Volumul unui tetraedru. tetraedru regulat (piramida)

Din formula de bază pentru volumul unui tetraedru

Unde S este zona oricărei fețe și H– înălțimea coborâtă pe ea, o puteți afișa și o serie intreaga formule care exprimă volumul prin diverse elemente ale tetraedrului. Să prezentăm aceste formule pentru tetraedru ABCD.

(2) ,

unde ∠ ( AD,ABC) – unghi între muchie ADși planul feței ABC;

(3) ,

unde ∠ ( ABC,ABD) – unghi între fețe ABCŞi ABD;

unde | AB,CD| – distanta dintre coastele opuse ABŞi CD, ∠ (AB,CD) este unghiul dintre aceste muchii.

Formulele (2)–(4) pot fi folosite pentru a găsi unghiurile dintre drepte și plane; Este deosebit de utilă formula (4), cu ajutorul căreia puteți găsi distanța dintre liniile de trecere ABŞi CD.

Formulele (2) și (3) sunt similare cu formula S = (1/2)ab păcat C pentru aria triunghiului. Formula S = rp formula similara

Unde r este raza sferei înscrise a tetraedrului, Σ este suprafața sa totală (suma ariilor tuturor fețelor). Există, de asemenea, o formulă frumoasă care conectează volumul unui tetraedru cu raza R sfera sa descrisă ( Formula crellet):

unde Δ este aria unui triunghi ale cărui laturi sunt numeric egale cu produsele muchiilor opuse ( AB× CD, A.C.× BD,AD× B.C.). Din formula (2) și teorema cosinusului pentru unghiurile triedrice (vezi Trigonometrie sferică), putem deriva o formulă similară cu formula lui Heron pentru triunghiuri.

Nota. Aceasta face parte dintr-o lecție cu probleme de geometrie (stereometrie secțiuni, probleme despre piramidă). Dacă trebuie să rezolvați o problemă de geometrie care nu este aici, scrieți despre ea pe forum. În sarcini, în loc de simbolul „rădăcină pătrată”, se folosește funcția sqrt(), în care sqrt este simbolul rădăcină pătrată, iar expresia radicală este indicată între paranteze.Pentru expresiile radicale simple se poate folosi semnul „√”.. Tetraedru regulat- asta este corect piramidă triunghiularăîn care toate fețele sunt triunghiuri echilaterale.

Într-un tetraedru obișnuit, toate unghiurile diedrice de la margini și toate unghiurile triedrice de la vârfuri sunt egale

Un tetraedru are 4 fețe, 4 vârfuri și 6 muchii.

Formulele de bază pentru un tetraedru obișnuit sunt date în tabel.

Unde:
S - Suprafața unui tetraedru obișnuit
V - volum
h - înălțime coborâtă până la bază
r - raza cercului înscris în tetraedru
R - circumradius
a - lungimea muchiei

Exemple practice

Sarcină.
Aflați aria suprafeței unei piramide triunghiulare cu fiecare muchie egală cu √3

Soluţie.
Deoarece toate marginile unei piramide triunghiulare sunt egale, aceasta este regulată. Aria suprafeței unei piramide triunghiulare regulate este S = a 2 √3.
Apoi
S = 3√3

Răspuns: 3√3

Sarcină.
Toate marginile unei piramide triunghiulare obișnuite sunt egale cu 4 cm Aflați volumul piramidei

Soluţie.
Deoarece într-o piramidă triunghiulară regulată înălțimea piramidei este proiectată spre centrul bazei, care este și centrul cercului circumscris, atunci

AO = R = √3 / 3 a
AO = 4√3 / 3

Astfel, înălțimea piramidei OM poate fi găsită de la triunghi dreptunghic AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Găsim volumul piramidei folosind formula V = 1/3 Sh
În acest caz, găsim aria bazei folosind formula S = √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V = 16√2/3

