Ecuații diferențiale liniare omogene. Ecuații diferențiale omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți Ecuații diferențiale omogene de ordinul 2
În acest articol vom analiza principiile rezolvării ecuațiilor diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți, unde p și q sunt arbitrare numere reale. Mai întâi, să ne concentrăm pe teorie, apoi să aplicăm rezultatele obținute în rezolvarea exemplelor și problemelor.
Dacă întâlniți termeni nefamiliari, consultați secțiunea privind definițiile și conceptele teoriei ecuațiilor diferențiale.
Să formulăm o teoremă care să indice sub ce formă să găsim soluția generală a LOD.
Teorema.
Soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene cu coeficienți continui pe intervalul de integrare X este determinată de o combinație liniară 
, Unde 
sunt soluții parțiale liniar independente ale LDE pe X și sunt constante arbitrare.
Astfel, soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți are forma y 0 =C 1 ⋅y 1 +C 2 ⋅y 2, unde y 1 și y 2 sunt soluții parțial liniar independente, iar C 1 și C 2 sunt constante arbitrare. Rămâne să înveți cum să găsești soluții parțiale y 1 și y 2.
Euler a sugerat să se caute soluții speciale sub forma .
Dacă luăm o soluție parțială a unei LODE de ordinul doi cu coeficienți constanți, atunci când înlocuim această soluție în ecuație ar trebui să obținem identitatea: 
Așa că am primit așa-zisul ecuație caracteristică ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți. Soluțiile k 1 și k 2 ale acestei ecuații caracteristice determină soluții parțiale ale LODE de ordinul doi cu coeficienți constanți.
În funcție de coeficienții p și q, rădăcinile ecuației caracteristice pot fi:
În primul caz soluțiile parțiale liniar independente ale ecuației diferențiale inițiale sunt și , soluția generală a unei LODE de ordinul doi cu coeficienți constanți este .
Funcțiile și sunt într-adevăr liniar independente, deoarece determinantul Wronski este diferit de zero pentru orice x real pentru .
În al doilea caz o soluție specială este funcția . Ca a doua soluție particulară o luăm. Să arătăm ce este cu adevărat o soluție parțială a unei LODE de ordinul doi cu coeficienți constanți și să demonstrăm independența liniară a lui y 1 și y 2.
Deoarece k 1 = k 0 și k 2 = k 0 sunt aceleași rădăcini ale ecuației caracteristice, aceasta are forma . Prin urmare, este ecuația diferențială liniară omogenă inițială. Să o substituim în el și să ne asigurăm că ecuația devine o identitate: 
Astfel, este o soluție parțială a ecuației inițiale.
Să arătăm independența liniară a funcțiilor și . Pentru a face acest lucru, calculăm determinantul Wronski și ne asigurăm că este diferit de zero. 
Concluzie: soluțiile parțiale liniar independente ale LODE de ordinul doi cu coeficienți constanți sunt și , iar soluția generală există pentru .
În al treilea caz avem o pereche de soluții parțiale complexe ale LDE și . Soluția generală se va scrie ca 
. Aceste soluții particulare pot fi înlocuite cu două funcții reale 
și , corespunzătoare părților reale și imaginare. Acest lucru poate fi văzut clar dacă transformăm soluția generală , folosind formulele din Teoria funcției unei variabile complexe tip: 
unde C 3 și C 4 sunt constante arbitrare.
Deci, să rezumam teoria.
Algoritm de găsire solutie generala ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți.
Să ne uităm la exemple pentru fiecare caz.
Exemplu.
Găsiți soluția generală a unei ecuații diferențiale omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți 
.
Instituția de învățământ „Statul Belarus
Academia Agricolă"
Catedra de Matematică Superioară
Orientări
să studieze tema „Ecuații diferențiale liniare de ordinul doi” de către studenții facultății de contabilitate de educație prin corespondență (NISPO)
Gorki, 2013
Liniar ecuații diferențiale
de ordinul doi cu constantecoeficienți
Ecuații diferențiale liniare omogene
Ecuație diferențială liniară de ordinul doi cu coeficienți constanți numită ecuație a formei
aceste. o ecuație care conține funcția dorită și derivatele ei doar până la primul grad și nu conține produsele acestora. În această ecuație 
Şi 
- niște numere și o funcție 
dat pe un anumit interval 
.
Dacă 
pe interval 
, atunci ecuația (1) va lua forma
,
(2)
si se numeste liniar omogen . În caz contrar, se numește ecuația (1). liniar neomogen .
Luați în considerare funcția complexă
,
(3)
Unde 
Şi 
- functii reale. Dacă funcția (3) este o soluție complexă a ecuației (2), atunci partea reală 
, și partea imaginară 
solutii 
separat sunt soluții la aceeași ecuație omogenă. Astfel, orice soluție complexă a ecuației (2) generează două soluții reale ale acestei ecuații.
Soluții de omogene ecuație liniară au proprietati:
Dacă 
este o soluție a ecuației (2), apoi funcția 
, Unde CU– o constantă arbitrară va fi, de asemenea, o soluție a ecuației (2);
Dacă 
Şi 
există soluții pentru ecuația (2), apoi funcția 
va fi, de asemenea, o soluție a ecuației (2);
Dacă 
Şi 
există soluții pentru ecuația (2), apoi combinația lor liniară 
va fi, de asemenea, o soluție a ecuației (2), unde 
Şi 
– constante arbitrare.
Funcții 
Şi 
sunt numite dependent liniar
pe interval 
, dacă astfel de numere există 
Şi 
, nu egal cu zero în același timp, că pe acest interval egalitatea
Dacă egalitatea (4) apare numai când 
Şi 
, apoi funcțiile 
Şi 
sunt numite liniar independent
pe interval 
.
Exemplul 1
. Funcții 
Şi 
sunt liniar dependente, deoarece 
pe întreaga linie numerică. În acest exemplu 
.
Exemplul 2
. Funcții 
Şi 
sunt liniar independente pe orice interval, din moment ce egalitatea 
este posibilă numai în cazul în care 
, Și 
.
Construirea unei soluții generale la o omogenă liniară
ecuații
Pentru a găsi o soluție generală a ecuației (2), trebuie să găsiți două dintre soluțiile sale liniar independente 
Şi 
. Combinație liniară a acestor soluții 
, Unde 
Şi 
sunt constante arbitrare și vor da o soluție generală unei ecuații liniare omogene.
Vom căuta soluții liniar independente ale ecuației (2) sub forma
,
(5)
Unde 
– un anumit număr. Apoi 
,
. Să substituim aceste expresii în ecuația (2):
Sau 
.
Deoarece 
, Asta 
. Deci funcția 
va fi o soluție a ecuației (2) dacă 
va satisface ecuația
.
(6)
Ecuația (6) se numește ecuație caracteristică pentru ecuația (2). Această ecuație este o ecuație algebrică pătratică.
Lasă 
Şi 
există rădăcini ale acestei ecuații. Ele pot fi fie reale și diferite, fie complexe, fie reale și egale. Să luăm în considerare aceste cazuri.
Lasă rădăcinile 
Şi 
ecuațiile caracteristice sunt reale și distincte. Atunci soluțiile ecuației (2) vor fi funcțiile 
Şi 
. Aceste soluții sunt liniar independente, deoarece egalitatea 
poate fi efectuat numai atunci când 
, Și 
. Prin urmare, soluția generală a ecuației (2) are forma
,
Unde 
Şi 
- constante arbitrare.
Exemplul 3
.
Soluţie
. Ecuația caracteristică pentru această diferență va fi 
. Hotărând asta ecuație pătratică, să-i găsim rădăcinile 
Şi 
. Funcții 
Şi 
sunt soluții ale ecuației diferențiale. Soluția generală a acestei ecuații este 
.
Număr complex 
numită expresie a formei 
, Unde 
Şi 
sunt numere reale și 
numită unitatea imaginară. Dacă 
, apoi numărul 
se numește pur imaginar. Dacă 
, apoi numărul 
este identificat cu un număr real 
.
Număr 
se numește partea reală a unui număr complex și 
- partea imaginară. Dacă două numere complexe diferă unul de celălalt doar prin semnul părții imaginare, atunci ele se numesc conjugate: 
,
.
Exemplul 4
. Rezolvați ecuația pătratică 
.
Soluţie
. Ecuație discriminantă 
. Apoi . De asemenea, 
. Astfel, această ecuație pătratică are rădăcini complexe conjugate.
Fie rădăcinile ecuației caracteristice să fie complexe, i.e. 
,
, Unde 
. 
,
Rezolvarile ecuatiei (2) pot fi scrise sub forma 
,
sau
,
.
. 
Şi 
Conform formulelor lui Euler
Apoi, . După cum se știe, dacă o funcție complexă este o soluție la o ecuație liniară omogenă, atunci soluțiile acestei ecuații sunt atât părțile reale, cât și cele imaginare ale acestei funcții. Astfel, soluțiile ecuației (2) vor fi funcțiile 
Şi 
. De la egalitate
Unde 
Şi 
- constante arbitrare.
poate fi executat numai dacă
, atunci aceste soluții sunt liniar independente. Prin urmare, soluția generală a ecuației (2) are forma 
.
Soluţie
Exemplul 5 
. Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale 
,
. Funcții 
Şi 
. Ecuaţie
este caracteristică unui diferențial dat. Să o rezolvăm și să obținem rădăcini complexe 
sunt soluții liniar independente ale ecuației diferențiale. Soluția generală a acestei ecuații are forma . 
Şi 
Fie rădăcinile ecuației caracteristice să fie reale și egale, adică. 
Şi 
. Atunci soluțiile ecuației (2) sunt funcțiile 
.
. Aceste soluții sunt liniar independente, deoarece expresia poate fi identic egală cu zero numai atunci când
, atunci aceste soluții sunt liniar independente. Prin urmare, soluția generală a ecuației (2) are forma 
.
Soluţie
. Prin urmare, soluția generală a ecuației (2) are forma 
Exemplul 6 
. Ecuație caracteristică 
Şi 
are rădăcini egale 
.
. În acest caz, soluțiile liniar independente ale ecuației diferențiale sunt funcțiile
. Soluția generală are forma
§ 9. Ecuaţii diferenţiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienţi constanţi
Definirea unei LODE de ordinul doi cu coeficienți constanți
Ecuația caracteristică:
Cazul 1. Discriminant mai mare decât zero
Cazul 2. Discriminant este zero
Cazul 3. Discriminant mai mic decat zero
Algoritm pentru găsirea unei soluții generale la o LODE de ordinul doi cu coeficienți constanți
§ 10. Ecuaţii diferenţiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienţi constanţi
Determinarea LPDE de ordinul doi cu coeficienți constanți
Metoda de variație a constantelor
Metodă de rezolvare a LNDDE cu o parte dreaptă specială Teoremă privind structura soluției generale a LNDE (1. Funcție r x
) – polinom de grad Teoremă privind structura soluției generale a LNDE (1. Funcție T 2. Funcția
) – produsul unui număr prin Teoremă privind structura soluției generale a LNDE (1. Funcție) - suma funcții trigonometrice
Algoritm pentru găsirea unei soluții generale la un LPDE cu o parte dreaptă specială
Aplicație
§ 9. Ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți
Se numește ecuația diferențială de ordinul doi ecuație diferențială liniară omogenă (LODE) cu coeficienți constanți, daca arata asa:
Unde pŞi q
Pentru a găsi o soluție generală la o LODE, este suficient să găsiți cele două soluții parțiale diferite și . Apoi soluția generală a LODE va avea forma
Unde CU 1 și CU
Leonard Euler a propus să caute soluții particulare ale LDE în formă
Unde k– un anumit număr.
Diferențierea acestei funcție de două ori și înlocuirea expresiilor pentru la, y"Şi y"în ecuație, obținem:
Ecuația rezultată se numește ecuație caracteristică LODU. Pentru a-l compila, este suficient să înlocuiți în ecuația originală y", y"Şi la conform cu k 2 , k si 1:
După rezolvarea ecuației caracteristice, i.e. după ce au găsit rădăcinile k 1 și k 2, vom găsi, de asemenea, soluții speciale pentru LODE original.
Ecuația caracteristică este o ecuație pătratică, rădăcinile ei se găsesc prin discriminant
În acest caz, sunt posibile următoarele trei cazuri.
Cazul 1. Discriminant mai mare decât zero , prin urmare, rădăcinile k 1 și k 2 valide și distincte:
k 1¹ k 2
Unde CU 1 și CU 2 – constante arbitrare independente.
Cazul 2. Discriminant este zero , prin urmare, rădăcinile k 1 și k 2 reale și egale:
k 1 = k 2 = k
În acest caz, soluția generală a LODE are forma
Unde CU 1 și CU 2 – constante arbitrare independente.
Cazul 3. Discriminant mai mic decat zero . În acest caz, ecuația nu are rădăcini reale:
Nu există rădăcini.
În acest caz, soluția generală a LODE are forma
Unde CU 1 și CU 2 – constante arbitrare independente,
Astfel, găsirea unei soluții generale a unei LODE de ordinul doi cu coeficienți constanți se rezumă la găsirea rădăcinilor ecuației caracteristice și utilizarea formulelor pentru soluția generală a ecuației (fără a recurge la calcularea integralelor).
Algoritm pentru găsirea unei soluții generale la o LODE de ordinul doi cu coeficienți constanți:
1. Reduceți ecuația la forma unde pŞi q– niște numere reale.
2. Creați o ecuație caracteristică.
3. Aflați discriminantul ecuației caracteristice.
4. Folosind formule (vezi tabelul 1), în funcție de semnul discriminantului, notează soluția generală.
Tabelul 1
Tabel cu posibile soluții generale
Ecuația diferențială liniară de ordinul 2 (LDE) are următoarea formă:
unde , , și sunt date funcții care sunt continue pe intervalul pe care se caută soluția. Presupunând că a 0 (x) ≠ 0, împărțim (2.1) la și, după introducerea unor noi notații pentru coeficienți, scriem ecuația sub forma:
Să acceptăm fără dovezi că (2.2) are o soluție unică pe un interval care satisface orice condiții inițiale , , dacă pe intervalul luat în considerare funcțiile , și sunt continue. Dacă , atunci ecuația (2.2) se numește omogenă, iar ecuația (2.2) se numește neomogenă în caz contrar.
Să luăm în considerare proprietățile soluțiilor la lode de ordinul 2.
Definiţie. O combinație liniară de funcții este expresia , unde sunt numere arbitrare.
Teorema. Dacă și – soluție
atunci combinația lor liniară va fi de asemenea o soluție a acestei ecuații.
Dovada.
Să punem expresia din (2.3) și să arătăm că rezultatul este identitatea:
Să rearanjam termenii:
Deoarece funcțiile sunt soluții ale ecuației (2.3), atunci fiecare dintre parantezele din ultima ecuație este identic egal cu zero, ceea ce trebuia demonstrat.
Corolarul 1. Din teorema demonstrată rezultă că dacă este o soluție a ecuației (2.3), atunci există și o soluție a acestei ecuații.
Corolarul 2. Presupunând , vedem că suma a două soluții pentru Lod este, de asemenea, o soluție a acestei ecuații.
Comentariu. Proprietatea soluțiilor dovedite în teoremă rămâne valabilă pentru probleme de orice ordin.
§3. determinantul lui Vronsky.
Definiţie. Se spune că un sistem de funcții este liniar independent pe un anumit interval dacă niciuna dintre aceste funcții nu poate fi reprezentată ca o combinație liniară a tuturor celorlalte.
În cazul a două funcţii aceasta înseamnă că 
, adică 
. Ultima condiție poate fi rescrisă sub forma sau 
. Determinantul din numărătorul acestei expresii este 
se numeşte determinant Wronski pentru funcţiile şi . Astfel, determinantul Wronski pentru două funcții liniar independente nu poate fi identic egal cu zero.
Lasă 
este determinantul Wronski pentru soluțiile liniar independente și ecuația (2.3). Să ne asigurăm prin substituție că funcția satisface ecuația. (3.1)
Într-adevăr, . Deoarece funcțiile și satisfac ecuația (2.3), atunci , i.e. – soluția ecuației (3.1). Să găsim această soluție: ; 
. 
,
, .
. Unde,
(3.2)
Această formulă se numește formula Liouville. S-a arătat mai sus că determinantul Wronski pentru funcțiile liniar independente nu poate fi identic egal cu zero. În consecință, există un punct în care determinantul pentru soluțiile liniar independente ale ecuației (2.3) este diferit de zero. Apoi, din formula lui Liouville rezultă că funcția va fi nenulă pentru toate valorile din intervalul luat în considerare, deoarece pentru orice valoare ambii factori din partea dreaptă a formulei (3.2) sunt nenuli.
§4. Structura soluției generale a lodei de ordinul 2.
Teorema. Dacă și sunt soluții liniar independente ale ecuației (2.3), atunci combinația lor liniară 
, unde și sunt constante arbitrare, va fi soluția generală a acestei ecuații.
Dovada.
Ce 
este o soluție a ecuației (2.3), rezultă din teorema proprietăților soluțiilor la Lodo de ordinul 2. Trebuie doar să arătăm că soluția 
voinţă general, adică este necesar să se arate că pentru orice condiții inițiale, se pot alege constante arbitrare în așa fel încât să satisfacă aceste condiții. Să-l notăm conditiile initiale sub forma:
Constantele și din acest sistem de ecuații algebrice liniare sunt determinate în mod unic, deoarece determinantul acestui sistem este valoarea determinantului Wronski pentru soluțiile liniar independente la Lodu la:
,
iar un astfel de determinant, așa cum am văzut în paragraful anterior, este diferit de zero. Teorema a fost demonstrată.
Exemplu. Demonstrați că funcția 
, unde și sunt constante arbitrare, este o soluție generală pentru Lod.
Soluţie.
Este ușor de verificat prin substituție că funcțiile și satisfac această ecuație. Aceste funcții sunt liniar independente, deoarece 
. Prin urmare, conform teoremei asupra structurii soluției generale, filonul de ordinul 2 
este o soluție generală a acestei ecuații.
