Caracteristicile de bază ale unei hiperbole. Ce este o hiperbolă: ecuații și proprietăți

Hiperbolă este o curbă plată, pentru fiecare punct din care modulul diferenței de distanțe la două puncte date ( trucuri de hiperbole ) este constantă. Distanța dintre focarele unei hiperbole se numește distanta focala și se notează cu \(2c\). Mijlocul segmentului care leagă focarele se numește centru. O hiperbolă are două axe de simetrie: o axă focală sau reală care trece prin focare și o axă imaginară perpendiculară pe aceasta, care trece prin centru. Axa reală intersectează ramurile hiperbolei în punctele numite culmi. Segmentul care leagă centrul hiperbolei cu vârful se numește semiaxă reală și se notează cu \(a\). Semiaxa imaginară notat cu simbolul \(b\). Ecuația canonică a hiperbolei scris sub forma
\(\large\frac(((x^2)))(((a^2)))\normalsize - \large\frac(((y^2)))(((b^2)))\ normalsize = 1\).

Modulul diferenței de distanțe de la orice punct al hiperbolei la focarele sale este o valoare constantă:
\(\left| ((r_1) - (r_2)) \right| = 2a\),
unde \((r_1)\), \((r_2)\) sunt distanțele de la un punct arbitrar \(P\left((x,y) \right)\) al hiperbolei la focarele \((F_1) \) și \( (F_2)\), \(a\) este semiaxa reală a hiperbolei.



Ecuațiile asimptotelor hiperbolelor
\(y = \pm \large\frac(b)(a)\normalsize x\)

Relația dintre semiaxele hiperbolei și distanța focală
\((c^2) = (a^2) + (b^2)\),
unde \(c\) este jumătate din distanța focală, \(a\) este semiaxa reală a hiperbolei, \(b\) este semiaxa imaginară.

Excentricitate hiperbole
\(e = \large\frac(c)(a)\normalsize > 1\)

Ecuații ale directricelor unei hiperbole
Directoarea unei hiperbole este o dreaptă perpendiculară pe axa sa reală și care o intersectează la o distanță \(\large\frac(a)(e)\normalsize\) de centru. O hiperbolă are două directrice, situate pe laturile opuse ale centrului. Ecuațiile directrice au forma
\(x = \pm \large\frac(a)(e)\normalsize = \pm \large\frac(((a^2)))(c)\normalsize\).

Ecuația ramului drept al unei hiperbole în formă parametrică
\(\left\( \begin(aligned) x &= a \cosh t \\ y &= b \sinh t \end(aligned) \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
unde \(a\), \(b\) sunt semiaxele hiperbolei, \(t\) este parametrul.

Ecuația generală a hiperbolei
unde \(B^2 - 4AC > 0\).


Ecuația generală a unei hiperbole ale cărei semi-axe sunt paralele cu axele de coordonate
\(A(x^2) + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
unde \(AC

Hiperbola echilaterală
Hiperbola se numește echilateral , dacă semiaxele sale sunt aceleași: \(a = b\). Pentru o astfel de hiperbolă, asimptotele sunt reciproc perpendiculare. Dacă asimptotele sunt axele de coordonate orizontală și verticală (respectiv, \(y = 0\) și \(x = 0\)), atunci ecuația unei hiperbole echilaterale are forma
\(xy = \large\frac(((e^2)))(4)\normalsize\) sau \(y = \large\frac(k)(x)\normalsize\), unde \(k = \ mare\frac(e^2)(4)\normalsize .\)



Parabolă se numește curbă plană, în fiecare punct al căruia este valabilă următoarea proprietate: distanța până la un punct dat ( focarul unei parabole ) este egală cu distanța până la o linie dreaptă dată ( directrice ale unei parabole ). Se numește distanța de la focalizare la directrice parametrul parabolei și se notează cu \(p\). O parabolă are o singură axă de simetrie, care intersectează parabola la ea top . Ecuația parabolei canonice arata ca
\(y = 2px\).

