune cu alte două pătrate, puteți vedea cum să tăiați un pătrat mare în bucăți și apoi să le puneți împreună în două pătrate mai mici. De asemenea, puteți vedea triunghiuri dreptunghiulare, ale căror laturi dau dimensiunile celor trei pătrate implicate.
// Orez. 36. Dovada prin pavaj
Există dovezi interesante folosind triunghiuri similare în trigonometrie. Sunt cunoscute cel puțin cincizeci de dovezi diferite.
triple pitagoreice
În teoria numerelor, teorema lui Pitagora a devenit sursa unei idei fructuoase: de a găsi soluții întregi la ecuații algebrice. Un triplu pitagoreic este o mulțime de numere întregi a, b și c astfel încât
Geometric, un astfel de triplu definește un triunghi dreptunghic cu laturile întregi.
Cea mai mică ipotenuză a unui triplu pitagoreic este 5.
Celelalte două laturi ale acestui triunghi sunt 3 și 4. Aici
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.
Următoarea cea mai mare ipotenuză este 10 deoarece
62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.
Cu toate acestea, acesta este în esență același triunghi cu laturi duble. Următoarea ipotenuză cea mai mare și cu adevărat diferită este 13, pentru care
52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.
Euclid știa că există un număr infinit de variații diferite ale tripleților pitagoreici și a dat ceea ce s-ar putea numi o formulă pentru a le găsi pe toate. Mai târziu, Diophantus din Alexandria a propus o rețetă simplă, practic identică cu cea euclidiană.
Luați oricare două numere naturale și calculați:
produsul lor dublu;
diferența pătratelor lor;
suma pătratelor lor.
Cele trei numere rezultate vor fi laturile triunghiului lui Pitagora.
Să luăm, de exemplu, numerele 2 și 1. Să calculăm:
produs dublu: 2 × 2 × 1 = 4;
diferența de pătrate: 22 - 12 = 3;
suma pătratelor: 22 + 12 = 5,
și am primit faimosul triunghi 3-4-5. Dacă luăm în schimb numerele 3 și 2, obținem:
produs dublu: 2 × 3 × 2 = 12;
diferența de pătrate: 32 - 22 = 5;
suma pătratelor: 32 + 22 = 13,
și obținem următorul cel mai faimos triunghi 5 - 12 - 13. Să încercăm să luăm numerele 42 și 23 și să obținem:
produs dublu: 2 × 42 × 23 = 1932;
diferența de pătrate: 422 - 232 = 1235;
suma pătratelor: 422 + 232 = 2293,
nimeni nu a auzit vreodată de triunghiul 1235–1932–2293.
Dar aceste numere funcționează și:
12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.
Există o altă caracteristică a regulii diofantine care a fost deja sugerată: după ce am primit trei numere, putem lua un alt număr arbitrar și le putem înmulți pe toate cu el. Astfel, un triunghi 3-4-5 poate fi transformat într-un triunghi 6-8-10 prin înmulțirea tuturor laturilor cu 2, sau într-un triunghi 15-20-25 prin înmulțirea tuturor cu 5.
Dacă trecem la limbajul algebrei, regula ia următoarea formă: fie u, v și k numere naturale. Apoi un triunghi dreptunghic cu laturile
2kuv și k (u2 - v2) are ipotenuză
Există și alte moduri de a prezenta ideea principală, dar toate se rezumă la cea descrisă mai sus. Această metodă vă permite să obțineți toate triplele pitagoreice.
Poliedre regulate
Există exact cinci poliedre regulate. Un poliedru obișnuit (sau poliedru) este figură volumetrică cu un număr finit de fețe plate. Fețele se întâlnesc între ele pe linii numite margini; muchiile se întâlnesc în puncte numite vârfuri.
Punctul culminant al Euclidean Principia este dovada că pot exista doar cinci poliedre regulate, adică poliedre în care fiecare față reprezintă poligon regulat(laturi egale, unghiuri egale), toate fețele sunt identice și toate vârfurile sunt înconjurate de un număr egal de fețe distanțate identic. Iată cinci poliedre regulate:
tetraedru cu patru fețe triunghiulare, patru vârfuri și șase muchii;
cub, sau hexaedru, cu 6 fețe pătrate, 8 vârfuri și 12 muchii;
octaedru cu 8 fețe triunghiulare, 6 vârfuri și 12 muchii;
dodecaedru cu 12 fețe pentagonale, 20 de vârfuri și 30 de muchii;
Un icosaedru cu 20 de fețe triunghiulare, 12 vârfuri și 30 de muchii.
// Orez. 37. Cinci poliedre regulate
Poliedre regulate pot fi găsite și în natură. În 1904, Ernst Haeckel a publicat desene ale unor organisme minuscule cunoscute sub numele de radiolari; multe dintre ele au forma aceleiași cinci poliedre regulate. Poate, totuși, a corectat ușor natura, iar desenele nu reflectă pe deplin forma unor ființe vii specifice. Primele trei structuri sunt de asemenea observate în cristale. Nu veți găsi dodecaedre și icosaedre în cristale, deși acolo se găsesc uneori dodecaedre și icosaedre neregulate. Adevărații dodecaedre pot apărea ca cvasicristale, care sunt similare cu cristalele din toate punctele de vedere, cu excepția faptului că atomii lor nu formează o rețea periodică.
