Aflați rădăcinile ecuației de gradul 4. Ecuația de gradul al patrulea
În cazul general, soluția unei ecuații de gradul al patrulea se realizează folosind metode de rezolvare a ecuațiilor pentru grade superioare, de exemplu, metoda Ferrari sau folosind schema Horner. Dar unele ecuații de gradul 4 au o soluție mai simplă.
Există mai multe tipuri speciale de ecuații de gradul al patrulea, metodele de rezolvare pe care le veți învăța mai jos:
- Ecuație biquadratică $ax^4+bx^2+c=0$;
- Ecuații reciproce de forma $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$;
- Ecuații de forma $ax^4+b=0$.
Rezolvarea ecuațiilor biquadratice de gradul al patrulea
Ecuațiile biquadratice $ax^4+bx^2+c=0$ sunt reduse la ecuații pătratice prin înlocuirea variabilei $x^2$ cu una nouă, de exemplu, $y$. După înlocuire, noua ecuație rezultată este rezolvată, iar apoi valoarea variabilei găsite este înlocuită în ecuația $x^2=y$. Rezultatul soluției va fi rădăcinile ecuației $x^2=y$.
Exemplul 1
Rezolvați ecuația $x(x-1)(x-2)(x-3)=24$:
Să extindem parantezele din polinom:
$(x^2-3x)(x^2-3x+2)=24$
În această formă, devine evident că putem alege expresia $y=x^2-3x$ ca o nouă variabilă:
$y\cdot (y+2)=24$
Acum să rezolvăm două ecuații pătratice$x^2-3x=-4$ și $x^2-3x=-6$.
Rădăcinile primei ecuații sunt $x_1(1,2)=4;-1$, a doua nu are soluții.
Rezolvarea ecuațiilor reciproce de gradul 4
Aceste ecuații de forma $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ repetă cu coeficienții lor pentru termenii de ordin inferior coeficienții pentru polinoamele cu grade mai mari. Pentru a rezolva o astfel de ecuație, mai întâi împărțiți-o la $x^2$:
$ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0|:x^2$
$ax^2+bx+c+\frac(b)(x) + \frac(a)(x^2)=0$
$a(x^2+\frac(1)(x^2))+b(x+\frac(1)(x)) + c=0$
Apoi înlocuiți $(x+\frac(1)(x))$ cu o nouă variabilă, apoi $(x^2+\frac(1)(x^2))=y^2-2$, după înlocuire obținem următoarea ecuație pătrată:
$a(y^2-2)+by+c=0$
După aceasta, căutăm rădăcinile ecuațiilor $x+\frac(1)(x)=y_1$ și $x+\frac(1)(x)=y_2$.
O metodă similară este folosită pentru a rezolva ecuații reciproce de forma $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$.
Exemplul 2
Rezolvați ecuația:
$3x^4-2x^3-9x^2-4x+12=0$
Această ecuație este o ecuație reciprocă de forma $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$. Prin urmare, împărțim întreaga ecuație la $x^2$:
$3x^2-2x-9 \cdot \frac(2 \cdot 2)(x)+3 \cdot (\frac(2)(x))^2=0$
$3(x^2+\frac(4)(x^2))-2(x+\frac(2)(x)-9=0$
Să înlocuim expresia $x+\frac(2)(x)$: $3(y^2-4)-2y-9=0$
Să calculăm rădăcinile ecuația dată, ele sunt egale cu $y_1=3$ și $y_2=-\frac(7)(3)$.
În consecință, acum este necesar să rezolvăm două ecuații $x+\frac(2)(x)=3$ și $x+\frac(2)(x)=-\frac(7)(3)$. Soluția primei ecuații este $x_1=1, x_2=2$, a doua ecuație nu are rădăcini.
Prin urmare, rădăcinile ecuației originale sunt $x_1=1, x_2=2$.
Ecuații de forma $ax^4+b=0$
Rădăcinile acestui tip de ecuație se găsesc folosind formule de înmulțire prescurtate.
Soluția Descartes-Euler
După ce am făcut înlocuirea, obținem o ecuație sub următoarea formă (se numește „incompletă”):
y 4 + py 2 + qy + r = 0 .Rădăcini y 1 , y 2 , y 3 , y 4 dintr-o astfel de ecuație sunt egale cu una dintre următoarele expresii:
în care combinațiile de caractere sunt selectate astfel încât să fie satisfăcută următoarea relație:
,
şi z 1 , z 2 și z 3 sunt rădăcinile ecuației cubice
Soluția Ferrari
Articolul principal: metoda Ferrari
Să reprezentăm ecuația de gradul al patrulea sub forma:
Ox 4 + Bx 3 + Cx 2 + Dx + E = 0,Soluția sa poate fi găsită din următoarele expresii:
dacă β = 0, se rezolvă u 4 + α u 2 + γ = 0și, efectuarea înlocuirii 
, să găsim rădăcinile: . 