Ecuația directrice
\(x = - \large\frac(p)(2)\normalsize\),


Coordonatele de focalizare
\(F \left((\large\frac(p)(2)\normalsize, 0) \right)\)

Coordonatele vârfurilor
\(M \left((0,0) \dreapta)\)



Ecuația generală a unei parabole
\(A(x^2) + Bxy + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
unde \(B^2 - 4AC = 0\).


Ecuația unei parabole a cărei axă de simetrie este paralelă cu axa \(Oy\)
\(A(x^2) + Dx + Ey + F = 0\;\left((A \ne 0, E \ne 0) \right) \),
sau în formă echivalentă
\(y = a(x^2) + bx + c,\;\;p = \large\frac(1)(2a)\normalsize\)

Ecuația directrice
\(y = (y_0) - \large\frac(p)(2)\normalsize\),
unde \(p\) este parametrul parabolei.

Coordonatele de focalizare
\(F\left(((x_0),(y_0) + \large\frac(p)(2)\normalsize) \right)\)

Coordonatele vârfurilor
\((x_0) = - \large\frac(b)((2a))\normalsize,\;\;(y_0) = ax_0^2 + b(x_0) + c = \large\frac((4ac - ( b^2)))((4a))\normalsize\)



Ecuația unei parabole cu un vârf la origine și o axă de simetrie paralelă cu axa \(Oy\)
\(y = a(x^2),\;\;p = \large\frac(1)((2a))\normalsize\)

Ecuația directrice
\(y = - \large\frac(p)(2)\normalsize\),
unde \(p\) este parametrul parabolei.

Coordonatele de focalizare
\(F \left((0, \large\frac(p)(2)\normalsize) \right)\)

Coordonatele vârfurilor
\(M \left((0,0) \dreapta)\)

O hiperbolă este locul geometric al punctelor dintr-un plan, modulul diferenței de distanțe de la fiecare dintre ele la două puncte date fiind o valoare constantă mai mică decât distanța dintre aceste puncte date (Fig. 3.40, a). Această definiție geometrică exprimă proprietatea focală a unei hiperbole.

Proprietatea focală a unei hiperbole

Punctele se numesc focare ale hiperbolei, distanța dintre ele este distanța focală, mijlocul segmentului este centrul hiperbolei, numărul este lungimea axei reale a hiperbolei (respectiv, semi-ul real). axa hiperbolei). Segmentele care leagă un punct arbitrar al unei hiperbole cu focarele sale se numesc raze focale ale punctului. Segmentul care leagă două puncte ale unei hiperbole se numește coardă a hiperbolei.

Relația unde , numit excentricitatea hiperbolei. Din definiţie rezultă că.

Definiția geometrică a hiperbolei , care își exprimă proprietatea focală, este echivalentă cu definiția sa analitică - linia dată de ecuația canonică a hiperbolei:

Într-adevăr, să introducem un sistem de coordonate dreptunghiular (Fig. 3.40, b). Luăm centrul hiperbolei ca origine a sistemului de coordonate; Luăm drept axa care trece prin focare (axa focală) drept axa absciselor (direcția pozitivă pe ea de la un punct la altul); Să luăm o dreaptă perpendiculară pe axa absciselor și care trece prin centrul hiperbolei ca axa ordonatelor (direcția pe axa ordonatelor este aleasă astfel încât sistemul de coordonate dreptunghiular să pară drept).

Să creăm o ecuație pentru o hiperbolă folosind o definiție geometrică care exprimă proprietatea focală. În sistemul de coordonate selectat, determinăm coordonatele focarelor și. Pentru un punct arbitrar aparținând unei hiperbole, avem:

Scriind această ecuație sub formă de coordonate, obținem:

Efectuând transformări similare cu cele utilizate în derivarea ecuației elipsei (adică, scăpând de iraționalitate), ajungem la ecuația hiperbolă canonică:

Unde , adică sistemul de coordonate ales este canonic.

Efectuând raționamentul în ordine inversă, putem arăta că toate punctele ale căror coordonate satisfac ecuația (3.50), și numai ele, aparțin locului punctelor numit hiperbolă. Astfel, definiția analitică a unei hiperbole este echivalentă cu definiția ei geometrică.

Proprietatea directorială a unei hiperbole

Directricele unei hiperbole sunt două linii drepte paralele cu axa de ordonate a sistemului de coordonate canonic la aceeași distanță de acesta (Fig. 3.41a). Când, când hiperbola degenerează într-o pereche de drepte care se intersectează, directricele coincid.

O hiperbolă cu excentricitate poate fi definită ca locul punctelor dintr-un plan, pentru fiecare dintre acestea raportul dintre distanța la un punct dat (focalizare) și distanța la o linie dreaptă dată (directrice) care nu trece printr-un punct dat este constantă și egală cu excentricitatea ( proprietatea directorială a unei hiperbole). Aici u este unul dintre focarele hiperbolei și una dintre directricele sale, situate pe o parte a axei ordonatelor sistemului de coordonate canonice.

De fapt, de exemplu, pentru focus și directrix (Fig. 3.41, a) condiția poate fi scrisă sub formă de coordonate:

A scăpa de iraționalitate și a înlocui , ajungem la ecuația canonică a hiperbolei (3.50). Raționament similar poate fi efectuat pentru focus și directrix:

Ecuația unei hiperbole într-un sistem de coordonate polare

Ecuația ramurii drepte a hiperbolei din sistemul de coordonate polare (Fig. 3.41, b) are forma

, Unde - parametrul focal al hiperbolei.

De fapt, să alegem focarul drept al hiperbolei ca pol al sistemului de coordonate polare, iar raza cu originea într-un punct, aparținând dreptei, dar care nu conține punctul, ca axă polară (Fig. 3.41). , b). Atunci pentru un punct arbitrar aparținând ramurii drepte a hiperbolei, conform definiției geometrice (proprietatea focală) a hiperbolei, avem. Exprimăm distanța dintre puncte (vezi paragraful 2 al comentariilor 2.8):

Prin urmare, sub formă de coordonate, ecuația hiperbolei are

Izolăm radicalul, pătram ambele părți ale ecuației, împărțim la 4 și prezentăm termeni similari:

Exprimarea razei polare și efectuarea substituțiilor :

Q.E.D. Rețineți că în coordonatele polare ecuațiile unei hiperbole și ale unei elipse coincid, dar ele descriu linii diferite, deoarece diferă în excentricități (pentru o hiperbolă, pentru o elipsă).

Semnificația geometrică a coeficienților din ecuația hiperbolei

Să găsim punctele de intersecție ale hiperbolei (Fig. 3.42, a) cu axa absciselor (vârfurile hiperbolei). Substituind în ecuație, găsim abscisa punctelor de intersecție:. Prin urmare, vârfurile au coordonate . Lungimea segmentului care leagă vârfurile este egală. Acest segment se numește axa reală a hiperbolei, iar numărul se numește semiaxa reală a hiperbolei. Înlocuind, obținem. Lungimea segmentului axei y care leagă punctele , este egal. Acest segment se numește axa imaginară a hiperbolei, iar numărul se numește semiaxa imaginară a hiperbolei. O hiperbolă intersectează linia care conține axa reală, dar nu intersectează linia care conține axa imaginară.

Note 3.10.

1. Dreaptele limitează dreptunghiul principal pe planul de coordonate, în afara căruia există o hiperbolă (Fig. 3.42, a).

2. Liniile drepte care conțin diagonalele dreptunghiului principal se numesc asimptote ale hiperbolei (fig. 3.42, a).

Pentru hiperbola echilaterală descris de ecuație (adică când), dreptunghiul principal este un pătrat ale cărui diagonale sunt perpendiculare. Prin urmare, asimptotele unei hiperbole echilaterale sunt și ele perpendiculare și pot fi luate ca axe de coordonate ale unui sistem de coordonate dreptunghiular (Fig. 3.42, b). În acest sistem de coordonate, ecuația hiperbolei are forma (hiperbola coincide cu graficul unei funcții elementare care exprimă o relație invers proporțională).

De fapt, să rotim sistemul de coordonate canonic cu un unghi (Fig. 3.42, b). În acest caz, coordonatele punctului în vechiul și noul sistem de coordonate sunt legate prin egalități

Înlocuind aceste expresii în ecuația unei hiperbole echilaterale și aducând termeni similari, obținem

3. Axele de coordonate (ale sistemului de coordonate canonic) sunt axele de simetrie ale hiperbolei (numite axele principale ale hiperbolei), iar centrul acesteia este centrul de simetrie. Într-adevăr, dacă punctul aparține unei hiperbole. atunci aceleiași hiperbole aparțin și punctele simetrice față de punctul relativ la axele de coordonate.

Axa de simetrie pe care se află focarele hiperbolei este axa focală.

4. Din ecuația hiperbolei în coordonate polare (vezi Fig. 3.41, b) se clarifică semnificația geometrică a parametrului focal - aceasta este jumătate din lungimea coardei hiperbolei care trece prin focarul său perpendicular pe axa focală (at).

5. Excentricitatea caracterizează forma unei hiperbole. Cu cât ramurile hiperbolei sunt mai late și cu cât sunt mai aproape de unitate, cu atât ramurile hiperbolei sunt mai înguste (Fig. 3.43, a).

Într-adevăr, mărimea unghiului dintre asimptotele hiperbolei care conține ramura sa este determinată de raportul dintre laturile dreptunghiului principal:. Ținând cont de asta și, obținem

Cu cât numărul este mai mare, cu atât unghiul este mai mare. Pentru o hiperbolă echilaterală avem. Pentru unghi este obtuz, iar pentru unghi este ascuțit (Fig. 3.43, a).

6 . Două hiperbole definite în același sistem de coordonate prin ecuațiile și sunt numite legate între ele. Hiperbolele conjugate au aceleași asimptote (Fig. 3.43b). Ecuația hiperbolei conjugate se reduce la canonic prin redenumirea axelor de coordonate (3.38). 7. Ecuaţie definește o hiperbolă cu centru într-un punct ale cărui axe sunt paralele cu axele de coordonate (Fig. 3.43, c). Această ecuație este redusă la cea canonică folosind translația paralelă (3.36). Ecuaţie definește hiperbola conjugată centrată într-un punct.

Ecuația parametrică a hiperbolei

Ecuația parametrică a unei hiperbole în sistemul de coordonate canonic are forma

Unde - cosinus hiperbolic, a sinus hiperbolic.

Într-adevăr, înlocuind expresiile de coordonate în ecuația (3.50), ajungem la identitatea hiperbolic principală.

Exemplul 3.21. Desenați o hiperbolă în sistemul de coordonate canonic. Găsiți semiaxele, distanța focală, excentricitatea, parametrul focal, ecuațiile asimptotelor și directricelor.

Soluţie. Comparând ecuația dată cu cea canonică, determinăm semiaxele: - semiaxa reală, - semiaxa imaginară a hiperbolei. Construim un dreptunghi de bază cu laturile și un centru la origine (Fig. 3.44). Desenăm asimptote prin extinderea diagonalelor dreptunghiului principal. Construim o hiperbolă, ținând cont de simetria acesteia față de axele de coordonate. Dacă este necesar, determinați coordonatele unor puncte ale hiperbolei. De exemplu, înlocuind hiperbolele în ecuație, obținem

În consecință, punctele cu coordonate și aparțin unei hiperbole. Calcularea distanței focale

excentricitate ; parametru focal . Compunem ecuațiile asimptotelor, adică ecuațiile directricelor: .

Parabola și ecuația ei canonică

Definiţie. O parabolă este locul de puncte pentru fiecare dintre care distanța până la un punct fix din plan, numit focar, este egală cu distanța până la o linie dreaptă fixă ​​care nu trece prin focar și numită directriză.

Definiţie. Distanța de la focarul unei parabole la directriza acesteia se numește parametrul parabolei. Se presupune că excentricitatea parabolei este egală cu unitatea.

