Volumul unei piramide triunghiulare. Piramidă

O piramidă este un poliedru cu un poligon la bază. Toate fețele, la rândul lor, formează triunghiuri care converg la un singur vârf. Piramidele sunt triunghiulare, patrulatere și așa mai departe. Pentru a determina ce piramidă se află în fața ta, este suficient să numeri numărul de unghiuri de la baza acesteia. Definiția „înălțimii unei piramide” se găsește foarte des în problemele de geometrie din programa școlară. În acest articol vom încerca să luăm în considerare moduri diferite locația ei.

Părți ale piramidei

Fiecare piramidă este formată din următoarele elemente:

• fetele laterale, care au trei unghiuri și converg la vârf;
• apotema reprezintă înălțimea care coboară de la vârful ei;
• vârful piramidei este un punct care leagă nervurile laterale, dar nu se află în planul bazei;
• baza este un poligon pe care nu se află vârful;
• înălțimea unei piramide este un segment care intersectează vârful piramidei și formează un unghi drept cu baza acesteia.

Cum se află înălțimea unei piramide dacă este cunoscut volumul acesteia

Prin formula V = (S*h)/3 (în formula V este volumul, S este aria bazei, h este înălțimea piramidei) aflăm că h = (3*V)/ S. Pentru a consolida materialul, să rezolvăm imediat problema. Baza triunghiulară este de 50 cm 2 , în timp ce volumul ei este de 125 cm 3 . Înălțime necunoscută piramidă triunghiulară, ceea ce trebuie să găsim. Totul este simplu aici: introducem datele în formula noastră. Obținem h = (3*125)/50 = 7,5 cm.

Cum se află înălțimea unei piramide dacă lungimea diagonalei și marginile ei sunt cunoscute

După cum ne amintim, înălțimea piramidei formează un unghi drept cu baza sa. Aceasta înseamnă că înălțimea, muchia și jumătatea diagonalei formează împreună. Mulți, desigur, își amintesc de teorema lui Pitagora. Cunoscând două dimensiuni, nu va fi greu să găsiți a treia cantitate. Să ne amintim binecunoscuta teoremă a² = b² + c², unde a este ipotenuza, iar în cazul nostru muchia piramidei; b - primul picior sau jumătate din diagonală și, respectiv, c - al doilea picior, sau înălțimea piramidei. Din această formulă c² = a² - b².

Acum problema: într-o piramidă obișnuită diagonala este de 20 cm, când lungimea marginii este de 30 cm. Trebuie să găsiți înălțimea. Rezolvăm: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Prin urmare, c = √ 500 = aproximativ 22,4.

Cum să aflați înălțimea unei piramide trunchiate

Este un poligon cu o secțiune transversală paralelă cu baza. Înălțimea unei piramide trunchiate este segmentul care leagă cele două baze ale acesteia. Înălțimea poate fi găsită la piramida regulata, dacă se cunosc lungimile diagonalelor ambelor baze, precum și marginea piramidei. Fie diagonala bazei mai mari d1, în timp ce diagonala bazei mai mici este d2, iar muchia are lungimea l. Pentru a găsi înălțimea, puteți coborî înălțimile din cele două puncte superioare opuse ale diagramei până la baza acesteia. Vedem că avem două triunghi dreptunghic, rămâne de găsit lungimile picioarelor lor. Pentru a face acest lucru, scădeți-o pe cea mai mică din diagonala mai mare și împărțiți-l cu 2. Așadar, vom găsi un catet: a = (d1-d2)/2. După care, conform teoremei lui Pitagora, tot ce trebuie să facem este să găsim al doilea picior, care este înălțimea piramidei.

Acum să ne uităm la toată chestia asta în practică. Avem o sarcină în față. O piramidă trunchiată are un pătrat la bază, lungimea diagonală a bazei mai mari este de 10 cm, în timp ce cea mai mică este de 6 cm, iar marginea este de 4 cm. În primul rând, găsim un picior: a = (10-6)/2 = 2 cm Un picior este egal cu 2 cm, iar ipotenuza este de 4 cm. 4 = 12, adică h = √12 = aproximativ 3,5 cm.

Caracteristica principală a oricărui figură geometricăîn spațiu este volumul său. În acest articol ne vom uita la ce este o piramidă cu un triunghi la bază și vom arăta, de asemenea, cum să găsim volumul unei piramide triunghiulare - obișnuită, plină și trunchiată.

