Aflați determinantul și rangul matricei. Găsiți rangul unei matrice: metode și exemple

Anterior pentru o matrice pătrată Ordinul a fost introdus conceptul de minor
element . Să ne amintim că acesta este numele dat determinantului ordinii
, obtinut din determinant
prin tăiere a linia și a coloana.

Să ne prezentăm acum concept general minor. Să luăm în considerare câteva nu neapărat pătrat matrice . Să alegem câteva numere de linie
Şi numerele coloanei
.

Definiţie. Comanda minora matrici (corespunzător rândurilor și coloanelor selectate) se numește determinant de ordine , format din elementele de la intersecția rândurilor și coloanelor selectate, i.e. număr

.

Fiecare matrice are tot atâtea minore dintr-un ordin dat , în câte moduri puteți selecta numerele de linii
și coloane
.

Definiţie. În matrice dimensiuni
comanda minora numit de bază, dacă este diferit de zero și toți minorii sunt de ordine
egal cu zero sau ordin minor
la matrice deloc.

Este clar că o matrice poate avea mai mulți minori de bază diferite, dar toți minorii de bază au aceeași ordine. Într-adevăr, dacă toți minorii sunt de ordine
sunt egale cu zero, atunci toți minorii ordinului sunt egali cu zero
, și, în consecință, toate ordinele superioare.

Definiţie. Rangul matricei Ordinea minorului de bază se numește, sau, cu alte cuvinte, cea mai mare ordine pentru care există minori, alții decât zero. Dacă toate elementele unei matrice sunt egale cu zero, atunci rangul unei astfel de matrice, prin definiție, este considerat zero.

Rangul matricei vom nota prin simbol
. Din definiția rangului rezultă că pentru matrice dimensiuni
raportul este corect.

Două moduri de a calcula rangul unei matrice

O) Metoda marginală minoră

Să se găsească un minor în matrice
-al-lea, diferit de zero. Să luăm în considerare doar acei minori
-allea ordin, care conțin (margine) un minor
: dacă toate sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este . În caz contrar, printre minorii învecinați se numără un minor non-zero
-a ordine și se repetă întreaga procedură.

Exemplul 9 . Aflați rangul unei matrice prin metoda limitării minorilor.

Să alegem un minor de ordinul doi
. Există un singur minor de ordinul al treilea, învecinat cu minorul selectat
. Să-l calculăm.

Deci este minor
de bază, iar rangul matricei este egal cu ordinea acesteia, adică

Este clar că iterarea prin minori în acest fel în căutarea bazei este o sarcină asociată cu calcule mari, dacă dimensiunile matricei nu sunt foarte mici. Există, totuși, o modalitate mai simplă de a găsi rangul unei matrice - folosind transformări elementare.

b) Metoda de transformare elementară

Definiţie. Transformări matrice elementare Următoarele transformări se numesc:

înmulțirea unui șir cu un alt număr decât zero;

adăugarea unei alte linii la o linie;

rearanjarea liniilor;

aceleași transformări de coloană.

Transformările 1 și 2 sunt efectuate element cu element.

Prin combinarea transformărilor primului și celui de-al doilea tip, putem adăuga o combinație liniară a șirurilor rămase la orice șir.

Teorema. Transformările elementare nu schimbă rangul matricei.

(Fără dovadă)

Ideea unei metode practice de calculare a rangului unei matrice

este că cu ajutorul transformărilor elementare această matrice duce la apariție

, (5)

în care elementele „diagonale”.
sunt diferite de zero, iar elementele situate sub cele „diagonale” sunt egale cu zero. Să fim de acord să numim matricea acest tip de triunghiular (altfel, se numește diagonală, trapezoidală sau scară). După reducerea matricei la forma triunghiulară putem scrie imediat că
.

De fapt,
(deoarece transformările elementare nu schimbă rangul). Dar matricea există o comandă minoră diferită de zero :

,

si orice minor de ordine
conține șirul nul și, prin urmare, este egal cu zero.

Să formulăm acum practic regula de calcul al rangului matrici folosind transformări elementare: pentru a afla rangul matricei ar trebui adusă la o formă triunghiulară folosind transformări elementare . Apoi rangul matricei va fi egal cu numărul de rânduri diferite de zero din matricea rezultată .

Exemplul 10. Aflați rangul unei matrice prin metoda transformărilor elementare

Soluţie.

Să schimbăm prima și a doua linie (deoarece primul element al celei de-a doua linii este −1 și va fi convenabil să efectuați transformări cu acesta). Ca rezultat, obținem o matrice echivalentă cu aceasta.

Să notăm - acel rând al matricei - . Trebuie să reducem matricea originală la formă triunghiulară. Vom considera prima linie ca fiind linia de conducere ea va participa la toate transformările, dar ea însăși rămâne neschimbată.

În prima etapă, vom efectua transformări care ne permit să obținem zerouri în prima coloană, cu excepția primului element. Pentru a face acest lucru, scădeți prima linie din a doua linie, înmulțită cu 2
, adăugați primul la a treia linie
, iar din a treia îl scadem pe primul, înmulțit cu 3
Obținem o matrice al cărei rang coincide cu rangul acestei matrice. Să o notăm cu aceeași literă :

.

Deoarece trebuie să reducem matricea la forma (5), scădem a doua din al patrulea rând. În acest caz avem:

.

Se obține o matrice de formă triunghiulară și putem concluziona că
, adică numărul de linii diferite de zero. Pe scurt, soluția problemei poate fi scrisă după cum urmează:

În fiecare matrice se pot asocia două ranguri: un rang de rând (rangul sistemului de rânduri) și un rang de coloană (rangul sistemului de coloane).

Teorema

Rangul rândului unei matrice este egal cu rangul coloanei sale.

Rangul matricei

Definiţie

Rangul matricei$A$ este rangul sistemului său de rânduri sau coloane.

Notat cu $\operatorname(rang) A$

În practică, pentru a găsi rangul unei matrice, se folosește următoarea afirmație: rangul matricei egal cu cantitatea rânduri diferite de zero după reducerea matricei la formă eșalonată.

Transformările elementare peste rândurile (coloanele) unei matrice nu îi schimbă rangul.

Rangul unei matrice pas este egal cu numărul rândurilor sale diferite de zero.

Exemplu

Exercita. Găsiți rangul matricei $ A=\left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & ( 7) \ \ (10) și (18) și (40) și (17) \\ (1) și (7) și (17) și (3)\end(array)\right) $

Soluţie. Folosind transformări elementare pe rândurile sale, reducem matricea $A$ la formă eșalonată. Pentru a face acest lucru, mai întâi scădeți pe al doilea rând din a treia linie:

$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & (7) \\ (2) și (2) și (4) și (3) \\ (1) și (7) și (17) și (3)\end(matrice)\right) $$

Din a doua linie scadem a patra linie, inmultita cu 4; din a treia - două sferturi:

$$ A \sim \left(\begin(array)(rrrr)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (-20) & (-50) & (-5 ) \\ (0) și (-12) și (-30) și (-3) \\ (1) și (7) și (17) și (3)\end(matrice)\right) $$

Adăugăm primele cinci la a doua linie, iar a treia trei la a treia:

$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) și (0) și (0) și (0) \\ (1) și (7) și (17) și (3)\end(matrice)\right) $$

Schimbați prima și a doua linie:

$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) și (0) și (0) și (0) \\ (1) și (7) și (17) și (3)\end(matrice)\right) $$

$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(1) & (7) & (17) & (3) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) și (0) și (0) și (0) \\ (0) și (0) și (0) și (0)\end(array)\right) \Rightarrow \operatorname(rang) A=2 $$

Răspuns.$ \operatorname(rang) A=2 $

Metoda limitării minorilor

O altă metodă pentru găsirea rangului unei matrice se bazează pe această teoremă - metodă minoră de margine. Esența acestei metode este găsirea minorilor, pornind de la ordinele inferioare și trecând la cele superioare. Dacă minorul din ordinul $n$-lea nu este egal cu zero și toți minorii din ordinul $n+1$-lea sunt egali cu zero, atunci rangul matricei va fi egal cu $n$ .

Exemplu

Exercita. Găsiți rangul matricei $ A=\left(\begin(array)(rrrr)(1) & (2) & (-1) & (-2) \\ (2) & (4) & (3) & (0 ) \\ (-1) & (-2) & (6) & (6)\end(array)\right) $ folosind metoda marginilor minore.

Soluţie. Minorii de ordin minim sunt minori de ordinul întâi, care sunt egali cu elementele matricei $A$. Luați în considerare, de exemplu, minorul $ M_(1)=1 \neq 0 $ . situat în primul rând și prima coloană. O marginim cu ajutorul celui de-al doilea rând și al celei de-a doua coloane, obținem minorul $ M_(2)^(1)=\left| \begin(array)(ll)(1) & (2) \\ (2) & (4)\end(array)\right|=0 $ ; Să considerăm un alt minor de ordinul doi, pentru aceasta mărginim minorul $M_1$ cu ajutorul celui de-al doilea rând și a celei de-a treia coloane, apoi avem minorul $ M_(2)^(2)=\left| \begin(array)(rr)(1) & (-1) \\ (2) & (3)\end(array)\right|=5 \neq 0 $ , adică rangul matricei este ​nu mai puțin de două. În continuare, luăm în considerare minorii de ordinul trei care mărginesc minorul $ M_(2)^(2) $ . Există doi astfel de minori: o combinație a celui de-al treilea rând cu a doua coloană sau cu a patra coloană. Să calculăm acești minori.

Se consideră o matrice A de dimensiune .

A=
Să selectăm k rânduri și k coloane (
).

Definiția 26:Minor Ordinul k al unei matrice A este determinantul unei matrice pătrate obținute dintr-o matrice dată prin selectarea acesteia.

coroane și kcoloane.

