Cu ce număr poate fi egal rangul unei matrice? Găsirea rangului unei matrice

Luați în considerare o matrice dreptunghiulară. Dacă în această matrice selectăm în mod arbitrar k linii şi k coloane, apoi elementele de la intersecția rândurilor și coloanelor selectate formează o matrice pătrată de ordinul k-lea. Determinantul acestei matrice se numește minor de ordinul k-lea matricea A. Evident, matricea A are minore de orice ordin de la 1 la cel mai mic dintre numerele m și n. Dintre toate minorele nenule ale matricei A, există cel puțin un minor a cărui ordine este cea mai mare. Se numește cel mai mare dintre ordinele minore diferite de zero ale unei matrice date rang matrici. Dacă rangul matricei A este r, aceasta înseamnă că matricea A are un minor de ordin diferit de zero r, dar fiecare minor de ordin mai mare decât r, este egal cu zero. Rangul matricei A este notat cu r(A). Evident, relația este valabilă

Calcularea rangului unei matrice folosind minori

Rangul matricei se găsește fie prin metoda limitării minorilor, fie prin metoda transformărilor elementare. Când calculați rangul unei matrice folosind prima metodă, ar trebui să treceți de la minorii de ordin inferior la minorii de ordin superior. Dacă a fost deja găsit un D minor de ordinul k al matricei A, diferit de zero, atunci numai minorele de ordin (k+1) care mărginesc D minor necesită calcul, adică. conținându-l ca minor. Dacă toate sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este k.

Exemplul 1.Găsiți rangul matricei folosind metoda limitării minorilor

Soluţie.Începem cu minorii de ordinul 1, adică. dintre elementele matricei A. Să alegem, de exemplu, un (element) minor M 1 = 1, situat în primul rând și prima coloană. Mărginind cu ajutorul celui de-al doilea rând și al treilea coloan, obținem un M 2 minor = diferit de zero. Ne întoarcem acum la minorii de ordinul 3 care se învecinează cu M2. Sunt doar două dintre ele (puteți adăuga o a doua sau a patra coloană). Să le calculăm: = 0. Astfel, toți minorii învecinați de ordinul al treilea s-au dovedit a fi egali cu zero. Rangul matricei A este doi.

Calcularea rangului unei matrice folosind transformări elementare

ElementarUrmătoarele transformări de matrice se numesc:

1) permutarea oricăror două rânduri (sau coloane),

2) înmulțirea unui rând (sau coloană) cu un număr diferit de zero,

3) adăugarea la un rând (sau coloană) a unui alt rând (sau coloană), înmulțit cu un anumit număr.

Cele două matrici sunt numite echivalent, dacă una dintre ele este obținută de la cealaltă folosind o mulțime finită de transformări elementare.

Matricele echivalente nu sunt, în general, egale, dar rangurile lor sunt egale. Dacă matricele A și B sunt echivalente, atunci se scrie după cum urmează: A~B.

CanonicO matrice este o matrice în care la începutul diagonalei principale există mai multe pe rând (al căror număr poate fi zero), iar toate celelalte elemente sunt egale cu zero, de exemplu,

Folosind transformări elementare de rânduri și coloane, orice matrice poate fi redusă la canonică. Rangul matricei canonice egală cu numărul unități pe diagonala sa principală.

Exemplul 2Aflați rangul unei matrice

și să-l aducă la forma canonică.

Soluţie. Din a doua linie, scădeți prima și rearanjați aceste linii:

Acum din a doua și a treia linie o scădem pe prima, înmulțită cu 2 și, respectiv, 5:

;

scădeți primul din a treia linie; obținem o matrice

care este echivalentă cu matricea A, deoarece se obține din ea folosind o mulțime finită de transformări elementare. În mod evident, rangul matricei B este 2 și, prin urmare, r(A)=2. Matricea B poate fi ușor redusă la canonică. Scăzând prima coloană, înmulțită cu numere potrivite, din toate cele ulterioare, întoarcem la zero toate elementele primului rând, cu excepția primului, iar elementele rândurilor rămase nu se modifică. Apoi, scăzând a doua coloană, înmulțită cu numerele potrivite, din toate cele ulterioare, trecem la zero toate elementele din al doilea rând, cu excepția celui de-al doilea, și obținem matricea canonică:

Orice matrice O comanda m×n poate fi considerată o colecție m vectori șir sau n vectori coloană.