Ce este aceasta - o piramidă triunghiulară?

Toată lumea a auzit de antici Piramidele egiptene, cu toate acestea, ele sunt patruunghiulare regulate, nu triunghiulare. Să explicăm cum să obțineți o piramidă triunghiulară.

Să luăm un triunghi arbitrar și să conectăm toate vârfurile sale cu un singur punct situat în afara planului acestui triunghi. Figura rezultată va fi numită o piramidă triunghiulară. Este prezentat în figura de mai jos.

După cum puteți vedea, figura în cauză este formată din patru triunghiuri, care în general sunt diferite. Fiecare triunghi este laturile piramidei sau fața acesteia. Această piramidă este adesea numită tetraedru, adică o figură tridimensională tetraedrică.

Pe lângă laturi, piramida are și margini (sunt 6) și vârfuri (din 4).

cu baza triunghiulara

O figură care este obținută folosind un triunghi arbitrar și un punct în spațiu va fi o piramidă înclinată neregulată în cazul general. Acum imaginați-vă că triunghiul original are laturile identice, iar un punct din spațiu este situat exact deasupra centrului său geometric la o distanță h de planul triunghiului. Piramida construită folosind aceste date inițiale va fi corectă.

Evident, numărul de muchii, laturi și vârfuri ale unei piramide triunghiulare regulate va fi același cu cel al unei piramide construite dintr-un triunghi arbitrar.

Cu toate acestea, cifra corectă are unele caracteristici distinctive:

• înălțimea lui trasă din vârf va intersecta exact baza la centrul geometric (punctul de intersecție al medianelor);
• suprafata laterala O astfel de piramidă este formată din trei triunghiuri identice, care sunt isoscele sau echilaterale.

O piramidă triunghiulară obișnuită nu este doar un obiect geometric pur teoretic. Unele structuri din natură au forma sa, de exemplu rețeaua cristalină a diamantului, unde un atom de carbon este conectat la patru atomi similari legături covalente, sau molecula de metan, unde vârfurile piramidei sunt formate din atomi de hidrogen.

piramidă triunghiulară

Puteți determina volumul absolut oricărei piramide cu un n-gon arbitrar la bază folosind următoarea expresie:

Aici simbolul S o denotă aria bazei, h este înălțimea figurii desenate la baza marcată din vârful piramidei.

Deoarece aria unui triunghi arbitrar este egală cu jumătate din produsul lungimii laturii sale a și apotema h a căzută pe această latură, formula pentru volumul unei piramide triunghiulare poate fi scrisă în următoarea formă:

V = 1/6 × a × h a × h

Pentru tip general Determinarea înălțimii nu este o sarcină ușoară. Pentru a o rezolva, cea mai simplă modalitate este să folosiți formula pentru distanța dintre un punct (vertex) și un plan (bază triunghiulară), reprezentată de ecuație vedere generală.

Pentru cea corectă, are un aspect specific. Aria bazei (a unui triunghi echilateral) pentru aceasta este egală cu:

Înlocuind-o în expresia generală pentru V, obținem:

V = √3/12 × a 2 × h

Un caz special este situația în care toate laturile unui tetraedru se dovedesc a fi triunghiuri echilaterale identice. În acest caz, volumul său poate fi determinat numai pe baza cunoașterii parametrului marginii sale a. Expresia corespunzătoare arată astfel:

Piramida trunchiată

Dacă partea superioară care conține vârful este tăiată dintr-o piramidă triunghiulară obișnuită, obțineți o figură trunchiată. Spre deosebire de cel original, acesta va fi format din două baze triunghiulare echilaterale și trei trapeze isoscele.

Fotografia de mai jos arată cum arată o piramidă triunghiulară trunchiată obișnuită făcută din hârtie.

Pentru a determina volumul unei piramide triunghiulare trunchiate, trebuie să cunoașteți trei dintre ele caracteristici liniare: fiecare latură a bazelor și înălțimea figurii egală cu distanța dintre bazele superioare și inferioare. Formula corespunzătoare pentru volum este scrisă după cum urmează:

V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)

Aici h este înălțimea figurii, A și a sunt lungimile laturilor triunghiurilor echilaterale mari (inferioare) și, respectiv, mici (superioare).

Rezolvarea problemei

Pentru a face informațiile din articol mai clare pentru cititor, vom arăta cu un exemplu clar cum să folosiți unele dintre formulele scrise.

Fie volumul piramidei triunghiulare de 15 cm 3 . Se știe că cifra este corectă. Este necesar să se găsească apotema a b a marginii laterale dacă se știe că înălțimea piramidei este de 4 cm.

Deoarece volumul și înălțimea figurii sunt cunoscute, puteți utiliza formula adecvată pentru a calcula lungimea laturii bazei acesteia. Avem:

V = √3/12 × a 2 × h =>

a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm

a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √(16 + 25,98 2 / 12) = 8,5 cm

Lungimea calculată a apotemului figurii s-a dovedit a fi mai mare decât înălțimea acesteia, ceea ce este valabil pentru orice tip de piramidă.

Piramida patruunghiulara este un poliedru a cărui bază este un pătrat, iar toate fețele sale laterale sunt triunghiuri isoscele identice.

Acest poliedru are multe proprietăți diferite:

• Marginile sale laterale și unghiurile diedrice adiacente sunt egale între ele;
• Zonele fețelor laterale sunt aceleași;
• La baza corectului piramida patruunghiulara zace un pătrat;
• Înălțimea coborâtă din vârful piramidei intersectează punctul în care se intersectează diagonalele bazei.

Toate aceste proprietăți îl fac ușor de găsit. Cu toate acestea, destul de des, pe lângă aceasta, este necesar să se calculeze volumul poliedrului. Pentru a face acest lucru, utilizați formula pentru volumul unei piramide patruunghiulare:

Adică, volumul piramidei este egal cu o treime din produsul dintre înălțimea piramidei și aria bazei. Deoarece este egal cu produsul său laturi egale, apoi introducem imediat formula pentru aria unui pătrat în expresia volumului.
Să luăm în considerare un exemplu de calcul al volumului unei piramide patruunghiulare.

Să fie dată o piramidă patruunghiulară, a cărei bază este un pătrat cu latura a = 6 cm Fața laterală a piramidei este b = 8 cm.

Pentru a găsi volumul unui poliedru dat, avem nevoie de lungimea înălțimii acestuia. Prin urmare, îl vom găsi prin aplicarea teoremei lui Pitagora. Mai întâi, să calculăm lungimea diagonalei. În triunghiul albastru va fi ipotenuza. De asemenea, merită să ne amintim că diagonalele pătratului sunt egale între ele și sunt împărțite la jumătate în punctul de intersecție:


Acum din triunghiul roșu găsim înălțimea h de care avem nevoie. Acesta va fi egal cu:

Să înlocuim valorile necesare și să găsim înălțimea piramidei:

Acum, cunoscând înălțimea, putem înlocui toate valorile în formula pentru volumul piramidei și putem calcula valoarea necesară:

În acest fel, cunoscând câteva formule simple, am putut calcula volumul unei piramide patruunghiulare obișnuite. Nu uita asta valoare dată măsurată în unități cubice.

Una dintre cele mai simple figuri tridimensionale este piramida triunghiulară, deoarece constă din cel mai mic număr de fețe din care se poate forma o figură în spațiu. În acest articol ne vom uita la formule care pot fi folosite pentru a găsi volumul unei piramide regulate triunghiulare.

Piramida triunghiulara

Conform definiție generală o piramidă este un poligon, ale cărui vârfuri sunt conectate la un punct care nu este situat în planul acestui poligon. Dacă acesta din urmă este un triunghi, atunci întreaga figură se numește piramidă triunghiulară.

Piramida în cauză este formată dintr-o bază (triunghi) și trei fețe laterale (triunghiuri). Punctul în care cele trei fețe laterale sunt conectate se numește vârful figurii. Perpendiculara de la acest vârf coborât la bază este înălțimea piramidei. Dacă punctul de intersecție al perpendicularei cu baza coincide cu punctul de intersecție al medianelor triunghiului de la bază, atunci vorbim de o piramidă regulată. În caz contrar, va fi înclinat.

După cum sa menționat, baza unei piramide triunghiulare poate fi un tip general de triunghi. Cu toate acestea, dacă este echilaterală, iar piramida în sine este dreaptă, atunci ei vorbesc despre o figură tridimensională obișnuită.

Orice piramidă triunghiulară are 4 fețe, 6 muchii și 4 vârfuri. Dacă lungimile tuturor marginilor sunt egale, atunci o astfel de figură se numește tetraedru.

tip general

Înainte de a scrie o piramidă triunghiulară regulată, dăm expresia pentru aceasta mărime fizică pentru o piramidă de tip general. Această expresie arată astfel:

Aici S o este aria bazei, h este înălțimea figurii. Această egalitate va fi valabilă pentru orice tip de bază de poligon piramidal, precum și pentru un con. Dacă la bază există un triunghi cu lungimea laturii a și înălțimea h o coborâtă pe el, atunci formula pentru volum se va scrie după cum urmează:

Formule pentru volumul unei piramide triunghiulare regulate

O piramidă triunghiulară regulată are la bază un triunghi echilateral. Se știe că înălțimea acestui triunghi este legată de lungimea laturii sale prin egalitatea:

Înlocuind această expresie în formula pentru volumul unei piramide triunghiulare scrisă în paragraful anterior, obținem:

V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.

Volumul unei piramide obișnuite cu o bază triunghiulară este o funcție de lungimea laturii bazei și de înălțimea figurii.

Din moment ce oricare poligon regulat poate fi înscris într-un cerc, a cărui rază va determina în mod unic lungimea laturii poligonului, atunci această formulă poate fi scrisă prin raza corespunzătoare r:

Această formulă poate fi obținută cu ușurință din cea anterioară, dacă ținem cont că raza r a cercului circumscris prin lungimea laturii a a triunghiului este determinată de expresia:

Problema determinării volumului unui tetraedru

Vă vom arăta cum să utilizați formulele de mai sus pentru a rezolva sarcini specifice geometrie.

Se știe că un tetraedru are o lungime a muchiei de 7 cm Aflați volumul unei piramide-tetraedru triunghiulare obișnuite.

Amintiți-vă că un tetraedru este regulat în care toate bazele sunt egale între ele. Pentru a utiliza formula volumului triunghiular, trebuie să calculați două cantități:

• lungimea laturii triunghiului;
• înălțimea figurii.

Prima cantitate este cunoscută din condițiile problemei:

Pentru a determina înălțimea, luați în considerare figura prezentată în figură.

Triunghiul marcat ABC este un triunghi dreptunghic, unde unghiul ABC este de 90 o. Latura AC este ipotenuza iar lungimea ei este a. Folosind un raționament geometric simplu, se poate demonstra că latura BC are lungimea:

Rețineți că lungimea BC este raza cercului circumscris triunghiului.

h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).

Acum puteți înlocui h și a în formula corespunzătoare pentru volum:

V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .

Astfel, am obținut formula pentru volumul unui tetraedru. Se poate observa că volumul depinde doar de lungimea marginii. Dacă substituim valoarea din condițiile problemei în expresie, atunci obținem răspunsul:

V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 cm 3.

Dacă comparăm această valoare cu volumul unui cub având aceeași muchie, constatăm că volumul tetraedrului este de 8,5 ori mai mic. Acest lucru indică faptul că tetraedrul este o figură compactă care apare în unele substanțe naturale. De exemplu, molecula de metan are o formă tetraedrică, iar fiecare atom de carbon din diamant este conectat la alți patru atomi pentru a forma un tetraedru.

Problema piramidei omotetice

Să rezolvăm o problemă geometrică interesantă. Să presupunem că există o piramidă regulată triunghiulară cu un anumit volum V 1. De câte ori trebuie redusă dimensiunea acestei figuri pentru a obține o piramidă omotetică cu un volum de trei ori mai mic decât originalul?

Să începem să rezolvăm problema scriind formula pentru piramida regulată originală:

V 1 = √3/12*a 1 2 *h 1 .

Fie că volumul cifrei cerut de condițiile problemei se obține prin înmulțirea parametrilor ei cu coeficientul k. Avem:

V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .

Deoarece raportul dintre volumele cifrelor este cunoscut din condiție, obținem valoarea coeficientului k:

k = ∛(V 2 /V 1) = ∛(1/3) ≈ 0,693.

Rețineți că am obține o valoare similară a coeficientului k pentru o piramidă de orice tip și nu doar pentru una triunghiulară obișnuită.