Cum se construiește un paraboloid hiperbolic folosind Eq. Proprietățile unui paraboloid de revoluție

Paraboloid eliptic

Paraboloid eliptic cu a=b=1

Paraboloid eliptic- suprafata descrisa de o functie a formei

,

Unde oŞi b un singur semn. Suprafața este descrisă de o familie de parabole paralele cu ramuri îndreptate în sus, ale căror vârfuri descriu o parabolă cu ramuri de asemenea îndreptate în sus.

Dacă o = b atunci un paraboloid eliptic este o suprafață de revoluție formată prin rotirea unei parabole în jurul unei axe verticale care trece prin vârful unei parabole date.

Paraboloid hiperbolic

Paraboloid hiperbolic cu a=b=1

Paraboloid hiperbolic(numită „hipar” în construcție) este o suprafață în formă de șa descrisă într-un sistem de coordonate dreptunghiular printr-o ecuație de forma

.

Din a doua reprezentare este clar că un paraboloid hiperbolic este o suprafață reglată.

Suprafața poate fi formată prin mișcarea unei parabole ale cărei ramuri sunt îndreptate în jos, de-a lungul unei parabole, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, cu condiția ca prima parabolă să fie în contact cu al doilea vârf al ei.

Paraboloizi în lume

În tehnologie

În art

În literatură

Dispozitivul descris în Hyperboloid-ul inginerului Garin trebuia să fie paraboloid.

Fundația Wikimedia.

• 2010.
• Elon Menachem

Eltang

Vedeți ce este „paraboloid eliptic” în alte dicționare: PARABOLOID ELIPTIC

Dicţionar enciclopedic mare paraboloid eliptic - unul dintre cele două tipuri de paraboloizi. * * * PARABOLOID ELIPTIC PARABOLOID ELIPTIC, unul dintre cele două tipuri de paraboloizi (vezi PARABOLOIZI) ...

Paraboloid eliptic Dicţionar Enciclopedic - unul dintre cele două tipuri de paraboloizi (vezi Paraboloizi) ...

Vedeți ce este „paraboloid eliptic” în alte dicționare: Marea Enciclopedie Sovietică - o suprafață deschisă de ordinul doi. Kanonich. ecuația câmpului de electroni are forma Câmpul electric este situat pe o parte a planului Oxy (vezi figura). Secțiunile suprafețelor electrice după plane paralele cu planul Oxy sunt elipse cu excentricitate egală (dacă p ...

Vedeți ce este „paraboloid eliptic” în alte dicționare: Enciclopedie matematică - unul dintre cele două tipuri de paraboloizi...

Știința naturii. Dicţionar Enciclopedic PARABOLOID Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse

Știința naturii. Dicţionar Enciclopedic- PARABOLOID, paraboloid, soț. (vezi parabola) (mat.). O suprafață de ordinul doi fără centru. Paraboloid de revoluție (format prin rotirea unei parabole în jurul axei sale). Paraboloid eliptic. Paraboloid hiperbolic. Dicționarul explicativ al lui Ușakov... Dicționarul explicativ al lui Ușakov

Știința naturii. Dicţionar Enciclopedic- PARABOLOID, suprafață obținută prin mișcarea unei parabole, al cărei vârf alunecă de-a lungul unei alte parabole, staționare (cu axa de simetrie paralelă cu axa parabolei în mișcare), în timp ce planul ei, deplasându-se paralel cu sine, rămâne. .. ... Enciclopedie modernă

Paraboloid- - tip de suprafață de ordinul doi. Un paraboloid poate fi caracterizat ca o suprafață deschisă non-centrală (adică fără un centru de simetrie) de ordinul doi. Ecuații canonice ale unui paraboloid în coordonate carteziene: dacă unul... ... Wikipedia

Știința naturii. Dicţionar Enciclopedic- o suprafață deschisă non-centrală de ordinul doi. Kanonich. Ecuații parabolice: paraboloid eliptic (pentru p = q se numește paraboloid de rotație) și paraboloid hiperbolic. A. B. Ivanov... - o suprafață deschisă de ordinul doi. Kanonich. ecuația câmpului de electroni are forma Câmpul electric este situat pe o parte a planului Oxy (vezi figura). Secțiunile suprafețelor electrice după plane paralele cu planul Oxy sunt elipse cu excentricitate egală (dacă p ...

Există două tipuri de paraboloizi: eliptici și hiperbolici.

Paraboloid eliptic este o suprafață care, într-un sistem de coordonate dreptunghiulare carteziene, este definită de ecuație

Un paraboloid eliptic are forma unui bol convex infinit. Are două planuri de simetrie reciproc perpendiculare. Punctul cu care se combină originea coordonatelor se numește vârful paraboloidului eliptic; numerele p și q se numesc parametrii săi.

Un paraboloid hiperbolic este o suprafață definită de ecuație

Paraboloid hiperbolic are forma unei şa. Are două planuri de simetrie reciproc perpendiculare. Punctul cu care se combină originea coordonatelor se numește vârful unui paraboloid hiperbolic; numere rŞi q se numesc parametrii săi.

Exercițiul 8.4. Să luăm în considerare construcția unui paraboloid hiperbolic de formă

Să fie necesar să se construiască o parte dintr-un paraboloid situat în intervalele: xО[–3; 3], laО[–2; 2] cu pasul D=0,5 pentru ambele variabile.

Execuţie. Mai întâi trebuie să rezolvați ecuația pentru variabilă z.În exemplu

Să introducem valorile variabilelor X la coloană O. Pentru a face acest lucru, în celulă A1 introduceți un simbol X. La celulă A2 se introduce prima valoare a argumentului - limita din stânga a intervalului (–3). La celulă A3- a doua valoare a argumentului este limita din stânga a intervalului plus pasul de construcție (–2,5). Apoi, selectând blocul de celule A2:AZ, utilizând completarea automată obținem toate valorile argumentului (tragem colțul din dreapta jos al blocului în celulă A14).

Valori variabile la intra in linie 1 . Pentru a face acest lucru, în celulă B1 Se introduce prima valoare a variabilei - limita din stânga a intervalului (–2). La celulă C1- a doua valoare a variabilei - limita din stânga a intervalului plus etapa de construcție (– 1,5). Apoi, selectând blocul de celule B1:C1,prin completarea automată obținem toate valorile argumentului (tragem colțul din dreapta jos al blocului în celulă J1).

Apoi, introduceți valorile variabilei z. Pentru a face acest lucru, cursorul tabelului trebuie plasat în celulă B2și introduceți formula - = $A2^2/18 -B $1^2/8, apoi apăsați tasta Intră. Într-o celulă B2 apare 0. Acum trebuie să copiați funcția din celulă B2. Pentru a face acest lucru, utilizați completarea automată (desenul la dreapta) pentru a copia mai întâi această formulă în interval B2:J2, apoi (prin tragerea în jos) - în interval B2:J14.

Ca urmare, în gamă B2:J14 Va apărea un tabel cu puncte paraboloide hiperbolice.

Pentru a trasa o diagramă pe bara de instrumente Standard trebuie să apăsați un buton Chart Wizard. În caseta de dialog care apare Chart Wizard (Pasul 1 din 4): Tip de diagramă indicați tipul diagramei - Suprafaţăși vizualizați - Suprafață de sârmă (transparentă).(diagrama din dreapta sus în fereastra din dreapta). Apoi apăsați butonul Următorulîn caseta de dialog.

În caseta de dialog care apare Chart Wizard (Pasul 2 din 4): Sursa de date diagrame trebuie să selectați fila Gamă date şi în teren Gamă utilizați mouse-ul pentru a indica intervalul de date B2:J14.

În continuare, trebuie să indicați rândurile sau coloanele în care se află rândurile de date. Aceasta va determina orientarea axelor XŞi u.În exemplu, comutatorul Rânduri în Folosind indicatorul mouse-ului, setați-l în poziția coloanelor.

Selectați fila Rând și în câmp Etichete pe axa X indicați gama de semnături. Pentru a face acest lucru, activați acest câmp făcând clic pe indicatorul mouse-ului în el și introduceți intervalul de etichete ale axei X -A2:A14.

Introduceți valorile etichetelor axelor u. Pentru a face acest lucru, în domeniul muncii Rând selectați prima intrare Rândul 1 iar prin activarea câmpului de lucru Nume cu cursorul mouse-ului, introduceți prima valoare a variabilei y: –2. Apoi în câmp Rând selectați a doua intrare Rândul 2și în câmpul muncii Nume introduceți a doua valoare a variabilei y: –1,5. Repetați astfel până la ultima intrare - Rândul 9.

