Rădăcinile unei ecuații pătratice. Care ecuație nu are rădăcini? Exemple de ecuații Derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Luați în considerare ecuația pătratică:
(1) .
Rădăcinile unei ecuații pătratice(1) sunt determinate de formulele:
; .
Aceste formule pot fi combinate astfel:
.
Când rădăcinile unei ecuații pătratice sunt cunoscute, atunci un polinom de gradul doi poate fi reprezentat ca produs de factori (factorizați):
.

Apoi presupunem că sunt numere reale.
Să luăm în considerare discriminant al unei ecuații pătratice:
.
Dacă discriminantul este pozitiv, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini reale diferite:
; .
Atunci factorizarea trinomului pătratic are forma:
.
Dacă discriminantul este egal cu zero, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini reale multiple (egale):
.
Factorizare:
.
Dacă discriminantul este negativ, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini conjugate complexe:
;
.
Iată unitatea imaginară, ;
și sunt părțile reale și imaginare ale rădăcinilor:
; .
Apoi

.

Interpretare grafică

Dacă trasezi funcția
,
care este o parabolă, atunci punctele de intersecție ale graficului cu axa vor fi rădăcinile ecuației
.
La , graficul intersectează axa x (axa) în două puncte.
Când , graficul atinge axa x la un moment dat.
Când , graficul nu traversează axa x.

Mai jos sunt exemple de astfel de grafice.

Formule utile legate de ecuațiile cuadratice

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Efectuăm transformări și aplicăm formulele (f.1) și (f.3):




,
Unde
; .

Deci, am obținut formula pentru un polinom de gradul doi sub forma:
.
Aceasta arată că ecuația

efectuat la
Și .
Adică și sunt rădăcinile ecuației pătratice
.

Exemple de determinare a rădăcinilor unei ecuații pătratice

Exemplul 1

(1.1) .

.
Comparând cu ecuația noastră (1.1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsim discriminantul:
.
Deoarece discriminantul este pozitiv, ecuația are două rădăcini reale:
;
;
.

Din aceasta obținem factorizarea trinomului pătratic:

.

Graficul funcției y = 2 x 2 + 7 x + 3 intersectează axa x în două puncte.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Acesta traversează axa (axa) absciselor în două puncte:
Și .
Aceste puncte sunt rădăcinile ecuației inițiale (1.1).

;
;
.

Exemplul 2

Găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice:
(2.1) .

Să scriem ecuația pătratică în formă generală:
.
Comparând cu ecuația inițială (2.1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsim discriminantul:
.
Deoarece discriminantul este zero, ecuația are două rădăcini multiple (egale):
;
.

Atunci factorizarea trinomului are forma:
.

Graficul funcției y = x 2 - 4 x + 4 atinge axa x la un moment dat.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Atinge axa x (axa) la un moment dat:
.
Acest punct este rădăcina ecuației inițiale (2.1). Deoarece această rădăcină este factorizată de două ori:
,
atunci o astfel de rădăcină este de obicei numită multiplu. Adică, ei cred că există două rădăcini egale:
.

;
.

Exemplul 3

Găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice:
(3.1) .

Să scriem ecuația pătratică în formă generală:
(1) .
Să rescriem ecuația inițială (3.1):
.
Comparând cu (1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsim discriminantul:
.
Discriminantul este negativ, .

Prin urmare, nu există rădăcini reale.
;
;

Să diagramăm funcția
.
Puteți găsi rădăcini complexe:

Graficul acestei funcții este o parabolă. Nu intersectează axa x (axa). Prin urmare, nu există rădăcini reale.
;
;
.

Nu există rădăcini reale. Rădăcini complexe:

Rezolvarea ecuațiilor în matematică ocupă un loc aparte. Acest proces este precedat de multe ore de studiu teorie, timp în care studentul învață cum să rezolve ecuații, să determine tipul lor și să aducă abilitățile de automatizare completă. Cu toate acestea, căutarea rădăcinilor nu are întotdeauna sens, deoarece acestea pur și simplu nu există. Există tehnici speciale pentru găsirea rădăcinilor. În acest articol vom analiza principalele funcții, domeniile lor de definire, precum și cazurile în care rădăcinile lor lipsesc.

Care ecuație nu are rădăcini?

O ecuație nu are rădăcini dacă nu există argumente reale x pentru care ecuația este identic adevărată. Pentru un nespecialist, această formulare, la fel ca majoritatea teoremelor și formulelor matematice, pare foarte vagă și abstractă, dar acest lucru este în teorie. În practică, totul devine extrem de simplu. De exemplu: ecuația 0 * x = -53 nu are soluție, deoarece nu există un număr x al cărui produs cu zero ar da altceva decât zero.

Acum ne vom uita la cele mai elementare tipuri de ecuații.

1. Ecuație liniară

Practic, ecuațiile liniare sunt rezolvate prin simpla transferare a părții numerice într-o parte și a conținutului lui x în alta. Rezultatul este o ecuație de forma mx = n, unde m și n sunt numere, iar x este o necunoscută. Pentru a găsi x, împărțiți ambele părți la m. Atunci x = n/m. Majoritatea ecuațiilor liniare au o singură rădăcină, dar există cazuri în care fie există un număr infinit de rădăcini, fie nu există deloc. Când m = 0 și n = 0, ecuația ia forma 0 * x = 0. Soluția unei astfel de ecuații va fi absolut orice număr.

Totuși, ce ecuație nu are rădăcini?

Pentru m = 0 și n = 0, ecuația nu are rădăcini în mulțimea numerelor reale. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - aceste ecuații nu au rădăcini.

2. Ecuația pătratică

O ecuație pătratică este o ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0 pentru a = 0. Cea mai comună soluție este prin discriminant. Formula pentru găsirea discriminantului unei ecuații pătratice este: D = b 2 - 4 * a * c. În continuare sunt două rădăcini x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.

Pentru D > 0 ecuația are două rădăcini, pentru D = 0 are o rădăcină. Dar ce ecuație pătratică nu are rădăcini? Cel mai simplu mod de a observa numărul de rădăcini ale unei ecuații pătratice este reprezentarea grafică a funcției, care este o parabolă. Pentru a > 0 ramurile sunt îndreptate în sus, pentru a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

De asemenea, puteți determina vizual numărul de rădăcini fără a calcula discriminantul. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți vârful parabolei și să determinați în ce direcție sunt îndreptate ramurile. Coordonata x a vârfului poate fi determinată folosind formula: x 0 = -b / 2a. În acest caz, coordonata y a vârfului este găsită prin simpla înlocuire a valorii x 0 în ecuația originală.

Ecuația pătratică x 2 - 8x + 72 = 0 nu are rădăcini, deoarece are un discriminant negativ D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. Aceasta înseamnă că parabola nu atinge axa x și funcția nu ia niciodată valoarea 0, prin urmare ecuația nu are rădăcini reale.

3. Ecuații trigonometrice

Funcțiile trigonometrice sunt considerate pe un cerc trigonometric, dar pot fi reprezentate și într-un sistem de coordonate carteziene. În acest articol ne vom uita la două funcții trigonometrice de bază și ecuațiile lor: sinx și cosx. Deoarece aceste funcții formează un cerc trigonometric cu raza 1, |sinx| și |cosx| nu poate fi mai mare de 1. Deci, care ecuație sinx nu are rădăcini? Luați în considerare graficul funcției sinx prezentat în imaginea de mai jos.

Vedem că funcția este simetrică și are o perioadă de repetare de 2pi. Pe baza acestui lucru, putem spune că valoarea maximă a acestei funcții poate fi 1, iar cea minimă -1. De exemplu, expresia cosx = 5 nu va avea rădăcini, deoarece valoarea sa absolută este mai mare decât unu.

Acesta este cel mai simplu exemplu de ecuații trigonometrice. De fapt, rezolvarea lor poate dura multe pagini, la sfârșitul cărora îți dai seama că ai folosit formula greșită și trebuie să o iei de la capăt. Uneori, chiar dacă găsiți corect rădăcinile, este posibil să uitați să țineți cont de restricțiile privind OD, motiv pentru care în răspuns apare o rădăcină sau un interval suplimentar, iar întregul răspuns se transformă într-o eroare. Prin urmare, urmați cu strictețe toate restricțiile, deoarece nu toate rădăcinile se încadrează în domeniul de aplicare al sarcinii.

4. Sisteme de ecuații

Un sistem de ecuații este un set de ecuații unite prin paranteze pătrate sau ondulate. Parantezele indică faptul că toate ecuațiile sunt executate împreună. Adică dacă cel puțin una dintre ecuații nu are rădăcini sau o contrazice pe alta, întregul sistem nu are soluție. Parantezele pătrate indică cuvântul „sau”. Aceasta înseamnă că dacă cel puțin una dintre ecuațiile sistemului are o soluție, atunci întregul sistem are o soluție.

Răspunsul sistemului c este mulțimea tuturor rădăcinilor ecuațiilor individuale. Și sistemele cu bretele au doar rădăcini comune. Sistemele de ecuații pot include funcții complet diferite, astfel încât o astfel de complexitate nu ne permite să spunem imediat ce ecuație nu are rădăcini.

În cărțile de probleme și manuale există diferite tipuri de ecuații: cele care au rădăcini și cele care nu. În primul rând, dacă nu puteți găsi rădăcinile, nu vă gândiți că nu sunt deloc acolo. Poate ați greșit undeva, atunci trebuie doar să vă verificați cu atenție decizia.

Ne-am uitat la cele mai elementare ecuații și tipurile lor. Acum puteți spune care ecuație nu are rădăcini. În cele mai multe cazuri, acest lucru nu este dificil de făcut. Atingerea succesului în rezolvarea ecuațiilor necesită doar atenție și concentrare. Practicați mai mult, vă va ajuta să navigați mult mai bine și mai rapid prin material.

Deci, ecuația nu are rădăcini dacă:

• în ecuația liniară mx = n valoarea este m = 0 și n = 0;
• într-o ecuație pătratică, dacă discriminantul este mai mic decât zero;
• într-o ecuație trigonometrică de forma cosx = m / sinx = n, dacă |m| > 0, |n| > 0;
• într-un sistem de ecuații cu paranteze dacă cel puțin o ecuație nu are rădăcini și cu paranteze pătrate dacă toate ecuațiile nu au rădăcini.

După ce am studiat conceptul de egalități, și anume unul dintre tipurile lor - egalitățile numerice, putem trece la un alt tip important - ecuațiile. În cadrul acestui material, vom explica ce sunt o ecuație și rădăcina ei, vom formula definiții de bază și vom oferi diverse exemple de ecuații și vom găsi rădăcinile acestora.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Conceptul de ecuație

De obicei, conceptul de ecuație este predat chiar la începutul unui curs de algebră școlară. Apoi este definit astfel:

Definiția 1

Ecuaţie numită egalitate cu un număr necunoscut care trebuie găsit.

Se obișnuiește să se desemneze necunoscute cu litere mici latine, de exemplu, t, r, m etc., dar x, y, z sunt cel mai des folosite. Cu alte cuvinte, ecuația este determinată de forma înregistrării ei, adică egalitatea va fi o ecuație doar atunci când se reduce la o anumită formă - trebuie să conțină o literă, valoarea care trebuie găsită.

Să dăm câteva exemple ale celor mai simple ecuații. Acestea pot fi egalități de forma x = 5, y = 6 etc., precum și cele care includ operații aritmetice, de exemplu, x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6: x = 3.

După ce a fost studiat conceptul de paranteze, apare conceptul de ecuații cu paranteze. Acestea includ 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3 etc. Litera care trebuie găsită poate apărea de mai multe ori, dar de mai multe ori, cum ar fi , de exemplu, în ecuația x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10. De asemenea, necunoscutele pot fi localizate nu numai în stânga, ci și în dreapta sau în ambele părți în același timp, de exemplu, x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 sau 8 x − 9 = 2 (x + 17) .

Mai mult, după ce elevii se familiarizează cu conceptele de numere întregi, reale, raționale, numere naturale, precum și cu logaritmi, rădăcini și puteri, apar noi ecuații care includ toate aceste obiecte. Am dedicat un articol separat exemplelor de astfel de expresii.

În programa de clasa a VII-a apare pentru prima dată conceptul de variabile. Acestea sunt litere care pot lua semnificații diferite (pentru mai multe detalii, vezi articolul despre expresii numerice, litere și variabile). Pe baza acestui concept, putem redefini ecuația:

Definiția 2

Ecuaţie este o egalitate care implică o variabilă a cărei valoare trebuie calculată.

Adică, de exemplu, expresia x + 3 = 6 x + 7 este o ecuație cu variabila x, iar 3 y − 1 + y = 0 este o ecuație cu variabila y.

O ecuație poate avea mai multe variabile, dar două sau mai multe. Ele se numesc, respectiv, ecuații cu două, trei variabile etc. Să notăm definiția:

Definiția 3

Ecuațiile cu două (trei, patru sau mai multe) variabile sunt ecuații care includ un număr corespunzător de necunoscute.

De exemplu, o egalitate de forma 3, 7 x + 0, 6 = 1 este o ecuație cu o variabilă x, iar x − z = 5 este o ecuație cu două variabile x și z. Un exemplu de ecuație cu trei variabile ar fi x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26.

Rădăcina ecuației

Când vorbim despre o ecuație, apare imediat nevoia de a defini conceptul rădăcinii acesteia. Să încercăm să explicăm ce înseamnă.

Exemplul 1

Ni se oferă o anumită ecuație care include o variabilă. Dacă înlocuim un număr cu litera necunoscută, ecuația devine o egalitate numerică - adevărată sau falsă. Deci, dacă în ecuația a + 1 = 5 înlocuim litera cu numărul 2, atunci egalitatea va deveni falsă, iar dacă 4, atunci egalitatea corectă va fi 4 + 1 = 5.

Ne interesează mai mult tocmai acele valori cu care variabila se va transforma într-o adevărată egalitate. Se numesc rădăcini sau soluții. Să scriem definiția.

Definiția 4

Rădăcina ecuației Ei numesc valoarea unei variabile care transformă o ecuație dată într-o egalitate adevărată.

Rădăcina poate fi numită și o soluție sau invers - ambele concepte înseamnă același lucru.

Exemplul 2

Să luăm un exemplu pentru a clarifica această definiție. Mai sus am dat ecuația a + 1 = 5. Conform definiției, rădăcina în acest caz va fi 4, deoarece atunci când este înlocuită în loc de o literă, dă egalitatea numerică corectă, iar două nu vor fi o soluție, deoarece corespunde egalității incorecte 2 + 1 = 5.

Câte rădăcini poate avea o ecuație? Fiecare ecuație are o rădăcină? Să răspundem la aceste întrebări.

Există și ecuații care nu au o singură rădăcină. Un exemplu ar fi 0 x = 5. Putem substitui un număr infinit de numere diferite în el, dar niciunul dintre ele nu o va transforma într-o egalitate adevărată, deoarece înmulțirea cu 0 dă întotdeauna 0.

Există și ecuații care au mai multe rădăcini. Ele pot avea fie un număr finit, fie un număr infinit de rădăcini.

Exemplul 3

Deci, în ecuația x − 2 = 4 există o singură rădăcină - șase, în x 2 = 9 două rădăcini - trei și minus trei, în x · (x − 1) · (x − 2) = 0 trei rădăcini - zero, unu și doi, există infinit de rădăcini în ecuația x=x.

Acum să explicăm cum să scriem corect rădăcinile ecuației. Dacă nu există, atunci scriem: „ecuația nu are rădăcini”. În acest caz, puteți indica și semnul mulțimii goale ∅. Dacă există rădăcini, atunci le scriem separate prin virgule sau le indicăm ca elemente ale unui set, încadrându-le în acolade. Deci, dacă orice ecuație are trei rădăcini - 2, 1 și 5, atunci scriem - 2, 1, 5 sau (- 2, 1, 5).

Este permis să scrieți rădăcini sub formă de egalități simple. Deci, dacă necunoscutul din ecuație este notat cu litera y, iar rădăcinile sunt 2 și 7, atunci scriem y = 2 și y = 7. Uneori se adaugă indicele la litere, de exemplu, x 1 = 3, x 2 = 5. În acest fel indicăm numerele rădăcinilor. Dacă ecuația are un număr infinit de soluții, atunci scriem răspunsul ca un interval numeric sau folosim notație general acceptată: mulțimea numerelor naturale se notează N, numere întregi - Z, numere reale - R. Să presupunem că, dacă trebuie să scriem că soluția ecuației va fi orice număr întreg, atunci scriem că x ∈ Z, iar dacă orice număr real de la unu la nouă, atunci y ∈ 1, 9.

Când o ecuație are două, trei rădăcini sau mai multe, atunci, de regulă, nu vorbim despre rădăcini, ci despre soluții ale ecuației. Să formulăm definiția unei soluții la o ecuație cu mai multe variabile.

Definiția 5

Soluția unei ecuații cu două, trei sau mai multe variabile este două, trei sau mai multe valori ale variabilelor care transformă ecuația dată într-o egalitate numerică corectă.

Să explicăm definiția cu exemple.

Exemplul 4

Să presupunem că avem expresia x + y = 7, care este o ecuație cu două variabile. Să înlocuim unul în loc de primul și doi în loc de al doilea. Vom obține o egalitate incorectă, ceea ce înseamnă că această pereche de valori nu va fi o soluție pentru această ecuație. Dacă luăm perechea 3 și 4, atunci egalitatea devine adevărată, ceea ce înseamnă că am găsit o soluție.

Astfel de ecuații pot, de asemenea, să nu aibă rădăcini sau un număr infinit de ele. Dacă trebuie să notăm două, trei, patru sau mai multe valori, atunci le scriem separate prin virgule în paranteze. Adică, în exemplul de mai sus, răspunsul va arăta ca (3, 4).

În practică, cel mai adesea trebuie să vă ocupați de ecuații care conțin o variabilă. Vom lua în considerare algoritmul pentru rezolvarea lor în detaliu în articolul dedicat rezolvării ecuațiilor.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter