Cel mai mare divizor comun (GCD): definiție, exemple și proprietăți. „Numerele naturale

Divizor comun mai multe numere este numărul cu care se împarte fiecare dintre numerele date. De exemplu, date fiind două numere: 6 și 9. Numărul 6 are divizori 1, 2, 3, 6. Numărul 9 are divizori 1, 3, 9. Vedem că numerele 6 și 9 au divizori comuni 1 și 3.

Cel mai mare divizor comun(abreviat ca GCD) al mai multor numere se numește cel mai mare divizor comun prin care fiecare dintre aceste numere este împărțit fără rest.

Astfel, dintre toți factorii comuni ai numerelor 6 și 9, cel mai mare factor comun este numărul 3.

De obicei, cel mai mare divizor comun se scrie astfel: GCD ( o, b, ...) = x.

În conformitate cu aceasta, notăm cel mai mare divizor comun al numerelor 6 și 9:

GCD (6, 9) = 3.

Se numesc numerele a căror mcd este egal cu unu numere coprime. De exemplu, numerele 14 și 15 sunt relativ prime: GCD (14, 15) = 1.

Calculator GCD

Acest calculator vă va ajuta să găsiți cel mai mare divizor comun al numerelor. Introduceți numere separate prin spații sau virgule și faceți clic pe butonul Calculați GCD.

Ține minte!

Dacă un număr natural este divizibil doar cu 1 și cu el însuși, atunci se numește prim.

Orice număr natural este întotdeauna divizibil cu 1 și cu el însuși.

Numărul 2 este cel mai mic număr prim. Acesta este singurul număr prim par, toate celelalte numere prime sunt impare.

Există multe numere prime, iar primul dintre ele este numărul 2. Cu toate acestea, nu există un ultim număr prim. În secțiunea „Pentru studiu” puteți descărca un tabel cu numere prime până la 997.

Dar multe numere naturale sunt, de asemenea, divizibile cu alte numere naturale.

De exemplu:

• numărul 12 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12;
• Numărul 36 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12, cu 18, cu 36.

Numerele cu care numărul este divizibil cu un întreg (pentru 12 acestea sunt 1, 2, 3, 4, 6 și 12) se numesc divizori ai numărului.

Ține minte!

Împărțitorul unui număr natural a este un număr natural care împarte numărul dat „a” fără rest.

Un număr natural care are mai mult de doi divizori se numește compus.

Vă rugăm să rețineți că numerele 12 și 36 au factori comuni.

Aceste numere sunt: ​​1, 2, 3, 4, 6, 12.

Ține minte!

Cel mai mare divizor al acestor numere este 12. Divizorul comun a două numere date „a” și „b” este numărul cu care ambele numere date „a” și „b” sunt împărțite fără rest. număr mai mare, prin care ambele numere „a” și „b” sunt împărțite fără rest.

Pe scurt, cel mai mare divizor comun al numerelor „a” și „b” se scrie după cum urmează:

GCD (a; b).

Exemplu: mcd (12; 36) = 12.

Divizorii numerelor din înregistrarea soluției sunt notați cu litera majusculă „D”.

D (7) = (1, 7)

D (9) = (1, 9)

GCD (7; 9) = 1

Numerele 7 și 9 au un singur divizor comun - numărul 1. numere coprime.

Ține minte!

Se numesc astfel de numere Numerele coprime

- acestea sunt numere naturale care au un singur divizor comun - numărul 1. Gcd-ul lor este 1.

Cum să găsiți cel mai mare divizor comun

1. Pentru a găsi mcd-ul a două sau mai multe numere naturale aveți nevoie de:

descompune divizorii numerelor în factori primi;

Este convenabil să scrieți calcule folosind o bară verticală. În stânga liniei scriem mai întâi dividendul, în dreapta - divizorul. Apoi, în coloana din stânga notăm valorile coeficientilor.

1. Să explicăm imediat cu un exemplu. Să factorăm numerele 28 și 64 în factori primi.
   28 = Subliniem aceiași factori primi în ambele numere.

   2 2 7

2. 64 = 2 2 2 2 2 2
   Găsiți produsul factorilor primi identici și scrieți răspunsul;

   GCD (28; 64) = 2 2 = 4

Răspuns: GCD (28; 64) = 4

Puteți oficializa locația GCD în două moduri: într-o coloană (așa cum s-a făcut mai sus) sau „într-un rând”. Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun (NOK) și cel mai mare divizor comun

(GCD) a două numere, utilizați calculatorul nostru online: Introduceți numere:
Şi
NOC:

GCD:

Defini

Doar introduceți numerele și obțineți rezultatul.

Cum se găsește LCM a două numere Cel mai mic multiplu comun (LCM)

două sau mai multe numere - acesta este cel mai mic număr care poate fi împărțit la fiecare dintre aceste numere fără rest.

1. Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun (LCM) a două numere, puteți utiliza următorul algoritm (clasa 5):
2. Ambele numere (cel mai mare număr mai întâi).
3. Să comparăm factorii numărului mai mare cu factorii numărului mai mic. Să selectăm toți factorii numărului mai mic pe care nu îi are numărul mai mare.
4. Să adăugăm factorii evidențiați ai numărului mai mic la factorii numărului mai mare.

Să găsim LCM prin înmulțirea seriei de factori obținuți la pasul 3.

Exemplu 8 Introduceți numere: 22 .

1) De exemplu, să definim LCM-ul numerelor

2) Să o împărțim în factori simpli:

8 = 2⋅2 ⋅2

3) Să selectăm toți factorii cu 8, pe care 22 nu au:

Să adăugăm factorii selectați de 8 la factorii de 22: 2 · 2

4) LCM (8; 22) = 2 11

Calculăm LCM: NOC (8; 22) 88

= 2 11 2 2 =

Cum să găsiți mcd-ul a două numere Cel mai mare divizor comun (GCD)

Pentru a găsi cel mai mare divizor comun (MCD) a două numere, mai întâi trebuie să le descompuneți în factori primi. Apoi trebuie să evidențiați factorii comuni pe care îi au atât primul număr, cât și al doilea. Le înmulțim - acesta va fi mcd. Pentru a înțelege mai bine algoritmul, luați în considerare un exemplu:

Să găsim LCM prin înmulțirea seriei de factori obținuți la pasul 3.

De exemplu, să definim mcd-ul numerelor 20 Introduceți numere: 30 .

20 = 2 ⋅2⋅5

30 = 2 ⋅3⋅5

GCD(20,30) = 2⋅5 = 10

algoritmul lui Euclid este un algoritm pentru găsirea celui mai mare divizor comun (GCD) al unei perechi de numere întregi.

Cum să găsiți mcd-ul a două numere este un număr care împarte două numere fără rest și este el însuși divizibil fără rest cu orice alt divizor al celor două numere date. Mai simplu spus, acesta este cel mai mare număr prin care două numere pentru care se caută mcd pot fi împărțite fără rest.

Algoritm pentru găsirea GCD prin diviziune

1. Împărțiți numărul mai mare la numărul mai mic.
2. Dacă este împărțit fără rest, atunci numărul mai mic este GCD (ar trebui să părăsiți ciclul).
3. Dacă există un rest, atunci înlocuiți numărul mai mare cu restul diviziunii.
4. Să trecem la punctul 1.

Exemplu:
Găsiți mcd pentru 30 și 18.
30 / 18 = 1 (restul 12)
18 / 12 = 1 (restul 6)
12 / 6 = 2 (restul 0)
Sfârșit: GCD este un divizor de 6.
GCD(30, 18) = 6

a = 50 b = 130 în timp ce a != 0 și b != 0 : dacă a > b: a = a % b altfel : b = b % a print (a + b)

În buclă, restul diviziunii este scris la variabila a sau b. Bucla se termină când cel puțin una dintre variabile este zero. Aceasta înseamnă că celălalt conține un gcd. Cu toate acestea, nu știm care dintre ele exact. Prin urmare, pentru GCD găsim suma acestor variabile. Deoarece una dintre variabile este zero, nu are niciun efect asupra rezultatului.

Algoritm pentru găsirea GCD prin scădere

1. Scădeți numărul mai mic din numărul mai mare.
2. Dacă rezultatul este 0, înseamnă că numerele sunt egale între ele și sunt GCD (ar trebui să ieși din buclă).
3. Dacă rezultatul scăderii nu este egal cu 0, atunci înlocuiți numărul mai mare cu rezultatul scăderii.
4. Să trecem la punctul 1.

Exemplu:
Găsiți mcd pentru 30 și 18.
30 - 18 = 12
18 - 12 = 6
12 - 6 = 6
6 - 6 = 0
Sfârșit: GCD este un minuend sau subtraend.
GCD(30, 18) = 6

a = 50 b = 130 în timp ce a != b: dacă a > b: a = a - b altfel : b = b - a print (a)

Pentru a afla cum să găsiți cel mai mare divizor comun a două sau mai multe numere, trebuie să înțelegeți ce sunt numerele naturale, prime și complexe.

Un număr natural este orice număr care este folosit pentru a număra obiecte întregi.

Dacă un număr natural poate fi împărțit doar în el însuși și unul, atunci se numește prim.

Toate numerele naturale pot fi împărțite la ele însele și unul, dar singurul număr prim par este 2, toate celelalte pot fi împărțite la doi. Prin urmare, numai numere impare.

Există o mulțime de numere prime lista completa ele nu există. Pentru a găsi GCD, este convenabil să folosiți tabele speciale cu astfel de numere.

Majoritatea numerelor naturale pot fi împărțite nu numai la unul, ele însele, ci și la alte numere. Deci, de exemplu, numărul 15 poate fi împărțit la 3 și 5. Toate se numesc divizori ai numărului 15.

Astfel, divizorul oricărui A este numărul cu care poate fi împărțit fără rest. Dacă un număr are mai mult de doi factori naturali, se numește compus.

Numărul 30 poate avea divizori precum 1, 3, 5, 6, 15, 30.

Veți observa că 15 și 30 au aceiași divizori 1, 3, 5, 15. Cel mai mare divizor comun al acestor două numere este 15.

Astfel, divizorul comun al numerelor A și B este numărul cu care acestea pot fi împărțite în întregime. Cel mai mare poate fi considerat numărul total maxim cu care pot fi împărțiți.

Pentru a rezolva probleme, se folosește următoarea inscripție prescurtată:

GCD (A; B).

De exemplu, mcd (15; 30) = 30.

Pentru a nota toți divizorii unui număr natural, utilizați notația:

D (15) = (1, 3, 5, 15)

GCD (9; 15) = 1

În acest exemplu, numerele naturale au un singur divizor comun. Ele sunt numite relativ prime, deci unitatea este cel mai mare divizor comun al lor.

Cum să găsești cel mai mare divizor comun al numerelor

Pentru a găsi mcd-ul mai multor numere, aveți nevoie de:

Găsiți separat toți divizorii fiecărui număr natural, adică factorizați-i în factori (numere prime);

Selectați toți factorii identici ai numerelor date;

Înmulțiți-le împreună.

De exemplu, pentru a calcula cel mai mare divizor comun al numerelor 30 și 56, ați scrie următoarele:

Pentru a evita confuzia, este convenabil să scrieți factori folosind coloane verticale. În partea stângă a liniei trebuie să plasați dividendul, iar în partea dreaptă - divizorul. Sub dividend, ar trebui să indicați coeficientul rezultat.

Deci, în coloana din dreapta vor fi toți factorii necesari pentru soluție.

Divizorii identici (factori găsiți) pot fi subliniați pentru comoditate. Ele ar trebui rescrise și înmulțite și cel mai mare divizor comun notat.

GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10

Așa este cât de ușor este să găsești cel mai mare divizor comun al numerelor. Dacă exersați puțin, puteți face acest lucru aproape automat.