După ce apar intrările necesare, faceți clic pe butonul Următorul.

A treia fereastră vă solicită să introduceți titlul diagramei și numele axelor. Pentru a face acest lucru, selectați fila Titluri făcând clic pe el cu cursorul mouse-ului. Apoi la câmpul de muncă Titlul diagramei introduceți numele de la tastatură: Paraboloid hiperbolic. Apoi intră în același mod în câmpurile de lucru Axa X (categorii),Axa Y (serie de date)Şi Axa Z (valori) nume corespunzătoare: x, yŞi z.

Un paraboloid hiperbolic aparține și suprafețelor de ordinul doi. Această suprafață nu poate fi obținută folosind un algoritm care utilizează rotația unei anumite linii în raport cu o axă fixă.

Un model special este folosit pentru a construi un paraboloid hiperbolic. Acest model include două parabole situate în două plane reciproc perpendiculare.

Fie parabola I situată într-un plan și nemișcată. Parabola II face o mișcare complexă:

▫ poziţia sa iniţială coincide cu planul
, iar vârful parabolei coincide cu originea coordonatelor: =(0,0,0);

▫ atunci această parabolă se mișcă în translație paralelă, iar vârful ei
face o traiectorie care coincide cu parabola I;

▫ sunt considerate două poziții inițiale diferite ale parabolei II: una – ramurile în sus ale parabolei, a doua – ramurile în jos.

Să notăm ecuațiile: pentru prima parabolă I:
– invariabil; pentru a doua parabolă II:
– poziția inițială, ecuația mișcării:
Nu este greu de înțeles că ideea
are coordonatele:
. Deoarece este necesar să se afișeze legea mișcării unui punct
: acest punct aparține parabolei I, atunci trebuie îndeplinite întotdeauna următoarele relații: =
Şi
.

Din caracteristicile geometrice ale modelului este ușor de observat că parabola mobilă mătură în sus oarecare suprafață. În acest caz, ecuația suprafeței descrisă de parabola II are forma:

sau→
. (1)

Forma suprafeței rezultate depinde de distribuția semnelor parametrilor
.

Există două cazuri posibile: 1). Semne de cantități p qŞi coincid: parabolele I și II sunt situate pe aceeași parte a planului OXY 1). Semne de cantități = o 2 . Să acceptăm: q = b 2 Şi

→ . Apoi obținem ecuația suprafeței cunoscute: . (2)

paraboloid eliptic 1). Semne de cantități p q 2). Semne de cantități coincid: parabolele I și II sunt situate pe aceeași parte a planului sunt diferite: parabolele I și II sunt situate pe părți opuse ale planului 1). Semne de cantități = o 2 . Să acceptăm: q = - b 2 . Lasă

→. Acum obținem ecuația de suprafață: . (3)

paraboloid hiperbolic

Nu este greu de imaginat forma geometrică a suprafeței definită de ecuația (3) dacă ne amintim de modelul cinematic al interacțiunii a două parabole implicate în mișcare. În figură, parabola I este prezentată în mod convențional în roșu. Datorită faptului că forma suprafeței sugerează expresiv o șa de cavalerie, acest cartier este adesea numit - .

şa

§ 4. Suprafeţe cilindrice.

Când luăm în considerare suprafețele de revoluție, am identificat cea mai simplă suprafață cilindrică - un cilindru de revoluție, adică un cilindru circular.

În geometria elementară, un cilindru este definit prin analogie cu definiția generală a unei prisme. E destul de complicat:

▫ să avem un poligon plat în spațiu
– să o notăm ca , iar poligonul coincide cu acesta
– să o notăm ca
;

▫ aplicabil poligonului
mișcare translație paralelă: puncte
se deplasează pe traiectorii paralele cu o direcție dată ;

▫ dacă opriți transferul poligonului
, apoi planul său
paralel cu planul ;

▫ suprafața unei prisme se numește: o colecție de poligoane ,
– temeiuri prisme și paralelograme
,
,... – suprafata laterala prisme.