Răspuns: 16√2 / 3 cm

Să considerăm un triunghi arbitrar ABC și un punct D care nu se află în planul acestui triunghi. Să conectăm acest punct cu vârfurile triunghiului ABC folosind segmente. Ca rezultat, obținem triunghiuri ADC, CDB, ABD. Suprafața delimitată de patru triunghiuri ABC, ADC, CDB și ABD se numește tetraedru și este denumită DABC.
Triunghiurile care alcătuiesc un tetraedru se numesc fețele sale.
Laturile acestor triunghiuri se numesc marginile tetraedrului. Și vârfurile lor sunt vârfurile unui tetraedru

Tetraedrul are 4 fețe, 6 coasteŞi 4 vârfuri.
Două muchii care nu au un vârf comun se numesc opuse.
Adesea, pentru comoditate, se numește una dintre fețele tetraedrului bază, iar celelalte trei fețe sunt fețe laterale.

Astfel, un tetraedru este cel mai simplu poliedru ale cărui fețe sunt patru triunghiuri.

Dar este și adevărat că orice piramidă triunghiulară arbitrară este un tetraedru. Atunci este și adevărat că se numește tetraedru o piramidă cu un triunghi la bază.

Înălțimea tetraedrului numit segment care leagă un vârf cu un punct situat pe faţa opusă şi perpendicular pe acesta.
Mediana unui tetraedru numit segment care leagă un vârf de punctul de intersecție al medianelor feței opuse.
Bimedian al unui tetraedru numit segment care leagă punctele medii ale muchiilor care se intersectează ale unui tetraedru.

Deoarece un tetraedru este o piramidă cu o bază triunghiulară, volumul oricărui tetraedru poate fi calculat folosind formula

• S– zona oricărei fețe,
• H– înălțimea coborâtă până la această față

Tetraedru obișnuit - un tip special de tetraedru

Un tetraedru în care toate fețele sunt echilaterale se numește triunghi. corecta.
Proprietățile unui tetraedru regulat:

• Toate marginile sunt egale.
• Toate unghiurile plane ale unui tetraedru obișnuit sunt de 60°
• Deoarece fiecare dintre vârfurile sale este vârful a trei triunghiuri regulate, suma unghiurilor plane la fiecare vârf este de 180°
• Orice vârf al unui tetraedru regulat este proiectat în ortocentrul feței opuse (în punctul de intersecție al altitudinilor triunghiului).

Să ni se dea un tetraedru regulat ABCD cu muchii egale cu a. DH este înălțimea sa.
Să facem construcții suplimentare BM - înălțimea triunghiului ABC și DM - înălțimea triunghiului ACD.
Înălțimea lui BM este egală cu BM și este egală cu
Luați în considerare triunghiul BDM, unde DH, care este înălțimea tetraedrului, este și înălțimea acestui triunghi.
Înălțimea triunghiului coborât pe latura MB poate fi găsită folosind formula

, Unde
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Să înlocuim aceste valori în formula înălțimii. Primim


Să scoatem 1/2a. Primim

Să aplicăm formula diferenței de pătrate

După mici transformări obținem


Volumul oricărui tetraedru poate fi calculat folosind formula
,
Unde ,

Înlocuind aceste valori, obținem

Astfel, formula de volum pentru un tetraedru obișnuit este

Unde o– marginea tetraedrului

Calcularea volumului unui tetraedru dacă sunt cunoscute coordonatele vârfurilor acestuia

Să ni se dea coordonatele vârfurilor tetraedrului

Din vârf desenăm vectorii , , .
Pentru a găsi coordonatele fiecăruia dintre acești vectori, scădeți coordonatele de început corespunzătoare din coordonatele de sfârșit. Primim

Definiţia tetrahedron

Tetraedru– cel mai simplu corp poliedric, ale cărui fețe și bază sunt triunghiuri.

Calculator online

Un tetraedru are patru fețe, fiecare dintre ele formată din trei laturi. Tetraedrul are patru vârfuri, cu trei margini care ies din fiecare.

Acest organism este împărțit în mai multe tipuri. Mai jos este clasificarea lor.

1. Tetraedru izoedric- toate fețele sale sunt triunghiuri identice;
2. tetraedru ortocentric- toate înălțimile trasate de la fiecare vârf până la fața opusă sunt egale ca lungime;
3. Tetraedru dreptunghiular- muchiile care emană dintr-un vârf formează un unghi de 90 de grade între ele;
4. Cadru;
5. Proporțional;
6. Incentric.

Formule ale volumului tetraedrului

Volumul unui corp dat poate fi găsit în mai multe moduri. Să le privim mai detaliat.

Prin produsul mixt al vectorilor

Dacă un tetraedru este construit pe trei vectori cu coordonate:

A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)o= (o x​ , o y​ , o z​ )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)b= (b x​ , b y​ , b z​ )
c ⃗ = (c x , c y , c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)c= (c x​ , c y​ , c z​ ) ,

atunci volumul acestui tetraedru este produsul mixt al acestor vectori, adică următorul determinant:

Volumul unui tetraedru prin determinant

V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_z & c_vmatrix \\ & c_vmatrix )V=6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ o x​ b x​ c x​ ​ o y​ b y​ c y​ ​ o z​ b z​ c z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Problema 1

Sunt cunoscute coordonatele celor patru vârfuri ale octaedrului. A(1, 4, 9) A(1,4,9) A(1, 4, 9), B (8, 7, 3) B(8, 7, 3) B(8, 7, 3), C (1, 2, 3) ​​C (1,2,3) C(1, 2, 3), D(7, 12, 1) D(7, 12, 1) D(7, 1 2, 1). Găsiți-i volumul.

Soluţie

A(1, 4, 9) A(1,4,9) A(1, 4, 9)
B (8, 7, 3) B(8, 7, 3) B(8, 7, 3)
C (1, 2, 3) ​​C (1,2,3) C(1, 2, 3)
D(7, 12, 1) D(7, 12, 1) D(7, 1 2, 1)

Primul pas este de a determina coordonatele vectorilor pe care este construit acest corp.
Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți fiecare coordonată vectorială scăzând coordonatele corespunzătoare ale celor două puncte. De exemplu, coordonatele vectoriale A B → \overrightarrow(AB) A B, adică un vector îndreptat din punct A A O la obiect B B B, acestea sunt diferențele dintre coordonatele corespunzătoare ale punctelor B B BŞi A A O:

A B → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)A B= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

A C → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)A C= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
A D → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)A D= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Acum vom găsi produsul mixt al acestor vectori pentru aceasta vom compune un determinant de ordinul trei, acceptând în același timp că A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)A B= o, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)A C= b, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)A D= c.

∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ = ∣ 7 3 - 6 0 - 2 - 6 6 8 - 8 ∣ = 7 ⋅ ( - 2) ⋅ ( - 8) + 3 ⋅ ( - 6) ⋅ 6 + ( - 6) ⋅ 0 ⋅ 8 - (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin a(v_x &x) a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ o x​ b x​ cx​ ​ oy​ by​ cy​ ​ oz​ bz​ cz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Adică volumul tetraedrului este egal cu:

$V=61\cdot |$

Răspuns

$44.8\text{cm3 .}$

Formula pentru volumul unui tetraedru izoedric de-a lungul laturii sale

Această formulă este valabilă doar pentru calcularea volumului unui tetraedru izoedric, adică a unui tetraedru în care toate fețele sunt triunghiuri regulate identice.

Volumul unui tetraedru izoedric

$V=12\sqrt{2\cdot o^3}$

a ao- lungimea marginii tetraedrului.

Problema 2

Determinați volumul unui tetraedru având în vedere latura lui egală cu $11\text{cm.}$

Soluţie

$o=11$

Să înlocuim a aoîn formula pentru volumul unui tetraedru:

$V=12\sqrt{2\cdot o^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{cm3}}}}}$

Răspuns

$156.8\text{cm3 .}$