Definirea unei funcții continue într-un punct dat. Conceptul de continuitate a funcției

Definiția continuității după Heine

Se spune că funcția unei variabile reale \(f\left(x \right)\) este continuu în punctul \(a \în \mathbb(R)\) (\(\mathbb(R)-\)mult de numere reale), dacă pentru orice succesiune \(\left\( ((x_n)) \right\ )\ ), astfel încât \[\lim\limits_(n \to \infty ) (x_n) = a,\] relația \[\lim\limits_(n \to \infty ) f\left(((x_n) ) \right) = f\left(a \right).\] În practică, este convenabil să folosiți următoarele \(3\) condiții pentru continuitatea funcției \(f\left(x \right)\) în punctul \(x = a\) (care trebuie executat simultan):

1. Funcția \(f\left(x \right)\) este definită în punctul \(x = a\);
2. Limita \(\lim\limits_(x \to a) f\left(x \right)\) există;
3. Egalitatea \(\lim\limits_(x \to a) f\left(x \right) = f\left(a \right)\) este valabilă.

Definiția continuității Cauchy (notația \(\varepsilon - \delta\))

Luați în considerare o funcție \(f\left(x \right)\) care mapează mulțimea de numere reale \(\mathbb(R)\) la o altă submulțime \(B\) a numerelor reale. Se spune că funcția \(f\left(x \right)\) este continuu în punctul \(a \in \mathbb(R)\), dacă pentru orice număr \(\varepsilon > 0\) există un număr \(\delta > 0\) astfel încât pentru toate \(x \in \ mathbb (R)\), satisfăcând relația \[\left| (x - a) \dreapta| Definiția continuității în termeni de incremente de argument și funcție

Definiția continuității poate fi formulată și folosind incremente de argument și funcție. Funcția este continuă în punctul \(x = a\) dacă egalitatea \[\lim\limits_(\Delta x \to 0) \Delta y = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \left[ ( f\left((a + \Delta x) \right) - f\left(a \right)) \right] = 0,\] unde \(\Delta x = x - a\).

Definițiile de mai sus ale continuității unei funcții sunt echivalente pe mulțimea numerelor reale.

Funcția este continuu pe un interval dat , dacă este continuă în fiecare punct al acestui interval.

Teoreme de continuitate

Teorema 1.
Fie funcția \(f\left(x \right)\) să fie continuă în punctul \(x = a\) și \(C\) să fie o constantă. Atunci funcția \(Cf\left(x \right)\) este, de asemenea, continuă pentru \(x = a\).

Teorema 2.
Având în vedere două funcții \((f\left(x \right))\) și \((g\left(x \right))\), continuă în punctul \(x = a\). Apoi, suma acestor funcții \((f\left(x \right)) + (g\left(x \right))\) este, de asemenea, continuă în punctul \(x = a\).

Teorema 3.
Să presupunem că două funcții \((f\left(x \right))\) și \((g\left(x \right))\) sunt continue în punctul \(x = a\). Apoi produsul acestor funcții \((f\left(x \right)) (g\left(x \right))\) este de asemenea continuu în punctul \(x = a\).

Teorema 4.
Având în vedere două funcții \((f\left(x \right))\) și \((g\left(x \right))\), continuă pentru \(x = a\). Atunci raportul acestor funcții \(\large\frac((f\left(x \right)))((g\left(x \right)))\normalsize\) este, de asemenea, continuu pentru \(x = a\ ) sub rezerva , că \((g\left(a \right)) \ne 0\).

Teorema 5.
Să presupunem că funcția \((f\left(x \right))\) este diferențiabilă în punctul \(x = a\). Atunci funcția \((f\left(x \right))\) este continuă în acest punct (adică, diferențiabilitatea implică continuitatea funcției în punct; inversul nu este adevărat).

Teorema 6 (Teorema valorii limită).
Dacă o funcție \((f\left(x \right))\) este continuă pe un interval închis și mărginit \(\left[ (a,b) \right]\), atunci este mărginită deasupra și dedesubt pe acest interval. Cu alte cuvinte, există numere \(m\) și \(M\) astfel încât \ pentru toate \(x\) din intervalul \(\left[ (a,b) \right]\) (Figura 1) .

Fig.1		Fig.2

Teorema 7 (Teorema valorii intermediare).
Fie funcția \((f\left(x \right))\) să fie continuă pe un interval închis și mărginit \(\left[ (a,b) \right]\). Atunci, dacă \(c\) este un număr mai mare decât \((f\left(a \right))\) și mai mic decât \((f\left(b\right))\), atunci există un număr \(( x_0)\), astfel încât \ Această teoremă este ilustrată în Figura 2.

Continuitatea funcțiilor elementare

Toate functii elementare sunt continue în orice punct al domeniului lor de definire.

Funcția este numită elementar , dacă este construit dintr-un număr finit de compoziții și combinații
(folosind operații \(4\) - adunare, scădere, înmulțire și împărțire) . Multe funcții elementare de bază include:

Definiţie. Fie definită funcția y = f(x) în punctul x0 și o parte din vecinătatea acestuia. Se numește funcția y = f(x). continuă în punctul x0, Dacă:

1. există
2. această limită este egală cu valoarea funcției la punctul x0:

La definirea limitei, s-a subliniat că f(x) poate să nu fie definit în punctul x0, iar dacă este definit în acest punct, atunci valoarea lui f(x0) nu participă în niciun fel la determinarea limitei. Atunci când se determină continuitatea, este fundamental ca f(x0) să existe, iar această valoare trebuie să fie egală cu lim f(x).

Definiţie. Fie definită funcția y = f(x) în punctul x0 și o parte din vecinătatea acestuia. O funcție f(x) se numește continuă într-un punct x0 dacă pentru tot ε>0 există un număr pozitiv δ astfel încât pentru tot x din vecinătatea δ a punctului x0 (adică |x-x0|
Aici se ține cont de faptul că valoarea limitei trebuie să fie egală cu f(x0), prin urmare, în comparație cu definiția limitei, condiția de puncție a vecinătății δ 0 este eliminată.
Să dăm încă o definiție (echivalentă cu cea anterioară) în termeni de incremente. Să notăm Δх = x - x0 vom numi această valoare incrementul argumentului. Deoarece x->x0, atunci Δx->0, adică Δx - b.m. (infinitesimal) cantitate. Să notăm Δу = f(x)-f(x0), vom numi această valoare incrementul funcției, deoarece |Δу| ar trebui să fie (pentru |Δх| suficient de mic) mai mic decât un număr arbitrar ε>0, atunci Δу- este de asemenea b.m. valoare, prin urmare

Definiţie. Fie definită funcția y = f(x) în punctul x0 și o parte din vecinătatea acestuia. Se numește funcția f(x). continuă în punctul x0, dacă un increment infinitezimal în argument corespunde unui increment infinitezimal în funcție.

Definiţie. Funcția f(x), care nu este continuă în punctul x0, numite discontinueîn acest moment.

Definiţie. O funcție f(x) se numește continuă pe o mulțime X dacă este continuă în fiecare punct al acestei mulțimi.

Teorema privind continuitatea unei sume, produsului, coeficient

Teorema trecerii la limita sub semnul unei functii continue

Teorema privind continuitatea suprapunerii functiilor continue

Fie ca funcția f(x) să fie definită pe un interval și să fie monotonă pe acest interval. Atunci f(x) poate avea doar puncte de discontinuitate de primul fel pe acest segment.

Teorema valorii intermediare. Dacă funcția f(x) este continuă pe un segment și în două puncte a și b (a este mai mică decât b) ia valori inegale A = f(a) ≠ B = f(b), atunci pentru orice număr C situat între A și B, există un punct c ∈ în care valoarea funcției este egală cu C: f(c) = C.

Teoremă privind mărginirea unei funcții continue pe un interval. Dacă o funcție f(x) este continuă pe un interval, atunci ea este mărginită pe acest interval.

Teoremă privind atingerea valorilor minime și maxime. Dacă funcția f(x) este continuă pe un interval, atunci își atinge limitele inferioare și superioare pe acest interval.

Teorema continuitatii functiei inverse. Fie funcția y=f(x) continuă și strict crescătoare (descrescătoare) pe intervalul [a,b]. Apoi pe segment există o funcție inversă x = g(y), tot monoton crescând (descrescător) pe și continuă.

Studiul unei funcții pentru continuitate într-un punct se realizează după o schemă de rutină deja stabilită, care constă în verificarea a trei condiții de continuitate:

Exemplul 1

Examinați funcția pentru continuitate. Determinați natura discontinuităților funcției, dacă acestea există. Executați desenul.

Soluţie:

1) Singurul punct din domeniul de aplicare este locul în care funcția nu este definită.

Limitele unilaterale sunt finite și egale.

Astfel, la punctul în care funcția suferă o discontinuitate detașabilă.

Cum arată graficul acestei funcții?

As dori sa simplific , și se pare că se obține o parabolă obișnuită. DAR funcția originală nu este definită la punctul , deci este necesară următoarea clauză:

Să facem desenul:

Răspuns: funcția este continuă pe întreaga dreaptă numerică cu excepția punctului în care suferă o discontinuitate amovibilă.

Funcția poate fi definită în continuare într-un mod bun sau nu atât de bun, dar în funcție de condiție acest lucru nu este necesar.

Spui că acesta este un exemplu exagerat? Deloc. Acest lucru s-a întâmplat de zeci de ori în practică. Aproape toate sarcinile site-ului provin din lucrări și teste reale independente.

Să scăpăm de modulele noastre preferate:

Exemplul 2

Explorați funcția pentru continuitate. Determinați natura discontinuităților funcției, dacă acestea există. Executați desenul.

Soluţie: Din anumite motive, studenților le este frică și nu le plac funcțiile cu un modul, deși nu este nimic complicat la ele. Am atins deja puțin despre astfel de lucruri în lecție. Transformări geometrice ale graficelor. Deoarece modulul nu este negativ, acesta este extins după cum urmează: , unde „alfa” este o expresie. În acest caz, iar funcția noastră ar trebui scrisă pe bucăți:

Dar fracțiile ambelor piese trebuie reduse cu . Reducerea, ca în exemplul precedent, nu va avea loc fără consecințe. Funcția originală nu este definită la punctul, deoarece numitorul ajunge la zero. Prin urmare, sistemul ar trebui să specifice în plus condiția și să facă prima inegalitate strictă:

Acum despre o tehnică de decizie FOARTE UTILĂ: inainte de finalizarea sarcinii pe un draft este avantajos sa se realizeze un desen (indiferent daca este cerut de conditii sau nu). Acest lucru vă va ajuta, în primul rând, să vedeți imediat punctele de continuitate și punctele de discontinuitate și, în al doilea rând, vă va proteja 100% de erori atunci când găsiți limite unilaterale.

Hai să facem desenul. În conformitate cu calculele noastre, în stânga punctului este necesar să desenați un fragment de parabolă (culoare albastră), iar la dreapta - o bucată de parabolă (culoare roșie), în timp ce funcția nu este definită la punctul în sine:

Dacă aveți îndoieli, luați câteva valori x și conectați-le la funcție (amintindu-ne ca modulul distruge posibilul semn minus) si verificati graficul.

Să examinăm funcția pentru continuitate analitic:

1) Funcția nu este definită la punct, așa că putem spune imediat că nu este continuă la ea.

2) Să stabilim natura discontinuității pentru a face acest lucru, calculăm limite unilaterale:

Limitele unilaterale sunt finite și diferite, ceea ce înseamnă că funcția suferă o discontinuitate de primul fel cu un salt în punctul . Rețineți că nu contează dacă funcția la punctul de întrerupere este definită sau nu.

Acum, tot ce rămâne este să transferați desenul din schiță (a fost făcut ca cu ajutorul cercetării ;-)) și să finalizați sarcina:

Răspuns: functia este continua pe toata dreapta numerica cu exceptia punctului in care sufera o discontinuitate de primul fel cu un salt.

Uneori ele necesită o indicație suplimentară a saltului de discontinuitate. Se calculează simplu - din limita din dreapta trebuie să scadă limita din stânga: , adică la punctul de pauză funcția noastră a sărit cu 2 unități în jos (după cum ne spune semnul minus).

Exemplul 3

Explorați funcția pentru continuitate. Determinați natura discontinuităților funcției, dacă acestea există. Faceți un desen.

Acesta este un exemplu pe care să-l rezolvați singur, un exemplu de soluție la sfârșitul lecției.

Să trecem la cea mai populară și răspândită versiune a sarcinii, când funcția constă din trei părți:

Exemplul 4

Examinați o funcție pentru continuitate și trasați graficul funcției

.

Soluţie: Este evident că toate cele trei părți ale funcției sunt continue pe intervalele corespunzătoare, așa că rămâne de verificat doar două puncte de „joncțiune” între piese. În primul rând, să facem o schiță de desen am comentat suficient de detaliat tehnica de construcție în prima parte a articolului. Singurul lucru este că trebuie să urmărim cu atenție punctele noastre singulare: din cauza inegalității, valoarea aparține liniei drepte (punct verde), iar din cauza inegalității, valoarea aparține parabolei (punct roșu):


Ei bine, în principiu, totul este clar =) Mai rămâne doar să oficializezi decizia. Pentru fiecare dintre cele două puncte „articulare”, verificăm în mod standard 3 condiții de continuitate:

eu)

1)

Limitele unilaterale sunt finite și diferite, ceea ce înseamnă că funcția suferă o discontinuitate de primul fel cu un salt în punctul .

Să calculăm saltul de discontinuitate ca diferență între limitele din dreapta și din stânga:
, adică graficul a crescut cu o unitate.

II) Examinăm punctul de continuitate

1) - funcția este definită la un punct dat.

2) Găsiți limite unilaterale:

- limitele unilaterale sunt finite și egale, ceea ce înseamnă că există o limită generală.

3)

În etapa finală, transferăm desenul în versiunea finală, după care punem acordul final:

Răspuns: functia este continua pe toata dreapta numerica, cu exceptia punctului in care sufera o discontinuitate de primul fel cu un salt.

Exemplul 5

Examinați o funcție pentru continuitate și construiți graficul acesteia .

Acesta este un exemplu de soluție independentă, o soluție scurtă și un eșantion aproximativ al problemei la sfârșitul lecției.

Se poate avea impresia că la un moment dat funcția trebuie să fie continuă, iar la altul trebuie să existe o discontinuitate. În practică, acest lucru nu este întotdeauna cazul. Încercați să nu neglijați exemplele rămase - vor exista câteva caracteristici interesante și importante:

Exemplul 6

Dată o funcție . Investigați funcția pentru continuitate în puncte. Construiți un grafic.

Soluţie: și din nou executați imediat desenul pe proiect:

Particularitatea acestui grafic este că funcția pe bucăți este dată de ecuația axei absciselor. Aici această zonă este desenată cu verde, dar într-un caiet este de obicei evidențiată cu caractere aldine cu un simplu creion. Și, desigur, nu uitați de berbecii noștri: valoarea aparține ramurii tangente (punct roșu), iar valoarea aparține liniei drepte.

Totul este clar din desen - funcția este continuă de-a lungul întregii linii numerice, tot ce rămâne este să oficializezi soluția, care este adusă la o automatizare completă literalmente după 3-4 exemple similare:

eu) Examinăm punctul de continuitate

2) Să calculăm limitele unilaterale:

, ceea ce înseamnă că există o limită generală.

Un mic lucru amuzant s-a întâmplat aici. Cert este că am creat o mulțime de materiale despre limitele unei funcții, și de câteva ori am vrut, dar de câteva ori am uitat de o întrebare simplă. Și așa, cu un efort de voință incredibil, m-am forțat să nu pierd gândul =) Cel mai probabil, unii cititori „maniști” se îndoiesc: care este limita constantei? Limita unei constante este egală cu constanta însăși. În acest caz, limita lui zero este egală cu zero în sine (limită pentru stânga).

3) - limita unei funcţii într-un punct este egală cu valoarea acestei funcţii într-un punct dat.

Astfel, o funcție este continuă într-un punct prin definiția continuității unei funcții într-un punct.

II) Examinăm punctul de continuitate

1) - funcția este definită la un punct dat.

2) Găsiți limite unilaterale:

Și aici, în limita din dreapta, limita unității este egală cu unitatea însăși.

- există o limită generală.

3) - limita unei funcţii într-un punct este egală cu valoarea acestei funcţii într-un punct dat.

Astfel, o funcție este continuă într-un punct prin definiția continuității unei funcții într-un punct.

Ca de obicei, după cercetări ne transferăm desenul în versiunea finală.

Răspuns: functia este continua la puncte.

Vă rugăm să rețineți că în condiția nu am fost întrebați nimic despre studierea întregii funcții pentru continuitate și este considerată o formă matematică bună de a formula precisă și clară răspunsul la întrebarea pusă. Apropo, dacă condițiile nu vă cer să construiți un grafic, atunci aveți tot dreptul să nu îl construiți (deși mai târziu profesorul vă poate obliga să faceți acest lucru).

Un mic „învârtitor de limbă” matematic pentru a o rezolva singur:

Exemplul 7

Dată o funcție .

Investigați funcția pentru continuitate în puncte. Clasificați punctele de întrerupere, dacă există. Executați desenul.

Încercați să „pronunțați” toate „cuvintele” corect =) Și desenați graficul mai precis, acuratețe, nu va fi de prisos peste tot;-)

După cum vă amintiți, am recomandat să completați imediat desenul ca schiță, dar din când în când întâlniți exemple în care nu vă puteți da seama imediat cum arată graficul. Prin urmare, în unele cazuri, este avantajos să găsiți mai întâi limite unilaterale și abia apoi, pe baza studiului, să descrieți ramurile. În ultimele două exemple vom învăța și o tehnică pentru calcularea unor limite unilaterale:

Exemplul 8

Examinați funcția pentru continuitate și construiți graficul ei schematic.

Soluţie: punctele rele sunt evidente: (reduce numitorul exponentului la zero) și (reduce numitorul întregii fracții la zero). Nu este clar cum arată graficul acestei funcții, ceea ce înseamnă că este mai bine să faceți mai întâi câteva cercetări:

eu) Examinăm punctul de continuitate

2) Găsiți limite unilaterale:

Vă rugăm să rețineți metoda tipică pentru calcularea unei limite unilaterale: în loc de „x” înlocuim . Nu există nicio crimă în numitor: „adăugarea” „minus zero” nu joacă un rol, iar rezultatul este „patru”. Dar la numărător există un mic thriller: mai întâi omorâm -1 și 1 la numitorul indicatorului, rezultând . Unitatea împărțită la , este egal cu „minus infinit”, prin urmare: . Și în cele din urmă, cei „doi” în grad negativ infinit de mare egal cu zero: . Sau, pentru a fi și mai specific: .

Să calculăm limita din dreapta:

Și aici - în loc de „X” înlocuim . În numitor, „aditivul” din nou nu joacă un rol: . În numărător, se efectuează acțiuni similare cu limita anterioară: distrugem numerele opuse și împărțim unul la :

Limita din dreapta este infinită, ceea ce înseamnă că funcția suferă o discontinuitate de al 2-lea fel în punctul .

II) Examinăm punctul de continuitate

1) Funcția nu este definită în acest moment.

2) Să calculăm limita din stânga:

Metoda este aceeași: înlocuim „X” în funcție. Nu există nimic interesant în numărător - se dovedește a fi un număr pozitiv finit. Și în numitor deschidem parantezele, scoatem „trei”, iar „aditivul” joacă un rol decisiv.

Ca rezultat, numărul pozitiv final împărțit la număr pozitiv infinitezimal, dă „plus infinit”: .

Limita din mâna dreaptă este ca un frate geamăn, cu singura excepție că apare la numitor număr negativ infinitezimal:

Limitele unilaterale sunt infinite, ceea ce înseamnă că funcția suferă o discontinuitate de al 2-lea fel în punctul .

Astfel, avem două puncte de întrerupere și, evident, trei ramuri ale graficului. Pentru fiecare ramură, este indicat să se realizeze o construcție punct cu punct, adică. luați mai multe valori „x” și înlocuiți-le în . Vă rugăm să rețineți că condiția permite construirea unui desen schematic, iar o astfel de relaxare este naturală pentru lucrul manual. Construiesc grafice folosind un program, așa că nu am astfel de dificultăți, iată o imagine destul de precisă:

Sunt directe asimptote verticale pentru graficul acestei funcții.

Răspuns: functia este continua pe toata dreapta numerica cu exceptia punctelor in care sufera discontinuitati de al 2-lea fel.

O funcție mai simplă de rezolvat singur:

Exemplul 9

Examinați funcția pentru continuitate și faceți un desen schematic.

O soluție de probă aproximativă la sfârșit care s-a strecurat neobservată.

Pe curând!

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 3:Soluţie : transforma functia: . Având în vedere regula dezvăluirii modulului si faptul ca , rescriem funcția sub formă de bucăți:


Să examinăm funcția pentru continuitate.

1) Funcția nu este definită în acest punct .

Limitele unilaterale sunt finite și diferite, ceea ce înseamnă că funcția suferă o discontinuitate de primul fel cu un salt la punct . Să facem desenul:

Răspuns: funcția este continuă pe întreaga linie numerică, cu excepția punctului , în care suferă o discontinuitate de primul fel cu un salt. Jump Gap: (două unități în sus).

Exemplul 5:Soluţie : Fiecare dintre cele trei părți ale funcției este continuă pe propriul interval.
eu)
1)

2) Să calculăm limitele unilaterale:

, ceea ce înseamnă că există o limită generală.
3) - limita unei funcţii într-un punct este egală cu valoarea acestei funcţii într-un punct dat.
Deci funcția continuu la un punct prin definirea continuităţii unei funcţii într-un punct.
II) Examinăm punctul de continuitate

1) - funcția este definită la un punct dat. funcţia suferă o discontinuitate de al 2-lea fel la punct

Cum se găsește domeniul unei funcții?

Exemple de soluții

Dacă ceva lipsește undeva, înseamnă că este ceva undeva

Continuăm studiul secțiunii „Funcții și grafice”, iar următoarea stație a călătoriei noastre este Domeniul funcției. O discuție activă a acestui concept a început în prima lecție. despre graficele de funcții, unde am analizat funcțiile elementare și, în special, domeniile lor de definiție. Prin urmare, recomand ca manechinele să înceapă cu elementele de bază ale subiectului, deoarece nu mă voi opri din nou asupra unor puncte de bază.

Se presupune că cititorul cunoaște domeniile de definire a funcțiilor de bază: funcții liniare, pătratice, cubice, polinoame, exponențial, logaritm, sinus, cosinus. Ele sunt definite pe . Pentru tangente, arcsinus, așa să fie, vă iert =) Graficele mai rare nu sunt imediat amintite.

Sfera de aplicare pare a fi un lucru simplu și apare o întrebare logică: despre ce va fi articolul? În această lecție mă voi uita la problemele comune de găsire a domeniului unei funcții. Mai mult, vom repeta inegalități cu o variabilă, ale căror abilități de rezolvare vor fi cerute și în alte probleme de matematică superioară. Materialul, apropo, este tot material școlar, așa că va fi util nu numai elevilor, ci și elevilor. Informațiile, desigur, nu pretind a fi enciclopedice, dar aici nu sunt exemple exagerate de „moarte”, ci castane prăjite, care sunt preluate din adevărate lucrări practice.

Să începem cu o scufundare rapidă în subiect. Pe scurt despre principalul lucru: vorbim despre o funcție a unei variabile. Domeniul său de definire este multe sensuri ale lui "x", pentru care exista sensuri ale „jucătorilor”. Să ne uităm la un exemplu ipotetic:

Domeniul de definire al acestei funcții este o uniune de intervale:
(pentru cei care au uitat: - pictograma unirii). Cu alte cuvinte, dacă luați orice valoare a lui „x” din intervalul , sau din , sau din , atunci pentru fiecare astfel de „x” va exista o valoare „y”.

În linii mari, acolo unde este domeniul definiției, există un grafic al funcției. Dar jumătatea de interval și punctul „tse” nu sunt incluse în zona de definiție, așa că nu există nici un grafic acolo.

Da, apropo, dacă ceva nu este clar din terminologia și/sau conținutul primelor paragrafe, este mai bine să revenim la articol Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare.

Acest articol este despre o funcție numerică continuă. Pentru mapări continue în diferite ramuri ale matematicii, consultați cartografierea continuă.

Funcție continuă- o funcție fără „sărituri”, adică una în care mici modificări ale argumentului duc la mici modificări ale valorii funcției.

O funcție continuă, în general, este sinonimă cu conceptul de mapare continuă, cu toate acestea, cel mai adesea acest termen este folosit într-un sens mai restrâns - pentru mapările dintre spațiile numerice, de exemplu, pe linia reală. Acest articol este dedicat în mod specific funcțiilor continue definite pe un subset de numere reale și luând valori reale.

YouTube enciclopedic

1 / 5

✪ Continuitatea funcției și punctele de întrerupere ale funcției

✪ 15 Funcție continuă

✪ Caracteristici continue

✪ Analiza matematică, lecția 5, Continuitatea funcției

✪ Variabilă aleatoare continuă. Funcția de distribuție

Subtitrări

Definiţie

Dacă „corectezi” funcția f (\displaystyle f)în punctul de ruptură amovibil şi pus f (a) = lim x → a f (x) (\displaystyle f(a)=\lim \limits _(x\to a)f(x)), atunci obținem o funcție care este continuă într-un punct dat. O astfel de operație asupra unei funcții este numită extinderea funcției la continuu sau redefinirea funcţiei prin continuitate, care justifică numele punctului ca punct amovibil ruptură.

Punct de pauză „sărit”

Apare o discontinuitate „salt” dacă

lim x → a - 0 f (x) ≠ lim x → a + 0 f (x) (\displaystyle \lim \limits _(x\to a-0)f(x)\neq \lim \limits _(x) \la a+0)f(x)).

Punct de rupere "pol"

Un decalaj de poli apare dacă una dintre limitele unilaterale este infinită.

lim x → a − 0 f (x) = ± ∞ (\displaystyle \lim \limits _(x\to a-0)f(x)=\pm \infty ) sau lim x → a + 0 f (x) = ± ∞ (\displaystyle \lim \limits _(x\to a+0)f(x)=\pm \infty ). [ ]

Punct de pauză semnificativ

În punctul de discontinuitate semnificativă, una dintre limitele unilaterale este complet absentă.

Clasificarea punctelor singulare izolate în Rn, n>1

Pentru funcții f: R n → R n (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\la \mathbb (R) ^(n))Şi f: C → C (\displaystyle f:\mathbb (C) \to \mathbb (C) ) Nu este nevoie să lucrați cu puncte de întrerupere, dar de multe ori trebuie să lucrați cu puncte singulare (puncte în care funcția nu este definită). Clasificarea este similară.

Conceptul de „salt” lipsește. Ce este în R (\displaystyle \mathbb (R) ) este considerat un salt în spații de dimensiuni mai mari este un punct singular esențial.

Proprietăți

Local

• Funcția continuă într-un punct a (\displaystyle a), este mărginit într-o vecinătate a acestui punct.
• Dacă funcţia f (\displaystyle f) continuu la un punct a (\displaystyle a)Şi f (a) > 0 (\displaystyle f(a)>0)(sau fa)< 0 {\displaystyle f(a)<0} ), Asta f (x) > 0 (\displaystyle f(x)>0)(sau f(x)< 0 {\displaystyle f(x)<0} ) pentru toată lumea x (\displaystyle x), destul de aproape de a (\displaystyle a).
• Dacă funcţiile f (\displaystyle f)Şi g (\displaystyle g) continuu la un punct a (\displaystyle a), apoi funcțiile f + g (\displaystyle f+g)Şi f ⋅ g (\displaystyle f\cdot g) sunt de asemenea continue la un punct a (\displaystyle a).
• Dacă funcţiile f (\displaystyle f)Şi g (\displaystyle g) continuu la un punct a (\displaystyle a) si in acelasi timp g (a) ≠ 0 (\displaystyle g(a)\neq 0), apoi funcția f / g (\displaystyle f/g) este, de asemenea, continuă într-un punct a (\displaystyle a).
• Dacă funcţia f (\displaystyle f) continuu la un punct a (\displaystyle a)și funcția g (\displaystyle g) continuu la un punct b = f (a) (\displaystyle b=f(a)), apoi compoziția lor h = g ∘ f (\displaystyle h=g\circ f) continuu la un punct a (\displaystyle a).

Global

• set compact) este uniform continuu pe acesta.
• O funcție care este continuă pe un segment (sau orice altă mulțime compactă) este mărginită și își atinge valorile maxime și minime pe ea.
• Gama de funcții f (\displaystyle f), continuu pe segmentul , este segmentul [ min f , max f ] , (\displaystyle [\min f,\\max f],) unde minimul și maximul sunt luate de-a lungul segmentului [ a , b ] (\displaystyle ).
• Dacă funcţia f (\displaystyle f) continuu pe segment [ a , b ] (\displaystyle )Şi f (a) ⋅ f (b)< 0 , {\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0,} atunci există un punct în care f (ξ) = 0 (\displaystyle f(\xi)=0).
• Dacă funcţia f (\displaystyle f) continuu pe segment [ a , b ] (\displaystyle ) si numarul φ (\displaystyle \varphi ) satisface inegalitatea fa)< φ < f (b) {\displaystyle f(a)<\varphi sau inegalitate f (a) > φ > f (b) , (\displaystyle f(a)>\varphi >f(b),) atunci există un punct ξ ∈ (a, b) , (\displaystyle \xi \in (a,b),)în care f (ξ) = φ (\displaystyle f(\xi)=\varphi ).
• O mapare continuă a unui segment la linia reală este injectivă dacă și numai dacă funcția dată pe segment este strict monotonă.
• Funcție monotonă pe un segment [ a , b ] (\displaystyle ) este continuă dacă și numai dacă intervalul său de valori este un segment cu capete f (a) (\displaystyle f(a))Şi f (b) (\displaystyle f(b)).
• Dacă funcţiile f (\displaystyle f)Şi g (\displaystyle g) continuu pe segment [ a , b ] (\displaystyle ), și fa)< g (a) {\displaystyle f(a)Şi f (b) > g (b) , (\displaystyle f(b)>g(b),) atunci există un punct ξ ∈ (a, b) , (\displaystyle \xi \in (a,b),)în care f (ξ) = g (ξ) .(\displaystyle f(\xi)=g(\xi).)

De aici, în special, rezultă că orice mapare continuă a unui segment în sine are cel puțin un punct fix.

Exemple

Funcții elementare Această funcție este continuă în fiecare punct.

x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0) Punctul este punctul de pauză primul fel

, și,

lim x → 0 − f (x) = − 1 ≠ 1 = lim x → 0 + f (x) (\displaystyle \lim \limits _(x\to 0-)f(x)=-1\neq 1= \lim \limits _(x\la 0+)f(x))

în timp ce în punctul însuși funcția dispare.

Funcția pas

Funcția pas definită ca< 0 , x ∈ R {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }

f (x) = ( 1 , x ⩾ 0 0 , x este continuă peste tot, cu excepția punctului x = 0 (\displaystyle x=0) este continuă peste tot, cu excepția punctului, unde funcția suferă o discontinuitate de primul fel. Cu toate acestea, la punctul există o limită din dreapta care coincide cu valoarea funcției la un punct dat. Deci această funcție este un exemplu continuu pe dreapta funcții.

în întreaga zonă de definire

În mod similar, funcția pas definită ca

f (x) = ( 1 , x > 0 0 , x ⩽ 0 , x ∈ R (\displaystyle f(x)=(\begin(cases)1,&x>0\\0,&x\leqslant 0\end( cazuri)),\quad x\in \mathbb (R) ) este un exemplu continuu pe dreapta funcții.

continuu pe stanga

Funcția Dirichlet

În această lecție vom învăța cum să stabilim continuitatea unei funcții. Vom face acest lucru folosind limite, unilaterale - dreapta și stânga, care nu sunt deloc înfricoșătoare, în ciuda faptului că sunt scrise ca și .

Dar, oricum, ce este continuitatea unei funcții? Până ajungem la o definiție strictă, cel mai ușor este să ne imaginăm o linie care poate fi trasă fără a ridica creionul de pe hârtie. Dacă o astfel de linie este trasată, atunci este continuă. Această linie este graficul unei funcții continue.

Grafic, o funcție este continuă într-un punct dacă graficul ei nu se „rupe” în acest punct. Graficul unei astfel de funcții continue este prezentat în figura de mai jos.

Determinarea continuității unei funcții printr-o limită. O funcție este continuă într-un punct dacă sunt îndeplinite trei condiții:

1. Funcția este definită la punctul .

Dacă cel puțin una dintre condițiile enumerate nu este îndeplinită, funcția nu este continuă în acel punct. În acest caz, ei spun că funcția suferă o discontinuitate, iar punctele de pe grafic la care graficul este întrerupt se numesc puncte de discontinuitate ale funcției. Graficul unei astfel de funcții care suferă o discontinuitate în punctul x=2 este în figura de mai jos.

Exemplul 1. Funcţie f(x) este definită după cum urmează:

Va fi această funcție continuă în fiecare dintre punctele de graniță ale ramurilor sale, adică în puncte? x = 0 , x = 1 , x = 3 ?

Soluţie. Verificăm toate cele trei condiții pentru continuitatea unei funcții la fiecare punct de limită. Prima condiție este îndeplinită, de ce functie definita la fiecare dintre punctele limită rezultă din definiţia funcţiei. Rămâne de verificat celelalte două condiții.

Punct x= 0 . Să găsim limita din stânga în acest moment:

.

Să găsim limita din dreapta:

x= 0 trebuie găsit pentru acea ramură a funcției care include acest punct, adică a doua ramură. Le gasim:

După cum putem vedea, limita funcției și valoarea funcției la punctul x= 0 sunt egale. Prin urmare, funcția este continuă în punct x = 0 .

Punct x= 1 . Să găsim limita din stânga în acest moment:

Să găsim limita din dreapta:

Limita unei funcții și valoarea unei funcții într-un punct x= 1 trebuie găsit pentru acea ramură a funcției care include acest punct, adică a doua ramură. Le gasim:

.

Limita unei funcții și valoarea unei funcții într-un punct x= 1 sunt egale. Prin urmare, funcția este continuă în punct x = 1 .

Punct x= 3 . Să găsim limita din stânga în acest moment:

Să găsim limita din dreapta:

Limita unei funcții și valoarea unei funcții într-un punct x= 3 trebuie găsit pentru acea ramură a funcției care include acest punct, adică a doua ramură. Le gasim:

.

Limita unei funcții și valoarea unei funcții într-un punct x= 3 sunt egale. Prin urmare, funcția este continuă în punct x = 3 .

Concluzia principală: această funcție este continuă în fiecare punct de limită.

Ce este schimbarea continuă a funcției?

O modificare continuă a unei funcții poate fi definită ca o schimbare treptată, fără salturi, în care o mică modificare a argumentului atrage după sine o mică schimbare a funcției.

Să ilustrăm această schimbare continuă a funcției cu un exemplu.

Lasă o greutate să atârne pe un fir deasupra mesei. Sub influența acestei sarcini, firul se întinde, deci distanța l sarcina din punctul de suspendare a filetului este o funcție de masa sarcinii m, adică l = f(m) , m≥0 .

Dacă modificați ușor masa încărcăturii, atunci distanța l se va schimba putin: mici modificari m mici modificări corespund l. Cu toate acestea, dacă masa încărcăturii este aproape de rezistența la tracțiune a firului, atunci o ușoară creștere a masei încărcăturii poate determina ruperea firului: distanță l va crește brusc și va deveni egală cu distanța de la punctul de suspendare la suprafața mesei. Graficul unei funcții l = f(m) prezentată în figură. La o secțiune, acest grafic este o linie continuă (solidă), iar într-un punct este întrerupt. Rezultatul este un grafic format din două ramuri. În toate punctele, cu excepția funcției l = f(m) este continuu, dar la un moment dat are o discontinuitate.

Studierea unei funcții pentru continuitate poate fi fie o sarcină independentă, fie una dintre etapele unui studiu complet al funcției și al construirii graficului acesteia.

Continuitatea unei funcții pe un interval

Lasă funcția y = f(x) definit în intervalul ] o, b[ și este continuă în fiecare punct al acestui interval. Apoi se numește continuu în intervalul ] o, b[ . Conceptul de continuitate a unei funcții pe intervale de forma ]- ∞ este definit în mod similar, b[ , ]o, + ∞[ , ]- ∞, + ∞[ . Lasă acum funcția y = f(x) definit pe intervalul [ o, b] . Diferența dintre un interval și un segment: punctele limită ale unui interval nu sunt incluse în interval, dar punctele limită ale unui segment sunt incluse în segment. Aici ar trebui să menționăm așa-numita continuitate unilaterală: la punct o, rămânând pe segmentul [ o, b] , ne putem apropia doar din dreapta, și la obiect b- doar in stanga. Se spune că funcția este continuă pe intervalul [ o, b] , dacă este continuă în toate punctele interioare ale acestui segment, continuă în dreapta în punctul respectiv oși este lăsat continuu în punct b.

Un exemplu de funcție continuă poate fi oricare dintre funcțiile elementare. Fiecare funcție elementară este continuă pe orice interval pe care este definită. De exemplu, funcțiile și sunt continue pe orice interval [ o, b], funcția este continuă pe intervalul [ 0 , b] , funcția este continuă pe orice segment care nu conține un punct o = 2 .

Exemplul 4. Examinați funcția pentru continuitate.

Soluţie. Să verificăm prima condiție. Funcția nu este definită la punctele - 3 și 3. Cel puțin una dintre condițiile pentru continuitatea funcției de-a lungul întregii drepte numerice nu este îndeplinită. Prin urmare, această funcție este continuă pe intervale

.

Exemplul 5. Determinați la ce valoare a parametrului o continuă pe tot parcursul domeniul definirii funcţie

Soluţie.

Să găsim limita din dreapta la:

.

Evident, valoarea la punct x= 2 ar trebui să fie egal topor :

o = 1,5 .

Exemplul 6. Determinați la ce valori ale parametrilor oŞi b continuă pe tot parcursul domeniul definirii funcţie

Soluţie.
Să găsim limita din stânga a funcției în punctul:

.

Prin urmare, valoarea punctului trebuie să fie 1:

Să găsim funcția din stânga la punctul:

Evident, valoarea funcției într-un punct ar trebui să fie egală cu:

Răspuns: funcția este continuă pe întregul domeniu de definiție când o = 1; b = -3 .

Proprietățile de bază ale funcțiilor continue

Matematica a ajuns la conceptul de funcție continuă studiind, în primul rând, diferitele legi ale mișcării. Spațiul și timpul sunt infinite, iar dependența, de exemplu, căi s din când în când t, exprimate prin lege s = f(t) , oferă un exemplu de continuu funcții f(t). Temperatura apei încălzite se modifică, de asemenea, continuu, este și o funcție continuă a timpului: T = f(t) .

În analiza matematică sunt dovedite unele proprietăți pe care le au funcțiile continue. Să prezentăm cele mai importante dintre aceste proprietăți.

1. Dacă o funcție continuă pe un interval ia valori de diferite semne la sfârșitul intervalului, atunci la un moment dat al acestui interval ia o valoare egală cu zero. Într-o declarație mai formală, această proprietate este dată într-o teoremă cunoscută sub numele de prima teoremă Bolzano-Cauchy.

2. Funcția f(x), continuu pe intervalul [ o, b] , ia toate valorile intermediare dintre valorile de la punctele finale, adică între f(o) Și f(b). Într-o declarație mai formală, această proprietate este dată într-o teoremă cunoscută sub numele de a doua teoremă Bolzano-Cauchy.