Care este alt nume pentru o fracție algebrică? Concepte de bază

În acest articol ne vom uita operații de bază cu fracții algebrice:

• fracții reducătoare
• înmulțirea fracțiilor
• împărțirea fracțiilor

Să începem cu reducerea fracțiilor algebrice.

S-ar părea algoritm evident.

La reduce fracțiile algebrice, trebuie

1. Factorizați numărătorul și numitorul fracției.

2. Reduceți factori egali.

Cu toate acestea, școlarii fac adesea greșeala de a „reduce” nu factorii, ci termenii. De exemplu, există amatori care „reduc” fracțiile și obțin ca rezultat , ceea ce, desigur, nu este adevărat.

Să ne uităm la exemple:

1. Reduceți o fracție:

1. Să factorizăm numărătorul folosind formula pătratului sumei, iar numitorul folosind formula diferenței de pătrate

2. Împărțiți numărătorul și numitorul la

2. Reduceți o fracție:

1. Să factorizăm numărătorul. Deoarece numărătorul conține patru termeni, folosim gruparea.

2. Să factorizăm numitorul. Putem folosi și gruparea.

3. Să notăm fracția pe care am obținut-o și să reducem aceiași factori:

Înmulțirea fracțiilor algebrice.

Când înmulțim fracții algebrice, înmulțim numărătorul cu numărătorul și înmulțim numitorul cu numitorul.

Important! Nu este nevoie să vă grăbiți să înmulțiți numărătorul și numitorul unei fracții. După ce am notat produsul dintre numărătorii fracțiilor din numărător și produsul numitorilor din numitor, trebuie să factorăm fiecare factor și să reducem fracția.

Să ne uităm la exemple:

3. Simplificați expresia:

1. Să scriem produsul fracțiilor: în numărător produsul numărătorilor, iar în numitor produsul numitorilor:

2. Să factorizăm fiecare paranteză:

Acum trebuie să reducem aceiași factori. Rețineți că expresiile și diferă doar prin semn: iar ca urmare a împărțirii primei expresii la a doua obținem -1.

Aşa,

Împărțim fracțiile algebrice după următoarea regulă:

Adică Pentru a împărți cu o fracție, trebuie să înmulțiți cu cea „inversată”.

Vedem că împărțirea fracțiilor se reduce la înmulțire și Înmulțirea se reduce în cele din urmă la reducerea fracțiilor.

Să ne uităm la un exemplu:

4. Simplificați expresia:

Cu alte cuvinte, o fracție algebrică este o diviziune a două polinoame, scrisă folosind o linie de fracție.

Orice fracție algebrică poate fi reprezentată ca expresie:

Exemple de fracții algebrice:

Reducerea fracțiilor algebrice

Proprietatea principală a unei fracții algebrice:

Dacă numărătorul și numitorul unei fracții algebrice sunt înmulțite sau împărțite cu același polinom, fracția rezultată este egală cu cea dată.

Sub forma unei formule literale, proprietatea principală a unei fracții algebrice poate fi scrisă după cum urmează:

Unde c≠0.

Folosind proprietatea de bază a fracțiilor algebrice, acestea sunt reduse. Reducerea fracțiilor algebrice este împărțirea numărătorului și numitorului unei fracții la factorul lor comun.

Pentru a reduce o fracție algebrică, trebuie să factorizați numărătorul și numitorul. Dacă numărătorul și numitorul au factori comuni, atunci fracția poate fi redusă. Dacă numărătorul și numitorul nu au factori comuni, atunci fracția este ireductibilă.

Exemplul 1. Reduceți o fracție:

Exemplul 2. Simplificați o fracție:

Acum, merită să aruncați o privire mai atentă la polinoamele cuprinse între paranteze:

o + bŞi b - o

Pentru a aduce polinomul de la numitor la aceeași formă ca polinomul din numărător, trebuie să schimbați polinomul b - o semnează la opus și rearanjează termenii:

b - o = -(-b + o) = -(o - b)

Acum, atât la numărător, cât și la numitor, avem un factor comun care poate fi redus:

3(o + b)	=	3(o + b)	= -	3
x(b - o)		-x(o + b)		x

Exemplul 3. Reduceți fracția:

24ab 3 c 5

16o 5 b 3 c

Soluţie: Numătorul și numitorul fracției sunt monomii. Fiecare monom este un produs format din factori, ceea ce înseamnă că putem trece imediat la reducerea:

• Începem cu multiplicatorul numeric. Factorii numerici pot fi redusi cu cel mai mare divizor comun al lor. Pentru numerele 24 și 16, acesta este numărul 8. După reducere, 3 va rămâne din 24 și 2 din 16.
• Reducem factorii de litere cu puterea cu cel mai mic exponent care apare:
  • oŞi o 5 se reduce cu o. Nu scriem unul la numărător, dar rămâne la numitor o 4 .
  • b 3 și b 3 se reduce cu b 3, nu scriem unități în rezultat.
  • c 5 și c reduce cu c, scriem la numărător c 4, nu scriem nimic la numitor.

Prin urmare:

24ab 3 c 5	=	3c 4
16o 5 b 3 c		2o 4

Fracții algebrice

Algebră

clasa a VIII-a

Algebric fractii Concepte de bază

Fracția algebrică numiți expresia P/Q , Unde R Şi Q – polinoame; R – numărătorul unei fracții algebrice, Q este numitorul unei fracții algebrice.

Algebric fractii Concepte de bază

Exemplul 1.

Algebric fractii Concepte de bază

Exemplul 2. Aflați valoarea unei fracții algebrice

Algebric fractii Concepte de bază

Exemplul 2. Aflați valoarea unei fracții algebrice

Algebric fractii Concepte de bază

Exemplul 3. Găsiți valorile variabilelor pentru care algebricul fracțiile nu au sens

Algebric fractii Concepte de bază

Exemplul 4.

o fracție este egală cu zero dacă

numărător = 0,

numitor ≠ 0 .

Răspuns: la t = – 8 .

Algebric fractii Concepte de bază

Exemplul 4. Găsiți valorile variabilelor pentru care fracțiile algebrice sunt egale cu zero

o fracție este egală cu zero dacă

Pe de alta parte:

‒ nu se potriveste

Răspuns: cu c = 4 .

1. Atât numărătorul, cât și numitorul unei fracții algebrice pot fi înmulțiți cu același polinom (în special, cu același monom, cu același număr diferit de zero); aceasta este transformarea identică a unei fracții algebrice date.

Proprietatea principală a unei fracții algebrice

2. Atât numărătorul, cât și numitorul unei fracții algebrice pot fi împărțiți la același polinom (în special, la același monom, la același număr diferit de zero); aceasta este transformarea identică a unei fracții algebrice date, se numește reducere fracție algebrică.

Proprietatea principală a unei fracții algebrice

Exemplul 3. Duce fracții la un numitor comun:

Numitor comun:

Proprietatea principală a unei fracții algebrice

Exemplul 4. Duce fracții la un numitor comun:

Numitor comun:

Proprietatea principală a unei fracții algebrice

Exemplul 5. Duce fracții la un numitor comun:

Numitor comun:

Înmulțire, împărțire, exponențiere fracțiile algebrice sunt efectuate după aceleași reguli ca înmulțirea, împărțirea și exponențiarea fracțiilor obișnuite:

Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice.

Ridicarea unei fracții algebrice la o putere

Exemplul 6. Urmați acești pași:

Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice.

Ridicarea unei fracții algebrice la o putere

Exemplul 7. Urmați acești pași:

Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice.

Ridicarea unei fracții algebrice la o putere

Exemplul 8. Urmați acești pași:

Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice.

Ridicarea unei fracții algebrice la o putere

Exemplul 9. Urmați acești pași:

Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice.

Ridicarea unei fracții algebrice la o putere

Exemplul 10. Urmați acești pași:

Primele idei despre soluție ecuații raționale

Exemplul 11. Rezolvați ecuația

Răspuns: 41 .

Când un student se mută în liceu, matematica este împărțită în 2 materii: algebră și geometrie. Sunt tot mai multe concepte, sarcinile sunt din ce în ce mai dificile. Unii oameni au dificultăți în înțelegerea fracțiilor. Am ratat prima lecție pe acest subiect și voila. fractii? O întrebare care îmi va chinui toată viața de școală.

Conceptul de fracție algebrică

Să începem cu o definiție. Sub fracție algebrică se referă la expresiile P/Q, unde P este numărătorul și Q este numitorul. Un număr, o expresie numerică sau o expresie numerică-alfabetică pot fi ascunse sub o literă.

Înainte de a vă întreba cum să rezolvați fracțiile algebrice, trebuie mai întâi să înțelegeți că o astfel de expresie face parte din întreg.

De regulă, un număr întreg este 1. Numărul din numitor arată în câte părți este împărțită unitatea. Numărătorul este necesar pentru a afla câte elemente sunt luate. Bara de fracțiuni corespunde semnului diviziunii. Este permisă scrierea unei expresii fracționale ca operație matematică „Diviziune”. În acest caz, numărătorul este dividendul, numitorul este divizorul.

Regula de bază a fracțiilor comune

Când elevii studiază această temă la școală, li se oferă exemple pentru a le consolida. Pentru a le rezolva corect și a găsi diferite căi de ieșire din situații complexe, trebuie să aplicați proprietatea de bază a fracțiilor.

Se întâmplă astfel: dacă înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul cu același număr sau expresie (alta decât zero), atunci valoarea fracție comună nu se va schimba. Un caz special al acestei reguli este împărțirea ambelor părți ale unei expresii cu același număr sau polinom. Astfel de transformări se numesc egalități identice.

Mai jos vom analiza cum să rezolvăm adunarea și scăderea fracțiilor algebrice, înmulțirea, împărțirea și reducerea fracțiilor.

Operatii matematice cu fractii

Să ne uităm la cum să rezolvăm, principala proprietate a unei fracții algebrice și cum să o aplicăm în practică. Dacă trebuie să înmulțiți două fracții, să le adunați, să le împărțiți una cu alta sau să scădeți, trebuie să respectați întotdeauna regulile.

Astfel, pentru operația de adunare și scădere trebuie găsit un factor suplimentar pentru a aduce expresiile la un numitor comun. Dacă fracțiile sunt inițial date cu aceleași expresii Q, atunci acest paragraf ar trebui să fie omis. Odată găsit numitorul comun, cum rezolvi fracțiile algebrice? Trebuie să adăugați sau să scădeți numărători. Dar! Trebuie reținut că, dacă există un semn „-” în fața fracției, toate semnele din numărător sunt inversate. Uneori nu ar trebui să efectuați substituții sau operații matematice. Este suficient să schimbi semnul în fața fracției.

Conceptul este adesea folosit ca fracții reducătoare. Aceasta înseamnă următoarele: dacă numărătorul și numitorul sunt împărțite la o expresie diferită de una (aceeași pentru ambele părți), atunci se obține o nouă fracție. Dividendele și divizorul sunt mai mici decât înainte, dar datorită regulii de bază a fracțiilor rămân egale cu exemplul original.

Scopul acestei operații este obținerea unei noi expresii ireductibile. Această problemă poate fi rezolvată prin reducerea numărătorului și numitorului cu cel mai mare divizor comun. Algoritmul de operare constă din două puncte:

1. Găsirea mcd pentru ambele părți ale fracției.
2. Împărțirea numărătorului și numitorului la expresia găsită și obținerea unei fracții ireductibile egale cu cea anterioară.

Mai jos este un tabel care arată formulele. Pentru comoditate, îl puteți imprima și îl puteți purta cu dvs. într-un caiet. Cu toate acestea, pentru ca în viitor, la rezolvarea unui test sau examen, să nu existe dificultăți în problema modului de rezolvare a fracțiilor algebrice, aceste formule trebuie învățate pe de rost.

Câteva exemple cu soluții

Din punct de vedere teoretic, se ia în considerare problema cum se rezolvă fracțiile algebrice. Exemplele date în articol vă vor ajuta să înțelegeți mai bine materialul.

1. Convertiți fracțiile și aduceți-le la un numitor comun.

2. Convertiți fracțiile și aduceți-le la un numitor comun.

După ce am studiat partea teoretică și am luat în considerare partea practică, nu ar trebui să mai apară întrebări.

Ecuațiile care conțin o variabilă la numitor pot fi rezolvate în două moduri:

Reducerea fracțiilor la un numitor comun

Folosind proprietatea de bază a proporției

Indiferent de metoda aleasă, după găsirea rădăcinilor ecuației, este necesar să se selecteze din valorile valabile găsite, adică pe cele care nu transformă numitorul în $0$.

1 cale. Reducerea fracțiilor la un numitor comun.

Exemplul 1

$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$

Soluţie:

1. Să transferăm fracția din partea dreaptă a ecuației în stânga

\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]

Pentru a face acest lucru corect, amintiți-vă că atunci când mutați elemente într-o altă parte a ecuației, semnul din fața expresiilor se schimbă în opus. Aceasta înseamnă că, dacă în partea dreaptă a fost un semn „+” în fața fracției, atunci în partea stângă va fi un semn „-” în fața acesteia, atunci în partea stângă vom obține diferența fractii.

2. Acum rețineți că fracțiile au numitori diferiți, ceea ce înseamnă că pentru a compensa diferența este necesar să aduceți fracțiile la un numitor comun. Numitorul comun va fi produsul polinoamelor din numitorii fracțiilor originale: $(2x-1)(x+3)$

Pentru a primi expresie identică, numărătorul și numitorul primei fracții trebuie înmulțite cu polinomul $(x+3)$, iar a doua cu polinomul $(2x-1)$.

\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]

Să efectuăm o transformare în numărătorul primei fracții - înmulțirea polinoamelor. Să ne amintim că pentru aceasta este necesar să înmulțim primul termen al primului polinom cu fiecare termen al celui de-al doilea polinom, apoi să înmulțim al doilea termen al primului polinom cu fiecare termen al celui de-al doilea polinom și să adunăm rezultatele

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]

Să prezentăm termeni similari în expresia rezultată

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]

Să efectuăm o transformare similară în numărătorul celei de-a doua fracții - înmulțiți polinoamele

$\left(x-5\right)\left(2х-1\right)=х\cdot 2х-х\cdot 1-5\cdot 2х+5\cdot 1=(2х)^2-х-10х+ 5=(2x)^2-11x+5$

Atunci ecuația va lua forma:

\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]

Acum fracțiile au același numitor, ceea ce înseamnă că puteți scădea. Amintiți-vă că atunci când scădeți fracții cu același numitor de la numărătorul primei fracții, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții, lăsând numitorul același

\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]

Să transformăm expresia în numărător. Pentru a deschide parantezele precedate de semnul „-”, trebuie să schimbați toate semnele din fața termenilor dintre paranteze la opus

\[(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]

Să prezentăm termeni similari

$(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $

Apoi fracția va lua forma

\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]

3. O fracție este egală cu $0$ dacă numărătorul ei este 0. Prin urmare, echivalăm numărătorul fracției cu $0$.

\[(\rm 20x+4=0)\]

Să rezolvăm ecuația liniară:

4. Să eșantionăm rădăcinile. Aceasta înseamnă că este necesar să se verifice dacă numitorii fracțiilor originale se transformă în $0$ atunci când sunt găsite rădăcinile.

Să punem condiția ca numitorii să nu fie egali cu $0$

x$\ne 0,5$ x$\ne -3$

Aceasta înseamnă că toate valorile variabilelor sunt acceptabile, cu excepția -3$ și 0,5$ USD.

Rădăcina pe care am găsit-o este o valoare acceptabilă, ceea ce înseamnă că poate fi considerată în siguranță rădăcina ecuației. Dacă rădăcina găsită nu ar fi o valoare validă, atunci o astfel de rădăcină ar fi străină și, desigur, nu ar fi inclusă în răspuns.

Răspuns:$-0,2.$

Acum putem crea un algoritm pentru rezolvarea unei ecuații care conține o variabilă în numitor

Algoritm pentru rezolvarea unei ecuații care conține o variabilă la numitor

Mutați toate elementele din partea dreaptă a ecuației la stânga. Pentru a obține o ecuație identică, este necesar să schimbați toate semnele din fața expresiilor din partea dreaptă în opus

Dacă în partea stângă primim o expresie cu numitori diferiți, atunci le reducem la una comună folosind proprietatea de bază a fracției. Efectuați transformări folosind transformări de identitate și obțineți o fracție finală egală cu $0$.

Echivalează numărătorul cu $0$ și găsește rădăcinile ecuației rezultate.

Să eșantionăm rădăcinile, adică găsiți valori valide ale variabilelor care nu fac numitorul $0$.

Metoda 2. Folosim proprietatea de bază a proporției

Principala proprietate a proporției este că produsul termenilor extremi ai proporției este egal cu produsul termenilor medii.

Exemplul 2

Folosim această proprietate pentru a rezolva această sarcină

\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]

1. Să găsim și să echivalăm produsul dintre termenii extremi și medii ai proporției.

$\left(2x+3\right)\cdot(\ x+3)=\left(x-5\right)\cdot(2x-1)$

\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]

După ce am rezolvat ecuația rezultată, vom găsi rădăcinile originalului

2. Să găsim valorile acceptabile ale variabilei.

Din soluția anterioară (metoda 1) am constatat deja că orice valoare este acceptabilă, cu excepția -3$ și 0,5$$.

Apoi, după ce am stabilit că rădăcina găsită este o valoare validă, am aflat că $-0,2$ va fi rădăcina.