Metoda volumului finit pe o grilă neregulată. Metoda volumului finit

Rezolvarea numerică a problemelor de fizică matematică este una dintre principalele metode de studiere a fenomenelor reale. Utilizarea combinată a experimentelor computaționale și fizice în analiza oricărui fenomen permite, pe de o parte, reducerea numărului de măsurători experimentale costisitoare și, pe de altă parte, verificarea și îmbunătățirea modelelor matematice.

Pe măsură ce viteza sistemelor de calcul crește, se impun noi cerințe privind metodele numerice pentru rezolvarea problemelor de fizică matematică. Dezvoltarea și îmbunătățirea metodelor moderne de discretizare a legilor de conservare, care oferă capacitatea de a simula clase de probleme din ce în ce mai noi și de a obține rezultate semnificativ mai bune la rezolvarea celor cunoscute, este un domeniu important de cercetare.

Algoritmii de calcul moderni ar trebui să ofere cea mai precisă descriere a zonelor cu geometrie complexă. Acest lucru este posibil folosind ochiuri non-ortogonale și nestructurate. În comparație cu ochiurile arbitrare neortogonale, pentru ochiurile simple nestructurate (triangularea în cazul bidimensional și împărțirea în tetraedre în cazul tridimensional), condensările locale sunt mai ușor de implementat (de exemplu, în spatele unui pas din spate, într-o zonă). de îngustare bruscă, în vecinătatea punctului de atașare), precum și, dacă este necesar, adaptarea grilei de calcul în funcție de comportamentul soluției. Astfel, chiar și la discretizarea legilor de conservare în domenii simple din punct de vedere geometric care pot fi reprezentate cu acuratețe printr-o colecție de elemente dreptunghiulare, ochiurile simple nestructurate au o serie de avantaje. În ciuda avantajelor evidente ale grilelor nestructurate pentru aproximarea regiunilor arbitrare și a posibilității de a construi automat partiții simple, practic nu au fost utilizate în dinamica fluidelor computaționale și abia în ultimii 15 ani au devenit din ce în ce mai populare. Potrivit mărturiei lui B. Stoufflett și colab., motivul pentru aceasta este creșterea bruscă a timpului de calcul atunci când se trece la abordări nestructurate. Faptul este că poziția elementelor non-nule în matricele analogilor discreti depinde de contiguitatea nodurilor grilei și în mod arbitrar, matricele sunt stocate folosind formate universale și structuri de date. Operațiile de înmulțire a unei matrice rare cu un vector și de factorizare incompletă devin mult mai „costisitoare”. În același timp, sistemele de ecuații computaționale ale dinamicii fluidelor sunt sisteme de ecuații neliniare interconectate, ale căror scheme implicite de soluții au o natură iterativă pe mai multe niveluri, astfel încât la fiecare dintre iterațiile „globale” este necesară rezolvarea mai multor sisteme de ecuații algebrice liniare. Odată cu apariția sistemelor de calcul puternice, precum și datorită dezvoltării metodelor adaptive și multigrid, a devenit posibilă utilizarea grilelor nestructurate și a schemelor de discretizare spațială corespunzătoare pentru modelarea proceselor hidro-gazdinamice.

Cea mai comună metodă de discretizare în cazul nestructurat este metoda elementelor finite (FEM). Să remarcăm astfel de avantaje ale metodei, cum ar fi păstrarea naturii simetrice a părții auto-adjuncte a operatorilor diferențiali în analogii lor discreti (acest lucru se realizează printr-o alegere specială a spațiului funcțiilor de testare care coincide cu spațiul funcțiilor de încercare) , posibilitatea de a crește acuratețea aproximării prin creșterea gradului de interpolare a polinoamelor reprezentării soluției locale (așa-numitele versiuni p și h-p ale FEM, ), luarea în considerare naturală a condițiilor la limită de al doilea și al treilea fel. Metoda elementelor finite are o bază tehnologică stabilită, în special

Metode de aproximare a produselor interne sub ipoteza unei reprezentări polinomiale pe bucăți a soluției și a parametrilor unei probleme cu valori la limită, și anume: utilizarea expansiunii de bază a spațiului de elemente finite corespunzător, clase de formule integrale care permit integrarea precisă a produselor arbitrare ale funcții de bază peste elemente de partiție și margini (fețe) ale elementelor,

Aparat de interpolare standard.

Tehnologiile metodei fac posibilă construirea simplă și uniformă de analogi discreti ai problemelor inițiale cu valori la limită, cu diferite tipuri de condiții la limită sub ipoteza unui anumit grad de netezime a soluției și a comportamentului polinomial pe bucăți a coeficienților ecuațiilor și condiţii la limită , .

Într-o serie de aplicații, cum ar fi modelarea fluxurilor de gaz supersonice și transonice și calculele folosind modele de apă de mică adâncime, conservatorismul local al schemelor utilizate pentru discretizarea legilor de conservare este foarte important. Metoda elementelor finite nu permite urmărirea cu acuratețe satisfăcătoare a caracteristicilor soluțiilor discontinue emergente, iar abordarea tradițională pentru rezolvarea unor astfel de probleme este metoda volumului finit. La discretizarea unui sistem de legi de conservare prin metoda volumului finit, domeniul de calcul este aproximat printr-un set de volume finite deschise, apoi cercetătorul face un „pas înapoi”, trecând la forma integrală a sistemului original de ecuații; folosind formula Ostrogradsky-Gauss, se trece de la integrarea peste volum la integrala peste graniță, astfel încât metoda de aproximare a fluxurilor prin fețele volumelor finite determină complet schema de calcul. Potrivit monografiei lui S. Patankar, "pentru majoritatea cercetătorilor care lucrează în domeniul hidrodinamicii și al transferului de căldură, metoda elementelor finite pare încă învăluită în mister. Formularea variațională și chiar metoda Galerkin nu se pretează la o simplă interpretare fizică." În același timp, schemele de volum finit au o anumită semnificație fizică a echilibrului fluxurilor și a termenilor sursă în fiecare dintre volumele finite care aproximează domeniul de calcul, ceea ce face ca metoda volumului finit să fie mai atractivă. „Simplitatea” MKO este unul dintre motivele lipsei unei baze tehnologice generale pentru metodă.

Așadar, avantajele versiunii clasice a MKO (metoda volum finit/diferență finită, FVDM) includ conservatorismul local al schemelor discrete, o mai mare simplitate și claritate și posibilitatea de a lua în considerare în mod natural condițiile la limită de al doilea fel. În plus, în cazul rezolvării problemelor cu predominanța convecției, implementarea schemelor de contracurgere este simplificată, deoarece fluxurile prin fețele volumelor finite sunt atât cantități analizate, cât și aproximate.

Încercările de sistematizare a aproximărilor cu volume finite au condus la o combinație parțială a tehnologiilor FEM și principiul integrării peste volume finite; cele mai vechi dintre ele se întorc la lucrările lui B. R. Baliga, K. Prakash și S. Patankar și sunt cunoscute ca metode CVFEM (metode ale elementelor finite bazate pe volum de control), denumite în continuare metode cu volum finit/element fini (FVM/ FE). Autorii metodei și-au urmărit scopul de a construi scheme conservatoare ale metodei volumului finit, folosind unul dintre principalele avantaje ale FEM - capacitatea de a aproxima geometrii complexe folosind ochiuri nestructurate. Funcțiile de profil din această clasă de metode sunt „de natură auxiliară” nu se subliniază apartenența soluției la spații cu elemente finite. Seturile baricentrice sunt folosite ca o partiție dublă.

Pentru prima dată, problema lipsei principiilor tehnologice universale ale metodei volum finit/diferență finită (MKO/KR, FVDM) este discutată în lucrarea lui Z. Kaya „Despre metoda volumului finit/element”. Autorul atrage atenția cititorului asupra „natura nesistematică a metodei volumului finit/diferenței finite”; La aproximarea sistemelor de legi de conservare prin metoda volumului finit/diferența finită, în cadrul aceleiași lucrări pot fi utilizate aproximări ale diferitelor clase, ceea ce complică semnificativ analiza convergenței unor astfel de scheme. Se propune o soluție la această problemă - utilizarea în comun a ideilor metodei elementelor finite (căutarea unei soluții într-un spațiu de elemente finite și utilizarea comportamentului polinomial pe bucăți a soluției pentru a calcula debite) și forma integrală a legilor de conservare. Astfel, metodele cu volum finit/element (FME/E, „metode cutie”, FVE) au apărut în încercarea de a crea „tehnologii mai sistematice ale volumului finit”. Absența principiilor tehnologice generale ale metodelor de volum finit/diferență finită este de asemenea remarcată în lucrările lui Ya. Guryeva și V.P. Ilyin.

Metodele cu volum finit/element finit (FVE) și metodele cu volum finit/element finit (CVFEM) utilizează spații consistente de elemente finite ale funcțiilor liniare pe simplexuri și aparțin clasei schemelor de volum finit celulă-vârf, Fig. 1, a.

Un număr de scheme computaționale de dinamică a fluidelor (modelarea fluxurilor vâscoase incompresibile) utilizează spații inconsistente ale elementelor finite, în special, spațiul Crousey-Raviard liniar pe elemente continue la centrele marginilor funcțiilor de testare. Metodele cu volum finit folosind spații inconsistente ale elementelor finite au fost propuse de S. Choi și D. Kwak, studiate într-o serie de lucrări ale altor autori (așa-numitele metode subvolum, metoda covolumului) și sunt scheme cu calculul necunoscutelor la centre. a marginilor (

Cele mai comune scheme pentru rezolvarea problemelor de dinamică a gazelor și modelarea dezastrelor antropice folosind ecuații de apă mică sunt schemele de volum finit centrate pe celule, Fig. 1, f. Popularitatea lor se datorează faptului că, în cazul calculării necunoscutelor în centroizi, majoritatea schemelor de dinamică a gazelor (scheme S.K. Godunov, scheme TVD) pot fi transferate la rețele nestructurate fără modificări tehnologice fundamentale. o a in

Fig.1. Localizarea punctelor de calcul în raport cu nodurile grilei FE.

Această lucrare ia în considerare în primul rând clase de metode de volum finit cu calculul necunoscutelor la nodurile de triangulare (MKO/E, MKO/FE) și centrele de margine (metode subvolume în viitor vom spune și „metode de volum finit folosind spații de elemente finite); ” Aceste clase de metode, conform unui număr de studii (, ), pentru probleme de convecție-difuzie oferă aproximări mai bune ale soluției decât metodele cu calculul necunoscutelor în centrele celulelor. Unul dintre motivele principale este că pentru metodele enumerate mai sus se păstrează continuitatea primelor derivate ale funcțiilor de testare pe elementele rețelei duale.

O abordare eficientă a rezolvării problemelor cu predominanța convecției este utilizarea metodei Galerkin cu funcții de testare simetrice pentru partea auto-adjunctă a operatorilor diferențiali și scheme MCO din amonte pentru partea lor asimetrică, așa-numita. metode mixte elemente finite/volum (FEM/O, MEV, metoda mixte element/volum).

Lucrarea de disertație este dedicată, în special, îmbunătățirii tehnologiilor metodei volumului finit pentru clasele indicate de metode (MKO/E, MKO/CE, FEM/O, metode subvolum). Momentan, aceste metode nu au tehnologii stabilite pentru a lua în considerare comportamentul polinom pe bucăți a soluției, termenii sursă și coeficienții de transfer. Putem enumera următoarele motive pentru imperfecțiunea aparatului pentru integrarea exactă a polinoamelor în metode de volum finit folosind spații de elemente finite:

1. Spre deosebire de metoda elementelor finite, metoda volumului finit nu are o versiune p, deoarece odată cu introducerea de noduri suplimentare și mai multe tipuri de ochiuri duale, conservatorismul local al unui număr de variabile ale sistemului de legi de conservare în relație la „extratereștri” volume finite este încălcat. Astfel, aproximările sunt limitate la spații de elemente finite de ordin inferior.

2. Față de metoda elementelor finite, metodele cu volum finit se caracterizează printr-o mai mare libertate în alegerea spațiilor funcțiilor de testare, care în acest caz se dovedesc a fi legate de localizarea punctelor de calcul a necunoscutelor în raport cu discretizarea. noduri (scheme cu locația necunoscutelor la noduri, punctele mijlocii ale muchiilor, centroizii simplex) și metoda de construire a unei grile duale (folosind mulțimi baricentrice, ortocentrice, circumcentrice). Combinat cu capacitatea de a utiliza grile colocate sau eșalonate, acest lucru oferă întreaga varietate de scheme MCM existente în fiecare aplicație.

Pentru metodele MCM pentru discretizarea legilor de conservare care folosesc spații de elemente finite, o selecție atentă a acestor spații pentru soluție, coeficienți de ecuație și termeni sursă își pierde parțial sensul dacă metoda nu are mijloace dezvoltate de a lua în considerare reprezentările polinomiale pe bucăți, în special, aparatul pentru integrarea exactă a polinoamelor peste elemente ale rețelei duale, subdomenii de elemente și segmente de margini de frontieră. În consecință, rezultatele calculelor folosind schemele construite trebuie luate în considerare din punctul de vedere al efectelor integrării numerice, ținând cont de diferitele metode de implementare a acestora; devine semnificativ mai dificilă compararea rezultatelor cercetării cu lucrările altor autori etc.

Deci, această lucrare este dedicată revizuirii tehnologiilor MCM/FEM existente pentru construirea de analogi discreti ai problemelor de tip convecție-difuzie.

Tehnologia de luare în considerare a reprezentării polinomiale pe bucăți a soluției, a coeficienților ecuației și a celor incluși în condițiile la limită, precum și a termenilor sursă în metodele cu volum finit folosind spații cu elemente finite trebuie să îndeplinească următoarele cerințe:

1) permit combinații arbitrare de reprezentări polinomiale de coeficienți și soluții pe elemente de partiție, precum și creșterea gradului de interpolare a polinoamelor reprezentării soluției locale;

2) utilizați principii unificate de aproximare la calcularea contribuțiilor elementelor corespunzătoare diverșilor termeni ai ecuației (difuzie, convectivă, termeni de reacție, termeni sursă), precum și contribuții de la muchii care aproximează părți ale limitelor cu diferite tipuri de condiții la limită specificate asupra lor;

3) permit o generalizare omogenă la cazul tridimensional;

4) să ia în considerare experiența tehnologiilor bine dezvoltate cu elemente finite, în special, utilizarea expansiunii de bază a spațiilor cu elemente finite și avantajele integrării precise a reprezentărilor polinomiale în bucăți ale soluției și coeficienților de transfer;

5) să ofere o bază tehnologică unificată pentru aproximări mixte FEM/O care utilizează două seturi de funcții de testare - volum finit și element finit - pentru a aproxima o ecuație;

6) principiile tehnologiei ar trebui să rămână neschimbate în timpul tranziției de la utilizarea spațiilor consistente de elemente finite (metode volum finit/element finit cu calculul necunoscutelor la noduri) la utilizarea elementelor finite inconsistente (metode cu calculul necunoscutelor la centre). a muchiilor de triangulare);

7) tehnologia poate fi folosită pentru a aproxima diferite clase de probleme fizice.

Dintre tehnologiile existente ale metodelor cu volum finit care utilizează spații cu elemente finite (metode volum/element finit (FVE), metode cu volum finit/element finit (CVFEM), metode subvolum, metode mixte volum/element (MEV)), niciuna nu îndeplinește cerințele de mai sus. Astfel, crearea de noi tehnologii pentru aceste clase de metode folosind partiții simple și mulțimi baricentrice ca seturi duale pare a fi un subiect de cercetare relevant.

În cazul unei predominanțe semnificative a convecției, compararea diferitelor scheme de discretizare MCO, precum și compararea calculelor folosind metoda elementelor finite și metoda volumului finit, se rezumă de fapt la compararea schemelor corespunzătoare vântului.

Cele mai studiate și des folosite în cazul nestructurat sunt schemele în amonte ale clasei metodelor de volum finit cu calculul variabilelor în centrele celulelor. În ciuda faptului că marginile elementelor de despărțire nu sunt paralele cu axele de coordonate, aceste scheme sunt în majoritatea cazurilor de natură unidimensională, deoarece se reduc la rezolvarea problemei decăderii unei discontinuități pe liniile care leagă centroizii simplexurilor. Calculele care utilizează astfel de scheme nu reproduc structura multidimensională a fluxului și au difuzie numerică excesivă. Pentru a construi scheme de aproximare de ordinul doi în amonte, este necesară o extindere semnificativă a șablonului, ceea ce în cazul nestructurat duce la o complicare semnificativă a structurilor de date corespunzătoare.

Schemele din amonte pentru schemele cu calculul necunoscutelor la nodurile de triangulare și punctele de mijloc ale marginilor sale sunt în prezent puține la număr (vezi). În unele cazuri, principiul aproximării în amonte se reduce la utilizarea unei valori a unei substanțe scalare - la un nod simplex situat în amonte sau două valori ponderate - la capetele unei margini simplex aflate în amonte. Doar una dintre schemele cunoscute, FLO (Flow Oriented Upwind Scheme), dezvoltată de K. Prakash și S. Patankar, profită de calculul necunoscutelor la noduri - capacitatea de a construi funcții de profil asimetric. Dar calculele care utilizează această schemă sunt considerate nesatisfăcătoare, deoarece schema nu are proprietatea pozitivității, iar procesele iterative diverg adesea.