, (orice semn rădăcină pătrată va face), (trei rădăcini complexe, dintre care una va face) 
Doi ± s trebuie să aibă același semn, ± t - sunt independenți. Pentru a găsi toate rădăcinile, trebuie să găsiți x pentru combinațiile cu semne ± s ,± t = +,+ pentru +,− pentru −,+ pentru −,−. Rădăcinile duble vor apărea de două ori, rădăcinile triple de trei ori și rădăcinile cuaternare de patru ori. Ordinea rădăcinilor depinde de ce rădăcină cubă U selectat. Vezi de asemenea
- Tipuri de ecuații de gradul 4 ușor de rezolvat: ecuație biquadratică, ecuație reciprocă de gradul al patrulea
Literatură
- Korn G., Korn T. (1974) Manual de matematică.
Legături
- Decizia lui Ferrari
Fundația Wikimedia.
2010.
Vedeți ce este „ecuația de gradul al patrulea” în alte dicționare: ecuația de gradul al patrulea - - [L.G. Sumenko. Dicționar englez-rus de tehnologia informației. M.: Întreprinderea de stat TsNIIS, 2003.] Subiecte tehnologia de informație în general, ecuația quartică EN...
Ghidul tehnic al traducătorului
Graficul unui polinom de gradul 4 cu patru rădăcini și trei puncte critice. O ecuație de gradul al patrulea în matematică este o ecuație algebrică de forma: Al patrulea grad pentru ecuațiile algebrice este cel mai înalt la care ... ... Wikipedia
O ecuație de forma: anxn + an − 1xn − 1 + ... + a1x + a0 = 0 se numește reciprocă dacă coeficienții ei în poziții simetrice sunt egali, adică dacă an − k = ak, pentru k = 0, 1, ..., n. Cuprins 1 Ecuația de gradul al patrulea ... Wikipedia cuvinte străine, care au intrat în uz în limba rusă. Popov M., 1907. ECUAȚIA BICUADRAT din lat. bis, de două ori, și quadratum, pătrat. Ecuația în care cel mai mare grad... ... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse
Alături de aritmetica există știința numerelor și, prin numere, a cantităților în general. Fără a studia proprietățile unor cantități definite, concrete, ambele științe investighează proprietățile cantităților abstracte ca atare, indiferent de... ... Dicţionar Enciclopedic F. Brockhaus și I.A. Efron
Un set de cunoștințe aplicate care le permite inginerilor de aviație să studieze în domeniul aerodinamicii, problemelor de rezistență, construcției motoarelor și dinamicii zborului aeronavei (adică teorie) pentru a crea un nou aeronave sau imbunatateste..... Enciclopedia lui Collier
Cel mai vechi activitati matematice era o factură. Era necesar un cont pentru a ține evidența animalelor și a face comerț. Unele triburi primitive au numărat numărul de obiecte potrivindu-le cu diferite părți ale corpului, în principal... ... Enciclopedia lui Collier
Istoria tehnologiei Pe perioade și regiuni: Revoluția neolitică Tehnologia antică a Egiptului Știința și tehnologia Indiei antice Știința și tehnologia China antică Tehnologii Grecia antică Tehnologii Roma antică Tehnologii ale lumii islamice... ... Wikipedia
O ecuație este o relație matematică care exprimă egalitatea a două expresii algebrice. Dacă o egalitate este adevărată pentru orice valori admisibile ale necunoscutelor incluse în ea, atunci se numește identitate; de exemplu, un raport al formei... ... Enciclopedia lui Collier
Teorema lui Abel Ruffini afirmă că ecuație generală puterile la nu este rezolvabilă la radicali. Cuprins 1 Detalii... Wikipedia
Obiective:
- Sistematizează și generalizează cunoștințele și abilitățile pe tema: Rezolvarea ecuațiilor de gradul III și IV.
- Aprofundați-vă cunoștințele realizând o serie de sarcini, dintre care unele nu sunt familiare, fie ca tip sau ca metodă de soluție.
- Formarea interesului pentru matematică prin studiul unor noi capitole de matematică, cultivarea unei culturi grafice prin construirea de grafice de ecuații.
Tipul de lecție: combinat.
Echipament: proiector grafic.
