Metodă de înlocuire a planurilor de proiecție. Metodă de înlocuire a planurilor de proiecție
Să introducem un nou plan de proiecție P 4 paralel cu segmentul AB(Fig. 32) și perpendicular P 1. În acest caz, noua axă x 14 va fi paralelă O 1 ÎN 1 (altfel direct AB si avionul P 4 se vor intersecta). Unghiul segmentului AB spre avion P 4 este zero și AB pe P 4 este proiectat la dimensiunea maximă, adică O 4 V 4 = AB. După ce am măsurat segmentul O 4 ÎN 4, obținem lungimea segmentului AB.
Dezvăluind dimensiunea naturală figură plată
metoda de inlocuire a planurilor de proiectie
Fie ∆ ABC– avion pozitia generala(Fig. 33). În planul triunghiului trasăm o linie orizontală h, proiectați orizontalul h la obiect h 4 pe avion P 4 (x 14 ⊥ h 1 , P 4 ⊥ h), construiți noi proiecții de puncte O 4 , ÎN 4 , CU 4. Planul ∆ ABC este proiectat pe o linie care trece prin puncte O 4 , ÎN 4 , CU 4. Planul triunghiului din sistem ( P 1 P 4) este un plan proiectant, este perpendicular P 4. Triunghi ABC proiectat pe P 4 pe segment ÎN 4 CU 4 .
Pentru a afla valoarea naturală ∆ ABC să introducem planul de proiecție P 5 paralel cu planul triunghiului și perpendicular P 4. Axă nouă x 45 este paralel cu segmentul D 4 C 4 (în caz contrar ∆ ABCŞi P 5 se vor intersecta). Triunghi ABC proiectat pe un plan P 5 mărime naturală Δ O 5 ÎN 5 CU 5 = Δ ABC.
Mărimea naturală a oricărei figuri plate se găsește în mod similar.
Sarcina practică nr. 3. Desenați un desen cu două plane care se intersectează (format A4).
Subiectul 4
SUPRAFEȚE
Geometria descriptivă studiază metoda cinematică de formare și definire a suprafețelor. În acest caz, suprafața este considerată ca un set de poziții succesive ale unei linii în mișcare sau ale unei alte suprafețe în spațiu. O linie care se mișcă în spațiu și formează o suprafață se numește generator. Generatoarele pot fi drepte sau curbate. Generarea curbelor poate fi constantă și variabilă, de exemplu, schimbându-se în mod natural.
Legea mișcării generatricei este de obicei determinată de alte linii numite ghiduri, de-a lungul căruia alunecă generatoarea în timpul mișcării sale, precum și natura mișcării generatricei. În unele cazuri, unul dintre ghidaje se poate transforma într-un punct, de exemplu, un vârf în apropierea unei suprafețe conice, sau poate fi la infinit, de exemplu, lângă o suprafață cilindrică.
Se numește setul de elemente geometrice care definesc suprafața determinant suprafață, ținând cont de faptul că legea de mișcare a generatricei este determinată de numele suprafeței.
Specificarea unei suprafețe prin proiecțiile determinantului său nu oferă întotdeauna claritate, iar acest lucru, la rândul său, face dificilă citirea desenului, prin urmare, pentru a obține o imagine vizuală a suprafeței într-un desen complex, ar trebui să indicați eseu această suprafață. Conturul proiecției suprafeței este proiecția liniei de contur vizibile corespunzătoare. Linia de contur vizibilă a unei suprafețe o împarte în două părți - vizibilă, cu fața către observator și invizibilă.
Clasificarea suprafeței
Suprafețele sunt clasificate, de regulă, în funcție de forma generatricei și de legea mișcării acesteia în spațiu (Fig. 35):
Suprafața se numește stăpânit, dacă se poate forma prin deplasarea unei linii drepte. O suprafață care nu poate fi formată prin mișcarea unei linii drepte se numește neconduită. De exemplu, conul de rotație este stăpânit suprafață, iar sfera este neconduită. Prin orice punct al unei suprafețe riglate se poate trasa cel puțin o linie dreaptă aparținând în întregime suprafeței. Setul de astfel de linii reprezintă un continuu cadru suprafata riglata. Suprafețele rigle sunt împărțite în două tipuri:
– desfășurarea suprafete;
– nedislocabile, sau oblic suprafete.
Suprafețe nedezvoltabile este imposibil să se combine cu avionul fără formarea de pliuri și rupturi.
Suprafețe fațetate
O suprafață formată din părți de planuri care se intersectează în perechi se numește cu mai multe fațete. În fig. Figura 36 prezintă câteva tipuri de suprafețe fațetate.
a b c
Orez. 36 Suprafețe fațetate
Elementele lor sunt marginile, coasteŞi culmi. Planurile care formează o suprafață poliedrică se numesc marginile, linii de intersecție ale fețelor adiacente – coaste, puncte de intersecție a cel puțin trei fețe – culmi.
Suprafața fațetată se numește piramidal, dacă toate marginile sale se intersectează într-un punct - vârful (Fig. 36 O). Suprafața fațetată se numește prismatic, dacă toate marginile sale sunt paralele între ele (Fig. 36 b). Un corp geometric delimitat pe toate laturile de poligoane plate se numește poliedru. Prismatoid se numește poliedru ale cărui baze superioare și inferioare sunt poligoane situate în planuri paralele și fetele laterale sunt triunghiuri sau trapeze (Fig. 36 V).
Suprafețele trunchiului
O suprafață a trunchiului este o suprafață formată prin mișcarea unei generatoare rectilinie de-a lungul unui ghidaj curbat.
Suprafata cilindrica(Fig. 37 O) se formează prin deplasarea unei linii drepte care alunecă de-a lungul unei curbe fixe închise sau deschise și rămânând paralelă cu poziția inițială. Setul de generatrice rectilinie reprezintă un cadru continuu al unei suprafețe cilindrice. Un generator rectilinie trece prin fiecare punct al suprafeței.
a b c
Orez. 37 Suprafețe: trunchi cilindric, trunchi conic, trunchi
Se numește porțiunea unei suprafețe cilindrice închise, închisă între două secțiuni plane paralele cilindru, iar figurile secțiunii sunt ale lui motive.
Suprafata conica(Fig. 37 b) se formează prin deplasarea unei linii drepte care alunecă de-a lungul unei curbe fixe închise sau deschise și care trece în toate pozițiile sale printr-un punct fix.
Con numită o parte a unei suprafețe conice închise delimitată de un vârf și un plan care intersectează toți generatorii săi. Figura secțiunii transversale a unei suprafețe conice după acest plan se numește baza conului.
Suprafețe cu un plan de paralelismîn cazul general, ele sunt formate prin mișcarea unei generatrice rectilinie de-a lungul a trei linii directoare, care definesc în mod unic legea mișcării acesteia.
Liniile directoare pot fi curbeŞi Drept. Varietăți de suprafețe oblice sunt suprafețe riglate cu un plan de ghidareși tipurile lor specifice - suprafețe riglate cu un plan de paralelism(suprafețe catalane).
Suprafețele cu un plan de paralelism în cazuri similare se numesc respectiv cilindroizi drepti, conoide drepteŞi plan oblic.
Cilindru drept(Fig. 38) este o suprafață formată prin mișcarea unei linii drepte care alunecă de-a lungul a două ghidaje curbe care nu aparțin aceluiași plan și rămânând în toate pozițiile sale paralele cu un plan dat. Acest plan se numește planul paralelismului.
Orez. 38 Cilindru drept Fig. 39 Conoid drept Fig. 40 Plan oblic
Plan oblic(Fig. 40) este o suprafață formată prin deplasarea unei drepte care alunecă de-a lungul a două drepte care se intersectează și rămânând în toate pozițiile sale paralele cu un anumit plan de paralelism.
Suprafețe elicoidale
Suprafața formată prin mișcarea elicoială a unei drepte se numește suprafata elicoidala riglata– elicoid(Mișcarea șurubului este caracterizată prin rotație în jurul unei anumite axe i iar mişcarea de translaţie paralelă cu această axă).
a b
Orez. 41 Suprafețe elicoidale
Elicoid înclinat este o suprafață formată prin mișcarea unei linii drepte care alunecă de-a lungul a două ghidaje (unul dintre ele este o spirală cilindrică, iar al doilea este axa spiralei) și menținând un unghi constant β în toate pozițiile CU un plan de ghidare, care este poziționat perpendicular pe axa suprafeței șurubului. Când construiți proeminențe ale unui elicoid înclinat, este convenabil să utilizați un con de ghidare (Fig. 41). b).
Suprafețe de revoluție
Dacă mișcarea liniei generatoare este o rotație în jurul unei linii drepte fixe (axă), atunci suprafața formată în acest caz se numește suprafata de rotatie.
Linia generatoare poate fi o curbă plată sau spațială, precum și o linie dreaptă. Fiecare punct al dreptei generatoare, când este rotit în jurul unei axe, descrie un cerc, care este situat într-un plan perpendicular pe axa de rotație (Fig. 42).
Aceste cercuri sunt numite paralele. În consecință, planele perpendiculare pe axă intersectează suprafața de revoluție de-a lungul paralele. Linia de intersecție a suprafeței de revoluție cu planul Σ care trece prin axa se numeste meridian.
Se numește meridianul care rezultă din intersecția suprafeței de rotație cu planul de nivel principal. Proiecție meridianul principal la un plan paralel cu planul nivelului este linie de contur proiecția corespunzătoare a suprafeței de rotație.
La proiectarea diferitelor structuri inginerești, mașini și mecanisme, cele mai răspândite sunt suprafețele formate prin rotirea unei linii drepte și curbele de ordinul doi.
Prin rotirea unei linii drepte se formează următoarele:
–cilindru de rotație, dacă drept l paralel cu axa i(Fig. 43 O);
– con de rotație, dacă drept l traversează axa i(Fig. 43 b);
– hiperboloid cu o singură foaie, dacă drept l traversează axa i(Fig. 43 V).
 |
||
| O | b | V |
| Orez. 43 Suprafețele de revoluție reglate | ||
Suprafețele de revoluție formate prin rotirea curbelor de ordinul doi în jurul unei axe includ:
– sferă se formează prin rotirea unui cerc în jurul diametrului său (Fig. 44 O);
– elipsoid al revoluției se formează prin rotirea unei elipse în jurul unei axe majore sau minore (44 b, V);
– torus se formează prin rotirea unui cerc în jurul axei externe (Fig. 44 G);
 |  |  |
| O | b | V |
 |  |  |
| G | d | e |
| Orez. 44 Suprafețe de revoluție de ordinul doi |
– hiperboloid cu o singură foaie de revoluție se formează prin rotirea unei hiperbole în jurul axei sale imaginare. Această suprafață se formează și prin rotirea unei linii drepte (Fig. 44 e).
Canal și suprafețe ciclice
Canal este o suprafață formată dintr-un cadru continuu de secțiuni plane închise orientate într-un anumit fel în spațiu. Zonele acestor secțiuni pot rămâne constante sau se pot modifica monoton în timpul trecerii de la o secțiune la alta. În fig. 45 arată două imagini canal suprafete. În practica inginerească, cele mai răspândite sunt două metode de orientare a planurilor generatricei:
- paralel cu orice plan - suprafețele canalelor cu un plan de paralelism;
– perpendicular pe linia de ghidare – suprafețe de canal drepte.
Suprafața canalului poate fi folosit pentru a crea secțiuni de tranziție între două suprafețe, cum ar fi conductele având:
– forme diferite, dar aceeași zonă normală a secțiunii transversale;
– aceeași formă, dar zone de secțiune transversală diferite;
– forme diferite și zone de secțiune transversală diferite.
Suprafața ciclică poate fi considerat ca un caz special al unei suprafeţe de canal. Se formează folosind un cerc, al cărui centru se mișcă de-a lungul unui ghidaj curbat. În timpul mișcării, raza cercului se modifică monoton. Un exemplu de suprafață ciclică este prezentat în Fig. 46.
Suprafețe grafice
Suprafețe grafice sunt date de un set finit de linii de nivel care formează cadrul acestor suprafețe. Exemple de suprafețe grafice sunt prezentate în Fig. 48.
 |
| Orez. 48 Suprafeţe grafice |
Intersecția suprafeței și a planului
Linia de intersecție a unei suprafețe cu un plan este o linie numită secțiune. Punctele acestei curbe pot fi considerate ca puncte de intersecție ale liniilor de suprafață cu un plan sau drepte ale unui plan cu o suprafață.
Acest lucru duce la două opțiuni pentru construirea unei secțiuni:
1) selectați un număr finit de linii de pe suprafață și determinați punctele lor de intersecție cu planul;
2) selectați un număr finit de drepte pe plan și construiți punctele lor de intersecție cu suprafața.
Rețineți că o posibilă soluție este o combinație a acestor opțiuni. În orice caz, construirea unei secțiuni se reduce la aplicarea repetată a algoritmului de rezolvare a problemei intersecției unei linii cu o suprafață.
Construcția secțiunii este mult simplificată dacă planul ocupă o poziție proeminentă. Acest lucru se datorează faptului că planul proiectat este caracterizat de o proprietate de colectare. În acest caz, una dintre proiecțiile secțiunii se află pe urma planului, adică. cunoscut.
La intersecția suprafețelor fațetate cu planele se obțin poligoane (Fig. 49 O). Vârfurile lor sunt definite ca punctele de intersecție a muchiilor suprafețelor fațetate cu planul de tăiere. Planul de tăiere Σ este proiectat în față, prin urmare, toate liniile situate în acest plan vor coincide cu urma frontală Σ 2 a planului Σ. În consecință, proiecția frontală a secțiunii 1 2 2 2 3 2 este determinată de intersecția proiecțiilor frontale ale marginilor piramidei cu urma Σ(Σ 2). Găsim proiecțiile orizontale ale punctelor 1(1 1), 2(2 1) și 3(3 1) din condiția ca punctele să aparțină marginilor piramidei.
Orez. 49 Construcția dreptei de intersecție a unei suprafețe cu un plan
Să luăm în considerare construcția unei decupaje de sferă formată folosind patru plane secante proeminente (Fig. 51, O). Fiecare dintre ele intersectează sfera de-a lungul unei linii care face parte dintr-un cerc. In plus, GŞi R sunt planurile orizontale și, respectiv, de profil ale nivelului. Proiecțiile decupajului pe P 1 și P 3 va fi simetric.
 |  |
|
| O | b | |
 |  |
|
| V | G | |
Pe planuri de proiecție P 1 și P 3 ramuri decupate din avioane QŞi T vor fi proiectate ca părți ale elipselor. Puncte OŞi ÎN sunt capetele axelor acestor elipse.
Să marchem punctele de referință în planurile de nivel: 1, 2 și 4 puncte de capăt ale ramurilor decupate; 5 și 3 puncte de schimbare a vizibilității în avioane P 1 și P 3 respectiv.
Să construim proiecții ale punctelor de referință ale pieselor decupate din planurile de tăiere GŞi R pe planuri de proiecție P 1 și P 3 (Fig. 51, b).
Q. Punctele de control 6 schimbă vizibilitatea în P 1. Punctul de referință 7 punctul cel mai de jos (Fig. 51, V).
Să construim o ramură decupată din plan T. Punctele de control 8 schimbă vizibilitatea în P 3. Punctul de referință 9 punctul cel mai de jos (Fig. 51, G).
Contururile sferei și vizibilitatea liniei de tăiere în avioane P 1 și P 3 sunt determinate ținând cont de decupajul de trecere.
Interacțiunea suprafețelor între ele
Linia de intersecție a două suprafețe este, în general, o curbă spațială. Orice punct de pe această dreaptă aparține atât primei suprafețe, cât și celei de-a doua și poate fi determinat la intersecția liniilor trasate pe aceste suprafețe. Apoi avem următoarele opțiuni pentru a rezolva această problemă:
1) selectați un număr finit de linii pe una dintre suprafețe și construiți punctele lor de intersecție cu cealaltă suprafață;
2) selectați două familii de drepte pe suprafețe date și găsiți punctele lor de intersecție. În a doua opțiune, selecția perechilor de curbe care se intersectează se realizează folosind suprafețe auxiliare ale intermediarilor.
Planurile sau sferele sunt cel mai adesea folosite ca suprafețe media. În funcție de tipul de intermediari, se disting următoarele metode cel mai frecvent utilizate pentru construirea liniei de intersecție a două suprafețe:
a) metoda de tăiere a planelor;
b) metoda sferelor.
Metoda planurilor auxiliare de tăiere
Să luăm în considerare utilizarea planurilor de tăiere auxiliare folosind exemplul de construire a liniei de intersecție a unei sfere cu un con de rotație (Fig. 52).
Punctele caracteristice ale proiecțiilor liniei de intersecție a suprafețelor sunt punctele Α , Β Şi CU, D. Puncte Α , Β sunt la intersecția suprafețelor generatoare de contur, deoarece aceste generatoare sunt situate în același plan de tăiere F, trecând de-a lungul planului de simetrie al suprafețelor. Α Şi Β punctele cele mai înalte și cele mai de jos ale liniei de intersecție. Puncte CUŞi D sunt punctele de vizibilitate ale proiecției orizontale a liniei de intersecție. Construcțiile lor sunt realizate în următoarea secvență:
1) prin centrul sferei DESPRE se desenează un plan orizontal de nivel Θ;
2) se construiește o proiecție orizontală a unui cerc de rază R
Orez. 52 Aplicarea metodei planurilor auxiliare de tăiere
3) se construiește o proiecție orizontală a unui cerc de rază R 1 de-a lungul căruia planul Θ intersectează suprafața conică; același plan intersectează sfera de-a lungul ecuatorului (cerc de rază maximă);
4) se determină puncte C 1 , D 1 cerc cu raza de intersecție R 1 cu un contur al sferei;
5) se stabilesc proiecţiile frontale ale punctelor CU(CU 2), D(D 2) din condiţia ca acestea să aparţină planului Θ.
Pentru a construi punctele intermediare 1(1 1 ,1 2), 2(2 1 ,2 2), ..., 6(6 1 ,6 2) linii de intersecție ale suprafețelor date, folosim planele , și .
Conectăm punctele rezultate cu o linie curbă netedă. Vizibilitatea liniei de intersecție este determinată în fiecare plan de proiecție.
Apoi sunt instalate zone care sunt vizibile pentru ambele suprafețe în același timp. Astfel, în timpul proiecției, suprafața conică nu își acoperă punctele, ci sfera acoperă punctele situate sub conturul orizontal. Puncte CUŞi D, situat pe un contur orizontal, separă partea vizibilă a liniei de cea invizibilă. Partea invizibilă este afișată cu o linie întreruptă. Pe P 2, proiecția părții vizibile a liniei de intersecție coincide cu proiecția invizibilă, deoarece contururile frontale ale ambelor suprafețe sunt situate în planul de simetrie al suprafețelor.
Metoda sferei concentrice
Această metodă este utilizată pe scară largă în rezolvarea problemelor de construire a liniilor de intersecție a suprafețelor de revoluție cu axe care se intersectează. Această metodă se bazează pe următoarea proprietate a suprafețelor de revoluție: două suprafețe coaxiale de revoluție se intersectează de-a lungul cercurilor, al căror număr este egal cu numărul de puncte de intersecție ale semimeridianelor lor. Aceste cercuri se află în planuri perpendiculare pe axa suprafețelor de revoluție. Pentru o sferă, orice diametru poate fi luat ca axă de rotație. În consecință, o sferă centrată pe axa unei suprafețe de revoluție intersectează această suprafață de-a lungul unuia sau mai multor cercuri.
a b c
Orez. 53 Intersecția suprafețelor coaxiale de revoluție
Să luăm în considerare utilizarea sferelor concentrice auxiliare - sfere cu un centru constant. Această metodă este utilizată atunci când sunt îndeplinite următoarele condiții:
a) suprafețele care se intersectează trebuie să fie suprafețe de revoluție;
b) axele acestor suprafeţe trebuie să se intersecteze; punctul de intersecție a acestora este luat drept centru al sferelor auxiliare;
c) planul de simetrie al suprafetelor trebuie sa fie paralel cu orice plan de proiectie (in caz contrar se foloseste o transformare de desen).
Să luăm în considerare construcția liniei de intersecție a suprafețelor conice de revoluție (Fig. 54). Suprafețele și amplasarea acestora îndeplinesc condițiile de mai sus.
Înainte de a construi puncte intermediare, este necesar să găsiți punctele de referință ale liniei de intersecție. Puncte O, ÎN, KŞi L, și de asemenea E, F, CUŞi D– acestea sunt puncte aparținând contururilor suprafețelor. Ele pot fi găsite prin metoda sferelor concentrice sau folosind planurile mediatorilor Σ(Σ 2) și Δ(Δ 1).
Să luăm acum în considerare construcția punctelor intermediare folosind exemplul punctelor 5 și 6. Efectuăm construcțiile pe planul frontal al proiecțiilor. Mediator sferă Θ(Θ 2) cu centrul în punct DESPRE(DESPRE 2) intersectează suprafețe conice de-a lungul cercurilor care sunt pe P 2 sunt proiectate pe segmente 
Şi 
(proiecțiile celorlalte două cercuri nu sunt afișate). Punctele 5 2 = 6 2 intersecțiile lor sunt proiecții frontale ale punctelor 5 și 6, care aparțin liniei de intersecție a suprafețelor, deoarece aparțin fiecăreia dintre aceste suprafețe.
Raza sferei maxime este egală cu distanța de la punctul de intersecție al axelor suprafețelor până la cel mai îndepărtat punct de intersecție al generatricelor de contur ale acestor suprafețe. În Fig. 54 există o sferă R max =[ O 2 L 2 ].
Pentru a stabili vizibilitatea proiecțiilor liniei de intersecție, analizăm locația punctelor în raport cu contururile suprafețelor. Da, relativ P 1, secțiunea curbei situată deasupra conturului suprafeței conice orizontale va fi vizibilă (a doua suprafață este vizibilă pe P 1 nu are efect). Proiecția orizontală a părții invizibile a liniei este afișată printr-o linie întreruptă.
Puncte O, ÎNŞi K, L aparțin contururilor frontale ale suprafețelor și separă partea vizibilă a liniei de intersecție de cea invizibilă atunci când este proiectată pe P 2. Proiecțiile frontale ale părților vizibile și invizibile ale liniei de intersecție din Fig. 54 meci.
Sarcina practică nr. 5. Desenați două suprafețe care se intersectează. Determinați linia de intersecție a acestora folosind metoda planurilor auxiliare (format A4).
Lucrarea se efectuează în următoarea secvență (Fig. 55):
1) determinați punctele de intersecție ale contururilor unei suprafețe cu alta;
2) determinați punctele cel mai înalt și cel mai jos al liniei de intersecție;
3) determinați punctele intermediare ale dreptei de intersecție folosind planuri auxiliare;
4) toate punctele de intersecție găsite sunt conectate succesiv printr-o linie curbă, ținând cont de vizibilitatea lor.
Atunci când alegeți planuri de tăiere auxiliare, este necesar să rețineți că acestea trebuie să intersecteze ambele suprafețe în același timp și să ofere cele mai simple figuri în secțiune. Pentru toate variantele de sarcini, planurile de nivel pot fi selectate ca planuri de tăiere auxiliare: pentru unele - orizontale, pentru altele - verticale sau ambele. Punctele de intersecție ale suprafețelor sunt punctele de intersecție ale contururilor figurilor în secțiune transversală ale suprafețelor situate în același plan de tăiere auxiliar. Fiecare plan de tăiere poate defini de la unul la patru puncte ale liniei de intersecție, în funcție de natura suprafețelor care se intersectează, de locația lor una față de cealaltă și de poziția planului de tăiere în sine.
Subiectul 5
IMAGINI: VEDERI, SECȚIUNI, SECȚIUNI
Desenele sunt realizate în strictă conformitate cu regulile de proiecție în conformitate cu cerințele și convențiile stabilite.
Cerințe pentru desen: reversibilitate, acuratețe, claritate, simplitate.
Desenul se numește reversibil, dacă din imaginea unei figuri se poate reconstrui forma, mărimea și poziția acesteia în spațiu. Desenul trebuie să fie vizualși oferă o idee clară despre subiectul descris. Desenul trebuie să fie simplu pentru execuție grafică.
Cerințele generale pentru conținutul desenului sunt stabilite de GOST 2.109-73.
Când faceți desene în formular electronic este necesar să fie ghidat de GOST 2.051-2006, GOST 2.052-2006, GOST 2.053-2006.
Regulile de executare a imaginilor în desene sunt stabilite de GOST 2.305-2008.
La executarea documentelor grafice sub formă de modele electronice, vizualizările salvate trebuie folosite pentru a obține imaginile corespunzătoare.
Imaginea din planul frontal al proiecțiilor este luată ca principală în desen. Imaginea principală ales în așa fel încât să ofere cea mai completă imagine a formei și dimensiunii obiectului.
O imagine este orice desen. În funcție de conținut, imaginile sunt împărțite în tipuri, secțiuni și secțiuni.
Specie
O vedere este o imagine a părții vizibile a suprafeței unui obiect îndreptată spre observator. Pentru a reduce numărul de imagini, este permisă afișarea suprafețelor invizibile ale unui obiect cu linii întrerupte în vederi (vezi Fig. 56).
Tipurile sunt împărțite în de bază, suplimentare și locale.
Principal sunt numite vederi situate pe oricare dintre cele șase planuri principale menținând în același timp relația de proiecție dintre ele. Vedere frontală - vedere principală; vedere de sus - sub vedere frontală; vedere din stânga - la dreapta celui principal; vedere la dreapta - la stânga celui principal; vedere de jos - deasupra vederii principale; vedere din spate - în dreapta vederii din stânga sau în stânga vederii din dreapta (vezi Fig. 56). Numele tipurilor nu sunt scrise pe desen.
Dacă orice vedere se află în afara conexiunii de proiecție cu imaginea principală sau este separată de aceasta de alte imagini, atunci o săgeată indică direcția de proiecție. O literă chirilică mare este indicată deasupra săgeții. Aceeași literă denotă vederea construită (Fig. 57).
Esența metodei este că un nou plan de proiecție este introdus în desen în așa fel încât obiectul să ocupe o anumită poziție în raport cu acesta.
Să luăm în considerare aplicarea acestei metode la rezolvarea a patru probleme principale de transformare.
Prima sarcină: linia generală
poziţia este convertită într-o linie dreaptă de nivel (Fig. 5.1).
Pentru a transforma o dreaptă de poziție generală AB într-o dreaptă de nivel, este necesar să introduceți un nou plan de proiecție paralel cu AB, adică să desenați unul nou în desen. axa de coordonate paralel cu A 1 B 1 sau A 2 B 2. În cazul în cauză, axa de coordonate P 1 este paralelă cu A 1 B 1, introducând astfel un nou plan de proiecție frontală. Pentru a construi o proiecție a unui segment pe acest plan, este necesar să se traseze linii de comunicație de la A 1 și B 1 perpendiculare pe axa de coordonate P 1 / P 4.
Deoarece înălțimea dreptei în spațiu nu s-a schimbat, atunci din axa P 1 / P 4 pe liniile de comunicație corespunzătoare trasăm înălțimea punctelor A și B, obținem A 4 și B 4. Proiecțiile dreptei A 1 B 1 și A 4 B 4 dau poziția dreptei AB, paralelă cu noul plan frontal
oase de proiecție. Proiecția A 4 B 4 – dimensiunea naturală a segmentului AB. Unghiul dintre dimensiunea naturală directă și proiecția orizontală este unghiul de înclinare AB față de planul orizontal al proiecțiilor P 1. Dacă este necesar să se determine unghiul de înclinare a dreptei AB față de planul frontal al proiecțiilor, atunci axa de coordonate P 2 / P 5 trebuie trasată paralelă cu A 2 B 2 și A y și B y trebuie lăsate deoparte. pe liniile de comunicaţie din această axă.
Unghiul dintre dimensiunea naturală și proiecția frontală este unghiul (β) de înclinare a dreptei AB către P 2.
Adesea, pentru a determina dimensiunea naturală a unui segment și unghiurile de înclinare ale unei linii drepte față de planurile de proiecție, folosesc metoda triunghi dreptunghic, care este o consecință a rezolvării primei probleme de transformare (Fig. 5.2).
Valoarea naturală a unui segment este ipotenuza unui triunghi dreptunghic, a cărui latură este proiecția segmentului însuși, cealaltă latură în mărime este diferența de coordonate ale capetelor segmentului, luate pe alt plan de proiecție.
A doua sarcină: linia dreaptă de nivel este transformată într-o linie dreaptă proeminentă (Fig. 5.3).
Pentru a rezolva această problemă, este necesar să desenați un nou plan de proiecție perpendicular pe dimensiunea naturală a dreptei A 1 B 1. Proiecțiile A 1 B 1 și A 4 B 4 dau poziția dreptei AB, perpendiculară pe noul plan frontal al proiecțiilor P 4.
A treia și a patra problemă: planul de poziție generală este transformat într-un plan de proiectare, iar planul de proiectare într-un plan de nivel.
Soluția la aceste două probleme este prezentată în Fig. 5.4. Să fie dat un plan generic - definit de triunghiul ABC. Pentru a-l converti într-unul proiectant, trebuie să introduceți un nou plan de proiecție perpendicular pe triunghiul ABC, dar într-un desen complex acest lucru este posibil dacă desenați planul de proiecție perpendicular pe liniile de nivel sau urmele planului.
În acest scop, trasăm o linie orizontală în planul triunghiului ABC. Perpendicular pe h 1 desenăm axa de coordonate (P 1 / P 2). Linia de nivel h a fost transformată într-o linie de proiectare directă h(h 1 h 4). Din proiecția vârfurilor triunghiului A 1, B 1, C 1, trasăm linii de comunicare și din (P 1 / P 4) trasăm coordonatele corespunzătoare A 2, B 2, C 2. Proiecția triunghiului A 4 , B 4 , C 4 este o dreaptă.
Astfel, planul general este transformat într-un plan proiectant. Unghiul dintre proiecția triunghiului A 4 B 4 C 4 și axa de coordonate este unghiul de înclinare al planului către P 1.
DISPOZIȚII GENERALE
METODE DE CONVERSIE A UNUI DESEN COMPLEX
Cursul 4
Rezolvarea unui număr de probleme din geometria descriptivă este mult simplificată atunci când figurile geometrice ocupă o anumită poziție față de planurile de proiecție. Probleme privind determinarea pozițiilor relative ale figurilor și probleme metrice (determinarea valorilor naturale ale planurilor, segmentelor etc.). Pentru asta există diverse moduri transformarea unui desen complex. Fiecare dintre ele se bazează pe unul dintre următoarele principii:
1. la schimbarea poziţiei planurilor de proiecţie faţă de cele fixe forme geometrice;
2. la schimbarea poziţiei figurilor geometrice date în raport cu planurile fixe de proiecţie;
Să ne uităm la unele dintre ele.
Esența metodei este că figurile geometrice date sunt nemișcate într-un sistem dat de planuri de proiecție ( P 1 , P 2). Noi planuri de proiecție sunt introduse secvenţial ( P 4, P 5), față de care figurile geometrice vor lua o anumită poziție. Noul plan de proiecție este selectat astfel încât să fie perpendicular pe planul de proiecție neînlocuit.
Majoritatea problemelor sunt rezolvate folosind una sau două transformări succesive ale sistemului original de planuri de proiecție. Numai un singur plan de proiecție poate fi înlocuit la un moment dat P 1(sau P 2), un alt avion P 2(sau P 1) trebuie să rămână neschimbate.
Figura 1 prezintă o reprezentare vizuală a metodei de înlocuire a planurilor de proiecție. Plan frontal P 2înlocuit cu un nou plan frontal P 4. Noi proiecții de puncte O (A 1 A 4), în timp ce, după cum se poate observa din figură, înălțimea punctului A a rămas aceeași.
Este necesar să ne amintim regula pentru construirea de noi proiecții de puncte folosind metoda de înlocuire:
- liniile de legătură sunt întotdeauna perpendiculare pe noile axe de proiecție;
- distanța de la noua axă de proiecție la noua proiecție a punctului este întotdeauna luată din planul care este înlocuit.
Figura 1. Reprezentare vizuală a metodei de înlocuire a planurilor de proiecție.
Figura 2.Imaginea metodei de înlocuire a planurilor de proiecție pe diagramă.
Cele mai multe probleme din geometria descriptivă sunt rezolvate pe baza a patru probleme:
- Convertiți o linie de poziție generală într-o linie de nivel;
- Convertiți o linie generală într-o linie proiectantă;
- Convertiți planul general într-un plan de proiecție;
- Convertiți un plan de poziție generală într-un plan de nivel.
Sarcina nr. 1
Să luăm în considerare soluția sarcina nr. 1 . Dată o linie dreaptă AB– poziție generală, o transformăm într-o linie dreaptă de nivel (Fig. 3). Pentru a face acest lucru, introducem un nou plan de proiecție frontală P 4, axa X 1,4 alerga in paralel A 1 B 1 AB – A 4 B 4.În noul sistem de planuri de proiecție, linia dreaptă AB– frontală.
Figura 3.
Transformarea unei linii drepte de poziție generală într-o linie dreaptă de nivel (frontal)
Sarcina nr. 2
Dată o linie dreaptă AB– poziție generală, o transformăm într-o linie dreaptă proeminentă (Fig. 4). Pentru a rezolva această problemă, este necesar să efectuați două transformări în succesiune:
- Transformați o linie dreaptă de poziție generală într-o linie dreaptă de nivel, adică rezolvați mai întâi problema nr. 1;
- Convertiți linia de nivel într-o linie de proiecție.
Desenați starea problemei nr. 1, rezolvați-o singur, apoi continuați să efectuați a doua transformare. Introducerea unui nou plan de proiecție orizontal P 5 X 4, 5 perpendicular pe proiectie A 4 B 4și construiți o nouă proiecție a liniei A 5 B 5.În sistemul avioanelor P 4, P 5, Drept AB este o linie care se proiectează orizontal.
Pe baza sarcinilor nr. 1 și nr. 2 se rezolvă următoarele sarcini:
1. determinarea distantei de la un punct la o dreapta;
2. determinarea distanței dintre liniile paralele și cele de traversare;
3. determinarea valorii naturale a unei drepte;
4. determinarea unghiului diedric.
Figura 4.
Transformarea unei linii generale într-o linie proiectantă.
Sarcina nr. 3.
Dat un avion ABC– poziție generală, o transformăm în plan proeminent (Fig. 5). Pentru a rezolva această problemă, este necesar să trasați o linie de nivel în plan, dacă nu există. Desenăm noua axă de proiecție perpendiculară pe linia de nivel. Într-un triunghi ABC desenează orizontal h. Axa de proiecție X 14 desenează perpendicular h 1, proiecția unui nou avion A 4 B 4 C 4, construim conform regulilor discutate în problemele anterioare.
În sistemul planurilor de proiecţie P 1, P 4, planul triunghiului este planul care se proiectează în față.
Figura 5.
Transformarea unui plan generic într-un plan de proiecție.
Sarcina nr. 4.
Figura 6.
Conversia unui plan de poziție generală într-un plan de nivel.
Dat un avion ABC– poziție generală, transformați-o într-un plan de nivel (Fig. 6). Pentru a rezolva această problemă, este necesar să efectuați două transformări în succesiune:
- Transformați planul de poziție generală într-un plan proeminent, adică rezolvați mai întâi problema nr. 3;
- Convertiți planul de proiecție într-un plan de nivel.
Desenați starea problemei nr. 3, rezolvați-o singur, apoi procedați la a doua transformare. Introducerea unui nou plan de proiecție orizontal P 5, pentru aceasta desenăm o nouă axă de proiecție X 4, 5 paralel cu proiecția A 4 B 4 C 4și construiți o nouă proiecție a triunghiului A 5 B 5 C 5.În sistemul avioanelor P 4, P 5, triunghi ABC este planul orizontal al nivelului.
Pe baza sarcinilor nr. 3 și nr. 4 se rezolvă următoarele sarcini:
1. determinarea distantei de la un punct la un plan;
2. determinarea distantei dintre plane paralele;
3. determinarea cantităților naturale (adevărate) de figuri geometrice;
determinarea unghiurilor de înclinare ale planului faţă de planurile de proiecţie
Metoda deplasării plan-paralel
Toate problemele de mai sus pot fi rezolvate folosind metoda mișcării plan-paralel, în care planurile de proiecție rămân pe loc, iar proiecția figurii se mișcă (Fig. 7).
Figura 7. Determinarea mărimii naturale a unui segment prin metoda mișcării plan-paralel.
Dată o linie dreaptă AB– poziție generală, o transformăm într-o linie dreaptă de nivel (Fig. 7). Pentru a face acest lucru, mutăm proiecția A 1 B 1 paralel cu axa X. Construirea unei noi proiecții în linie dreaptă AB – A 2 ` B 2 ` , care va fi - dimensiunea naturală a segmentului. Această metodă este utilizată pentru a determina valorile naturale ale marginilor poliedrelor la construirea unei dezvoltări.
Metoda de rotație
Un caz special de mișcare plan-paralelă este metoda de rotație în jurul liniilor de proiectare și liniilor de nivel.
Esența metodei este că poziția figurii reprezentate în spațiu rămâne neschimbată, iar sistemul original de planuri de proiecție, în raport cu care este dată figura, este înlocuit cu unul nou.
Atunci când alegeți un nou plan de proiecție, trebuie urmat principiul de bază al proiecției ortogonale (metoda lui Monge) - perpendicularitatea reciprocă a planurilor de proiecție, adică. noul plan de proiecție trebuie poziționat perpendicular pe unul dintre principalele planuri de proiecție originale.
Să fie dat un sistem de planuri de proiecție P 1Şi P 2(în continuare îl vom prescurta ca ). Să proiectăm un punct O pe aceste planuri și găsiți-i proiecțiile A 2Şi A 1(Fig. 9.5).
Să presupunem că atunci când rezolvăm o problemă am considerat oportun să înlocuim avionul P 2 alt plan frontal P 4, perpendicular pe plan P 1. Linia de intersecție a planurilor de proiecție P 1Şi P 4 se numește noua axă de proiecție și se notează X 1. Să construim proiecții ortogonale ale punctului Oîn sistem. De când, avionul P 1 rămâne aceeași, apoi proiecția punctului O pe acest plan nu își va schimba poziția.
Pentru a obține o nouă proiecție frontală a unui punct pe un nou plan P 4 scade perpendiculara din O spre avion P 4. Baza A 4 această perpendiculară determină proiecția frontală dorită a punctului O.
Să stabilim ce legătură există între proiecții A(A 1, A 2)Şi A(A 1 A 4) același punct în ambele sisteme.
Au o proiecție orizontală comună și de la distanța punctului O din avion P 1 nu s-a schimbat atunci /AA 1 /=/A 2 A x /=/A 4 A x1 ¹ /, adică distanța noii proiecții frontale față de noua axă este egală cu distanța proiecției înlocuite față de axa anterioară.
Pentru a merge la diagramă, să rotim planul P 4în jurul axei X 1și compatibil cu avionul P 1. Apoi noua proiecție frontală A 4 se aliniază cu planul P 1 si in acelasi timp va fi pe aceeasi perpendiculara pe axa x 1 cu proiecție A 1.
În fig. În figura 9.6 sunt prezentate construcțiile care trebuie realizate pe diagramă pentru a (A 1, A 2) puncte Oîn sistem mergi la proiecții A 1 A 4)în același punct din sistem, este necesar: să desenați o nouă axă de proiecții X 1, care determină poziția planului orizontal de proiecție P 4, apoi din proiecția orizontală a punctului A 1 X 1. Pe perpendiculara construită, așezați (din noua axă) un segment A x A 4 = A x A 2. Punctul astfel obtinut A 4 este proiecția punctului O spre avion P 4.
Înlocuirea planului orizontal P 1 avion nou P 4și construirea de noi proiecții punctuale Oîn sistem se desfășoară în mod similar cu cazul luat în considerare, cu singura diferență că acum proiecția frontală a punctului rămâne neschimbată, și pentru a găsi o nouă proiecție orizontală A 4 puncte O necesar din proiecţia frontală a punctului A 2 coborâți perpendiculara pe noua axă X 1și așezați-l pe el din punctul de intersecție cu axa X 1 segment A 4 A x¹, egală cu distanța dintre vechea proiecție orizontală față de vechea axă A 1 A x(Fig. 9.7).
Exemplele luate în considerare ne permit să stabilim următoarea regulă generală: pentru a construi o proiecție a unui punct într-un nou sistem de planuri de proiecție, este necesar de la proiecția neschimbată a punctului să coboare o perpendiculară pe noua axă a proiecțiilor și pune pe ea de la noua axă la noua proiecție o distanță egală cu distanța de la proiecția înlocuită la axa anterioară.
Adesea, pentru a aduce o figură dreaptă, plată sau o formă spațială în poziția specială necesară pentru a rezolva o problemă, este necesară înlocuirea ambelor planuri de proiecție. Tranziția de la un sistem plan dat V/H la unul nou V1/H1 poate fi efectuată conform uneia dintre următoarele scheme:
V/H → V 1 /H → V 1 /H 1 sau V/H → V/H 1 → V 1 /H 1.
În figura 12 este dat punctul Oîn sistem V/H. Apoi s-a făcut trecerea de la sistem V/H la sistem V1/H1: este desenată o nouă axă de proiecție X 1, nouă proiecție găsită a" 1 puncte O. Următorul sistem V1/Hînlocuit cu un nou sistem de planuri de proiecție V 1 /H 1 -în locul planului de proiecție orizontal, a fost introdus un nou plan N 1.
Figura 12
Poziția noilor axe de proiecție este selectată în conformitate cu condițiile specifice ale problemei.
Să ne uităm la exemple.
Exemplul 6. Determinați forma adevărată a unui triunghi ABC(Figura 13).
Figura 13
Triunghiul va fi proiectat la dimensiunea maximă pe orice plan de proiecție dacă se dovedește a fi paralel cu acest plan. Pentru ca triunghiul ABC s-a dovedit a fi paralel cu unul dintre planurile de proiecție, este necesar să se efectueze o dublă înlocuire a planurilor.
Mai întâi înlocuim avionul V spre avion V 1 . Avion V 1 alege perpendicular pe planul triunghiului ABC- noua axa de proiectie x 1 trebuie să fie perpendiculară pe proiecția orizontală a orizontalei h. Pe noul plan de proiecție frontală, triunghiul este proiectat sub forma unei linii drepte c’ 1 a’ 1 b’ 1 . Apoi introducem un nou plan de proiecție H 1 paralel cu planul triunghiului.
Proiecție orizontală a 1 b 1 c 1 triunghi ABCîn noul sistem - adevărata sa valoare.
Exemplu 7 . Având în vedere o piramidă S ABC(Figura 14). Determinați valoarea unghiului diedrului la margine AB.
Problema se rezumă la construirea unei proiecții unghi dat pe un plan de proiecție perpendicular pe marginea acestuia.
Figura 14
De la margine AB- o linie dreaptă în poziţie generală, atunci este necesar să se facă două înlocuiri succesive de planuri de proiecţie. Avion Vînlocuiți cu un avion V 1, paralel cu segmentul AB.
Găsirea unei noi proiecții frontale s’ 1 a’ 1 b’ 1 c’ 1 piramide SABC pe noul plan de proiecție frontală. Apoi din sistem V1/H să trecem la sistem V1/H1. Avion H 1 poziționați-l perpendicular pe segment AB. Spre avion H 1 margine AB proiectat la un punct, iar marginile SАВŞi TAXI -în linii drepte. Colţ s 1 a 1 c 1 va fi ceea ce cauți.
Exemplu8 . Dată o piramidă SABC(Figura 15). Determinați cea mai scurtă distanță dintre margini SAŞi Soare.
Figura 15
Direct SAși BC se încrucișează. În consecință, problema se rezumă la determinarea celei mai scurte distanțe între două linii oblice. Pentru a rezolva problema, este necesar să înlocuiți planurile de proiecție în așa fel încât în noul sistem una dintre liniile drepte, de exemplu Soare(Figura 16), sa dovedit a fi perpendicular pe orice plan de proiecție. Înlocuirea planurilor de proiecție se efectuează conform schemei V/H → V/H 1 → V 1 /H 1.
În consecință, rezolvarea problemelor folosind metode de transformare se reduce la realizarea a patru etape principale:
1) transformarea unei drepte de poziție generală într-o dreaptă de nivel (determinarea unghiurilor de înclinare a dreptei față de planurile de proiecție și dimensiunea naturală a segmentelor);
2. conversia dreptei de nivel într-o dreaptă proeminentă (determinarea valorii unghiului diedric, a distanței dintre drepte);
3. transformarea unui plan de poziție generală într-un plan de proiecție (determinarea unghiurilor de înclinare ale planului față de planurile de proiecție, distanța de la un punct la plan);
4. transformarea planului de proiectare în plan de nivel (se determină dimensiunea naturală a planului).
Figura 16
În sistem V1H1 Drept Soare(vezi Figura 15) este proiectat la un punct. Segment k’ 1 l’ 1 - cea mai scurtă distanță între coaste CAŞi Soare. Pentru a construi proiecții ale celei mai scurte distanțe din sistem V/H găsiți un punct de-a lungul liniei de comunicație l 1 si executa l 1 k 1 paralel cu axa de proiecție X 2 , după care, folosind linii de comunicare, găsim proiecțiile principale klŞi k'l'.
METODE DE ROTARE
Esența metodelor de rotație este că un dat formă geometrică rotindu-se în jurul unei anumite axe, se deplasează în spațiu până când ia o anumită poziție în raport cu un sistem constant de planuri de proiecție.
În funcție de poziția axei de rotație față de planurile de proiecție, se disting următoarele metode de rotație:
a) rotatie in jurul axelor perpendiculare pe planurile de proiectie;
b) la fel fara a indica pozitia axelor de rotatie;
c) rotatie in jurul orizontalei sau frontalei;
d) rotirea în jurul uneia dintre urmele planului (aliniament).
Figura 17 Figura 18
Diagrama (Figura 17) arată un punct Oși axa de rotație Z, perpendicular pe planul de proiecție H. Când se rotește în jurul unei axe Z punct O se va deplasa de-a lungul unui cerc situat într-un plan perpendicular pe axa de rotație (paralel cu planul de proiecție H). Dacă punctul O muta din pozitie O a poziționa A 1 adică rotiți-l în jurul axei sale Z, la un anumit unghi α, apoi proiecția sa orizontală ( O) va lua poziția a 1, descriind un arc de rază za (za - raza de rotație) și proiecția frontală ( O") punctele se vor deplasa în linie dreaptă a'a' 1, axa paralela X.
Dacă axa de rotaţie Z(Figura 18) perpendicular pe planul de proiecție V, apoi la rotirea punctului ÎNîn jurul acestei axe, proiecția frontală a traiectoriei mișcării sale va fi un cerc, iar cea orizontală va fi o linie dreaptă paralelă cu axa X.
Să ne uităm la un exemplu.
Exemplul 9. Combinați punctul O cu avionul R prin rotirea lui în jurul unei axe date Z(Figura 19).
Figura 19
Când se rotește în jurul unei axe Z, punct O descrie un cerc într-un plan Q, perpendicular pe această axă. Avion Q va intersecta un plan dat R orizontal NF. Evident, punct O va fi în avion R apoi când cercul descris de punct O, va traversa orizontala NF. Problema, după cum se vede din desen, are două soluții.
Pentru a roti o linie dreaptă AB(Figura 20) cu un anumit unghi α, este suficient să rotiți două puncte care îi aparțin cu un unghi dat. Din desen se poate observa că triunghiurile abzŞi a 1 b 1 z 1 sunt egale între ele (pe două laturi și unghiul dintre ele), iar din egalitatea lor rezultă că ab = a 1 b 1 , adică mărimea proiecției orizontale a unui segment atunci când îl rotește în jurul unei axe perpendiculare pe N, nu se modifică, se modifică doar poziția sa față de axa proiecțiilor. Această împrejurare ne permite să simplificăm construcția atunci când rezolvăm exemplul dat
Figura 20 Figura 21
În figura 21, pentru întoarcerea unei linii drepte ABîn jurul axei Z prin unghiul α de la z, perpendiculara este coborâtă la ab. Apoi punct Cu rotit cu un unghi dat α, printr-un punct c 1 se trasează o linie dreaptă perpendiculară pe rază c 1 z, iar segmentele sunt puse deoparte c 1 a 1 =caŞi c 1 b 1 =cb.
Rotirea planului în jurul unei axe perpendiculare pe planul de proiecție se realizează prin rotirea prin același unghi în aceeași direcție a punctelor și liniilor care definesc planul.
În figura 22, planul definit de triunghi ABC, rotit în jurul unei axe Z. pe o poziție perpendiculară pe planul frontal al proiecțiilor (proiecția orizontală a orizontalei A1 a luat o pozitie perpendiculara pe axa X).
Figura 22
Dacă planul este dat de urme, atunci pentru a roti planul cu un anumit unghi este necesar să se rotească una dintre urmele sale și orizontală sau frontală a acestui plan cu un unghi dat (Figura 23).
Figura 23
Astfel, atunci când orice formă spațială se rotește în jurul unei axe perpendiculare pe unul dintre planurile de proiecție, proiecția sa pe acest plan nu se va schimba în mărime. Numai poziția acestei proiecții în raport cu axa proiecțiilor se va schimba. Folosind aceasta, pentru a rezolva o anumită problemă, puteți utiliza metoda de rotație fără a reprezenta axele de rotație în desen.
