Determinarea funcției de transfer W(p). Funcția de putere

Fie z=x+iyЄC, apoi, prin definiție, e z =e x (cos(y)+i∙sin(y)).

Funcția w=e z este definită pe întregul C, este analitică pe C, deoarece

W=u+iv=e x (cos(y)+i∙sin(y)) _ (u=e x cos(y), v=e x sin(y)] _ u,vЄC 1 (R 2) și condițiile sunt întâlnite Cauchy-Riemann: ∂u/∂x=e x cos(y), ∂v/∂y=e x cos(y), ∂u/∂y=-e x sin(y), ∂x/∂x=e x sin( y) _ (∂y/∂x=∂v/∂y, ∂u/∂y=-∂v/∂x] _ w=e z – funcţie analitică pe S. (e z)"=∂(e x ( cos( y)+i∙sin(y)))/∂x=e x (cos(y)+i∙sin(y))=e z .

sz 1 ,z 2 ЄC e z 1 ∙e z 2 =e z 1+ z 2 , deoarece e z 1 ∙e z 2 =e x 1 (cos(y 1)+i∙sin(y 1)), e x 2 =(cos(y 2)+i∙sin(y 2))=e x 1+ x 2 (cos (y 1 +y 2)+i∙sin(y 1 +y 2))=e z 1+ z 2. Când z=x, se obține restricția funcției w=e z la linia reală - funcția e x.

Funcția w=e z este periodică cu perioada T=2πi, e z +2π i =e z ∙e 2π i , e 2π i =e 0 (cos(2π)+i∙sin(2π))=1 _ e z +2π i =e z , szЄC.

Fie e z 1 =e z 2, înmulțiți cu e - z 2: e z1-z2 =1. Numărul z 1 -z 2 =T 1 +i∙T 2 _ e T 1+ i ∙ T 2 =1 _ e T 1 (cosT 2 +i∙sinT 2)=1; e T 1 =1, costT 2 =1, sinT 2 =0 _ T 1 =0, T 2 =2πk _z 1 -z 2 =2πki _ T=2πi – perioada. Prin urmare, dacă regiunea D nu conține puncte z 1 și z 2 astfel încât z 1 -z 2 =2πki, kЄZ, atunci regiunea D este regiunea cu o singură sarcină a funcției w=e z. Pentru D puteți lua a se vedea Fig.

Mai multe despre subiectul 6. Funcția exponențială w=ez și principalele sale proprietăți:

1 Concept, proprietăți de bază și clasificare a științei juridice. Metodologia TGP.
Proprietățile de bază ale tumorilor. Patologia mitozei și apoptozei.
39. Descrieți scopurile și funcțiile companiilor de asigurări. Formulați direcțiile principale ale activităților de asigurare.
Propoziții cu membri izolați (conceptul de izolare; funcțiile membrilor izolați ai unei propoziții). Condiții de bază de separare. Varietăți de membri izolați și revoluții.

Material de pe Wikipedia - enciclopedia liberă

$W$ -Funcția Lambert este definită ca funcție inversă a $f(w)=w e^w$ , pentru complex $w$ . Desemnat $W(x)$ sau $\operatorname(LambertW)(x)$ . Pentru orice complex $z$ este determinat de ecuația funcțională:

$z=W(z) e^(W(z))$

$W$ -Funcția Lambert nu poate fi exprimată în funcții elementare. Este folosit în combinatorică, de exemplu, în numărarea numărului de arbori, precum și în rezolvarea ecuațiilor.

Poveste

Funcția a fost studiată în lucrarea lui Leonhard Euler în 1779, dar nu a avut un sens și un nume independent până în anii 1980. A fost introdus ca o funcție independentă în sistemul de algebră computerizată Maple, unde a fost folosit numele LambertW. Numele Johann Heinrich Lambert a fost ales pentru că Euler s-a referit la opera lui Lambert în lucrarea sa și pentru că „numirea unei alte funcții după Euler ar fi inutil”.

Polisemie

Din moment ce funcţia $f(w)$ nu este injectiv pe interval $(-\infty,0)$ , $W(z)$ este o funcție multivalorică pe $[-\frac(1)(e),0)$ . Dacă ne limităm la real $z = x\geqslant-1/e$ și cerere $w\geqslant -1$ , va fi definită o funcție cu o singură valoare $W_0(x)$ .

Asimptotice

Este util să cunoaștem comportamentul asimptotic al funcției pe măsură ce se apropie de anumite puncte cheie. De exemplu, pentru a accelera convergența atunci când se efectuează calcule recurente.

$\left.W(z)\right|_(z \to \infty) = \log(z)-\log(\log(z))$

$\left.W(z)\right|_(z \to -\frac(1)(e)) = \sqrt( 2 (ez + 1) )-1$

Alte formule

\int_(0)^(\pi) W\bigl(2\cot^2(x) \bigr)\sec^2(x)\;\mathrm dx = 4\sqrt(\pi)

\int_(0)^(+\infty) W\left(\frac(1)(x^2)\right)\;\mathrm dx = \sqrt(2\pi)

\int_(0)^(+\infty) \frac(W(x))(x\sqrt(x))\mathrm dx = 2\sqrt(2\pi)

Proprietăți

Prin diferențierea funcției implicite, putem obține că atunci când $z\ne -\tfrac(1)(e)$ Funcția Lambert satisface următoarea ecuație diferențială:

$(dW\peste dz) = \frac(1)(z) \frac(W(z))(W(z)+1).$ $e^(-c x) = a_o (x-r_1) (x-r_2) ~~\qquad\qquad(2)$ si unde sunt constantele r 1 și r 2 sunt rădăcinile acestui polinom pătratic. În acest caz, soluția acestei ecuații este o funcție cu argument x, A r eu si o o sunt parametrii acestei funcții. Din acest punct de vedere, deși această aplicație generalizată a funcției Lambert W seamănă cu funcția hipergeometrică și cu funcția „Meijer G”, ea aparține unui tip diferit de funcție Când r 1 = r 2, atunci ambele părți ale ecuației (2) pot fi simplificate la ecuația (1), și astfel solutie generala simplifică la o funcție W standard. Ecuația (2) arată relațiile definitorii în câmpul dilaton scalar, din care urmează soluția problemei de măsurare a gravitației liniare a corpurilor perechi în dimensiuni 1+1 (măsurarea spațiului și măsurarea timpului) în cazul maselor inegale. , precum și soluția la problema ecuației staționare bidimensionale Schrödinger cu un potențial sub forma funcției delta Dirac pentru sarcini inegale într-o dimensiune. $e^(-c x) = a_o \frac(\displaystyle \prod_(i=1)^(\infty) (x-r_i))(\displaystyle \prod_(i=1)^(\infty) (x-s_i )) \qquad \qquad\qquad(3)$ Unde r eu si s eu sunt constante și x este o funcţie între energie internă iar distanța în interiorul nucleului R. Ecuația (3), precum și formele ei simplificate exprimate în ecuațiile (1) și (2), sunt de tipul ecuații diferențiale cu întârziere.

Aplicațiile funcției W Lambert în problemele de bază ale fizicii nu se limitează la ecuație standard(1), așa cum sa arătat recent în domeniile fizicii atomice, moleculare și optice.

Calcul

$W$ -funcția poate fi calculată aproximativ folosind relația de recurență:

w_(j+1)=w_j-\frac(w_j e^(w_j)-z)(e^(w_j)(w_j+1)-\frac((w_j+2)(w_je^(w_j)-z) ) (2w_j+2))

Exemplu de program în Python:

import matematică def lambertW(x, prec=1e-12): w = 0 pentru i în xrange(100): wTimesExpW = w*math.exp(w) wPlusOneTimesExpW = (w+1)*math.exp(w) w -= (wTimesExpW-x)/(wPlusOneTimesExpW-(w+2)*(wTimesExpW-x)/(2*w+2)) if (prec > abs((x-wTimesExpW)/wPlusOneTimesExpW)): pauză dacă ( prec<= abs((x-wTimesExpW)/wPlusOneTimesExpW)): raise Exception, "W(x) не сходится достаточно быстро при x=%f" % x return w

Pentru un calcul aproximativ, puteți folosi formula: !!!Funcția dată este similară, dar diferită cu peste 10% de funcția Lambert

W(x) \aproximativ \left\( \begin(matrix) 0(,)665\cdot (1+0(,)0195\ln(x+1))\ln(x+1) + 0(,) 04 & \ :\ & 0 500 \\ \end(matrice) \right.

Scrieți o recenzie despre articolul „Funcția W a lui Lambert”

Legături

Corless și colab. (1996). „”. Adv. Matematică computațională. 5 : 329-359.
T. C. Scott, R. B. Mann (2006). „”. AAECC (Algebră aplicabilă în inginerie, comunicare și calcul) 17 (1): 41–47. DOI:10.1007/s00200-006-0196-1.
T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst (2013). „”. SIGSAM (Grupul de interes special ACM în manipulare simbolică și algebrică) 47 (185): 75–83.
T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst, W. Z. Zhang (2014). „”. SIGSAM 48 (1/2): 42–56.
P. S. Farrugia, R. B. Mann, T. C. Scott (2007). „”. Clasă. Grav cuantic. 24 (18): 4647–4659. DOI:10.1088/0264-9381/24/18/006.
T. C. Scott, M. Aubert-Frécon, J. Grotendorst (2006). „”. Chim. Fiz. 324 : 323–338. DOI:10.1016/j.chemphys.2005.10.031.
Maignan, Aude (2016). „Dezvoltarea funcției generalizate Lambert W”. SIGSAM 50 (2): 45–60. DOI:10.1145/2992274.2992275.
T. C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini, J. D. Morgan III (2007). „Suprafețele nodale ale funcțiilor proprii ale atomului de heliu”. Fiz. Rev. O 75 : 060101. DOI:10.1103/PhysRevA.75.060101.
in pachet

Un fragment care caracterizează funcția W Lambert

- Iar celălalt austriac, cu el, era parcă mânjit cu cretă. Ca făina, albă. Eu ceai, cum se curăță muniția!
- Ce, Fedeshow!... a spus că atunci când au început luptele, ai stat mai aproape? Toți au spus că Bunaparte însuși stă în Brunovo.
- Bunaparte merită! el minte, prostule! Ce nu știe el! Acum prusacul se revoltă. Austriecul, așadar, îl liniștește. De îndată ce face pace, atunci războiul se va deschide cu Bunaparte. Altfel, spune el, Bunaparte stă în Brunovo! Asta arată că este un prost. Ascultă mai mult.
- Uite, al naibii de locatari! A cincea companie, uite, deja se transformă în sat, vor găti terci și tot nu vom ajunge la locul.
- Dă-mi un biscuit, la naiba.
- Mi-ai dat tutun ieri? Asta e, frate. Ei bine, iată-ne, Dumnezeu să fie cu tine.
„Măcar au făcut o oprire, altfel nu vom mânca pentru încă cinci mile.”
– A fost frumos cum ne-au dat nemții cărucioare. Când pleci, știi: este important!
„Și aici, frate, oamenii au devenit complet turbați.” Totul acolo părea a fi un polonez, totul era din coroana rusă; iar acum, frate, a devenit complet german.
– Compozitorii înainte! – s-a auzit strigătul căpitanului.
Și douăzeci de oameni au fugit din diferite rânduri în fața companiei. Toboșarul a început să cânte și s-a întors cu fața către compozitori și, făcându-și mâna, a început un cântec de soldat întins, care începea: „Nu-i așa că s-a răsărit soarele...” și s-a încheiat cu cuvintele: „Așadar, fraților, va fi glorie pentru noi și pentru tatăl lui Kamensky...” Acest cântec a fost compus în Turcia și acum a fost cântat în Austria, doar cu schimbarea că în locul „tatălui lui Kamensky” au fost introduse cuvintele: „Cutuzov tată.”
Smulând aceste ultime cuvinte ca un soldat și fluturând cu mâinile, de parcă ar arunca ceva la pământ, toboșarul, un soldat uscat și frumos de vreo patruzeci de ani, s-a uitat cu severitate la compozitorii soldaților și a închis ochii. Apoi, asigurându-se că toate privirile erau ațintite asupra lui, păru că ridică cu atenție cu ambele mâini un lucru invizibil și prețios deasupra capului său, îl ținu așa câteva secunde și îl aruncă brusc cu disperare:
O, tu, baldachinul meu, baldachinul meu!
„Noul meu baldachin...”, au răsunat douăzeci de voci, iar deținătorul lingurii, în ciuda greutății muniției, a sărit repede înainte și a mers înapoi în fața companiei, mișcându-și umerii și amenințănd pe cineva cu lingurile. Soldații, fluturând cu brațele în ritmul cântecului, mergeau cu pași lungi, lovindu-și involuntar picioarele. Din spatele companiei s-au auzit zgomote de roți, scrâșnet de arcuri și călcarea în picioare a cailor.
Kutuzov și alaiul lui se întorceau în oraș. Comandantul-șef a făcut semn ca poporul să continue să meargă în voie, iar pe chipul lui și pe toate fețele alaiului i s-a exprimat plăcere la sunetele cântecului, la vederea soldatului dansator și a soldaților de compania mergând vesel și vioi. În al doilea rând, din flancul drept, din care trăsura a depășit companiile, unul a atras involuntar privirea unui soldat cu ochi albaștri, Dolokhov, care mai ales vioi și grațios mergea în ritmul cântecului și se uita la chipurile lui. cei care treceau cu o asemenea expresie, de parca i-ar fi rau de toti cei care nu au mers in acest moment cu firma. Un cornet de husar din alaiul lui Kutuzov, imitându-l pe comandantul regimentului, a căzut în spatele trăsurii și s-a dus până la Dolokhov.
Husarul cornet Jherkov la un moment dat din Sankt Petersburg a aparținut acelei societăți violente conduse de Dolokhov. În străinătate, Jherkov l-a întâlnit pe Dolokhov ca soldat, dar nu a considerat necesar să-l recunoască. Acum, după conversația lui Kutuzov cu bărbatul retrogradat, s-a întors către el cu bucuria unui vechi prieten:
- Dragă prietene, ce mai faci? – spuse el la auzul cântecului, potrivind pasul calului său cu pasul companiei.
- Cum sunt? - răspunse Dolokhov rece, - după cum vezi.
Cântecul plin de viață a dat o semnificație deosebită tonului de veselie obraznică cu care vorbea Jherkov și răcelii deliberate a răspunsurilor lui Dolokhov.
- Ei bine, cum te înțelegi cu șeful tău? – a întrebat Jherkov.
- Nimic, oameni buni. Cum ai intrat în sediu?
- Detaşat, la datorie.
Au tăcut.
„A eliberat un șoim din mâneca dreaptă”, a spus cântecul, stârnind involuntar un sentiment vesel și vesel. Conversația lor ar fi fost probabil diferită dacă nu ar fi vorbit în sunetul unui cântec.
– Este adevărat că austriecii au fost bătuți? – a întrebat Dolokhov.
„Diavolul îi cunoaște”, spun ei.
„Mă bucur”, a răspuns Dolokhov scurt și clar, așa cum cerea cântecul.
„Ei bine, vino la noi seara, îl vei amanet pe faraon”, a spus Jherkov.
– Sau ai o grămadă de bani?
- Vino.
- Este interzis. Am făcut un jurământ. Nu beau și nu pariez până nu reușesc.
- Ei bine, trec la primul lucru...
- Vom vedea acolo.
Din nou au tăcut.
„Intrați dacă aveți nevoie de ceva, toată lumea de la sediu vă va ajuta...”, a spus Jherkov.
Dolokhov rânji.
- Ar fi bine să nu-ți faci griji. Nu voi cere nimic de care am nevoie, o voi lua eu.
- Ei bine, sunt atât de...
- Ei bine, la fel sunt.
- La revedere.
-Fii sănătos...
... și sus și departe,
Pe partea gazdă...
Jherkov și-a atins pintenii de cal, care, emoționat, a dat cu piciorul de trei ori, neștiind cu care să înceapă, s-a descurcat și a plecat în galop, depășind compania și ajungând din urmă trăsura, tot în ritmul cântecului.

Revenind de la recenzie, Kutuzov, însoțit de generalul austriac, a intrat în biroul său și, chemându-l pe adjutant, a poruncit să i se dea niște hârtii referitoare la starea trupelor sosite și scrisori primite de la arhiducele Ferdinand, care comanda armata înaintată. . Prințul Andrei Bolkonsky a intrat în biroul comandantului șef cu actele necesare. Kutuzov și un membru austriac al Gofkriegsrat s-au așezat în fața planului așezat pe masă.
— Ah... spuse Kutuzov, uitându-se înapoi la Bolkonsky, de parcă cu acest cuvânt l-ar fi invitat pe adjutant să aștepte și a continuat conversația pe care o începuse în franceză.
„Spun doar un lucru, domnule general”, a spus Kutuzov cu o grație plăcută a expresiei și a intonației, care te-a forțat să asculți cu atenție fiecare cuvânt rostit pe îndelete. Era clar că lui Kutuzov însuși îi plăcea să se asculte. „Spun un singur lucru, domnule general, că dacă problema ar depinde de dorința mea personală, atunci voința Majestății Sale împăratului Franz s-ar fi împlinit cu mult timp în urmă.” M-aș fi alăturat Arhiducelui de mult. Și credeți onoarea mea, ar fi o bucurie pentru mine personal să predau comanda cea mai înaltă a armatei unui general mai priceput și mai priceput decât mine, din care Austria este atât de abundentă, și să renunț la toată această grea responsabilitate. Dar circumstanțele sunt mai puternice decât noi, generale.
Și Kutuzov a zâmbit cu o expresie de parcă ar fi spus: „Ai tot dreptul să nu mă crezi și nici măcar mie nu-mi pasă deloc dacă mă crezi sau nu, dar nu ai niciun motiv să-mi spui asta. Și asta este ideea.”
Generalul austriac părea nemulțumit, dar nu s-a putut abține să nu-i răspundă lui Kutuzov pe același ton.
„Dimpotrivă”, a spus el pe un ton morocănos și supărat, atât de contrar sensului măgulitor al cuvintelor pe care le spunea, „dimpotrivă, participarea Excelenței Voastre la cauza comună este foarte apreciată de Majestatea Sa; dar credem că încetinirea actuală îi lipsește pe glorioasele trupe rusești și pe comandanții lor-șefi de lauri pe care sunt obișnuiți să-i culeagă în lupte”, își încheie el fraza aparent pregătită.
Kutuzov se înclină fără să-și schimbe zâmbetul.
„Și sunt atât de convins și, pe baza ultimei scrisori cu care Alteța Sa Arhiducele Ferdinand m-a onorat, presupun că trupele austriece, sub comanda unui asistent atât de priceput precum generalul Mack, au câștigat acum o victorie decisivă și nu mai au nevoie de ajutorul nostru”, a spus Kutuzov.
Generalul se încruntă. Deși nu au existat vești pozitive despre înfrângerea austriecilor, au fost prea multe împrejurări care au confirmat zvonurile generale nefavorabile; și, prin urmare, presupunerea lui Kutuzov despre victoria austriecilor era foarte asemănătoare cu ridicolul. Dar Kutuzov a zâmbit blând, tot cu aceeași expresie, care spunea că are dreptul să-și asume asta. Într-adevăr, ultima scrisoare pe care a primit-o de la armata lui Mac l-a informat despre victoria și cea mai avantajoasă poziție strategică a armatei.

Departamentul Sisteme Informaţionale de Management

Curs de automatizare pe tema: „Analiza și sinteza unui sistem de control automat”.

Finalizat:

Opțiunea 7

Verificat:

Moscova 2008

Introducere 4

Calcul și partea grafică: 6

1. Determinarea funcției de transfer W(p) 6

2.Definiția funcției de transfer W(p) 7

3. Determinarea funcției de transfer W(p) 9

4. Determinarea funcției de transfer W(p) 10

5. Calculul procesului tranzitoriu al parametrului controlat în ACS 13

6. Determinarea indicatorilor de calitate de control și a parametrului maxim reglat. 15

7. Determinarea indicatorilor de calitate ai reglementărilor 15

8. Construcția LFC a părții neschimbabile a ACS în buclă deschisă 15

9. Construirea LFC-ului dorit 17

10. Determinarea LFC unitatea corectivă 19

11.Definiția funcției de transfer sistem de control autopropulsat în buclă deschisă conform LFC dorit 19

12.Definiția funcției de transfer unitate corectiva conform LAC 20

13. Calculul procesului tranzitoriu al ACS ajustat 21

14. Determinarea marjei de stabilitate a ACS ajustat în termeni de amplitudine și fază. 21

15. Determinarea indicatorilor de calitate ai reglementării SCA ajustate 23

Concluzia 25

Lista surselor utilizate 26
INTRODUCERE

Controlul automat este cel mai eficient principiu al automatizării în automatizarea parțială, atunci când mijloacele tehnice de automatizare îndeplinesc doar funcții simple de control asociate cu măsurarea, analiza, controlul diferitelor cantități fizice și prelucrarea deciziilor luate de operator sub formă de setări, programe sau alte semnale de control.

Automatizarea parțială a fost înlocuită cu automatizarea complexă, atunci când automatizarea se realizează nu numai a funcțiilor de control, ci și a celor cauzate de generarea acestor semnale sau de luarea deciziilor pe baza obiectivelor de control. În prezent, sistemele de control automat (ACS) sunt principalele mijloace tehnice pentru crearea de unități de producție automatizate, ateliere și procese tehnologice.

Complexitatea sistemelor automate moderne a crescut semnificativ. Dacă în perioada de automatizare parțială au constat, de obicei, sisteme de control automate separate, a căror coordonare reciprocă a acțiunilor a fost efectuată de oameni, acum este nevoie de coordonarea automată a acțiunilor lor și, în consecință, de crearea unor complexe interconectate și interconectate. sisteme de control automat pe mai multe niveluri (ACS). Mai mult, la primul nivel sunt studiate și automatizate procese de control local relativ simple, iar la al doilea și nivelurile ulterioare sunt studiate și automatizate procese de control mai generale și mai complexe.

În teoria controlului automat, se pot distinge două sarcini caracteristice:

· într-un SCA dat, găsirea și evaluarea proceselor tranzitorii este sarcina de a analiza SCA;

· să dezvolte un ACS bazat pe procese tranzitorii date și pe principalii indicatori - aceasta este sarcina de a sintetiza un ACS.

A doua sarcină este mai dificilă din cauza ambiguității sale, mult este determinată de abilitățile creative ale designerului. Prin urmare, sarcina sintetizării sistemelor automate de control este de obicei stabilită într-o manieră limitată. Se presupune că partea principală a sistemului este deja specificată, ceea ce este de obicei cazul. Este necesară sintetizarea legăturilor corective, de ex. selectați schema și parametrii acestora. În acest caz, este necesar ca, ca urmare a corectării ACS, să fie asigurată marja de stabilitate necesară, acuratețea controlului în regimurile staționare și calitatea controlului în modurile dinamice.

Sinteza sistemelor automate este principala si practic cea mai importanta aplicare a rezultatelor obtinute de teoria reglarii si controlului automat.

Sinteza unui sistem este alegerea structurii sale și a elementelor constitutive - natura lor fizică, designul și parametrii. În acest caz, proprietățile sistemului trebuie să satisfacă anumite cerințe prestabilite. Atât cerințele generale de inginerie sunt prezentate în raport cu dimensiunile, greutatea, costul, fiabilitatea etc., cât și cerințele specifice - la proprietățile statice și dinamice ale sistemului, la calitatea reglementării.

Obiectivul acestui curs este de a analiza un anumit sistem automat de control și sinteza ulterioară a acestuia pentru a-și îmbunătăți proprietățile.

Luați în considerare funcția de putere

Orez. 23

Unde n- număr natural. Derivat w" = nzn ~ 1 există și este diferit de zero în toate punctele z f 0, z f oo. Prin urmare, maparea efectuată de funcția (10.1) este conformă în toate punctele cu excepția z = 0 h z = oo. Dacă notăm variabilele zŞi wîn formă demonstrativă, z = re l w - re 1в, atunci (10.1) duce la egalități

(am luat deja în considerare maparea (10.1) pentru acest caz n= 2 în exemplul 5.1). Din aceasta este clar că cercurile z = g se transformă în cercuri |-w| = g", unghi 0 ip a 2 el/n, cu un vârf la origine, situat în planul variabilei z, este afișat la unghiul 0 în planul w. În consecință, conformitatea mapării este încălcată la punct z =0 : unghiurile din acest punct cresc atunci când sunt afișate în n dată. Este ușor de arătat că maparea (10.1) nu este conformă la punct z = oo(Încearcă singur asta).

Lasă punctele zŞi z-2 sunt astfel încât Z2 = n^2. Ușor de văzut

ce crezi Z f 22, și Zo= g”e /n cu vârful la origine.

Pentru a introduce funcția de putere inversă, avem nevoie de următoarele definiții.

Funcția multivalorică a unei variabile complexe este regula (legea) conform căreia un număr complex z din multi D se potrivește cu mai multe (posibil la infinit) numere complexe w.

Toate funcțiile discutate mai devreme (cu excepția funcției Argz) au fost cu o singură valoare. Funcția Argz este multivalorică:

unde argz este valoarea principală a argumentului și la - orice număr întreg. În continuare, sub termenul funcţie, folosit fără nicio explicație, implică o funcție lipsită de ambiguitate; polisemia funcţiilor studiate va fi întotdeauna specificată suplimentar.

Fie funcția w = f(z) afișează zona D pe regiune E. Inversa funcţiei w = f(z) numită funcție (în general vorbind, cu mai multe valori) z = g(w), definite pe zonă E, care pentru fiecare număr complex w € E se potrivește cu toate numerele complexe z € D, astfel încât f(z) = w.

Cu alte cuvinte, funcția inversă a w = f(z),- aceasta este regula conform căreia fiecare punct w € E toate prototipurile sale corespund z € D.

Dacă funcţia Şi)= /(r) este univalent în D, atunci funcția inversă este cu o singură valoare (și, de asemenea, univalentă) în E Dacă w = f(z) nu este univalent, atunci funcția inversă va fi multivalorică. De exemplu, inversul funcției w = z n este o funcție cu mai multe valori z - a/a: Fiecare valoare a lui w, diferită de 0 și oo, îi corespunde n rădăcini diferite al n-lea grade determinate prin formula (2.12). Numerele 0 și oc au fiecare o rădăcină: >/0 = 0, >/oo = oo.

Teorema 10.1. Fie funcția w = f(z) univalentă și apolitică în domeniul D, mapați D pe domeniul E și f"(z) φ 0. Atunci funcția inversă z = g(w) este și ea apolitică în domeniul E și

Dovada. Să reparăm un punct arbitrar z € Dși luați creșterea Az f 0. Apoi, din cauza univalenței funcției w= /(g), increment corespunzător Aw = f(z + Az) - f(z) de asemenea, nu este egal cu zero. De aceea

Din moment ce funcţia w = f(z) ana/shtichnaya, atunci este continuu la punct z. Prin urmare, Aw-> 0 la Az-> 0, iar din cauza unu-la-unității este valabil și invers: Az-y 0 la Aw-> 0. De aici

Q.E.D.

Argumentul funcției z = g(tv), verso w =/(-r), este o variabilă w. Deoarece un argument de funcție este adesea notat cu 2, pentru uniformitate variabilele sunt notate cu 2 zŞi w si scrie w = g(z). De exemplu, funcția inversă la w = z n va fi scris ca w = yfz.

Să aruncăm o privire mai atentă asupra funcției w = y/z. După cum sa menționat mai sus, are mai multe valori. Cu toate acestea, este posibil să se definească această funcție pe un set al unui dispozitiv mai complex decât planul complex, pe care funcția w = y/z va deveni unu-la-unu și continuu. Să descriem setul corespunzător. Să luăm n copii („coli”) Do, D,..., D n -i plan complex, tăiați de-a lungul semiaxei pozitive și plasați-le unul deasupra celuilalt (în Fig. 24, O cazul prezentat n= 4). Apoi acea margine este deschisă

Orez. 24, O

dincolo de zona de care ne apropiem de sub fascicul OH(adică, dar semiplane la D lipit de marginea superioară a zonei tăiate D-2 etc până lipim marginea de jos a tăieturii D n -h cu marginea superioară a tăieturii Dn -. Acum vom lipi marginea inferioară liberă rămasă a zonei tăiate Dn-(în Fig. 24, O acesta este D 3) cu marginea superioară a zonei tăiate Do-În spațiul tridimensional, o astfel de lipire nu poate fi efectuată fără intersectarea foilor intermediare cu lipirile deja realizate. Dar vom fi de acord să considerăm această lipire ca fiind disjunsă de cele anterioare (adică, punctele acestei lipiri sunt considerate diferite de punctele altor lipiri). Suprafața rezultată este prezentată în fig. 24, 6 . Se numește Suprafata Riemann funcții w = fz. Deasupra fiecărui punct al planului complex, diferit de 0 și os, este situat exact n puncte ale suprafeței Riemann. Puncte X> 0 al semiaxei reale nu face excepție, deoarece toate lipirile situate deasupra acesteia sunt considerate disjunse. Doar două puncte nu au această proprietate: z = 0 și z = os. Toate foile suprafeței Riemann sunt considerate a fi lipite în punctele situate deasupra punctelor z= 0 și z= oo.

Să definim acum funcția w = s/z pe suprafața Riemann construită. Să ne amintim că dacă z- re,v? , atunci asta este a n-a rădăcini grade de la z sunt determinate prin formula (2.12):

Orez. 24, b

Colţ y> in aceasta formula puteti alege din orice interval de lungime 27g; este convenabil să presupunem că 0 ^ ip

La puncte z = re t culcat pe cearceaf Doși lipirea Do cu D n _1, potrivim valoarea rădăcinii cu La= 0; puncte întinse pe cearșaf D 1 și lipire D c Do, - valoarea rădăcinii c La= 1. În general, punctele situate pe D* pentru 1 ^ La ^ n- 1, iar lipirea D* cu D*._i corespunde valorii rădăcinii cu data La. Corespondența construită va fi o funcție cu o singură valoare pe suprafața Riemann.

Este ușor de arătat că această funcție mapează suprafața Riemann unu-la-unu pe întregul plan complex. într-adevăr,

~ - * 2TG* 27g(&+1) „ -

foaie si sa va fi afișat în colț

Să arătăm că această mapare este, de asemenea, continuă. Dacă punctul z se află pe foaia D* cu o tăietură, apoi continuitatea în acest punct urmează direct din formula (10.3) cu un fix La. Pentru demonstrație

continuitate la punctele de lipire, consideram un contur pe o suprafata Riemann formata din puncte situate deasupra cercului z= 1 plan complex. Să începem să ocolim acest contur din punctul g, situat pe marginea superioară a foii tăiate De. Deoarece r = 1, cr = 0, La= 0, atunci w = y/z= 1. Când ocolim prima tură a conturului de pe foaie Do voinţă f 2i G

G-2 T . . 2 T: _ m

Şi Vz-> cos - + i sin -. Deplasarea de-a lungul lipirii pe foaie P. ne vom descurca p p

-f + 2 T . f + 2 T

definiție, l/g = cos-+ g sin- (deoarece k = 1). În special,

la = 0 va fi aceeași valoare a rădăcinilor de care ne apropiam când ne apropiam de malul inferior al tăieturii de pe foaie Do. Aceasta înseamnă că la punctele de lipire De Cu P funcţie sfz va fi continuu. Continuitatea rădăcinii este afișată în mod similar la trecerea de la Dk-i pe D* la 1 ^ La ^ p - 1. În final, înconjurând conturul de-a lungul foii D„_ 1 și apropiindu-ne de marginea inferioară a secțiunii, obținem La = 11 - 1, f-uh 2 T, Și

aceste. aceeași valoare de la care am plecat de la marginea superioară a foii tăiate P 0 . Astfel, funcţie>/g va fi continuu in toate punctele suprafetei Riemann. Ca funcție inversă uneia analitice, este și o funcție analitică unică pe această suprafață (cu excepția punctelor z= 0 și z= oo).

Să luăm orice cerc z= r în planul complex care cuprinde punctul z = 0. Acest cerc va acoperi și punctul n z= oo. Ocolind conturul de pe suprafața Riemann, format din puncte situate deasupra acestui cerc, ne vom deplasa de la o foaie a suprafeței Riemann la alta. Prin urmare punctele z= 0 și z= oo sunt numite puncte de ramificare. Niciun alt punct nu are proprietatea descrisă: dacă luăm un cerc cu un centru în punct z f 0, z f oo, care nu conține punctul 0, apoi punctele corespunzătoare de pe suprafața Riemann se formează n cercuri care nu sunt legate între ele. Ocolind fiecare dintre ele, nu vom depăși aceeași foaie.

Analitic fără ambiguitate în domeniu D funcţie f(z) numit ramură obișnuită funcţie multivalorică F(z), definite în aceeași zonă, dacă valoarea f(z)în fiecare punct al regiunii D se potrivește cu una dintre valori F(z)în acest moment.

Funcție cu mai multe valori F(z) este unic și analitic pe suprafața sa Riemann (cu excepția punctelor de ramificație). Prin urmare, oportunitatea de a evidenția în zonă D o ramură obișnuită înseamnă că este posibilă localizarea acestei regiuni pe o suprafață Riemann fără tăiere Dși fără a atinge punctele de ramificație. Oblap DÎn același timp, trebuie așezat în întregime pe o foaie sau să coboare prin lipire de la o foaie pe alta (ca un covor pe o scară). De exemplu, inelul 1 z F(z) = sfz, p^2 din moment ce punctele inelului.

situat deasupra semiaxei pozitive, trebuie să cadă simultan pe diferite foi, ceea ce este imposibil. Dar dacă tăiați inelul pe orice rază, atunci un astfel de aranjament devine posibil. În același timp, loc D pe o suprafață Riemann este posibil n moduri (și, prin urmare, distinse în D p diferite ramuri de funcţii y/z). Pentru a selecta o anumită ramură, este suficient să indicați valoarea funcției în orice punct din zonă D. Aceasta indică foaia suprafeței Riemann pe care cade acest punct, ceea ce înseamnă că locația întregii regiuni este fixă D.

Exemplul 10.2. Emite o sucursală obișnuită f(z) funcții w =

2 = e ttp : - -

Soluție: Zona D este un plan complex cu o tăietură dar o semiaxă imaginară la^ 0. Aceasta înseamnă că selectarea unei ramuri obișnuite în D Pot fi. Conform formulei (10.3)

Pentru a izola ramura /(r), trebuie să găsiți o valoare potrivită pentru A*. Deoarece /(1) = r, atunci substituind ip= 0, r = 1, obținem

de unde rezultă că La= 1. Deci, ramura dorită

În special,

Am construit suprafața Riemann a funcției w == fz, tăind planul complex C de-a lungul semiaxei pozitive. Rețineți că alegerea liniei de tăiere nu este fundamentală: o construcție similară s-ar putea face prin tăierea C, de exemplu, de-a lungul oricărei raze care emană de la origine.

19.2.1. Definiţie funcția unei variabile complexe nu este diferită de definiția generală a dependenței funcționale. Să vă reamintim , Ce regiune pe un plan numim orice set deschis conectat de puncte ale acestui plan. Regiune pur și simplu conectat, dacă orice subdomeniu delimitat de o curbă auto-disjunctă închisă continuă care se află în acest domeniu aparține în întregime domeniului.

Luați în considerare două plane de numere complexe: C = {z | z = x + iy ) Și W = {w | w = u + iv ). Lasă în avion CU zona specificata D și se dă o regulă care atribuie fiecare punct
număr complex definit
. În acest caz se spune că în zonă D determinat funcție cu o singură valoare w = f (z ) (sau definit afişa
). Regiune D se numește domeniul de definire al unei funcții, mulțimea este setul de valori ale funcției (sau imaginea domeniului D când este afișat f .

Dacă toată lumea
sunt atribuite mai multe valori
(adică punctul z are mai multe imagini), apoi funcția w = f (z ) se numește polisemantic.

Funcţie w = f (z ) se numește o cu frunze de josîn zonă
, dacă cartografiază zona unu-la-unu D pe regiune
(adică fiecare punct
are o singură imagine
, și înapoi, fiecare punct
are un singur prototip
.

19.2.2. Parte reală și imaginară a unei funcții a unei variabile complexe. Deoarece

w = u + iv , z = x + iy , apoi dependența w = f (z ) se poate scrie sub forma

w = u + iv = f (z ) = f (x + iy ) = Re f (x + iy ) + i Im f (x + iy ). Astfel, atribuirea de fu cu valoare complexă funcții w = f (z ) variabilă complexăz este echivalent cu specificarea a două funcții realeu = u (x , y ) = Re f (z ), v = v (x , y ) = Im f (z ) două variabile reale X , la .

Exemple: 1. w = z 3. Ne exprimăm z 3 prin X ,la : z 3 = (x + iy ) 3 = x 3 + 3 x 2 i y + 3 x i 2 y 2 + i 3 y 3 =

2. w = e z . Aici

În plus, vom formula multe proprietăți ale FCP (funcțiile unei variabile complexe) în ceea ce privește partea sa reală. u (x , y ) și partea imaginară v (x , y ), așa că tehnica de izolare a acestor părți trebuie să fie bine dezvoltată.

19.2.3. Imagine geometrică a FKP. Setarea unei funcții w = f (z ) ca cupluri

u = u (x , y ), v = v (x , y ) sugerează reprezentarea PCF ca o pereche de suprafețe u (x , y ), v (x , y ) în spațiul tridimensional, totuși, această metodă este incomodă, deoarece nu permite înțelegerea perechii ( u , v ) ca număr complex. Uneori este descrisă o suprafață, care se numește relief funcții w = f (z ) . Liniile de nivel ale funcției Arg sunt aplicate pe această suprafață f (z ); Dacă aveți ceva experiență, aceste informații sunt suficiente pentru a vă face o idee despre schimbarea funcției în coordonate polare. Cu toate acestea, un mod universal de a descrie un PCF este de a desena seturi care corespund între ele sub maparea în cauză. Cel mai adesea, ei iau linii de coordonate (coordonate carteziane sau polare) și își găsesc imaginile.

Exemple. 1. Funcția liniară w = o z + b , unde sunt numere complexe fixe, o 1 , b 1 - părțile lor reale, o 2 , b 2 - părțile lor imaginare.

Să ne imaginăm această funcție ca o suprapunere a două funcții: w 1 = az Şi w = w 1 + b . Afişa
, conform interpretării înmulțirii numerelor în formă trigonometrică, duce la o creștere (scădere) a argumentului numărului z a arg o și întinderea (compresia) modulului său în | o | dată; afişa
duce la o schimbare de punct: w 1 pe vector: b (b 1 , b 2). Astfel, funcţie liniară w = o z + b se întinde (cu
) fiecare vector z în | o | ori (sau îl comprimă în ori la | o | <1), поворачивает на угол arg o și deplasări prin vector b . Ca rezultat, toate liniile drepte sunt convertite în linii drepte, cercurile în cercuri.

2. Funcția de putere w = z 2. Luați în considerare această funcție în semiplanul superior

C + = {z | y = Sunt z >0). În formă demonstrativă w = z 2 = (|z | e i arg z ) 2 = |z | 2 e 2 i arg z . În consecință, semicercul se transformă într-un cerc cu un punct perforat,

fascicul - în fascicul. Întregul semiplan superior CU + intră în avion W cu axa pozitivă aruncată afară.

P Să reprezentăm această mapare în coordonate carteziene. Deoarece

w = z 2 = (x + iy ) 2 = x 2 - y 2 + 2 ixy , Asta u (x , y ) = x 2 - y 2 , v (x , y ) = 2 xy . Să găsim imagini cu linii de coordonate. Drept y = y 0 va intra într-o curbă ale cărei ecuații parametrice sunt u = x 2 – y 0 2 ,

v = 2 xy 0 (X - parametru). Excluzând X , obținem ecuația parabolei
. Grinda
va merge la u = x 0 2 – y 2 ,

v = 2 x 0 y (parametru y >0). Excluzând la , obținem o ramură a parabolei
.

Din v = 2 x 0 y rezultă că v salvează semnul x 0 , deci aceasta va fi ramura de sus la x 0 >0 și mai mic la x 0 <0. Луч x 0 = 0 va intra în fascicul u < 0, v = 0.

Luăm în considerare funcția w = z 2 în semiplanul superior CU + , în ciuda faptului că este definit în întregul plan CU , pentru că este univalent în acest semiplan. Semiplanul inferior C - = {z | y = Sunt z <0} при отображении w = z 2 va acoperi, de asemenea, întregul avion W (cu excepția semiaxei pozitive). Dacă luăm în considerare întreaga imagine a avionului CU sub această mapare, atunci va consta din două copii ale avionului W (două foi care acoperă acest plan).

Folosind acest exemplu, am obținut un algoritm pentru construirea imaginilor de linii și zone la afișare w = f (z ). w = u (x , y ) + iv (x , y Dacă ), apoi pentru a găsi ecuația imaginii dreptei : L (x , y F
) = 0 când este afișat, este necesar din sistemul de ecuații X Şi la exclude variabile
; rezultatul va fi ecuația ), apoi pentru a găsi ecuația imaginii dreptei imagine de linie W în avion D . Pentru a găsi o imagine a unei zone ), apoi pentru a găsi ecuația imaginii dreptei , delimitat de o curbă închisă D , trebuie să găsim imaginea acestei linii, dacă imaginea este o linie închisă, atunci trebuie să stabilim dacă merge

P în zona delimitată de această linie sau în exteriorul acestei zone. exemplu z 1 = 1 + i , z 2 = 2 + i , z 3 = 1 + 2 i : lasa z 1 z 2 z . Găsiți imaginea unui triunghi w = z 2 .

3 când este afișat w 1 = z 1 2 = (1 + i ) 2 = 1 + 2i - 1 = 2i ;

w 2 = z 2 2 = (2 + i ) 2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i ;

w 3 = z 3 2 = (1 + 2i ) 2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i Găsiți unde sunt afișate vârfurile triunghiului. z 1 z . Latura la =2 face parte dintr-o linie la
0 =1. Această linie se realizează, după cum am văzut, într-o parabolă w . Avem nevoie de o parte din această parabolă între puncte w 1 și z 1 z 2. În continuare, partea X =3 face parte dintr-o linie dreaptă X
0 =1, mapat într-o parabolă w . Avem nevoie de o parte din această parabolă între puncte w ; luați secțiunea acestei parabole între puncte z 2 z 3. Latura X +la 3 se află pe o linie dreaptă
=3; obţinem ecuaţia imaginii acestei linii prin eliminarea din sistem X Şi la variabile w : . Secțiunea acestei parabole între puncte w 2 și z 2 z 3 și va oferi o imagine a lateralului w 1 w 2 w 3. Se construiește imaginea triunghiului. Este ușor de verificat că aria delimitată de acest triunghi intră în interiorul triunghiului curbiliniu

3 (pentru aceasta este suficient să găsiți, de exemplu, imaginea unui punct din această zonă). w = z 3. Funcție de putere mai generală n 3. Funcție de putere mai generală , Unde w = z - un număr natural, acționează similar unei funcții w = z 3. Funcție de putere mai generală = (|z | e i arg z ) 2. Deoarece = |z | 3. Funcție de putere mai generală e i 2. Deoarece arg z n 3. Funcție de putere mai generală , atunci această mapare crește cu z ori toate unghiurile cu vârf în punct z . Avem nevoie de o parte din această parabolă între puncte z = 0. Oricare două puncte 2 cu module identice și argumente care diferă printr-un multiplu de w , adică „lipiți împreună” când sunt afișate. În consecință, harta nu este univalentă în niciun domeniu care conține astfel de puncte. Un exemplu de regiune în care această cartografiere este univalentă - sector
. Acest sector este transformat într-o zonă, de ex. în avion W cu axa pozitivă aruncată afară. Orice zonă cuprinsă în sectorul soluției este mai mică , afișat univalent în W .

19.2.4. Limita FCP.

Definiţie. Lasă funcția w = f (z ) este definită într-o vecinătate perforată a punctului z 0 = x 0 + iy 0 . Număr complex w 0 = u 0 + iv 0 se numește limita funcției la
, dacă pentru vreunul -Cartier
(>0) puncte w 0 există un astfel de străpuns -Cartier
puncte z 0, care este pentru toată lumea
valorile f (z ) aparțin
. Cu alte cuvinte, dacă z 0 este un punct propriu al planului, apoi pentru oricare >0 trebuie să existe așa ceva >0, care este din inegalitate
urmează inegalitatea
(definiția unui punct impropriu este scrisă într-un mod similar
). Astfel, în limbaj -definiția limitei FKP coincide complet cu definirea limitei unei funcții a unei variabile reale; limita este indicată ca de obicei:
.

Inegalitate
înseamnă că , sau . Pentru modulul numerelor complexe, toate proprietățile de bază ale valorii absolute sunt valabile, în special, prin urmare, de aici este ușor de obținut că

. u (x , y ) Și v (x , y Astfel, existența unei limite a unei funcții a unei variabile complexe este echivalentă cu existența limitelor a două funcții reale. ) două variabile reale. Prin urmare, în analiză cuprinzătoare
toate teoremele despre limitele unei funcții într-un punct (limita sumei funcțiilor etc.) sunt reportate automat. De asemenea, se poate dovedi că dacă , atunci
).

(pentru existența unei limite zero este suficient ca 19.2.5. Continuitatea FKP. w = f (z Lasă funcția z 0 = x 0 + iy ) este definită în vecinătatea punctului z 0 . Se spune că funcția este continuă în punct

0 dacă: w = f (z Ca şi în cazul limitei, se poate demonstra că z 0 = x 0 + iy ) va fi continuu la punct u (x , y ) Și v (x , y 0 dacă și numai dacă funcțiile x 0 , y ) sunt continue la punctul (

Distribuie acest articol prietenilor tăi:

Categorii

Discutand:: Mihail Petrovici devyataev Pilot devyataev erou de război
Mihail Petrovici Devyataev (8 iulie, Torbeevo, provincia Penza - 24...: Sarcini de antrenament pentru ket pentru școli
Salutări, dragii mei cititori. Uneori pentru a ne îndeplini visele...: Anul acesta „DET GIZ” a împlinit 80 de ani. În cinstea aniversării, cel mai respectat și...
Indicații de timp – Zeitangaben Joi în germană: Astăzi vă vom vorbi despre un subiect destul de interesant, precum zilele săptămânii....