Algebră liniară. Spații euclidiene

Corespunzător unui astfel de spațiu vectorial. În acest articol, prima definiție va fi luată ca punct de plecare.

$n$ spatiul euclidian -dimensional se noteaza prin $\backslash mathbb\; E^n,$ notaţia este de asemenea folosită des $\backslash mathbb\; R^n$(dacă din context reiese clar că spațiul are o structură euclidiană).

Definiție formală

Pentru a defini spațiul euclidian, cel mai simplu mod este să luăm ca concept principal produsul scalar. Un spațiu vectorial euclidian este definit ca un spațiu vectorial cu dimensiuni finite peste câmpul numerelor reale, pe ai cărui vectori este specificată o funcție cu valoare reală. $(\backslash cdot,\; \backslash cdot),$ având următoarele trei proprietăți:

• Bilinearitate: pentru orice vector $u,v,w$și pentru orice numere reale $a,\; b\backslash quad\; (au+bv,\; w)=a(u,w)+b(v,w)$Şi $(u,\; av+bw)=a(u,v)+b(u,w);$
• Simetrie: pentru orice vector $u,v\backslash quad\; (u,v)=(v,u);$
• Certitudine pozitivă: pentru oricine $u\backslash quad\; (u,u)\backslash geqslant\; 0,$şi $(u,u)\; =\; 0\backslash Rightarrow\; u=0.$

Exemplu de spațiu euclidian - spațiu de coordonate $\backslash mathbb\; R^n,$ constând din toate tuplurile posibile de numere reale $(x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_n),$ produs scalar în care este determinat de formula $(x,y)\; =\; \backslash sum\_(i=1)^n\; x\_iy\_i\; =\; x\_1y\_1+x\_2y\_2+\backslash cdots+x\_ny\_n.$

Lungimi și unghiuri

Dată pe spațiul euclidian produs punctual este suficient pentru a introduce conceptele geometrice de lungime și unghi. Lungimea vectorului $u$ definit ca $\backslash sqrt((u,u))$ si este desemnat $|u|.$ Definitivitatea pozitivă a produsului scalar garantează că lungimea vectorului diferit de zero este nenulă, iar din biliniaritate rezultă că $|au|=|a||u|,$ adică lungimile vectorilor proporționali sunt proporționale.

Unghiul dintre vectori $u$Şi $v$ determinat de formula $\backslash varphi=\backslash arccos\; \backslash left(\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash right).$ Din teorema cosinusului rezultă că pentru un spațiu euclidian bidimensional ( plan euclidian) această definiție unghiul coincide cu cel obișnuit. Vectorii ortogonali, ca în spațiul tridimensional, pot fi definiți ca vectori al căror unghi este egal cu $\backslash frac(\backslash pi)(2).$

Inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz și inegalitatea triunghiulară

Există un gol rămas în definiția unghiului dată mai sus: pentru a $\backslash arccos\; \backslash left(\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash right)$ a fost definit, este necesar ca inegalitatea $\backslash left|\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash right|\backslash leqslant\; 1.$ Această inegalitate se menține într-un spațiu euclidian arbitrar și se numește inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky-Schwartz. Din această inegalitate, la rândul său, rezultă inegalitatea triunghiulară: $|u+v|\backslash leqslant\; |u|+|v|.$ Inegalitatea triunghiului, împreună cu proprietățile lungimii enumerate mai sus, înseamnă că lungimea unui vector este o normă pe euclidian spațiu vectorial, și funcția $d(x,y)=|x-y|$ definește structura unui spațiu metric pe spațiul euclidian (această funcție se numește metrica euclidiană). În special, distanța dintre elemente (puncte) $x$Şi $y$ spațiu de coordonare $\backslash mathbb\; R^n$ este dat de formula $d(\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y))\; =\; \backslash |\backslash mathbf(x)\; -\; \backslash mathbf(y)\backslash |\; =\; \backslash sqrt(\backslash sum\_(i=1)^n\; (x\_i\; -\; y\_i)^2).$

Proprietăți algebrice

Baze ortonormale

Conjugați spații și operatori

Orice vector $x$ Spațiul euclidian definește o funcțională liniară $x^*$ pe acest spatiu, definit ca $x^*(y)=(x,y).$ Această comparație este un izomorfism între spațiul euclidian și spațiul său dual și le permite să fie identificate fără a compromite calculele. În special, operatorii conjugați pot fi considerați ca acționând asupra spațiului inițial, și nu asupra acestuia dual, iar operatorii autoadjuncți pot fi definiți ca operatori care coincid cu conjugații lor. Pe o bază ortonormală, matricea operatorului adjunct este transpusă în matricea operatorului original, iar matricea operatorului autoadjunct este simetrică.

Mișcări ale spațiului euclidian

Exemple

Exemple ilustrative de spații euclidiene sunt următoarele spații:

• $\backslash mathbb\; E^1$ dimensiuni $1$ (linie reală)
• $\backslash mathbb\; E^2$ dimensiuni $2$ (plan euclidian)
• $\backslash mathbb\; E^3$ dimensiuni $3$ (Spațiu tridimensional euclidian)

Exemplu mai abstract:

• spațiu al polinoamelor reale $p(x)$ gradul care nu depășește $n$, cu produsul scalar definit ca integrala produsului pe un segment finit (sau pe întreaga linie, dar cu o funcție de pondere cu descompunere rapidă, de exemplu $e^(-x^2)$).

Exemple de forme geometrice în spațiul euclidian multidimensional

• Poliedre multidimensionale regulate (în special cub N-dimensional, octaedru N-dimensional, tetraedru N-dimensional)

Definiții înrudite

• Sub metrica euclidiană poate fi înțeles ca metrica descrisă mai sus precum și metrica riemanniană corespunzătoare.