ÎN Să folosim definiția elementară a unei prisme pentru a construi o definiție mai generală a unei prisme și a suprafeței sale, și anume, vom distinge:

▫ o prismă nemărginită este un corp poliedric mărginit de muchii ,,... și planurile dintre aceste muchii;

▫ o prismă limitată este un corp poliedric delimitat de muchii ,,... și paralelograme
,
,...;
,
suprafața laterală a acestei prisme este un set de paralelograme ,
.

,...; baze prisme – un set de poligoane ,Să avem o prismă nelimitată: ,... Să intersectăm această prismă cu un plan arbitrar
. Să intersectăm aceeași prismă cu un alt plan
. În secțiune transversală obținem un poligon
. În general, presupunem că avionul nu paralel cu planul .

. Aceasta înseamnă că prisma nu a fost construită prin translația paralelă a poligonului

Construcția propusă a unei prisme include nu numai prisme drepte și înclinate, ci și orice trunchi. În geometria analitică, vom înțelege suprafețele cilindrice atât de general încât un cilindru nemărginit include o prismă nemărginită ca caz special: trebuie doar să presupunem că poligonul poate fi înlocuit cu o linie arbitrară, nu neapărat închisă - ghid cilindru. Direcţie numit generator

cilindru.

Din tot ce s-a spus, rezultă: pentru a defini o suprafață cilindrică, este necesar să se precizeze o linie de ghidare și direcția generatricei. Suprafețele cilindrice se obțin pe baza curbelor plane de ordinul 2, servind ghiduri Pentru .

formare

În etapa inițială a studierii suprafețelor cilindrice, vom accepta ipoteze simplificatoare:

▫ ghidajul suprafeței cilindrice să fie întotdeauna situat într-unul din planurile de coordonate; coincide cu una dintre axele de coordonate, adică perpendicular pe planul în care este definit ghidajul.

Restricțiile acceptate nu duc la pierderea generalității, deoarece rămâne posibil datorită alegerii secțiunilor pe planuri Şi
construiți forme geometrice arbitrare: cilindri drepti, înclinați, trunchiați.

Cilindru eliptic .

Să luăm o elipsă ca ghid al cilindrului :
, situat în planul de coordonate

: cilindru eliptic.

Cilindru hiperbolic .

:

, iar direcția generatricei determină axa
. În acest caz, ecuația cilindrului este linia însăși : cilindru hiperbolic.

Cilindru parabolic .

Să luăm o hiperbolă ca ghid al cilindrului :
, situat în planul de coordonate
, iar direcția generatricei determină axa
. În acest caz, ecuația cilindrului este linia însăși : cilindru parabolic.

Comentariu: ținând cont de regulile generale de construire a ecuațiilor suprafețelor cilindrice, precum și de exemplele particulare prezentate de cilindri eliptici, hiperbolici și parabolici, observăm: construirea unui cilindru pentru orice altă generatrică, pentru condițiile simplificatoare acceptate, nu ar trebui să provoace dificultati!

Să luăm acum în considerare condiții mai generale pentru construirea ecuațiilor suprafețelor cilindrice:

▫ ghidajul suprafeței cilindrice este situat într-un plan arbitrar al spațiului
;

▫ ghidajul suprafeței cilindrice să fie întotdeauna situat într-unul din planurile de coordonate; în sistemul de coordonate adoptat este arbitrară.

Reprezentăm condițiile acceptate în figură.

▫ ghidaj de suprafață cilindric situat într-un plan arbitrar spaţiu
;

▫ sistem de coordonate
obtinut din sistemul de coordonate
transfer paralel;

▫ locația ghidului în avion cel mai de preferat: pentru o curbă de ordinul 2 vom presupune că originea coordonatelor coincide cu centru simetria curbei luate în considerare;

▫ ghidajul suprafeței cilindrice să fie întotdeauna situat într-unul din planurile de coordonate; arbitrar (poate fi specificat în oricare dintre moduri: vector, linie dreaptă etc.).

În cele ce urmează vom presupune că sistemele de coordonate
Şi
meci. Aceasta înseamnă că primul pas al algoritmului general pentru construirea suprafețelor cilindrice, reflectând translația paralelă:
→
, finalizat anterior.

Să ne amintim cum se ia în considerare transferul paralel în cazul general, luând în considerare un exemplu simplu.

Exemplul 6–13 : În sistemul de coordonate
sub forma:
=0. Notați în sistem ecuația acestui ghid
.