Estimarea difuziei numerice introduse prin folosirea schemelor de avânt pe grile simple este o problemă în sine. Lucrările existente în această direcție, care oferă estimări teoretice ale caracteristicilor de convergență, sunt limitate la o varietate de scheme pentru calcularea variabilelor în centrele celulelor. Prin urmare, estimarea ratei de convergență a schemelor MCO/FE în amonte utilizând o serie de experimente numerice este de o importanță deosebită.

Deci, construcția și analiza comparativă a schemelor MCO/FE în amonte pe rețele nestructurate este un subiect de cercetare actual.

Scopul lucrării este de a dezvolta tehnologii de calcul pentru metode de volum finit folosind spații de elemente finite pentru a aproxima probleme de tip convectiv-difuzie. Pentru atingerea acestui obiectiv au fost formulate următoarele obiective de cercetare:

1) perfecţionarea tehnologiilor de discretizare a sistemelor de legi de conservare utilizând metoda volumului finit/element finit pe grile simple, folosind partiţii baricentrice ca partiţii duale;

2) dezvoltarea tehnologiilor de aproximare a problemelor de tip convectiv-difuzie cu derivate prime semnificative; construirea, implementarea și analiza comparativă a schemelor din amonte pe rețele nestructurate, în special, efectuarea de experimente de calcul pentru a evalua ordinea de aproximare a schemelor propuse și cele mai precise cunoscute, precum și compararea caracteristicilor schemelor din amonte bazate pe MCE/FE și FEM ;

3) crearea, pe baza tehnologiilor dezvoltate, de pachete software care să permită simularea adecvată a fluxurilor vâscoase incompresibile de lichide și gaze în zone complexe din punct de vedere geometric, în cazuri staționare și nestaționare.

Metode de cercetare. Metode de matematică computațională. Analiza comparativă a tehnologiilor de integrare exactă a polinoamelor în metode cu elemente finite, volume/elemente finite, reziduuri distribuite. Evaluarea experimentală a ratei de convergență a schemelor de curgere în amonte pentru probleme cu o soluție analitică. Calcule pe un set de partiții de elemente finite condensate, urmate de analiza convergenței la datele experimentale.

Noutatea științifică a lucrării este următoarea:

1. Se propune o nouă tehnologie pentru luarea în considerare a reprezentării polinomiale pe bucăți a soluției, a coeficienților de transfer și a termenilor sursă la discretizarea problemelor de valoare la limită inițială folosind metodele volumelor/elementelor finite, volumelor finite/elementelor finite și subvolumelor. Tehnologia se bazează pe utilizarea expansiunii de bază a spațiilor cu elemente finite în termeni de coordonate simple baricentrice, cu integrarea exactă în continuare a monomiilor acestora. Pentru schemele MKO/FE, MKO/E cu calculul variabilelor la nodurile de triangulare sunt propuse trei clase de formule pentru integrarea exactă a monomiilor de coordonate baricentrice: peste segmente ale rețelei duale într-un element, peste subregiuni și segmente baricentrice. a marginilor de hotar. Pentru metodele subvolumelor care utilizează spații inconsistente ale elementelor finite, se propune utilizarea principiului integrării exacte a funcțiilor de bază și se obțin formulele integrale corespunzătoare.

2. Se propune o metodă de construire a schemelor MCO/FE în amonte pe rețele simple, bazată pe aproximarea separată a fluxurilor de masă și a valorilor substanței scalare pe segmente ale rețelei duale. Sunt introduse conceptele unei matrice locale de coeficienți de greutate ai unei scheme în contracurent, interne elementelor schemelor, și pozitivitatea locală a schemelor. A fost propusă o schemă de contraflux de clasă exponențială, iar analogul său a fost construit pentru MKO cu calculul simplexelor necunoscute în baricentri.

3. S-au obținut estimări experimentale ale ratei de convergență a schemei în amonte cu cântărirea debitelor de masă și schema de clasă exponențială propusă. Folosind soluții de tip strat limită, stabilitatea schemelor construite a fost analizată și comparată cu schemele FEM din amonte.

4. Folosind tehnologiile de aproximare propuse pentru probleme de tip convecție-difuzie, a fost creat un set de programe pentru modelarea fluxurilor vâscoase incompresibile în variabile naturale viteză-presiune și au fost efectuate o serie de experimente de calcul care confirmă eficacitatea schemelor construite.

Structura și scopul disertației. Teza constă dintr-o introducere, patru capitole, o concluzie, o listă de referințe, o anexă și conține 173 de pagini, inclusiv 10 tabele și 51 de figuri. Bibliografia contine 117 titluri.

Concluzie

Această lucrare este dedicată dezvoltării tehnologiilor de calcul pentru metode de volum finit pe grile simple, folosind spații de elemente finite și partiții baricentrice ca duale pentru aproximarea problemelor de tip convectiv-difuzie! Lucrarea a obținut următoarele rezultate principale pentru apărare:

1. Se propune o nouă tehnologie pentru luarea în considerare a reprezentării polinomiale pe bucăți a soluției, a coeficienților de transfer și a termenilor sursă la discretizarea problemelor de valoare la limită inițială folosind metodele volumelor/elementelor finite, volumelor finite/elementelor finite și subvolumelor. Tehnologia se bazează pe utilizarea expansiunii de bază a spațiilor cu elemente finite în termeni de coordonate simple baricentrice, cu integrarea exactă în continuare a monomiilor acestora. Pentru schemele MKO/FE, MKO/E cu calculul variabilelor la nodurile de triangulare sunt propuse trei clase de formule pentru integrarea exactă a monomiilor de coordonate baricentrice: peste segmente ale rețelei duale într-un element, peste subregiuni și segmente baricentrice. a marginilor de hotar. Pentru metodele subvolumelor care utilizează spații inconsistente ale elementelor finite, se propune utilizarea principiului integrării exacte a funcțiilor de bază și se obțin formulele integrale corespunzătoare.

2. Se propune o metodă de construire a schemelor MCO/FE în amonte pe rețele simple, bazată pe aproximarea separată a fluxurilor de masă și a valorilor substanței scalare pe segmente ale rețelei duale. Sunt introduse conceptele unei matrice locale de coeficienți de greutate ai unei scheme din amonte, interne elementelor schemelor, și pozitivitatea locală a schemelor. A fost propusă o schemă de contraflux de clasă exponențială, iar analogul său a fost construit pentru MKO cu calculul simplexelor necunoscute în baricentri.

3. S-au obținut estimări experimentale ale ratei de convergență a schemei de contracurgere cu ponderea debitelor de masă și schema de clasă exponențială propusă. Folosind soluții de tip strat limită, stabilitatea schemelor construite a fost analizată și comparată cu schemele FEM din amonte. Se arată că schemele MCO/FE finalizate fac posibilă urmărirea caracteristicilor soluțiilor stratului limită mult mai precis decât schemele metodei Petrov-Galerkin cu funcții de bază asimetrice (polinoame Legendre), scheme cu elemente finite ale lui Rice și Schnipke, precum și scheme combinate cu elemente finite de un ordin superior de aproximare dezvoltate de T. Sheu, S. Wang și S. Tsai.

4. Folosind schemele de aproximare propuse pentru probleme de tip convecție-difuzie s-a creat un set de programe pentru modelarea fluxurilor vâscoase incompresibile în variabile naturale viteză-presiune, pe grile combinate, folosind polinoame de interpolare de presiune și viteză de același ordin; Au fost efectuate o serie de experimente de calcul pentru a confirma eficacitatea circuitelor construite.

5. Pentru un flux de referință într-un canal în spatele unui pas înapoi, interacțiunea efectului de intrare și efectul utilizării aproximărilor din amonte este afișată pentru prima dată.

Deci, tehnologia propusă în lucrarea de discretizare a problemelor de valoare limită inițială folosind metoda element finit/volum finit pe grile simple este o modalitate eficientă de aproximare a sistemelor de legi de conservare, schemele dezvoltate în amonte au bune caracteristici de convergență, iar utilizarea de metodele de discretizare pentru un sistem de ecuații Navier-Stokes cu interpolare de același ordin pentru componentele vectorului viteză-presiune permit obținerea unor rezultate care sunt în bună concordanță cu datele experimentale. Clasele de metode de volum finit/element fini pe rețele simple, a căror bază tehnologică este integrarea exactă a monomiilor de coordonate baricentrice, sunt metode eficiente de modelare a fluxurilor vâscoase incompresibile în zone cu geometrie limită complexă.

1. Belotserkovsky O.M., Modelarea numerică în mecanica continuurilor. M.: Știință. Cap. ed. fizica si matematica literatură, 1984.

2. A. S. Boldarev, V. A. Gasilov. O. G. Olkhovskaya, Către soluția ecuațiilor hiperbolice pe grile nestructurate // Modelare matematică. 1996. T. 8, nr. 3. pp. 51-78.

3. P. A. Voinovich, D. M. Sharov, Modelarea fluxurilor discontinue de gaze pe rețele nestructurate // Modelare matematică. 1993. T. 5. Nr. 7, p. 86-114.

4. I. J1. Guryeva, Tehnologia computațională a metodei volumului finit // Dis. pentru gradul de Candidat la Științe. f.-m. Sci. Novosibirsk 1997. - 115 p.

5. Zhukov M.F., Solonenko O.P., Jeturi de praf de înaltă temperatură în prelucrarea materialelor pulverulente. Novosibirsk IT SB RAS. 1990.

6. V. P. Ilyin, Scheme de diferențe echilibrate de precizie crescută pe grile dreptunghiulare neuniforme. Novosibirsk 1994. - 31 p. (Preprint/CC SB RAS Nr. 1031).

7. Ilyin V.P., Turakulov A.A., On integro-balance aproximations of three-dimensional boundary value problems. Novosibirsk, 1993. - 24 p. - (Preprint/CC SB RAS: Nr. 986).

8. V. M. Kovenya, N. N. Yanenko, Metoda divizării în problemele dinamicii gazelor. Novosibirsk, Știință. 1989.

9. A. Ladyzhenskaya, Probleme matematice în dinamica fluidului vâscos incompresibil. M.: Tqc. editura f.-m. lit.- 1961.

10. D. Oden, Elemente finite în mecanica continuumului neliniar. M.: Mir, 1976.

11. Patankar S., Metode numerice pentru rezolvarea problemelor de transfer de căldură și dinamica fluidelor. -M.:. Energoatomizdat, 1984.

12. N. Pissanetski S. Tehnologia matricelor rare. M.: Mir. 1988.

13. Preparata F. Sheimos M. Computational geometry; Introducere. M." Mir, 1984.

14. A. A. Samarsky, Introducere în teoria schemelor diferențelor. M.: Nauka, 1971.

15. L Segerlind, Aplicarea metodei elementelor finite M.: Mir. 1979

16. N. K. Sukanek, R. P. Rhodes, Formularea condiției pe axa de simetrie în calculul numeric al fluxurilor simetrice // Rocketry and Cosmonautics, 1978. Vol. 16. Nr. 10). pp. 96-98.

17. R. Temam, Ecuații Navier-Stokes, Teorie și analiză numerică // M.: Mir. 1981.

18. K. Fletcher, Metode numerice bazate pe metoda Galerkin II M.: Mir, 1991

19. D. Shi, Metode numerice în probleme de transfer de căldură. M.; Lumea, 1988.

20. G. Schlichting, Teoria stratului limită. M.: Editura străină. aprins. 1956.

21. E. P. Shurina, T. V. Voitovich, Analiza algoritmilor pentru metodele cu elemente finite și volum finit pe ochiuri nestructurate la rezolvarea ecuațiilor Navier-Stokes // Tehnologii de calcul. 1997. T. 2. Nr. 4. P. 84104.

22. E. P. Shurina, O. P. Solonenko, T. V. Voitovich, Noua tehnologie a metodei volumului finit pe grile simple pentru probleme de tip convectiv-difuzie. Novosibirsk 1999. -51 e.- (Preprint/ ITAM SB RAS; Nr. 8-99).

23. I. Yu Chumakov, „Utilizarea diferitelor condiții pentru presiunea la limita de ieșire atunci când se calculează fluxuri interne complexe de fluid incompresibil pe rețele combinate”, Vestn. spun ei oameni de știință. Ser. Matematică și mecanică aplicată. 1997. T 1. P. 55-62.

24. N. N. Yanenko, Metoda pașilor fracționari pentru rezolvarea problemelor multidimensionale de fizică matematică. Novosibirsk: Nauka, 1967.

25. Un primer element finit. Agenția Națională pentru Metode și Standarde cu Elemente Finite //NEL. Glasgow, 1986.

26. K. Ajmani, W-F Ng. DOMNIȘOARĂ. Lion, Metode de gradient conjugat precondiționat pentru ecuațiile Navier-Stokes//J. Calculator. Fiz. 1994. Vol. 1 10. P. 68-81.

27. F. Angrand, A Dervieux, Unele scheme triunghiulare explicite de elemente finite pentru ecuațiile Euler//Int. J.forNumer. Metode în fluide. 1984. Vol. 4. P. 749-764.

28. P. Arminjon, A. Dervieux, Construction of TVD-Hke Artificial Viscosities on Two-Dimensional Arbitrary FEM Grids // J. Comput. Phys., 1993. Voi. 106. P. 176-198.

29. B. Armaly, F. Durst, J. C. F. Pereira, B. Schoenung, Investigația experimentală și teoretică a fluxului în trepte orientat înapoi //J. Fluid Mech. 1983. Vol. 127,473496.

30. F. Babuska, Limite de eroare pentru metodele cu elemente finite//Numer. Matematică. 1971 Vol.16. P. 322-333.

31. Babuska, B. A. Szabo, I. N. Katz, The p-version of the finite element method // SIAM J. Numer. Anal. 1981. Vol. 18. P. 516-544.

32. P. Balland, E. Suli, Analysis of the cell-vertex finite volume method for hyperbolic problems with variabili coeficients // SIAM J. Numer. Anal. 1997. Vol. 34. P. 1127-1151.

33. R. E. Bank, B. D. Welfert, Estimări de erori a posteriori pentru problema Stokes // SIAM J. Numer. Anal. 1991. Vol. 28. P. 591-623.

34. T. J. Barth, D. C. Jespersen, The design and application of upwind schemes on unstructured meshes // AIAA paper 89-0336.

35. E. Barton, A numeric study of flow over a confined back-fating step // Int. J.ForNumer. Metode în fluide. 1995. Vol. 21. P. 653-665.

36. E. Barton, The entrance effect of laminar flow over a backward-facing step geometry // Int. J.forNumer. Metode în fluide. 1995. Vol. 25. P. 633-644.

37. S. Benharbit, A. Chalabi, J. P Vila, Numerical viscosity and convergence of finite volume methods for conservation laws with boundary conditions // SIAM J. Nu-mer. Anal. 1995. Vol. 32. P 775-796.

38. Z. Cai, Despre metoda elementului de volum finit //Numer. Matematică. 1991 Vol. 58 Str. 713735.

39. Z. Cai, S. McCormick, Despre acuratețea metodei elementului de volum finit pentru ecuațiile de difuzie pe grile compozite // SIAM J. Numer. Anal. 1990. Vol. 27. P. 636-655.

40. Z. Cai, J. Mandel, S. McCormick, The finite volume element method for diffusion equations on general triangulations // SIAM J. Numer. Anal. 1991 Vol 28. P. 392402.

41. M. C. Ciccoli, Adaptive Domain Descomposition Algorithms and Finite Volume/Finite Element Aproximation for Advection-Diffusion Equations // Journal of Scientific Computing. 1996. Vol 11. P 299-341.

42. P. Chatzipantelidis, A finite volume method based on the Crouzeix-Raviart element for elliptic PDE's in two dimensions //Numer. Math. 1999, Vol. 82. P. 409-432.

43. K. H. Chen, R H. Pletcher, Variabila primitivă- procedura de calcul puternic implicită pentru fluxurile vâscoase la toate vitezele // AIAA J. 1991. Vol. 29. P1241-1249.

44. S. Chou, D. Kwak, P. S. Vassilevski, Mixed Covolume methods for elliptic problems on triangle grids // SIAM J. Numer. Anal. 1998. Vol. 35. P. 1850-1861.

45. Christie, D. F. Griffiths, A. R. Mitchell și O. C. Zienkiewicz, Metode cu elemente finite pentru ecuații diferențiale de ordinul doi cu derivate primare semnificative // ​​Int. J. Numer. Metode Ing. 1976. Vol. 10. 1389-1396.

46. ​​​​J.-P. Croisille, Scheme de casete cu volum finit // Proc. de al doilea intern. Symp. on Finite Volumes for Complex Applications, 19-22 iulie, 1999, Duisburg, Germania. HERMES Science Publications, Paris, 1999.

47. V. Cockburn, F. Coquel. P. G. Lefloch, Convergence of the finite volume method for multidimensional conservation laws // SIAM J. Numer. Anal. 1995. Vol. 32.687-705.

48. L. Davidson, A pressure correction method for unstructured meshes with arbitrary control volumes // Int. J. pentru Numer. Metode în fluide. 1998. Vol. 22. P. 265-281.

49. C. Debiez, A. Dervieux, K. Meg, B. Nkonga, Calcul fluxurilor instabile cu metode mixte de volum finit/element finit în amonte // Int. J. pentru Numer. Metode în fluide. 1998. Vol. 27. P. 193-206.

