Restul împărțirii cu 45. Împărțirea cu restul
Să ne uităm la un exemplu simplu:
15:5=3
În acest exemplu număr natural Am impartit 15 complet cu 3, fără rest.
Uneori, un număr natural nu poate fi împărțit complet. De exemplu, luați în considerare problema:
În dulap erau 16 jucării. În grup erau cinci copii. Fiecare copil a luat același număr de jucării. Câte jucării are fiecare copil?
Soluţie:
Împărțiți numărul 16 la 5 folosind o coloană și obținem:
Știm că 16 nu poate fi împărțit la 5. Cel mai apropiat număr mai mic care este divizibil cu 5 este 15 cu restul de 1. Putem scrie numărul 15 ca 5⋅3. Ca rezultat (16 – dividend, 5 – divizor, 3 – coeficient incomplet, 1 – rest). Primit formula împărțire cu rest care se poate face verificarea solutiei.
o=
b⋅
c+
d
o - divizibil,
b - separator,
c - coeficient incomplet,
d - restul.
Răspuns: fiecare copil va lua 3 jucării și va rămâne o jucărie.
Restul diviziunii
Restul trebuie să fie întotdeauna mai mic decât divizorul.
Dacă în timpul împărțirii restul este zero, atunci aceasta înseamnă că dividendul este împărțit complet sau fără rest pe divizor.
Dacă în timpul împărțirii restul este mai mare decât divizorul, aceasta înseamnă că numărul găsit nu este cel mai mare. Există un număr mai mare care va împărți dividendul, iar restul va fi mai mic decât divizorul.
Întrebări pe tema „Diviziunea cu rest”:
Restul poate fi mai mare decât divizorul?
Raspuns: nu.
Restul poate fi egal cu divizorul?
Raspuns: nu.
Cum să găsiți dividendul folosind coeficientul incomplet, divizorul și restul?
Răspuns: înlocuim valorile coeficientului parțial, divizorului și restului în formulă și găsim dividendul. Formula:
a=b⋅c+d
Exemplul #1:
Efectuați împărțirea cu rest și verificați: a) 258:7 b) 1873:8
Soluţie:
a) Împărțiți pe coloană:
258 – dividend,
7 – separator,
36 – coeficient incomplet,
6 – restul. Restul este mai mic decât divizorul 6<7.
7⋅36+6=252+6=258
b) Împărțiți pe coloană:
1873 – divizibil,
8 – divizor,
234 – coeficient incomplet,
1 – restul. Restul este mai mic decât divizorul 1<8.
Să o înlocuim în formulă și să verificăm dacă am rezolvat corect exemplul:
8⋅234+1=1872+1=1873
Exemplul #2:
Ce resturi se obtin la impartirea numerelor naturale: a) 3 b)8?
Răspuns:
a) Restul este mai mic decât divizorul, deci mai mic decât 3. În cazul nostru, restul poate fi 0, 1 sau 2.
b) Restul este mai mic decât divizorul, deci mai mic decât 8. În cazul nostru, restul poate fi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 sau 7.
Exemplul #3:
Care este cel mai mare rest care se poate obține la împărțirea numerelor naturale: a) 9 b) 15?
Răspuns:
a) Restul este mai mic decât divizorul, deci mai mic decât 9. Dar trebuie să indicăm cel mai mare rest. Adică numărul cel mai apropiat de divizor. Acesta este numărul 8.
b) Restul este mai mic decât divizorul, prin urmare, mai mic decât 15. Dar trebuie să indicăm cel mai mare rest. Adică numărul cel mai apropiat de divizor. Acest număr este 14.
Exemplul #4:
Aflați dividendul: a) a:6=3(rest.4) b) c:24=4(rest.11)
Soluţie:
a) Rezolvați folosind formula:
a=b⋅c+d
(a – dividend, b – divizor, c – coeficient parțial, d – rest.)
a:6=3(rest.4)
(a – dividend, 6 – divizor, 3 – coeficient parțial, 4 – rest.) Să substituim numerele în formula:
a=6⋅3+4=22
Răspuns: a=22
b) Rezolvați folosind formula:
a=b⋅c+d
(a – dividend, b – divizor, c – coeficient parțial, d – rest.)
s:24=4(rest.11)
(c – dividend, 24 – divizor, 4 – coeficient parțial, 11 – rest.) Să substituim numerele în formula:
с=24⋅4+11=107
Răspuns: c=107
Sarcină:
Sârmă 4m. trebuie tăiat în bucăți de 13 cm. Câte astfel de piese vor fi?
Soluţie:
Mai întâi trebuie să convertiți metri în centimetri.
4m.=400cm.