• Prin euclideanitate locală înțelegem de obicei că fiecare spațiu tangent al unei varietăți riemanniene este un spațiu euclidian cu toate proprietățile care decurg, de exemplu, posibilitatea (datorită netedei metricii) de a introduce coordonate într-o mică vecinătate a unui punct în care distanța este exprimată (până la un ordin de mărime) așa cum este descris mai sus.

• Un spațiu metric este numit și local euclidian dacă este posibil să se introducă coordonate pe el în care metrica să fie euclidiană (în sensul celei de-a doua definiții) peste tot (sau cel puțin pe un domeniu finit) - care, de exemplu, este o varietate Riemanniană de curbură zero.

Variații și generalizări

• Înlocuirea câmpului de bază din câmpul numerelor reale în câmpul numerelor complexe oferă definiția unui spațiu unitar (sau hermitian).
• Refuzul cerinței de dimensionalitate finită dă definiția unui spațiu pre-Hilbert.
• Refuzul cerinței de definiție pozitivă a produsului scalar duce la definirea spațiului pseudo-euclidian.

Scrieți o recenzie despre articolul „Spațiul euclidian”

Note

Literatură

• Gelfand I. M. Prelegeri de algebră liniară. - a 5-a. - M.: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 319 p. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Kostrikin A. I., Manin Yu I. Algebră liniară și geometrie. - M.: Nauka, 1986. - 304 p.

Vectori și matrice Vectori Concepte de bază Tipuri de vectori Operații pe vectori Tipuri de spații Matrici Concepte de bază Alte

Un fragment care caracterizează spațiul euclidian

Sonya traversă hol până la bufet cu un pahar. Natasha s-a uitat la ea, la crăpătura din ușa cămarei și i s-a părut că își amintește că lumina cădea prin crăpătura de la ușa cămarei și că Sonya a trecut cu un pahar. „Da, și a fost exact la fel”, a gândit Natasha. - Sonya, ce este asta? – strigă Natasha, pipăind sfoara groasă.
- Oh, ești aici! - a spus Sonya, tremurând, și a venit și a ascultat. - Nu ştiu. Furtună? – spuse ea timid, de teamă să nu greșească.
„Ei bine, exact în același fel a tresărit, în același mod în care a venit și a zâmbit timid atunci, când deja se întâmpla”, se gândi Natasha, „și în același mod... Am crezut că ceva lipsește în ea. .”
- Nu, acesta este corul de la Purtatorul de Apa, auzi! – Și Natasha a terminat de cântat melodia corului pentru a-i face clar Sonyei.
-Unde te-ai dus? – a întrebat Natasha.
- Schimbați apa din pahar. Voi termina modelul acum.
— Ești mereu ocupat, dar nu pot, a spus Natasha. -Unde este Nikolai?
- Se pare că doarme.
„Sonya, trezește-l”, a spus Natasha. - Spune-i că îl chem să cânte. „Ea a stat și s-a gândit la ce înseamnă, că totul s-a întâmplat și, fără să rezolve această întrebare și să nu regrete deloc, din nou în imaginația ei a fost transportată la vremea când era cu el, iar el l-a privit cu ochi iubitoare. se uita la ea.
„Oh, mi-aș dori să vină curând. Îmi este atât de teamă că nu se va întâmpla asta! Și cel mai important: îmbătrânesc, asta este! Ceea ce este acum în mine nu va mai exista. Sau poate că va veni azi, va veni acum. Poate a venit și stă acolo în sufragerie. Poate a sosit ieri și am uitat.” S-a ridicat, a pus chitara jos și a intrat în sufragerie. Toată gospodăria, profesorii, guvernantele și oaspeții stăteau deja la masa de ceai. Oamenii stăteau în jurul mesei, dar prințul Andrei nu era acolo, iar viața era tot aceeași.
„O, iată-o”, a spus Ilya Andreich, văzând-o pe Natasha intrând. - Ei bine, stai cu mine. „Dar Natasha s-a oprit lângă mama ei, privind în jur, de parcă ar fi căutat ceva.
- Mamă! - a spus ea. „Dă-mi-o, dă-mi-o, mamă, repede, repede” și din nou ea cu greu și-a putut reține suspinele.
S-a așezat la masă și a ascultat conversațiile bătrânilor și ale lui Nikolai, care au venit și ei la masă. „O, Doamne, Dumnezeule, aceleași fețe, aceleași conversații, tata ținând paharul în același mod și suflând în același fel!” gândi Natasha, simțind cu groază dezgustul care se ridica în ea împotriva tuturor celor de acasă pentru că erau tot la fel.
După ceai, Nikolai, Sonya și Natasha s-au dus pe canapea, în colțul lor preferat, unde începeau mereu conversațiile lor cele mai intime.

„Ți se întâmplă”, i-a spus Natasha fratelui ei când s-au așezat pe canapea, „ți se întâmplă că ți se pare că nu se va întâmpla nimic - nimic; ce a fost tot ce a fost bun? Și nu doar plictisitor, ci și trist?
- Da! - a spus el. „Mi s-a întâmplat că totul era bine, toată lumea era veselă, dar mi-a venit în minte că m-am săturat deja de toate astea și că toată lumea trebuie să moară.” Odată nu m-am dus la regiment la o plimbare, dar se auzi muzică acolo... și deodată m-am plictisit...
- Oh, ştiu asta. Știu, știu, răspunse Natasha. – Eram încă mică, asta mi s-a întâmplat. Îți amintești, odată ce am fost pedepsit pentru prune și toți ați dansat, și am stat în clasă și am plâns, nu voi uita niciodată: eram trist și mi-a părut rău pentru toată lumea, și pentru mine, și mi-a părut rău pentru toată lumea. Și, cel mai important, nu a fost vina mea, a spus Natasha, îți amintești?
— Îmi amintesc, spuse Nikolai. „Îmi amintesc că am venit la tine mai târziu și am vrut să te consolez și, știi, îmi era rușine. Eram teribil de amuzanți. Aveam o jucărie cu bobblehead atunci și am vrut să ți-o dau. Vă amintiți?
„Îți amintești”, a spus Natasha cu un zâmbet gânditor, cât de mult, de mult eram încă foarte mici, un unchi ne-a chemat la birou, înapoi în casa veche, și era întuneric - am venit și deodată am apărut stând acolo...
„Arap”, a încheiat Nikolai cu un zâmbet vesel, „cum să nu-mi amintesc?” Nici acum nu știu că a fost un blackamoror, sau l-am văzut în vis, sau ni s-a spus.
- Era cenușiu, ține minte, și avea dinți albi - s-a ridicat și s-a uitat la noi...
– Îți amintești, Sonya? - a întrebat Nikolai...
„Da, da, și eu îmi amintesc ceva”, a răspuns Sonya timid...
„I-am întrebat pe tatăl meu și pe mama mea despre acest negru”, a spus Natasha. - Se spune că nu a existat un blackamoror. Dar îți amintești!
- Oh, cât îmi amintesc dinții lui acum.
- Ce ciudat este, a fost ca un vis. Îmi place.
- Îți amintești cum tăvăleam ouăle pe hol și deodată două bătrâne au început să se învârtească pe covor? A fost sau nu? Îți amintești cât de bine a fost?
- Da. Îți amintești cum tata cu o haină de blană albastră a tras cu o armă în verandă? „S-au întors, zâmbind de plăcere, amintiri, nu vechi triste, ci amintiri poetice ale tinereții, acele impresii din trecutul cel mai îndepărtat, în care visele se contopesc cu realitatea, și râdeau în liniște, bucurându-se de ceva.
Sonya, ca întotdeauna, a rămas în urma lor, deși amintirile lor erau comune.
Sonya nu-și amintea mare lucru din ceea ce își aminteau ei și ceea ce își amintea ea nu a trezit în ea sentimentul poetic pe care l-au trăit. Sa bucurat doar de bucuria lor, încercând să o imite.
Ea a participat doar când și-au amintit de prima vizită a Sonyei. Sonya a povestit că îi era frică de Nikolai, pentru că avea șnur la jachetă, iar bona i-a spus că o vor coase și pe ea în șnur.
„Și îmi amintesc: mi-au spus că te-ai născut sub varză”, a spus Natasha, „și îmi amintesc că atunci nu îndrăzneam să nu cred, dar știam că nu este adevărat și eram atât de stânjenită. ”
În timpul acestei conversații, capul femeii de serviciu a ieșit pe ușa din spate a camerei canapelei. „Domnișoară, au adus cocoșul”, a spus fata în șoaptă.
— Nu e nevoie, Polya, spune-mi să-l port, spuse Natasha.
În mijlocul conversațiilor care aveau loc pe canapea, Dimmler a intrat în cameră și s-a apropiat de harpa care stătea în colț. El a scos pânza și harpa a scos un sunet fals.
„Eduard Karlych, te rog să cânți iubita mea Nocturiene de Monsieur Field”, a spus vocea bătrânei contese din sufragerie.
Dimmler a lovit o coardă și, întorcându-se către Natasha, Nikolai și Sonya, a spus: „Tineri, cât de liniștiți stau!”
„Da, filosofăm”, a spus Natasha, privind în jur un minut și continuând conversația. Conversația era acum despre vise.
Dimmer a început să se joace. Natasha tăcută, în vârful picioarelor, s-a apropiat de masă, a luat lumânarea, a scos-o și, întorcându-se, s-a așezat liniștit în locul ei. În cameră era întuneric, mai ales pe canapeaua pe care stăteau, dar prin ferestrele mari lumina argintie a lunii pline cădea pe podea.
„Știi, cred”, a spus Natasha în șoaptă, apropiindu-se mai mult de Nikolai și Sonya, când Dimmler terminase deja și încă stătea, ciupind slab coardele, aparent indecisă să plece sau să înceapă ceva nou, „că atunci când îți amintești așa, îți amintești, îți amintești totul, îți amintești atât de multe că îți amintești ce s-a întâmplat înainte să fiu eu în lume...
„Acesta este Metampsic”, a spus Sonya, care a studiat întotdeauna bine și și-a amintit totul. – Egiptenii credeau că sufletele noastre sunt în animale și se vor întoarce la animale.
„Nu, știi, nu cred, că eram animale”, a spus Natasha în aceeași șoaptă, deși muzica se terminase, „dar știu sigur că eram îngeri ici și colo undeva și de aceea ne amintim totul.”
- Pot să mă alătur ție? – spuse Dimmler, care s-a apropiat liniștit și s-a așezat lângă ei.
- Dacă eram îngeri, atunci de ce am căzut mai jos? – spuse Nikolai. - Nu, asta nu poate fi!
„Nu mai jos, cine ți-a spus asta mai jos?... De ce știu ce eram înainte”, a obiectat Natasha cu convingere. - La urma urmei, sufletul este nemuritor... prin urmare, dacă trăiesc pentru totdeauna, așa am trăit înainte, trăit pentru veșnicie.
„Da, dar ne este greu să ne imaginăm eternitatea”, a spus Dimmler, care s-a apropiat de tineri cu un zâmbet blând și disprețuitor, dar acum a vorbit la fel de liniștit și de serios ca și ei.
– De ce este greu să-ți imaginezi eternitatea? - a spus Natasha. - Azi va fi, mâine va fi, va fi mereu și ieri a fost și ieri a fost...
- Natasha! acum e rândul tău. „Cântă-mi ceva”, se auzi vocea contesei. - Că te-ai aşezat ca nişte conspiratori.
- Mamă! „Nu vreau să fac asta”, a spus Natasha, dar în același timp s-a ridicat.
Toți, chiar și Dimmler de vârstă mijlocie, nu au vrut să întrerupă conversația și să părăsească colțul canapelei, dar Natasha s-a ridicat, iar Nikolai s-a așezat la clavicord. Ca întotdeauna, stând în mijlocul sălii și alegând cel mai avantajos loc pentru rezonanță, Natasha a început să cânte piesa preferată a mamei sale.
Ea a spus că nu vrea să cânte, dar nu a mai cântat de mult timp înainte, și de mult timp de atunci, felul în care a cântat în acea seară. Contele Ilya Andreich, de la biroul în care stătea de vorbă cu Mitinka, a auzit-o cântând și, ca un student, grăbit să meargă la joacă, terminând lecția, s-a încurcat în cuvinte, dând ordine directorului și în cele din urmă a tăcut. , iar Mitinka, ascultând și ea, tăcut cu un zâmbet, stătea în fața contelui. Nikolai nu și-a luat ochii de la sora lui și a respirat cu ea. Sonya, ascultând, s-a gândit ce diferență uriașă era între ea și prietena ei și cât de imposibil era pentru ea să fie și pe departe la fel de fermecătoare ca vărul ei. Bătrâna contesă stătea cu un zâmbet fericit și trist și cu lacrimi în ochi, clătinând din când în când din cap. S-a gândit la Natasha și la tinerețea ei și la felul în care a fost ceva nefiresc și teribil în această viitoare căsătorie a Natașei cu Prințul Andrei.
Dimmler se aşeză lângă contesa şi închise ochii, ascultând.
„Nu, contesă”, a spus el în cele din urmă, „acesta este un talent european, ea nu are nimic de învățat, această moliciune, tandrețe, forță...”
- Ah! „Cât de frică îmi este pentru ea, cât de frică îmi este”, spuse contesa, fără să-și amintească cu cine vorbea. Instinctul ei matern i-a spus că este prea mult ceva în Natasha și că acest lucru nu o va face fericită. Natasha nu terminase încă de cântat, când Petya, entuziastă, de paisprezece ani, a fugit în cameră cu vestea că au sosit mummerii.
Natasha se opri brusc.
- Prostule! - a țipat la fratele ei, a alergat până la scaun, a căzut pe el și a plâns atât de mult încât nu s-a mai putut opri mult timp.
„Nimic, mamă, chiar nimic, doar așa: Petya m-a speriat”, a spus ea, încercând să zâmbească, dar lacrimile continuau să curgă și suspinele îi sufocau gâtul.
Servitori îmbrăcați, urși, turci, cârciumi, doamne, înfricoșători și amuzanți, aducând cu ei răceală și distracție, la început timid înghesuiți pe hol; apoi, ascunși unul în spatele celuilalt, au fost forțați să intre în sală; iar la început timid, apoi din ce în ce mai vesel și amiabil, au început cântecele, dansurile, jocurile corale și de Crăciun. Contesa, recunoscând fețele și râzând de cei îmbrăcați, a intrat în sufragerie. Contele Ilya Andreich a stat în sală cu un zâmbet radiant, aprobând jucătorii. Tineretul a dispărut undeva.

Spațiul euclidian

T.A. Volkova, T.P. Knysh.

ȘI FORME PĂTRATATE

SPATIUL EUCLIDEAN

Sankt Petersburg

Referent: Candidat la științe tehnice, conferențiar Shkadova A.R.

Spațiul euclidian și forme pătratice: note de curs. – Sankt Petersburg: SPGUVK, 2012 – p.

Notele de curs sunt destinate studenților din anul II ai diplomei de licență 010400.62 „Matematică aplicată și informatică” și studenților din anul I ai diplomei de licență 090900.62 „Securitatea informațiilor”.

Manualul conține note complete de curs pe una dintre secțiunile disciplinei „Geometrie și algebră” pentru direcția 010400.62 și disciplina „Algebră și geometrie” pentru direcția 090900.62 Tutorial corespunde programelor de lucru ale disciplinelor, standardelor specialităților precizate și poate fi utilizat în pregătirea examenului de către studenți și profesori.

© Statul Sankt Petersburg

Universitatea de Comunicații cu Apă, 2012

Multe proprietăți ale obiectelor găsite în geometrie sunt strâns legate de capacitatea de a măsura lungimile segmentelor și unghiul dintre liniile drepte. În spațiul liniar nu putem face încă astfel de măsurători, drept urmare domeniul de aplicare teorie generală spațiile liniare la geometrie și o serie de alte discipline matematice este destul de restrânsă. Această dificultate, totuși, poate fi eliminată prin introducerea conceptului de produs scalar a doi vectori. Și anume, să fie un spațiu real liniar-dimensional. Să asociem fiecare pereche de vectori cu un număr real și să numim acest număr produs scalar vectori și dacă sunt îndeplinite următoarele cerințe:

1. (legea comutativă).

3. pentru orice real.

4. pentru orice vector diferit de zero.

Produsul scalar este un caz special al conceptului funcţie numerică a două argumente vectoriale, adică funcții ale căror valori sunt numere. Prin urmare, putem numi un produs scalar o funcție numerică a argumentelor vectoriale , , ale cărei valori sunt valabile pentru orice valori ale argumentelor de la și pentru care sunt îndeplinite cerințele 1 - 4.

Se va numi un spațiu liniar real în care produsul scalar este definit euclidianăși va fi notat cu .

Rețineți că în spațiul euclidian produsul scalar dintre un vector zero și orice vector este egal cu zero: . Într-adevăr, și datorită cerinței 3. Presupunând că obținem asta. Prin urmare, în special, .