Vizibilitate: tabelul „Teorema lui Viete”.
Progresul lecției
1. Numărarea orală
a) Care este restul împărțirii polinomului p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 cu binomul x-a?
b) Câte rădăcini poate avea o ecuație cubică?
c) Cum rezolvăm ecuațiile de gradul al treilea și al patrulea?
d) Dacă b număr parîntr-o ecuație pătratică, ceea ce este egal cu D și x 1;
2. Munca independentă(în grupuri)
Scrieți o ecuație dacă rădăcinile sunt cunoscute (răspunsurile la sarcini sunt codificate) se folosește „Teorema lui Vieta”
1 grup
Rădăcini: x 1 = 1; x2 = -2; x 3 = -3; x 4 = 6
Alcătuiți o ecuație:
B=1-2-3+6=2; b=-2
c=-2-3+6+6-12-18= -23; c= -23
d=6-12+36-18=12; d= -12
e=1(-2)(-3)6=36
x 4 -2 x 3 - 23x 2 - 12 x + 36 = 0(această ecuație este apoi rezolvată de grupul 2 de pe tablă)
Soluţie . Căutăm rădăcini întregi printre divizorii numărului 36.
р = ±1;±2;±3;±4;±6…
p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Numărul 1 satisface ecuația, prin urmare =1 este rădăcina ecuației. Conform schemei lui Horner
p 3 (x) = x 3 - x 2 -24x -36
p 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, x 2 = -2
p 2 (x) = x 2 -3x -18=0
x 3 =-3, x 4 =6
Răspuns: 1;-2;-3;6 suma rădăcinilor 2 (P)
a 2-a grupă
Rădăcini: x 1 = -1; x 2 = x 3 =2; x 4 =5
Alcătuiți o ecuație:
B=-1+2+2+5-8; b= -8
c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15
D=-4-10+20-10= -4; d=4
e=2(-1)2*5=-20;e=-20
8+15+4x-20=0 (grupa 3 rezolvă această ecuație pe tablă)
р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.
p 4 (1)=1-8+15+4-20=-8
р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0
p 3 (x) = x 3 -9x 2 +24x -20
p 3 (2) = 8 -36+48 -20=0
p 2 (x) = x 2 -7x +10 = 0 x 1 =2; x 2 =5
Răspuns: -1;2;2;5 suma rădăcinilor 8(P)
3 grupa
Rădăcini: x 1 = -1; x2 =1; x 3 = -2; x 4 =3
Alcătuiți o ecuație:
В=-1+1-2+3=1;В=-1
с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7
D=2+6-3-6=-1; d=1
e=-1*1*(-2)*3=6
x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(grupul 4 rezolvă această ecuație mai târziu pe tablă)
Soluţie. Căutăm rădăcini întregi printre divizorii numărului 6.
р = ±1;±2;±3;±6
p4 (1)=1-1-7+1+6=0
p 3 (x) = x 3 - 7x -6
р 3 (-1) = -1+7-6=0
p 2 (x) = x 2 - x -6 = 0; x 1 = -2; x 2 =3
Răspuns: -1;1;-2;3 Suma rădăcinilor 1(O)
4 grupa
Rădăcini: x 1 = -2; x2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -3
Alcătuiți o ecuație:
B=-2-2-3+3=-4; b=4
c=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5
D=-12+12+18+18=36; d=-36
e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36
x 4 +4x 3 – 5x 2 – 36x -36 = 0(această ecuație este apoi rezolvată de grupa 5 de pe tablă)
Soluţie. Căutăm rădăcini întregi printre divizorii numărului -36
р = ±1;±2;±3…
p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72
p 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0
p 3 (x) = x 3 +2x 2 -9x-18 = 0
p 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0
p 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3
Răspuns: -2; -2; -3; 3 Suma rădăcinilor-4 (F)
5 grupa
Rădăcini: x 1 = -1; x2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -4
Scrieți o ecuație
x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(această ecuație este apoi rezolvată de grupa 6 de pe tablă)
Soluţie . Căutăm rădăcini întregi printre divizorii numărului 24.