Să lăsăm perpendiculara de la focalizare pe directrice și să notăm punctul de intersecție al acestei perpendiculare cu directriza parabolei printr-o literă. Să introducem DPSC în plan, plasând originea coordonatelor în centrul segmentului, luând drept axă, cu direcția pozitivă departe (Vezi Fig. 176).

Notăm distanța de la focalizare la directrice printr-o literă (acesta este un parametru al parabolei). În sistemul de coordonate selectat, focalizarea are coordonatele . Ecuația directrice.

Lasă - punctul arbitrar al planului. Să notăm prin distanța de la punctul la focarul parabolei și prin distanța de la punctul la directrixa acestei parabole.

Punct se află pe parabola dată atunci și

numai când . Deoarece ,

O , atunci ecuația parabolei are forma:

. Această ecuație este echivalentă cu următoarea ecuație: .

Sau: (1)

Definiţie. Ecuația (1) se numește ecuația parabolă canonică.

1. Hiperbola se află în spatele benzii cu laturi x = ± o.

Într-adevăr, conform ecuației hiperbolei, inegalitatea este valabilă

2. Hiperbola este simetrică față de origine și față de axele de coordonate. Aceasta rezultă din faptul că în ecuația hiperbolă variabilele xŞi y incluse în pătrate X 2 și la 2, iar ecuația hiperbolei este satisfăcută de puncte cu coordonate ( X, la),

(− X, la), (X, − la), (− X, − la).

3. O hiperbolă are două asimptote

spre care punctele hiperbolei se apropie pe măsură ce se îndepărtează de origine.

4. Axele de simetrie se numesc axe ale hiperbolei, iar centrul de simetrie (punctul de intersecție al axelor) este centrul hiperbolei. Una dintre axe se intersectează cu hiperbola în două puncte A și C, numite vârfuri. Această axă se numește axa reală a hiperbolei. Cealaltă axă nu are puncte comune cu hiperbola și se numește axa imaginară a hiperbolei. Dreptunghi cu laturile 2 Oși 2 b se numește dreptunghiul de bază al hiperbolei. Cantitati OŞi b se numesc, respectiv, semiaxe reale și imaginare.

5. Hiperbola cu semiaxe egale O = b se numește echilateral și ecuația sa canonică are forma

x 2 − y 2 = o 2 .

Deoarece dreptunghiul de bază al unei hiperbole echilaterale este un pătrat, asimptotele unei hiperbole echilaterale sunt perpendiculare între ele.

Excentricitatea hiperbolei(precum și elipsa) va fi notat cu litera ε. Deoarece Cu > O: atunci ε > 1, adică excentricitatea hiperbolei este mai mare decât unitatea. Evident,

Din ultima egalitate este ușor de obținut interpretarea geometrică a excentricității hiperbolă. Cu cât excentricitatea este mai mică, adică cu cât este mai aproape de unitate, cu atât raportul este mai mic b ⁄ o, ceea ce înseamnă că dreptunghiul principal este mai alungit în direcția axei reale. Astfel, excentricitatea unei hiperbole caracterizează forma dreptunghiului său principal și, prin urmare, forma hiperbolei în sine.

În cazul unei hiperbole echilaterale ( o = b) ε = √2.

OPR 2. . Două drepte perpendiculare pe axa reală a hiperbolei și situate simetric față de centru la distanță O⁄ ε din el se numesc directoare hiperbolă.

Proprietatea stabilită a elipsei și hiperbolei poate fi folosită ca bază definiție generală dintre aceste linii: mulțimea de puncte pentru care raportul distanțelor față de focar și directrixa corespunzătoare este o valoare constantă egală cu ε, este o elipsă dacă ε< 1, и гиперболой, если ε > 1.

Bună ziua, dragi studenți ai Universității Argemona! Bun venit la o altă prelegere despre magia funcțiilor și integralelor.

Astăzi vom vorbi despre hiperbolă. Să începem simplu. Cel mai simplu tip de hiperbolă este:

Această funcție, spre deosebire de linia dreaptă în formele sale standard, are o caracteristică specială. După cum știm, numitorul unei fracții nu poate fi zero, deoarece nu puteți împărți la zero.
x ≠ 0
De aici concluzionăm că domeniul de definiție este întreaga dreaptă numerică, cu excepția punctului 0: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Dacă x tinde spre 0 din dreapta (scris astfel: x->0+), adică. devine foarte, foarte mic, dar rămâne pozitiv, apoi y devine foarte, foarte mare pozitiv (y->+∞).
Dacă x tinde spre 0 din stânga (x->0-), adică. devine foarte, foarte mic în valoare absolută, dar rămâne negativ, atunci y va fi și negativ, dar în valoare absolută va fi foarte mare (y->-∞).
Dacă x tinde spre plus infinit (x->+∞), adică. devine un număr pozitiv foarte mare, atunci y va deveni un număr pozitiv din ce în ce mai mic, adică. va tinde spre 0, rămânând pozitiv tot timpul (y->0+).
Dacă x tinde spre minus infinit (x->-∞), adică. devine mare în modul, dar un număr negativ, atunci y va fi întotdeauna un număr negativ, dar mic în modul (y->0-).

Y, la fel ca x, nu poate lua valoarea 0. El tinde doar spre zero. Prin urmare, setul de valori este același cu domeniul definiției: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Pe baza acestor considerații, putem desena schematic un grafic al funcției

Se poate observa că hiperbola constă din două părți: una este situată în primul unghi de coordonate, unde valorile x și y sunt pozitive, iar a doua parte este în al treilea unghi de coordonate, unde valorile x și y ​sunt negative.
Dacă trecem de la -∞ la +∞, atunci vedem că funcția noastră scade de la 0 la -∞, atunci are loc un salt brusc (de la -∞ la +∞) și începe a doua ramură a funcției, care de asemenea scade, dar de la +∞ la 0. Adică această hiperbolă este în scădere.

Dacă schimbați puțin funcția: utilizați magia minusului,

(1")

Apoi funcția se va muta în mod miraculos de la sferturile 1 și 3 de coordonate la sferturile 2 și 4 și devine în creștere.

Permiteți-mi să vă reamintesc că funcția este crescând, dacă pentru două valori x 1 și x 2 astfel încât x 1<х 2 , значения функции находятся в том же отношении f(х 1) < f(х 2).
Și funcția va fi în scădere, dacă f(x 1) > f(x 2) pentru aceleași valori ale lui x.

Ramurile hiperbolei se apropie de axe, dar nu le intersectează niciodată. Se numesc linii pe care graficul unei funcții se apropie, dar nu le intersectează niciodată asimptotă această funcție.
Pentru funcția noastră (1), asimptotele sunt liniile drepte x=0 (axa OY, asimptotă verticală) și y=0 (axa OX, asimptotă orizontală).

Acum să complicăm puțin cea mai simplă hiperbolă și să vedem ce se întâmplă cu graficul funcției.

(2)

Tocmai am adăugat constanta „a” la numitor. Adăugarea unui număr la numitor ca termen la x înseamnă mutarea întregii „construcții hiperbolice” (împreună cu asimptota verticală) (-a) pozițiile la dreapta dacă a este un număr negativ și (-a) pozițiile la stânga dacă a este un număr pozitiv.

Pe graficul din stânga, la x se adaugă o constantă negativă (a<0, значит, -a>0), ceea ce face ca graficul să se deplaseze la dreapta, iar pe graficul din dreapta există o constantă pozitivă (a>0), datorită căreia graficul este mutat la stânga.

Și ce magie poate afecta transferul „structurii hiperbolice” în sus sau în jos? Adăugarea unui termen constant la o fracție.

(3)

Acum întreaga noastră funcție (ambele ramuri și asimptota orizontală) va crește în pozițiile b în sus dacă b este un număr pozitiv și va coborî în pozițiile b dacă b este un număr negativ.

