Este posibil să adăugați rădăcini diferite? Ce sunt rădăcinile pătrate și cum se adună? Care sunt regulile de adunare și scădere?

Rădăcina pătrată a unui număr X număr numit O, care în procesul de înmulțire de la sine ( A*A) poate da un număr X.
Aceste. A * A = A 2 = X, Și √X = A.

Deasupra rădăcinilor pătrate ( √x), ca și alte numere, puteți efectua operații aritmetice precum scăderea și adunarea. Pentru a scădea și a adăuga rădăcini, acestea trebuie conectate folosind semne corespunzătoare acestor acțiuni (de exemplu √x - √y ).
Și apoi aduceți rădăcinile la forma lor cea mai simplă - dacă există altele similare între ele, este necesar să faceți o reducere. Constă în luarea coeficienților termenilor similari cu semnele termenilor corespunzători, apoi punerea lor între paranteze și deducerea rădăcinii comune în afara parantezelor factorului. Coeficientul pe care l-am obținut este simplificat conform regulilor uzuale.

Pasul 1: Extragerea rădăcinilor pătrate

În primul rând, pentru adăugare rădăcini pătrate Mai întâi trebuie să extrageți aceste rădăcini. Acest lucru se poate face dacă numerele de sub semnul rădăcinii sunt pătrate perfecte. De exemplu, luați expresia dată √4 + √9 . Primul număr 4 este pătratul numărului 2 . Al doilea număr 9 este pătratul numărului 3 . Astfel, putem obține următoarea egalitate: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Gata, exemplul este rezolvat. Dar nu se întâmplă întotdeauna atât de ușor.

Pasul 2. Scoaterea multiplicatorului numărului de sub rădăcină

Dacă nu există pătrate perfecte sub semnul rădăcinii, puteți încerca să eliminați multiplicatorul numărului de sub semnul rădăcinii. De exemplu, să luăm expresia √24 + √54 .

Factorizați numerele:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Printre 24 avem un multiplicator 4 , poate fi scos de sub semnul rădăcinii pătrate. Printre 54 avem un multiplicator 9 .

Obținem egalitate:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Luând în considerare acest exemplu, obținem eliminarea multiplicatorului de sub semnul rădăcinii, simplificând astfel expresia dată.

Pasul 3: Reducerea Numitorului

Luați în considerare următoarea situație: suma a două rădăcini pătrate este numitorul fracției, de exemplu, A/(√a + √b).
Acum ne confruntăm cu sarcina de a „scăpa de iraționalitatea din numitor”.
Să folosim următoarea metodă: înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu expresia √a - √b.

Acum obținem formula de înmulțire prescurtată la numitor:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

În mod similar, dacă numitorul are o diferență de rădăcină: √a - √b, numărătorul și numitorul fracției se înmulțesc cu expresia √a + √b.

Să luăm fracția ca exemplu:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

Exemplu de reducere a numitorului complex

Acum vom lua în considerare un exemplu destul de complex de a scăpa de iraționalitate în numitor.

De exemplu, să luăm o fracție: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Trebuie să luați numărătorul și numitorul și să înmulțiți cu expresia √2 + √3 - √5 .

Primim:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

Pasul 4. Calculați valoarea aproximativă pe calculator

Dacă aveți nevoie doar de o valoare aproximativă, aceasta se poate face pe un calculator calculând valoarea rădăcinilor pătrate. Valoarea se calculează separat pentru fiecare număr și se notează cu precizia necesară, care este determinată de numărul de zecimale. În continuare, sunt efectuate toate operațiunile necesare, ca în cazul numerelor obișnuite.

Exemplu de calcul al unei valori aproximative

Este necesar să se calculeze valoarea aproximativă expresie dată √7 + √5 .

Ca rezultat obținem:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Vă rugăm să rețineți: în niciun caz nu trebuie să adăugați rădăcini pătrate ca numere prime, acest lucru este complet inacceptabil. Adică, dacă adunăm rădăcina pătrată a lui cinci și rădăcina pătrată a lui trei, nu putem obține rădăcina pătrată a lui opt.

Sfat util: dacă decideți să factorizați un număr, pentru a deriva pătratul de sub semnul rădăcinii, trebuie să faceți o verificare inversă, adică să înmulțiți toți factorii care au rezultat din calcule și rezultatul final al acestuia. calculul matematic ar trebui să fie numărul care ne-a fost dat inițial.

Subiect despre rădăcini pătrate este obligatoriu în programa școlară curs de matematică. Nu puteți face fără ele când rezolvați ecuații patratice. Și mai târziu devine necesar nu numai să extrageți rădăcinile, ci și să efectuați alte acțiuni cu ele. Printre acestea sunt destul de complexe: exponentiația, înmulțirea și împărțirea. Dar există și unele destul de simple: scăderea și adunarea rădăcinilor. Apropo, așa par doar la prima vedere. Efectuarea lor fără erori nu este întotdeauna ușor pentru cineva care abia începe să se familiarizeze cu ele.

Ce este o rădăcină matematică?

Această acțiune a apărut în opoziție cu exponențiarea. Matematica sugerează două operații opuse. Există scădere pentru adunare. Înmulțirea se opune împărțirii. Acțiunea inversă a unui grad este extragerea rădăcinii corespunzătoare.

Dacă gradul este doi, atunci rădăcina va fi pătrată. Este cea mai comună în matematica școlară. Nici măcar nu are o indicație că este pătrat, adică numărul 2 nu este atribuit lângă el. Notația matematică a acestui operator (radical) este prezentată în figură.

Definiția sa decurge fără probleme din acțiunea descrisă. Pentru a extrage rădăcina pătrată a unui număr, trebuie să aflați ce va da expresia radicală atunci când este înmulțită cu ea însăși. Acest număr va fi rădăcina pătrată. Dacă scriem asta matematic, obținem următoarele: x*x=x 2 =y, ceea ce înseamnă √y=x.

Ce acțiuni poți face cu ei?

În esență, o rădăcină este o putere fracțională cu unu la numărător. Iar numitorul poate fi orice. De exemplu, rădăcina pătrată are două. Prin urmare, toate acțiunile care pot fi efectuate cu puteri vor fi valabile și pentru rădăcini.

Și cerințele pentru aceste acțiuni sunt aceleași. Dacă înmulțirea, împărțirea și exponentiația nu întâmpină dificultăți pentru elevi, atunci adăugarea rădăcinilor, precum scăderea lor, duce uneori la confuzie. Și totul pentru că vreau să fac aceste operații fără a ține cont de semnul rădăcinii. Și de aici încep greșelile.

Care sunt regulile de adunare și scădere?

În primul rând, trebuie să vă amintiți două „nu” categorice:

• este imposibil să efectuați adunarea și scăderea rădăcinilor, ca în cazul numerelor prime, adică este imposibil să scrieți expresii radicale ale sumei sub un singur semn și să efectuați operații matematice cu acestea;
• Nu puteți adăuga și scădea rădăcini cu exponenți diferiți, de exemplu pătrat și cubic.

Un exemplu clar al primei interdicții: √6 + √10 ≠ √16, dar √(6 + 10) = √16.

În al doilea caz, este mai bine să ne limităm la simplificarea rădăcinilor în sine. Și lăsați suma lor în răspuns.

Acum la reguli

1. Găsiți și grupați rădăcini similare. Adică cei care nu numai că au aceleași numere sub radical, dar ei înșiși au același indicator.
2. Efectuați adăugarea rădăcinilor combinate într-un singur grup în prima acțiune. Este ușor de implementat pentru că trebuie doar să adaugi valorile care apar în fața radicalilor.
3. Extrageți rădăcinile acelor termeni în care expresia radicală formează un întreg pătrat. Cu alte cuvinte, nu lăsa nimic sub semnul unui radical.
4. Simplificați expresiile radicale. Pentru a face acest lucru, trebuie să le factorizați în factori primi și să vedeți dacă dau pătratul unui număr. Este clar că acest lucru este adevărat atunci când vorbim despre rădăcina pătrată. Când exponentul este trei sau patru, atunci factorii primi trebuie să dea cubul sau puterea a patra a numărului.
5. Scoateți de sub semnul radicalului factorul care dă întreaga putere.
6. Vedeți dacă termeni similari apar din nou. Dacă da, atunci efectuați din nou al doilea pas.

Într-o situație în care sarcina nu necesită valoarea exactă a rădăcinii, aceasta poate fi calculată folosind un calculator. Fără sfârşit zecimal, care va apărea în fereastra sa, rotunjiți în sus. Cel mai adesea acest lucru se face la sutimi. Și apoi efectuați toate operațiile pentru fracțiile zecimale.

Acestea sunt toate informațiile despre cum să adăugați rădăcini. Exemplele de mai jos vor ilustra cele de mai sus.

Prima sarcină

Calculați valoarea expresiilor:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Dacă urmați algoritmul de mai sus, puteți vedea că nu există nimic pentru primele două acțiuni din acest exemplu. Dar puteți simplifica unele expresii radicale.

De exemplu, descompuneți 32 în doi factori 2 și 16; 18 va fi egal cu produsul dintre 9 și 2; 128 este 2 peste 64. Având în vedere acest lucru, expresia se va scrie astfel:

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).

Acum trebuie să eliminați de sub semnul radical acei factori care dau pătratul numărului. Acesta este 16=4 2, 9=3 2, 64=8 2. Expresia va lua forma:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Trebuie să simplificăm puțin înregistrarea. Pentru a face acest lucru, înmulțiți coeficienții înainte de semnele rădăcinii:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

În această expresie, toți termenii s-au dovedit a fi similari. Prin urmare, trebuie doar să le pliați. Răspunsul va fi: 5√2.

b) Similar cu exemplul anterior, adăugarea rădăcinilor începe cu simplificarea lor. Expresiile radicale 75, 147, 48 și 300 vor fi reprezentate în următoarele perechi: 5 și 25, 3 și 49, 3 și 16, 3 și 100. Fiecare dintre ele conține un număr care poate fi scos de sub semnul rădăcinii. :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

După simplificare, răspunsul este: 5√5 - 5√3. Poate fi lăsat în această formă, dar este mai bine să scoateți din paranteze factorul comun 5: 5 (√5 - √3).

c) Și din nou factorizarea: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. După eliminarea factorilor de sub semnul rădăcinii, avem:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. După ce aducem termeni similari obținem rezultatul: 7√11.

Exemplu cu expresii fracționale

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Va trebui să factorizați următoarele numere: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Similar celor discutate deja, trebuie să eliminați factorii de sub semnul rădăcinii. și simplificați expresia:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7) ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Această expresie necesită a scăpa de iraționalitatea din numitor. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți al doilea termen cu √2/√2:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

Pentru a finaliza acțiunile, trebuie să selectați întreaga parte a factorilor din fața rădăcinilor. Pentru primul este 1, pentru al doilea este 2.

În timpul nostru, cu computerele electronice moderne, calcularea rădăcinii unui număr nu pare a fi o sarcină dificilă. De exemplu, √2704=52, orice calculator va calcula acest lucru pentru tine. Din fericire, calculatorul este disponibil nu numai în Windows, ci și într-un telefon obișnuit, chiar și cel mai simplu. Adevărat, dacă brusc (cu un grad scăzut de probabilitate, al cărui calcul, apropo, include adăugarea rădăcinilor) te trezești fără fonduri disponibile, atunci, din păcate, va trebui să te bazezi doar pe creierul tău.

Antrenamentul minții nu eșuează niciodată. Mai ales pentru cei care nu lucrează cu numere atât de des, cu atât mai puțin cu rădăcini. Adăugarea și scăderea rădăcinilor este un antrenament bun pentru o minte plictisită. De asemenea, vă voi arăta cum să adăugați rădăcini pas cu pas. Exemple de expresii pot fi următoarele.

Ecuația de simplificare:

√2+3√48-4×√27+√128

Aceasta este o expresie irațională. Pentru a o simplifica, trebuie să reduceți toate expresiile radicale la aspectul general. O facem pas cu pas:

Primul număr nu mai poate fi simplificat. Să trecem la al doilea termen.

3√48 factor 48: 48=2×24 sau 48=3×16. din 24 nu este un număr întreg, adică are un rest fracționar. Deoarece avem nevoie de o valoare exactă, rădăcinile aproximative nu sunt potrivite pentru noi. Rădăcina pătrată a lui 16 este 4, scoate-o de sub Obținem: 3×4×√3=12×√3

Următoarea noastră expresie este negativă, adică. scris cu semnul minus -4×√(27.) Factorim 27. Obținem 27=3×9. Nu folosim factori fracționali deoarece este mai dificil de calculat rădăcina pătrată a fracțiilor. Scoatem 9 de sub semn, adică. calculați rădăcina pătrată. Obținem următoarea expresie: -4×3×√3 = -12×√3

Următorul termen √128 calculează partea care poate fi scoasă de sub rădăcină. 128=64×2, unde √64=8. Dacă vă este mai ușor, vă puteți imagina această expresie astfel: √128=√(8^2×2)

Rescriem expresia cu termeni simplificați:

√2+12×√3-12×√3+8×√2

Acum adunăm numerele folosind aceeași expresie radicală. Nu puteți adăuga sau scădea expresii cu expresii radicale diferite. Adăugarea de rădăcini necesită respectarea acestei reguli.

Obținem următorul răspuns:

√2+12√3-12√3+8√2=9√2

√2=1×√2 - Sper că faptul că în algebră se obișnuiește să se omite astfel de elemente să nu fie o noutate pentru tine.

Expresiile pot fi reprezentate nu numai prin rădăcina pătrată, ci și prin cub sau rădăcină gradul al n-lea.

Adunarea și scăderea rădăcinilor cu exponenți diferiți, dar cu o expresie radicală echivalentă, are loc după cum urmează:

Dacă avem o expresie de forma √a+∛b+∜b, atunci putem simplifica această expresie după cum urmează:

∛b+∜b=12×√b4 +12×√b3

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Am adus doi membri similari la indicator general rădăcină Aici a fost folosită proprietatea rădăcinilor, care spune: dacă numărul gradului expresiei radicalului și numărul exponentului rădăcinii sunt înmulțite cu același număr, atunci calculul acestuia va rămâne neschimbat.

Notă: exponenții se adună numai atunci când se înmulțesc.

Să luăm în considerare un exemplu când expresia conține fracții.

5√8-4×√(1/4)+√72-4×√2

Vom decide în etape:

5√8=5*2√2 - scoatem partea extrasă de sub rădăcină.

4√(1/4)=-4 √1/(√4)= - 4 *1/2= - 2

Dacă corpul rădăcinii este reprezentat de o fracție, atunci de multe ori această fracție nu se va schimba dacă luați rădăcina pătrată a dividendului și a divizorului. Drept urmare, am primit egalitatea descrisă mai sus.

√72-4√2=√(36×2)- 4√2=2√2

10√2+2√2-2=12√2-2

Iată răspunsul.

Principalul lucru de reținut este că o rădăcină cu exponent par nu poate fi extrasă din numere negative. Dacă expresia radicală de grad par este negativă, atunci expresia este de nerezolvat.

Adăugarea rădăcinilor este posibilă numai dacă expresiile radicale coincid, deoarece sunt termeni similari. Același lucru este valabil și pentru diferență.

Adăugarea rădăcinilor cu exponenți numerici diferiți se realizează prin reducerea ambilor termeni la un grad comun de rădăcină. Această lege funcționează în același mod ca și reducerea la un numitor comun atunci când se adună sau se scad fracții.

Dacă o expresie radicală conține un număr ridicat la o putere, atunci această expresie poate fi simplificată cu condiția să existe un numitor comun între exponentul rădăcinii și putere.

În matematică, rădăcinile pot fi pătrate, cubice sau pot avea orice alt exponent (putere), care este scris în stânga deasupra semnului rădăcinii. O expresie sub semnul rădăcinii se numește expresie radicală. Adăugarea rădăcinilor este similară cu adăugarea termenilor unei expresii algebrice, adică necesită determinarea rădăcinilor similare.

Pași

Partea 1 din 2: Identificarea rădăcinilor

Denumirea rădăcinilor. O expresie sub semnul rădăcină () înseamnă că este necesar să se extragă rădăcina de un anumit grad din această expresie.

• Rădăcina este indicată printr-un semn.
• Exponentul (gradul) rădăcinii este scris în stânga deasupra semnului rădăcinii. De exemplu, rădăcina cubă a lui 27 se scrie ca: (27)
• Dacă indicele (gradul) rădăcinii lipsește, atunci exponentul este considerat egal cu 2, adică este o rădăcină pătrată (sau rădăcină de gradul doi).
• Numărul scris înainte de semnul rădăcinii se numește multiplicator (adică acest număr este înmulțit cu rădăcina), de exemplu 5 (2)
• Dacă nu există niciun factor în fața rădăcinii, atunci acesta este egal cu 1 (reamintim că orice număr înmulțit cu 1 este egal cu el însuși).
• Dacă este prima dată când lucrați cu rădăcini, faceți notele adecvate despre multiplicator și exponent rădăcină pentru a evita confuzia și pentru a înțelege mai bine scopul acestora.

Amintiți-vă ce rădăcini pot fi pliate și care nu. Așa cum nu puteți adăuga termeni diferiți ai unei expresii, de exemplu, 2a + 2b 4ab, nu puteți adăuga rădăcini diferite.

Nu puteți adăuga rădăcini cu expresii radicale diferite, de exemplu, (2) + (3) (5). Dar puteți adăuga numere sub aceeași rădăcină, de exemplu, (2 + 3) = (5) (rădăcina pătrată a lui 2 este aproximativ 1,414, rădăcina pătrată a lui 3 este aproximativ 1,732 și rădăcina pătrată a lui 5 este aproximativ 2,236 ).

Nu puteți adăuga rădăcini cu aceleași expresii radicale, ci exponenți diferiți, de exemplu, (64) + (64) (această sumă nu este egală cu (64), deoarece rădăcina pătrată a lui 64 este 8, rădăcina cubă a lui 64 este 4, 8 + 4 = 12, care este mult mai mare decât a cincea rădăcină a lui 64, care este aproximativ 2,297).

Partea 2 din 2: Simplificarea și adăugarea rădăcinilor

Identificați și grupați rădăcini similare. Rădăcinile similare sunt rădăcini care au aceiași indicatori și aceleași expresii radicale. De exemplu, luați în considerare expresia:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• Mai întâi, rescrieți expresia astfel încât rădăcinile să fie același indicator au fost localizate secvenţial.
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• Apoi rescrieți expresia astfel încât rădăcinile cu același exponent și cu aceeași expresie radicală să fie localizate secvenţial.
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Simplificați rădăcinile. Pentru a face acest lucru, descompuneți (acolo unde este posibil) expresiile radicale în doi factori, dintre care unul este scos de sub rădăcină. În acest caz, numărul eliminat și factorul rădăcină sunt înmulțite.

În exemplul de mai sus, factorizează numărul 50 în 2*25, iar numărul 32 în 2*16. Din 25 și 16 puteți lua rădăcinile pătrate (5 și respectiv 4) și eliminați 5 și 4 de sub rădăcină, înmulțindu-le cu factorii 2 și respectiv 1. Astfel, obțineți o expresie simplificată: 10 (2). + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Numărul 81 poate fi factorizat 3*27, iar din numărul 27 poți lua rădăcina cubă a lui 3. Acest număr 3 poate fi scos de sub rădăcină. Astfel, obțineți o expresie și mai simplificată: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

Adăugați factorii rădăcinilor similare.În exemplul nostru, există rădăcini pătrate similare de 2 (pot fi adăugate) și rădăcini pătrate similare de 3 (pot fi, de asemenea, adăugate). Rădăcina cubă a lui 3 nu are astfel de rădăcini.

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Expresie simplificată finală: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

• Nu există reguli general acceptate pentru ordinea în care rădăcinile sunt scrise într-o expresie. Prin urmare, puteți scrie rădăcinile în ordinea crescătoare a indicatorilor lor și în ordinea crescătoare a expresiilor radicale.

Atentie, doar AZI!

Totul interesant

Numărul care se află sub semnul rădăcinii interferează adesea cu rezolvarea ecuației și este incomod de a lucra cu el. Chiar dacă este ridicată la o putere, fracționară sau nu poate fi reprezentată ca număr întreg la o anumită putere, puteți încerca să o derivați din...

O rădăcină a unui număr x este un număr care, atunci când este ridicat la puterea rădăcinii, este egal cu x. Un multiplicator este numărul înmulțit. Adică, într-o expresie de forma x*ª-&radic-y trebuie să introduceți x sub rădăcină. Instrucțiuni 1 Determinați gradul...

Dacă o expresie radicală conține un set de operații matematice cu variabile, atunci uneori, ca urmare a simplificării sale, este posibil să se obțină o valoare relativ simplă, din care o parte poate fi scoasă de sub rădăcină. Această simplificare poate fi utilă...

Operațiile aritmetice cu rădăcini de diferite grade pot simplifica semnificativ calculele în fizică și tehnologie și le pot face mai precise. Când înmulțiți și împărțiți, este mai convenabil să nu extrageți rădăcina fiecărui factor sau dividend și divizor, dar mai întâi...

Rădăcina pătrată a unui număr x este un număr a, care, înmulțit cu el însuși, dă numărul x: a * a = a^2 = x, x = a. Ca și în cazul oricăror numere, puteți efectua operațiile aritmetice de adunare și scădere cu rădăcini pătrate. Instrucţiuni...

O rădăcină în matematică poate avea două semnificații: este o operație aritmetică și fiecare dintre soluțiile unei ecuații, algebrică, parametrică, diferențială sau oricare alta. Instrucțiuni 1 Rădăcina a n-a a lui a este un număr astfel încât...

Atunci când se efectuează diverse operații aritmetice cu rădăcini, abilitatea de a transforma expresii radicale este adesea necesară. Pentru a simplifica calculele, poate fi necesar să mutați multiplicatorul în afara semnului radical sau să îl adăugați sub acesta. Această acțiune poate...

O rădăcină este o pictogramă care denotă operația matematică de găsire a unui număr, a cărui creștere la puterea indicată în fața semnului rădăcină ar trebui să dea numărul indicat chiar sub acest semn. Adesea, pentru a rezolva probleme care implică...

În științele matematice, semnul rădăcinii este un simbol pentru rădăcini. Numărul de sub semnul rădăcinii se numește expresie radicală. Dacă nu există exponent, rădăcina este o rădăcină pătrată, în caz contrar cifra indică...

Aritmetică a n-a rădăcină puterile unui număr real a este un număr nenegativ x, gradul al n-lea care este egal cu numărul a. Aceste. (n) a = x, x^n = a. Sunt diverse moduri adunând o rădăcină aritmetică și un număr rațional...

Rădăcina a n-a a unui număr real a este un număr b pentru care egalitatea b^n = a este valabilă. Există rădăcini ciudate pentru negativ și numere pozitive, iar rădăcinile gradelor par sunt doar pentru cele pozitive...

Teorie

Adunarea și scăderea rădăcinilor este studiată într-un curs introductiv de matematică. Presupunem că cititorul cunoaște conceptul de grad.

Definiția 1

Rădăcina $n$ a unui număr real $a$ este număr real$b$, a cărei $n$putere este egală cu $a$: $b=\sqrt[n]a, b^n=a.$ Aici $a$ este expresia radicală, $n$ este exponent al rădăcinii, $b $ - valoarea rădăcinii. Semnul rădăcinii se numește radical.

Inversul extracției rădăcinii este exponențiația.

Operații de bază cu rădăcini aritmetice:

Figura 1. Operații de bază cu rădăcini aritmetice. Autor24 - schimb online de lucrări ale studenților

După cum putem vedea, în acțiunile enumerate nu există o formulă pentru adunare și scădere. Aceste acțiuni cu rădăcini se desfășoară sub formă de transformări. Pentru aceste transformări, ar trebui să utilizați formule de înmulțire abreviate:

$(\sqrt a - \sqrt b)(\sqrt a + \sqrt b)=a-b;$

$(\sqrta-\sqrtb)(\sqrt(a^2)+\sqrt(ab)+\sqrt(b^2))=a-b;$

$(\sqrta+\sqrtb)(\sqrt(a^2)-\sqrt(ab)+\sqrt(b^2))=a+b;$

$a\sqrt a+b\sqrt b=(\sqrt a)^3+(\sqrt b)^3=(\sqrt a+\sqrt b)(a-\sqrt(ab)+b);$

$a\sqrt a-b\sqrt b=(\sqrt a)^3-(\sqrt b)^3=(\sqrt a-\sqrt b)(a+\sqrt(ab)+b).$

Este de remarcat faptul că acțiunile de adunare și scădere apar în exemple de expresii iraționale: $ab\sqrt(m-n); 1+\sqrt3.$

Exemple

Să ne uităm la exemple de cazuri în care este aplicabilă „distrugerea” iraționalității în numitor. Când, în urma transformărilor, apare o expresie irațională atât la numărător, cât și la numitor, atunci este necesar să „distrugem” iraționalitatea din numitor.

Exemplul 1

$\frac(1)(\sqrt7-\sqrt6)=\frac(\sqrt7+\sqrt6)((\sqrt7-\sqrt6)(\sqrt7+\sqrt6))=\frac(\sqrt7+\sqrt6)(7-6 )=\frac(\sqrt7+\sqrt6)(1)=\sqrt7+\sqrt6.$

În acest exemplu, am înmulțit numărătorul și numitorul fracției cu conjugatul numitorului. Astfel, numitorul este transformat folosind formula diferenței de pătrate.