р = ±1;±2;±3
p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
p 3 (x) = x- 3 + 9x 2 + 26x+ 24 = 0
p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = O
p 2 (x) = x 2 + 7x+ 12 = 0
Raspuns: -1;-2;-3;-4 suma-10 (I)
6 grupa
Rădăcini: x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 = -3; x 4 = 8
Scrieți o ecuație
B=1+1-3+8=7;b=-7
c=1 -3+8-3+8-24= -13
D=-3-24+8-24=-43; d=43
x 4 - 7x 3- 13x 2 + 43x - 24 = 0 (această ecuație este apoi rezolvată de grupul 1 de pe tablă)
Soluţie . Căutăm rădăcini întregi printre divizorii numărului -24.
p 4 (1)=1-7-13+43-24=0
p 3 (1)=1-6-19+24=0
p 2 (x)= x 2 -5x - 24 = 0
x 3 =-3, x 4 =8
Raspuns: 1;1;-3;8 suma 7 (L)
3. Rezolvarea ecuațiilor cu un parametru
1. Rezolvați ecuația x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; dacă una dintre rădăcini este egală cu (-1)
Scrieți răspunsul în ordine crescătoare
R=P3(-1)=-1+3-m-15=0
x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0
După condiția x 1 = - 1; D=1+15=16
P 2 (x) = x 2 +2x-15 = 0
x 2 = -1-4 = -5;
x 3 = -1 + 4 = 3;
Răspuns: - 1; 3
În ordine crescătoare: -5;-1;3. (b N S)
2. Aflați toate rădăcinile polinomului x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6, dacă resturile din împărțirea lui în binoamele x-1 și x +2 sunt egale.
Rezolvare: R=P 3 (1) = P 3 (-2)
P 3 (1) = 1-3 + a- 2a + 6 = 4-a
P 3 (-2) = -8-12-2a-2a + 6 = -14-4a
x 3 -Zx 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -Zx 2 -6x + 18
x 2 (x-3)-6(x-3) = 0
(x-3)(x 2 -6) = 0
3) a=0, x 2 -0*x 2 +0 = 0; x 2 =0; x 4 =0
a=0; x=0; x=1
a>0; x=1; x=a ± √a
2. Scrieți o ecuație
1 grup. Rădăcini: -4; -2; 1; 7;
a 2-a grupă. Rădăcini: -3; -2; 1; 2;
3 grupa. Rădăcini: -1; 2; 6; 10;
4 grupa. Rădăcini: -3; 2; 2; 5;
5 grupa. Rădăcini: -5; -2; 2; 4;
6 grupa. Rădăcini: -8; -2; 6; 7.
2. Ecuație Dacă o egalitate include o literă, atunci egalitatea se numește ecuație.
Ecuația poate fi adevărată pentru unele valori ale acestei scrisori
și incorectă pentru celelalte semnificații ale sale.
De exemplu, ecuația x + 6 = 7
adevărat pentru x = 1
și fals pentru x = 2.
3.
Ecuații echivalente Ecuația liniară este ax + by + c = 0.
De exemplu: 5x – 4y + 6 = 0.
Să exprimăm y:
⇒ 4y = 5x + 6 ⇒ y =
| 5x+6 |
| 4 |
⇒ y = 1,25x + 1,5.
Ecuația rezultată, echivalentă cu prima, are forma
y = kx + m,
unde: x - variabilă independentă (argument);
y - variabilă dependentă (funcție);
k și m sunt coeficienți (parametri).
4 Ecuații echivalente
Cele două ecuații sunt numite echivalent (echivalent), dacă mulțimile tuturor soluțiilor lor coincid sau ambele nu au soluții și notează .
5/Ecuația de gradul I.
Ecuația de gradul întâi poate fi redusă la forma:
topor+b = 0,
Unde x- variabilă, oŞi b– câteva numere și o ≠ 0.
De aici este ușor să obținem valoarea x:
b
x = – -
o
Acesta este sensul x este rădăcina ecuației.
Ecuațiile de gradul întâi au o singură rădăcină.
Ecuația de gradul doi.
Ecuația de gradul doi poate fi redusă la forma:
ax 2 + bx + c = 0,
Unde x- variabilă, a, b, c– câteva numere și o ≠ 0.
Numărul de rădăcini ale ecuației de gradul doi depinde de discriminant:
Dacă D > 0, atunci ecuația are două rădăcini;
Dacă D = 0, atunci ecuația are o rădăcină;
Daca D< 0, то уравнение корней не имеет.
O ecuație de gradul doi nu poate avea mai mult de două rădăcini.
(despre ce este un discriminant și cum să găsiți rădăcinile unei ecuații, consultați secțiunile „Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice. Discriminant” și „O altă modalitate de a rezolva o ecuație pătratică”).
Ecuația de gradul trei.
Ecuația de gradul trei poate fi redusă la forma:
topor 3 + bx 2 + cx + d = 0,
Unde x- variabilă, a, b, c, d– câteva numere și o ≠ 0.