Vă rugăm să rețineți că asimptotele se mișcă împreună cu hiperbola, adică. hiperbola (ambele ramuri ale sale) și ambele asimptote trebuie considerate ca o structură inseparabilă care se mișcă uniform spre stânga, dreapta, sus sau jos. Este o senzație foarte plăcută când, prin adăugarea unui număr, poți face ca întreaga funcție să se miște în orice direcție. Nu este o magie pe care o poți stăpâni foarte ușor și să-l orientezi la discreția ta în direcția corectă?
Apropo, puteți controla mișcarea oricărei funcții în acest fel. În lecțiile următoare vom consolida această abilitate.

Înainte de a vă atribui teme, aș dori să vă atrag atenția asupra acestei funcții:

(4)

Ramura inferioară a hiperbolei se deplasează de la al 3-lea unghi de coordonate în sus - la al doilea, la unghiul în care valoarea lui y este pozitivă, adică. această ramură este reflectată simetric față de axa OX. Și acum obținem o funcție uniformă.

Ce înseamnă „funcție chiar”? Funcția este numită chiar, dacă este îndeplinită condiția: f(-x)=f(x)
Funcția este numită ciudat, dacă este îndeplinită condiția: f(-x)=-f(x)
În cazul nostru

(5)

Fiecare funcție pară este simetrică față de axa OY, adică. un pergament cu desenul unui grafic poate fi pliat de-a lungul axei OY, iar cele două părți ale graficului vor coincide exact una cu cealaltă.

După cum putem vedea, această funcție are și două asimptote - orizontală și verticală. Spre deosebire de funcțiile discutate mai sus, această funcție crește pe o parte și scade pe de altă parte.

Să încercăm acum să manipulăm acest grafic adăugând constante.

(6)

Amintiți-vă că adăugarea unei constante ca termen la „x” face ca întregul grafic (împreună cu asimptota verticală) să se deplaseze orizontal, de-a lungul asimptotei orizontale (la stânga sau la dreapta, în funcție de semnul acestei constante).

(7)

Și adăugarea constantei b ca termen la o fracție face ca graficul să se miște în sus sau în jos. Este foarte simplu!

Acum încearcă să experimentezi singur această magie.

Tema pentru acasă 1.

Fiecare are două funcții pentru experimentele lor: (3) și (7).
a=prima cifră a LD-ului dvs
b=a doua cifră a LD-ului dvs
Încercați să ajungeți la magia acestor funcții, începând cu cea mai simplă hiperbolă, așa cum am făcut în lecție, și adăugând treptat propriile constante. Puteți modela deja funcția (7) pe baza formei finale a funcției (3). Indicați domeniile de definiție, setul de valori și asimptotele. Cum se comportă funcțiile: scad, crește. Par - impar. În general, încercați să faceți aceeași cercetare ca și la clasă. Poate vei găsi altceva despre care am uitat să vorbesc.

Apropo, ambele ramuri ale celei mai simple hiperbole (1) sunt simetrice față de bisectoarea celui de-al 2-lea și al 4-lea unghi de coordonate. Acum imaginați-vă că hiperbola a început să se rotească în jurul acestei axe. Să obținem o cifră atât de frumoasă, care poate fi folosită.

Sarcina 2. Unde poate fi folosită această cifră? Încercați să desenați o cifră de rotație pentru funcția (4) în raport cu axa sa de simetrie și gândiți-vă unde ar putea găsi o astfel de figură aplicație.

Îți amintești cum la sfârșitul ultimei lecții am obținut o linie dreaptă cu un punct perforat? Și iată-l pe ultimul sarcina 3.
Construiți un grafic al acestei funcții:

(8)

Coeficienții a, b sunt aceiași ca în sarcina 1.
c=a treia cifră a LD sau a-b dacă LD este de două cifre.
Un mic indiciu: mai întâi, fracția obținută după înlocuirea numerelor trebuie simplificată, iar apoi veți obține o hiperbolă obișnuită, pe care trebuie să o construiți, dar în final trebuie să țineți cont de domeniul de definire al expresiei originale.

Hiperbolă este o curbă plană de ordinul doi care constă din două curbe separate care nu se intersectează.
Formula hiperbolă y = k/x, cu condiția ca k nu egali 0 . Adică, vârfurile hiperbolei tind spre zero, dar nu se intersectează niciodată cu ea.

