Despre aplicarea teoremei lui Vieta în rezolvarea ecuațiilor pătratice. Rezolvarea orală a ecuațiilor pătratice și teorema lui Vieta Când să folosiți teorema lui Vieta

François Viète (1540-1603) – matematician, creator formule celebre Vieta

teorema lui Vieta necesare pentru a rezolva rapid ecuații pătratice (în cuvinte simple).

Mai detaliat, atunci Teorema lui Vieta este că suma rădăcinilor unei ecuații pătratice date este egală cu al doilea coeficient, care este luat cu semnul opus, iar produsul este egal cu termenul liber. Orice ecuație pătratică redusă care are rădăcini are această proprietate.

Folosind teorema lui Vieta, puteți rezolva cu ușurință ecuații patratice prin selecție, așa că să-i spunem „mulțumesc” acestui matematician cu o sabie în mână pentru fericita noastră clasă a VII-a.

Dovada teoremei lui Vieta

Pentru a demonstra teorema, puteți folosi formule de rădăcină binecunoscute, datorită cărora vom compune suma și produsul rădăcinilor unei ecuații pătratice. Abia după aceasta ne putem asigura că sunt egale și, în consecință, .

Să presupunem că avem o ecuație: . Această ecuație are următoarele rădăcini: și . Să demonstrăm că , .

Conform formulelor pentru rădăcinile unei ecuații pătratice:

1. Aflați suma rădăcinilor:

Să ne uităm la această ecuație, cum am obținut-o exact așa:

= .

Pasul 1. Reducând fracțiile la un numitor comun, rezultă:

= = .

Pasul 2. Avem o fracție în care trebuie să deschidem parantezele:

Reducem fracția cu 2 și obținem:

Am demonstrat relația pentru suma rădăcinilor unei ecuații pătratice folosind teorema lui Vieta.

2. Aflați produsul rădăcinilor:

= = = = = .

Să demonstrăm această ecuație:

Pasul 1. Există o regulă pentru înmulțirea fracțiilor, conform căreia înmulțim această ecuație:

Acum să ne amintim definiția rădăcină pătratăși luați în considerare:

= .

Pasul 3. Să reamintim discriminantul ecuației pătratice: . Prin urmare, în loc de D (discriminant), înlocuim în ultima fracție, apoi rezultă:

= .

Pasul 4. Deschideți parantezele și adăugați termeni similari la fracție:

Pasul 5. Scurtăm „4a” și obținem .

Deci am demonstrat relația pentru produsul rădăcinilor folosind teorema lui Vieta.

IMPORTANT!Dacă discriminantul este zero, atunci ecuația pătratică are o singură rădăcină.

Teorema conversie la teorema lui Vieta

Folosind teorema inversă teoremei lui Vieta, putem verifica dacă ecuația noastră este rezolvată corect. Pentru a înțelege teorema în sine, trebuie să o luați în considerare mai detaliat.

Dacă numerele sunt așa:

Și atunci ele sunt rădăcinile ecuației pătratice.

Dovada teoremei inverse a lui Vieta

Pasul 1.Să substituim expresii pentru coeficienții săi în ecuație:

Pasul 2.Să transformăm partea stângă a ecuației:

Pasul 3. Să găsim rădăcinile ecuației și pentru aceasta folosim proprietatea că produsul este egal cu zero:

Sau . De unde vine: sau .

Exemple cu soluții folosind teorema lui Vieta

Exemplul 1

Exercita

Aflați suma, produsul și suma pătratelor rădăcinilor unei ecuații pătratice fără a găsi rădăcinile ecuației.

Soluţie

Pasul 1. Să ne amintim formula discriminantă. Înlocuim literele cu numerele noastre. Adică , – aceasta înlocuiește , și . Din aceasta rezultă:

Se dovedește:

Title="Redată de QuickLaTeX.com" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}

Să exprimăm suma pătratelor rădăcinilor prin suma și produsul lor:

Răspuns

7; 12; 25.

Exemplul 2

Exercita

Rezolvați ecuația. Cu toate acestea, nu utilizați formule de ecuație pătratică.

Soluţie

U ecuația dată există rădăcini care, conform discriminantului (D), sunt mai mari decât zero. În consecință, conform teoremei lui Vieta, suma rădăcinilor acestei ecuații este egală cu 4, iar produsul este 5. În primul rând, determinăm divizorii numărului, a căror sumă este egală cu 4. Acestea sunt numerele „ 5” și „-1”. Produsul lor este egal cu 5, iar suma lor este 4. Aceasta înseamnă că, conform teoremei inverse teoremei lui Vieta, ele sunt rădăcinile acestei ecuații.

Răspuns

ŞI Exemplul 4

Exercita

Scrieți o ecuație în care fiecare rădăcină este de două ori rădăcina corespunzătoare a ecuației:

Soluţie

Conform teoremei lui Vieta, suma rădăcinilor acestei ecuații este egală cu 12, iar produsul = 7. Aceasta înseamnă că două rădăcini sunt pozitive.

Suma rădăcinilor noii ecuații va fi egală cu:

Și munca.

Prin teorema inversă teoremei lui Vieta, noua ecuație are forma:

Răspuns

Rezultatul este o ecuație, fiecare rădăcină a cărei rădăcină este de două ori mai mare:

Deci, ne-am uitat la cum să rezolvăm ecuația folosind teorema lui Vieta. Este foarte convenabil să folosiți această teoremă dacă rezolvați probleme care implică semnele rădăcinilor ecuațiilor pătratice. Adică, dacă termenul liber din formulă este un număr pozitiv și dacă ecuația pătratică are rădăcini reale, atunci ambele pot fi fie negative, fie pozitive.

Și dacă termenul liber este un număr negativ și dacă există rădăcini reale în ecuația pătratică, atunci ambele semne vor fi diferite. Adică, dacă o rădăcină este pozitivă, atunci cealaltă rădăcină va fi doar negativă.

Surse utile:

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A Algebra clasa a VIII-a: Moscova „Iluminismul”, 2016 – 318 p.
2. Rubin A.G., Chulkov P.V – manual Algebră clasa a VIII-a: Moscova „Balass”, 2015 – 237 p.
3. Nikolsky S. M., Potopav M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. – Algebră clasa a VIII-a: Moscova „Iluminismul”, 2014 – 300

Teorema lui Vieta, formula inversă a lui Vieta și exemple cu soluții pentru manechine actualizat: 22 noiembrie 2019 de: Articole stiintifice.Ru

Teorema lui Vieta (mai precis, teorema inversă teoremei lui Vieta) vă permite să reduceți timpul de rezolvare a ecuațiilor pătratice. Trebuie doar să știi cum să-l folosești. Cum să înveți să rezolvi ecuații pătratice folosind teorema lui Vieta? Nu este greu dacă te gândești puțin la asta.

Acum vom vorbi doar despre soluția prin teorema lui Vieta a ecuației pătratice reduse. ecuație pătratică este o ecuație în care a, adică coeficientul lui x², este egal cu unu. De asemenea, este posibil să se rezolve ecuații pătratice care nu sunt date folosind teorema lui Vieta, dar cel puțin una dintre rădăcini nu este un număr întreg. Sunt mai greu de ghicit.

Teorema inversă teoremei lui Vieta spune: dacă numerele x1 și x2 sunt astfel încât

atunci x1 și x2 sunt rădăcinile ecuației pătratice

Când rezolvați o ecuație pătratică folosind teorema lui Vieta, sunt posibile doar 4 opțiuni. Dacă vă amintiți linia raționamentului, puteți învăța să găsiți rădăcini întregi foarte repede.

I. Dacă q este un număr pozitiv,

aceasta înseamnă că rădăcinile x1 și x2 sunt numere de același semn (deoarece numai înmulțirea numerelor cu aceleași semne produce un număr pozitiv).

I.a. Dacă -p este un număr pozitiv, (respectiv, p<0), то оба корня x1 и x2 — numere pozitive(deoarece am adăugat numere de același semn și am obținut un număr pozitiv).

I.b. Dacă -p este un număr negativ, (respectiv, p>0), atunci ambele rădăcini sunt numere negative (am adăugat numere de același semn și am obținut un număr negativ).

II. Dacă q este un număr negativ,

aceasta înseamnă că rădăcinile x1 și x2 au semne diferite (la înmulțirea numerelor se obține un număr negativ doar atunci când semnele factorilor sunt diferite). În acest caz, x1+x2 nu mai este o sumă, ci o diferență (la urma urmei, când se adună numere cu semne diferite scadem pe cel mai mic din cel mai mare). Prin urmare, x1+x2 arată cât de mult diferă rădăcinile x1 și x2, adică cât de mult o rădăcină este mai mare decât cealaltă (în valoare absolută).

II.a. Dacă -p este un număr pozitiv, (adică p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Dacă -p este un număr negativ, (p>0), atunci rădăcina mai mare (modulo) este un număr negativ.

Să luăm în considerare rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta folosind exemple.

Rezolvați ecuația pătratică dată folosind teorema lui Vieta:

Aici q=12>0, deci rădăcinile x1 și x2 sunt numere de același semn. Suma lor este -p=7>0, deci ambele rădăcini sunt numere pozitive. Selectăm numere întregi al căror produs este egal cu 12. Acestea sunt 1 și 12, 2 și 6, 3 și 4. Suma este 7 pentru perechea 3 și 4. Aceasta înseamnă că 3 și 4 sunt rădăcinile ecuației.

În acest exemplu, q=16>0, ceea ce înseamnă că rădăcinile x1 și x2 sunt numere de același semn. Suma lor este -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Aici q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, atunci numărul mai mare este pozitiv. Deci rădăcinile sunt 5 și -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Între rădăcinile și coeficienții unei ecuații pătratice, pe lângă formulele rădăcinilor, există și alte relații utile care sunt date teorema lui Vieta. În acest articol vom oferi o formulare și o demonstrație a teoremei lui Vieta pentru o ecuație pătratică. În continuare considerăm teorema inversă cu teorema lui Vieta. După aceasta, vom analiza soluțiile la cele mai tipice exemple. În cele din urmă, notăm formulele Vieta care definesc relația dintre rădăcinile reale ecuație algebrică gradul n și coeficienții săi.

Navigare în pagină.

Teorema lui Vieta, formulare, demonstrație

Din formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice a·x 2 +b·x+c=0 de forma, unde D=b 2 −4·a·c, urmează următoarele relații: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 · x 2 = c/a . Aceste rezultate sunt confirmate teorema lui Vieta:

Teorema.

Dacă x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice a x 2 +b x+c=0, atunci suma rădăcinilor este egală cu raportul dintre coeficienții b și a, luați cu semnul opus, și produsul dintre rădăcinile este egală cu raportul dintre coeficienții c și a, adică .

Dovada.

Vom efectua demonstrația teoremei lui Vieta după următoarea schemă: vom compune suma și produsul rădăcinilor ecuației pătratice folosind formule de rădăcină cunoscute, apoi vom transforma expresiile rezultate și ne vom asigura că acestea sunt egale cu − b/a și, respectiv, c/a.

Să începem cu suma rădăcinilor și să o alcătuim. Acum aducem fracțiile la un numitor comun, avem . În numărătorul fracției rezultate, după care:. În cele din urmă, după 2, obținem . Aceasta dovedește prima relație a teoremei lui Vieta pentru suma rădăcinilor unei ecuații pătratice. Să trecem la al doilea.

Compunem produsul rădăcinilor ecuației pătratice: . Conform regulii înmulțirii fracțiilor, ultimul produs poate fi scris ca . Acum înmulțim o paranteză cu o paranteză în numărător, dar este mai rapid să restrângem acest produs cu formula diferenței pătrate, Deci . Apoi, amintindu-ne, efectuăm următoarea tranziție. Și întrucât discriminantul ecuației pătratice corespunde formulei D=b 2 −4·a·c, atunci în loc de D în ultima fracție putem înlocui b 2 −4·a·c, obținem. După ce deschidem parantezele și aducem termeni similari, ajungem la fracția , iar reducerea ei cu 4·a dă . Aceasta dovedește a doua relație a teoremei lui Vieta pentru produsul rădăcinilor.

Dacă omitem explicațiile, demonstrația teoremei lui Vieta va lua o formă laconică:
,
.

Rămâne doar de observat că dacă discriminantul este egal cu zero, ecuația pătratică are o rădăcină. Cu toate acestea, dacă presupunem că ecuația în acest caz are două rădăcini identice, atunci sunt valabile și egalitățile din teorema lui Vieta. Într-adevăr, când D=0 rădăcina ecuației pătratice este egală cu , atunci și , și deoarece D=0, adică b 2 −4·a·c=0, de unde b 2 =4·a·c, atunci .

În practică, teorema lui Vieta este folosită cel mai adesea în raport cu ecuația pătratică redusă (cu coeficientul de conducere a egal cu 1) de forma x 2 +p·x+q=0. Uneori se formulează doar pentru ecuații pătratice de acest tip, ceea ce nu limitează generalitatea, deoarece orice ecuație pătratică poate fi înlocuită cu o ecuație echivalentă prin împărțirea ambelor părți la un număr diferit de zero a. Să dăm formularea corespunzătoare a teoremei lui Vieta:

Teorema.

Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 +p x+q=0 este egală cu coeficientul lui x luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber, adică x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

Teorema conversie la teorema lui Vieta

A doua formulare a teoremei lui Vieta, dată în paragraful precedent, indică faptul că dacă x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse x 2 +p x+q=0, atunci relațiile x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. Pe de altă parte, din relațiile scrise x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q rezultă că x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice x 2 +p x+q=0. Cu alte cuvinte, inversul teoremei lui Vieta este adevărat. Să o formulăm sub forma unei teoreme și să o demonstrăm.

Teorema.

Dacă numerele x 1 și x 2 sunt astfel încât x 1 +x 2 =−p și x 1 · x 2 =q, atunci x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse x 2 +p · x+q =0.

Dovada.

După înlocuirea coeficienților p și q din ecuația x 2 +p·x+q=0 cu expresiile lor prin x 1 și x 2, se transformă într-o ecuație echivalentă.

Să substituim numărul x 1 în loc de x în ecuația rezultată și avem egalitatea x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, care pentru orice x 1 și x 2 reprezintă egalitatea numerică corectă 0=0, deoarece x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Prin urmare, x 1 este rădăcina ecuației x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, ceea ce înseamnă că x 1 este rădăcina ecuației echivalente x 2 +p·x+q=0.

Dacă în ecuație x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0înlocuiți numărul x 2 în loc de x, obținem egalitatea x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Aceasta este o adevărată egalitate, deoarece x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Prin urmare, x 2 este, de asemenea, o rădăcină a ecuației x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, și deci ecuațiile x 2 +p·x+q=0.

Aceasta completează demonstrația teoremei inverse la teorema lui Vieta.

Exemple de utilizare a teoremei lui Vieta

Este timpul să vorbim despre aplicarea practică a teoremei lui Vieta și a teoremei sale inverse. În această secțiune vom analiza soluții la câteva dintre cele mai tipice exemple.

Să începem prin a aplica teorema inversă la teorema lui Vieta. Este convenabil de utilizat pentru a verifica dacă două numere date sunt rădăcini ale unei ecuații pătratice date. În acest caz, se calculează suma și diferența lor, după care se verifică valabilitatea relațiilor. Dacă ambele dintre aceste relații sunt satisfăcute, atunci, în virtutea teoremei converse cu teorema lui Vieta, se ajunge la concluzia că aceste numere sunt rădăcinile ecuației. Dacă cel puțin una dintre relații nu este satisfăcută, atunci aceste numere nu sunt rădăcinile ecuației pătratice. Această abordare poate fi folosită la rezolvarea ecuațiilor pătratice pentru a verifica rădăcinile găsite.

Exemplu.

Care dintre perechile de numere 1) x 1 =−5, x 2 =3 sau 2) sau 3) este o pereche de rădăcini a ecuației pătratice 4 x 2 −16 x+9=0?

Soluţie.

Coeficienții ecuației pătratice date 4 x 2 −16 x+9=0 sunt a=4, b=−16, c=9. Conform teoremei lui Vieta, suma rădăcinilor unei ecuații pătratice ar trebui să fie egală cu −b/a, adică 16/4=4, iar produsul rădăcinilor să fie egal cu c/a, adică 9 /4.

Acum să calculăm suma și produsul numerelor din fiecare dintre cele trei perechi date și să le comparăm cu valorile pe care tocmai le-am obținut.

În primul caz avem x 1 +x 2 =−5+3=−2. Valoarea rezultată este diferită de 4, deci nu poate fi efectuată nicio verificare ulterioară, dar folosind teorema inversă teoremei lui Vieta, se poate concluziona imediat că prima pereche de numere nu este o pereche de rădăcini ale ecuației pătratice date.

Să trecem la al doilea caz. Aici, adică prima condiție este îndeplinită. Verificăm a doua condiție: valoarea rezultată este diferită de 9/4. În consecință, a doua pereche de numere nu este o pereche de rădăcini ale ecuației pătratice.

A mai rămas un ultim caz. Aici și. Ambele condiții sunt îndeplinite, astfel încât aceste numere x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice date.

Răspuns:

Reversul teoremei lui Vieta poate fi folosit în practică pentru a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice. De obicei, sunt selectate rădăcini întregi ale ecuațiilor pătratice date cu coeficienți întregi, deoarece în alte cazuri acest lucru este destul de dificil de realizat. În acest caz, ei folosesc faptul că, dacă suma a două numere este egală cu al doilea coeficient al ecuației pătratice, luată cu semnul minus, iar produsul acestor numere este egal cu termenul liber, atunci aceste numere sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice. Să înțelegem asta cu un exemplu.

Să luăm ecuația pătratică x 2 −5 x+6=0. Pentru ca numerele x 1 și x 2 să fie rădăcinile acestei ecuații, trebuie îndeplinite două egalități: x 1 + x 2 =5 și x 1 ·x 2 =6. Tot ce rămâne este să selectezi astfel de numere. În acest caz, acest lucru este destul de simplu de făcut: astfel de numere sunt 2 și 3, deoarece 2+3=5 și 2·3=6. Astfel, 2 și 3 sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice.

Teorema inversă teoremei lui Vieta este deosebit de convenabilă de utilizat pentru a găsi a doua rădăcină a unei ecuații pătratice date atunci când una dintre rădăcini este deja cunoscută sau evidentă. În acest caz, a doua rădăcină poate fi găsită din oricare dintre relații.

De exemplu, să luăm ecuația pătratică 512 x 2 −509 x −3=0. Aici este ușor de observat că unitatea este rădăcina ecuației, deoarece suma coeficienților acestei ecuații pătratice este egală cu zero. Deci x 1 =1. A doua rădăcină x 2 poate fi găsită, de exemplu, din relația x 1 ·x 2 =c/a. Avem 1 x 2 =−3/512, din care x 2 =−3/512. Așa am determinat ambele rădăcini ale ecuației pătratice: 1 și −3/512.

Este clar că selecția rădăcinilor este recomandată doar în cele mai simple cazuri. În alte cazuri, pentru a găsi rădăcinile, puteți aplica formulele pentru rădăcinile unei ecuații pătratice prin discriminant.

O altă aplicație practică a inversului teoremei lui Vieta este construirea de ecuații pătratice având în vedere rădăcinile x 1 și x 2 . Pentru a face acest lucru, este suficient să calculați suma rădăcinilor, care dă coeficientul lui x cu semnul opus al ecuației pătratice date, și produsul rădăcinilor, care dă termenul liber.

Exemplu.

Scrieți o ecuație pătratică ale cărei rădăcini sunt −11 și 23.

Soluţie.

Să notăm x 1 =−11 și x 2 =23. Calculăm suma și produsul acestor numere: x 1 +x 2 =12 și x 1 ·x 2 =−253. Prin urmare, numerele indicate sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse cu un al doilea coeficient de −12 și un termen liber de −253. Adică, x 2 −12·x−253=0 este ecuația necesară.

Răspuns:

x 2 −12·x−253=0 .

Teorema lui Vieta este foarte des folosită la rezolvarea problemelor legate de semnele rădăcinilor ecuațiilor pătratice. Cum este teorema lui Vieta legată de semnele rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 +p·x+q=0? Iată două afirmații relevante:

• Dacă intersecția q este un număr pozitiv și dacă ecuația pătratică are rădăcini reale, atunci fie ambele sunt pozitive, fie ambele negative.
• Dacă termenul liber q este un număr negativ și dacă ecuația pătratică are rădăcini reale, atunci semnele acestora sunt diferite, cu alte cuvinte, o rădăcină este pozitivă și cealaltă negativă.

Aceste afirmații rezultă din formula x 1 · x 2 =q, precum și din regulile de înmulțire a numerelor pozitive, negative și a numerelor cu semne diferite. Să ne uităm la exemple de aplicare a acestora.

Exemplu.

R este pozitiv. Folosind formula discriminantă găsim D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, valoarea expresiei r 2 +8 este pozitivă pentru orice r real, deci D>0 pentru orice r real. În consecință, ecuația pătratică originală are două rădăcini pentru orice valoare reală a parametrului r.

Acum să aflăm când rădăcinile au semne diferite. Dacă semnele rădăcinilor sunt diferite, atunci produsul lor este negativ și, conform teoremei lui Vieta, produsul rădăcinilor ecuației pătratice reduse este egal cu termenul liber. Prin urmare, ne interesează acele valori ale lui r pentru care termenul liber r−1 este negativ. Astfel, pentru a găsi valorile lui r care ne interesează, avem nevoie rezolva inegalitatea liniara r−1<0 , откуда находим r<1 .

Răspuns:

la r<1 .

formule Vieta

Mai sus am vorbit despre teorema lui Vieta pentru o ecuație pătratică și am analizat relațiile pe care le afirmă. Dar există formule care conectează rădăcinile și coeficienții reale nu numai a ecuațiilor pătratice, ci și a ecuațiilor cubice, a ecuațiilor de gradul al patrulea și, în general, ecuații algebrice gradul n. Sunt numiti formulele lui Vieta.

Să scriem formula Vieta pentru o ecuație algebrică de grad n a formei și vom presupune că are n rădăcini reale x 1, x 2, ..., x n (printre ele pot fi și unele care coincid):

Se pot obține formulele lui Vieta teorema despre descompunerea unui polinom în factori liniari, precum și definirea polinoamelor egale prin egalitatea tuturor coeficienților corespunzători acestora. Deci polinomul și expansiunea lui în factori liniari de formă sunt egale. Deschizând parantezele din ultimul produs și echivalând coeficienții corespunzători, obținem formulele lui Vieta.

În special, pentru n=2 avem formulele Vieta deja familiare pentru o ecuație pătratică.

Pentru o ecuație cubică, formulele lui Vieta au forma

Rămâne doar de observat că în partea stângă a formulelor lui Vieta se află așa-numitele elementare polinoame simetrice.

Referințe.

• Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. învăţământul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebră. clasa a VIII-a. În 2 ore. Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebrăși începutul analizei matematice. Clasa a X-a: manual. pentru învăţământul general instituții: de bază și de profil. niveluri / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; editat de A. B. Jiţcenko. - Ed. a 3-a. - M.: Educație, 2010.- 368 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Există o serie de relații în ecuațiile pătratice. Principalele sunt relațiile dintre rădăcini și coeficienți. De asemenea, în ecuațiile pătratice există o serie de relații care sunt date de teorema lui Vieta.

În acest subiect, vom prezenta teorema lui Vieta în sine și demonstrația ei pentru o ecuație pătratică, teorema inversă teoremei lui Vieta, și vom analiza o serie de exemple de rezolvare a problemelor. În material vom acorda o atenție deosebită luării în considerare a formulelor lui Vieta, care definesc legătura dintre rădăcinile reale ale unei ecuații algebrice de grad nși coeficienții săi.

Formularea și demonstrarea teoremei lui Vieta

Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice a x 2 + b x + c = 0 de forma x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a, unde D = b 2 − 4 a c, stabilește relații x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a. Acest lucru este confirmat de teorema lui Vieta.

Teorema 1

Într-o ecuație pătratică a x 2 + b x + c = 0, Unde x 1Şi x 2– rădăcini, suma rădăcinilor va fi egală cu raportul coeficienților bŞi o, care a fost luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor va fi egal cu raportul coeficienților cŞi o, adică x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a.

Dovada 1

Vă oferim următoarea schemă de realizare a demonstrației: luați formula rădăcinilor, compuneți suma și produsul rădăcinilor ecuației pătratice și apoi transformați expresiile rezultate pentru a vă asigura că sunt egale. -b aŞi c a respectiv.

Să facem suma rădăcinilor x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a. Să aducem fracțiile la un numitor comun - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Să deschidem parantezele din numărătorul fracției rezultate și să prezentăm termeni similari: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . Să reducem fracția cu: 2 - b a = - b a.

Așa am demonstrat prima relație a teoremei lui Vieta, care se referă la suma rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Acum să trecem la a doua relație.

Pentru a face acest lucru, trebuie să compunem produsul rădăcinilor ecuației pătratice: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a.

Să ne amintim regula de înmulțire a fracțiilor și să scriem ultimul produs astfel: - b + D · - b - D 4 · a 2.

Să înmulțim o paranteză cu o paranteză în numărătorul fracției sau să folosim formula diferenței de pătrate pentru a transforma mai repede acest produs: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .

Să folosim definiția unei rădăcini pătrate pentru a face următoarea tranziție: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Formula D = b 2 − 4 a c corespunde discriminantului unei ecuații pătratice, prin urmare, într-o fracție în loc de D poate fi înlocuit b 2 − 4 a c:

b 2 - D 4 a 2 = b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

Să deschidem parantezele, să adăugăm termeni similari și să obținem: 4 · a · c 4 · a 2 . Dacă o scurtăm la 4 a, atunci ce rămâne este c a . Așa am demonstrat a doua relație a teoremei lui Vieta pentru produsul rădăcinilor.

Dovada teoremei lui Vieta poate fi scrisă într-o formă foarte laconică dacă omitem explicațiile:

x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - b a , x 1 x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .

Când discriminantul unei ecuații pătratice este egal cu zero, ecuația va avea o singură rădăcină. Pentru a putea aplica teorema lui Vieta unei astfel de ecuații, putem presupune că ecuația, cu un discriminant egal cu zero, are două rădăcini identice. Într-adevăr, când D=0 rădăcina ecuației pătratice este: - b 2 · a, atunci x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a și x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2 , și deoarece D = 0, adică b 2 - 4 · a · c = 0, de unde b 2 = 4 · a · c, apoi b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a.

Cel mai adesea în practică, teorema lui Vieta este aplicată ecuației pătratice reduse a formei x 2 + p x + q = 0, unde coeficientul principal a este egal cu 1. În acest sens, teorema lui Vieta este formulată special pentru ecuații de acest tip. Acest lucru nu limitează generalitatea datorită faptului că orice ecuație pătratică poate fi înlocuită cu o ecuație echivalentă. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți ambele părți la un număr diferit de zero.

Să dăm o altă formulare a teoremei lui Vieta.

Teorema 2

Suma rădăcinilor din ecuația pătratică dată x 2 + p x + q = 0 va fi egal cu coeficientul lui x, care se ia cu semnul opus, produsul rădăcinilor va fi egal cu termenul liber, adică. x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q.

Teorema conversie la teorema lui Vieta

Dacă te uiți cu atenție la a doua formulare a teoremei lui Vieta, poți vedea că pentru rădăcini x 1Şi x 2 ecuație pătratică redusă x 2 + p x + q = 0 vor fi valabile următoarele relaţii: x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q. Din aceste relații x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q rezultă că x 1Şi x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice x 2 + p x + q = 0. Așa că ajungem la o afirmație care este inversul teoremei lui Vieta.

Ne propunem acum să formulăm această afirmație ca o teoremă și să realizăm demonstrația ei.

Teorema 3

Dacă numerele x 1Şi x 2 sunt astfel încât x 1 + x 2 = − pŞi x 1 x 2 = q, Asta x 1Şi x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse x 2 + p x + q = 0.

Dovada 2

Înlocuirea cotelor pŞi q la exprimarea lor prin x 1Şi x 2 vă permite să transformați ecuația x 2 + p x + q = 0într-un echivalent .

Dacă înlocuim numărul în ecuația rezultată x 1în loc de x, atunci obținem egalitatea x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Aceasta este egalitate pentru orice x 1Şi x 2 se transformă într-o adevărată egalitate numerică 0 = 0 , pentru că x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Aceasta înseamnă că x 1– rădăcina ecuației x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, Şi ce dacă x 1 este, de asemenea, rădăcina ecuației echivalente x 2 + p x + q = 0.

Înlocuirea în ecuație x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 numere x 2în loc de x ne permite să obținem egalitate x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Această egalitate poate fi considerată adevărată, deoarece x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Se dovedește că x 2 este rădăcina ecuației x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, și de aici ecuațiile x 2 + p x + q = 0.

Reversul teoremei lui Vieta a fost dovedit.

Exemple de utilizare a teoremei lui Vieta

Să începem acum să analizăm cele mai tipice exemple pe această temă. Să începem prin a analiza problemele care necesită aplicarea teoremei inverse teoremei lui Vieta. Poate fi folosit pentru a verifica numerele produse de calcule pentru a vedea dacă sunt rădăcinile unei ecuații pătratice date. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculați suma și diferența lor, apoi verificați validitatea relațiilor x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = a c.

Îndeplinirea ambelor relații indică faptul că numerele obținute în timpul calculelor sunt rădăcinile ecuației. Dacă vedem că cel puțin una dintre condiții nu este îndeplinită, atunci aceste numere nu pot fi rădăcinile ecuației pătratice date în enunțul problemei.

Exemplul 1

Care dintre perechile de numere 1) x 1 = − 5, x 2 = 3 sau 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3 sau 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 este o pereche de rădăcini ale unei ecuații pătratice 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?

Soluţie

Să găsim coeficienții ecuației pătratice 4 x 2 − 16 x + 9 = 0. Acesta este a = 4, b = − 16, c = 9. Conform teoremei lui Vieta, suma rădăcinilor unei ecuații pătratice trebuie să fie egală cu -b a, adică 16 4 = 4 , iar produsul rădăcinilor trebuie să fie egal c a, adică 9 4 .

Să verificăm numerele obținute calculând suma și produsul numerelor din trei perechi date și comparându-le cu valorile obținute.

În primul caz x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2. Această valoare este diferită de 4, prin urmare, verificarea nu trebuie continuată. Conform teoremei inverse cu teorema lui Vieta, putem concluziona imediat că prima pereche de numere nu sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice.

În al doilea caz, x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Vedem că prima condiție este îndeplinită. Dar a doua condiție nu este: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3. Valoarea pe care o obținem este diferită de 9 4 . Aceasta înseamnă că a doua pereche de numere nu sunt rădăcinile ecuației pătratice.

Să trecem la a treia pereche. Aici x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 și x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. Ambele condiții sunt îndeplinite, ceea ce înseamnă că x 1Şi x 2 sunt rădăcinile unei ecuații pătratice date.

Răspuns: x 1 = 2 + 7 2 , x 2 = 2 - 7 2

De asemenea, putem folosi inversul teoremei lui Vieta pentru a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice. Cel mai simplu mod este de a selecta rădăcini întregi ale ecuațiilor pătratice date cu coeficienți întregi. Alte opțiuni pot fi luate în considerare. Dar acest lucru poate complica semnificativ calculele.

Pentru a selecta rădăcini, folosim faptul că, dacă suma a două numere este egală cu al doilea coeficient al unei ecuații pătratice, luată cu semnul minus, iar produsul acestor numere este egal cu termenul liber, atunci aceste numere sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice.

Exemplul 2

Ca exemplu, folosim ecuația pătratică x 2 − 5 x + 6 = 0. Numerele x 1Şi x 2 pot fi rădăcinile acestei ecuații dacă sunt îndeplinite două egalități x 1 + x 2 = 5Şi x 1 x 2 = 6. Să selectăm aceste numere. Acestea sunt numerele 2 și 3, deoarece 2 + 3 = 5 Şi 2 3 = 6. Se pare că 2 și 3 sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice.

Reversul teoremei lui Vieta poate fi folosit pentru a găsi a doua rădăcină atunci când prima este cunoscută sau evidentă. Pentru a face acest lucru, putem folosi relațiile x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a.

Exemplul 3

Luați în considerare ecuația pătratică 512 x 2 − 509 x − 3 = 0. Este necesar să găsiți rădăcinile acestei ecuații.

Soluţie

Prima rădăcină a ecuației este 1, deoarece suma coeficienților acestei ecuații pătratice este zero. Se dovedește că x 1 = 1.

Acum să găsim a doua rădăcină. Pentru aceasta puteți folosi relația x 1 x 2 = c a. Se dovedește că 1 x 2 = − 3.512, unde x 2 = - 3.512.

Răspuns: rădăcinile ecuației pătratice specificate în enunțul problemei 1 Şi - 3 512 .

Este posibil să selectați rădăcini folosind teorema inversă teoremei lui Vieta numai în cazuri simple. În alte cazuri, este mai bine să căutați folosind formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice printr-un discriminant.

Datorită inversului teoremei lui Vieta, putem construi și ecuații pătratice folosind rădăcinile existente. x 1Şi x 2. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculăm suma rădăcinilor, care dă coeficientul pt x cu semnul opus al ecuației pătratice date și produsul rădăcinilor, care dă termenul liber.

Exemplul 4

Scrieți o ecuație pătratică ale cărei rădăcini sunt numere − 11 Şi 23 .

Soluţie

Să presupunem că x 1 = − 11Şi x 2 = 23. Suma și produsul acestor numere vor fi egale: x 1 + x 2 = 12Şi x 1 x 2 = − 253. Aceasta înseamnă că al doilea coeficient este 12, termenul liber − 253.

Să facem o ecuație: x 2 − 12 x − 253 = 0.

Răspuns: x 2 − 12 x − 253 = 0 .

Putem folosi teorema lui Vieta pentru a rezolva probleme care implică semnele rădăcinilor ecuațiilor pătratice. Legătura dintre teorema lui Vieta este legată de semnele rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 + p x + q = 0 după cum urmează:

• dacă ecuaţia pătratică are rădăcini reale şi dacă termenul de interceptare q este un număr pozitiv, atunci aceste rădăcini vor avea același semn „+” sau „-”;
• dacă ecuaţia pătratică are rădăcini şi dacă termenul de interceptare q este un număr negativ, atunci o rădăcină va fi „+”, iar a doua „-”.

Ambele afirmații sunt o consecință a formulei x 1 x 2 = qși reguli pentru înmulțirea numerelor pozitive și negative, precum și a numerelor cu semne diferite.

Exemplul 5

Sunt rădăcinile unei ecuații pătratice x 2 − 64 x − 21 = 0 pozitiv?

Soluţie

Conform teoremei lui Vieta, rădăcinile acestei ecuații nu pot fi ambele pozitive, deoarece trebuie să satisfacă egalitatea x 1 x 2 = − 21. Acest lucru este imposibil cu pozitiv x 1Şi x 2.

Răspuns: Nu

Exemplul 6

La ce valori ale parametrilor r ecuație pătratică x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 va avea două rădăcini reale cu semne diferite.

Soluţie

Să începem prin a găsi valorile cărora r, pentru care ecuația va avea două rădăcini. Să găsim discriminantul și să vedem ce r va lua valori pozitive. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Valoarea expresiei r2 + 8 pozitiv pentru orice real r, prin urmare, discriminantul va fi mai mare decât zero pentru orice real r. Aceasta înseamnă că ecuația pătratică originală va avea două rădăcini pentru orice valoare reală a parametrului r.

Acum să vedem când rădăcinile au semne diferite. Acest lucru este posibil dacă produsul lor este negativ. Conform teoremei lui Vieta, produsul rădăcinilor ecuației pătratice reduse este egal cu termenul liber. Aceasta înseamnă că soluția corectă va fi acele valori r, pentru care termenul liber r − 1 este negativ. Să rezolvăm inegalitatea liniară r − 1< 0 , получаем r < 1 .

Răspuns: la r< 1 .

formule Vieta

Există o serie de formule care sunt aplicabile pentru a efectua operații cu rădăcinile și coeficienții nu numai a ecuațiilor pătratice, ci și cubice și a altor tipuri de ecuații. Se numesc formulele lui Vieta.

Pentru o ecuație algebrică a gradului n de forma a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 se consideră că are ecuația n rădăcini adevărate x 1 , x 2 , … , x n, printre care pot fi aceleași:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = - a 1 a 0 , x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + . . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0 , x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 + . . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0

Definiția 1

Formulele lui Vieta ne ajută să obținem:

• teorema despre descompunerea unui polinom în factori liniari;
• determinarea polinoamelor egale prin egalitatea tuturor coeficienților lor corespunzători.

Astfel, polinomul a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n și extinderea lui în factori liniari de forma a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) sunt egale.

Dacă deschidem parantezele din ultimul produs și echivalăm coeficienții corespunzători, obținem formulele lui Vieta. Luând n = 2, putem obține formula lui Vieta pentru ecuația pătratică: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 · x 2 = a 2 a 0.

Definiția 2

Formula lui Vieta pentru ecuația cubică:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0 , x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0 , x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0

Partea stângă a formulei Vieta conține așa-numitele polinoame simetrice elementare.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Orice ecuație pătratică completă ax 2 + bx + c = 0 poate fi adus în minte x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, dacă mai întâi împărțiți fiecare termen la coeficientul a înainte x 2. Și dacă introducem notații noi (b/a) = pŞi (c/a) = q, atunci vom avea ecuația x 2 + px + q = 0, care în matematică se numește ecuație pătratică dată.

Rădăcinile ecuației pătratice reduse și coeficienți pŞi q conectate între ele. Acest lucru este confirmat teorema lui Vieta, numit după matematicianul francez Francois Vieta, care a trăit la sfârșitul secolului al XVI-lea.

Teorema. Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 + px + q = 0 egal cu al doilea coeficient p, luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor - la termenul liber q.

Să scriem aceste relații în următoarea formă:

Lasă x 1Şi x 2 diferite rădăcini ale ecuației date x 2 + px + q = 0. Conform teoremei lui Vieta x 1 + x 2 = -pŞi x 1 x 2 = q.

Pentru a demonstra acest lucru, să substituim fiecare dintre rădăcinile x 1 și x 2 în ecuație. Obținem două egalități adevărate:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Să scădem pe al doilea din prima egalitate. Primim:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Extindem primii doi termeni folosind formula diferenței de pătrate:

(x 1 – x 2)(x 1 – x 2) + p(x 1 – x 2) = 0

După condiție, rădăcinile x 1 și x 2 sunt diferite. Prin urmare, putem reduce egalitatea la (x 1 – x 2) ≠ 0 și exprimăm p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Prima egalitate a fost dovedită.

Pentru a demonstra a doua egalitate, înlocuim în prima ecuație

x 1 2 + px 1 + q = 0 în loc de coeficientul p, un număr egal este (x 1 + x 2):

x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0

Transformând partea stângă a ecuației, obținem:

x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0;

x 1 x 2 = q, care este ceea ce trebuia demonstrat.

Teorema lui Vieta este bună pentru că Chiar și fără a cunoaște rădăcinile unei ecuații pătratice, putem calcula suma și produsul lor .

Teorema lui Vieta ajută la determinarea rădăcinilor întregi ale unei ecuații pătratice date. Dar pentru mulți studenți acest lucru provoacă dificultăți din cauza faptului că nu cunosc un algoritm clar de acțiune, mai ales dacă rădăcinile ecuației au semne diferite.

Deci, ecuația pătratică de mai sus are forma x 2 + px + q = 0, unde x 1 și x 2 sunt rădăcinile sale. Conform teoremei lui Vieta, x 1 + x 2 = -p și x 1 x 2 = q.

Se poate trage următoarea concluzie.

Dacă ultimul termen din ecuație este precedat de un semn minus, atunci rădăcinile x 1 și x 2 au semne diferite. În plus, semnul rădăcinii mai mici coincide cu semnul celui de-al doilea coeficient din ecuație.

Pe baza faptului că atunci când adăugați numere cu semne diferite, modulele acestora sunt scăzute, iar rezultatul rezultat este precedat de semnul numărului mai mare în valoare absolută, ar trebui să procedați după cum urmează:

1. determinați factorii numărului q astfel încât diferența lor să fie egală cu numărul p;
2. pune semnul celui de-al doilea coeficient al ecuației în fața celui mai mic dintre numerele rezultate; a doua rădăcină va avea semnul opus.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 1.

Rezolvați ecuația x 2 – 2x – 15 = 0.

Soluţie.

Să încercăm să rezolvăm această ecuație folosind regulile propuse mai sus. Atunci putem spune cu siguranță că această ecuație va avea două rădăcini diferite, deoarece D = b 2 – 4ac = 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.

Acum, din toți factorii numărului 15 (1 și 15, 3 și 5), îi selectăm pe cei a căror diferență este 2. Acestea vor fi numerele 3 și 5. Punem semnul minus în fața numărului mai mic, adică. semnul celui de-al doilea coeficient al ecuației. Astfel, obținem rădăcinile ecuației x 1 = -3 și x 2 = 5.

Răspuns. x 1 = -3 și x 2 = 5.

Exemplul 2.

Rezolvați ecuația x 2 + 5x – 6 = 0.

Soluţie.

Să verificăm dacă această ecuație are rădăcini. Pentru a face acest lucru, găsim un discriminant:

D = b 2 – 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. Ecuația are două rădăcini diferite.

Factorii posibili ai numărului 6 sunt 2 și 3, 6 și 1. Diferența este 5 pentru perechea 6 și 1. În acest exemplu, coeficientul celui de-al doilea termen are semnul plus, deci numărul mai mic va avea același semn . Dar înainte de al doilea număr va apărea un semn minus.

Răspuns: x 1 = -6 și x 2 = 1.

Teorema lui Vieta poate fi scrisă și pentru o ecuație pătratică completă. Deci, dacă ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0 are rădăcini x 1 și x 2, atunci egalitățile sunt valabile pentru ele

x 1 + x 2 = -(b/a)Şi x 1 x 2 = (c/a). Cu toate acestea, aplicarea acestei teoreme într-o ecuație pătratică completă este destul de problematică, deoarece dacă există rădăcini, cel puțin una dintre ele este un număr fracționar. Și lucrul cu selectarea fracțiilor este destul de dificil. Dar totuși există o cale de ieșire.

Se consideră ecuația pătratică completă ax 2 + bx + c = 0. Înmulțiți laturile sale stânga și dreapta cu coeficientul a. Ecuația va lua forma (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Acum să introducem o nouă variabilă, de exemplu t = ax.

În acest caz, ecuația rezultată se va transforma într-o ecuație pătratică redusă de forma t 2 + bt + ac = 0, ale cărei rădăcini t 1 și t 2 (dacă există) pot fi determinate de teorema lui Vieta.

În acest caz, rădăcinile ecuației pătratice originale vor fi

x 1 = (t 1 / a) și x 2 = (t 2 / a).

Exemplul 3.

Rezolvați ecuația 15x 2 – 11x + 2 = 0.

Soluţie.

Să creăm o ecuație auxiliară. Să înmulțim fiecare termen al ecuației cu 15:

15 2 x 2 – 11 15x + 15 2 = 0.

Facem înlocuirea t = 15x. Avem:

t 2 – 11t + 30 = 0.

Conform teoremei lui Vieta, rădăcinile acestei ecuații vor fi t 1 = 5 și t 2 = 6.

Revenim la înlocuirea t = 15x:

5 = 15x sau 6 = 15x. Deci x 1 = 5/15 și x 2 = 6/15. Reducem și obținem răspunsul final: x 1 = 1/3 și x 2 = 2/5.

Răspuns. x 1 = 1/3 și x 2 = 2/5.

Pentru a stăpâni rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta, elevii trebuie să exerseze cât mai mult posibil. Acesta este tocmai secretul succesului.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.