// Orez. 38. Desenele lui Haeckel: radiolari sub formă de poliedre regulate
// Orez. 39. Dezvoltarea poliedrelor regulate
Poate fi interesant să faci modele de poliedre obișnuite din hârtie prin decuparea mai întâi a unui set de fețe interconectate - aceasta se numește dezvoltarea unui poliedru; dezvoltarea este pliată de-a lungul marginilor și marginile corespunzătoare sunt lipite între ele. Este util să adăugați un tampon suplimentar de lipici la una dintre nervurile fiecărei astfel de perechi, așa cum se arată în Fig. 39. Dacă nu există o astfel de zonă, puteți folosi bandă adezivă.
Ecuația de gradul cinci
Nu există o formulă algebrică pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul 5.
ÎN vedere generală Ecuația de gradul cinci arată astfel:
ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.
Problema este de a găsi o formulă pentru soluții la o astfel de ecuație (poate avea până la cinci soluții). Experiența cu ecuațiile pătratice și cubice, precum și cu ecuațiile de gradul al patrulea, sugerează că o astfel de formulă ar trebui să existe și pentru ecuațiile de gradul al cincilea și, în teorie, rădăcinile gradului al cincilea, al treilea și al doilea ar trebui să apară în ea. Din nou, putem presupune cu siguranță că o astfel de formulă, dacă există, va fi foarte, foarte complexă.
Această presupunere s-a dovedit în cele din urmă a fi greșită. De fapt, o astfel de formulă nu există; cel puțin nu există o formulă formată din coeficienții a, b, c, d, e și f, realizate folosind adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea și luând rădăcini. Deci este ceva foarte special la numărul 5. Motivele acestui comportament neobișnuit al celor cinci sunt foarte profunde și a fost nevoie de mult timp pentru a le înțelege.
Primul semn de necaz a fost că, oricât de greu ar fi încercat matematicienii să găsească o astfel de formulă, oricât de deștepți ar fi, au eșuat invariabil. De ceva timp, toată lumea a crezut că motivele stau în complexitatea incredibilă a formulei. Se credea că nimeni pur și simplu nu putea înțelege corect această algebră. Cu toate acestea, de-a lungul timpului, unii matematicieni au început să se îndoiască de existența unei astfel de formule, iar în 1823 Niels Hendrik Abel a reușit să demonstreze contrariul. Nu există o astfel de formulă. La scurt timp după aceea, Évariste Galois a găsit o modalitate de a determina dacă o ecuație de un grad sau altul - a 5-a, a 6-a, a 7-a, orice fel - era rezolvabilă folosind acest tip de formulă.
Concluzia din toate acestea este simplă: numărul 5 este special. Poți decide ecuații algebrice(folosind rădăcini gradul al n-lea pentru diferite valori ale lui n) pentru puterile 1, 2, 3 și 4, dar nu pentru puterea a 5-a. Aici se termină tiparul evident.
Nimeni nu este surprins că ecuațiile de grade mai mari de 5 se comportă și mai rău; în special, au aceeași dificultate: nu formule generale pentru a le rezolva. Aceasta nu înseamnă că ecuațiile nu au soluții; De asemenea, acest lucru nu înseamnă că este imposibil să găsiți valori numerice foarte precise pentru aceste soluții. Totul este despre limitările instrumentelor tradiționale de algebră. Acest lucru amintește de imposibilitatea trisecțiunii unui unghi folosind o riglă și o busolă. Răspunsul există, dar metodele enumerate sunt insuficiente și nu ne permit să stabilim despre ce este vorba.
Limitare cristalografică
Cristalele în două și trei dimensiuni nu au simetrie de rotație cu 5 raze.
Atomii dintr-un cristal formează o rețea, adică o structură care se repetă periodic în mai multe direcții independente. De exemplu, modelul de pe tapet se repetă pe toată lungimea rolei; în plus, se repetă de obicei în direcția orizontală, uneori cu o trecere de la o bucată de tapet la alta. În esență, tapetul este un cristal bidimensional.
Există 17 varietăți de modele de tapet pe un plan (vezi capitolul 17). Ele diferă în tipuri de simetrie, adică în moduri de a muta rigid modelul, astfel încât să se afle exact pe el însuși în poziția sa inițială. Tipurile de simetrie includ, în special, diferite variante de simetrie de rotație, în care modelul ar trebui să fie rotit cu un anumit unghi în jurul unui anumit punct - centrul de simetrie.
Ordinea simetriei de rotație este de câte ori corpul poate fi rotit într-un cerc complet, astfel încât toate detaliile modelului să revină la pozițiile inițiale. De exemplu, o rotație de 90° este o simetrie de rotație de ordinul 4*. Lista posibilelor tipuri de simetrie de rotație într-o rețea cristalină indică din nou neobișnuința numărului 5: nu există. Există opțiuni cu simetrie de rotație de ordinul 2, 3, 4 și 6, dar niciunul dintre modelele de tapet nu are simetrie de rotație de ordinul 5. De asemenea, simetria de rotație de ordin mai mare de 6 nu există în cristale, dar prima încălcare a secvenței are loc încă la numărul 5.