Hiperbolă- acesta este un set de puncte pe plan, modulul diferenței de distanțe de la două puncte, numite focare, este o valoare constantă.

Proprietăți:

1. Proprietate optică: lumina de la o sursă situată într-unul dintre focarele hiperbolei este reflectată de a doua ramură a hiperbolei în așa fel încât prelungirile razelor reflectate se intersectează la al doilea focar.
Cu alte cuvinte, dacă F1 și F2 sunt focarele hiperbolei, atunci tangenta în orice punct X al hiperbolei este bisectoarea unghiului ∠F1XF2.

2. Pentru orice punct situat pe o hiperbolă, raportul dintre distanțe de la acest punct la focar și distanța de la același punct la directrice este o valoare constantă.

3. Hiperbola are simetria în oglindă față de axele reale și imaginare, și de asemenea simetria rotationala când este rotit printr-un unghi de 180° în jurul centrului hiperbolei.

4. Fiecare hiperbolă are hiperbola conjugată, pentru care axele reale și cele imaginare își schimbă locurile, dar asimptotele rămân aceleași.

Proprietățile unei hiperbole:

1) O hiperbolă are două axe de simetrie (axele principale ale hiperbolei) și un centru de simetrie (centrul hiperbolei). În acest caz, una dintre aceste axe se intersectează cu hiperbola în două puncte, numite vârfurile hiperbolei. Se numește axa reală a hiperbolei (axa Oh pentru alegerea canonică a sistemului de coordonate). Cealaltă axă nu are puncte comune cu hiperbola și se numește axa ei imaginară (în coordonate canonice - axa Oh). Pe ambele părți ale acesteia se află ramurile din dreapta și din stânga hiperbolei. Focarele unei hiperbole sunt situate pe axa ei reală.

2) Ramurile hiperbolei au două asimptote, determinate de ecuații

3) Alături de hiperbola (11.3), putem considera așa-numita hiperbola conjugată, definită de ecuația canonică

pentru care axa reală și cea imaginară sunt schimbate în timp ce se păstrează aceleași asimptote.

4) Excentricitatea hiperbolei e> 1.

5) Raportul distanței r i de la punctul de hiperbolă la focalizare F i la distanta d i din acest punct până la directriza corespunzătoare focarului este egală cu excentricitatea hiperbolei.

42. Hiperbolă este mulțimea de puncte din plan pentru care este modulul diferenței de distanțe la două puncte fixe F 1 și F 2 din acest avion, numit trucuri, este o valoare constantă.

Să derivăm ecuația canonică a unei hiperbole prin analogie cu derivarea ecuației unei elipse, folosind aceeași notație.

|r 1 - r 2 | = 2o, de unde Dacă notăm b² = c² - o², de aici puteți obține

- ecuația canonică a hiperbolei. (11.3)

Locul punctelor pentru care raportul dintre distanța la focalizare și la o linie dreaptă dată, numită directrixă, este constant și mai mare decât unu se numește hiperbolă. Constanta dată se numește excentricitatea hiperbolei

Definiția 11.6.Excentricitate o hiperbolă se numește mărime e = c/a.

Excentricitate:

Definiția 11.7.Directoarea D i hiperbola corespunzătoare focarului F i, se numește dreptă situată în același semiplan cu F i raportat la axa Oh perpendicular pe ax Oh la distanta a/e de la origine.

43. Cazul unei hiperbole conjugate, degenerate (NU COMPLET)

Fiecare hiperbolă are hiperbola conjugată, pentru care axele reale și cele imaginare își schimbă locurile, dar asimptotele rămân aceleași. Aceasta corespunde înlocuirii oŞi b unul peste altul într-o formulă care descrie o hiperbolă. Hiperbola conjugată nu este rezultatul rotirii hiperbolei inițiale printr-un unghi de 90°; ambele hiperbole diferă ca formă.

Dacă asimptotele unei hiperbole sunt reciproc perpendiculare, atunci hiperbola se numește echilateral . Două hiperbole care au asimptote comune, dar cu axele transversale și conjugate rearanjate, se numesc se conjugă reciproc .