Putem împărți la o coloană sau în mintea noastră obținem:
400:13=30 (răman de 10)
Să verificăm:
13⋅30+10=390+10=400
Răspuns: Veți primi 30 de bucăți și vor rămâne 10 cm de sârmă.
În acest articol ne vom uita împărțirea numerelor întregi cu rest. Să începem cu principiul general al împărțirii numerelor întregi cu rest, să formulăm și să demonstrăm teorema privind divizibilitatea numerelor întregi cu rest și să urmărim legăturile dintre dividend, divizor, coeficient incomplet și rest. În continuare, vom schița regulile după care numerele întregi sunt împărțite cu un rest și vom lua în considerare aplicarea acestor reguli atunci când rezolvăm exemple. După aceasta, vom învăța cum să verificăm rezultatul împărțirii numerelor întregi cu un rest.
Navigare în pagină.
Înțelegerea generală a împărțirii numerelor întregi cu un rest
Vom considera împărțirea numerelor întregi cu un rest ca o generalizare a împărțirii cu un rest de numere naturale. Acest lucru se datorează faptului că numerele naturale sunt o componentă a numerelor întregi.
Să începem cu termenii și denumirile care sunt utilizate în descriere.
Prin analogie cu împărțirea numerelor naturale cu rest, vom presupune că rezultatul împărțirii cu un rest a două numere întregi a și b (b nu este egal cu zero) este două numere întregi c și d. Se numesc numerele a și b divizibilŞi separatorîn consecință, numărul d - restul din împărțirea a la b și se numește întregul c privat incomplet(sau doar privat, dacă restul este zero).
Să fim de acord să presupunem că restul este un număr întreg nenegativ, iar valoarea lui nu depășește b, adică (am întâlnit lanțuri similare de inegalități când am vorbit despre compararea a trei sau mai multe numere întregi).
Dacă numărul c este un coeficient incomplet, iar numărul d este restul împărțirii întregului a la întregul b, atunci vom scrie pe scurt acest fapt ca o egalitate de forma a:b=c (restul d).
Rețineți că la împărțirea unui număr întreg a la un număr întreg b, restul poate fi zero. În acest caz spunem că a este divizibil cu b fără urmă(sau complet). Astfel, împărțirea numerelor întregi fără rest este un caz special de împărțire a numerelor întregi cu rest.
De asemenea, merită să spunem că atunci când împărțim zero la un număr întreg, avem întotdeauna de-a face cu împărțirea fără rest, deoarece în acest caz, câtul va fi egal cu zero (vezi secțiunea teorie a împărțirii zero cu un întreg), iar restul va fi de asemenea egal cu zero.
Ne-am hotărât asupra terminologiei și notării, acum să înțelegem sensul împărțirii numerelor întregi cu un rest.
Împărțirea unui număr întreg negativ a la un număr întreg pozitiv b poate primi, de asemenea, sens. Pentru a face acest lucru, luați în considerare un număr întreg negativ drept datorie. Să ne imaginăm această situație. Datoria care constituie elementele trebuie rambursată de către b persoane prin contribuție egală. Valoarea absolută a coeficientului incomplet c în acest caz va determina valoarea datoriei fiecăruia dintre aceste persoane, iar restul d va arăta câte articole vor rămâne după achitarea datoriei. Să dăm un exemplu. Să presupunem că 2 persoane datorează 7 mere. Dacă presupunem că fiecare dintre ei datorează câte 4 mere, atunci după achitarea datoriei le va mai avea 1 măr. Această situație corespunde egalității (−7):2=−4 (rămanând 1).
Nu vom atașa niciun sens împărțirii cu restul unui număr întreg arbitrar a cu un întreg negativ, dar ne vom rezerva dreptul de a exista.
Teorema privind divizibilitatea numerelor întregi cu rest
Când am vorbit despre împărțirea numerelor naturale cu rest, am aflat că dividendul a, divizorul b, câtul parțial c și restul d sunt legate prin egalitatea a=b·c+d. Numerele întregi a, b, c și d au aceeași relație. Această conexiune este confirmată după cum urmează teorema de divizibilitate cu rest.
Teorema.
Orice număr întreg a poate fi reprezentat în mod unic printr-un număr întreg și un număr diferit de zero b sub forma a=b·q+r, unde q și r sunt niște numere întregi și .
Dovada.
Mai întâi, demonstrăm posibilitatea reprezentării a=b·q+r.
Dacă numerele întregi a și b sunt astfel încât a este divizibil cu b, atunci, prin definiție, există un întreg q astfel încât a=b·q. În acest caz, egalitatea a=b·q+r la r=0 este valabilă.