Același lucru se întâmplă cu sistemele cristalografice din spațiul tridimensional. Aici zăbrelele se repetă în trei direcții independente. Sunt 219 diverse tipuri simetrie, sau 230, dacă luăm în considerare reflectarea în oglindă a desenului ca o variantă separată a acestuia - în ciuda faptului că în acest caz nu există o simetrie în oglindă. Din nou, se observă simetrii de rotație de ordinele 2, 3, 4 și 6, dar nu 5. Acest fapt se numește confinare cristalografică.
În spațiul cu patru dimensiuni există rețele cu simetrie de ordinul 5; În general, pentru rețelele de dimensiuni suficient de mari, este posibilă orice ordine predeterminată de simetrie de rotație.
// Orez. 40. Rețea cristalină de sare de masă. Bilele întunecate reprezintă atomi de sodiu, bilele luminoase reprezintă atomi de clor
Quasicristale
Deși simetria rotațională de ordinul 5 nu este posibilă în rețelele 2D sau 3D, ea poate exista în structuri puțin mai puțin regulate cunoscute sub numele de cvasicristale. Folosind schițele lui Kepler, Roger Penrose a descoperit sisteme plate cu mai multe tip general simetrie de cinci ori. Se numesc cvasicristale.
Cvasicristalele există în natură. În 1984, Daniel Shechtman a descoperit că un aliaj de aluminiu și mangan ar putea forma cvasicristale; Inițial, cristalografii i-au întâmpinat mesajul cu oarecare scepticism, dar ulterior descoperirea a fost confirmată, iar în 2011, Shekhtman a fost premiat. Premiul Nobelîn chimie. În 2009, o echipă de oameni de știință condusă de Luca Bindi a descoperit cvasicristale într-un mineral din Munții Koryak din Rusia - un compus de aluminiu, cupru și fier. Astăzi acest mineral se numește icosaedrit. Măsurând conținutul diferiților izotopi de oxigen din mineral folosind un spectrometru de masă, oamenii de știință au arătat că acest mineral nu își are originea pe Pământ. S-a format acum aproximativ 4,5 miliarde de ani, într-un moment în care sistemul solar era abia la început și și-a petrecut cea mai mare parte a timpului în centura de asteroizi, orbitând în jurul Soarelui, până când unele perturbări i-au schimbat orbita și, în cele din urmă, l-au adus pe Pământ.
// Orez. 41. Stânga: una dintre cele două rețele cvasicristaline cu simetrie de cinci ori exactă. Dreapta: Model atomic al unui cvasicristal icosaedric de aluminiu-paladiu-mangan
O dovadă plină de umor a teoremei lui Pitagora; tot ca o glumă despre pantalonii largi ai unui prieten.
- - trei întregi numere pozitive x, y, z, satisfăcând ecuația x2+y 2=z2...
Enciclopedie matematică
- - triplete de numere naturale astfel încât un triunghi, ale cărui lungimi ale laturilor sunt proporționale cu aceste numere, să fie dreptunghiular, de exemplu. triplu de numere: 3, 4, 5...
Știința naturii. Dicţionar Enciclopedic
- - vezi racheta de salvare...
- - triplete de numere naturale astfel încât un triunghi ale cărui lungimi ale laturilor sunt proporționale cu aceste numere să fie dreptunghiular...
Marea Enciclopedie Sovietică
- - mil. Unism. O expresie folosită la enumerarea sau contrastarea a două fapte, fenomene, circumstanțe...
Dicționar frazeologic educațional
- - Din romanul distopic „Ferma animalelor” al scriitorului englez George Orwell...
- - Găsit pentru prima dată în satira „Jurnalul unui liberal din Sankt Petersburg” de Mihail Evgrafovich Saltykov-Shchedrin, care a descris atât de figurat poziția ambivalentă și lașă a liberalilor ruși - propria lor...
Dicționar de cuvinte și expresii populare
- - Se spune când interlocutorul a încercat să transmită ceva timp îndelungat și neclar, îngrămădând ideea principală cu detalii secundare...
Dicţionar de frazeologie populară
- - Numărul de butoane este cunoscut. De ce e strâns pula? - despre pantaloni si organul genital masculin. . Pentru a demonstra acest lucru, este necesar să înlăturăm și să arătăm 1) despre teorema lui Pitagora; 2) despre pantaloni largi...
Discurs viu. Dicţionar expresii colocviale
- - Mier. Nu există nemurire a sufletului, deci nu există virtute, „asta înseamnă că totul este permis”... O teorie seducătoare pentru ticăloși... Un lăudăros, dar ideea este că, pe de o parte, nu se poate să nu nu existe. mărturisesc, iar pe de altă parte, nu se poate să nu mărturisească...
Dicţionar explicativ şi frazeologic Mikhelson
- - Pantaloni pitagoreici ai călugărilor. despre o persoană talentată. mier. Acesta este, fără îndoială, un înțelept. În vremuri străvechi, probabil că ar fi inventat pantalonii pitagoreici... Saltykov. Litere pestrițe...
- - Pe de o parte - pe de altă parte. mier. Nu există nemurirea sufletului, deci nu există virtute, „asta înseamnă că totul este permis”... O teorie tentantă pentru ticăloși.....
Dicționar explicativ și frazeologic Michelson (orig. orf.)
- - Un nume comic pentru teorema lui Pitagora, care a apărut datorită faptului că pătratele construite pe laturile unui dreptunghi și divergente în direcții diferite seamănă cu tăierea pantalonilor...
- - PE O MÂNĂ... PE CEALALĂ LATE. Carte...
- - Vezi RANGURI -...
V.I. Dahl. Proverbe ale poporului rus
- - Zharg. şcoală Glumind. Pitagora. ...
Dicționar mare de proverbe rusești
„Pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile” în cărți
11. Pantaloni pitagoreici
Din cartea Friedl autor Makarova Elena Grigorievna11. Pantaloni pitagoreici Fata mea bună În primul rând - cea mai arzătoare recunoștință pentru Dvorak; este foarte interesant, nu atât de ușor de citit, dar sunt foarte mulțumit de el. Vă voi scrie mai detaliat când voi citi câteva capitole Nu vă puteți imagina ce bucurie aveți
III "Nu sunt toate locurile egale?"
Din cartea lui Batyushkov autor Sergheva-Klyatis Anna IurievnaIII "Nu sunt toate locurile egale?" La sfârșitul Postului Mare, fără să aștepte Paștele, care în 1815 a căzut pe 18 aprilie, Batiușkov a părăsit Sankt Petersburg pentru moșia tatălui său Danilovskoye în Săptămâna Mare. Cu toate acestea, înainte de aceasta, a avut loc un alt eveniment, care nu este menționat în scrisorile lui Batyushkov,
pantaloni pitagoreici
Din cartea De la Doberman la Huligan. De la nume proprii la substantive comune autor Blau Mark GrigorieviciPantaloni pitagoreici Chiar și elevii de liceu pre-revoluționari știau că „pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile” și ei au compus acest cearșaf poetic pentru pătuț. Dar elevii de liceu! Probabil deja marelui Lomonosov, care a studiat geometria în limba sa slavo-greco-latina
1.16. Măsuri provizorii atât din partea autorităților fiscale, cât și a contribuabililor
Din cartea Audituri fiscale. Cum să reziste cu demnitate la vizita inspectorilor autor Semenichin Vitali Viktorovici1.16. Măsuri provizorii atât din partea autorităților fiscale, cât și a contribuabililor Contribuabilii sunt rareori de acord cu concluziile autorităților fiscale făcute pe baza rezultatelor controalelor fiscale. Și, în același timp, majoritatea litigiilor din instanțe sunt soluționate în favoarea
Toți sunt egali înaintea unui împrumut
Din cartea Bani. Credit. Bănci: note de curs autor Şevciuk Denis AlexandroviciToată lumea este egală înaintea unui împrumut Istoria oficială a creditării de urgență în America datează din 1968, când a fost adoptată acolo Legea privind creditul de consum. În special, stabilește reguli de creditare echitabile, plafoane de rate,
Analiza SWOT (puncte tari, puncte slabe, oportunități, amenințări)
Din cartea Training. Manualul antrenorului de Thorne KayAnaliza SWOT (Puncte forte, Puncte slabe, Oportunități, Amenințări) Această metodă este o completare a structurii de brainstorming. Împărțiți foaie de flipchart în patru părți și etichetați-le: puncte forte, puncte slabe, oportunități, amenințări. Grupul poate analiza afacerea,
Nu toți cumpărătorii sunt egali
Din cartea Cum să lucrezi patru ore pe săptămână de Ferris TimothyNu toți cumpărătorii sunt egali Odată ce ați ajuns la a treia etapă și fluxul de fonduri a devenit mai mult sau mai puțin constant, este timpul să evaluați compoziția cumpărătorilor dvs. și să curățați acel pat. Totul în lume este împărțit în bine și rău: mâncarea, filmele, sexul sunt bune și rele. Începem
Capitolul VII „Pantalonii pitagoreici” - descoperirea matematicienilor asiro-babilonieni
Din cartea Când vorbea cuneiform autor Matveev Konstantin PetroviciCapitolul VII „Pantalonii pitagoreici” - descoperirea matematicienilor asiro-babilonieni Matematica printre asirieni și babilonieni, precum și astronomia, a fost necesară în primul rând în viața practică - în construcția de case, palate, drumuri, întocmirea calendarelor, așezarea canalelor,
„Sub mască, toate rangurile sunt egale”
Din cartea Arabescuri din Sankt Petersburg autor Aspidov Albert Pavlovici„Sub mască, toate rangurile sunt egale” Printre achizițiile de Anul Nou - decorațiuni pentru pomul de Crăciun și alte lucruri - poate fi o mască. După ce l-am îmbrăcat, devenim imediat diferiți - ca în basm. Și cine nu vrea să atingă magia cel puțin o dată pe an - părțile sale vesele și inofensive?
Numerele pitagorice
Din cartea Big Enciclopedia Sovietică(PI) al autorului TSBToți sunt egali, dar unii sunt mai egali decât alții
Din cartea Dicționar enciclopedic al cuvintelor și expresiilor autor Serov Vadim VasilieviciToți sunt egali, dar unii sunt mai egali decât alții Din romanul distopic Ferma animalelor (1945) al scriitorului englez George Orwell (pseudonim al lui Eric Blair, 1903-1950). Animalele unei anumite ferme și-au răsturnat odată crudul stăpân și au înființat o republică, proclamând principiul: „Totul
Participarea la negocieri ca parte sau asistent al unei părți
Din cartea A Reader of Alternative Dispute Resolution autor Echipa de autoriParticiparea la negocieri ca parte sau asistent al unei părți O altă formă de negociere care a apărut în urma medierii este participarea unui mediator împreună cu o parte (sau fără aceasta) la negocieri ca reprezentant al unei părți. Această metodă este fundamental diferită
Forțele erau egale
Din carte Marele Război neterminat. Rezultatele primului război mondial autor Mlechin Leonid MihailoviciForțele erau egale. Nimeni nu se aștepta ca războiul să se prelungească. Dar planurile elaborate cu grijă de Statul Major s-au prăbușit chiar în primele luni. Forțele blocurilor opuse s-au dovedit a fi aproximativ egale. Creșterea noilor echipamente militare a crescut numărul victimelor, dar nu a permis ca inamicul să fie zdrobit și
Toate animalele sunt egale, dar unele sunt mai egale decât altele
Din cartea Faschizofrenia autor Sysoev Ghenadi BorisoviciToate animalele sunt egale, dar unele sunt mai egale decât altele. În cele din urmă, aș dori să-mi amintesc de oamenii care cred că Kosovo poate deveni un fel de precedent. De exemplu, dacă populației din Kosovo i se acordă dreptul de către „comunitatea mondială” (adică SUA și UE) de a-și decide propria soartă în
Aproape egal
Din cartea Ziar literar 6282 (nr. 27 2010) autor Ziarul literarAproape egal Club de 12 scaune Aproape egal Proză ironică Moartea a venit la un om sărac. Și era oarecum surd. Atât de normal, dar ușor surd... Și a văzut prost. Nu am văzut aproape nimic. - Oh, avem musafiri! Intră, te rog. Moartea spune: „Așteaptă să te bucuri”
Pantaloni - obțineți un cupon de lucru pentru o reducere la Paper Shop la Akademika sau cumpărați pantaloni profitabili cu livrare gratuită la reducere la Paper Shop
Jarg. şcoală Glumind. Teorema lui Pitagora, care stabilește relația dintre ariile pătratelor construite pe ipotenuză și catetele unui triunghi dreptunghic. BTS, 835... Dicționar mare de proverbe rusești
pantaloni pitagoreici- Un nume comic pentru teorema lui Pitagora, care a apărut datorită faptului că pătratele construite pe laturile unui dreptunghi și divergente în direcții diferite seamănă cu tăietura pantalonilor. Mi-a plăcut geometria... iar la examenul de admitere la universitate am primit chiar și un... Dicționar frazeologic al limbii literare ruse
pantaloni pitagoreici- Un nume plin de umor pentru teorema lui Pitagora, care stabilește relația dintre ariile pătratelor construite pe ipotenuza și catetele unui triunghi dreptunghic, care în imagini arată ca tăietura de pantaloni... Dicționar cu multe expresii
Călugăr: despre un bărbat talentat Mier. Acesta este, fără îndoială, un înțelept. În vremuri străvechi, probabil că ar fi inventat pantalonii pitagoreici... Saltykov. Litere pestrițe. Pantaloni pitagoreici (geom.): într-un dreptunghi, pătratul ipotenuzei este egal cu pătratele picioarelor (predare ... ... Marele dicționar explicativ și frazeologic al lui Michelson
Pantalonii pitagoreici sunt egali din toate părțile- Numărul de butoane este cunoscut. De ce e strâns pula? (nepoliticos) despre pantaloni și organul genital masculin. Pantalonii pitagoreici sunt egali din toate părțile. Pentru a demonstra acest lucru, este necesar să înlăturăm și să arătăm 1) despre teorema lui Pitagora; 2) despre pantaloni largi... Discurs viu. Dicţionar de expresii colocviale
pantaloni pitagoreici (inventează) călugăr. despre o persoană talentată. mier. Acesta este, fără îndoială, un înțelept. În vremuri străvechi, probabil că ar fi inventat pantalonii pitagoreici... Saltykov. Litere pestrițe. Pantaloni pitagoreici (geom.): într-un dreptunghi există un pătrat al ipotenuzei... ... Marele dicționar explicativ și frazeologic al lui Michelson (ortografia originală)
Pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile- O dovadă plină de umor a teoremei lui Pitagora; tot ca o glumă despre pantalonii largi ai unui prieten... Dicţionar de frazeologie populară
Adj., nepoliticos...
PANTALONI PITAGOREI SUNT EGAI PE TOATE PARTELE (SE CUNOSC NUMĂRUL DE NASTURĂ. DE CE ESTE STRANȚI? / PENTRU A DEMONSTRA ASTA, TREBUIE SĂ ÎI DESCOPȚI ȘI ȚI ARATĂ)- adverb, nepoliticos... Dicţionar unităţi şi proverbe frazeologice colocviale moderne
Substantiv, plural, folosit comparaţie adesea Morfologie: pl. Ce? pantaloni, (nu) ce? pantaloni, ce? pantaloni, (văd) ce? pantaloni, ce? pantaloni, ce zici? despre pantaloni 1. Pantalonii sunt o piesă vestimentară care are două picioare scurte sau lungi și acoperă partea inferioară... ... Dicţionarul explicativ al lui Dmitriev
Cărți
- pantaloni pitagoreici. În această carte veți găsi fantezie și aventură, miracole și ficțiune. Amuzant și trist, obișnuit și misterios... Ce altceva ai nevoie pentru o lectură distractivă? Principalul lucru este că există...
- Miracole pe roți, Markusha Anatoly. Milioane de roți se învârt pe tot pământul - mașinile se rostogolesc, măsoară timpul în ceasuri, bat sub trenuri, efectuează nenumărate lucrări în mașini și diverse mecanisme. Ei…
Un lucru de care poți fi sută la sută sigur este că, atunci când este întrebat care este pătratul ipotenuzei, orice adult va răspunde cu îndrăzneală: „Suma pătratelor picioarelor”. Această teoremă este ferm înrădăcinată în mintea tuturor. persoană educată, dar tot ce trebuie să faci este să ceri pe cineva să-l demonstreze și pot apărea dificultăți. Așa că să ne amintim și să luăm în considerare moduri diferite demonstrarea teoremei lui Pitagora.
Scurtă biografie
Teorema lui Pitagora este familiară aproape tuturor, dar din anumite motive biografia persoanei care a adus-o pe lume nu este atât de populară. Acest lucru poate fi reparat. Prin urmare, înainte de a explora diferitele modalități de a demonstra teorema lui Pitagora, trebuie să-i cunoști pe scurt personalitatea.
Pitagora - filozof, matematician, gânditor originar din Astăzi este foarte greu să-i deosebești biografia de legendele care s-au dezvoltat în memoria acestui mare om. Dar, după cum rezultă din lucrările adepților săi, Pitagora din Samos s-a născut pe insula Samos. Tatăl său era un tăietor de pietre obișnuit, dar mama lui provenea dintr-o familie nobilă.
Judecând după legendă, nașterea lui Pitagora a fost prezisă de o femeie pe nume Pythia, în cinstea căreia băiatul a fost numit. Conform predicției ei, băiatul născut trebuia să aducă multe beneficii și bine omenirii. Ceea ce a făcut exact.
Nașterea teoremei
În tinerețe, Pitagora s-a mutat în Egipt pentru a se întâlni acolo cu faimoși înțelepți egipteni. După întâlnirea cu ei, i s-a permis să studieze, unde a învățat toate marile realizări ale filozofiei, matematicii și medicinei egiptene.
Probabil că în Egipt, Pitagora s-a inspirat din măreția și frumusețea piramidelor și a creat marea sa teorie. Acest lucru poate șoca cititorii, dar istoricii moderni cred că Pitagora nu și-a dovedit teoria. Dar el a transmis cunoștințele sale doar adepților săi, care ulterior au finalizat toate calculele matematice necesare.
Oricum ar fi, astăzi nu se cunoaște o singură metodă de demonstrare a acestei teoreme, ci mai multe deodată. Astăzi putem doar ghici cum exact grecii antici și-au efectuat calculele, așa că aici vom analiza diferite moduri de a demonstra teorema lui Pitagora.
Teorema lui Pitagora
Înainte de a începe orice calcul, trebuie să vă dați seama ce teorie doriți să demonstrați. Teorema lui Pitagora spune astfel: „Într-un triunghi în care unul dintre unghiuri este de 90°, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei.”
Există un total de 15 moduri diferite de a demonstra teorema lui Pitagora. Acesta este un număr destul de mare, așa că vom acorda atenție celor mai populare dintre ele.
Metoda unu
Mai întâi, să definim ce ni s-a dat. Aceste date se vor aplica și altor metode de demonstrare a teoremei lui Pitagora, așa că merită să ne amintim imediat toate notațiile disponibile.
Să presupunem că ni se dă un triunghi dreptunghic cu catetele a, b și o ipotenuză egală cu c. Prima metodă de demonstrare se bazează pe faptul că trebuie să desenați un pătrat dintr-un triunghi dreptunghic.
Pentru a face acest lucru, trebuie să adăugați un segment egal cu piciorul b la lungimea piciorului a și invers. Acest lucru ar trebui să rezulte în două laturi egale ale pătratului. Tot ce rămâne este să desenezi două linii paralele, iar pătratul este gata.
În interiorul figurii rezultate, trebuie să desenați un alt pătrat cu o latură egală cu ipotenuza triunghiului original. Pentru a face acest lucru, din vârfurile ас și св trebuie să desenați două segmente paralele egale cu с. Astfel, obținem trei laturi ale pătratului, dintre care una este ipotenuza triunghiului dreptunghic inițial. Tot ce rămâne este să desenăm al patrulea segment.
Pe baza cifrei rezultate, putem concluziona că aria pătratului exterior este egală cu (a + b) 2. Dacă te uiți în interiorul figurii, poți vedea că în plus față de pătratul interior sunt patru triunghi dreptunghic. Suprafața fiecăruia este de 0,5 av.
Prin urmare, aria este egală cu: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2
Prin urmare (a+c) 2 =2ab+c 2
Și, prin urmare, c 2 =a 2 +b 2
Teorema a fost demonstrată.
Metoda a doua: triunghiuri similare
Această formulă pentru demonstrarea teoremei lui Pitagora a fost derivată pe baza unei afirmații din secțiunea de geometrie despre triunghiuri similare. Afirmă că catetul unui triunghi dreptunghic este media proporțională cu ipotenuza sa și cu segmentul ipotenuzei care provine din vârful unghiului de 90°.
Datele inițiale rămân aceleași, așa că să începem imediat cu dovada. Să desenăm un segment CD perpendicular pe latura AB. Pe baza afirmației de mai sus, laturile triunghiurilor sunt egale:
AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.
Pentru a răspunde la întrebarea cum să demonstrăm teorema lui Pitagora, demonstrația trebuie completată prin pătrarea ambelor inegalități.
AC 2 = AB * AD și CB 2 = AB * DV
Acum trebuie să adunăm inegalitățile rezultate.
AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), unde AD + DV = AB
Rezultă că:
AC2 + CB2 =AB*AB
Si prin urmare:
AC 2 + CB 2 = AB 2
Demonstrarea teoremei lui Pitagora și diverse moduri soluțiile sale necesită o abordare cu mai multe fațete a acestei probleme. Cu toate acestea, această opțiune este una dintre cele mai simple.
O altă metodă de calcul
Descrierile diferitelor metode de demonstrare a teoremei lui Pitagora pot să nu însemne nimic până când nu începeți să exersați pe cont propriu. Multe tehnici implică nu numai calcule matematice, ci și construcția de noi figuri din triunghiul original.
În acest caz, este necesar să completați un alt triunghi dreptunghic VSD din latura BC. Astfel, acum există două triunghiuri cu catetă comună BC.
Știind că ariile figurilor similare au un raport ca pătratele dimensiunilor lor liniare similare, atunci:
S avs * c 2 - S avd * în 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2
S avs *(de la 2 - la 2) = a 2 *(S avd -S vsd)
de la 2 - la 2 =a 2
c 2 =a 2 +b 2
Deoarece dintre diferitele metode de demonstrare a teoremei lui Pitagora pentru clasa a 8-a, această opțiune nu este potrivită, puteți utiliza următoarea metodă.
Cel mai simplu mod de a demonstra teorema lui Pitagora. Recenzii
Potrivit istoricilor, această metodă a fost folosită pentru prima dată pentru a demonstra teorema din nou Grecia antică. Este cel mai simplu, deoarece nu necesită absolut niciun calcul. Dacă desenați corect imaginea, atunci dovada afirmației că a 2 + b 2 = c 2 va fi clar vizibilă.
Conditii pentru această metodă va fi ușor diferită de cea precedentă. Pentru a demonstra teorema, presupunem că triunghiul dreptunghic ABC este isoscel.
Luăm ipotenuza AC ca latură a pătratului și desenăm cele trei laturi ale acestuia. În plus, este necesar să desenați două linii diagonale în pătratul rezultat. Astfel încât în interiorul ei să obții patru triunghiuri isoscele.
De asemenea, trebuie să desenați un pătrat la picioarele AB și CB și să desenați o linie dreaptă diagonală în fiecare dintre ele. Desenăm prima linie de la vârful A, a doua de la C.
Acum trebuie să vă uitați cu atenție la desenul rezultat. Deoarece pe ipotenuza AC sunt patru triunghiuri egale cu cel inițial, iar pe laturi sunt două, aceasta indică veridicitatea acestei teoreme.
Apropo, datorită acestei metode de demonstrare a teoremei lui Pitagora, frază celebră: „Pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile.”
Dovada de J. Garfield
James Garfield este al douăzecilea președinte al Statelor Unite ale Americii. Pe lângă faptul că și-a pus amprenta asupra istoriei ca conducător al Statelor Unite, a fost și un autodidact talentat.
La începutul carierei a fost un profesor obișnuit într-o școală publică, dar în curând a devenit directorul uneia dintre cele mai înalte institutii de invatamant. Dorința de auto-dezvoltare i-a permis să ofere noua teorie demonstrarea teoremei lui Pitagora. Teorema și un exemplu de soluție sunt după cum urmează.
Mai întâi trebuie să desenați două triunghiuri dreptunghiulare pe o bucată de hârtie, astfel încât piciorul unuia dintre ele să fie o continuare a celui de-al doilea. Vârfurile acestor triunghiuri trebuie să fie conectate pentru a forma în cele din urmă un trapez.
După cum știți, aria unui trapez este egală cu produsul dintre jumătate din suma bazelor sale și înălțimea sa.
S=a+b/2 * (a+b)
Dacă luăm în considerare trapezul rezultat ca o figură formată din trei triunghiuri, atunci aria sa poate fi găsită după cum urmează:
S=av/2 *2 + s2/2
Acum trebuie să egalăm cele două expresii originale
2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2
c 2 =a 2 +b 2
S-ar putea scrie mai mult de un volum despre teorema lui Pitagora și despre metodele de demonstrare a acesteia. ajutor didactic. Dar există vreun moment în care aceste cunoștințe nu pot fi aplicate în practică?
Aplicarea practică a teoremei lui Pitagora
Din păcate, în modern programe scolare Această teoremă este destinată a fi utilizată numai în probleme geometrice. Absolvenții vor părăsi în curând școala fără să știe cum își pot aplica cunoștințele și abilitățile în practică.
De fapt, utilizați teorema lui Pitagora în dvs viata de zi cu zi toată lumea poate. Și nu numai în activitate profesională, dar și în treburile casnice obișnuite. Să luăm în considerare câteva cazuri în care teorema lui Pitagora și metodele de demonstrare a acesteia pot fi extrem de necesare.
Relația dintre teoremă și astronomie
S-ar părea că stelele și triunghiurile de pe hârtie pot fi conectate. De fapt, astronomia este domeniul stiintific, care folosește pe scară largă teorema lui Pitagora.
De exemplu, luați în considerare mișcarea unui fascicul de lumină în spațiu. Se știe că lumina se mișcă în ambele direcții cu aceeași viteză. Să numim traiectoria AB de-a lungul căreia se mișcă raza de lumină l. Și să numim jumătate din timpul necesar luminii pentru a ajunge din punctul A în punctul B t. Și viteza fasciculului - c. Rezultă că: c*t=l
Dacă te uiți la aceeași rază dintr-un alt plan, de exemplu, dintr-o linie spațială care se mișcă cu viteza v, atunci când observăm corpurile în acest fel, viteza lor se va schimba. În acest caz, chiar și elementele staționare vor începe să se miște cu viteza v în direcția opusă.
Să presupunem că linia de benzi desenate navighează spre dreapta. Apoi punctele A și B, între care fasciculul se repezi, vor începe să se miște spre stânga. Mai mult, atunci când fasciculul se deplasează din punctul A în punctul B, punctul A are timp să se miște și, în consecință, lumina va ajunge deja într-un nou punct C. Pentru a găsi jumătate din distanța cu care punctul A s-a deplasat, trebuie să înmulțiți viteza căptușelii cu jumătate din timpul de călătorie al fasciculului (t ").
Și pentru a afla cât de departe ar putea călători o rază de lumină în acest timp, trebuie să marcați jumătatea drumului cu o nouă literă s și să obțineți următoarea expresie:
Dacă ne imaginăm că punctele de lumină C și B, precum și căptușeala spațială, sunt vârfurile unui triunghi isoscel, atunci segmentul de la punctul A la căptușeală îl va împărți în două triunghiuri dreptunghiulare. Prin urmare, datorită teoremei lui Pitagora, puteți afla distanța pe care o poate parcurge o rază de lumină.
Acest exemplu, desigur, nu este cel mai de succes, deoarece doar câțiva pot avea norocul să-l încerce în practică. Prin urmare, să luăm în considerare aplicații mai banale ale acestei teoreme.
Raza de transmisie a semnalului mobil
Viața modernă nu mai poate fi imaginată fără existența smartphone-urilor. Dar cât de mult le-ar folosi dacă nu ar putea conecta abonații prin comunicații mobile?!
Calitatea comunicațiilor mobile depinde direct de înălțimea la care se află antena operatorului de telefonie mobilă. Pentru a calcula cât de departe de un turn mobil un telefon poate primi un semnal, puteți aplica teorema lui Pitagora.
Să presupunem că trebuie să găsiți înălțimea aproximativă a unui turn staționar, astfel încât să poată distribui un semnal pe o rază de 200 de kilometri.
AB (înălțimea turnului) = x;
BC (raza transmisiei semnalului) = 200 km;
OS (raza globului) = 6380 km;
OB=OA+ABOB=r+x
Aplicând teorema lui Pitagora, aflăm că înălțimea minimă a turnului ar trebui să fie de 2,3 kilometri.
Teorema lui Pitagora în viața de zi cu zi
În mod ciudat, teorema lui Pitagora poate fi utilă chiar și în chestiuni de zi cu zi, cum ar fi determinarea înălțimii unui dulap, de exemplu. La prima vedere, nu este nevoie să folosiți astfel de calcule complexe, deoarece puteți efectua pur și simplu măsurători folosind o bandă de măsurare. Dar mulți oameni se întreabă de ce apar anumite probleme în timpul procesului de asamblare dacă toate măsurătorile au fost luate mai mult decât corect.
Faptul este că dulapul este asamblat în poziție orizontală și abia apoi ridicat și instalat pe perete. Prin urmare, în timpul procesului de ridicare a structurii, partea laterală a dulapului trebuie să se miște liber atât de-a lungul înălțimii, cât și în diagonală a încăperii.
Să presupunem că există un dulap cu o adâncime de 800 mm. Distanța de la podea la tavan - 2600 mm. Un producător de mobilier cu experiență va spune că înălțimea dulapului ar trebui să fie cu 126 mm mai mică decât înălțimea camerei. Dar de ce exact 126 mm? Să ne uităm la un exemplu.
Cu dimensiunile ideale ale cabinetului, să verificăm funcționarea teoremei lui Pitagora:
AC =√AB 2 +√BC 2
AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - totul se potrivește.
Să presupunem că înălțimea dulapului nu este de 2474 mm, ci de 2505 mm. Apoi:
AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.
Prin urmare, acest dulap nu este potrivit pentru instalarea în această cameră. Pentru că ridicarea acestuia într-o poziție verticală poate provoca deteriorarea corpului.
Poate, având în vedere diferite moduri de a demonstra teorema lui Pitagora de către diferiți oameni de știință, putem concluziona că este mai mult decât adevărată. Acum puteți folosi informațiile primite în viața de zi cu zi și puteți fi complet încrezător că toate calculele vor fi nu numai utile, ci și corecte.
