Pot să apară oscilații forțate într-un sistem oscilator? Conversia energiei în timpul mișcării oscilatorii

Oscilațiile forțate sunt acele oscilații care apar într-un sistem atunci când asupra acestuia acționează o forță externă care se schimbă periodic, numită forță motrice.

Natura (dependența de timp) a forței motrice poate fi diferită. Aceasta poate fi o forță care se schimbă conform unei legi armonice. De exemplu, o undă sonoră, a cărei sursă este un diapazon, lovește timpanul sau membrana microfonului. O forță armonioasă a presiunii aerului începe să acționeze asupra membranei.

Forța motrice poate fi de natura șocurilor sau impulsurilor scurte. De exemplu, un adult balansează un copil pe un leagăn, împingându-l periodic în momentul în care leagănul atinge una dintre pozițiile sale extreme.

Sarcina noastră este să aflăm cum reacționează sistemul oscilator la influența unei forțe motrice care se schimbă periodic.

§ 1 Forţa motrice se modifică conform legii armonice

F reziste = - rv xși forță convingătoare F out = F 0 sin wt.

A doua lege a lui Newton va fi scrisă astfel:

Soluția ecuației (1) se caută sub forma , unde este soluția ecuației (1) dacă nu avea partea dreaptă. Se poate observa că fără partea dreaptă, ecuația se transformă în binecunoscuta ecuație a oscilațiilor amortizate, a cărei soluție o știm deja. Pe o perioadă suficient de lungă, oscilațiile libere care apar în sistem atunci când acesta este scos din poziția de echilibru se vor stinge practic și doar al doilea termen va rămâne în soluția ecuației. Vom căuta această soluție în formular
Să grupăm diferit termenii:

Această egalitate trebuie să fie adevărată în orice moment t, ceea ce este posibil numai dacă coeficienții sinusului și cosinusului sunt egali cu zero.

Deci, un corp asupra căruia este acționat de o forță motrice, schimbându-se conform unei legi armonice, efectuează o mișcare oscilativă cu frecvența forței motrice.

Să examinăm mai detaliat problema amplitudinii oscilațiilor forțate:

1 Amplitudinea oscilațiilor forțate în regim de echilibru nu se modifică în timp. (Comparați cu amplitudinea oscilațiilor libere amortizate).

2 Amplitudinea oscilațiilor forțate este direct proporțională cu amplitudinea forței motrice.

3 Amplitudinea depinde de frecarea din sistem (A depinde de d, iar coeficientul de amortizare d, la rândul său, depinde de coeficientul de rezistență r). Cu cât frecarea în sistem este mai mare, cu atât amplitudinea oscilațiilor forțate este mai mică.

4 Amplitudinea oscilațiilor forțate depinde de frecvența forței motrice w. Cum? Să studiem funcția A(w).

La w = 0 (o forță constantă acționează asupra sistemului oscilator), deplasarea corpului este constantă în timp (trebuie ținut cont că aceasta se referă la o stare staționară, când oscilațiile naturale aproape că s-au stins).

· Când w ® ¥, atunci, după cum este ușor de observat, amplitudinea A tinde spre zero.

· Este evident că la o anumită frecvenţă a forţei motrice, amplitudinea oscilaţiilor forţate va lua cea mai mare valoare (pentru un d dat). Fenomenul de creștere bruscă a amplitudinii oscilațiilor forțate la o anumită valoare a frecvenței forței motrice se numește rezonanță mecanică.

Este interesant că factorul de calitate al sistemului oscilator în acest caz arată de câte ori amplitudinea rezonantă depăşeşte deplasarea corpului din poziţia de echilibru sub acţiunea unei forţe constante F 0 .

Vedem că atât frecvența de rezonanță, cât și amplitudinea de rezonanță depind de coeficientul de amortizare d. Pe măsură ce d scade la zero, frecvența de rezonanță crește și tinde spre frecvența naturală de oscilație a sistemului w 0 . În acest caz, amplitudinea rezonantă crește și la d = 0 merge la infinit. Desigur, în practică amplitudinea oscilațiilor nu poate fi infinită, deoarece în sistemele oscilatorii reale acționează întotdeauna forțele de rezistență. Dacă sistemul are o atenuare scăzută, atunci putem presupune aproximativ că rezonanța are loc la frecvența propriilor oscilații:

unde în cazul luat în considerare este defazarea dintre forța motrice și deplasarea corpului din poziția de echilibru.

Este ușor de observat că defazarea dintre forță și deplasare depinde de frecarea din sistem și de frecvența forței motrice externe. Această dependență este prezentată în figură. Este clar că atunci când< тангенс принимает отрицательные значения, а при >- pozitiv.

Cunoscând dependența de unghi, se poate obține dependența de frecvența forței motrice.

La frecvențe ale forței externe care sunt semnificativ mai mici decât forța naturală, deplasarea rămâne ușor în urma forței motrice în fază. Pe măsură ce frecvența forței externe crește, această întârziere de fază crește. La rezonanță (dacă este mică), defazarea devine egală cu . Când >> oscilaţiile de deplasare şi forţă apar în antifază. Această dependență poate părea ciudată la prima vedere. Pentru a înțelege acest fapt, să ne întoarcem la transformările energetice în procesul de oscilații forțate.

§ 2 Transformări energetice

După cum știm deja, amplitudinea oscilațiilor este determinată de energia totală a sistemului oscilator. S-a arătat anterior că amplitudinea oscilațiilor forțate rămâne neschimbată în timp. Aceasta înseamnă că energia mecanică totală a sistemului oscilator nu se modifică în timp. De ce? La urma urmei, sistemul nu este închis! Două forțe - o forță externă care se schimbă periodic și o forță de rezistență - fac o activitate care ar trebui să modifice energia totală a sistemului.

Să încercăm să ne dăm seama ce se întâmplă. Puterea forței motrice externe poate fi găsită după cum urmează:

Vedem că puterea forței externe care alimentează sistemul oscilator cu energie este proporțională cu amplitudinea oscilației.

Datorită muncii forței de rezistență, energia sistemului oscilator ar trebui să scadă, transformându-se în internă. Puterea forței de rezistență:

Evident, puterea forței de rezistență este proporțională cu pătratul amplitudinii. Să reprezentăm ambele dependențe pe un grafic.

Pentru ca oscilațiile să fie constante (amplitudinea nu se modifică în timp), munca forței exterioare în timpul perioadei trebuie să compenseze pierderea de energie a sistemului din cauza muncii forței de rezistență. Punctul de intersecție al graficelor de putere corespunde exact acestui regim. Să ne imaginăm că din anumite motive amplitudinea oscilațiilor forțate a scăzut. Acest lucru va duce la faptul că puterea instantanee a forței externe va fi mai mare decât puterea pierderilor. Aceasta va duce la o creștere a energiei sistemului oscilator, iar amplitudinea oscilațiilor își va restabili valoarea anterioară.

În mod similar, se poate convinge că odată cu o creștere aleatorie a amplitudinii oscilațiilor, pierderile de putere vor depăși puterea forței externe, ceea ce va duce la o scădere a energiei sistemului și, în consecință, la o scădere a amplitudinii.

Să revenim la întrebarea defazării dintre deplasare și forța motrice la rezonanță. Am arătat deja că deplasarea rămâne în urmă și, prin urmare, forța conduce deplasarea, cu . Pe de altă parte, proiecția vitezei în procesul oscilațiilor armonice este întotdeauna înaintea coordonatei cu . Aceasta înseamnă că în timpul rezonanței, forța motrice externă și viteza oscilează în aceeași fază. Aceasta înseamnă că sunt co-regizați în orice moment! Munca forței externe în acest caz este întotdeauna pozitivă, ea toate merge pentru a umple sistemul oscilator cu energie.

§ 3 Influenţă periodică nesinusoidală

Oscilațiile forțate ale oscilatorului sunt posibile sub orice influență externă periodică, nu doar sinusoidală. În acest caz, oscilațiile stabilite, în general, nu vor fi sinusoidale, ci vor reprezenta o mișcare periodică cu o perioadă egală cu perioada influenței exterioare.

O influență externă poate fi, de exemplu, șocuri succesive (amintiți-vă cum un adult „legănește” un copil care stă pe un leagăn). Dacă perioada șocurilor externe coincide cu perioada oscilațiilor naturale, atunci poate apărea rezonanță în sistem. Oscilațiile vor fi aproape sinusoidale. Energia transmisă sistemului la fiecare împingere completează energia totală a sistemului pierdută din cauza frecării. Este clar că în acest caz, sunt posibile opțiuni: dacă energia transmisă în timpul unei împingeri este egală cu sau depășește pierderile de frecare pe perioadă, atunci oscilațiile vor fi fie constante, fie sfera lor de aplicare va crește. Acest lucru este clar vizibil în diagrama de fază.

Este evident că rezonanța este posibilă și în cazul în care perioada de repetare a șocurilor este un multiplu al perioadei oscilațiilor naturale. Acest lucru este imposibil cu natura sinusoidală a influenței externe.

Pe de altă parte, chiar dacă frecvența șocului coincide cu frecvența naturală, rezonanța poate să nu fie observată. Dacă doar pierderile prin frecare în timpul perioadei depășesc energia primită de sistem în timpul împingerii, atunci energia totală a sistemului va scădea și oscilațiile se vor atenua.

§ 4 Rezonanța parametrică

Influența externă asupra sistemului oscilator poate fi redusă la modificări periodice ale parametrilor sistemului oscilator însuși. Oscilațiile excitate în acest fel se numesc parametrice, iar mecanismul în sine este numit rezonanță parametrică .

În primul rând, vom încerca să răspundem la întrebarea: este posibil să scuturăm micile oscilații deja existente în sistem prin modificarea periodică a unora dintre parametrii acestuia într-un anumit fel.

Ca exemplu, luați în considerare o persoană care se leagăn pe un leagăn. Prin îndoirea și îndreptarea picioarelor în momentele „potrivite”, el schimbă de fapt lungimea pendulului. În poziții extreme, o persoană se ghemuiește, coborând astfel ușor centrul de greutate al sistemului oscilator în poziția de mijloc, o persoană se îndreaptă, ridicând centrul de greutate al sistemului;

Pentru a înțelege de ce o persoană se balansează în același timp, luați în considerare un model extrem de simplificat al unei persoane pe un leagăn - un pendul mic obișnuit, adică o greutate mică pe un fir ușor și lung. Pentru a simula ridicarea și coborârea centrului de greutate, vom trece capătul superior al firului printr-un orificiu mic și vom trage firul în acele momente când pendulul trece de poziția de echilibru și vom coborî firul în aceeași cantitate când pendulul trece de poziția extremă.

Lucrul forței de întindere a firului pe perioadă (ținând cont de faptul că sarcina este ridicată și coborâtă de două ori pe perioadă și că D l << l):

Vă rugăm să rețineți că între paranteze nu este nimic mai mult decât triplul energiei sistemului oscilator. Apropo, această cantitate este pozitivă, prin urmare, munca forței de tensiune (munca noastră) este pozitivă, duce la o creștere a energiei totale a sistemului și, prin urmare, la oscilația pendulului.

Interesant este că modificarea relativă a energiei într-o perioadă nu depinde de faptul dacă pendulul se balansează slab sau puternic. Acest lucru este foarte important și iată de ce. Dacă pendulul nu este „pompat” cu energie, atunci pentru fiecare perioadă își va pierde o anumită parte din energie din cauza forței de frecare, iar oscilațiile se vor stinge. Și pentru ca gama de oscilații să crească, este necesar ca energia câștigată să o depășească pe cea pierdută pentru a depăși frecarea. Și această condiție, se pare, este aceeași - atât pentru o amplitudine mică, cât și pentru una mare.

De exemplu, dacă într-o perioadă energia oscilațiilor libere scade cu 6%, atunci pentru ca oscilațiile unui pendul de 1 m lungime să nu se atenueze, este suficient să-i reduceți lungimea cu 1 cm în poziția de mijloc și să creșteți cu aceeași cantitate în poziție extremă.

Revenirea la leagăn: dacă începeți să vă leagănați, atunci nu este nevoie să vă ghemuiți din ce în ce mai adânc - ghemuiți-vă tot timpul în același mod și veți zbura din ce în ce mai sus!

*** Calitate din nou!

După cum am spus deja, pentru acumularea parametrică a oscilațiilor, trebuie îndeplinită condiția DE > A de frecare pe perioadă.

Să găsim munca efectuată de forța de frecare pe parcursul perioadei

Se poate observa că mărimea relativă a ridicării pendulului pentru a-l balansa este determinată de factorul de calitate al sistemului.

§ 5 Sensul rezonanţei

Oscilațiile forțate și rezonanța sunt utilizate pe scară largă în tehnologie, în special în acustică, inginerie electrică și inginerie radio. Rezonanța este folosită în primul rând atunci când, dintr-un set mare de oscilații de frecvențe diferite, se dorește izolarea oscilațiilor de o anumită frecvență. Rezonanța este folosită și în studiul cantităților foarte slabe care se repetă periodic.

Cu toate acestea, în unele cazuri rezonanța este un fenomen nedorit, deoarece poate duce la deformări mari și distrugerea structurilor.

§ 6 Exemple de rezolvare a problemelor

Problema 1 Oscilații forțate ale unui pendul cu arc sub acțiunea unei forțe sinusoidale externe.

O sarcină cu masa m = 10 g a fost suspendată dintr-un arc cu rigiditate k = 10 N/m și sistemul a fost plasat într-un mediu vâscos cu un coeficient de rezistență r = 0,1 kg/s. Comparați frecvențele naturale și cele de rezonanță ale sistemului. Determinați amplitudinea oscilațiilor pendulului la rezonanță sub acțiunea unei forțe sinusoidale cu amplitudinea F 0 = 20 mN.

Soluţie:

1 Frecvența naturală a unui sistem oscilator este frecvența vibrațiilor libere în absența frecării. Frecvența ciclică naturală este egală cu frecvența de oscilație.

2 Frecvența de rezonanță este frecvența unei forțe motrice externe la care amplitudinea oscilațiilor forțate crește brusc. Frecvența ciclică de rezonanță este egală cu , unde este coeficientul de amortizare, egal cu .

Astfel, frecvența de rezonanță este . Este ușor de observat că frecvența de rezonanță este mai mică decât frecvența naturală! De asemenea, este clar că cu cât frecarea în sistem (r) este mai mică, cu atât frecvența de rezonanță este mai aproape de frecvența naturală.

3 Amplitudinea rezonantei este

Sarcina 2 Amplitudinea rezonanței și factorul de calitate al sistemului oscilator

O sarcină cu masa m = 100 g a fost suspendată de un arc cu rigiditate k = 10 N/m și sistemul a fost plasat într-un mediu vâscos cu coeficient de rezistență.

r = 0,02 kg/s. Determinați factorul de calitate al sistemului oscilator și amplitudinea oscilațiilor pendulului la rezonanță sub acțiunea unei forțe sinusoidale cu amplitudinea F 0 = 10 mN. Aflați raportul dintre amplitudinea rezonantei și deplasarea statică sub influența unei forțe constante F 0 = 20 mN și comparați acest raport cu factorul de calitate.

Soluţie:

1 Factorul de calitate al sistemului oscilator este egal cu , unde este decrementul de amortizare logaritmică.

Decrementul de amortizare logaritmică este egal cu .

Găsirea factorului de calitate al sistemului oscilator.

2 Amplitudinea rezonantei este

3 Deplasarea statică sub acţiunea unei forţe constante F 0 = 10 mN este egală cu .

4 Raportul dintre amplitudinea rezonantei și deplasarea statică sub acțiunea unei forțe constante F 0 este egal cu

Este ușor de observat că acest raport coincide cu factorul de calitate al sistemului oscilator

Problema 3 Vibrațiile rezonante ale unui fascicul

Sub influența greutății motorului electric, rezervorul cantilever pe care este instalat s-a îndoit de . La ce viteză a armăturii motorului poate exista pericolul de rezonanță?

Soluţie:

1 Carcasa motorului și grinda pe care este instalată suferă șocuri periodice de la armătura rotativă a motorului și, prin urmare, efectuează oscilații forțate la frecvența șocurilor.

Se va observa rezonanța atunci când frecvența șocurilor coincide cu frecvența naturală de vibrație a fasciculului cu motorul. Este necesar să se găsească frecvența naturală de vibrație a sistemului fascicul-motor.

2 Un analog al sistemului oscilator fascicul-motor poate fi un pendul cu arc vertical, a cărui masă este egală cu masa motorului. Frecvența naturală de oscilație a unui pendul cu arc este egală cu . Dar rigiditatea arcului și masa motorului nu sunt cunoscute! Ce ar trebuii să fac?

3 În poziția de echilibru a pendulului cu arc, forța gravitațională a sarcinii este echilibrată de forța elastică a arcului

4 Aflați rotația armăturii motorului, adică frecvența șocurilor

Problema 4 Oscilații forțate ale unui pendul cu arc sub influența șocurilor periodice.

O greutate cu masa m = 0,5 kg este suspendată de un arc spiral cu rigiditate k = 20 N/m. Decrementul de amortizare logaritmică a sistemului oscilator este egal cu . Ei vor să balanseze greutatea cu împingeri scurte, acționând asupra greutății cu o forță F = 100 mN pentru un timp τ = 0,01 s. Care ar trebui să fie frecvența loviturilor pentru ca amplitudinea greutății să fie cea mai mare? În ce puncte și în ce direcție ar trebui să împingeți kettlebellul? La ce amplitudine va fi posibilă balansarea greutății în acest fel?

Soluţie:

1 Vibrațiile forțate pot apărea sub orice influență periodică. În acest caz, oscilația în regim staționar va avea loc cu frecvența influenței externe. Dacă perioada șocurilor externe coincide cu frecvența oscilațiilor naturale, atunci are loc rezonanța în sistem - amplitudinea oscilațiilor devine cea mai mare. În cazul nostru, pentru ca rezonanța să apară, perioada șocurilor trebuie să coincidă cu perioada de oscilație a pendulului cu arc.

Scăderea logaritmică de amortizare este mică, prin urmare, există o frecare mică în sistem, iar perioada de oscilație a pendulului într-un mediu vâscos coincide practic cu perioada de oscilație a pendulului în vid:

2 Evident, direcția împingărilor trebuie să coincidă cu viteza greutății. În acest caz, munca forței externe care umple sistemul cu energie va fi pozitivă. Și vibrațiile se vor legăna. Energia primită de sistem în timpul procesului de impact

va fi mai mare atunci când sarcina trece de poziția de echilibru, deoarece în această poziție viteza pendulului este maximă.

Deci, sistemul se va oscila cel mai repede sub acțiunea șocurilor în direcția de mișcare a sarcinii pe măsură ce aceasta trece prin poziția de echilibru.

3 Amplitudinea oscilațiilor încetează să crească atunci când energia transmisă sistemului în timpul procesului de impact este egală cu pierderea de energie datorată frecării în perioada: .

Vom găsi pierderea de energie pe o perioadă prin factorul de calitate al sistemului oscilator

unde E este energia totală a sistemului oscilator, care poate fi calculată ca .

În loc de energia de pierdere, înlocuim energia primită de sistem în timpul impactului:

Viteza maximă în timpul procesului de oscilație este . Luând în considerare acest lucru, obținem .

§7 Sarcini pentru soluție independentă

Testul „Vibrații forțate”

1 Ce oscilații se numesc forțate?

A) Oscilații care apar sub influența forțelor externe care se schimbă periodic;

B) Oscilații care apar în sistem după un șoc extern;

2 Care dintre următoarele oscilații este forțată?

A) Oscilația unei sarcini suspendate de un arc după o singură abatere a acesteia de la poziția de echilibru;

B) Oscilatia conului difuzorului in timpul functionarii receptorului;

B) Oscilatia unei sarcini suspendate de un arc dupa un singur impact asupra sarcinii in pozitie de echilibru;

D) Vibrația carcasei motorului electric în timpul funcționării acestuia;

D) Vibrații ale timpanului unei persoane care ascultă muzică.

3 Un sistem oscilator cu frecvență proprie este acționat de o forță motrice externă care variază conform legii. Coeficientul de amortizare în sistemul oscilator este egal cu . După ce lege se schimbă coordonatele unui corp în timp?

C) Amplitudinea oscilațiilor forțate va rămâne neschimbată, deoarece energia pierdută de sistem din cauza frecării va fi compensată de câștigul de energie datorat muncii forței motrice externe.

5 Sistemul efectuează oscilații forțate sub acțiunea unei forțe sinusoidale. Specifica Toate factori de care depinde amplitudinea acestor oscilaţii.

A) Din amplitudinea forței motrice externe;

B) Prezența energiei în sistemul oscilator în momentul în care forța externă începe să acționeze;

C) Parametrii sistemului oscilator propriu-zis;

D) Frecarea in sistemul oscilator;

D) Existenta oscilatiilor naturale in sistem in momentul in care forta externa incepe sa actioneze;

E) Timpul de stabilire a oscilaţiilor;

G) Frecvențele forței motrice externe.

6 Un bloc de masă m efectuează oscilații armonice forțate de-a lungul unui plan orizontal cu perioada T și amplitudine A. Coeficientul de frecare μ. Ce lucru este efectuat de forța motrice externă într-un timp egal cu perioada T?

A) 4μmgA; B) 2μmgA; B) μmgA; D) 0;

D) Este imposibil de dat un răspuns, deoarece nu se cunoaște magnitudinea forței motrice externe.

7 Faceți o afirmație corectă

Rezonanta este un fenomen...

A) Coincidența frecvenței forței externe cu frecvența naturală a sistemului oscilator;

B) O creștere bruscă a amplitudinii oscilațiilor forțate.

Rezonanța este observată în condiție

A) Reducerea frecării în sistemul oscilator;

B) Creșterea amplitudinii forței motrice externe;

C) Coincidența frecvenței forței externe cu frecvența naturală a sistemului oscilator;

D) Când frecvența forței externe coincide cu frecvența de rezonanță.

8 Fenomenul de rezonanță poate fi observat în...

A) În orice sistem oscilator;

B) Într-un sistem care efectuează oscilații libere;

B) Într-un sistem auto-oscilant;

D) Într-un sistem care suferă oscilații forțate.

9 Figura prezintă un grafic al dependenței amplitudinii oscilațiilor forțate de frecvența forței motrice. Rezonanța are loc la o frecvență...

10 Trei pendule identice situate în medii vâscoase diferite efectuează oscilații forțate. Figura prezintă curbele de rezonanță pentru aceste pendule. Care pendul experimentează cea mai mare rezistență din partea mediului vâscos în timpul oscilației?

A) 1; B) 2; B) 3;

D) Este imposibil de dat un răspuns, deoarece amplitudinea oscilațiilor forțate, pe lângă frecvența forței externe, depinde și de amplitudinea acesteia. Condiția nu spune nimic despre amplitudinea forței motrice externe.

11 Perioada oscilațiilor naturale ale sistemului oscilator este egală cu T 0. Care poate fi perioada șocurilor astfel încât amplitudinea oscilațiilor să crească brusc, adică să apară o rezonanță în sistem?

A) T0; B) T 0, 2 T 0, 3 T 0,…;

C) Leagănul poate fi legănat cu împingeri de orice frecvență.

12 Fratele tău mai mic stă pe un leagăn, tu îl leagăn cu împingeri scurte. Care ar trebui să fie perioada de succesiune a șocurilor pentru ca procesul să aibă loc cel mai eficient? Perioada oscilațiilor naturale ale oscilației T 0.

D) Leagănul poate fi legănat cu împingeri de orice frecvență.

13 Fratele tău mai mic stă pe un leagăn, tu îl leagăn cu împingeri scurte. În ce poziție a balansării trebuie făcută împingerea și în ce direcție trebuie făcută împingerea pentru ca procesul să aibă loc cel mai eficient?

A) Împingeți în poziția cea mai sus a leagănului spre poziția de echilibru;

B) Împingeți în poziția cea mai de sus a leagănului în direcția de la poziția de echilibru;

B) Împingeți în poziție echilibrată în direcția de mișcare a leagănului;

D) Puteți împinge în orice poziție, dar întotdeauna în direcția de mișcare a leagănului.

14 S-ar părea că trăgând dintr-o praștie la pod în timp cu propriile vibrații și făcând o mulțime de lovituri, îl poți balansa puternic, dar este puțin probabil ca acest lucru să reușească. De ce?

A) Masa podului (inerția sa) este mare în comparație cu masa „glonțului” de la o praștie, podul nu se va putea deplasa sub influența unor astfel de impacturi;

B) Forța de impact a unui „glonț” de la o praștie este atât de mică încât podul nu se va putea deplasa sub influența unor astfel de impacturi;

C) Energia transmisă punții într-o singură lovitură este mult mai mică decât energia pierdută din cauza frecării pe parcursul perioadei.

15 Cărați o găleată cu apă. Apa din găleată se leagănă și stropește. Ce se poate face pentru a preveni acest lucru?

A) Balansează mâna în care se află găleata în ritm cu mersul;

B) Modificați viteza de mișcare, lăsând neschimbată lungimea pașilor;

C) Opriți-vă periodic și așteptați ca vibrațiile apei să se calmeze;

D) Asigurati-va ca in timpul miscarii mana cu galeata este pozitionata strict vertical.

Sarcini

1 Sistemul efectuează oscilații amortizate cu o frecvență de 1000 Hz. Definiți frecvența v 0 vibrații naturale, dacă frecvența de rezonanță

2 Determinați după ce valoare D v frecvența de rezonanță diferă de frecvența naturală v 0= sistem oscilator de 1000 Hz, caracterizat printr-un coeficient de amortizare d = 400s -1.

3 O sarcină de masă 100 g, suspendată pe un arc de rigiditate 10 N/m, efectuează oscilații forțate într-un mediu vâscos cu un coeficient de rezistență r = 0,02 kg/s. Determinați coeficientul de amortizare, frecvența de rezonanță și amplitudinea. Valoarea amplitudinii forței motrice este de 10 mN.

4 Amplitudinile oscilațiilor armonice forțate la frecvențele w 1 = 400 s -1 și w 2 = 600 s -1 sunt egale. Determinați frecvența de rezonanță.

5 Camioanele intră într-un depozit de cereale de-a lungul unui drum de pământ pe o parte, descarcă și ies din depozit cu aceeași viteză, dar pe cealaltă parte. Care parte a depozitului are mai multe gropi în drum decât cealaltă? Cum poți determina din ce parte a depozitului este intrarea și care este ieșirea în funcție de starea drumului? Justificați răspunsul

Oscilațiile forțate sunt cele care apar într-un sistem oscilator sub influența unei forțe externe care se schimbă periodic. Această forță, de regulă, îndeplinește un rol dublu: în primul rând, balansează sistemul și îi asigură o anumită sursă de energie; în al doilea rând, completează periodic pierderile de energie (consumul de energie) pentru a depăși forțele de rezistență și frecare.

Lăsați forța motrice să se schimbe în timp conform legii:

Să compunem o ecuație a mișcării pentru un sistem care oscilează sub influența unei astfel de forțe. Presupunem că sistemul este afectat și de o forță cvasi-elastică și de forța de rezistență a mediului (ceea ce este adevărat în ipoteza unor oscilații mici). Atunci ecuația de mișcare a sistemului va arăta astfel:

După ce au făcut substituțiile - frecvența naturală a oscilațiilor sistemului, obținem o ecuație diferențială liniară neomogenă de ordinul 2:

Din teoria ecuațiilor diferențiale se știe că soluția generală a unei ecuații neomogene este egală cu suma soluției generale a unei ecuații omogene și a unei soluții particulare a unei ecuații neomogene.

Soluția generală a ecuației omogene este cunoscută:

Folosind o diagramă vectorială, puteți verifica dacă această ipoteză este adevărată și, de asemenea, puteți determina valorile „a” și „j”.

Amplitudinea oscilațiilor este determinată de următoarea expresie:

Valoarea „j”, care reprezintă mărimea decalajului de fază a oscilației forțate din forța motrice care a provocat-o, este, de asemenea, determinată din diagrama vectorială și este:

În cele din urmă, o soluție specială a ecuației neomogene va lua forma:

Această funcție în total oferă soluția generală a ecuației diferențiale neomogene care descrie comportamentul sistemului la oscilații forțate. Termenul (2) joacă un rol semnificativ în etapa inițială a procesului, în timpul așa-numitei stabiliri a oscilațiilor (Fig. 1). În timp, din cauza factorului exponenţial, rolul celui de-al doilea termen (2) scade din ce în ce mai mult, iar după ce a trecut un timp suficient, acesta poate fi neglijat, reţinându-se doar termenul (1) în soluţie.

Fig 1.

Astfel, funcția (1) descrie oscilații forțate în stare de echilibru. Ele reprezintă oscilații armonice cu o frecvență egală cu frecvența forței motrice. Amplitudinea oscilațiilor forțate este proporțională cu amplitudinea forței motrice. Pentru un sistem oscilator dat (definit prin w 0 și b), amplitudinea depinde de frecvența forței motrice. Oscilațiile forțate rămân în urma forței motrice în fază, iar mărimea decalajului „j” depinde și de frecvența forței motrice. Detlaf A.A., Yavorsky B.M. Curs de fizică: manual pentru colegii. - Ed. a IV-a, rev. - M.: Mai sus. şcoală, 2012. - 428 p.

Dependența amplitudinii oscilațiilor forțate de frecvența forței motrice duce la faptul că la o anumită frecvență determinată pentru un sistem dat, amplitudinea oscilațiilor atinge o valoare maximă. Sistemul oscilator se dovedește a fi deosebit de sensibil la acțiunea forței motrice la această frecvență. Acest fenomen se numește rezonanță, iar frecvența corespunzătoare se numește frecvență de rezonanță.

Într-un număr de cazuri, sistemul oscilator oscilează sub influența unei forțe externe, a cărei muncă compensează periodic pierderea de energie din cauza frecării și a altor rezistențe. Frecvența unor astfel de oscilații nu depinde de proprietățile sistemului oscilant în sine, ci de frecvența modificărilor forței periodice sub influența căreia sistemul își face oscilațiile. În acest caz, avem de-a face cu oscilații forțate, adică cu oscilații impuse sistemului nostru prin acțiunea forțelor externe.

Sursele forțelor perturbatoare și, prin urmare, ale oscilațiilor forțate, sunt foarte diverse.

Să ne oprim asupra naturii forțelor perturbatoare găsite în natură și tehnologie. După cum sa indicat deja, mașini electrice, turbine cu abur sau cu gaz, volante de mare viteză etc. din cauza dezechilibrului maselor rotative provoaca vibratii ale rotoarelor, planseelor ​​fundatiilor cladirilor etc. Mașinile cu piston, care includ motoarele cu ardere internă și motoarele cu abur, sunt o sursă de forțe perturbatoare periodice din cauza mișcării alternative a unor piese (de exemplu, un piston), evacuarea gazelor sau aburului.

De obicei, forțele perturbatoare cresc odată cu creșterea vitezei mașinii, astfel încât lupta împotriva vibrațiilor la mașinile de mare viteză devine extrem de importantă. Se realizează adesea prin crearea unei fundații elastice speciale sau prin instalarea unei suspensii elastice a mașinii. Dacă mașina este fixată rigid de fundație, atunci forțele perturbatoare care acționează asupra mașinii sunt transmise aproape în întregime la fundație și apoi prin pământ către clădirea în care este instalată mașina, precum și către structurile din apropiere.

Pentru a reduce efectul forțelor dezechilibrate asupra bazei, este necesar ca frecvența naturală de vibrație a mașinii pe baza elastică (garnitură) să fie semnificativ mai mică decât frecvența forțelor perturbatoare, determinată de numărul de rotații ale aparatul.

Motivul oscilațiilor forțate ale navei, rostogolirea navelor, sunt valurile care lovesc periodic o navă plutitoare. Pe lângă balansarea navei în ansamblu sub influența apei agitate, se observă și oscilații forțate (vibrații) ale părților individuale ale carenei navei. Cauza unor astfel de vibrații este dezechilibrul motorului principal al navei, care rotește elicea, precum și mecanismele auxiliare (pompe, dinamo etc.). În timpul funcționării mecanismelor navei, apar forțe inerțiale de mase dezechilibrate, a căror frecvență de repetare depinde de numărul de rotații ale mașinii. În plus, vibrațiile forțate ale navei pot fi cauzate de impactul periodic al palelor elicei asupra corpului navei. Sommerfeld A., Mecanica. Ї Izhevsk: Centrul de cercetare științifică „Dinamica regulată și haotică”, 2001. Ї168 p.

Vibrațiile forțate ale podului pot fi cauzate de un grup de oameni care merg pe el în pas. Oscilațiile unui pod de cale ferată pot apărea sub acțiunea cuplelor care leagă roțile motoare ale unei locomotive în trecere. Motivele care provoacă vibrații forțate ale materialului rulant (locomotivă electrică, locomotivă cu abur sau diesel și vagoane) includ impacturile periodice repetate ale roților asupra îmbinărilor șinei. Vibrațiile forțate ale mașinilor sunt cauzate de impacturile repetate ale roților pe suprafețele neuniforme ale drumului. Vibrațiile forțate ale ascensoarelor și ale cuștilor de ridicare ale minelor apar din cauza funcționării neuniforme a mașinii de ridicat, din cauza formei neregulate a tamburilor pe care sunt înfășurate frânghiile etc. Motivele care provoacă vibrații forțate ale liniilor electrice, clădirilor înalte, catargelor și coșurilor de fum pot fi rafale de vânt.

Un interes deosebit sunt vibrațiile forțate ale aeronavelor, care pot fi cauzate din diverse motive. Aici, în primul rând, ar trebui să țineți cont de vibrația aeronavei cauzată de funcționarea grupului de elice. Din cauza dezechilibrului mecanismului manivelei, a motoarelor în funcțiune și a elicelor în rotație, apar șocuri periodice care susțin vibrații forțate.

Odată cu oscilațiile cauzate de acțiunea forțelor periodice externe discutate mai sus, în avioane se observă și influențe externe de altă natură. În special, vibrațiile apar din cauza raționalizării slabe a părții frontale a aeronavei. Curgerea slabă în jurul suprastructurilor de pe aripă sau o conexiune neplană între aripă și fuselajul (corpul) aeronavei duce la formațiuni de vortex. Vârtejurile de aer, care se desprind, creează un flux pulsatoriu care lovește coada și o face să tremure. O astfel de scuturare a aeronavei are loc în anumite condiții de zbor și se manifestă sub formă de șocuri care nu au loc destul de regulat, la fiecare 0,5-1 secundă.

Acest tip de vibrație, asociată în principal cu vibrația unor părți ale aeronavei din cauza turbulențelor în fluxul din jurul aripii și a altor părți din față ale aeronavei, se numește „bufing”. Fenomenul de lustruire, cauzat de întreruperea fluxurilor din aripă, este deosebit de periculos atunci când perioada de impact asupra cozii aeronavei este apropiată de perioada de vibrații libere ale cozii sau fuselajului aeronavei. În acest caz, fluctuațiile de tip bufing cresc brusc.

Au fost observate cazuri foarte interesante de lustruire la aruncarea trupelor din aripa unei aeronave. Apariția oamenilor pe aripă a dus la formațiuni de vortex, provocând vibrații în aeronave. Un alt caz de zgomot pe o aeronavă cu două locuri a fost cauzat de un pasager care stătea în cockpitul din spate al cărui cap proeminent a contribuit la formarea de vârtejuri în fluxul de aer. În lipsa unui pasager în cabina din spate, nu au fost observate vibrații.

De asemenea, sunt importante vibrațiile de încovoiere ale elicei cauzate de forțele perturbatoare de natură aerodinamică. Aceste forțe apar din cauza faptului că elicea, atunci când se rotește, trece de marginea anterioară a aripii de două ori pentru fiecare rotație. Vitezele fluxului de aer în imediata vecinătate a aripii și la o oarecare distanță de aceasta sunt diferite și, prin urmare, forțele aerodinamice care acționează asupra elicei trebuie să se schimbe periodic de două ori la fiecare rotație a elicei. Această împrejurare este motivul excitării vibrațiilor transversale ale palelor elicei.

Pierderile de energie mecanică în orice sistem oscilator din cauza prezenței forțelor de frecare sunt inevitabile, prin urmare, fără „pomparea” energiei din exterior, oscilațiile vor fi amortizate. Există mai multe moduri fundamental diferite de a crea sisteme oscilatorii de oscilații continue. Să aruncăm o privire mai atentă la oscilații neamortizate sub influența unei forțe periodice externe. Astfel de oscilații se numesc forțate. Să continuăm studiul mișcării unui pendul armonic (Fig. 6.9). 

În plus față de forțele de elasticitate și de frecare vâscoasă discutate anterior, mingea este acționată de către un exterior.  convingătoare forta periodica variind dupa o lege armonica

frecvența, care poate diferi de frecvența naturală a pendulului ω o. Natura acestei forțe în acest caz nu este importantă pentru noi. O astfel de forță poate fi creată în diferite moduri, de exemplu, prin transmiterea unei sarcini electrice mingii și plasarea acesteia într-un câmp electric alternativ extern. Ecuația de mișcare a mingii în cazul în cauză are forma

Să o împărțim la masa mingii și să folosim notația anterioară pentru parametrii sistemului. Ca rezultat obținem  ecuația de oscilație forțată:

Unde f o = F o /m− raportul dintre valoarea amplitudinii forței motrice externe și masa mingii. Soluția generală a ecuației (3) este destul de greoaie și, desigur, depinde de condițiile inițiale. Natura mișcării mingii, descrisă de ecuația (3), este clară: sub influența forței motrice, vor apărea oscilații, a căror amplitudine va crește. Acest regim de tranziție este destul de complex și depinde de condițiile inițiale. După o anumită perioadă de timp, modul oscilator va fi stabilit și amplitudinea acestora va înceta să se mai schimbe. Exact stare constantă de oscilație, în multe cazuri este de interes primordial. Nu vom lua în considerare trecerea sistemului la o stare de echilibru, ci ne vom concentra pe descrierea și studierea caracteristicilor acestui mod. Cu această formulare a problemei, nu este nevoie să precizăm condițiile inițiale, deoarece starea staționară de care ne interesează nu depinde de condițiile inițiale, caracteristicile sale sunt complet determinate de ecuația însăși. Am întâlnit o situație similară când am studiat mișcarea unui corp sub acțiunea unei forțe externe constante și a forței de frecare vâscoasă. 

După ceva timp, corpul se mișcă cu o viteză constantă  v = F o /β , care nu depinde de condițiile inițiale și este complet determinată de ecuația mișcării. Condițiile inițiale determină regimul de tranziție la mișcare constantă. Pe baza bunului simț, este rezonabil să presupunem că într-un mod constant de oscilație bila va oscila la frecvența forței motrice externe. Prin urmare, soluția ecuației (3) ar trebui căutată într-o funcție armonică cu frecvența forței motrice. Mai întâi, să rezolvăm ecuația (3), neglijând forța de rezistență

Să încercăm să-i găsim soluția sub forma unei funcții armonice

Pentru a face acest lucru, calculăm dependența vitezei și accelerației corpului în timp, ca derivate ale legii mișcării. 

și înlocuiți valorile lor în ecuația (4)

Acum îl puteți reduce cu  cosωt. În consecință, această expresie se transformă în identitatea corectă în orice moment, sub rezerva îndeplinirii condiției.

Astfel, ipoteza noastră despre soluția ecuației (4) în forma (5) a fost justificată: starea staționară a oscilațiilor este descrisă de funcția

Rețineți că coeficientul O conform expresiei rezultate (6) poate fi fie pozitiv (cu ω < ω o), și negativ (cu ω > ω o). Schimbarea semnului corespunde unei schimbări a fazei oscilațiilor prin π (motivul acestei modificări va fi clarificat puțin mai târziu), prin urmare amplitudinea oscilațiilor este modulul acestui coeficient |A|. Amplitudinea oscilațiilor în regim staționar, așa cum ar fi de așteptat, este proporțională cu mărimea forței motrice. În plus, această amplitudine depinde într-un mod complex de frecvența forței motrice. Un grafic schematic al acestei relații este prezentat în Fig. 6.10

Orez. 6.10 Curba de rezonanță

După cum rezultă din formula (6) și este clar vizibil pe grafic, pe măsură ce frecvența forței motrice se apropie de frecvența naturală a sistemului, amplitudinea crește brusc. Motivul acestei creșteri a amplitudinii este clar: forța motrice „în timpul” împinge mingea, când frecvențele coincid complet, modul stabilit este absent - amplitudinea crește la infinit. Desigur, în practică este imposibil să observați o astfel de creștere infinită: În primul rând, acest lucru poate duce la distrugerea sistemului oscilator în sine, în al doilea rând, la amplitudini mari de oscilații, forțele de rezistență ale mediului nu pot fi neglijate.  

Desigur, și în acest caz, soluția trebuie căutată sub forma unei funcții armonice cu frecvența forței motrice. Este ușor de observat că căutarea unei soluții în forma (5) în acest caz nu va duce la succes. Într-adevăr, ecuația (8), spre deosebire de ecuația (4), conține viteza particulelor, care este descrisă de funcția sinus. Prin urmare, partea de timp din ecuația (8) nu va fi redusă. Prin urmare, soluția ecuației (8) ar trebui reprezentată sub forma generală a unei funcții armonice

în care există doi parametri O oŞi φ trebuie găsit folosind ecuația (8). Parametru O o este amplitudinea oscilațiilor forțate, φ − defazare între coordonatele în schimbare și forța motrice variabilă. Folosind formula trigonometrică pentru cosinusul sumei, funcția (9) poate fi reprezentată sub forma echivalentă

care contine si doi parametri B=A o cosφŞi C = −A o sinφ de determinat. Folosind funcția (10), scriem expresii explicite pentru dependențele vitezei și accelerației unei particule în timp

și înlocuiți în ecuația (8):

Să rescriem această expresie sub forma 

Pentru ca egalitatea (13) să fie îndeplinită în orice moment, este necesar ca coeficienții cosinusului și sinusului să fie egali cu zero. Pe baza acestei condiții, obținem două ecuații liniare pentru determinarea parametrilor funcției (10):

Soluția acestui sistem de ecuații are forma 

Pe baza formulei (10), determinăm caracteristicile oscilațiilor forțate: amplitudine 

schimbare de fază

La atenuare scăzută, această dependență are un maxim ascuțit pe măsură ce frecvența forței motrice se apropie ω la frecvența naturală a sistemului ω o. Astfel, în acest caz, poate apărea și rezonanța, motiv pentru care dependențele reprezentate sunt adesea numite curbă de rezonanță. Luând în considerare atenuarea slabă arată că amplitudinea nu crește la infinit, valoarea sa maximă depinde de coeficientul de atenuare - pe măsură ce acesta din urmă crește, amplitudinea maximă scade rapid. Dependența obținută a amplitudinii oscilației de frecvența forței de antrenare (16) conține prea mulți parametri independenți (  f o , ω o , γ ) pentru a construi o familie completă de curbe de rezonanță. Ca în multe cazuri, această relație poate fi simplificată semnificativ prin trecerea la variabile „adimensionale”. Să transformăm formula (16) în următoarea formă

si denota

− frecvența relativă (raportul dintre frecvența forței motrice și frecvența naturală a oscilațiilor sistemului);

− amplitudine relativă (raportul dintre amplitudinea oscilației și valoarea abaterii O o = f/ω o 2 la frecvență zero);

− parametru adimensional care determină cantitatea de atenuare. Folosind aceste notații, funcția (16) este simplificată semnificativ

întrucât conţine un singur parametru − δ . O familie cu un parametru de curbe de rezonanță descrise de funcția (16 b) poate fi construită, mai ales cu ușurință folosind un computer. Rezultatul acestei construcții este prezentat în Fig. 629.

orez. 6.11

Rețineți că trecerea la unitățile de măsură „convenționale” poate fi efectuată prin simpla schimbare a scării axelor de coordonate. 

De remarcat că frecvența forței motrice, la care amplitudinea oscilațiilor forțate este maximă, depinde și de coeficientul de amortizare, scăzând ușor pe măsură ce acesta din urmă crește. În sfârșit, subliniem că o creștere a coeficientului de amortizare duce la o creștere semnificativă a lățimii curbei de rezonanță. Defazajul rezultat între oscilațiile punctului și forța motrice depinde și de frecvența oscilațiilor și de coeficientul lor de amortizare. Vom deveni mai familiarizați cu rolul acestei schimbări de fază atunci când luăm în considerare conversia energiei în procesul de oscilații forțate.

frecvența oscilațiilor libere neamortizate coincide cu frecvența naturală, frecvența oscilațiilor amortizate este puțin mai mică decât cea naturală, iar frecvența oscilațiilor forțate coincide cu frecvența forței motrice, și nu cu frecvența naturală.

Oscilații electromagnetice forțate Forţat

Acestea sunt oscilațiile care apar într-un sistem oscilator sub influența unei influențe periodice externe.

Fig.6.12. Circuit cu oscilații electrice forțate Să luăm în considerare procesele care au loc într-un circuit oscilator electric ( Fig.6.12

,

), conectat la o sursă externă, a cărei fem variază în funcție de legea armonică  Unde m

– amplitudinea EMF externă,

 – frecvența ciclică a CEM. Să notăm prin U C tensiune pe condensator și prin - i  (puterea curentului în circuit. În acest circuit, în plus față de EMF variabilă t  ) este activă și fem-ul autoindus L

în inductor.

.

FEM de auto-inducție este direct proporțională cu rata de schimbare a curentului din circuit Pentru retragere ecuația diferențială a oscilațiilor forțate

.

apărând într-un astfel de circuit, folosim a doua regulă a lui Kirchhoff Tensiune peste rezistența activă R

.

găsiți prin legea lui Ohm

.

Puterea curentului electric este egală cu sarcina care curge pe unitatea de timp prin secțiunea transversală a conductorului

.

Prin urmare Să notăm prin U Voltaj

.

de pe condensator este direct proporțională cu sarcina de pe plăcile condensatorului

.

Înlocuirea tensiunii și a EMF în a doua regulă a lui Kirchhoff

.

Împărțind ambele părți ale acestei expresii prin ) este activă și fem-ul autoindusși distribuind termenii în funcție de gradul de ordine descrescătoare a derivatei, obținem o ecuație diferențială de ordinul doi

.

Să introducem următoarea notație și să obținem

- coeficient de atenuare,

– frecvența ciclică a oscilațiilor naturale ale circuitului.

. (1)

Ecuația (1) este eterogen ecuație diferențială liniară de ordinul doi. Acest tip de ecuație descrie comportamentul unei clase largi de sisteme oscilatoare (electrice, mecanice) sub influența influenței periodice externe (emf externă sau forță externă).

Soluția generală a ecuației (1) constă din soluția generală q 1 omogen ecuație diferențială (2)

(2)

și orice soluție privată q 2 eterogen ecuații (1)

.

Tipul soluției generale omogen ecuația (2) depinde de valoarea coeficientului de atenuare  . Ne va interesa cazul atenuării slabe  <<  0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид

Unde BŞi  0 – constante specificate de condițiile inițiale.

Soluția (3) descrie oscilațiile amortizate în circuit. Valori incluse în (3):

– frecvența ciclică a oscilațiilor amortizate;

– amplitudinea oscilaţiilor amortizate;

–faza oscilaţiilor amortizate.

Căutăm o soluție particulară a ecuației (1) sub forma unei oscilații armonice care se produce cu o frecvență egală cu frecvența  influență periodică externă - EMF, și întârziere în fază de  de la el

Unde
– amplitudinea oscilaţiilor forţate, în funcţie de frecvenţă.

Să substituim (4) în (1) și să obținem identitatea

Pentru a compara fazele oscilațiilor, folosim formule de reducere trigonometrice

.

Atunci ecuația noastră va fi rescrisă ca

Să reprezentăm oscilațiile din partea stângă a identității rezultate în formă diagrama vectoriala (orez.6.13)..

Al treilea termen corespunzător oscilațiilor asupra capacității CU, având fază (  puterea curentului în circuit. În acest circuit, în plus față de EMF variabilă –  ) și amplitudine
, îl reprezentăm ca un vector orizontal îndreptat spre dreapta.

Fig.6.13. Diagrama vectorială

Primul termen din partea stângă, corespunzător oscilațiilor în inductanță ) este activă și fem-ul autoindus, va fi reprezentat pe diagrama vectorială ca un vector îndreptat orizontal spre stânga (amplitudinea acestuia
).

Al doilea termen corespunzător oscilațiilor în rezistență Tensiune peste rezistența activă, îl reprezentăm ca un vector îndreptat vertical în sus (amplitudinea sa
), deoarece faza sa este /2 în spatele fazei primului termen.

Deoarece suma a trei vibrații la stânga semnului egal dă o vibrație armonică
, apoi suma vectorială de pe diagramă (diagonala dreptunghiului) prezintă o oscilație cu o amplitudine si faza  puterea curentului în circuit. În acest circuit, în plus față de EMF variabilă, care este pornit  avansează faza de oscilație a celui de-al treilea termen.

Dintr-un triunghi dreptunghic, folosind teorema lui Pitagora, puteți găsi amplitudinea O( )

(5)

Şi tg ca raport dintre latura opusă și latura adiacentă.

. (6)

În consecință, soluția (4) ținând cont de (5) și (6) va lua forma

. (7)

Soluție generală a unei ecuații diferențiale(1) este suma q 1 și q 2

. (8)

Formula (8) arată că atunci când un circuit este expus la un EMF extern periodic, în el apar oscilații a două frecvențe, i.e. oscilații neamortizate cu frecvența EMF externă  și oscilații amortizate cu frecvența
. Amplitudinea oscilațiilor amortizate
În timp, devine neglijabil de mic și în circuit rămân doar oscilații forțate, a căror amplitudine nu depinde de timp. În consecință, oscilațiile forțate în regim de echilibru sunt descrise de funcția (4). Adică, în circuit apar oscilații armonice forțate, cu o frecvență egală cu frecvența influenței externe și a amplitudinii
, in functie de aceasta frecventa ( orez. 3O) conform legii (5). În acest caz, faza oscilației forțate rămâne în urmă cu  din influența coercitivă.

Având expresia diferențiată (4) în funcție de timp, găsim puterea curentului în circuit

Unde
– amplitudinea curentului.

Să scriem această expresie pentru puterea curentă în formă

, (9)

Unde
–defazaj între curent și f.em. externă.

În conformitate cu (6) și orez. 2

. (10)

Din această formulă rezultă că defazarea dintre curent și fem-ul extern depinde, la rezistență constantă Tensiune peste rezistența activă, din relația dintre frecvența EMF de conducere  și frecvența naturală a circuitului  0 .

Dacă  <  0, apoi schimbarea de fază între curent și EMF extern  < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол  .

Dacă  >  0 atunci  > 0. Fluctuațiile curente sunt în urmă cu un unghi în urma fluctuațiilor EMF în fază  .

Dacă  =  0 (frecventa de rezonanta), Asta  = 0, adică curentul și EMF oscilează în aceeași fază.

Rezonanţă– acesta este fenomenul de creștere bruscă a amplitudinii oscilațiilor când frecvența forței motrice externe coincide cu frecvența naturală a sistemului oscilator.

La rezonanţă  =  0 și perioada de oscilație

.

Având în vedere că coeficientul de atenuare

,

obţinem expresii pentru factorul de calitate la rezonanţă T = T 0

,

pe cealaltă parte

.

Amplitudinile tensiunii pe inductanță și capacitatea la rezonanță pot fi exprimate prin factorul de calitate al circuitului

, (15)

. (16)

Din (15) și (16) este clar că atunci când  =  0, amplitudinea tensiunii pe condensator și inductanța în Q ori mai mare decât amplitudinea fem-ului extern. Aceasta este o proprietate a secvenţialului RLC circuitul este utilizat pentru a izola un semnal radio de o anumită frecvență
din spectrul de frecvențe radio la reconstrucția receptorului radio.

În practică RLC circuitele sunt conectate la alte circuite, instrumente de măsură sau dispozitive de amplificare care introduc o atenuare suplimentară în RLC circuit. Prin urmare, valoarea reală a factorului de calitate a încărcat RLC circuitul se dovedește a fi mai mic decât valoarea factorului de calitate, estimată prin formulă

.

Valoarea reală a factorului de calitate poate fi estimată ca

Fig.6.14. Determinarea factorului de calitate din curba de rezonanță

,

unde  f– lățimea de bandă a frecvențelor în care amplitudinea este de 0,7 din valoarea maximă ( orez. 4).

Tensiunea condensatorului Să notăm prin U, pe rezistența activă Să notăm prin Tensiune peste rezistența activă iar pe inductor Să notăm prin ) este activă și fem-ul autoindus atinge un maxim la frecvențe diferite, respectiv

,
,
.

Dacă atenuarea este scăzută  0 >>  , atunci toate aceste frecvențe practic coincid și putem presupune că

.

Spre deosebire de oscilațiile libere, când sistemul primește o singură dată (când sistemul este îndepărtat), în cazul oscilațiilor forțate, sistemul absoarbe această energie dintr-o sursă de forță periodică externă în mod continuu. Această energie completează pierderile cheltuite pentru depășire și, prin urmare, totalul nu rămâne încă neschimbat.

Vibrațiile forțate, spre deosebire de cele libere, pot apărea la orice frecvență. coincide cu frecvenţa forţei externe care acţionează asupra sistemului oscilator. Astfel, frecvența oscilațiilor forțate este determinată nu de proprietățile sistemului în sine, ci de frecvența influenței externe.

Exemple de vibrații forțate sunt vibrațiile unui leagăn pentru copii, vibrațiile unui ac într-o mașină de cusut, un piston într-un cilindru al motorului unei mașini, arcurile unei mașini care se deplasează pe un drum accidentat etc.

Rezonanţă

DEFINIŢIE

Rezonanţă– acesta este fenomenul de creștere bruscă a oscilațiilor forțate pe măsură ce frecvența forței motrice se apropie de frecvența naturală a sistemului oscilator.

Rezonanța apare datorită faptului că atunci când o forță externă, care acționează în timp cu vibrații libere, are întotdeauna aceeași direcție față de corpul oscilant și face o muncă pozitivă: energia corpului oscilant crește și devine mare. Dacă o forță externă acționează „în afara pasului”, atunci această forță efectuează alternativ fie un lucru negativ, fie un lucru pozitiv și, ca urmare, energia sistemului se modifică ușor.

Figura 1 arată dependența amplitudinii oscilațiilor forțate de frecvența forței motrice. Se poate observa că această amplitudine atinge un maxim la o anumită valoare a frecvenței, adică. la , unde este frecvența naturală a sistemului oscilator. Curbele 1 și 2 diferă în mărimea forței de frecare. La frecare scăzută (curba 1), curba de rezonanță are un maxim ascuțit la o forță de frecare mai mare (curba 2), nu există un astfel de maxim ascuțit;

În viața de zi cu zi întâlnim adesea fenomenul rezonanței. Dacă geamurile din cameră au început să tremure când un camion greu a trecut de-a lungul străzii, aceasta înseamnă că frecvența naturală de vibrație a geamului este egală cu frecvența de vibrație a mașinii. Dacă valurile mării rezonează cu perioada navei, rostogolirea devine deosebit de puternică.

Fenomenul de rezonanță trebuie luat în considerare la proiectarea podurilor, clădirilor și altor structuri care suferă vibrații sub sarcină, altfel în anumite condiții aceste structuri pot fi distruse. Cu toate acestea, rezonanța poate fi, de asemenea, benefică. Fenomenul de rezonanță este utilizat atunci când reglați un receptor radio la o anumită frecvență de difuzare, precum și în multe alte cazuri.

Exemple de rezolvare a problemelor

EXEMPLUL 1

Exercita	Capătul arcului unui pendul orizontal, a cărui sarcină are o masă de 1 kg, este acționat de o forță variabilă a cărei frecvență de oscilație este de 16 Hz. Se va observa rezonanța dacă rigiditatea arcului este de 400 N/m?
Soluţie	Să determinăm frecvența naturală a sistemului oscilator folosind formula: Hz Deoarece frecvența forței externe nu este egală cu frecvența naturală a sistemului, fenomenul de rezonanță nu va fi observat.
Răspuns	Fenomenul de rezonanță nu va fi observat.

EXEMPLUL 2

Exercita	O minge mică este suspendată pe un fir de 1 m lungime de tavanul unui cărucior. Cu ce ​​viteză a mașinii va vibra mingea deosebit de puternic sub influența roților care lovesc articulațiile șinei? Lungimea șinei 12,5 m.
Soluţie	Bila efectuează oscilații forțate cu o frecvență egală cu frecvența impacturilor roților asupra îmbinărilor șinei: Dacă dimensiunile mingii sunt mici în comparație cu lungimea firului, atunci sistemul poate fi considerat a avea o frecvență naturală a oscilațiilor: amplitudinea oscilaţiilor forţate neamortizate este maximă în cazul rezonanţei, adică. Când . Astfel putem scrie:

Vibrații forțate

vibrații care apar în orice sistem sub influența unei forțe externe variabile (de exemplu, vibrații ale unei membrane de telefon sub influența unui câmp magnetic alternant, vibrații ale unei structuri mecanice sub influența unei sarcini variabile etc.). Natura unui sistem militar este determinată atât de natura forței externe, cât și de proprietățile sistemului însuși. La începutul acțiunii unei forțe externe periodice, natura V. c. se schimbă cu timpul (în special, V. c. nu sunt periodice), și numai după un timp periodice V. c sistem cu o perioadă egală cu perioada forței exterioare (în stare staționară V. k.). Stabilirea unei tensiuni într-un sistem oscilator are loc cu cât mai rapid, cu atât mai mare este amortizarea oscilațiilor în acest sistem.

În special, în sistemele oscilatorii liniare (vezi Sisteme oscilatoare), atunci când o forță externă este activată, în sistem apar simultan oscilații și oscilații libere (sau naturale), iar amplitudinile acestor oscilații la momentul inițial sunt egale, iar fazele sunt opuse ( orez. ). După atenuarea treptată a oscilațiilor libere, în sistem rămân doar oscilațiile în stare staționară.

Amplitudinea VK este determinată de amplitudinea forței care acționează și de atenuarea din sistem. Dacă atenuarea este mică, atunci amplitudinea undei de tensiune depinde în mod semnificativ de relația dintre frecvența forței care acționează și frecvența oscilațiilor naturale ale sistemului. Pe măsură ce frecvența forței externe se apropie de frecvența naturală a sistemului, amplitudinea VK crește brusc - apare rezonanța. În sistemele neliniare (vezi Sisteme neliniare), împărțirea în sisteme libere și cu curgere liberă nu este întotdeauna posibilă.

Lit.: Khaikin S.E., Fundamentele fizice ale mecanicii, M., 1963.

Marea Enciclopedie Sovietică. - M.: Enciclopedia Sovietică. 1969-1978 .

Vedeți ce sunt „oscilațiile forțate” în alte dicționare:

Vibrații forțate- Vibrații forțate. Dependența amplitudinii lor de frecvența influenței externe la diferite atenuări: 1 atenuare slabă; 2 atenuare puternică; 3 atenuare critică. VIBRAȚII FORȚATE, oscilații care apar în orice sistem din... ... Dicţionar Enciclopedic Ilustrat

oscilații forțate- Oscilații care apar sub influența periodică a unei forțe externe generalizate. [Sistem de testare nedistructivă. Tipuri (metode) și tehnologie de testare nedistructivă. Termeni și definiții (carte de referință). Moscova 2003] forțat... ... Ghidul tehnic al traducătorului

Oscilațiile forțate sunt oscilații care apar sub influența forțelor externe care se modifică în timp. Auto-oscilațiile diferă de oscilațiile forțate prin aceea că acestea din urmă sunt cauzate de influențe externe periodice și apar cu frecvența acestui ... Wikipedia

VIBRAȚII FORȚATE, vibrații care apar în orice sistem ca urmare a influențelor externe în schimbare periodică: forță într-un sistem mecanic, tensiune sau curent într-un circuit oscilator. Oscilațiile forțate apar întotdeauna cu... ... Enciclopedie modernă

Oscilații care apar în l cosmic. sistem sub influența periodică ext. forțe (de exemplu, vibrații ale membranei telefonice sub influența unui câmp magnetic alternativ, vibrații ale unei structuri mecanice sub influența unei sarcini alternative). Har r V. k este definit ca extern. prin forţă... Enciclopedie fizică

Oscilații care apar în l cosmic. sistem sub influența alternantei ext. influențe (de exemplu, fluctuații ale tensiunii și curentului într-un circuit electric cauzate de o FEM alternantă; vibrații ale unui sistem mecanic cauzate de o sarcină alternativă). Caracterul lui V. K. este determinat de... ... Big Enciclopedic Polytechnic Dictionary

Ele apar în sistem sub influența unor influențe externe periodice (de exemplu, oscilații forțate ale unui pendul sub influența unei forțe periodice, oscilații forțate într-un circuit oscilator sub influența unei forțe electromotoare periodice). Daca…… Dicţionar enciclopedic mare

Vibrații forțate- (vibrație) – oscilații (vibrații) ale sistemului cauzate și susținute de forță și (sau) excitație cinematică. [GOST 24346 80] Vibrațiile forțate sunt vibrații ale sistemelor cauzate de acțiunea sarcinilor care variază în timp. [Industria...... Enciclopedie de termeni, definiții și explicații ale materialelor de construcție

- (Vibrații constrânse, vibrații forțate) vibrații ale corpului cauzate de o forță externă care acționează periodic. Dacă perioada oscilațiilor forțate coincide cu perioada oscilațiilor naturale ale corpului, apare fenomenul de rezonanță. Samoilov K.I.... ...Dicţionar marin

VIBRAȚII FORȚATE- (vezi), apărute în orice sistem sub influența influenței variabile externe; caracterul lor este determinat atât de proprietățile influenței externe, cât și de proprietățile sistemului însuși. Pe măsură ce frecvența influenței externe se apropie de frecvența naturală... Marea Enciclopedie Politehnică

Ele apar într-un sistem sub influența unor influențe externe periodice (de exemplu, oscilații forțate ale unui pendul sub influența unei forțe periodice, oscilații forțate într-un circuit oscilator sub influența unei feme periodice). Daca frecventa...... Dicţionar Enciclopedic

Cărți

• Vibrații forțate de torsiune arborelui luând în considerare amortizarea, A.P. Filippov, Reproducere în ortografia originală a autorului ediției din 1934 (editura Izvestia a Academiei de Științe a URSS). ÎN… Categorie: Matematică Editura: YOYO Media, Producator: Yoyo Media,
• Vibrații transversale forțate ale tijelor ținând cont de amortizare, A.P. Filippov, Reproducere în ortografia originală a autorului ediției din 1935 (editura „Izvestia Academiei de Științe a URSS”)... Categorie: