Găsiți coordonatele vectorului în forma. Vector

Geometrie analitică

		Săptămâna evenimentului	Scorul modulului în puncte
		controlul modulului
			Maxim		Minim
Semestrul 1
DZ nr. 1, partea 1
DZ nr. 1, partea 2
Control prin modulul nr. 1
Puncte de atribuire
Control prin modulul nr. 2
Puncte de atribuire

Măsuri de control și momentul implementării acestora Modulul 1

1. DZ Nr. 1 partea 1 „Algebră vectorială” Termen limită de emisiune 2 săptămâni, termen limită - 7 săptămâni

2. DZ nr. 1 partea 2 „Linii drepte și avioane”

Perioada de emitere este de 1 săptămână, data scadentă este de 9 săptămâni

3. Test pe modulul nr. 1 (RC nr. 1) „Algebră vectorială, drepte și plane”. Durata: 10 săptămâni

1. DZ Nr. 2 „Curbe și suprafețe Comanda a 2-a" Timp de emitere 6 săptămâni, data scadentă - 13 săptămâni

5. Testul „Curbe și suprafețe” Ordinul a 2-a.” Durata: 14 săptămâni

6. Control pe modulul nr. 2 (RC nr. 2) „Matrici și sisteme de ecuații algebrice liniare”

Durata: 16 săptămâni

Sarcini tipice utilizate în formarea opțiunilor de control curent

1. Tema nr. 1. „Algebră vectorială și geometrie analitică”

Date: punctele A (0;3;2) , B (1;4;2) , D (0;1;2) ,			A(1;2;0); numerele a 30,				b 1 ; colţ
1. Aflați lungimea vectorului |		n | , Dacă			p aq ,	n bp q	și p, q sunt unitare

vectori ale căror unghiuri sunt egale.

2. Aflați coordonatele punctului M care împarte vectorul AB în raportul a:1.

3. Verificați dacă este posibil pe vectori AB și AD construiesc un paralelogram. Dacă da, atunci găsiți lungimile laturilor paralelogramului.

4. Aflați unghiurile dintre diagonalele paralelogramului ABCD.

5. Găsiți aria paralelogramului ABCD.

6. Asigurați-vă că pe vectori AB, AD, AA 1 se poate construi un paralelipiped. Aflați volumul acestui paralelipiped și lungimea înălțimii acestuia.

7. Găsiți coordonatele vectoriale AH, îndreptat de-a lungul înălțimii paralelipipedului ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, trasat din punctul A la planul de bază A 1 B 1 C 1 D 1,

coordonatele punctului H și coordonatele unui vector unitar care coincide în direcția cu vectorul AH.

8. Găsiți descompunerea vectorială AH prin vectorii AB, AD, AA 1.

9. Găsiți proiecția vectorului AH la vectorul AA 1.

10. Scrieţi ecuaţiile planelor: a) P, care trece prin punctele A, B, D;

b) P1 care trece prin punctul A și dreapta A1 B1;

c) P2 care trece prin punctul A1 paralel cu planul P; d) P3 conţinând drepte AD şi AA1;

e) P4, care trece prin punctele A și C1, perpendicular pe planul P.

11. Aflați distanța dintre liniile pe care se află muchiile AB și CC 1; scrie ecuațiile canonice și parametrice ale perpendicularei comune pe acestea.

12. Aflați punctul A 2 simetric față de punctul A1 relativ la planul bazei

13. Aflați unghiul dintre dreapta pe care se află diagonala A 1 C și planul de bază ABCD.

14. Găsiți un unghi ascuțit între planele ABC 1 D (planul P) și ABB1 A1 (planul P1).

2. Tema #2. „Curbe și suprafețe de ordinul doi”

În problemele 1–2, aduceți ecuația dată a unei linii de ordinul doi la forma canonică și construiți o curbă în sistemul de coordonate OXY.

ÎN Problema 3, folosind datele date, găsiți ecuația curbei în sistemul de coordonate OXY. Pentru sarcini 1–3 indică:

1) forma canonică a ecuației drepte;

2) transformarea de traducere paralelă care duce la forma canonică;

3) în cazul unei elipse: semiaxe, excentricitate, centru, vârfuri, focare, distanțe de la punctul C la focare; în cazul unei hiperbole: semiaxe, excentricitate, centru, vârfuri, focare, distanțe de la punctul C la focare, ecuații ale asimptotelor; în cazul unei parabole: parametru, vârf, focar, ecuație directrice, distanțe de la punctul C la focar și directrice;

4) pentru punctul C, verificați proprietatea care caracterizează acest tip de curbă ca loc al punctelor.

ÎN Problema 4 indică transformarea de translație paralelă care aduce ecuația de suprafață dată la forma canonică, forma canonică a ecuației de suprafață și tipul de suprafață. Construiți o suprafață în sistemul de coordonate canonic OXYZ.

	5x 2 y 2 20x 2y 4 , C (0;1				2) 5x 2 4y 2 20x 8y 64 , C (12;14) .
		5) ;
	Parabola este simetrică față de dreapta y 1 0 și are un focar							; 1 ,
	intersectează axa OX în punctul C				; 0, iar ramurile sale se află în semiplan	x 0 .
	4y 2 z 2 8y 4z 1 0 .

Test pe modulul nr. 1 „Algebră vectorială. Geometrie analitică”

1. Triple drepte și stângi ale vectorilor. Definirea produsului vectorial al vectorilor. Formulați proprietățile produsului vectorial al vectorilor. Deduceți o formulă pentru calcularea produsului vectorial al doi vectori specificați prin coordonatele lor pe o bază ortonormală.

vectori

a m n,

mn,

1, m, n

Pot fi,

descompunere vectorială

c 3 i

12 j 6k

vectori

3 j 2 k și b 2 i 3 j 4 k.

Scrieți ecuația planului,

trecând prin punctele M 1 5, 1, 4,

M22, 3,1 şi

perpendicular pe plan

6x 5y 4z 1 0. Scrieți ecuațiile canonice

o linie dreaptă care trece prin punctul M 0 0, 2,1 și ortogonală cu planul găsit.

Testul „Curbe și suprafețe de ordinul doi”

1. Definirea unei elipse ca loc geometric al punctelor. Derivarea ecuației canonice a unei elipse într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare. Parametrii de bază ai curbei.

2. Ecuația suprafeței x 2 4y 2 z 2 8x 4y 6z 17 0 duce la canonic

minte. Realizați un desen în sistemul de coordonate canonic. Indicați numele acestei suprafețe.

3. Scrieți o ecuație pentru o hiperbolă echiaxială dacă centrul ei O 1 1, 1 și unul dintre focarele sale F 1 3, 1 sunt cunoscute. Faceți un desen.

Test pe modulul nr. 2 „Curbe și suprafețe de ordinul doi. Matrici și sisteme de ecuații algebrice liniare"

1. Sisteme omogene de ecuații algebrice liniare (SLAEs). Forme de înregistrare SLAE omogene. Dovada unui criteriu pentru existența soluțiilor nenule ale unui SLAE omogen.

2. Rezolvați ecuația matriceală AX B,

Faceți o verificare.

3. a) Rezolvați SLAE. b) Aflați sistemul fundamental normal de soluții ale sistemului omogen corespunzător, o soluție particulară a sistemului neomogen; scrieți prin ele soluția generală a acestui sistem neomogen:

x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 4 x 2 x 3 x 4 3

x 1 3 x 2 3 x 4 1

7 x 2 3 x 3 x 4 3

Întrebări de pregătire pentru testele modulului, teste, teste și examene

1. Vectori geometrici. Vectori liberi. Definiția vectorilor coliniari și coplanari. Operații liniare pe vectori și proprietățile acestora.

2. Determinarea dependenței liniare și a independenței liniare a vectorilor. Dovezi ale condițiilor de dependență liniară 2 și 3 vectori.

3. Definirea bazei în spații vectoriale V 1, V 2, V 3. Demonstrarea teoremei privind existența și unicitatea expansiunii unui vector în raport cu o bază. Operații liniare pe vectori specificați prin coordonatele lor în bază.

4. Definirea produsului scalar al vectorilor, legătura acestuia cu proiecția ortogonală a vectorului pe axă. Proprietățile produsului scalar, demonstrația lor. Derivarea formulei de calcul a produsului scalar al vectorilor pe o bază ortonormală.

5. Definiția unei baze ortonormale. Relația dintre coordonatele unui vector într-o bază ortonormală și proiecțiile sale ortogonale pe vectorii acestei baze. Derivarea formulelor pentru calcularea lungimii unui vector, a cosinusurilor direcției acestuia și a unghiului dintre doi vectori pe o bază ortonormală.

6. Triple drepte și stângi ale vectorilor. Definiția produsului vectorial al vectorilor, sensul său mecanic și geometric. Proprietățile produsului vectorial (fără document). Derivarea formulei de calcul a produsului vectorial pe o bază ortonormală.

7. Definirea unui produs mixt de vectori. Volumul unui paralelipiped și volumul unei piramide, construite pe vectori necoplanari. Condiție de coplanaritate a trei vectori. Proprietățile unui produs mixt. Derivarea unei formule pentru calcularea unui produs mixt pe o bază ortonormală.

8. Definirea unui sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare. Rezolvarea celor mai simple probleme de geometrie analitică.

9. Diverse tipuri de ecuații ale unei drepte pe un plan: vectorială, parametrică, canonică. Vectorul direcție este drept.

10. Deducerea ecuației unei drepte care trece prin două puncte date.

11. Demonstrarea teoremei că într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare pe un plan, o ecuație de gradul I definește o dreaptă. Determinarea vectorului normal al unei linii.

12. O ecuație cu un coeficient unghiular, o ecuație a unei drepte „în segmente”. Semnificația geometrică a parametrilor incluși în ecuații. Unghiul dintre două linii drepte. Condiții de paralelism și perpendicularitate a două drepte, date de ecuațiile lor generale sau canonice.

13. Derivarea formulei pentru distanța de la un punct la o dreaptă dintr-un plan.

14. Dovada teoremei că într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiu, o ecuație de gradul I definește un plan. Ecuația generală a planului. Determinarea vectorului normal al unui plan. Deducerea ecuației unui plan care trece prin trei puncte date. Ecuația planului „în segmente”.

15. Unghiul dintre planuri. Condiții de paralelism și perpendicularitate a două plane.

16. Derivarea formulei pentru distanța de la un punct la un plan.

17. Ecuații generale ale unei drepte în spațiu. Derivarea ecuațiilor vectoriale, canonice și parametrice ale unei drepte în spațiu.

18. Unghiul dintre două drepte în spațiu, condițiile de paralelism și perpendicularitate a două drepte. Condiții pentru ca două drepte să aparțină aceluiași plan.

19. Unghiul dintre o dreaptă și un plan, condițiile de paralelism și perpendicularitate a unei drepte și a unui plan. Condiția ca o dreaptă să aparțină unui plan dat.

20. Problema găsirii distanței dintre liniile încrucișate sau paralele.

21. Definirea unei elipse ca loc geometric al punctelor. Derivarea ecuației canonice a elipsei.

22. Definirea unei hiperbole ca loc al punctelor. Derivarea ecuației hiperbolei canonice.

23. Definirea unei parabole ca loc al punctelor. Derivarea ecuației parabolei canonice.

24. Definiția unei suprafețe cilindrice. Ecuații canonice ale suprafețelor cilindrice Ordinul 2.

25. Conceptul de suprafață a revoluției. Ecuații canonice ale suprafețelor formate prin rotirea unei elipse, hiperbole și parabole.

26. Ecuații canonice ale unui elipsoid și ale unui con. Studiul formei acestor suprafețe prin metoda secțiunilor.

27. Ecuații canonice ale hiperboloizilor. Studiul formei hiperboloizilor prin metoda secțiunilor.

28. Ecuații canonice ale paraboloizilor. Studiul formei paraboloizilor prin metoda secțiunilor.

29. Conceptul de matrice. Tipuri de matrice. Egalitatea matricei. Operații liniare pe matrice și proprietățile acestora. Matrici de transpunere.

30. Înmulțirea matricei. Proprietățile operației de înmulțire a matricei.

31. Definiția unei matrice inverse. Dovada unicității matricei inverse. Demonstrarea teoremei asupra matricei inverse a produsului a două matrici inversabile.

32. Criteriul de existență a unei matrici inverse. Conceptul de matrice alăturată, legătura sa cu matricea inversă.

33. Derivarea formulelor Cramer pentru rezolvarea unui sistem de ecuații liniare cu o matrice pătrată nesingulară.

34. Dependența liniară și independența liniară a rândurilor (coloanelor) unei matrice. Dovada criteriului de dependență liniară a rândurilor (coloanelor).

35. Definiția matricei minore. Minor de bază. Teorema pe baza minoră (fără doqua). Dovada corolarului său pentru matrice pătrată.

36. Metoda limitării minorilor pentru găsirea rangului unei matrice.

37. Transformări elementare ale rândurilor matriceale (coloanelor). Găsirea matricei inverse folosind metoda transformărilor elementare.

38. Teorema privind invarianța rangului unei matrice sub transformări elementare. Găsirea rangului unei matrice folosind metoda transformărilor elementare.

39. Sisteme de ecuații algebrice liniare (SLAEs). Diferite forme de înregistrare SLAE. SLAE comun și incompatibil. Dovada criteriului Kronecker-Kapell pentru compatibilitatea SLAE-urilor.

40. Sisteme omogene de ecuații algebrice liniare (SLAEs). Proprietățile soluțiilor lor.

41. Determinarea sistemului fundamental de soluții (FSS) al unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare (SLAE). Teoremă privind structura soluției generale a unui SLAE omogen. Construcția FSR.

42. Sisteme neomogene de ecuații algebrice liniare (SLAEs). Demonstrarea teoremei privind structura soluției generale a unui SLAE neomogen.

Evenimentul de control	Numărul de sarcini	Puncte pentru sarcină
DZ nr. 1, partea 1
Puncte câștigate
Evenimentul de control	Numărul de sarcini	Puncte pentru sarcină
DZ nr. 1, partea 2
Puncte câștigate

Evenimentul de control				Numărul de sarcini			Puncte pentru sarcină
Control prin modulul nr. 1				1 teorie și 3 probleme			teorie – 0; 3; 6
							sarcini - 0; 1; 2
			Puncte câștigate
Evenimentul de control				Numărul de sarcini			Puncte pentru sarcină
	Puncte câștigate
Evenimentul de control				Numărul de sarcini			Puncte pentru sarcină
				1 teorie și 3 probleme			teorie – 0; 3; 6
							sarcini - 0; 1; 2
			Puncte câștigate
						01 teorie și 3 probleme			teorie – 0; 3; 6
		sarcini - 0; 1; 2
			Puncte câștigate

Reguli de atribuire a punctelor în revistă

1. Puncte pentru telecomandă. Punctele pentru sarcinile de lucru se eliberează în săptămâna următoare după data scadenței, conform tabelului corespunzător. Elevul are dreptul să trimită teme individuale pentru revizuire mai devreme decât termenul limită și să corecteze erorile sesizate de profesor, primind în același timp sfaturile necesare. Dacă până la termenul final de depunere a temei studentul aduce soluția problemei în versiunea corectă, atunci i se acordă punctajul maxim pentru această sarcină. După expirarea termenului limită de depunere a temei, un student care nu a obținut punctajul minim pentru temă poate continua să lucreze la temă. În acest caz, în cazul unei lucrări de succes, studentului i se acordă un punctaj minim pentru sarcina de lucru.

2. Puncte pentru CD. Dacă un student nu atinge punctajul minim pentru CD la timp, atunci pe parcursul semestrului poate rescrie această lucrare de două ori. Dacă rezultatul este pozitiv (punctele nu sunt mai mici decât minimul stabilit), studentului i se acordă punctajul minim pentru CD.

3. Puncte pentru „control modular”. Ca „control modul”, este oferită o lucrare scrisă constând din părți teoretice și practice. Fiecare parte a controlului modulului este evaluată separat. Un elev care primește o notă nu mai mică decât cea minimă într-una dintre părțile testului este considerat că a promovat această parte și este scutit de la finalizarea acesteia în viitor. La discreția profesorului, poate fi organizat un interviu pentru partea teoretică a temei. Dacă un student nu atinge minimul stabilit pentru fiecare parte a lucrării, atunci pe parcursul semestrului are două încercări pentru fiecare parte de a corecta situația. Cu un pozitiv

Ca rezultat (un set de puncte nu mai mic decât minimul stabilit), studentului i se acordă un punctaj minim pentru „controlul modulului”.

4. Gradul modulului. Dacă studentul a finalizat toate activitățile curente de control ale modulului (a obținut cel puțin punctajul minim stabilit),

atunci nota pentru modul este suma punctelor pentru toate activitățile de control ale modulului (în acest caz, elevul punctează automat cel puțin pragul minim). Scorurile finale pentru modul sunt înregistrate în jurnal după ce toate activitățile de control au fost finalizate.

5. Scorul total. Suma punctelor pentru două module.

6. Evaluare. Certificarea finală (examen, test diferențiat, test) se realizează pe baza rezultatelor muncii din semestrul după ce studentul a finalizat volumul planificat de muncă educațională și a primit o notă pentru fiecare modul care nu este mai mică decât minimul stabilit. Suma maximă de puncte pentru toate modulele, inclusiv punctele pentru diligență, este de 100, minimul este de 60. Suma punctelor pentru toate modulele formează punctajul de calificare pentru disciplina pentru semestru. Un student care a promovat toate evenimentele de control primește o notă finală la disciplina pentru semestru în conformitate cu baremul:

		scorul examenului,	Evaluarea la test
		clasamente diferentiate
		satisfăcător
		nesatisfăcător

Îți poți crește nota, și, prin urmare, nota examenului, la examenul final (lucrare scrisă pe materialul disciplinei în ansamblu, efectuată în cadrul sesiunii de examen), punctajul maxim este 30, minimul este -16 . Aceste puncte se însumează cu punctele primite pentru toate modulele din disciplină. În același timp, pentru a crește nota la „bine” la examen, studentul trebuie să obțină cel puțin 21 de puncte, la „excelent” ─ cel puțin 26 de puncte. Pentru specialitățile în care se acordă credit în disciplină, ratingul nu este majorat. Elevii care au o calificare în intervalul 0-59 la începutul sesiunii de examene obțin minimul necesar pentru a primi o notă pozitivă la disciplină prin reluarea măsurilor de control care nu au fost promovate anterior în module individuale. În același timp, studenții care nu au un motiv întemeiat pot primi în cele din urmă (până la sfârșitul sesiunii de examen) o notă nu mai mare de „satisfăcător”.

Abcisele și axa ordonatelor se numesc coordonate vector. Coordonatele vectoriale sunt de obicei indicate în formular (x, y), iar vectorul în sine ca: =(x, y).

Formula pentru determinarea coordonatelor vectoriale pentru probleme bidimensionale.

În cazul unei probleme bidimensionale, un vector cu cunoscut coordonatele punctelor A(x 1;y 1)Şi B(x 2 ; y 2 ) se poate calcula:

= (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

Formula pentru determinarea coordonatelor vectoriale pentru probleme spațiale.

În cazul unei probleme spațiale, un vector cu cunoscut coordonatele punctelor O (x 1;y 1;z 1 ) și B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) poate fi calculat folosind formula:

= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

Coordonatele oferă o descriere cuprinzătoare a vectorului, deoarece este posibil să se construiască vectorul însuși folosind coordonatele. Cunoscând coordonatele, este ușor de calculat și lungimea vectorului. (Proprietatea 3 de mai jos).

Proprietăți ale coordonatelor vectoriale.

1. Oricare vectori egaliîntr-un singur sistem de coordonate au coordonate egale.

2. Coordonate vectori coliniari proporţional. Cu condiția ca niciunul dintre vectori să nu fie zero.

3. Pătratul lungimii oricărui vector este egal cu suma pătratelor acestuia coordonate.

4.În timpul intervenției chirurgicale înmulțirea vectorială pe număr real fiecare dintre coordonatele sale este înmulțită cu acest număr.

5. Când adunăm vectori, calculăm suma corespondentelor coordonate vectoriale.

6. Produs punctual doi vectori este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzătoare.

În cele din urmă, am pus mâna pe acest subiect vast și mult așteptat. geometrie analitică. În primul rând, puțin despre această secțiune a matematicii superioare... Cu siguranță vă amintiți acum un curs de geometrie școlar cu numeroase teoreme, dovezile lor, desene etc. Ce să ascunzi, un subiect neiubit și adesea obscur pentru o proporție semnificativă de studenți. Geometria analitică, destul de ciudat, poate părea mai interesantă și mai accesibilă. Ce înseamnă adjectivul „analitic”? Imediat îmi vin în minte două fraze matematice clișee: „metoda soluției grafice” și „metoda soluției analitice”. Metoda grafica, desigur, este asociat cu construcția de grafice și desene. Analitic sau metodă presupune rezolvarea problemelor în principal prin operatii algebrice. În acest sens, algoritmul pentru rezolvarea aproape a tuturor problemelor de geometrie analitică este simplu și transparent, de multe ori este suficient să aplicați cu atenție formulele necesare - și răspunsul este gata! Nu, desigur, nu vom putea face asta fără desene deloc și, în plus, pentru o mai bună înțelegere a materialului, voi încerca să le citez dincolo de necesitate.

Cursul nou deschis de lecții de geometrie nu se pretinde a fi complet teoretic, ci se concentrează pe rezolvarea unor probleme practice. Voi include în prelegerile mele doar ceea ce, din punctul meu de vedere, este important din punct de vedere practic. Dacă aveți nevoie de ajutor mai complet cu privire la orice subsecțiune, vă recomand următoarea literatură destul de accesibilă:

1) Un lucru cu care, nu de glumă, mai multe generații sunt familiarizate: Manual școlar de geometrie, autori - L.S. Atanasyan și Compania. Acest umeraș pentru vestiar a școlii a trecut deja prin 20 (!) retipăriri, ceea ce, desigur, nu este limita.

2) Geometrie în 2 volume. Autorii L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Aceasta este literatură pentru liceu, vei avea nevoie primul volum. Sarcinile întâlnite rar îmi pot scăpa din vedere, iar tutorialul va fi de un ajutor neprețuit.

Ambele cărți pot fi descărcate gratuit online. În plus, puteți folosi arhiva mea cu soluții gata făcute, care se găsesc pe pagină Descărcați exemple în matematică superioară.

Printre instrumente, îmi propun din nou propria dezvoltare - pachet softwareîn geometria analitică, care va simplifica foarte mult viața și va economisi mult timp.

Se presupune că cititorul este familiarizat cu conceptele și figurile geometrice de bază: punct, dreaptă, plan, triunghi, paralelogram, paralelipiped, cub etc. Este indicat să vă amintiți câteva teoreme, cel puțin teorema lui Pitagora, salut repetitorilor)

Și acum vom lua în considerare secvențial: conceptul de vector, acțiuni cu vectori, coordonate vectoriale. Recomand să citești mai departe cel mai important articol Produsul punctual al vectorilor, și de asemenea Vector și produsul mixt al vectorilor. O sarcină locală - Divizarea unui segment în acest sens - nu va fi, de asemenea, de prisos. Pe baza informațiilor de mai sus, puteți stăpâni ecuația unei drepte într-un plan Cu cele mai simple exemple de soluții, ceea ce va permite invata sa rezolvi probleme de geometrie. De asemenea, sunt utile următoarele articole: Ecuația unui plan în spațiu, Ecuațiile unei drepte în spațiu, Probleme de bază pe o dreaptă și un plan, alte secțiuni de geometrie analitică. Desigur, sarcinile standard vor fi luate în considerare pe parcurs.

Concept de vector. Vector gratuit

Mai întâi, să repetăm ​​definiția școlară a unui vector. Vector numit regizat un segment pentru care sunt indicate începutul și sfârșitul:

În acest caz, începutul segmentului este punctul, sfârșitul segmentului este punctul. Vectorul în sine este notat cu . Direcţie este esențial, dacă mutați săgeata la celălalt capăt al segmentului, obțineți un vector și acesta este deja vector complet diferit. Este convenabil să identifici conceptul de vector cu mișcarea unui corp fizic: trebuie să fii de acord, intrarea pe ușile unui institut sau părăsirea ușilor unui institut sunt lucruri complet diferite.

Este convenabil să luați în considerare punctele individuale ale unui plan sau spațiu ca așa-numitele vector zero. Pentru un astfel de vector, sfârșitul și începutul coincid.

!!! Nota: Aici și mai departe, puteți presupune că vectorii se află în același plan sau puteți presupune că sunt localizați în spațiu - esența materialului prezentat este valabilă atât pentru plan, cât și pentru spațiu.

Denumiri: Mulți au observat imediat bățul fără săgeată în denumire și au spus, există și o săgeată în partea de sus! Adevărat, îl poți scrie cu o săgeată: , dar este și posibil intrarea pe care o voi folosi în viitor. De ce? Aparent, acest obicei s-a dezvoltat din motive practice, trăgătorii mei de la școală și la universitate s-au dovedit a fi de dimensiuni prea diferite și zdruncinați. În literatura educațională, uneori ei nu se deranjează deloc cu scrierea cuneiformă, ci evidențiază literele îngroșate: , implicând astfel că acesta este un vector.

Asta a fost stilistica și acum despre modalitățile de a scrie vectori:

1) Vectorii se pot scrie cu două litere mari latine:
și așa mai departe. În acest caz, prima literă Neapărat indică punctul de început al vectorului, iar a doua literă indică punctul final al vectorului.

2) Vectorii se scriu și cu litere mici latine:
În special, vectorul nostru poate fi redesemnat pentru concizie printr-o literă latină mică.

Lungime sau modul un vector diferit de zero se numește lungimea segmentului. Lungimea vectorului zero este zero. Logic.

Lungimea vectorului este indicată prin semnul modulului: ,

Vom învăța cum să găsim lungimea unui vector (sau o vom repeta, în funcție de cine) puțin mai târziu.

Acestea erau informații de bază despre vectori, familiare tuturor școlarilor. În geometria analitică, așa-numita vector liber.

Pentru a spune simplu - vectorul poate fi reprezentat din orice punct:

Suntem obișnuiți să numim astfel de vectori egali (definiția vectorilor egali va fi dată mai jos), dar din punct de vedere pur matematic, ei sunt ACEȘI VECTOR sau vector liber. De ce gratuit? Pentru că în cursul rezolvării problemelor, puteți „atașa” acest sau acel vector „școală” la ORICE punct al planului sau spațiului de care aveți nevoie. Aceasta este o caracteristică foarte cool! Imaginați-vă un segment direcționat de lungime și direcție arbitrară - poate fi „clonat” de un număr infinit de ori și în orice punct al spațiului, de fapt, există ORIUNDE. Există un astfel de student care spune: Fiecărui lector îi pasă de vector. La urma urmei, nu este doar o rimă plină de duh, totul este aproape corect - un segment regizat poate fi adăugat și acolo. Dar nu vă grăbiți să vă bucurați, elevii înșiși sunt cei care suferă adesea =)

Aşa, vector liber- Asta multe segmente dirijate identice. Definiția școlară a unui vector, dată la începutul paragrafului: „Un segment direcționat se numește vector...” implică specific un segment direcționat luat dintr-o mulțime dată, care este legat de un punct specific din plan sau spațiu.

Trebuie remarcat faptul că din punct de vedere al fizicii, conceptul de vector liber este în general incorect, iar punctul de aplicare contează. Într-adevăr, o lovitură directă a aceleiași forțe pe nas sau pe frunte, suficientă pentru a-mi dezvolta exemplul stupid, atrage consecințe diferite. Cu toate acestea, neliberă vectori se găsesc și în cursul vyshmat (nu mergeți acolo :)).

Acțiuni cu vectori. Coliniaritatea vectorilor

Un curs de geometrie școlară acoperă o serie de acțiuni și reguli cu vectori: adunarea după regula triunghiului, adunarea după regula paralelogramului, regula diferenței vectoriale, înmulțirea unui vector cu un număr, produsul scalar al vectorilor etc. Ca punct de plecare, să repetăm ​​două reguli care sunt deosebit de relevante pentru rezolvarea problemelor de geometrie analitică.

Regula pentru adăugarea vectorilor folosind regula triunghiului

Luați în considerare doi vectori arbitrari nenuli și:

Trebuie să găsiți suma acestor vectori. Datorită faptului că toți vectorii sunt considerați liberi, vom pune deoparte vectorul din Sfârşit vector:

Suma vectorilor este vectorul. Pentru o mai bună înțelegere a regulii, este recomandabil să îi puneți un sens fizic: lăsați un corp să călătorească de-a lungul vectorului și apoi de-a lungul vectorului. Atunci suma vectorilor este vectorul drumului rezultat cu începutul în punctul de plecare și sfârșitul în punctul de sosire. O regulă similară este formulată pentru suma oricărui număr de vectori. După cum se spune, corpul își poate merge foarte slab de-a lungul unui zigzag, sau poate pe pilot automat - de-a lungul vectorului rezultat al sumei.

Apropo, dacă vectorul este amânat de la a început vector, atunci obținem echivalentul regula paralelogramului adaos de vectori.

În primul rând, despre coliniaritatea vectorilor. Cei doi vectori sunt numiți coliniare, dacă se află pe aceeași linie sau pe linii paralele. În linii mari, vorbim de vectori paraleli. Dar în legătură cu ele, se folosește întotdeauna adjectivul „coliniar”.

Imaginează-ți doi vectori coliniari. Dacă săgețile acestor vectori sunt îndreptate în aceeași direcție, atunci se numesc astfel de vectori co-regiat. Dacă săgețile indică în direcții diferite, atunci vectorii vor fi directii opuse.

Denumiri: coliniaritatea vectorilor este scrisă cu simbolul obișnuit de paralelism: , în timp ce detalierea este posibilă: (vectorii sunt co-direcționați) sau (vectorii sunt direcționați opus).

Munca un vector diferit de zero pe un număr este un vector a cărui lungime este egală cu , iar vectorii și sunt co-direcționați către și direcționați opus către .

Regula pentru înmulțirea unui vector cu un număr este mai ușor de înțeles cu ajutorul unei imagini:

Să ne uităm la asta mai detaliat:

1) Direcția. Dacă multiplicatorul este negativ, atunci vectorul schimbă direcția spre opus.

2) Lungimea. Dacă multiplicatorul este conținut în sau , atunci lungimea vectorului scade. Astfel, lungimea vectorului este jumătate din lungimea vectorului. Dacă modulul multiplicatorului este mai mare decât unu, atunci lungimea vectorului crește uneori.

3) Vă rugăm să rețineți că toți vectorii sunt coliniari, în timp ce un vector este exprimat prin altul, de exemplu, . Este adevărat și invers: dacă un vector poate fi exprimat prin altul, atunci astfel de vectori sunt în mod necesar coliniari. Astfel: dacă înmulțim un vector cu un număr, obținem coliniari(față de original) vector.

4) Vectorii sunt co-dirijați. Vectori și sunt, de asemenea, co-regizați. Orice vector al primului grup este direcționat opus față de orice vector al celui de-al doilea grup.

Ce vectori sunt egali?

Doi vectori sunt egali dacă sunt în aceeași direcție și au aceeași lungime. Rețineți că codirecționalitatea implică coliniaritatea vectorilor. Definiția ar fi inexactă (redundantă) dacă am spune: „Doi vectori sunt egali dacă sunt coliniari, codirecționali și au aceeași lungime”.

Din punctul de vedere al conceptului de vector liber, vectorii egali sunt același vector, așa cum sa discutat în paragraful anterior.

Coordonate vectoriale în plan și în spațiu

Primul punct este să luăm în considerare vectorii din plan. Să descriem un sistem de coordonate dreptunghiular carteziene și să-l trasăm din originea coordonatelor singur vectori și:

Vectori și ortogonală. Ortogonal = Perpendicular. Vă recomand să vă obișnuiți încet cu termenii: în loc de paralelism și perpendicularitate, folosim cuvintele respectiv coliniaritateŞi ortogonalitatea.

Desemnare: Ortogonalitatea vectorilor se scrie cu simbolul obișnuit de perpendicularitate, de exemplu: .

Vectorii luați în considerare sunt numiți vectori de coordonate sau orts. Acești vectori se formează bazăîntr-un avion. Ce bază este, cred, intuitiv clar pentru mulți informații mai detaliate pot fi găsite în articol Dependența liniară (non) a vectorilor. Baza vectorilor Cu cuvinte simple, baza și originea coordonatelor definesc întregul sistem - acesta este un fel de fundație pe care fierbe o viață geometrică plină și bogată.

Uneori se numește baza construită ortonormal baza planului: „orto” - deoarece vectorii de coordonate sunt ortogonali, adjectivul „normalizat” înseamnă unitate, adică. lungimile vectorilor de bază sunt egale cu unu.

Desemnare: baza este de obicei scrisă între paranteze, în interiorul cărora în ordine strictă vectorii de bază sunt listați, de exemplu: . Vectori de coordonate este interzis rearanja.

Orice vector plan singura cale exprimat ca:
, Unde - numere care sunt numite coordonate vectorialeîn această bază. Și expresia în sine numit descompunere vectorialăpe baza .

Cina servita:

Să începem cu prima literă a alfabetului: . Desenul arată clar că atunci când se descompune un vector într-o bază, se folosesc cele discutate:
1) regula de înmulțire a unui vector cu un număr: și ;
2) adunarea vectorilor după regula triunghiului: .

Acum trasează mental vectorul din orice alt punct al planului. Este destul de evident că decăderea lui îl va „urma neîncetat”. Iată, libertatea vectorului - vectorul „poartă totul cu sine”. Această proprietate, desigur, este adevărată pentru orice vector. Este amuzant că vectorii de bază (liberi) în sine nu trebuie să fie reprezentați grafic de la origine, unul poate fi desenat, de exemplu, în stânga jos, iar celălalt în dreapta sus, și nimic nu se va schimba! Adevărat, nu trebuie să faceți acest lucru, deoarece profesorul va arăta și originalitate și vă va atrage un „credit” într-un loc neașteptat.

Vectorii ilustrează exact regula pentru înmulțirea unui vector cu un număr, vectorul este codirecțional cu vectorul de bază, vectorul este îndreptat opus vectorului de bază. Pentru acești vectori, una dintre coordonate este egală cu zero, o puteți scrie meticulos astfel:


Și vectorii de bază, apropo, sunt așa: (de fapt, ei sunt exprimați prin ei înșiși).

Și în sfârșit: , . Apropo, ce este scăderea vectorială și de ce nu am vorbit despre regula scăderii? Undeva în algebra liniară, nu-mi amintesc unde, am observat că scăderea este un caz special de adunare. Astfel, expansiunile vectorilor „de” și „e” se scriu ușor ca o sumă: , . Urmăriți desenul pentru a vedea cât de clar funcționează vechea adunare a vectorilor conform regulii triunghiului în aceste situații.

Descompunerea considerată a formei numită uneori descompunere vectorială în sistemul ort(adică într-un sistem de vectori unitari). Dar aceasta nu este singura modalitate de a scrie un vector, următoarea opțiune este comună:

Sau cu semn egal:

Vectorii de bază înșiși sunt scriși după cum urmează: și

Adică, coordonatele vectorului sunt indicate în paranteze. În problemele practice, sunt utilizate toate cele trei opțiuni de notare.

Mă îndoiam dacă să vorbesc, dar o voi spune oricum: coordonatele vectoriale nu pot fi rearanjate. Strict pe primul loc notăm coordonata care corespunde vectorului unitar, strict pe locul doi notăm coordonata care corespunde vectorului unitar. Într-adevăr, și sunt doi vectori diferiți.

Ne-am dat seama de coordonatele din avion. Acum să ne uităm la vectorii din spațiul tridimensional, aproape totul este la fel aici! Va adăuga doar încă o coordonată. Este greu să faci desene tridimensionale, așa că mă voi limita la un vector, pe care pentru simplitate îl voi pune deoparte de origine:

Orice Vector spațial 3D singura cale se extinde pe o bază ortonormală:
, unde sunt coordonatele vectorului (numărului) în această bază.

Exemplu din imagine: . Să vedem cum funcționează aici regulile vectoriale. În primul rând, înmulțind vectorul cu un număr: (săgeată roșie), (săgeată verde) și (săgeată zmeură). În al doilea rând, iată un exemplu de adăugare a mai multor vectori, în acest caz trei: . Vectorul sumă începe în punctul inițial de plecare (începutul vectorului) și se termină în punctul final de sosire (sfârșitul vectorului).

În mod natural, toți vectorii spațiului tridimensional sunt, de asemenea, liberi să încerce să pună deoparte vectorul din orice alt punct și veți înțelege că descompunerea lui „va rămâne cu el”.

Similar cu carcasa plată, pe lângă scris sunt utilizate pe scară largă versiunile cu paranteze: fie .

Dacă unul (sau doi) vectori de coordonate lipsesc în expansiune, atunci se pun zerouri în locul lor. Exemple:
vector (minuțios ) – hai să scriem ;
vector (minuțios ) – hai să scriem ;
vector (minuțios ) – hai să scriem.

Vectorii de bază se scriu după cum urmează:

Aceasta este, probabil, toate cunoștințele teoretice minime necesare pentru a rezolva probleme de geometrie analitică. Pot exista o mulțime de termeni și definiții, așa că recomand ca ceainicele să recitească și să înțeleagă din nou aceste informații. Și va fi util oricărui cititor să se refere din când în când la lecția de bază pentru a asimila mai bine materialul. Coliniaritate, ortogonalitate, bază ortonormală, descompunere vectorială - acestea și alte concepte vor fi adesea folosite în viitor. Observ că materialele de pe site nu sunt suficiente pentru a trece proba teoretică sau colocviul de geometrie, deoarece criptez cu atenție toate teoremele (și fără dovezi) - în detrimentul stilului științific de prezentare, dar un plus pentru înțelegerea dvs. subiectul. Pentru a primi informații teoretice detaliate, vă rugăm să faceți o plecăciune în fața profesorului Atanasyan.

Și trecem la partea practică:

Cele mai simple probleme de geometrie analitică.
Acțiuni cu vectori în coordonate

Este foarte recomandabil să înveți cum să rezolvi sarcinile care vor fi luate în considerare complet automat și formulele memora, nici nu trebuie să-ți amintești intenționat, ei își vor aminti ei înșiși =) Acest lucru este foarte important, deoarece alte probleme de geometrie analitică se bazează pe cele mai simple exemple elementare și va fi enervant să petreci timp suplimentar mâncând pioni . Nu este nevoie să-ți prinzi nasturii de sus pe cămașă multe lucruri îți sunt familiare de la școală.

Prezentarea materialului va urma un curs paralel - atât pentru avion, cât și pentru spațiu. Din motivul că toate formulele... veți vedea singur.

Cum să găsești un vector din două puncte?

Dacă sunt date două puncte ale planului și, atunci vectorul are următoarele coordonate:

Dacă sunt date două puncte în spațiu și, atunci vectorul are următoarele coordonate:

adica de la coordonatele capătului vectorului trebuie să scazi coordonatele corespunzătoare începutul vectorului.

Exercita: Pentru aceleași puncte, scrieți formulele pentru găsirea coordonatelor vectorului. Formule la sfârșitul lecției.

Exemplul 1

Având în vedere două puncte ale planului și . Găsiți coordonatele vectoriale

Soluţie: după formula corespunzătoare:

Alternativ, se poate folosi următoarea intrare:

Esteții vor decide acest lucru:

Personal, m-am obișnuit cu prima versiune a înregistrării.

Răspuns:

Conform condiției, nu a fost necesar să construim un desen (care este tipic pentru problemele de geometrie analitică), dar pentru a clarifica unele puncte pentru manechine, nu voi fi leneș:

Neapărat trebuie să înțelegi diferența dintre coordonatele punctului și coordonatele vectoriale:

Coordonatele punctului– acestea sunt coordonate obișnuite într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Cred că toată lumea știe să traseze puncte pe un plan de coordonate din clasa a V-a-6. Fiecare punct are un loc strict în avion și nu pot fi mutați nicăieri.

Coordonatele vectorului– aceasta este extinderea sa în funcție de bază, în acest caz. Orice vector este liber, așa că, dacă se dorește sau este necesar, îl putem îndepărta cu ușurință de un alt punct al planului. Este interesant că pentru vectori nu trebuie să construiți deloc axe sau un sistem de coordonate dreptunghiulare, aveți nevoie doar de o bază, în acest caz o bază ortonormală a planului;

Înregistrările de coordonate ale punctelor și coordonatele vectorilor par a fi similare: , și sensul coordonatelor absolut diferit, și ar trebui să fiți bine conștienți de această diferență. Această diferență, desigur, se aplică și spațiului.

Doamnelor și domnilor, să ne umplem mâinile:

Exemplul 2

a) Puncte și sunt date. Găsiți vectori și .
b) Se acordă puncte Și . Găsiți vectori și .
c) Puncte și sunt date. Găsiți vectori și .
d) Se acordă puncte. Găsiți vectori .

Poate că este suficient. Acestea sunt exemple pentru a vă decide singur, încercați să nu le neglijați, va da roade ;-). Nu este nevoie să faci desene. Soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Ce este important atunci când rezolvați probleme de geometrie analitică? Este important să fii EXTREMAT ATENȚIE pentru a evita să faci greșeala magistrală „doi plus doi egal zero”. Îmi cer scuze imediat dacă am greșit undeva =)

Cum se află lungimea unui segment?

Lungimea, așa cum sa menționat deja, este indicată de semnul modulului.

Dacă sunt date două puncte ale planului și , atunci lungimea segmentului poate fi calculată folosind formula

Dacă sunt date două puncte în spațiu și, atunci lungimea segmentului poate fi calculată folosind formula

Nota: Formulele vor rămâne corecte dacă coordonatele corespunzătoare sunt schimbate: și , dar prima opțiune este mai standard

Exemplul 3

Soluţie: după formula corespunzătoare:

Răspuns:

Pentru claritate, voi face un desen

Segment - acesta nu este un vectorși, desigur, nu îl poți muta nicăieri. În plus, dacă desenați la scară: 1 unitate. = 1 cm (două celule de caiet), apoi răspunsul rezultat poate fi verificat cu o riglă obișnuită prin măsurarea directă a lungimii segmentului.

Da, soluția este scurtă, dar mai sunt câteva puncte importante pe care aș dori să le clarific:

În primul rând, în răspuns punem dimensiunea: „unități”. Condiția nu spune CE este, milimetri, centimetri, metri sau kilometri. Prin urmare, o soluție corectă din punct de vedere matematic ar fi formularea generală: „unități” - abreviat ca „unități”.

În al doilea rând, să repetăm ​​materialul școlar, care este util nu numai pentru sarcina luată în considerare:

Vă rugăm să rețineți tehnica importanta – eliminând multiplicatorul de sub rădăcină. Ca rezultat al calculelor, avem un rezultat și un stil matematic bun presupune eliminarea factorului de sub rădăcină (dacă este posibil). Mai detaliat procesul arată astfel: . Desigur, să lăsăm răspunsul așa cum este nu ar fi o greșeală - dar cu siguranță ar fi un neajuns și un argument serios pentru a dispute din partea profesorului.

Iată și alte cazuri comune:

Adesea rădăcina produce un număr destul de mare, de exemplu . Ce să faci în astfel de cazuri? Cu ajutorul calculatorului, verificăm dacă numărul este divizibil cu 4: . Da, a fost complet divizat, astfel: . Sau poate numărul poate fi împărțit din nou la 4? . Astfel: . Ultima cifră a numărului este impară, deci împărțirea la 4 pentru a treia oară, evident, nu va funcționa. Să încercăm să împărțim la nouă: . Ca urmare:
Gata.

Concluzie: dacă sub rădăcină obținem un număr care nu poate fi extras ca întreg, atunci încercăm să eliminăm factorul de sub rădăcină - folosind un calculator verificăm dacă numărul este divizibil cu: 4, 9, 16, 25, 36, 49 etc.

Când rezolvați diverse probleme, rădăcinile sunt adesea întâlnite, încercați întotdeauna să extrageți factori de sub rădăcină pentru a evita o notă mai mică și probleme inutile la finalizarea soluțiilor pe baza comentariilor profesorului.

Să repetăm, de asemenea, rădăcinile pătrate și alte puteri:

Regulile de operare cu puteri în formă generală pot fi găsite într-un manual de algebră școlară, dar cred că din exemplele date, totul sau aproape totul este deja clar.

Sarcina de soluție independentă cu un segment în spațiu:

Exemplul 4

Puncte și sunt date. Aflați lungimea segmentului.

Soluția și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.

Cum se află lungimea unui vector?

Dacă este dat un vector plan, atunci lungimea acestuia este calculată prin formula.

Dacă este dat un vector spațial, atunci lungimea acestuia este calculată prin formula .

Găsirea coordonatelor unui vector este o condiție destul de comună pentru multe probleme de matematică. Abilitatea de a găsi coordonate vectoriale vă va ajuta în alte probleme mai complexe cu subiecte similare. În acest articol ne vom uita la formula pentru găsirea coordonatelor vectoriale și la câteva probleme.

Aflarea coordonatelor unui vector într-un plan

Ce este un avion? Un plan este considerat a fi un spațiu bidimensional, un spațiu cu două dimensiuni (dimensiunea x și dimensiunea y). De exemplu, hârtia este plată. Suprafața mesei este plană. Orice figură nevolumică (pătrat, triunghi, trapez) este, de asemenea, un plan. Astfel, dacă în enunțul problemei trebuie să găsiți coordonatele unui vector care se află pe un plan, ne amintim imediat despre x și y. Puteți găsi coordonatele unui astfel de vector după cum urmează: Coordonatele AB ale vectorului = (xB – xA; yB – xA). Formula arată că trebuie să scădeți coordonatele punctului de plecare din coordonatele punctului final.

Exemplu:

• Vector CD are coordonatele inițiale (5; 6) și finale (7; 8).
• Găsiți coordonatele vectorului însuși.
• Folosind formula de mai sus, obținem următoarea expresie: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• Astfel, coordonatele vectorului CD = (2; 2).
• În consecință, coordonata x este egală cu doi, coordonata y este, de asemenea, două.

Aflarea coordonatelor unui vector în spațiu

Ce este spațiul? Spațiul este deja o dimensiune tridimensională, unde sunt date 3 coordonate: x, y, z. Dacă trebuie să găsiți un vector care se află în spațiu, formula practic nu se schimbă. Se adaugă o singură coordonată. Pentru a găsi un vector, trebuie să scădeți coordonatele de la început din coordonatele de sfârșit. AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)

Exemplu:

• Vectorul DF are inițial (2; 3; 1) și final (1; 5; 2).
• Aplicând formula de mai sus, obținem: Coordonate vectoriale DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• Amintiți-vă, valoarea coordonatei poate fi negativă, nu există nicio problemă.

Cum să găsiți coordonatele vectoriale online?

Dacă dintr-un motiv oarecare nu doriți să găsiți singur coordonatele, puteți utiliza un calculator online. Pentru a începe, selectați dimensiunea vectorială. Dimensiunea unui vector este responsabilă pentru dimensiunile acestuia. Dimensiunea 3 înseamnă că vectorul este în spațiu, dimensiunea 2 înseamnă că este în plan. Apoi, introduceți coordonatele punctelor în câmpurile corespunzătoare și programul va determina pentru dvs. coordonatele vectorului însuși. Este foarte simplu.

Făcând clic pe butonul, pagina va derula automat în jos și vă va oferi răspunsul corect împreună cu pașii de soluție.

Este recomandat să studiați bine acest subiect, deoarece conceptul de vector se găsește nu numai în matematică, ci și în fizică. Studenții Facultății de Tehnologia Informației studiază și tema vectorilor, dar la un nivel mai complex.