O ecuație de gradul trei nu poate avea mai mult de trei rădăcini.
Ecuația gradului al patrulea.
Ecuația de gradul al patrulea poate fi redusă la forma:
topor 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0,
Unde x- variabilă, a, b, c, d, e– câteva numere și o ≠ 0.
O ecuație de gradul trei nu poate avea mai mult de patru rădăcini.
Rezumat:
1) ecuația a cincea, a șasea etc. grade pot fi obținute cu ușurință independent, urmând diagrama de mai sus;
2) ecuația n- gradul nu mai poate avea n rădăcini
6/O ecuație cu o variabilă este o egalitate care conține o singură variabilă. Rădăcina (sau soluția) unei ecuații este valoarea variabilei la care ecuația se transformă într-o egalitate numerică adevărată.
1. 8/-11/Sisteme ecuații liniare: concepte de bază Sistem de ecuații liniare.
Sisteme inconsistente și nedefinite de ecuații liniare. Set de ecuații liniare.
Sistem de ecuații liniare este o uniune a n ecuații liniare, fiecare dintre ele conține k variabile. Este scris astfel:
Mulți, când întâlnesc algebră superioară pentru prima dată, cred în mod eronat că numărul de ecuații trebuie să coincidă în mod necesar cu numărul de variabile. În algebra școlară acest lucru se întâmplă de obicei, dar pentru algebra superioară acest lucru nu este, în general, adevărat.
Rezolvarea unui sistem de ecuații este o succesiune de numere ( k 1 , k 2 , ..., k n), care este soluția fiecărei ecuații a sistemului, adică când se substituie în această ecuație în loc de variabile x 1 , x 2 , ..., x n dă egalitatea numerică corectă.
În consecință, rezolvarea unui sistem de ecuații înseamnă găsirea mulțimii tuturor soluțiilor sale sau demonstrarea că această mulțime este goală. Deoarece numărul de ecuații și numărul de necunoscute pot să nu coincidă, sunt posibile trei cazuri:
1. Sistemul este inconsecvent, adică setul tuturor soluțiilor este gol. Suficient caz rar, care este ușor de descoperit indiferent de metoda folosită pentru a rezolva sistemul.
2. Sistemul este consistent și definit, adică are exact o solutie. Varianta clasică, cunoscută încă de la școală.
3. Sistemul este consistent și nedefinit, adică are o infinitate de solutii. Aceasta este cea mai grea varianta. Nu este suficient să indicăm că „sistemul are set infinit soluții” - este necesar să descriem modul în care este structurat acest set.
Variabilă x i numit permis, dacă este inclus într-o singură ecuație a sistemului, și cu un coeficient de 1. Cu alte cuvinte, în ecuațiile rămase coeficientul variabilei x i trebuie să fie egal cu zero.
Dacă selectăm o variabilă permisă în fiecare ecuație, obținem un set de variabile permise pentru întregul sistem de ecuații. Sistemul în sine, scris în această formă, va fi numit și rezolvat. În general, unul și același sistem original poate fi redus la altele permise diferite, dar deocamdată nu ne preocupă acest lucru. Iată exemple de sisteme permise:
Ambele sisteme sunt rezolvate variabil x 1 , x 3 și x 4. Totuși, cu același succes se poate argumenta că al doilea sistem este permis relativ x 1 , x 3 și x 5. Este suficient să rescrieți ultima ecuație în formă x 5 = x 4 .
Acum să luăm în considerare un caz mai general. Să avem totul k variabile, dintre care r sunt permise. Atunci sunt posibile două cazuri:
1. Numărul de variabile permise r egal cu numărul total de variabile k: r = k. Obținem sistemul de la k ecuaţii în care r = k variabile permise. Un astfel de sistem este comun și definit, pentru că x 1 = b 1 , x 2 = b 2 , ..., x k = b k;
2. Numărul de variabile permise r mai mic decât numărul total de variabile k: r < k. Restul ( k − r) variabilele sunt numite libere - pot lua orice valoare, din care variabilele permise pot fi calculate cu ușurință.
Deci, în sistemele de mai sus variabilele x 2 , x 5 , x 6 (pentru primul sistem) și x 2 , x 5 (pentru al doilea) sunt gratuite. Cazul în care există variabile libere este mai bine formulat ca o teoremă:
Vă rugăm să rețineți: acest lucru este foarte punct important! În funcție de modul în care scrieți sistemul rezultat, aceeași variabilă poate fi fie permisă, fie liberă. Majoritatea tutorilor matematică superioară Se recomandă să scrieți variabilele în ordine lexicografică, de ex. indice ascendent. Cu toate acestea, nu aveți nicio obligație să urmați acest sfat.
