Analiza matematică istoria dezvoltării. Materiale metodologice

Slide 2

Analiza matematică este un set de ramuri ale matematicii dedicate studiului funcțiilor și generalizărilor acestora prin metode de calcul diferențial și integral.

Slide 3

Metoda de epuizare

O metodă străveche de studiere a zonei sau a volumului figurilor curbe.

Slide 4

Metoda a fost următoarea: pentru a găsi aria (sau volumul) unei anumite figuri, în această figură s-a încadrat o succesiune monotonă de alte figuri și s-a dovedit că ariile (volumele) acestora se apropie la infinit de aria (volumul) dorită. figura.

Slide 5

În 1696, L'Hopital a scris primul manual, stabilind o nouă metodă aplicată teoriei curbelor plane. El a numit-o Analiza infinitezimale, dând astfel unul dintre nume noii ramuri a matematicii. În introducere, L'Hopital conturează istoria apariției unor noi analize, stăruind pe lucrările lui Descartes, Huygens, Leibniz și își exprimă, de asemenea, recunoștința față de acesta din urmă și frații Bernoulli.

Slide 6

Termenul „funcție” apare pentru prima dată abia în 1692 la Leibniz, dar Euler a fost cel care l-a adus în prim-plan. Interpretarea originală a conceptului de funcție a fost că o funcție este o expresie pentru numărare sau o expresie analitică.

Slide 7

„Teoria funcțiilor analitice” („Th.orie des fonctions analytiques”, 1797). În Teoria funcțiilor analitice, Lagrange prezintă celebra sa formulă de interpolare, care l-a inspirat pe Cauchy să dezvolte o bază riguroasă pentru analiză.

Slide 8

Lema importantă a lui Fermat poate fi găsită în manualele de calcul. De asemenea, a formulat legea generală de diferențiere a puterilor fracționale.

Pierre de Fermat (17 august 1601 - 12 ianuarie 1665) a fost un matematician francez, unul dintre creatorii geometriei analitice, analizei matematice, teoriei probabilităților și teoriei numerelor. Fermat, folosind reguli aproape moderne, a găsit tangente la curbele algebrice.

Slide 9

René Descartes (31 martie 1596 - 11 februarie 1650) a fost un matematician, filozof, fizician și fiziolog francez, creator al geometriei analitice și al simbolismului algebric modern.

În 1637, principala lucrare de matematică a lui Descartes, Discursul despre metodă, a fost publicată. Această carte a prezentat geometria analitică, iar în aplicațiile sale numeroase rezultate în algebră, geometrie, optică și multe altele.

De remarcat în mod deosebit este simbolismul matematic al lui Vieta pe care l-a reelaborat: a introdus semnele acum general acceptate pentru variabile și cantități cerute (x, y, z, ...) și pentru coeficienții de litere. (a, b, c, ...)

Slide 10

François Viête (1540 -1603) - matematician francez, fondatorul algebrei simbolice. După studii și profesie principală - avocat. În 1591 a introdus notația cu litere nu numai pentru cantitățile necunoscute, ci și pentru coeficienții ecuațiilor. El a fost responsabil pentru stabilirea unei metode uniforme de rezolvare a ecuațiilor de gradul 2, 3 și 4. Printre descoperiri, Viète însuși a apreciat în mod deosebit stabilirea relației dintre rădăcini și coeficienți ai ecuațiilor.

Slide 11

GalileoGalilei (15 februarie 1564, Pisa - 8 ianuarie 1642) - fizician, mecanic, astronom, filozof și matematician italian, care a avut o influență semnificativă asupra științei timpului său A formulat „paradoxul lui Galileo”: există tot atâtea numere naturale deoarece există pătratele lor, deși majoritatea numerelor nu sunt pătrate. Acest lucru a determinat cercetări suplimentare asupra naturii mulțimilor infinite și a clasificării lor; Procesul s-a încheiat cu crearea teoriei mulțimilor.

Slide 12

„Noua stereometrie a butoaielor de vin”

Când Kepler a cumpărat vin, a fost uimit de modul în care comerciantul a determinat capacitatea butoiului. Vânzătorul a luat stickus-ul în diviziuni și cu ajutorul lui a determinat distanța de la orificiul de umplere până la punctul cel mai îndepărtat al butoiului. După ce a făcut acest lucru, a spus imediat câți litri de vin erau într-un butoi dat. Astfel, omul de știință a fost primul care a atras atenția asupra unei clase de probleme, al căror studiu a dus la crearea calculului integral.

Slide 13

Metoda indivizibilă

Justificarea teoretică a noii metode de a găsi zone și volume a fost propusă în 1635 de către Cavalieri. El a prezentat următoarea teză: Figurile sunt legate între ele ca toate liniile lor, luate conform oricărei [baze de paralele] regulate, iar corpurile - ca toate planurile lor, luate conform oricărei reguli regulate.

Slide 15

De exemplu, să calculăm aria unui cerc. Formula pentru circumferință: considerată cunoscută. Să împărțim cercul (din stânga în Fig. 1) în inele infinitezimale. Să luăm în considerare și un triunghi (în dreapta în Fig. 1) cu lungimea bazei L și înălțimea R, care este, de asemenea, împărțit în secțiuni paralele cu baza. Fiecare inel cu raza R și lungime poate fi asociat cu una dintre secțiunile unui triunghi de aceeași lungime. Apoi, conform principiului lui Cavalieri, zonele lor sunt egale. Și aria unui triunghi este ușor de găsit: .

Slide 16

S-a lucrat la prezentare:

Zharkov Alexander Kiseleva Marina Ryasov Mihail Cherednichenko Alina

Vizualizați toate diapozitivele

În istoria matematicii, putem distinge aproximativ două perioade principale: matematica elementară și cea modernă. Piatra de hotar de la care se obișnuiește să se numere epoca noii matematici (numite uneori superioare) a fost secolul al XVII-lea - secolul apariției analizei matematice. Până la sfârșitul secolului al XVII-lea. I. Newton, G. Leibniz și predecesorii lor au creat aparatul unui nou calcul diferențial și al calculului integral, care formează baza analizei matematice și chiar, poate, baza matematică a tuturor științelor naturale moderne.

Analiza matematică este un domeniu larg al matematicii cu un obiect de studiu caracteristic (cantitate variabilă), o metodă unică de cercetare (analiza prin infinitezimale sau prin trecerea la limite), un anumit sistem de concepte de bază (funcție, limită, derivată). , diferential, integral, serie) si in continua imbunatatire si un aparat in dezvoltare, a carui baza este calculul diferential si integral.

Să încercăm să ne dăm o idee despre ce fel de revoluție matematică a avut loc în secolul al XVII-lea, ce caracterizează tranziția asociată cu nașterea analizei matematice de la matematica elementară la ceea ce face acum obiectul cercetării în analiza matematică și ce explică rolul său fundamental în întregul sistem modern de cunoştinţe teoretice şi aplicate .

Imaginați-vă că în fața voastră se află o fotografie color frumos executată a unui val furtunos al oceanului care se repezi pe țărm: un spate puternic aplecat, un piept abrupt, dar ușor scufundat, un cap deja înclinat înainte și gata să cadă cu o coamă cenușie chinuită de vânt. Ai oprit momentul, ai reușit să prinzi valul și acum îl poți studia cu atenție în fiecare detaliu fără grabă. Un val poate fi măsurat și, folosind instrumentele matematicii elementare, puteți trage multe concluzii importante despre acest val și, prin urmare, despre toate surorile sale oceanice. Dar, oprind valul, l-ai lipsit de mișcare și viață. Originea, dezvoltarea, alergarea, forța cu care lovește malul - toate acestea s-au dovedit a fi în afara câmpului tău vizual, pentru că nu ai încă nici un limbaj, nici un aparat matematic potrivit pentru a descrie și a studia nu static, ci în curs de dezvoltare, procese dinamice, variabile și relațiile lor.

„Analiza matematică nu este mai puțin cuprinzătoare decât natura însăși: ea determină toate relațiile tangibile, măsoară timpii, spațiile, forțele, temperaturile.” J. Fourier

Mișcarea, variabilele și relațiile lor ne înconjoară peste tot. Diferite tipuri de mișcare și tiparele lor constituie obiectul principal de studiu al științelor specifice: fizică, geologie, biologie, sociologie etc. Prin urmare, un limbaj exact și metode matematice corespunzătoare pentru descrierea și studierea cantităților variabile s-au dovedit a fi necesare în toate domeniile. de cunoștințe în aproximativ aceeași măsură ca numerele și aritmetica sunt necesare atunci când descriem relațiile cantitative. Deci, analiza matematică stă la baza limbajului și a metodelor matematice de descriere a variabilelor și a relațiilor lor. În zilele noastre, fără analiză matematică este imposibil nu numai să se calculeze traiectoriile spațiale, funcționarea reactoarelor nucleare, mișcarea valurilor oceanului și modelele de dezvoltare a ciclonului, ci și să se gestioneze economic producția, distribuția resurselor, organizarea proceselor tehnologice, să prezică cursul. de reacții chimice sau modificări ale numărului diferitelor specii interconectate în natură animale și plante, deoarece toate acestea sunt procese dinamice.

Matematica elementară a fost în principal matematica cantităților constante, a studiat în principal relațiile dintre elementele figurilor geometrice, proprietățile aritmetice ale numerelor și ecuațiile algebrice. Atitudinea sa față de realitate poate fi comparată într-o oarecare măsură cu un studiu atent, chiar amănunțit și complet al fiecărui cadru fix al unui film, care surprinde în mișcarea sa lumea vie în schimbare și în curs de dezvoltare, care, totuși, nu este vizibilă într-un cadru separat și care poate fi observată doar privind banda în ansamblu. Dar, așa cum cinematograful este de neconceput fără fotografie, tot așa matematica modernă este imposibilă fără acea parte a ei pe care o numim în mod convențional elementară, fără ideile și realizările multor oameni de știință remarcabili, uneori despărțiți de zeci de secole.

Matematica este unită, iar partea „superioară” a acesteia este conectată cu partea „elementară” în aproape același mod în care următorul etaj al unei case în construcție este conectat cu cel anterior, iar lățimea orizontului pe care matematica le deschide pentru noi în lumea din jurul nostru depinde de ce etaj al acestei clădiri am reușit să ajungem la înălțime. Născut în secolul al XVII-lea. analiza matematică a deschis posibilități de descriere științifică, studiu cantitativ și calitativ al variabilelor și mișcării în sensul larg al cuvântului.

Care sunt premisele pentru apariția analizei matematice?

Până la sfârșitul secolului al XVII-lea. A apărut următoarea situație. În primul rând, în cadrul matematicii în sine, de-a lungul multor ani, s-au acumulat câteva clase importante de probleme de același tip (de exemplu, probleme de măsurare a suprafețelor și volumelor figurilor nestandardizate, probleme de trasare a tangentelor la curbe) și metode de rezolvare. au apărut ei în diverse cazuri speciale. În al doilea rând, s-a dovedit că aceste probleme sunt strâns legate de problemele descrierii mișcării mecanice arbitrare (nu neapărat uniforme), și în special de calculul caracteristicilor sale instantanee (viteza, accelerația în orice moment), precum și cu găsirea distanța parcursă pentru deplasarea care are loc la o viteză variabilă dată. Soluția acestor probleme a fost necesară pentru dezvoltarea fizicii, astronomiei și tehnologiei.

În cele din urmă, în al treilea rând, până la mijlocul secolului al XVII-lea. lucrările lui R. Descartes și P. Fermat au pus bazele metodei analitice a coordonatelor (așa-numita geometrie analitică), care a făcut posibilă formularea unor probleme geometrice și fizice de origine eterogenă în limbajul general (analitic) al numerelor. și dependențe numerice sau, așa cum spunem acum, funcții numerice.

NIKOLAY NIKOLAEVICH LUZIN (1883-1950) N. N. Luzin - matematician sovietic, fondator al școlii sovietice de teorie a funcției, academician (1929). Luzin s-a născut la Tomsk și a studiat la gimnaziul din Tomsk. Formalismul cursului de matematică de la gimnaziu l-a înstrăinat pe tânărul talentat și numai un tutore capabil a putut să-i dezvăluie frumusețea și măreția științei matematice. În 1901, Luzin a intrat în departamentul de matematică al Facultății de Fizică și Matematică a Universității din Moscova. Încă din primii ani de studii, problemele legate de infinit au intrat în cercul său de interese. La sfârşitul secolului al XIX-lea. Omul de știință german G. Cantor a creat teoria generală a mulțimilor infinite, care a primit numeroase aplicații în studiul funcțiilor discontinue. Luzin a început să studieze această teorie, dar studiile i-au fost întrerupte în 1905. Studentul, care a luat parte la activități revoluționare, a trebuit să plece pentru o perioadă în Franța. Acolo a ascultat prelegeri ale celor mai importanți matematicieni francezi ai vremii. La întoarcerea în Rusia, Luzin a absolvit universitatea și a fost lăsat să se pregătească pentru o profesie. Curând a plecat din nou la Paris, apoi la Göttingen, unde s-a apropiat de mulți oameni de știință și a scris primele sale lucrări științifice. Principala problemă care l-a interesat pe om de știință a fost întrebarea dacă ar putea exista mulțimi care să conțină mai multe elemente decât mulțimea numerelor naturale, dar mai puține decât mulțimea de puncte de pe un segment (problema continuului). În 1917, Luzin a devenit profesor la Universitatea din Moscova. Profesor talentat, a atras cei mai capabili studenți și tineri matematicieni. Școala lui Luzin a atins apogeul în primii ani post-revoluționari. Elevii lui Luzin au format o echipă creativă, pe care au numit-o în glumă „Lusitania”. Mulți dintre ei au primit rezultate științifice de primă clasă în timp ce erau încă studenți. De exemplu, P. S. Aleksandrov și M. Ya Suslin (1894-1919) au descoperit o nouă metodă de construire a mulțimilor, care a servit drept început pentru dezvoltarea unei noi direcții - teoria descriptivă a mulțimilor. Cercetările în acest domeniu efectuate de Luzin și studenții săi au arătat că metodele obișnuite ale teoriei mulțimilor nu sunt suficiente pentru a rezolva multe dintre problemele care apar în aceasta. Predicțiile științifice ale lui Luzin au fost pe deplin confirmate în anii '60. secolul XX Mulți dintre studenții lui N. N. Luzin au devenit ulterior academicieni și membri corespondenți ai Academiei de Științe a URSS. Printre ei se numără P. S. Alexandrov. A. N. Kolmogorov. M. A. Lavrentyev, L. A. Lyusternik, D. E. Menshov, P. S. Novikov. L. G. Shnirelman și alții.

Matematicienii sovietici moderni și străini dezvoltă în lucrările lor ideile lui N. N. Luzin.

Confluența acestor împrejurări a dus la faptul că la sfârșitul secolului al XVII-lea. doi oameni de știință - I. Newton și G. Leibniz - au reușit, în mod independent unul de celălalt, să creeze un aparat matematic pentru rezolvarea acestor probleme, însumând și generalizând rezultatele individuale ale predecesorilor lor, inclusiv vechiul om de știință Arhimede și contemporanii lui Newton și Leibniz - B. Cavalieri, B. Pascal, D. Gregory, I. Barrow. Acest aparat a stat la baza analizei matematice - o nouă ramură a matematicii care studiază diferite procese de dezvoltare, de ex. relații între variabile, care în matematică se numesc dependențe funcționale sau, cu alte cuvinte, funcții. Apropo, termenul „funcție” în sine a fost necesar și a apărut în mod natural tocmai în secolul al XVII-lea, iar până acum a dobândit nu numai semnificație generală matematică, ci și științifică generală.

Informațiile inițiale despre conceptele de bază și aparatul matematic de analiză sunt oferite în articolele „Calcul diferențial” și „Calcul integral”.

Să ne uităm la câteva exemple ilustrative și analogii.

Uneori nu ne mai dăm seama că, de exemplu, o relație matematică scrisă nu pentru mere, scaune sau elefanți, ci într-o formă abstractă extrasă de anumite obiecte, este o realizare științifică remarcabilă. Aceasta este o lege matematică care, după cum arată experiența, este aplicabilă diferitelor obiecte specifice. Aceasta înseamnă că, studiind în matematică proprietățile generale ale numerelor abstracte, abstracte, studiem astfel relațiile cantitative ale lumii reale.

De exemplu, de la un curs de matematică școlar se știe că, deci într-o situație anume ați putea spune: „Dacă nu îmi dau două basculante de șase tone pentru a transporta 12 tone de pământ, atunci pot cere trei autobasculante de patru tone și treaba se va termina, iar dacă îmi dau doar o autobasculantă de patru tone, atunci va trebui să facă trei zboruri.” Astfel, numerele abstracte și modelele numerice care ne sunt acum familiare sunt asociate cu manifestările și aplicațiile lor specifice.

Legile schimbării în variabilele specifice și procesele de dezvoltare ale naturii sunt legate aproximativ în același mod de forma-funcția abstractă, abstractă în care apar și sunt studiate în analiza matematică.

De exemplu, un raport abstract poate reflecta dependența casei de bilete a unui cinema de numărul de bilete vândute, dacă 20 este 20 de copeici - prețul unui bilet. Dar dacă mergem cu bicicleta pe o autostradă, parcurgând 20 km pe oră, atunci același raport poate fi interpretat ca relația dintre timpul (ore) călătoriei noastre cu bicicleta și distanța parcursă în acest timp (kilometri). spuneți întotdeauna că, de exemplu, o modificare de mai multe ori duce la o modificare proporțională (adică, de același număr de ori) a valorii lui , iar dacă , atunci concluzia opusă este de asemenea adevărată. Aceasta înseamnă, în special, pentru a dubla biletul de birou al unui cinematograf, va trebui să atragi de două ori mai mulți spectatori, iar pentru a călători de două ori mai departe cu o bicicletă la aceeași viteză, va trebui să mergi de două ori mai mult. .

Matematica studiază atât cea mai simplă dependență, cât și alte dependențe, mult mai complexe, într-o formă generală, abstractă, abstrasă dintr-o anumită interpretare. Proprietățile unei funcții sau metodele de studiere a acestor proprietăți identificate într-un astfel de studiu vor fi de natura tehnicilor matematice generale, concluziilor, legilor și concluziilor aplicabile fiecărui fenomen specific în care apare funcția studiată în formă abstractă, indiferent de arie. de cunoaștere îi aparține acest fenomen.

Deci, analiza matematică ca ramură a matematicii a luat contur la sfârșitul secolului al XVII-lea. Subiectul de studiu în analiza matematică (așa cum apare din pozițiile moderne) sunt funcțiile, sau, cu alte cuvinte, dependențele dintre mărimile variabile.

Odată cu apariția analizei matematice, matematica a devenit accesibilă studiului și reflectării proceselor în curs de dezvoltare în lumea reală; matematica a inclus variabile și mișcare.

5.3 Analiza matematică

Fondatorii științei moderne - Copernic, Kepler, Galileo și Newton - au abordat studiul naturii ca matematică. Studiind mișcarea, matematicienii au dezvoltat un astfel de concept fundamental ca o funcție sau o relație între variabile, de exemplu d = kt2, unde d este distanța parcursă de un corp în cădere liberă și t este numărul de secunde în care se află corpul. cădere liberă. Conceptul de funcție a devenit imediat central în determinarea vitezei la un moment dat în timp și a accelerației unui corp în mișcare. Dificultatea matematică a acestei probleme a fost că în orice moment corpul parcurge distanță zero în timp zero. Prin urmare, determinând valoarea vitezei la un moment de timp prin împărțirea traseului în timp, ajungem la expresia fără sens matematic 0/0.

Problema determinării și calculării ratelor instantanee de modificare a diferitelor cantități a atras atenția aproape tuturor matematicienilor secolului al XVII-lea, inclusiv Barrow, Fermat, Descartes și Wallis. Ideile și metodele disparate pe care le-au propus au fost combinate într-o metodă formală sistematică, aplicabilă universal de către Newton și G. Leibniz (1646 - 1716), creatorii calculului diferențial. Au existat dezbateri aprinse între ei pe tema priorității în dezvoltarea acestui calcul, Newton acuzându-l pe Leibniz de plagiat. Cu toate acestea, după cum au arătat cercetările istoricilor științei, Leibniz a creat analiza matematică independent de Newton. Ca urmare a conflictului, schimbul de idei între matematicienii din Europa continentală și Anglia a fost întrerupt timp de mulți ani, în detrimentul părții engleze. Matematicienii englezi au continuat să dezvolte ideile de analiză într-o direcție geometrică, în timp ce matematicienii Europei continentale, inclusiv I. Bernoulli (1667 - 1748), Euler și Lagrange au obținut un succes incomparabil mai mare în urma abordării algebrice sau analitice.

Baza oricărei analize matematice este conceptul de limită. Viteza într-un moment este definită ca limita la care tinde viteza medie pe măsură ce valoarea lui t se apropie de zero. Calculul diferențial oferă o metodă generală convenabilă din punct de vedere computațional pentru găsirea ratei de modificare a unei funcții pentru orice valoare a lui x. Această viteză se numește derivată. Din generalitatea notației, este clar că conceptul de derivată este aplicabil nu numai în probleme legate de necesitatea de a găsi viteză sau accelerație, ci și în raport cu orice dependență funcțională, de exemplu, de o relație din teoria economică. Una dintre principalele aplicații ale calculului diferențial este așa-numita. sarcini maxime și minime; Un alt domeniu important de probleme este găsirea tangentei la o curbă dată.

S-a dovedit că, cu ajutorul unui derivat, special inventat pentru a lucra cu probleme de mișcare, este posibil să se găsească și zone și volume limitate de curbe și respectiv suprafețe. Metodele geometriei euclidiene nu au avut generalitatea necesară și nu au permis obținerea rezultatelor cantitative cerute. Prin eforturile matematicienilor secolului al XVII-lea. Au fost create numeroase metode private care au făcut posibilă găsirea ariilor figurilor delimitate de curbe de un tip sau altul, iar în unele cazuri s-a remarcat legătura dintre aceste probleme și problemele de găsire a ratei de schimbare a funcțiilor. Dar, ca și în cazul calculului diferențial, Newton și Leibniz au fost cei care au realizat generalitatea metodei și, prin urmare, au pus bazele calculului integral.

Metoda Newton-Leibniz începe prin înlocuirea curbei care încadrează aria ce urmează a fi determinată printr-o succesiune de linii întrerupte care o aproximează, asemănătoare cu metoda de epuizare inventată de greci. Aria exactă este egală cu limita sumei ariilor a n dreptunghiuri când n merge la infinit. Newton a arătat că această limită poate fi găsită inversând procesul de găsire a ratei de schimbare a unei funcții. Operația inversă de diferențiere se numește integrare. Afirmația că însumarea poate fi realizată prin diferențierea inversă se numește teorema fundamentală a calculului. La fel cum diferențierea este aplicabilă unei clase mult mai largi de probleme decât găsirea vitezelor și accelerațiilor, integrarea este aplicabilă oricărei probleme care implică însumarea, cum ar fi problemele de fizică care implică adăugarea de forțe.

algoritmul lui Dijkstra

TEORIA GRAFURILOR este un domeniu al matematicii discrete, o caracteristică a căruia este o abordare geometrică a studiului obiectelor. Obiectul principal al teoriei grafurilor este graful și generalizările lui...

Oameni remarcabili ai statisticilor. P.L. Cebişev

Cel mai mare număr de lucrări ale lui Cebyshev sunt dedicate analizei matematice. În disertația sa din 1847 pentru dreptul de a ține prelegeri, Cebyshev a investigat integrabilitatea anumitor expresii iraționale în funcții algebrice și logaritmi...

Să analizăm manualele de algebră și începuturile analizei matematice ale unor autori precum A.N. Kolmogorov. și Mordkovich A.G. În manualul pentru clasele 10-11, 2008, instituţiile de învăţământ general, editat de A.N. Kolmogorov, ai cărui autori: A.N...

Studierea proprietăților variabilelor aleatoare, planificarea unui experiment și analiza datelor

Să obținem dependența preciziei metodei de măsurare a rezistenței de factorii: A, C, E. Să calculăm z0j = (zmaxj + zminj)/2 (41) ?zj = (zmaxj - zminj)/2 (42 ) xj = (zj - z0j)/ ? zj (43) Să creăm o matrice de planificare...

Studiul unei metode de continuare a soluției în raport cu un parametru pentru sistemele de control automat neliniar

După ce am analizat materialul grafic și de testare de mai sus care descrie soluția sistemelor de ecuații algebrice neliniare prin metoda continuării soluției în raport cu un parametru, putem trage următoarele concluzii: 1...

Regresia este dependența valorii medii a unei valori Y de o altă valoare X. Conceptul de regresie într-un sens generalizează conceptul de dependență funcțională y = f(x)...

Studiul dependenței statistice a presiunii într-un gaz ideal Fermi-Dirac de temperatura acestuia

Regresia liniară Pentru a găsi coeficienții a și b folosind metoda celor mai mici pătrate, s-au calculat următorii parametri necesari: = 3276,8479; = 495,4880; = 2580,2386; = 544,33; În cazul nostru, coeficienții a și b sunt, respectiv, egali: . Prin urmare...

Metode algebrice iterative pentru reconstrucția imaginilor

Examinând datele de calcul pentru aceste probleme, putem spune că pentru această metodă numărul de ecuații și numărul de necunoscute joacă un rol semnificativ...

Matematica și lumea modernă

Orice explicație precisă a acestui sau aceluia fenomen este matematică și, invers, tot ceea ce este precis este matematică. Orice descriere exactă este o descriere în limbajul matematic adecvat...

Modelare matematică în probleme de calcul şi proiectare a sistemelor de control automat

Să analizăm sistemul necorectat folosind criteriile lui Mikhailov și Hurwitz. Să aflăm funcţia de transfer a întregului sistem Să compunem matricea Hurwitz a0=1; a1=7,4; a2=19; a3=10; Conform criteriului Hurwitz pentru aceasta...

Metoda celor mai mici pătrate

Să începem cu conceptul de analiză regresivă a varianței. Să examinăm acest concept folosind exemplul unei dependențe liniare. După metoda celor mai mici pătrate, ne putem imagina: , unde. Aici a doua relație este ecuația de regresie găsită, există o variabilă aleatorie cu medie...

Optimizare Minimax și multi-criterii

Înainte de a începe să luăm în considerare problema de optimizare în sine, vom cădea de acord asupra aparatului matematic pe care îl vom folosi. Pentru a rezolva probleme cu un singur criteriu, este suficient să poți lucra cu o funcție a unei variabile...

Variabilă aleatoare continuă

Analiza regresiei este o metodă de modelare a datelor măsurate și de studiere a proprietăților acestora. Datele constau din perechi de valori ale unei variabile dependente (variabila raspuns) si ale unei variabile independente (variabila explicativa)...

Caracteristicile limbajului matematicii

Pentru a descrie timpul, înțeles ca timpul lumii vieții, timpul existenței umane, limbajul fenomenologiei este cel mai convenabil. Dar o descriere fenomenologică a timpului și a eternității poate folosi limbajul matematic...

Metode numerice de rezolvare a ecuațiilor și sistemelor diferențiale obișnuite

De la reprezentarea grafică a soluției la un sistem de ecuații diferențiale de ordinul întâi care descriu dinamica populațiilor a două specii care interacționează între ele în funcție de tipul „prădător-pradă” și ținând cont de interacțiunea intraspecifică, este clar...

Scopul general al cursului este de a dezvălui studenților care finalizează învățământul general de matematică unele aspecte istorice ale matematicii și de a arăta, într-o oarecare măsură, natura creativității matematice. Panorama generală a dezvoltării ideilor și teoriilor matematice, din perioadele babiloniene și egiptene până la începutul secolului al XX-lea, este examinată într-o formă concisă. Cursul include o secțiune „Matematică și informatică”, care oferă o privire de ansamblu asupra reperelor din istoria tehnologiei computerelor, fragmente din istoria dezvoltării computerelor în Rusia și fragmente din istoria informaticii. O listă destul de mare de referințe și unele materiale de referință pentru munca independentă și pentru pregătirea rezumatelor sunt oferite ca materiale didactice.

• Perioada de acumulare a cunoștințelor matematice.
  Formarea conceptelor primare: numere și forme geometrice. Matematica în țările civilizațiilor antice - în Egiptul Antic, Babilon, China, India. Tipuri de bază de sisteme numerice. Primele realizări ale aritmeticii, geometriei, algebrei.
• Matematica mărimilor constante.
  Formarea științei matematice (sec. VI î.Hr. – sec. VI d.Hr). Crearea matematicii ca știință deductivă abstractă în Grecia Antică.
  Condiții pentru dezvoltarea matematicii în Grecia Antică.
• Scoala lui Pitagora. Descoperirea incomensurabilității și crearea algebrei geometrice. Probleme celebre ale antichității. Metoda epuizării, metode infinitezimale ale lui Eudox și Arhimede.
  Construcția axiomatică a matematicii în Elementele lui Euclid. „Secțiuni conice” de Apollonius. Știința primelor secole ale erei noastre: „Mecanica” lui Heron, „Almagest” al lui Ptolemeu, „Geografia” sa, apariția unei noi algebre cu litere în lucrările lui Diophantus și începutul studiului ecuațiilor nedefinite. Declinul științei antice.
• Matematica popoarelor din Asia Centrală și Orientul arab în secolele VII-XVI. Separarea algebrei într-un domeniu independent al matematicii. Formarea trigonometriei în aplicațiile matematicii la astronomie. Starea cunoștințelor matematice în Europa de Vest și Rusia în Evul Mediu. „Cartea lui Abacus” de Leonardo din Pisa.
  Deschiderea primelor universități. Progresele în matematică ale Renașterii.
• Panoramă a dezvoltării matematicii în secolele XVII-XIX.
  Formarea matematicii cantităților variabile în secolul al XVII-lea, legătura cu astronomia: legile lui Kepler și lucrările lui Galileo, dezvoltarea ideilor lui Copernic.
• Invenția logaritmilor. Forme diferenţiate şi metode de integrare în lucrările lui Kepler, Cavalieri, Fermat, Descartes, Pascal, Wallis, N. Mercator. Crearea analizei matematice de către Newton și Leibniz. Analiza matematică în secolul al XVIII-lea. și legătura ei cu știința naturii.
  opera lui Euler. Doctrina funcțiilor. Crearea si dezvoltarea calculului variatiilor, teoria ecuatiilor diferentiale si teoria ecuatiilor integrale. Serii de putere și serii trigonometrice. Teoria generală a funcțiilor unei variabile complexe de Riemann și Weierstrass.
• Formarea analizei funcționale. Probleme de fundamentare a analizei matematice. Construcția sa se bazează pe doctrina limitelor. Lucrări de Cauchy, Bolzano și Weierstrass. Teorii ale numărului real (de la Eudoxus la Dedekind). Crearea teoriei mulțimilor infinite de către Cantor și Dedekind.
  Primele paradoxuri și probleme ale fundamentelor matematicii.
  Matematica în Rusia (recenzie).
  Fragmente din istoria dezvoltării computerelor în Rusia.

Dezvoltări ale S.A. Lebedev și studenții săi, aplicarea lor (calcularea orbitelor planetelor mici, desenarea hărților din studii geodezice, crearea dicționarelor și a programelor de traducere etc.). Crearea mașinilor casnice (A.A. Lyapunov, A.P. Ershov, B.I. Rameev, M.R. Shura-Bura, G.P. Lopato, M.A. Kartsev și mulți alții), apariția computerelor personale.

1. Utilizarea cu mai multe fațete a mașinilor: controlul zborurilor spațiale, observarea spațiului cosmic, în munca științifică, pentru controlul proceselor tehnologice, prelucrarea datelor experimentale, dicționare și traducători electronici, sarcini economice, mașini pentru profesori și elevi, calculatoare de uz casnic etc.).
2. SUBIECTE ALE REZUMELOR
3. Seria biografică.
4. Istoria formării și dezvoltării unei anumite ramuri a matematicii într-o anumită perioadă. Istoria formării și dezvoltării matematicii într-o anumită perioadă istorică într-o anumită stare.
5. Istoria apariției centrelor științifice și rolul acestora în dezvoltarea ramurilor specifice ale matematicii.
6. Istoria formării și dezvoltării informaticii pentru anumite perioade de timp.
7. Fondatorii unor domenii ale informaticii.

1. Oameni de știință remarcabili specifici și cultură mondială în diferite perioade.
2. Din istoria matematicii ruse (o epocă istorică specifică și indivizi specifici).
3. Mecanica antică („Echipament militar al antichității”).
4. Matematica în timpul califatului arab.
5. Fundamentele geometriei: de la Euclid la Hilbert.
6. Remarcabilul matematician Niels Henrik Abel.
7. Enciclopedul din secolul al XV-lea Gerolamo Cardano.
8. Marea familie Bernoulli.
9. Figuri proeminente în dezvoltarea teoriei probabilităților (de la Laplace la Kolmogorov).
10. Perioada precursorului creării calculului diferențial și integral.
11. Newton și Leibniz sunt creatorii calculului diferențial și integral.
12. Alexey Andreevich Lyapunov este creatorul primului computer din Rusia.
13. „Pasiunea pentru știință” (S.V. Kovalevskaya).
14. Blaise Pascal.
15. De la abac la computer.
16. „A putea da direcție este un semn de geniu.” Serghei Alekseevici Lebedev.
17. Dezvoltator și designer al primului computer din Uniunea Sovietică.
18. Mândria științei ruse este Pafnutiy Lvovich Chebyshev.
19. François Viète este părintele algebrei moderne și un criptograf strălucit.
20. Andrei Nikolaevici Kolmogorov și Pavel Sergeevich Alexandrov sunt fenomene unice ale culturii ruse, comoara ei națională.
21. Cibernetică: neuroni – automate – perceptroni.
22. Cum a fost inventat computerul personal.
23. Din istoria criptografiei.
24. Generalizarea conceptului de spațiu geometric. Istoria creării și dezvoltării topologiei.
25. Raportul de aur în muzică, astronomie, combinatorică și pictură.
26. Raportul de aur în sistemul solar.
27. Limbaje de programare, clasificarea și dezvoltarea lor.
28. Teoria probabilității. Aspect al istoriei.
29. Istoria dezvoltării geometriei non-euclidiene (Lobachevsky, Gauss, Bolyai, Riemann).
30. Regele teoriei numerelor este Carl Friedrich Gauss.
31. Trei probleme celebre ale antichității ca stimulent pentru apariția și dezvoltarea diferitelor ramuri ale matematicii.
32. Aryabhata, „Copernic al Orientului”.
33. David Gilbert. 23 probleme Hilbert.
34. Dezvoltarea conceptului de număr de la Eudoxus la Dedekind.
35. Metode integrale în Eudoxus și Arhimede.
36. Întrebări de metodologie a matematicii. Ipoteze, legi și fapte.
37. Întrebări de metodologie matematică. Metode ale matematicii.
38. Întrebări de metodologie matematică. Structură, forțe motrice, principii și modele.
39. Pitagora este un filozof și matematician.
40. Galileo Galilei. Formarea mecanicii clasice.
41. Calea vieții și activitatea științifică a M.V. Ostrogradsky.
42. Contribuția oamenilor de știință ruși la teoria probabilității.
43. Dezvoltarea matematicii în Rusia în secolele al XVIII-lea și al XIX-lea.
44. Istoria descoperirii logaritmilor și a legăturii lor cu zonele.
45. Din istoria dezvoltării tehnologiei informatice.
46. Calculatoare înainte de era electronică.
47. Primele calculatoare.
48. Repere în istoria tehnologiei de calcul rusești și a matematicii computerizate.
49. Istoria dezvoltării sistemelor de operare.
50. Cronologia apariției WINDOWS 98.
51. B. Pascal, G. Leibniz, P. Cebyshev.
52. Norbert Wiener, Claude Shannon și teoria informaticii.
53. Din istoria matematicii din Rusia.
54. Viața și opera lui Gauss.
55. Formarea și dezvoltarea topologiei.
56. Évariste Galois – matematician și revoluționar.
57. Raportul de aur de la Leonardo Fibonacci și Leonardo da Vinci până în secolul XXI.
58. Matematica în Rusia în secolele XVIII-XIX.
59. Informatică, probleme de istorie.
60. Din istoria matematicii ruse: N.I. Ostrogradsky, S.V.
61. Cibernetică: neuroni – automate – perceptroni.
62. Matematică antică secolele VI-IV. î.Hr
63. Limbaje de programare: probleme istorice.
64. Leonard Euler.
65. Istoria creării calculului integral și diferențial de I. Newton și G. Leibniz.
66. Matematica secolului al XVII-lea ca precursor al creării analizei matematice.

Analiza matematică după Newton și Leibniz: critică și justificare.

Știm deja că una dintre direcțiile principale în dezvoltarea matematicii în perioada a patra este întărirea rigoarei demonstrațiilor în toată matematica, în special restructurarea analizei matematice pe baze logice. În a doua jumătate a secolului al XVIII-lea. s-au făcut numeroase încercări de reconstrucție a analizei matematice: introducerea definiției unei limite (D'Alembert și colab.), definirea derivatei ca limită a unui raport (Euler și colab.), rezultatele lui Lagrange și Carnot , etc., dar acestor lucrări le lipsea un sistem, iar uneori nu aveau succes. Cu toate acestea, au pregătit terenul pe care perestroika în secolul al XIX-lea. ar putea fi implementate. În secolul al XIX-lea Această direcție de dezvoltare a analizei matematice a devenit cea de conducere. A fost preluat de O. Cauchy, B. Bolzano, K. Weierstrass ș.a.

1. Augustin Louis Cauchy (1789−1857) a absolvit Ecole Polytechnique și Institutul de Comunicații din Paris. Din 1816, membru al Academiei din Paris și profesor la Ecole Polytechnique. În 1830−1838 În anii republicii, a fost în exil din cauza credințelor sale monarhiste. Din 1848, Cauchy a devenit profesor la Sorbona - Universitatea din Paris. A publicat peste 800 de lucrări despre analiza matematică, ecuații diferențiale, teoria funcțiilor unei variabile complexe, algebră, teoria numerelor, geometrie, mecanică, optică etc. Principalele domenii ale intereselor sale științifice au fost analiza matematică și teoria funcțiilor unui variabilă complexă.

Cauchy și-a publicat prelegerile despre analiză, susținute la Școala Politehnică, în trei lucrări: „A Course in Analysis” (1821), „Summary of Lectures on Infinitesimal Calculus” (1823), „Lecture on Applications of Analysis to Geometry”, 2. volume (1826, 1828). În aceste cărți, pentru prima dată, analiza matematică este construită pe baza teoriei limitelor. au marcat începutul unei restructurări radicale a analizei matematice.

Cauchy dă următoarea definiție a limitei unei variabile: „Dacă valorile atribuite succesiv aceleiași variabile se apropie de o valoare fixă ​​pe termen nelimitat, astfel încât în ​​cele din urmă să se deosebească de aceasta cât mai puțin posibil, atunci aceasta din urmă se numește limita tuturor celorlalte.” Esența problemei este bine exprimată aici, dar cuvintele „atât cât se dorește” în sine au nevoie de definiție și, în plus, definiția limitei unei variabile, și nu a limitei unei funcții, este formulată aici. În continuare, autorul demonstrează diverse proprietăți ale limitelor.

Atunci Cauchy dă următoarea definiție a continuității unei funcții: o funcție se numește continuă (într-un punct) dacă o creștere infinitezimală în argument generează o creștere infinitezimală în funcție, adică în limbajul modern.

Apoi el are diverse proprietăți ale funcțiilor continue.

Prima carte examinează, de asemenea, teoria seriei: dă definiția sumei unei serii de numere ca limită a sumei sale parțiale, introduce o serie de criterii suficiente pentru convergența seriilor de numere, precum și a seriei de puteri și a regiunii. a convergenţei lor – toate acestea atât în ​​domeniul real cât şi în cel complex.

El prezintă calculul diferențial și integral în a doua sa carte.

Cauchy definește derivata unei funcții ca fiind limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului, când incrementul argumentului tinde spre zero, iar diferența ca limită a raportului De aici rezultă că.

Formulele derivate uzuale sunt discutate în continuare; în acest caz, autorul folosește adesea teorema valorii medii a lui Lagrange.

În calculul integral, Cauchy propune mai întâi integrala definită ca concept de bază. De asemenea, o introduce pentru prima dată ca limită a sumelor integrale. Aici demonstrăm o teoremă importantă privind integrabilitatea unei funcții continue. Integrala lui nedefinită este definită ca o funcție a argumentului că, în plus, aici sunt considerate expansiuni ale funcțiilor din seria Taylor și Maclaurin.

În a doua jumătate a secolului al XIX-lea. un număr de oameni de știință: B. Riemann, G. Darboux și alții au găsit condiții noi pentru integrabilitatea unei funcții și chiar au schimbat însăși definiția unei integrale definite astfel încât să poată fi aplicată la integrarea unor funcții discontinue.

În teoria ecuațiilor diferențiale, Cauchy s-a preocupat în principal de dovezi ale teoremelor de existență fundamental importante: existența unei soluții la o ecuație diferențială obișnuită, mai întâi de ordinul întâi și apoi de ordinul al treilea; existența unei soluții pentru un sistem liniar de ecuații cu diferențe parțiale.

Să revenim la conceptele de bază ale analizei matematice. În a doua jumătate a secolului, a devenit clar că omul de știință ceh Bernard Bolzano (1781 - 1848) a făcut multe în domeniul analizei fundamentate înainte de Cauchy și Weierschtrass. Înainte de Cauchy, el a dat definiții ale limitei, continuității unei funcții și convergenței unei serii de numere, a dovedit un criteriu pentru convergența unei secvențe de numere și, de asemenea, cu mult înainte de a apărea în Weierstrass, teorema: dacă o mulțime de numere este delimitat deasupra (dedesubt), apoi are o margine superioară exactă (margine inferioară exactă. El a luat în considerare o serie de proprietăți ale funcțiilor continue; Să ne amintim că în cursul universitar de analiză matematică există teoremele Bolzano–Cauchy și Bolzano–Weierstrass asupra funcțiilor continue pe un interval. Bolzano a investigat și unele probleme de analiză matematică, de exemplu, a construit primul exemplu de funcție care este continuă pe un segment, dar nu are o derivată în niciun punct al segmentului. În timpul vieții sale, Bolzano a putut publica doar cinci lucrări mici, așa că rezultatele sale au devenit cunoscute prea târziu.

2. În analiza matematică s-a resimțit din ce în ce mai clar lipsa unei definiții clare a unei funcții. O contribuție semnificativă la soluționarea disputei despre ce se înțelege prin funcție a avut-o savantul francez Jean Fourier. A studiat teoria matematică a conductivității termice în solide și, în legătură cu aceasta, a folosit serii trigonometrice (seria Fourier)

aceste serii au devenit ulterior utilizate pe scară largă în fizica matematică, o știință care se ocupă cu metodele matematice pentru studiul ecuațiilor cu diferențe parțiale întâlnite în fizică. Fourier a demonstrat că orice curbă continuă, indiferent din ce părți diferite este compusă, poate fi definită printr-o singură expresie analitică - o serie trigonometrică și că acest lucru se poate face și pentru unele curbe cu discontinuități. Studiul lui Fourier asupra unor astfel de serii a ridicat încă o dată întrebarea ce se înțelege prin funcție. Poate fi considerată o astfel de curbă pentru a defini o funcție? (Aceasta este o reînnoire a vechii dezbateri din secolul al XVIII-lea despre relația dintre funcție și formulă la un nou nivel.)

În 1837, matematicianul german P. Direchle a dat pentru prima dată o definiție modernă a unei funcții: „este o funcție a unei variabile (pe un interval dacă fiecărei valori (pe acest interval) îi corespunde o valoare complet specifică, și nu contează cum această corespondență este stabilită - printr-o formulă analitică, un grafic, un tabel sau chiar doar în cuvinte.” Adăugarea este demnă de remarcat: „nu contează cum este stabilită această corespondență”, a câștigat destul de repede acceptarea generală.

3. Standardul modern de rigoare în analiza matematică a apărut pentru prima dată în lucrările lui Weierstrass (1815−1897) A lucrat mult timp ca profesor de matematică în gimnazii, iar în 1856 a devenit profesor la Universitatea din Berlin. Ascultătorii prelegerilor sale le-au publicat treptat sub formă de cărți separate, datorită cărora conținutul prelegerilor lui Weierstrass a devenit bine cunoscut în Europa. Weierstrass a fost cel care a început să folosească în mod sistematic limbajul în analiza matematică. El a dat o definiție a limitei unei secvențe, o definiție a limitei unei funcții în limbaj (care este adesea numită în mod incorect definiția Cauchy), a demonstrat riguros teoreme despre limite. și așa-numita teoremă Weierstrass asupra limitei unei secvențe monotone: o secvență crescătoare (descrescătoare), mărginită de sus (de jos), are o limită finită. A început să folosească conceptele limitelor exacte superioare și inferioare exacte ale unei mulțimi numerice, conceptul de punct limită al unei mulțimi, a demonstrat teorema (care are un alt autor - Bolzano): o mulțime numerică mărginită are un punct limită, și au luat în considerare unele proprietăți ale funcțiilor continue. Weierstrass a dedicat multe lucrări teoriei funcțiilor unei variabile complexe, fundamentând-o cu ajutorul seriei de puteri. De asemenea, a studiat calculul variațiilor, geometria diferențială și algebra liniară.

4. Să ne oprim asupra teoriei mulţimilor infinite. Creatorul său a fost matematicianul german Cantor. Georg Kantor (1845-1918) a lucrat mulți ani ca profesor la Universitatea din Halle. A publicat lucrări despre teoria platourilor începând cu 1870. El a demonstrat nenumărabilitatea mulțimii numerelor reale, stabilind astfel existența unor mulțimi infinite neechivalente, a introdus conceptul general de putere a unei mulțimi și a elucidat principiile de comparare a puterilor. Cantor a construit o teorie a numerelor transfinite, „improprie”, atribuind cel mai mic, cel mai mic număr transfinit puterii unei mulțimi numărabile (în special, mulțimii numerelor naturale), puterii mulțimii de numere reale - o mai mare, număr transfinit mai mare etc.; aceasta i-a dat ocazia să construiască o aritmetică a numerelor transfinite, similară cu aritmetica obișnuită a numerelor naturale. Cantor a aplicat sistematic infinitul actual, de exemplu, posibilitatea de a „epuiza” complet seria naturală de numere, în timp ce înaintea lui în matematica secolului al XIX-lea. a fost folosit doar infinitul potențial.

Teoria mulțimilor a lui Cantor a stârnit obiecții din partea multor matematicieni când a apărut, dar recunoașterea a venit treptat când importanța sa enormă pentru justificarea topologiei și teoria funcțiilor unei variabile reale a devenit clară. Dar au rămas lacune logice în teoria însăși, în special, au fost descoperite paradoxuri ale teoriei mulțimilor. Iată unul dintre cele mai cunoscute paradoxuri. Să notăm prin mulțime toate astfel de mulțimi care nu sunt elemente ale lor. Includerea este valabilă și nu este un element, deoarece, prin condiție, numai astfel de mulțimi sunt incluse ca elemente care nu sunt elemente ale lor însele; dacă condiția este valabilă, includerea este o contradicție în ambele cazuri.

Aceste paradoxuri au fost asociate cu inconsecvența internă a unor seturi. A devenit clar că nu orice mulțime poate fi folosită în matematică. Existența paradoxurilor a fost depășită de creație deja la începutul secolului al XX-lea. teoria axiomatică a mulțimilor (E. Zermelo, A. Frenkel, D. Neumann etc.), care, în special, a răspuns la întrebarea: ce mulțimi pot fi folosite în matematică? Se dovedește că puteți folosi mulțimea goală, uniunea mulțimilor date, mulțimea tuturor submulțimii unei mulțimi date etc.