1. Fie spațiul tridimensional obișnuit al vectorilor geometrici cu o origine comună în punctul . ÎN geometrie analitică produsul scalar a doi astfel de vectori este un număr real egal cu , unde și sunt lungimile vectorilor și , și este unghiul dintre vectorii , , și se demonstrează că pentru acest număr sunt îndeplinite toate cerințele 1 − 4.

Astfel, conceptul de produs scalar introdus de noi este o generalizare a conceptului de produs scalar al vectorilor geometrici.

2. Luați în considerare spațiul rândurilor dimensionale cu coordonate reale și atribuiți un număr real fiecărei perechi de astfel de vectori rând

Este ușor să verificați dacă toate cerințele 1 - 4 sunt îndeplinite pentru acest număr:

si asemanator. In sfarsit,

deoarece cel puțin unul dintre numerele la este diferit de zero.

Vedem de aici că acest număr este produsul scalar al vectorilor șir și , iar spațiul, după ce am introdus un astfel de produs scalar, devine euclidian.

3. Fie un spațiu liniar real-dimensional și să fie o parte din baza lui. Să asociem fiecare pereche de vectori cu un număr real. Apoi spațiul se va transforma în euclidian, adică numărul va fi produsul scalar al vectorilor și . De fapt:

Putem chiar transforma spațiul nostru într-un spațiu euclidian în alte moduri, de exemplu, am putea asocia o pereche de vectori cu un număr real

și este ușor de verificat că pentru un astfel de număr sunt îndeplinite toate cerințele 1 − 4, care caracterizează produsul scalar. Dar din moment ce aici (cu aceeași bază) am definit o funcție numerică diferită, atunci obținem un spațiu euclidian diferit cu o „definiție de măsură” diferită.

4. În sfârșit, revenind la același spațiu, considerăm funcția numerică, care, pentru , este definită de egalitatea . Această funcție nu mai este un produs scalar, deoarece cerința 4 este încălcată: când , vectorul este egal cu , a . Astfel, spațiul euclidian nu poate fi obținut aici.

Folosind cerințele 2 și 3 incluse în definiția produsului scalar, este ușor de obținut următoarea formulă:

unde , − doi sisteme arbitrare vectori. De aici, în special, se dovedește pentru o bază arbitrară și pentru orice pereche de vectori, că

Unde . Expresia din partea dreaptă a egalității (1) este un polinom în și și se numește formă biliniară de la și (fiecare dintre termenii săi este liniar, adică de gradul I, atât în ​​ceea ce privește, cât și în raport cu ). Forma biliniară se numește simetric, dacă pentru fiecare dintre coeficienții săi este îndeplinită condiția de simetrie. Astfel, produs punctual pe o bază arbitrară exprimată ca formă biliniară simetrică a coordonatelor vectoriale , cu cote reale. Dar acest lucru încă nu este suficient. Și anume, stabilind , obținem din egalitatea (1) că

Să considerăm spațiul liniar L. Alături de operațiile de adunare a vectorilor și de înmulțire a unui vector cu un număr, introducem o altă operație în acest spațiu - operația de înmulțire scalară.

Definiția 1

Dacă fiecare pereche de vectori O , b О L, după o regulă, asociază un număr real notat cu simbolul ( O , b ) și îndeplinirea condițiilor

1. (O , b ) = (b ,O ),

2. (O + Cu , b ) = (O , b ) + (Cu , b ),

3. (a O , b ) = a( O , b )

4. > 0 " O ¹ 0 u = 0 Û O = 0 ,

atunci această regulă se numește înmulțirea scalară , iar numărul ( O , b ) se numește produs scalar vector O a vector b .

Numărul este sunat pătrat scalar vector O și indică , adică .

Sunt denumite condițiile 1) – 4). proprietățile produsului scalar: primul – proprietate simetrie(comutativitatea), a doua și a treia – proprietăți liniaritatea, al patrulea - certitudine pozitivă, iar condiția Û se numește condiție non-degenerare produs scalar.

Definiția 2

Spațiul euclidian este un spațiu liniar real pe care se introduce operația de multiplicare vectorială scalară.

Spațiul euclidian este notat cu E.

Se numesc proprietățile 1) – 4) ale produsului scalar axiome Spațiul euclidian.

Să ne uităm la exemple de spații euclidiene.

· Spaţiile V 2 şi V 3 sunt spaţii euclidiene, deoarece pe ele produsul scalar care satisface toate axiomele a fost definit după cum urmează

· În spațiul liniar R n(x) polinoame de grad nu mai mare decât n multiplicarea scalară a vectorilor și poate fi introdus folosind formula

Să verificăm proprietățile produsului scalar pentru operația introdusă.

2) Să luăm în considerare. Să fie atunci

4). Dar suma pătratelor oricăror numere este întotdeauna mai mare sau egală cu zero și este egală cu zero dacă și numai dacă toate aceste numere sunt egale cu zero. Prin urmare, , dacă polinomul nu este identic nul (adică printre coeficienții săi există unii nenuli) și Û când, ce înseamnă.

Astfel, toate proprietățile produsului scalar sunt îndeplinite, ceea ce înseamnă că egalitatea determină înmulțirea scalară a vectorilor în spațiul R n(x), iar acest spațiu în sine este euclidian.

· În spațiul liniar R n multiplicare vectorială scalară a vector poate fi determinat prin formula

Să arătăm asta în orice spațiu liniarînmulțirea scalară poate fi definită, adică orice spațiu liniar poate fi făcut spațiu euclidian. Pentru a face acest lucru, să luăm spațiul L n baza arbitrara ( O 1 , O 2 , …, O n). Lasă să intre această bază

O= a 1 O 1 + a 2 O 2 + …+ a nO nŞi b = b 1 O 1 + b 2 O 2 + …+ b nO n.

(O , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …+ a n b n. (*)

Să verificăm proprietățile produsului scalar:

1) (O , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …+ a n b n= b 1 a 1 + b 2 a 2 + …+b n o n= (b , O ),

2) Dacă , atunci

Apoi

(O+ Cu , b ) =

= (O , b ) + (Cu , b ).

3. (l O , b ) = (la 1)b 1 + (la 2)b 2 + …+ (la n)b n= la 1 b 1 + la 2 b 2 + …+ la n b n =

L(a 1 b 1) + l(a 2 b 2) + …+ l(a n b n) = l ( O , b ).

4. " O ¹ 0 și dacă și numai dacă totul este a i= 0, adică O = 0 .

Prin urmare, egalitatea ( O , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …+ a n b n definește în L n produs scalar.

Rețineți că egalitatea considerată ( O , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …+ a n b n pentru baze diferite ale spațiului oferă valori diferite ale produsului scalar al acelorași vectori O Şi b . Mai mult, produsul scalar poate fi definit într-un mod fundamental diferit. Prin urmare, vom numi definiția produsului scalar folosind egalitatea (*) tradiţional.

Definiția 3

Norma vector O valoare aritmetică rădăcină pătrată din pătratul scalar al acestui vector.

Norma unui vector se notează cu || O ||, sau [ O ] sau | a | . Deci, prin definiție,

||O || .

Au loc următoarele proprietăți ale normei:

1. ||O || = 0 Û O =0 .

2. ||a O ||= |a|.|| O || „a ÎR.

3. |(O , b )| £ || O ||.||b || (inegalitatea Cauci-Bunyakovsky).

4. ||O +b || £ || O || + ||b || (inegalitatea triunghiului).

În spațiile euclidiene V 2 și V 3 cu înmulțirea scalară definită în mod tradițional, norma vectorului ` O este lungimea lui

||`O|| = |`O|.

În spațiul euclidian R n cu înmulțirea scalară norma vectorială egal cu

||o || = .

Definiția 4

Vector O Se numește spațiu euclidian normalizat (sau singur), dacă norma sa este egală cu unu: || o || = 1.

Dacă O ¹ 0 , atunci vectorii și sunt vectori unitari. Găsind pentru vector dat O se numește vectorul unitar corespunzător (sau ). raționalizarea vector O .

Din inegalitatea Cauci–Bunyakovsky rezultă că

Unde ,

prin urmare raportul poate fi considerat drept cosinusul unui unghi.

Definiția 5

Unghiul j (0£ j unghiîntre vectori O Şi b Spațiul euclidian.

Astfel, unghiul dintre vectori O Şi b Spațiul euclidian este definit prin formulă

j = = arccos .

Rețineți că introducerea înmulțirii scalare în spațiul liniar face posibilă efectuarea de „măsurători” în acest spațiu similar cu cele care sunt posibile în spațiul vectorilor geometrici, și anume măsurarea „lungimilor” vectorilor și a „unghiurilor” dintre vectori, în timp ce alegerea formei de specificare a înmulțirii scalare este similară cu alegerea unei „scări” pentru astfel de măsurători. Acest lucru face posibilă extinderea metodelor de geometrie asociate cu măsurătorile la spații liniare arbitrare, întărind astfel semnificativ mijloacele de studiu a obiectelor matematice întâlnite în algebră și analiză.

Definiția 6

Vectori O Şi b Se numesc spații euclidiene ortogonală , dacă produsul lor scalar este egal cu zero:

Rețineți că dacă cel puțin unul dintre vectori este zero, atunci egalitatea este satisfăcută. Într-adevăr, pentru că vectorul zero poate fi reprezentat ca 0 = 0.O , că ( 0 , b ) = (0.O , b ) = 0.(O , b ) = 0. Prin urmare, vectorul zero este ortogonal cu orice vector Spațiul euclidian.

Definiția 7

Sistem vectorial O 1 , O 2 , …, O T Se numește spațiu euclidian ortogonală , dacă acești vectori sunt ortogonali pe perechi, i.e.

(O i, O j) = 0 "i¹ j, i,j=1,2,…,m.

Sistem vectorial O 1 , O 2 , …, O T Se numește spațiu euclidian ortonormal (sau ortonormal ), dacă este ortogonal și fiecare dintre vectorii săi este normalizat, i.e.

(O i, O j) = , i,j= 1,2, …, m.

Un sistem ortogonal de vectori are următoarele proprietăți:

1. Dacă este un sistem ortogonal de vectori nenuli, apoi sistemul obtinut prin normalizarea fiecaruia dintre vectorii unui sistem dat este de asemenea ortogonal.

2. Un sistem ortogonal de vectori nenuli este liniar independent.

Dacă fiecare sistem de vectori ortogonal și, prin urmare, ortonormal este liniar independent, atunci poate un astfel de sistem să formeze baza unui spațiu dat? Următoarea teoremă răspunde la această întrebare.

Teorema 3

Oricum n-spațiu euclidian dimensional ( ) există o bază ortonormală.

Dovada

A demonstra o teoremă înseamnă găsi această bază. Prin urmare, vom proceda după cum urmează.

Considerați într-un spațiu euclidian dat o bază arbitrară ( O 1 , O 2 , …, O n), folosindu-l vom construi o bază ortogonală ( g 1 , g 2 , …, g n), și apoi normalizăm vectorii acestei baze, i.e. pune . Apoi sistemul de vectori ( e 1 , e 2 ,…, e n) formează o bază ortonormală.

Deci hai B:( O 1 , O 2 , …, O n) este o bază arbitrară a spațiului luat în considerare.

1. Să punem

g 1 = O 1 ,g 2 = O 2 + g 1

și selectați coeficientul astfel încât vectorul g 2 a fost ortogonală cu vectorul g 1, adică ( g 1 , g 2) = 0. Din moment ce

,

apoi din egalitate găsim = – .

Apoi vectorul g 2 = O 2 – g 1 este ortogonală cu vectorul g 1 .

g 3 = O 3 + g 1 + g 2 ,

și selectați și astfel încât vectorul g 3 era ortogonală și g 2, și g 3, adică ( g 1 , g 3) = 0 și ( g 2 , g 3) = 0. Găsiți

Apoi din egalităţi Şi găsim în consecință Şi .

Deci vectorul g 3 = O 3 –` g 1 – g 2 ortogonal la vectori g 1 și g 2 .

Să construim în mod similar vectorul

g 4 = O 4 –` g 1 – g 2 – g 3 .

Este ușor de verificat că ( g 1 , g 4) = 0, (g 2 , g 4) = 0, (g 3 , g 4) = 0. 2 – … – g k –1 ,k = 2, 3, …,n.

3) Normalizați sistemul rezultat de vectori ( g 1 , g 2 , …, g n), adică pune .

4) Notează o bază ortonormală ( e 1 , e 2 , …, e n}.

În cele ce urmează, vom desemna o bază ortonormală

B 0:( e 1 , e 2 , …, e n}.

Să notăm următoarele proprietățile unei baze ortonormale.

1) Într-o bază ortonormală, produsul scalar al oricăror doi vectori din spațiu este egal cu suma produselor coordonatelor lor corespunzătoare: ( O , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …+ a n b n.

2) Dacă într-o anumită bază produsul scalar a doi vectori este egal cu suma produselor coordonatelor lor corespunzătoare, atunci această bază este ortonormală.

Astfel, orice bază a spațiului euclidian va fi ortonormală dacă produs punctual definită ca suma produselor coordonatelor vectoriale în această bază.

3) Într-o bază ortonormală, norma unui vector este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor coordonatelor sale.

||o || = .

Definiția 8.

Se numește mulțimea M spațiu metric , dacă există o regulă conform căreia oricare dintre elementele sale X Şi la un număr real r( X ,la ) numit distanţă între aceste elemente, îndeplinind condițiile:

1.r( X ,la ) = r( la ,X );

2.r( X ,la )³0 pentru orice X Şi la , și r( X ,la )=0 dacă și numai dacă X = la ;

3.r( X ,la ) £ r( X , z ) + r( la , z ) pentru oricare trei elemente X , la , z OM.

Elementele unui spațiu metric sunt numite puncte.

Un exemplu de spațiu metric este spațiul R n, în el distanța dintre puncte (vectorii acestui spațiu) poate fi determinată prin formula r( X ,la ) = || X – la ||.

§3. Dimensiunea și baza spațiului vectorial

Combinație liniară de vectori

Combinație liniară trivială și non-trivială

Vectori liniar dependenți și liniar independenți

Proprietățile spațiului vectorial asociate cu dependența liniară a vectorilor

n-spațiu vectorial dimensional

Dimensiunea spațiului vectorial

Descompunerea unui vector într-o bază

§4. Trecerea la o nouă bază

Matrice de tranziție de la vechea bază la cea nouă

Coordonatele vectoriale în noua bază

§5. Spațiul euclidian

Produs punctual

Spațiul euclidian

Lungimea (norma) vectorului

Proprietăți ale lungimii vectorului

Unghiul dintre vectori

Vectori ortogonali

Baza ortonormala

§ 3. Dimensiunea și baza spațiului vectorial

Luați în considerare un spațiu vectorial (V, Å, ∘) peste câmp R. Fie câteva elemente ale mulțimii V, adică. vectori.

Combinație liniară vectori este orice vector egal cu suma produselor acestor vectori prin elemente arbitrare ale câmpului R(adică pe scalari):

Dacă toți scalarii sunt egali cu zero, atunci se numește o astfel de combinație liniară banal(cel mai simplu) și .

Dacă cel puțin un scalar este diferit de zero, se numește combinația liniară nebanală.

Vectorii sunt numiți liniar independent, dacă numai combinația liniară trivială a acestor vectori este egală cu:

Vectorii sunt numiți dependent liniar, dacă există cel puțin o combinație liniară netrivială a acestor vectori egală cu .

Exemplu. Luați în considerare mulțimea de mulțimi ordonate de cvadruple de numere reale - acesta este un spațiu vectorial peste câmpul numerelor reale. Sarcină: aflați dacă vectorii sunt , Şi dependent liniar.

Soluţie.

Să facem o combinație liniară a acestor vectori: , unde sunt numere necunoscute. Cerem ca această combinație liniară să fie egală cu vectorul zero: .

În această egalitate scriem vectorii ca coloane de numere:

Dacă există numere pentru care această egalitate este valabilă și cel puțin unul dintre numere nu este egal cu zero, atunci aceasta este o combinație liniară netrivială și vectorii sunt dependenți liniar.

Să facem următoarele:

Astfel, problema se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare:

Rezolvând-o, obținem:

Rândurile matricelor extinse și principale ale sistemului sunt egale și mai mici decât numărul de necunoscute, prin urmare, sistemul are un număr infinit de soluții.

Să , atunci și .

Deci, pentru acești vectori există o combinație liniară netrivială, de exemplu la , care este egală cu vectorul zero, ceea ce înseamnă că acești vectori sunt dependenți liniar.

Să notăm câteva proprietățile spațiului vectorial asociate cu dependența liniară a vectorilor:

1. Dacă vectorii sunt dependenți liniar, atunci cel puțin unul dintre ei este o combinație liniară a celorlalți.

2. Dacă printre vectori există un vector zero, atunci acești vectori sunt dependenți liniar.

3. Dacă unii dintre vectori sunt dependenți liniar, atunci toți acești vectori sunt dependenți liniar.

Se numeste spatiul vectorial V n-spațiu vectorial dimensional, dacă conține n vectori liniar independenți și orice set de ( n+ 1) vectorii este dependent liniar.

Număr n numit dimensiunea spațiului vectorial, și este notat dim(V) din engleza „dimensiune” - dimensiune (măsurare, dimensiune, dimensiune, dimensiune, lungime etc.).

Totalitate n vectori liniar independenți n-spațiul vectorial dimensional se numește bază.

(*)

Teorema(despre descompunerea unui vector pe bază): Fiecare vector al unui spațiu vectorial poate fi reprezentat (și într-un mod unic) ca o combinație liniară de vectori de bază:

Se numește formula (*) descompunere vectorială pe baza, și numerele – coordonate vectorialeîn această bază .

Un spațiu vectorial poate avea mai mult de una sau chiar infinit de baze. În fiecare bază nouă, același vector va avea coordonate diferite.

§ 4. Trecerea la o nouă bază

În algebra liniară, se pune adesea problema găsirii coordonatelor unui vector într-o bază nouă, dacă sunt cunoscute coordonatele acestuia din vechea bază.

Să ne uităm la unele n-spațiu vectorial dimensional (V, +, ·) peste câmp R. Să existe două baze în acest spațiu: vechi și nou .

Sarcină: găsiți coordonatele vectorului în noua bază.

Fie ca vectorii noii baze din vechea bază să aibă expansiunea:

,

Să scriem coordonatele vectorilor în matrice nu în rânduri, așa cum sunt scrise în sistem, ci în coloane:

Matricea rezultată se numește matricea de tranziție de la baza veche la cea nouă.

Matricea de tranziție conectează coordonatele oricărui vector din bazele vechi și noi prin următoarea relație:

,

unde sunt coordonatele dorite ale vectorului în noua bază.

Astfel, sarcina de a găsi coordonatele vectoriale într-o nouă bază se reduce la rezolvarea ecuației matriceale: , unde X– matrice-coloană de coordonate vectoriale în vechea bază, O– matrice de tranziție de la vechea bază la cea nouă, X* – matricea-coloană necesară de coordonate vectoriale în noua bază. Din ecuația matriceală obținem:

Aşa, coordonate vectoriale într-o nouă bază se gasesc din egalitate:

.

Exemplu.Într-o anumită bază, descompunerile vectoriale sunt date:

Găsiți coordonatele vectorului din bază.

Soluţie.

1. Să scriem matricea de tranziție la o nouă bază, de ex. Vom scrie coordonatele vectorilor din vechea bază în coloane:

2. Găsiți matricea O –1:

3. Efectuați înmulțirea , unde sunt coordonatele vectorului:

Răspuns: .

§ 5. Spațiul euclidian

Să ne uităm la unele n-spațiu vectorial dimensional (V, +, ·) peste câmpul numerelor reale R. Să fie o bază a acestui spațiu.

Să introducem în acest spațiu vectorial metric, adică Să stabilim cum să măsurăm lungimile și unghiurile. Pentru a face acest lucru, definim conceptul de produs scalar.

Chiar și la școală, toți elevii sunt introduși în conceptul de „geometrie euclidiană”, ale cărui principale prevederi sunt concentrate în jurul mai multor axiome bazate pe elemente geometrice precum un punct, un plan, o linie dreaptă și mișcare. Toate împreună formează ceea ce a fost mult timp cunoscut drept „spațiul euclidian”.

Euclidian, care se bazează pe principiul înmulțirii scalare a vectorilor, este un caz special al unui spațiu liniar (afin) care satisface o serie de cerințe. În primul rând, produsul scalar al vectorilor este absolut simetric, adică un vector cu coordonate (x;y) este identic cantitativ cu un vector cu coordonate (y;x), dar opus ca direcție.

În al doilea rând, dacă un produs scalar al unui vector este realizat cu el însuși, atunci rezultatul acestei acțiuni va fi pozitiv. Singura excepție va fi cazul în care coordonatele inițiale și finale ale acestui vector sunt egale cu zero: în acest caz, produsul său cu el însuși va fi, de asemenea, egal cu zero.

În al treilea rând, produsul scalar este distributiv, adică posibilitatea descompunerii uneia dintre coordonatele sale în suma a două valori, ceea ce nu va implica nicio modificare a rezultatului final al înmulțirii scalare a vectorilor. În cele din urmă, în al patrulea rând, atunci când înmulțiți vectori cu același lucru, produsul lor scalar va crește și el cu aceeași cantitate.

Dacă toate aceste patru condiții sunt îndeplinite, putem spune cu încredere că acesta este spațiu euclidian.

Din punct de vedere practic, spațiul euclidian poate fi caracterizat prin următoarele exemple specifice:

1. Cel mai simplu caz este prezența unui set de vectori cu un produs scalar definit conform legilor de bază ale geometriei.
2. Spațiul euclidian se va obține și dacă prin vectori înțelegem un anumit set finit de numere reale cu o formulă dată care descrie suma sau produsul lor scalar.
3. Un caz special de spațiu euclidian ar trebui recunoscut ca așa-numitul spațiu nul, care se obține dacă lungimea scalară a ambilor vectori este egală cu zero.

Spațiul euclidian are o serie de proprietăți specifice. În primul rând, factorul scalar poate fi scos din paranteze atât din primul cât și din cel de-al doilea factor al produsului scalar, rezultatul nu va suferi nicio modificare. În al doilea rând, împreună cu distributivitatea primului element al produsului scalar, funcționează și distributivitatea celui de-al doilea element. În plus, pe lângă suma scalară a vectorilor, distributivitatea apare și în cazul scăderii vectorilor. În cele din urmă, în al treilea rând, atunci când înmulțiți scalar un vector cu zero, rezultatul va fi, de asemenea, egal cu zero.

Astfel, spațiul euclidian este cel mai important concept geometric utilizat în rezolvarea problemelor cu poziția relativă a vectorilor unul față de celălalt, care se caracterizează prin conceptul de produs scalar.