Definiția 27:Rang a unei matrice se numește cel mai mare dintre ordinele diferite de zero ale minorilor ei, r(A).

Definiția 28: Un minor a cărui ordine coincide cu rangul său este numit minor de bază.

Declaraţie:

1. Rangul este exprimat ca un număr întreg.(
)

2. r=0,
, când A este zero.

Transformări elementare ale matricelor.

Transformările matriceale elementare includ următoarele:

1) înmulțirea tuturor elementelor oricărui rând (coloană) a unei matrice cu același număr.

2) adăugarea elementelor oricărui rând (coloană) al matricei a elementelor corespunzătoare din alt rând (coloană) înmulțite cu același număr;

3) rearanjarea rândurilor (coloanelor) matricei;

4) eliminarea rândului zero (coloana);

5) înlocuirea rândurilor matricei cu coloanele corespunzătoare.

Definiția 29: Matricele rezultate una din cealaltă prin transformări elementare se numesc matrici echivalente și sunt notate cu „~“

Proprietatea principală a matricelor echivalente: Rândurile matricelor echivalente sunt egale.

Exemplul 18: Calculați r(A),

Soluţie:Înmulțiți prima linie pas cu pas cu (-4)(-2)

(-7) și apoi adăugați la a doua, a treia și, respectiv, a patra rând.

~

schimbați a doua și a patra linie
înmulțiți a doua linie cu (-2) și adăugați-o la a patra linie; Să adăugăm a doua și a treia linie.

Să adăugăm a treia și a patra linie.

~
eliminați linia zero

~
r(A)=3
rangul matricei originale

este egal cu trei.

Definiția 30: Să numim matricea A treptat dacă toate elementele diagonalei principale 0, iar elementele de sub diagonala principală sunt zero.

Oferi:

1) rangul unei matrice pas este egal cu numărul rândurilor sale;

2) orice matrice poate fi redusă la formă eșalonată folosind transformări elementare.

Exemplul 19: La ce valori  matrice
are un rang egal cu unu?

Soluţie: Rangul este egal cu unu dacă determinantul de ordinul doi este egal cu zero, i.e.

§6. Sisteme de ecuații liniare de formă generală.

Vizualizare sistem
---(9) se numește sistem de formă generală.

Definiția 31: Două sisteme sunt numite echivalente dacă fiecare soluție a primului sistem este o soluție a celui de-al doilea și invers.

În sistemul (1) matricea A=
o numim matricea principală a sistemului și =
sistem de matrice extinsă

Teorema. Kronecker-Capelli

Pentru ca sistemul (9) să fie compatibil, este necesar și suficient ca rangul matricei principale a sistemului să fie egal cu rangul matricei extinse, adică r(A)=r( )

Teorema 1. Dacă rangul matricei unui sistem comun este egal cu numărul de necunoscute, atunci sistemul are o soluție unică.

Teorema 2. Dacă rangul matricei unui sistem comun este mai mic decât numărul de necunoscute, atunci sistemul are un număr infinit de soluții.

Regula pentru rezolvarea unui sistem arbitrar de ecuații liniare:

1) găsiți rangurile matricelor principale și extinse ale sistemului. Dacă
, atunci sistemul nu este compatibil.

2) Dacă
=r, atunci sistemul este consistent. Găsiți un element minor al ordinului r.

Vom numi minorul minor pe baza căruia a fost determinat rangul matricei.

Necunoscutele ai căror coeficienți sunt incluși în minorul de bază sunt numite principale (de bază) și sunt lăsate în stânga, în timp ce necunoscutele rămase sunt numite libere și transferate în partea dreaptă a ecuației.

3) Găsiți expresii ale principalelor necunoscute folosind cele libere. Se obține o soluție generală a sistemului. Exemplul 20:

Soluţie: Explorați sistemul și, dacă este compatibil, găsiți o soluție unică sau generală

~
~

~
~
1) conform lui T. Kronecker-Capelli, găsim rândurile matricelor extinse și principale ale sistemului:

2) rangul matricei principale este de doi
~
~
~

3) găsiți rangul matricei extinse
Concluzie:

=2, atunci sistemul este consistent.

Dar

sistemul este incert și are nenumărate soluții. Şi 4) Necunoscute de bază , întrucât aparțin minorului de bază, și

- gratuit necunoscut. =c, unde c este orice număr.

5) Ultima matrice corespunde sistemului

6) Răspuns:

7) Verificați: în oricare dintre ecuațiile sistemului original, unde sunt prezente toate necunoscutele, înlocuim valorile găsite.

Acest articol va discuta un astfel de concept precum rangul unei matrice și conceptele suplimentare necesare. Vom oferi exemple și dovezi de găsire a rangului unei matrice și, de asemenea, vă vom spune ce este o matrice minoră și de ce este atât de importantă.

Matrice minoră

Pentru a înțelege care este rangul unei matrice, trebuie să înțelegeți conceptul de matrice minoră.

Definiția 1

Minorkde ordinul matricei este determinantul unei matrici pătrate de ordinul k×k, care este compusă din elemente ale matricei A situate în k-rânduri și k-coloane preselectate, menținând în același timp poziția elementelor matricei A.