Teorema. Dacă sistemul este de la n variabilele ecuației x 1 , x 2 , ..., xr- permis și xr + 1 , xr + 2 , ..., x k- gratuit, atunci:
1. Dacă setați valorile variabilelor libere ( xr + 1 = t r + 1 , xr + 2 = t r + 2 , ..., x k = tk), apoi găsiți valorile x 1 , x 2 , ..., xr, obținem una dintre soluții.
2. Dacă în două soluții coincid valorile variabilelor libere, atunci coincid și valorile variabilelor permise, adică. solutiile sunt egale.
Care este sensul acestei teoreme? Pentru a obține toate soluțiile unui sistem de ecuații rezolvat, este suficient să izolați variabilele libere. Apoi, atribuirea variabilelor libere sensuri diferite, vom primi soluții gata făcute. Asta e tot - în acest fel poți obține toate soluțiile sistemului. Nu există alte soluții.
Concluzie: sistemul de ecuații rezolvat este întotdeauna consistent. Dacă numărul de ecuații dintr-un sistem rezolvat este egal cu numărul de variabile, sistemul va fi definit dacă este mai mic, va fi nedefinit.
Se formează mai multe ecuații Set de ecuații
2. 12,13/ Inegalitatea liniară./ Inegalități stricte și nestricte Ce este inegalitate? Se ia orice ecuație, semnul „=" („egal”) este înlocuit cu un alt semn ( > ;≥ ; < ; ≤ ; ≠ ) și se obține o inegalitate.) Ecuația poate fi orice: liniară, pătratică, fracțională, exponențială, trigonometrică, logaritmică etc. etc. În consecință, inegalitățile noastre vor fi liniare, pătratice etc.
Ce trebuie să știți despre pictogramele inegalității? Inegalități cu pictograma Mai mult (> ), sau Mai puțin (< ) sunt numite strict. Cu icoane mai mare sau egal cu (≥ ), mai mic sau egal cu (≤ ) sunt numite nu strict. Pictogramă nu egali (≠ ) se deosebește, dar trebuie să rezolvați tot timpul exemplele cu această pictogramă. Și vom decide.)
Pictograma în sine nu are o influență prea mare asupra procesului de soluționare. Dar la sfârșitul deciziei, la alegerea răspunsului final, apare semnificația pictogramei în forță deplină! Aceasta este ceea ce vom vedea mai jos în exemple. Sunt niste glume acolo...
Inegalitățile, ca și egalitățile, există credincios și necredincios. Totul este simplu aici, fără trucuri. Să zicem 5 > 2 este o inegalitate adevărată. 5 < 2 - incorect.
Inegalitățile liniare, pătratice, fracționale, exponențiale, trigonometrice și alte inegalități sunt rezolvate în moduri diferite. Fiecare tip are propria sa metodă, propria sa tehnică specială. Dar! Toate aceste tehnici speciale pot fi folosite numai la un tip standard de inegalitate. Aceste. inegalitatea de orice fel trebuie mai întâi pregăti să-ți folosești metoda.
3. 14,16/Proprietățile de bază ale inegalităților/. Acțiuni cu două inegalități.
1) Dacă 
2) Proprietatea tranzitivității. Dacă
3) Dacă adăugați același număr la ambele părți ale unei inegalități adevărate, obțineți o inegalitate adevărată, adică Dacă
4) Dacă transferăm orice termen dintr-o parte a unei inegalități adevărate în alta, schimbându-i semnul în opus, atunci obținem o inegalitate adevărată, i.e. Dacă
5) Dacă ambele părți ale unei inegalități adevărate sunt înmulțite cu același lucru număr pozitiv, atunci inegalitatea va fi adevărată. De exemplu, dacă
6) Dacă ambele părți ale unei inegalități adevărate sunt înmulțite cu același număr negativ și schimba semnul de inegalitate dimpotrivă, rezultatul este o adevărată inegalitate. De exemplu, dacă
7) Similar regulilor 5) și 6), se aplică regulile de împărțire la același număr. Dacă 
Pentru ecuațiile de gradul al patrulea, toate acestea sunt aplicabile scheme generale rezolvarea de ecuații de grade superioare, pe care le-am examinat în materialul anterior. Cu toate acestea, există o serie de nuanțe în rezolvarea ecuațiilor binomiale, biquadratice și reciproce, asupra cărora am dori să ne oprim mai detaliat.
Tot în articol vom analiza metoda artificială de factorizare a unui polinom, rezolvarea în radicali și metoda Ferrari, care este folosită pentru a reduce soluția unei ecuații de gradul al patrulea la o ecuație cubică.
Rezolvarea unei ecuații binomiale de gradul al patrulea
Acesta este cel mai simplu tip de ecuație de gradul al patrulea. Ecuația se scrie ca A x 4 + B = 0.
Definiția 1
Pentru a rezolva acest tip de ecuații se folosesc formule de înmulțire prescurtate:
A x 4 + B = 0 x 4 + B A = 0 x 4 + 2 B A x 2 + B A - 2 B A x 2 = 0 x 2 + B A 2 - 2 B A x 2 = 0 x 2 - 2 B A 4 x + B A x 2 + 2 B A 4 x + B A = 0
Tot ce rămâne este să găsiți rădăcinile trinoamelor pătrate.
Exemplul 1
Rezolvați ecuația de gradul al patrulea 4 x 4 + 1 = 0.
Soluţie
Mai întâi, să factorizăm polinomul 4 x 4 + 1:
4 x 4 + 1 = 4 x 4 + 4 x 2 + 1 = (2 x 2 + 1) 2 - 4 x 2 = 2 x 2 - 2 x + 1 (2 x 2 + 2 x + 1)
Acum să găsim rădăcinile trinoamelor pătrate.
2 x 2 - 2 x + 1 = 0 D = (- 2) 2 - 4 2 1 = - 4 x 1 = 2 + D 2 2 = 1 2 + i x 2 = 2 - D 2 2 = 1 2 - i
2 x 2 + 2 x + 1 = 0 D = 2 2 - 4 2 1 = - 4 x 3 = - 2 + D 2 2 = - 1 2 + i x 4 = - 2 - D 2 2 = - 1 2 - i
Avem patru rădăcini complexe.
Răspuns: x = 1 2 ± i și x = - 1 2 ± i .
Rezolvarea unei ecuații recurente de gradul al patrulea
Definiția 2Ecuațiile reciproce de ordinul al patrulea sunt A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0
x = 0 nu este rădăcina acestei ecuații: A · 0 4 + B · 0 3 + C · 0 2 + B · 0 + A = A ≠ 0. Prin urmare, putem împărți în siguranță ambele părți ale acestei ecuații la x 2:
A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0 A x 2 + B x + C + B x + A x 2 = 0 A x 2 + A x 2 + B x + B x + C = 0 A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0
Să schimbăm variabilele x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 - 2:
A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0 A (y 2 - 2) + B y + C = 0 A y 2 + B y + C - 2 A = 0
Deci reducem ecuația reciprocă de gradul al patrulea la o ecuație pătratică.
Exemplul 2
Aflați toate rădăcinile complexe ale ecuației 2 x 4 + 2 3 + 2 x 3 + 4 + 6 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 = 0.
Soluţie
Simetria coeficienților ne spune că avem de-a face cu o ecuație reciprocă de gradul al patrulea. Să împărțim ambele părți la x 2:
2 x 2 + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + 2 3 + 2 x + 2 x 2 = 0
Să grupăm:
2 x 2 + 2 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + = 0 2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0
Să înlocuim variabila x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 - 2
2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0 2 y 2 - 2 + 2 3 + 2 y + 4 + 6 = 0 2 y 2 + 2 3 + 2 y + 6 = 0
Să rezolvăm ecuația pătratică rezultată:
D = 2 3 + 2 2 - 4 2 6 = 12 + 4 6 + 2 - 8 6 = = 12 - 4 6 + 2 = 2 3 - 2 2 y 1 = - 2 3 - 2 + D 2 2 = - 2 3 - 2 + 2 3 - 2 4 = - 2 2 y 2 = - 2 3 - 2 - D 2 2 = - 2 3 - 2 - 2 3 + 2 4 = - 3
Să revenim la înlocuire: x + 1 x = - 2 2 , x + 1 x = - 3 .
Să rezolvăm prima ecuație:
x + 1 x = - 2 2 ⇒ 2 x 2 + 2 x + 2 = 0 D = 2 2 - 4 2 2 = - 14 x 1 = - 2 - D 2 2 = - 2 4 + i 14 4 x 2 = - 2 - D 2 2 = - 2 4 - i 14 4
Să rezolvăm a doua ecuație:
x + 1 x = - 3 ⇒ x 2 + 3 x + 1 = 0 D = 3 2 - 4 1 1 = - 1 x 3 = - 3 + D 2 = - 3 2 + i 1 2 x 4 = - 3 - D 2 = - 3 2 - i 1 2
Răspuns: x = - 2 4 ± i · 14 4 și x = - 3 2 ± i · 1 2 .
Rezolvarea unei ecuații biquadratice
Ecuațiile biquadratice de gradul al patrulea au forma A x 4 + B x 2 + C = 0. Putem reduce o astfel de ecuație la o ecuație pătratică A y 2 + B y + C = 0 prin substituirea y = x 2 . Aceasta este o tehnică standard.
Exemplul 3
Rezolvați ecuația biquadratică 2 x 4 + 5 x 2 - 3 = 0.
Soluţie
Să înlocuim variabila y = x 2, ceea ce ne va permite să reducem ecuația inițială la una pătratică:
2 y 2 + 5 y - 3 = 0 D = 5 2 - 4 2 (- 3) = 49 y 1 = - 5 + D 2 2 = - 5 + 7 4 = 1 2 y 2 = - 5 - D 2 2 = - 5 - 7 4 = - 3
Prin urmare, x 2 = 1 2 sau x 2 = - 3.
Prima egalitate ne permite să obținem rădăcina x = ± 1 2 . A doua egalitate nu are rădăcini reale, dar are rădăcini conjugate complexe x = ± i · 3.
Răspuns: x = ± 1 2 și x = ± i · 3 .
Exemplul 4
Aflați toate rădăcinile complexe ale ecuației biquadratice 16 x 4 + 145 x 2 + 9 = 0.
Soluţie
Folosim metoda de înlocuire y = x 2 pentru a reduce ecuația biquadratică originală la una pătratică:
16 y 2 + 145 y + 9 = 0 D = 145 2 - 4 16 9 = 20449 y 1 = - 145 + D 2 16 = - 145 + 143 32 = - 1 16 y 2 = - 145 - D 2 · 16 = - 145 - 143 32 = - 9
Prin urmare, datorită schimbării variabilei, x 2 = - 1 16 sau x 2 = - 9.
Răspuns: x 1, 2 = ± 1 4 · i, x 3, 4 = ± 3 · i.
Rezolvarea ecuațiilor de gradul al patrulea cu rădăcini raționale
Algoritmul pentru găsirea rădăcinilor raționale ale unei ecuații de gradul al patrulea este dat în materialul „Rezolvarea ecuațiilor de grade superioare”.
Rezolvarea ecuațiilor de gradul al patrulea folosind metoda Ferrari
Ecuațiile cuaternare de forma x 4 + A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 pot fi rezolvate în general folosind metoda Ferrari. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți y 0. Aceasta este oricare dintre rădăcinile ecuației cubice y 3 - B y 2 + A C - 4 D y - A 2 D + 4 B D - C 2 = 0. După aceasta, este necesar să se rezolve două ecuații pătratice x 2 + A 2 x + y 0 2 + A 2 4 - B + y 0 x 2 + A 2 y 0 - C x + y 0 2 4 - D = 0, a cărui expresie radicală este este un pătrat perfect.
Rădăcinile obținute în timpul calculelor vor fi rădăcinile ecuației originale de gradul patru.
Exemplul 5
Aflați rădăcinile ecuației x 4 + 3 x 3 + 3 x 2 - x - 6 = 0.
Soluţie
Avem A = 3, B = 3, C = - 1, D = - 6. Să aplicăm metoda Ferrari pentru a rezolva această ecuație.
Să compunem și să rezolvăm ecuația cubică:
y 3 - B y 2 + A C - 4 D y - A 2 D + 4 B D - C 2 = 0 y 3 - 3 y 2 + 21 y - 19 = 0
Una dintre rădăcinile ecuației cubice va fi y 0 = 1, deoarece 1 3 - 3 · 1 2 + 21 · 1 - 19 = 0.
Să scriem două ecuații pătratice:
x 2 + A 2 x + y 0 2 ± A 2 4 - B + y 0 x 2 + A 2 y 0 - C x + y 0 2 4 - D = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 4 x 2 + 5 2 x + 25 4 = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 2 x + 5 2 2 = 0
x 2 + 3 2 x + 1 2 + 1 2 x + 5 2 = 0 sau x 2 + 3 2 x + 1 2 - 1 2 x - 5 2 = 0
x 2 + 2 x + 3 = 0 sau x 2 + x - 2 = 0
Rădăcinile primei ecuații vor fi x = - 1 ± i · 2, rădăcinile celei de-a doua vor fi x = 1 și x = - 2.
Răspuns: x 1, 2 = - 1 ± i 2, x 3 = 1, x 4 = - 2.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