Rang matrici O comanda m×n este numărul maxim de vectori coloană liniar independenți sau vectori rând.

Dacă rangul matricei O egală r, atunci este scris:

Găsirea rangului unei matrice

Lasă O matrice de ordine arbitrară m× n. Pentru a afla rangul unei matrice O Ii aplicam metoda de eliminare gaussiana.

Rețineți că dacă într-un anumit stadiu al eliminării elementul principal este egal cu zero, atunci schimbăm această linie cu un șir în care elementul conducător este diferit de zero. Dacă se dovedește că nu există o astfel de linie, treceți la următoarea coloană etc.

După procesul de eliminare directă Gauss, obținem o matrice ale cărei elemente de sub diagonala principală sunt egale cu zero. În plus, pot exista vectori rând zero.

Numărul de vectori rând diferit de zero va fi rangul matricei O.

Să ne uităm la toate acestea folosind exemple simple.

Exemplul 1.

Înmulțind prima linie cu 4 și adunând la a doua linie și înmulțind prima linie cu 2 și adunând la a treia linie avem:

Înmulțiți a doua linie cu -1 și adăugați-o la a treia linie:

Am primit două rânduri diferite de zero și, prin urmare, rangul matricei este 2.

Exemplul 2.

Să găsim rangul următoarei matrice:

Înmulțiți prima linie cu -2 și adăugați-o la a doua linie. În mod similar, resetăm elementele rândurilor al treilea și al patrulea din prima coloană:

Să resetam elementele rândurilor al treilea și al patrulea din a doua coloană adăugând rândurile corespunzătoare celui de-al doilea rând înmulțit cu numărul -1.

Definiţie. Rangul matricei este numărul maxim de rânduri liniar independente considerate ca vectori.

Teorema 1 asupra rangului matricei. Rangul matricei se numește ordinul maxim al unui minor diferit de zero al unei matrice.

Am discutat deja despre conceptul de minor în lecția despre determinanți, dar acum îl vom generaliza. Să luăm un anumit număr de rânduri și un anumit număr de coloane din matrice, iar acest „ceva” ar trebui să fie mai mic decât numărul de rânduri și coloane ale matricei, iar pentru rânduri și coloane acest „ceva” ar trebui să fie același număr . Apoi, la intersecția câte rânduri și câte coloane va exista o matrice de ordin mai mic decât matricea noastră originală. Determinantul este o matrice și va fi minor de ordinul k, dacă „unele” menționat (numărul de rânduri și coloane) este notat cu k.

Definiţie. minor ( r Ordinul +1), în care se află minorul ales r-allea ordin se numește margine pentru un anumit minor.

Cele două metode cele mai frecvent utilizate sunt aflarea rangului matricei. Acest mod de a se învecina cu minoriiŞi metoda transformărilor elementare(metoda Gauss).

Când se folosește metoda minorilor limită, se folosește următoarea teoremă.

Teorema 2 asupra rangului matricei. Dacă un minor poate fi compus din elemente de matrice r ordinul al-lea, nu este egal cu zero, atunci rangul matricei este egal cu r.

Când se utilizează metoda de transformare elementară, se utilizează următoarea proprietate:

Dacă prin transformări elementare se obține o matrice trapezoidală echivalentă cu cea originală, atunci rangul acestei matrice este numărul de linii din el, altele decât liniile formate în întregime din zerouri.

Găsirea rangului unei matrice folosind metoda limitării minorilor

Un minor care înglobează este un minor de ordin superior în raport cu cel dat, dacă acest minor de ordin superior îl conține pe minorul dat.

De exemplu, având în vedere matricea

Să luăm un minor

Minorii limitrofe vor fi:

Algoritm pentru găsirea rangului unei matrice Următorul.

1. Găsiți minori de ordinul doi care nu sunt egali cu zero. Dacă toți minorii de ordinul doi sunt egali cu zero, atunci rangul matricei va fi egal cu unu ( r =1 ).

2. Dacă există cel puțin un minor de ordinul doi care nu este egal cu zero, atunci compunem minorii limitrofe de ordinul al treilea. Dacă toți minorii învecinați de ordinul al treilea sunt egali cu zero, atunci rangul matricei este egal cu doi ( r =2 ).

3. Dacă cel puțin unul dintre minorii învecinați de ordinul al treilea nu este egal cu zero, atunci compunem minorii învecinați. Dacă toți minorii învecinați de ordinul al patrulea sunt egali cu zero, atunci rangul matricei este egal cu trei ( r =2 ).

4. Continuați în acest fel atâta timp cât dimensiunea matricei o permite.

Exemplul 1. Aflați rangul unei matrice

Soluţie. Minor de ordinul doi .

Să o limităm. Vor fi patru minori în graniță:

Astfel, toți minorii învecinați de ordinul al treilea sunt egali cu zero, prin urmare, rangul acestei matrice este egal cu doi ( r =2 ).

Exemplul 2. Aflați rangul unei matrice

Soluţie. Rangul acestei matrice este egal cu 1, întrucât toți minorii de ordinul doi ai acestei matrice sunt egali cu zero (în aceasta, ca și în cazurile minorilor limitrofe din următoarele două exemple, dragi elevi sunt invitați să verifice pt. ei înșiși, poate folosind regulile de calcul al determinanților), iar printre minorii de ordinul întâi, adică printre elementele matricei, există și altele diferite de zero.

Exemplul 3. Aflați rangul unei matrice

Soluţie. Minorul de ordinul doi al acestei matrice este și toate minorii de ordinul trei ale acestei matrice sunt egale cu zero. Prin urmare, rangul acestei matrice este doi.

Exemplul 4. Aflați rangul unei matrice

Soluţie. Rangul acestei matrice este 3, deoarece singurul minor de ordinul trei al acestei matrice este 3.

Găsirea rangului unei matrice folosind metoda transformărilor elementare (metoda Gauss)

Deja în exemplul 1 este clar că sarcina de a determina rangul unei matrice folosind metoda minorilor învecinați necesită calcularea unui număr mare de determinanți. Există, totuși, o modalitate de a reduce cantitatea de calcul la minimum. Această metodă se bazează pe utilizarea transformărilor matriceale elementare și este numită și metoda Gauss.

Următoarele operații sunt înțelese ca transformări matrice elementare:

1) înmulțirea oricărui rând sau coloană a unei matrice cu un număr diferit de zero;

2) adăugarea la elementele oricărui rând sau coloană a matricei a elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând sau coloană, înmulțite cu același număr;

3) schimbarea a două rânduri sau coloane ale matricei;

4) eliminarea rândurilor „nule”, adică a celor ale căror elemente sunt toate egale cu zero;

5) ștergerea tuturor liniilor proporționale cu excepția uneia.

Teorema.În timpul unei transformări elementare, rangul matricei nu se modifică. Cu alte cuvinte, dacă folosim transformări elementare din matrice O a mers la matrice B, Asta .

Un număr r se numește rangul matricei A dacă:
1) în matricea A există un minor de ordinul r, diferit de zero;
2) toți minorii de ordin (r+1) și mai mari, dacă există, sunt egali cu zero.
În caz contrar, rangul unei matrice este cel mai mare ordin minor, altul decât zero.
Denumiri: rangA, r A sau r.
Din definiție rezultă că r este un număr întreg număr pozitiv. Pentru o matrice nulă, rangul este considerat zero.

Scopul serviciului. Calculatorul online este conceput pentru a găsi rangul matricei. În acest caz, soluția este salvată în format Word și Excel. vezi exemplu de solutie.

Instrucţiuni. Selectați dimensiunea matricei, faceți clic pe Următorul.

Definiție . Fie dată o matrice de rang r. Orice minor al unei matrice care este diferit de zero și are ordinul r se numește de bază, iar rândurile și coloanele componentelor sale sunt numite rânduri și coloane de bază.
Conform acestei definiții, o matrice A poate avea mai multe minore de bază.

Rangul matricei de identitate E este n (numărul de rânduri).

Exemplul 1. Având în vedere două matrice, și minorii lor , . Care dintre ele poate fi considerată cea de bază?
Soluţie. Minor M 1 =0, deci nu poate fi o bază pentru niciuna dintre matrice. Minor M 2 =-9≠0 și are ordinul 2, ceea ce înseamnă că poate fi luat ca bază a matricelor A sau / și B, cu condiția ca acestea să aibă ranguri egale cu 2. Deoarece detB=0 (ca determinant cu două coloane proporționale), atunci rangB=2 și M 2 pot fi luate ca bază minoră a matricei B. Rangul matricei A este 3, datorită faptului că detA=-27≠ 0 și, prin urmare, ordinea bazei minore a acestei matrice trebuie să fie egală cu 3, adică M 2 nu este o bază pentru matricea A. Rețineți că matricea A are o singură bază minoră, egală cu determinantul matricei A.

Teoremă (despre baza minoră). Orice rând (coloană) al unei matrice este o combinație liniară a rândurilor (coloanelor) de bază.
Corolare din teoremă.

Fiecare matrice (r+1) coloană (rând) de rang r este dependentă liniar.
Dacă rangul unei matrice este mai mic decât numărul rândurilor (coloanelor) sale, atunci rândurile (coloanelor) sale sunt dependente liniar. Dacă rangA este egal cu numărul de rânduri (coloane) sale, atunci rândurile (coloanele) sunt liniar independente.
Determinantul unei matrice A este egal cu zero dacă și numai dacă rândurile (coloanele) ale acesteia sunt dependente liniar.
Dacă adăugați un alt rând (coloană) la un rând (coloană) al unei matrice, înmulțit cu orice număr, altul decât zero, atunci rangul matricei nu se va schimba.
Dacă tăiați un rând (coloană) dintr-o matrice, care este o combinație liniară a altor rânduri (coloane), atunci rangul matricei nu se va schimba.
Rangul unei matrice este egal cu numărul maxim al rândurilor (coloanelor) sale liniar independente.
Numărul maxim de rânduri liniar independente este același cu numărul maxim de coloane liniar independente.

Exemplul 2. Aflați rangul unei matrice .
Soluţie. Pe baza definiției rangului matricei, vom căuta un minor de ordinul cel mai înalt, diferit de zero. Mai întâi transformăm matricea în mai multe vedere simplă. Pentru a face acest lucru, înmulțiți primul rând al matricei cu (-2) și adăugați-l la al doilea, apoi înmulțiți-l cu (-1) și adăugați-l la al treilea.

Anterior pentru o matrice pătrată Ordinul a fost introdus conceptul de minor
element . Să ne amintim că acesta este numele dat determinantului ordinii
, obtinut din determinant
prin tăiere a linia și a coloana.

Să ne prezentăm acum concept general minor. Să luăm în considerare câteva nu neapărat pătrat matrice . Să alegem câteva numere de linie
Şi numerele coloanei
.

Definiţie. Comanda minora matrici (corespunzător rândurilor și coloanelor selectate) se numește determinant de ordine , format din elementele de la intersecția rândurilor și coloanelor selectate, i.e. număr

Fiecare matrice are tot atâtea minore dintr-un ordin dat , în câte moduri puteți selecta numerele de linii
și coloane
.

Definiţie. În matrice dimensiuni
comanda minora numit de bază, dacă este diferit de zero și toți minorii sunt de ordine
egal cu zero sau ordin minor
la matrice deloc.

Este clar că o matrice poate avea mai mulți minori de bază diferite, dar toți minorii de bază au aceeași ordine. Într-adevăr, dacă toți minorii sunt de ordine
sunt egale cu zero, atunci toți minorii ordinului sunt egali cu zero
, și, în consecință, toate ordinele superioare.

Definiţie. Rangul matricei Ordinea minorului de bază se numește, sau, cu alte cuvinte, cea mai mare ordine pentru care există minori, alții decât zero. Dacă toate elementele unei matrice sunt egale cu zero, atunci rangul unei astfel de matrice, prin definiție, este considerat zero.

Rangul matricei vom nota prin simbol
. Din definiția rangului rezultă că pentru matrice dimensiuni
raportul este corect.

Două moduri de a calcula rangul unei matrice

O) Metoda limitării minorilor

Să se găsească un minor în matrice
-al-lea, diferit de zero. Să luăm în considerare doar acei minori
-allea ordin, care conțin (margine) un minor
: dacă toate sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este . În rest, printre minorii învecinați se numără un minor non-zero
-a ordine și se repetă întreaga procedură.

Exemplul 9 . Aflați rangul unei matrice prin metoda limitării minorilor.

Să alegem un minor de ordinul doi
. Există un singur minor de ordinul al treilea, învecinat cu minorul selectat
. Să-l calculăm.

Deci este minor
de bază, iar rangul matricei este egal cu ordinea acesteia, adică

Este clar că iterarea prin minori în acest fel în căutarea bazei este o sarcină asociată cu calcule mari, dacă dimensiunile matricei nu sunt foarte mici. Există, totuși, o modalitate mai simplă de a găsi rangul unei matrice - folosind transformări elementare.

b) Metoda de transformare elementară

Definiţie. Transformări matrice elementare Următoarele transformări se numesc:

înmulțirea unui șir cu un alt număr decât zero;

adăugarea unei alte linii la o linie;

rearanjarea liniilor;

aceleași transformări de coloană.

Transformările 1 și 2 sunt efectuate element cu element.

Prin combinarea transformărilor primului și celui de-al doilea tip, putem adăuga o combinație liniară a șirurilor rămase la orice șir.

Teorema. Transformările elementare nu schimbă rangul matricei.

(Fără dovadă)

Ideea unei metode practice de calculare a rangului unei matrice

este că cu ajutorul transformărilor elementare această matrice duce la apariție

, (5)

în care elementele „diagonale”.
sunt diferite de zero, iar elementele situate sub cele „diagonale” sunt egale cu zero. Să fim de acord să numim matricea acest tip de triunghiular (altfel, se numește diagonală, trapezoidală sau scară). După reducerea matricei la forma triunghiulară putem scrie imediat că
.

De fapt,
(deoarece transformările elementare nu schimbă rangul). Dar matricea există o comandă minoră diferită de zero :

si orice minor de ordine
conține șirul nul și, prin urmare, este egal cu zero.

Să formulăm acum practic regula de calcul al rangului matrici folosind transformări elementare: pentru a afla rangul matricei ar trebui adusă la o formă triunghiulară folosind transformări elementare . Apoi rangul matricei va fi egal cu numărul de rânduri diferite de zero din matricea rezultată .

Exemplul 10. Aflați rangul unei matrice prin metoda transformărilor elementare

Soluţie.

Să schimbăm prima și a doua linie (deoarece primul element al celei de-a doua linii este −1 și va fi convenabil să efectuați transformări cu acesta). Ca rezultat, obținem o matrice echivalentă cu aceasta.

Să notăm - acel rând al matricei - . Trebuie să reducem matricea originală la formă triunghiulară. Vom considera prima linie ca fiind linia de conducere ea va participa la toate transformările, dar ea însăși rămâne neschimbată.

În prima etapă, vom efectua transformări care ne permit să obținem zerouri în prima coloană, cu excepția primului element. Pentru a face acest lucru, scădeți prima linie din a doua linie, înmulțită cu 2
, adăugați primul la a treia linie
, iar din a treia îl scadem pe primul, înmulțit cu 3
Obținem o matrice al cărei rang coincide cu rangul acestei matrice. Să o notăm cu aceeași literă :

Deoarece trebuie să reducem matricea la forma (5), scădem a doua din al patrulea rând. În acest caz avem:

Se obține o matrice de formă triunghiulară și putem concluziona că
, adică numărul de linii diferite de zero. Pe scurt, soluția problemei poate fi scrisă după cum urmează: