Teoria numerelor complexe și exemple. Numerele complexe

Numerele complexe

Imaginar Şi numere complexe. Abscisa si ordonata

număr complex. Conjugați numere complexe.

Operații cu numere complexe. Geometric

reprezentarea numerelor complexe. Plan complex.

Modulul și argumentul unui număr complex. Trigonometric

formă de număr complex. Operatii cu complexe

numere în formă trigonometrică. formula lui Moivre.

Informații de bază despre imaginar Şi numere complexe sunt date în secțiunea „Numere imaginare și complexe”. Necesitatea acestor numere de tip nou a apărut la rezolvarea ecuațiilor pătratice pentru acest cazD< 0 (здесь D– discriminant ecuație pătratică). Multă vreme aceste numere nu au fost găsite aplicare fizică, motiv pentru care au fost numite numere „imaginare”. Cu toate acestea, acum ele sunt foarte utilizate pe scară largă în diferite domenii ale fizicii

și tehnologie: inginerie electrică, hidro- și aerodinamică, teoria elasticității etc.

Numerele complexe sunt scrise sub forma:a+bi. Aici oŞi b – numere reale , A i – unitate imaginară, adică e. i 2 = –1. Număr o numit abscisă, a b – ordonatănumăr complexa + bi.Două numere complexea+biŞi a–bi sunt numite conjuga numere complexe.

Principalele acorduri:

1. Număr realOpoate fi scris și sub formănumăr complex:a+ 0 i sau a – 0 i. De exemplu, înregistrează 5 + 0iși 5-0 iînseamnă același număr 5 .

2. Numărul complex 0 + binumit pur imaginar număr. Înregistrabiînseamnă la fel ca 0 + bi.

3. Două numere complexea+bi Şic + disunt considerate egale dacăa = cŞi b = d. Altfel numerele complexe nu sunt egale.

Plus. Suma numerelor complexea+biŞi c + dise numește număr complex (a+c ) + (b+d ) i.Astfel, la adăugarea numerele complexe, abscisele și ordonatele lor sunt adăugate separat.

Această definiție corespunde regulilor pentru operațiile cu polinoame obișnuite.

Scădere. Diferența a două numere complexea+bi(diminuat) și c + di(subtraend) se numește număr complex (a–c ) + (b–d ) i.

Astfel, La scăderea a două numere complexe, abscisele și ordonatele lor se scad separat.

Multiplicare. Produsul numerelor complexea+biŞi c + di se numeste numar complex:

(ac–bd ) + (ad+bc ) i.Această definiție rezultă din două cerințe:

1) numere a+biŞi c + ditrebuie înmulțit ca algebric binoame,

2) număr iare principala proprietate:i 2 = – 1.

EXEMPLU ( a+ bi )(a–bi) =a 2 + b 2 . Prin urmare, lucru

două numere complexe conjugate este egală cu un număr real

un număr pozitiv.

Diviziune. Împărțiți un număr complexa+bi (divizibil) cu altulc + di(divizor) - înseamnă a găsi al treilea număre + f i(chat), care atunci când este înmulțit cu un divizorc + di, rezultă dividendula + bi.

Dacă divizorul nu este zero, împărțirea este întotdeauna posibilă.

EXEMPLU Găsiți (8 +i ) : (2 – 3 i) .

Soluție Să rescriem acest raport sub formă de fracție:

Înmulțind numărătorul și numitorul cu 2 + 3i

ŞI După ce am efectuat toate transformările, obținem:

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe. Numerele reale sunt reprezentate prin puncte de pe dreapta numerică:

Aici este ideea Oînseamnă numărul –3, punctB– numărul 2 și O- zero. În schimb, numerele complexe sunt reprezentate prin puncte plan de coordonate. În acest scop, alegem coordonate dreptunghiulare (carteziane) cu aceleași scale pe ambele axe. Apoi numărul complexa+bi va fi reprezentat printr-un punct P cu abscisă a si ordonata b (vezi poza). Acest sistem de coordonate este numit plan complex .

Modul număr complex este lungimea vectoruluiOP, reprezentând un număr complex pe coordonata ( cuprinzătoare) avion. Modulul unui număr complexa+bi notat | a+bi| sau scrisoare r

Planul de lecție.

1. Moment organizatoric.

2. Prezentarea materialului.

3. Tema pentru acasă.

4. Rezumând lecția.

Progresul lecției

I. Moment organizatoric.

II. Prezentarea materialului.

Motivația.

Extinderea mulțimii numerelor reale constă în adăugarea de noi numere (imaginare) la numerele reale. Introducerea acestor numere se datorează imposibilității în set numere reale luând rădăcina unui număr negativ.

Introducere în conceptul de număr complex.

Numerele imaginare, cu care completăm numerele reale, sunt scrise sub formă bi, Unde i este o unitate imaginară și i 2 = - 1.

Pe baza acesteia, obținem următoarea definiție a unui număr complex.

Definiţie. Un număr complex este o expresie a formei a+bi, Unde oŞi b- numere reale. În acest caz, sunt îndeplinite următoarele condiții:

a) Două numere complexe a 1 + b 1 iŞi a 2 + b 2 i egal dacă și numai dacă a 1 = a 2, b 1 =b 2.

b) Adunarea numerelor complexe este determinată de regula:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) Înmulțirea numerelor complexe este determinată de regula:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Forma algebrică a unui număr complex.

Scrierea unui număr complex în formă a+bi se numește forma algebrică a unui număr complex, unde O– parte reală, bi este partea imaginară și b– număr real.

Număr complex a+bi este considerat egal cu zero dacă părțile sale reale și imaginare sunt egale cu zero: a = b = 0

Număr complex a+bi la b = 0 considerat a fi la fel cu un număr real o: a + 0i = a.

Număr complex a+bi la a = 0 se numește pur imaginar și se notează bi: 0 + bi = bi.

Două numere complexe z = a + biŞi = a – bi, care diferă doar prin semnul părții imaginare, se numesc conjugate.

Operații pe numere complexe în formă algebrică.

Puteți efectua următoarele operații pe numere complexe în formă algebrică.

1) Adăugarea.

Definiţie. Suma numerelor complexe z 1 = a 1 + b 1 iŞi z 2 = a 2 + b 2 i se numește număr complex z, a cărui parte reală este egală cu suma părților reale z 1Şi z 2, iar partea imaginară este suma părților imaginare ale numerelor z 1Şi z 2, adică z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Numerele z 1Şi z 2 se numesc termeni.

Adunarea numerelor complexe are următoarele proprietăți:

1º. Comutativitate: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Asociativitate: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Număr complex –a –bi numit opusul unui număr complex z = a + bi. Număr complex, opus numărului complex z, notat -z. Suma numerelor complexe zŞi -z egal cu zero: z + (-z) = 0

Exemplul 1: Efectuați adăugarea (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Scăderea.

Definiţie. Scăderea dintr-un număr complex z 1 număr complex z 2 z, Ce z + z 2 = z 1.

Teorema. Diferența dintre numerele complexe există și este unică.

Exemplul 2: Efectuați o scădere (4 – 2i) - (-3 + 2i).

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

3) Înmulțirea.

Definiţie. Produsul numerelor complexe z 1 =a 1 +b 1 iŞi z 2 =a 2 +b 2 i se numește număr complex z, definit prin egalitate: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Numerele z 1Şi z 2 se numesc factori.

Înmulțirea numerelor complexe are următoarele proprietăți:

1º. Comutativitate: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Asociativitate: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- număr real.

În practică, înmulțirea numerelor complexe se realizează după regula înmulțirii unei sume cu o sumă și separării părților reale și imaginare.

În exemplul următor, vom lua în considerare înmulțirea numerelor complexe în două moduri: prin regulă și prin înmulțirea sumei cu sumă.

Exemplul 3: Faceți înmulțirea (2 + 3i) (5 – 7i).

1 cale. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.

Metoda 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Diviziune.

Definiţie. Împărțiți un număr complex z 1 la un număr complex z 2, înseamnă a găsi un număr atât de complex z, Ce z · z 2 = z 1.

Teorema. Coeficientul numerelor complexe există și este unic dacă z 2 ≠ 0 + 0i.

În practică, câtul numerelor complexe se găsește prin înmulțirea numărătorului și numitorului cu conjugatul numitorului.

Lasă z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Atunci

.

În exemplul următor, vom efectua împărțirea folosind formula și regula înmulțirii cu numărul conjugat la numitor.

Exemplul 4. Aflați coeficientul .

5) Ridicarea la o putere totală pozitivă.

a) Puterile unitatii imaginare.

Profitând de egalitate i 2 = -1, este ușor de definit orice putere întreagă pozitivă a unității imaginare. Avem:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 etc.

Aceasta arată că gradul valorează eu n, Unde n– întreg număr pozitiv, se repetă periodic pe măsură ce indicatorul crește cu 4 .

Prin urmare, pentru a crește numărul i la o putere totală pozitivă, trebuie să împărțim exponentul la 4 și construiește i la o putere al cărei exponent este egal cu restul diviziunii.

Exemplul 5: Calculați: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

b) Ridicarea unui număr complex la o putere întreagă pozitivă se realizează conform regulii de ridicare a unui binom la puterea corespunzătoare, deoarece este un caz special de înmulțire a factorilor complexi identici.

Exemplul 6: Calculați: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

Numerele complexe sunt extensia minimă a mulțimii de numere reale cu care suntem familiarizați. Diferența lor fundamentală este că apare un element care dă -1 la pătrat, adică. eu, sau.

Orice număr complex este format din două părți: reale și imaginare:

Astfel, este clar că mulțimea numerelor reale coincide cu mulțimea numerelor complexe cu o parte imaginară zero.

Cel mai popular model pentru mulțimea de numere complexe este planul obișnuit. Prima coordonată a fiecărui punct va fi partea sa reală, iar a doua va fi partea sa imaginară. Atunci rolul numerelor complexe în sine vor fi vectori cu începutul în punctul (0,0).

Operații pe numere complexe.

De fapt, dacă luăm în considerare modelul mulțimii numerelor complexe, este intuitiv clar că adunarea (scăderea) și înmulțirea a două numere complexe se realizează în același mod ca și operațiile corespunzătoare pe vectori. Și asta înseamnă produs vectorial vectori, deoarece rezultatul acestei operații este din nou un vector.

1.1 Adăugarea.

(După cum puteți vedea, această operație corespunde exact cu)

1.2 Scăderea, în mod similar, este produs după următoarea regulă:

2. Înmulțirea.

3. Diviziune.

Definit simplu ca operația inversă de înmulțire.

Forma trigonometrică.

Modulul unui număr complex z este următoarea mărime:

,

evident, acesta este, din nou, doar modulul (lungimea) vectorului (a,b).

Cel mai adesea, modulul unui număr complex este notat ca ρ.

Se dovedește că

z = ρ(cosφ+isinφ).

Următoarele rezultă direct din forma trigonometrică a scrierii unui număr complex: formule :

Ultima formulă se numește formula lui Moivre. Formula este derivată direct din ea a n-a rădăcină a unui număr complex:

astfel, există n-a rădăcini ale numărului complex z.