50. M. Delanaye, J. A. Essers, Quadratic-reconstruction Finite volume scheme for Compressible flows on unstructured adaptive grids // AIAA Journal. 1997. Vol. 35. P. 631-639.

51. Dervieux A., Steady Euler simulation using meshes nestructurate // Seria VKI Lectures. 1985. Nr. 1884-04.

52. Eisenberg M. A., Malvern L. E., Despre integrarea elementelor finite în coordonate naturale // Int. J. Numer. Metode Ing. 1973. Vol. 7. 574-575.

53. A. Fezoui, Clasa de scheme implicite în amonte pentru simulări Euler cu ochiuri nestructurate//J. Sotr. Fiz. 1989. Vol. 84. P. 174-206.

54. C. Gallo, G. Manzini, A mixed finite element/finite volume approach for solving biodegradation transport in groundwater // Int. J. pentru Numer. Metode în fluide.1998. Vol. 26. P. 533-556.

55. T. Gallouet, J. P. Vila, Scheme de volume finite pentru legile de conservare de tip mixt // SIAM J. Numer. Anal. 1991. Vol. 28. P. 1548-1573.

56. P. M. Gresho, S. T. Chan, R. L. Lee, G. D. Upson, A modified finite element method for solving the time-dependent. Ecuații Navier-Stokes incompresibile. Partea 2: Aplicații // Int. J. pentru Numer. Methods in Fluids, 1984. Voi. 4. Str. 619640.

57. A. Grundmann, H. M. Moller, Invariant integration formules for i-simplex by combinatonal methods // SIAM J. Numer. Anal 1978 Vol. 15, p. 282-290.

58. W. Hackbusch, On first and second order box schemes // Computing. 1989. Vol. 41. P. 277-296.

59. L. P. Hackman, G. D. Raithby, A. B. Strong. Predicții numerice ale fluxurilor pe trepte orientate înapoi // Int. J. pentru Numer. Metode în fluide. 1984. Vol. 4. P. 71 1-724.

60. L. Hallo, C. Ribault, M. Buffat, An implicit mixed finite volume-finite-element method for solving 3D turbulent compressible flows Int. J. pentru Numeric Methods in Fluids, 1997. Voi. 25. P. 1241-1261.

61. F. H. Harlow, J. E. Welch, Numerical calcul of time-dependent viscosity incompressible flow of fluid with free surface // Fizic. Fluide. 1965. Vol. 8. Str. 21822189.

62. F. Ilinca, D. Pelletier, A. Garon, An adaptive finite element method for a two-equation turbulence model in wall-bounded flows Int. J. pentru Numer. Metode în fluide. 1997. Vol. 124. P 101-120.

63. E. Issman, G. Degrez, H. Deconinck, Implicit Upwind Residual-Distribution Euler and Navier-Stokes Solver on Unstructured Meshes // AIAA Journal, 1996. Vol. 34. P. 2021-2028.

64. J. P. Jessee, W. A. ​​​​Fiveland, „Un algoritm de celulă-vertix pentru ecuațiile incompresibile Navier-Stokes pe grile non-ortogonale”, Int. J. pentru Numer. Metode în fluide. 1996. Vol. 23. P. 271-293.

65. Jianguo H., Shitong X., On the finite volume element method for general self-adjoint elipptic problems // SIAM .J Numer. Anal. 1998. Vol. 35. P. 1762-1774.

66. M. Lallemand, H. Steve, A. Dervieux, Unstructured Multigridding by volume agglomeration: current status // Computers Fluids, 1992 Vol. 21. P. 397-433.

67. Y. Liu, M. Vinokur, Integrarea exactă a polinoamelor și formulelor de cuadratura simetrică peste grile poliedrice arbitrare // J. Comput. Fiz. 1998. Vol. 140. P. 122-147.

68. D. Marcum, Modele de turbulență pentru calcule cu elemente finite nestructurate // Int. J.ForNumer. Metode în fluide. 1995, voi. 20. P. 803-817.

69. C. Masson, H. I. Saabas, B. R. Baliga, Co-located equal-order control-volume finite element method for two-dimensional axisymmetric incompresible fluid flow // Int J. For Numer. Metode în fluide. 1994. Vol. 18. P. 1-26.

70. S. Mattiussi, An Analysis of Finite Vol. Metode cu elemente finite și diferențe finite folosind unele concepte din topologia algebrică // J. Comput. Fiz. 1997. Vol. 133. P. 289-309.

71. D. Mavriplis, Multigrid solution of two-dimensional Euler equations on unstructured triangle meshes // AIAA Journal, 1988. Vol 26. P. 824-831.

72. P. R. McHugh, D. A. Knoll, „Soluții de volum finite complet cuplate ale incompresibilului Navier-Stpkes și ecuații de energie folosind o metodă Newton inexactă”, Int. J. Pentru Numer. Metode în fluide. 1994. Vol. 19. P. 439-455.

73. Y. Murthy, S. Mathur, Flux periodic și transfer de căldură folosind ochiuri ustructurate // Int. J. pentru Numer. Metode în fluide. 1997. Vol. 25. P. 659-677.

74. S. Muzaferija, D. Gosman, Finite-Volume CFD Procedure and Adaptive Error Control Strategy of Grids of Arbitrary Topology // J. Comput. Phys., 1997, voi. 138. P. 766-787

75. P. Nithiarasu, O. C. Zienkiewlcz, V. V. K. Satya Sai, K. Morgan, R. Codina, M. Vazquez, Shock capturing viscosities for the general fluid mechanics algorithm // Int. J. pentru Numer. Metode în fluide. 1998. Vol. 28. P. 1325-1353.

76. K. Ohmori, T. Ushijima, O tehnică de tip upstream aplicată la o aproximare liniară neconformă cu elemente finite a ecuațiilor de difuzie convectivă // R.A.I.R.O. Anal. Număr.

77. D. Pan, J. C. Cheng, Upwind finite volume Navier-Stokes Computations on Uns-structured Triangular Meshes // AIAA Journal, 1993. Vol. 31. P. 1618-1625.

78. S. V. Potapov, A mixed FE FV algorithm in non-linear solid dynamics // Proc. de al doilea intern. Symp. pe volume finite pentru aplicații complexe. 19-22 iulie 1999. Duisburg, Germania. - Publicații științifice HERMES. Paris. 1999. P. 271278.

79. C. Prakash, S. V. Patankar, O metodă cu elemente finite bazată pe volum de control pentru rezolvarea ecuațiilor Navier-Stokes folosind interpolarea viteză-presiune de ordin egal //Numer. Transfer de căldură. 1985. Vol. 8. P. 259-280.

80. S. Ramadhyani, S. V. Patankar, Rezolvarea ecuației Poisson: comparație a metodelor Galerkin și control-volum // Int. J. Numer. Metode Ing. 1980. Vol. 15.1395-1418.

81. Rida S., McKenty F., Meng F. L., Reggio M., A staggered volume control scheme for unstructured triangle grids // Int. J. pentru Numer. Metode în fluide. 1995. Vol. 25. P. 697-717.

82. P. L. Roe, Rezolvatori Riemann aproximativi, Vectori de parametri și Scheme de diferențe //! Sotr. Fiz. 1981. Vol. 43. P. 357-372.

83. C. Rohde, Upwind Finite volume schemes for weakly coupled hyperbolic systems of conservation laws in 2D // Numer. Matematică. 1998. Vol. 81. P. 85-123.

84. Tony W. H. Sheu, S. K. Wang, S. F. Tsai, Dezvoltarea unei scheme de înaltă rezoluție pentru o ecuație de advecție-difuzie multidimensională // J. Sotr. Fiz. 1998. Vol. 144. P. 1-16.

85. Saad Y., Metode iterative pentru sisteme liniare rare. PSW Publishing Co., Boston, MA, 1995.

86. V. V. K. S. Sai, O. C. Zienkiewicz, M. T. Manzari, P. R. M. Lyra, K. Morgan, General purpose versus special algorithms for high-speed flows with shocks // Int. J. Numer. Meth. Fluide. 1998. Vol. 27. P. 57-80.

87. J. L. Sohn, Evaluarea FIDAP pe niște repere clasice laminare și turbulente // Int. J. pentru Numer. Metode în fluide. 1988. Vol. 8. P. 1469-1490.

88. În Stoufflet, Investigation of generalized flux vector splitting for compressible flows on meshes triunghiulare // Int. J. pentru Numer. Metode în fluide. 1995. Vol. 20. P. 1047-1059.

89. B. Stouflette. J. Periaux, F. Fezoui, A. Dervieux, Simularea numerică a fluxurilor Euler hipersonice 3-D în jurul vehiculelor spațiale folosind elemente finite adaptate // AIAA Paper 87-0560.

90. C. Taylor, P. Hood, O soluție numerică a ecuațiilor Navier-Stokes folosind tehnica elementelor finite // Computers and Fluids. 1973. Vol. 1. P. 73-100.

91. Thomadakis M, Leschziner M., O metodă de corecție a presiunii pentru soluția fluxurilor vâscoase incompresibile pe rețele nestructurate // Int.J. pentru Metode numerice în fluide. -1996. Vol. 22 P 581-601.

92. A. K. Verma, V. Eswaran, Overlapping volume control approach for convection-diffusion problems // Int. J. pentru Numer. Metode în fluide. 1996. Vol. 23. P. 865-882.

93. M. M. T. Wang, T. W. H. Sheu, Pe un element finit de ordin mixt compact pentru rezolvarea ecuațiilor tridimensionale incompresibile Navier-Stokes // Int. J. pentru Numer. Metode în fluide. 1997. Vol. 25. P. 513-522.

94. M. M. T. Wang, T. W. H. Sheu, Implementarea unei condiții la limită liberă la ecuațiile Navier-Stokes // Int. J. Numer. Methods Heat and Fluid Flow, 1997. Vol.7. P. 95-111.

95. D. Winterscheidt, K. S. Surana, p-Version formularea cu elemente finite cu cele mai mici pătrate pentru fluxul de fluid bidimensional, incompresibil // Int. J. Numer. Meth. Fluide, 1994. Voi. 18. P. 43-69.

96. A. M. Winslow, Soluția numerică a ecuației Poisson cvasiliniare într-o plasă triunghiulară neuniformă, J. Comput. Fiz. 1967. Vol. 2. 149-172.

97. A. Younes, R. Mose. P. Ackerer. G. Chavent, O nouă formulare a metodei elementelor finite mixte pentru rezolvarea PDE eliptică și parabolice cu elemente triunghiulare // J. Comput. Phys., 1999. Voi. 149. P. 148-167.

98. P.J. Zwart, G. D. Raithby, M. J. Raw, The integrated space-time finite volume method and its application to moving boundary problems // J. Comput. Fiz. 1999. Vol. 154. P. 497-519.

99. O. C. Zienkiewicz, The Finite Element Method in Engineering Science // McGraw-Hill London. 1971.

100. O.C. Zienkiewicz, R. Codina, A general algorithm for compressible and incompressible flow. Partea 1: Schema divizată, bazată pe caracteristici // Int. J. Numer. Meth. Fluide. 1995. Vol. 20. P. 869-885.

101. S. M. Rhie și W. L. Chow, A numerical study of the turbulent flow past an isolated aerofoil with trailing edge separation // AIAA Paper No. 82-0998. 1982.

102. R. I. Issa, Rezolvarea ecuațiilor de curgere a fluidului implicit discretizate prin divizare-operator//J. Calculator. Fiz. Vol. 62. P. 40-65.1985.

103. J. Kim, S. J. Kline, J. P. Johnston, Investigation of a Reattaching Turbulent Shear Layer: Flow Over a Backward-Facing Step, Journal of Fluids Eng., Voi. 102, p. 302-308.117. http://www.ict.nsc.ru/linpar