Mai simplu spus, dacă în matricea A ștergeți (p-k) rânduri și (n-k) coloane, iar din acele elemente care rămân, creați o matrice, păstrând aranjarea elementelor matricei A, atunci determinantul matricei rezultate este ordinul k minor al matricei A.

Din exemplu rezultă că minorii de ordinul întâi ale matricei A sunt elementele matricei în sine.

Putem da mai multe exemple de minori de ordinul 2. Să selectăm două rânduri și două coloane. De exemplu, primul și al doilea rând, a treia și a patra coloană.

Cu această alegere a elementelor, minorul de ordinul doi va fi - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Un alt minor de ordinul 2 al matricei A este 0 0 1 1 = 0

Să oferim ilustrări ale construcției minorilor de ordinul doi din matricea A:

Un minor de ordinul 3 se obține prin tăierea celei de-a treia coloane a matricei A:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

Ilustrație a modului în care se obține minorul de ordinul 3 al matricei A:

Pentru o anumită matrice, nu există minori mai mari de ordinul 3, deoarece

k ≤ m i n (p , n) = m i n (3 , 4) = 3

Câte minore de ordinul k există pentru matricea A de ordinul p×n?

Numărul de minori se calculează folosind următoarea formulă:

C p k × C n k , unde e C p k = p ! k! (p - k) ! și C n k = n ! k! (n - k) ! - numărul de combinații de la p la k, respectiv de la n la k.

După ce am determinat care sunt minorele matricei A, putem trece la determinarea rangului matricei A.

Rang matrice: metode de găsire

Definiția 2

Rangul matricei - ordinul cel mai înalt al matricei, altul decât zero.

Denumirea 1

Rang (A), Rg (A), Rang (A).

Din definiția rangului unei matrice și a minorului unei matrice, devine clar că rangul unei matrice zero este egal cu zero, iar rangul unei matrice non-zero este diferit de zero.

Găsirea rangului unei matrice prin definiție

Definiția 3

Metoda de enumerare a minorilor - o metodă bazată pe determinarea rangului unei matrice.

Algoritm de acțiuni folosind metoda de enumerare a minorilor :

Este necesar să găsim rangul unei matrice A de ordin p× n. Dacă există cel puțin un element diferit de zero, atunci rangul matricei este cel puțin egal cu unul ( deoarece există un minor de ordinul 1 care nu este egal cu zero).

Urmează enumerarea minorilor de ordinul 2. Dacă toți minorii de ordinul 2 sunt egali cu zero, atunci rangul este egal cu unu. Dacă există cel puțin un minor de ordinul 2, diferit de zero, este necesar să se trece la enumerarea minorilor de ordinul 3, iar rangul matricei, în acest caz, va fi egal cu cel puțin doi.

Să facem același lucru cu rangul de ordinul 3: dacă toți minorii matricei sunt egali cu zero, atunci rangul va fi egal cu doi. Dacă există cel puțin un minor diferit de zero de ordinul al 3-lea, atunci rangul matricei este de cel puțin trei. Și așa mai departe, prin analogie.

Exemplul 2

Aflați rangul matricei:

A = - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Deoarece matricea este diferită de zero, rangul său minim este unul.

Minorul de ordinul 2 - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 este diferit de zero. Rezultă că rangul matricei A este de cel puțin doi.

Sortăm minorii de ordinul 3: C 3 3 × C 5 3 = 1 5! 3! (5 - 3) ! = 10 bucăți.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (- 1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Minorii de ordinul 3 sunt egali cu zero, deci rangul matricei este doi.

Răspuns : Rang (A) = 2.

Găsirea rangului unei matrice folosind metoda minorilor limită

Definiția 3

Metoda marginală minoră - o metodă care vă permite să obțineți rezultate cu mai puțină muncă de calcul.

Marginea minoră - minor M o k (k + 1) de ordinul al treilea al matricei A, care mărginește M o minor de ordinul k al matricei A, dacă matricea care corespunde minorului M o k „conține” matricea care corespunde minor M.

Mai simplu spus, matricea care corespunde minorului de margine M se obține din matricea corespunzătoare minorului de margine M o k prin ștergerea elementelor unui rând și a unei coloane.

Exemplul 3

Aflați rangul matricei:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Pentru a găsi rangul luăm minorul de ordinul 2 M = 2 - 1 4 1

Notăm toți minorii învecinați:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Pentru a justifica metoda limitării minorilor, prezentăm o teoremă, a cărei formulare nu necesită o demonstrație.

Teorema 1

Dacă toate minorele care mărginesc minorul de ordin k al unei matrice A de ordin p cu n sunt egale cu zero, atunci toate minorele de ordin (k+1) ale matricei A sunt egale cu zero.

Algoritmul acțiunilor :

Pentru a găsi rangul unei matrice, nu este necesar să parcurgeți toți minorii, ci doar uitați-vă la cei învecinați.

Dacă minorii învecinați sunt egali cu zero, atunci rangul matricei este zero. Dacă există cel puțin un minor care nu este egal cu zero, atunci luăm în considerare minorii învecinați.

Dacă toate sunt zero, atunci rangul (A) este doi. Dacă există cel puțin un minor învecinat diferit de zero, atunci trecem să luăm în considerare minorii săi învecinați. Și așa mai departe, în același mod.

Exemplul 4

Găsiți rangul unei matrice folosind metoda minorilor marginii

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Cum se rezolvă?

Deoarece elementul a 11 al matricei A nu este egal cu zero, luăm un minor de ordinul I. Să începem să căutăm un minor învecinat care este diferit de zero:

2 1 4 2 = 2 × 2 - 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

Am găsit un minor învecinat de ordinul 2 care nu este egal cu zero 2 0 4 1 .

Să enumerăm minorii învecinați - (sunt (4 - 2) × (5 - 2) = 6 bucăți).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Răspuns : Rang(A) = 2.

Găsirea rangului unei matrice folosind metoda Gaussiană (folosind transformări elementare)

Să ne amintim ce sunt transformările elementare.

Transformări elementare:

• prin rearanjarea rândurilor (coloanelor) matricei;
• prin înmulțirea tuturor elementelor oricărui rând (coloană) a matricei cu un număr arbitrar non-nul k;

prin adăugarea la elementele oricărui rând (coloană) elemente care corespund altui rând (coloană) a matricei, care se înmulțesc cu un număr arbitrar k.

Definiția 5

Găsirea rangului unei matrice folosind metoda Gaussiană - o metodă care se bazează pe teoria echivalenței matriceale: dacă matricea B se obține din matricea A folosind un număr finit de transformări elementare, atunci Rank(A) = Rank(B).

Valabilitatea acestei afirmații rezultă din definiția matricei:

• Dacă rândurile sau coloanele unei matrice sunt rearanjate, determinantul acesteia își schimbă semnul. Dacă este egal cu zero, atunci când rearanjați rândurile sau coloanele rămâne egal cu zero;
• în cazul înmulțirii tuturor elementelor oricărui rând (coloană) a matricei cu un număr arbitrar k care nu este egal cu zero, determinantul matricei rezultate este egal cu determinantul matricei originale, care se înmulțește cu k;

în cazul adunării la elementele unui anumit rând sau coloană a unei matrice a elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând sau coloană, care sunt înmulțite cu numărul k, nu modifică determinantul acestuia.

Esența metodei transformărilor elementare : reduceți matricea al cărei rang trebuie găsit la una trapezoidală folosind transformări elementare.

Pentru ce?

Rangul matricelor de acest tip este destul de ușor de găsit. Este egal cu numărul de linii care au cel puțin un element diferit de zero. Și deoarece rangul nu se schimbă atunci când se efectuează transformări elementare, acesta va fi rangul matricei.

Să ilustrăm acest proces:

• pentru matrice dreptunghiulară A de ordinul p cu n, al căror număr de rânduri mai mult număr coloane:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 1 n 0 0 0 0 0 ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 , R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋮ ⋯ 0 ⋮ ⋯ 0 ⋮ 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k

• pentru matrice dreptunghiulară A de ordinul p cu n, al căror număr de rânduri este mai mic decât numărul de coloane:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 p b 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 p b 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 0 ⋯ p 1 ⋯ b p n , R a n k (A) = p

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋮ ⋯ 0 ⋮ ⋯ 0 ⋮ 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

• pentru matrice pătrată A de ordinul n cu n:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 1 n 0 0 0 0 0 0 0 , R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋮ ⋯ 0 ⋮ ⋯ 0 ⋮ 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k , k< n

Exemplul 5

Găsiți rangul matricei A folosind transformări elementare:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Cum se rezolvă?

Deoarece elementul a 11 este diferit de zero, este necesar să se înmulțească elementele primului rând al matricei A cu 1 a 11 = 1 2:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

Adăugăm la elementele liniei a 2-a elementele corespunzătoare ale liniei 1, care se înmulțesc cu (-3). La elementele liniei a 3-a adăugăm elementele liniei 1, care se înmulțesc cu (-1):

~ A (1) = 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) = = 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

Elementul a 22 (2) este diferit de zero, așa că înmulțim elementele celui de-al doilea rând al matricei A cu A (2) cu 1 a 22 (2) = - 2 3:

A (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• La elementele rândului 3 al matricei rezultate adăugăm elementele corespunzătoare din rândul 2, care se înmulțesc cu 3 2;
• la elementele liniei a 4-a - elementele liniei a 2-a, care se înmulțesc cu 9 2;
• la elementele din al 5-lea rând - elementele din al 2-lea rând, care sunt înmulțite cu 3 2.

Toate elementele de rând sunt zero. Astfel, folosind transformări elementare, am adus matricea într-o formă trapezoidală, din care se poate observa că R an k (A (4)) = 2. Rezultă că rangul matricei originale este, de asemenea, egal cu doi.

Comentariu

Dacă efectuați transformări elementare, atunci valorile aproximative nu sunt permise!

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Rangul unei matrice este o caracteristică numerică importantă. Cea mai tipică problemă care necesită găsirea rangului unei matrice este verificarea compatibilității unui sistem liniar. ecuații algebrice. În acest articol vom oferi conceptul de rang de matrice și vom lua în considerare metodele pentru a-l găsi. Pentru a înțelege mai bine materialul, vom analiza în detaliu soluțiile la mai multe exemple.

Navigare în pagină.

Determinarea rangului unei matrice și concepte suplimentare necesare.

Înainte de a exprima definiția rangului unei matrice, ar trebui să aveți o bună înțelegere a conceptului de minor, iar găsirea minorilor unei matrice implică capacitatea de a calcula determinantul. Deci, dacă este necesar, vă recomandăm să vă amintiți teoria articolului, metodele de găsire a determinantului unei matrice și proprietățile determinantului.

Să luăm o matrice A de ordin. Lasă k să fie niște număr natural, care nu depășește cel mai mic dintre numerele m și n, adică .

Definiţie.

Ordinea k-a minoră matricea A este determinantul unei matrice pătrate de ordine, compusă din elemente ale matricei A, care sunt situate în k rânduri și k coloane preselectate, iar dispunerea elementelor matricei A se păstrează.

Cu alte cuvinte, dacă în matricea A ștergem (p–k) rânduri și (n–k) coloane, iar din elementele rămase creăm o matrice, păstrând aranjarea elementelor matricei A, atunci determinantul de matricea rezultată este un minor de ordinul k al matricei A.

Să ne uităm la definiția unei matrice minore folosind un exemplu.

Luați în considerare matricea .

Să notăm câteva minore de ordinul întâi ale acestei matrice. De exemplu, dacă alegem al treilea rând și a doua coloană a matricei A, atunci alegerea noastră corespunde unui minor de ordinul întâi. . Cu alte cuvinte, pentru a obține acest minor, am tăiat primul și al doilea rând, precum și prima, a treia și a patra coloană din matricea A și am format un determinant din elementul rămas. Dacă alegem primul rând și a treia coloană a matricei A, atunci obținem un minor .

Să ilustrăm procedura de obținere a minorilor considerați de ordinul I
Şi .

Astfel, minorii de ordinul întâi ale unei matrice sunt elementele matricei în sine.

Să arătăm câțiva minori de ordinul doi. Selectați două rânduri și două coloane. De exemplu, luați primul și al doilea rând și a treia și a patra coloană. Cu această alegere avem un minor de ordinul doi . Acest minor ar putea fi compus și prin ștergerea celui de-al treilea rând, prima și a doua coloană din matricea A.

Un alt minor de ordinul doi al matricei A este .

Să ilustrăm construcția acestor minori de ordinul doi
Şi .

În mod similar, pot fi găsiți minori de ordinul trei ai matricei A. Deoarece există doar trei rânduri în matricea A, le selectăm pe toate. Dacă selectăm primele trei coloane ale acestor rânduri, obținem un minor de ordinul trei

De asemenea, poate fi construit prin tăierea ultimei coloane a matricei A.

Un alt minor de ordinul trei este

obţinut prin ştergerea celei de-a treia coloane a matricei A.

Iată o imagine care arată construcția acestor minori de ordinul trei
Şi .

Pentru o matrice dată A nu există minore de ordin mai mari de treime, deoarece .

Câte minore de ordinul k sunt ale unei matrice A de ordin?

Numărul de minori de ordinul k poate fi calculat ca , unde Şi - numărul de combinații de la p la k și respectiv de la n la k.

Cum putem construi toate minorele de ordin k ale matricei A de ordin p prin n?

Vom avea nevoie de multe numere de rând matrice și de multe numere de coloane. Scriem totul combinații de p elemente prin k(vor corespunde rândurilor selectate ale matricei A când se construiește un minor de ordinul k). La fiecare combinație de numere de rând adăugăm succesiv toate combinațiile de n elemente ale k numere de coloană. Aceste seturi de combinații de numere de rând și numere de coloane ale matricei A vor ajuta la alcătuirea tuturor minorilor de ordinul k.

Să ne uităm la asta cu un exemplu.

Exemplu.

Găsiți toate minorii de ordinul doi ale matricei.

Soluţie.

Deoarece ordinea matricei originale este 3 cu 3, totalul minorilor de ordinul doi va fi .

Să notăm toate combinațiile de 3 până la 2 numere de rând ale matricei A: 1, 2; 1, 3 și 2, 3. Toate combinațiile de 3 până la 2 numere de coloane sunt 1, 2; 1, 3 și 2, 3.

Să luăm primul și al doilea rând al matricei A. Selectând prima și a doua coloană, prima și a treia coloană, a doua și a treia coloană pentru aceste rânduri, obținem minorele, respectiv

Pentru primul și al treilea rând, cu o alegere similară de coloane, avem

Rămâne să adăugați prima și a doua, prima și a treia, a doua și a treia coloană la al doilea și al treilea rând:

Deci, toți cei nouă minori de ordinul doi din matricea A au fost găsiți.

Acum putem trece la determinarea rangului matricei.

Definiţie.

Rangul matricei este ordinul cel mai înalt al minorului diferit de zero al matricei.

Rangul matricei A este notat cu Rank(A) . Puteți găsi, de asemenea, denumirile Rg(A) sau Rang(A) .

Din definițiile rangului matricei și ale matricei minore, putem concluziona că rangul unei matrice zero este egal cu zero, iar rangul unei matrice nenule nu este mai mic de unu.

Găsirea rangului unei matrice prin definiție.

Deci, prima metodă pentru găsirea rangului unei matrice este metoda de enumerare a minorilor. Această metodă se bazează pe determinarea rangului matricei.

Trebuie să găsim rangul unei matrice A de ordin.

Să descriem pe scurt algoritm rezolvarea acestei probleme prin enumerarea minorilor.

Dacă există cel puțin un element al matricei care este diferit de zero, atunci rangul matricei este cel puțin egal cu unu (deoarece există un minor de ordinul întâi care nu este egal cu zero).

În continuare, ne uităm la minorii de ordinul doi. Dacă toți minorii de ordinul doi sunt egali cu zero, atunci rangul matricei este egal cu unu. Dacă există cel puțin un minor diferit de zero de ordinul doi, atunci trecem la enumerarea minorilor de ordinul al treilea, iar rangul matricei este cel puțin egal cu doi.

În mod similar, dacă toți minorii de ordinul trei sunt zero, atunci rangul matricei este doi. Dacă există cel puțin un minor de ordinul trei, altul decât zero, atunci rangul matricei este de cel puțin trei și trecem la enumerarea minorilor de ordinul al patrulea.

Rețineți că rangul matricei nu poate depăși cel mai mic dintre numerele p și n.

Exemplu.

Aflați rangul matricei .

Soluţie.

Deoarece matricea este diferită de zero, rangul său nu este mai mic de unu.

Minor de ordinul doi este diferit de zero, prin urmare, rangul matricei A este de cel puțin doi. Trecem la enumerarea minorilor de ordinul trei. Total dintre ele lucruri.

Toți minorii de ordinul trei sunt egali cu zero. Prin urmare, rangul matricei este doi.

Răspuns:

Rang(A) = 2 .

Găsirea rangului unei matrice folosind metoda limitării minorilor.

Există și alte metode de găsire a rangului unei matrice care vă permit să obțineți rezultatul cu mai puțină muncă de calcul.

O astfel de metodă este metoda marginii minore.

Să ne ocupăm de conceptul de margine minoră.

Se spune că un M ok minor de ordinul (k+1) al matricei A mărginește un M minor de ordinul k al matricei A dacă matricea corespunzătoare minorului M ok „conține” matricea corespunzătoare minorului. M .

Cu alte cuvinte, matricea corespunzătoare minorului marginal M se obține din matricea corespunzătoare minorului marginal M ok prin ștergerea elementelor unui rând și unei coloane.

De exemplu, luați în considerare matricea și ia un minor de ordinul al doilea. Să notăm toți minorii de la graniță:

Metoda limitării minorilor este justificată de următoarea teoremă (prezentăm formularea ei fără dovezi).

Teorema.

Dacă toate minorele care mărginesc minorul de ordin k al unei matrice A de ordin p cu n sunt egale cu zero, atunci toate minorele de ordin (k+1) ale matricei A sunt egale cu zero.

Astfel, pentru a afla rangul unei matrice nu este necesar să parcurgeți toți minorii suficient de învecinați. Numărul de minore care mărginesc minorul de ordinul k al unei matrice A de ordin , se află prin formula . Rețineți că nu există mai multe minore care mărginesc minorul de ordin k al matricei A decât există (k + 1) minore ale matricei A. Prin urmare, în majoritatea cazurilor, utilizarea metodei limitării minorilor este mai profitabilă decât simpla enumerare a tuturor minorilor.

Să trecem la găsirea rangului matricei folosind metoda limitării minorilor. Să descriem pe scurt algoritm această metodă.

Dacă matricea A este diferită de zero, atunci ca minor de ordinul întâi luăm orice element al matricei A care este diferit de zero. Să ne uităm la minorii săi învecinați. Dacă toate sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este egal cu unu. Dacă există cel puțin un minor învecinat diferit de zero (ordinea acestuia este de doi), atunci trecem să luăm în considerare minorii săi învecinați. Dacă toate sunt zero, atunci Rank(A) = 2. Dacă cel puțin un minor învecinat este diferit de zero (ordinea sa este de trei), atunci luăm în considerare minorii săi învecinați. Și așa mai departe. Ca rezultat, Rank(A) = k dacă toți minorii marginali de ordinul (k + 1) al matricei A sunt egali cu zero, sau Rank(A) = min(p, n) dacă există un non- zero minor mărginind un minor de ordin (min( p, n) – 1) .

Să ne uităm la metoda de margine a minorilor pentru a găsi rangul unei matrice folosind un exemplu.

Exemplu.

Aflați rangul matricei prin metoda limitării minorilor.

Soluţie.

Deoarece elementul a 1 1 al matricei A este diferit de zero, îl considerăm minor de ordinul întâi. Să începem să căutăm un minor învecinat care este diferit de zero:

Se găsește o muchie minoră de ordinul doi, diferită de zero. Să ne uităm la minorii săi învecinați (lor lucruri):

Toți minorii care se învecinează cu minorul de ordinul doi sunt egali cu zero, prin urmare, rangul matricei A este egal cu doi.

Răspuns:

Rang(A) = 2 .

Exemplu.

Aflați rangul matricei folosind minori învecinați.

Soluţie.

Ca minor non-zero de ordinul întâi, luăm elementul a 1 1 = 1 al matricei A. Minorul din jur de ordinul doi nu este egal cu zero. Acest minor este mărginit de un minor de ordinul trei
. Deoarece nu este egal cu zero și nu există un singur minor de margine pentru acesta, rangul matricei A este egal cu trei.

Răspuns:

Rang(A) = 3 .

Găsirea rangului folosind transformări matriceale elementare (metoda Gauss).

Să luăm în considerare o altă modalitate de a găsi rangul unei matrice.

Următoarele transformări matriceale sunt numite elementare:

• rearanjarea rândurilor (sau coloanelor) ale unei matrice;
• înmulțirea tuturor elementelor oricărui rând (coloană) a unei matrice cu un număr arbitrar k, diferit de zero;
• adunând la elementele unui rând (coloană) elementele corespunzătoare ale altui rând (coloană) a matricei, înmulțite cu un număr arbitrar k.

Matricea B se numește echivalentă cu matricea A, dacă B se obține din A folosind un număr finit de transformări elementare. Echivalența matricelor este notată prin simbolul „~”, adică scris A ~ B.

Găsirea rangului unei matrice folosind transformări elementare de matrice se bazează pe afirmația: dacă matricea B este obținută din matricea A folosind un număr finit de transformări elementare, atunci Rank(A) = Rank(B) .

Valabilitatea acestei afirmații rezultă din proprietățile determinantului matricei:

• Când rearanjați rândurile (sau coloanele) unei matrice, determinantul acesteia își schimbă semnul. Dacă este egal cu zero, atunci când rândurile (coloanele) sunt rearanjate, rămâne egal cu zero.
• Când înmulțiți toate elementele oricărui rând (coloană) a unei matrice cu un număr arbitrar k, altul decât zero, determinantul matricei rezultate este egal cu determinantul matricei originale înmulțit cu k. Dacă determinantul matricei inițiale este egal cu zero, atunci după înmulțirea tuturor elementelor oricărei rânduri sau coloane cu numărul k, determinantul matricei rezultate va fi, de asemenea, egal cu zero.
• Adăugarea elementelor unui anumit rând (coloană) a unei matrice a elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană) a matricei, înmulțite cu un anumit număr k, nu modifică determinantul acestuia.

Esența metodei transformărilor elementare constă în reducerea matricei al cărei rang trebuie să-l găsim la una trapezoidală (într-un caz particular, la una triunghiulară superioară) folosind transformări elementare.

De ce se face asta? Rangul matricelor de acest tip este foarte ușor de găsit. Este egal cu numărul de linii care conțin cel puțin un element diferit de zero. Și, deoarece rangul matricei nu se schimbă atunci când se efectuează transformări elementare, valoarea rezultată va fi rangul matricei originale.

Oferim ilustrații ale matricelor, dintre care una ar trebui obținută după transformări. Aspectul lor depinde de ordinea matricei.

Aceste ilustrații sunt șabloane în care vom transforma matricea A.

Să descriem algoritmul metodei.

Trebuie să găsim rangul unei matrice A non-nule de ordin (p poate fi egal cu n).

Deci, . Să înmulțim toate elementele primului rând al matricei A cu . În acest caz, obținem o matrice echivalentă, notând-o A (1):

La elementele celui de-al doilea rând din matricea rezultată A (1) adăugăm elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu . La elementele din a treia linie adăugăm elementele corespunzătoare din prima linie, înmulțite cu . Și așa mai departe până la linia p-a. Să obținem o matrice echivalentă, notăm-o A (2):

Dacă toate elementele matricei rezultate situate în rânduri de la a doua la p-a sunt egale cu zero, atunci rangul acestei matrice este egal cu unu și, în consecință, rangul matricei originale este egal la unul.

Dacă în liniile de la a doua la p-a există cel puțin un element diferit de zero, atunci continuăm să efectuăm transformări. Mai mult, acționăm în absolut același mod, dar numai cu partea din matricea A (2) marcată în figură.

Dacă , atunci rearanjam rândurile și (sau) coloanele matricei A (2) astfel încât elementul „nou” să devină diferit de zero.