Soluţie:

1). Să desemnăm un punct arbitrar
: în sistem
Cum
, și în sistem
Cum
.

2). Să notăm egalitatea vectorială:
=
+
. În formă de coordonate, aceasta poate fi scrisă ca:
=
+
. Sau sub forma:
=
–
, sau:
=.

3). Să scriem ecuația ghidajului cilindrului în sistemul de coordonate
:

Răspuns: ecuația de ghidare transformată: =0.

Deci, vom presupune că centrul curbei reprezentând ghidajul cilindrului este întotdeauna situat la originea coordonatelor sistemului
în avion .

Orez. ÎN . Desen de bază pentru construirea unui cilindru.

Să facem încă o presupunere care simplifică pașii finali de construire a unei suprafețe cilindrice. Deoarece prin utilizarea rotației sistemului de coordonate nu este dificil să se alinieze direcția axei
sisteme de coordonate
cu avion normal , și direcțiile axelor
Şi
cu axe de simetrie de ghidare , atunci vom presupune că ca poziție inițială a ghidajului avem o curbă situată în plan
, iar una dintre axele sale de simetrie coincide cu axa
, iar al doilea cu axa
.

Comentariu: întrucât operațiile de translație și rotație paralelă în jurul unei axe fixe sunt destul de simple, ipotezele acceptate nu limitează aplicabilitatea algoritmului dezvoltat pentru construirea unei suprafețe cilindrice în cazul cel mai general!

Am văzut că la construirea unei suprafețe cilindrice în cazul în care ghidajul situat în avion
, iar generatoarea este paralelă cu axa
, este suficient să determinați doar ghidul .

Deoarece o suprafață cilindrică poate fi determinată în mod unic prin specificarea oricărei linii obținute în secțiunea acestei suprafețe printr-un plan arbitrar, vom accepta următorul algoritm general pentru rezolvarea problemei:

1 ▫ . Fie direcția generatricei suprafata cilindrica data de vector . Să creăm un ghid , dat de ecuația:
=0, pe un plan perpendicular pe direcția generatricei , adică în avion
. Ca urmare, suprafața cilindrică va fi specificată în sistemul de coordonate
ecuaţie:
=0.

2 ▫
în jurul axei
într-un unghi
: sensul unghiului
compatibil cu sistemul
, iar ecuația suprafeței conice se transformă în ecuația:
=0.

3 ▫ . Aplicați rotația sistemului de coordonate
în jurul axei
într-un unghi
: sensul unghiului este destul de clar din figură. Ca rezultat al rotației, sistemul de coordonate
compatibil cu sistemul
, iar ecuația suprafeței conice se transformă în
=0. Aceasta este ecuația unei suprafețe cilindrice pentru care a fost dat ghidajul si generator în sistemul de coordonate
.

Exemplul prezentat mai jos ilustrează implementarea algoritmului scris și dificultățile de calcul ale unor astfel de probleme.

Exemplul 6–14 : În sistemul de coordonate
este dată ecuația ghidajului cilindrului sub forma:
=9. Scrieți o ecuație pentru un cilindru ai cărui generatori sunt paraleli cu vectorul =(2,–3,4).

R
decizie:

1). Să proiectăm ghidajul cilindrului pe un plan perpendicular pe . Se știe că o astfel de transformare transformă un cerc dat într-o elipsă, ale cărei axe vor fi: mari =9 și mic =
.

Această figură ilustrează proiectarea unui cerc definit într-un plan
la planul de coordonate
.

2). Rezultatul proiectării unui cerc este o elipsă:
=1 sau
. In cazul nostru este:
, Unde
==.

3
). Deci, ecuația unei suprafețe cilindrice din sistemul de coordonate
primit. Întrucât conform condițiilor problemei trebuie să avem ecuația acestui cilindru în sistemul de coordonate
, apoi rămâne de aplicat o transformare de coordonate care transformă sistemul de coordonate
la sistemul de coordonate
, în același timp ecuația cilindrului:
într-o ecuație exprimată în termeni de variabile
.

4). Să profităm de bază desen și notează toate valorile trigonometrice necesare pentru a rezolva problema:

==,
==,
==.

5). Să notăm formulele pentru transformarea coordonatelor atunci când ne mutăm din sistem
la sistem
:
(ÎN)

6). Să notăm formulele pentru transformarea coordonatelor atunci când ne mutăm din sistem
la sistem
:
(CU)

7). Înlocuirea variabilelor
de la sistemul (B) la sistemul (C), și luând în considerare, de asemenea, valorile funcțiilor trigonometrice utilizate, scriem:

=
=
.

=
=
.

8). Rămâne să înlocuim valorile găsite Şi în ecuația ghidajului cilindrului :
în sistemul de coordonate
. După ce a finalizat cu grijă toate transformările algebrice, obținem ecuația unei suprafețe conice în sistemul de coordonate
: =0.

Răspuns: ecuația conului: =0.

Exemplul 6–15 : În sistemul de coordonate
este dată ecuația ghidajului cilindrului sub forma:
=9, =1. Scrieți o ecuație pentru un cilindru ai cărui generatori sunt paraleli cu vectorul =(2,–3,4).

Soluţie:

1). Este ușor de observat că acest exemplu diferă de precedentul doar prin faptul că ghidajul a fost mutat în paralel cu 1 în sus.

2). Aceasta înseamnă că în relațiile (B) ar trebui să acceptăm: =–1. Ținând cont de expresiile sistemului (C), vom corecta intrarea pentru variabilă :

=
.

3). Modificarea este ușor de luată în considerare prin ajustarea ecuației finale pentru cilindru din exemplul anterior:

Răspuns: ecuația conului: =0.

Comentariu: este ușor de observat că principala dificultate cu transformările multiple ale sistemelor de coordonate în problemele cu suprafețele cilindrice este precizie Şi rezistenta la maratoane de algebră: să trăiască sistemul de învățământ adoptat în țara noastră îndelung suferindă!

Proprietatea dovedită a tangentei la o parabolă este foarte importantă, deoarece rezultă din aceasta că razele care emană din focarul unei oglinzi parabolice concave, adică o oglindă a cărei suprafață este obținută din rotația parabolei în jurul axei sale, sunt reflectat de un fascicul paralel, și anume axe paralele ale oglinzii (Fig.).

Această proprietate a oglinzilor parabolice este utilizată în construcția proiectoarelor, în farurile oricărei mașini, precum și în telescoapele reflectorizante. Mai mult, în acest din urmă caz, invers, razele care vin din corpul ceresc; aproape paralele, ele sunt concentrate în apropierea focarului oglinzii telescopului și, deoarece razele care vin din diferite puncte ale luminii sunt mult neparalele, ele sunt concentrate în apropierea focarului în puncte diferite, astfel încât în ​​apropierea focarului o imagine a luminii. se obține luminare, cu cât este mai mare cu atât distanța focală a parabolei este mai mare. Această imagine este deja văzută printr-un microscop (ocular al telescopului). Strict vorbind, doar razele strict paralele cu axa oglinzii sunt colectate într-un punct (focalizarea), în timp ce razele paralele care merg într-un unghi cu axa oglinzii sunt colectate doar aproape până la un punct, și cu cât acest punct este mai departe. de la focalizare, cu cât imaginea este mai neclară. Această circumstanță limitează „câmpul de vedere al telescopului”.

Fie ca suprafața sa interioară să fie o suprafață de oglindă; această oglindă parabolică este iluminată de un fascicul de raze de lumină paralele cu axa amplificatorului operațional. Toate razele paralele cu axa op-amp, după reflectare, se vor intersecta într-un punct de pe axa op-amp (focalizare F). Proiectarea telescoapelor parabolice se bazează pe această proprietate. Razele de la stele îndepărtate vin la noi sub forma unui fascicul paralel. Făcând un telescop parabolic și plasând o placă fotografică în focar, avem ocazia de a amplifica semnalul luminos care vine de la stea.

Același principiu stă la baza creării unei antene parabolice, care permite amplificarea semnalelor radio. Dacă plasați o sursă de lumină în focarul unei oglinzi parabolice, atunci după reflectarea de pe suprafața oglinzii, razele care provin din această sursă nu vor fi împrăștiate, ci vor fi colectate într-un fascicul îngust paralel cu axa oglinzii. . Acest fapt este folosit la fabricarea de spoturi și felinare, diverse proiectoare, ale căror oglinzi sunt realizate în formă de paraboloizi.

Proprietatea optică menționată mai sus a unei oglinzi parabolice este utilizată pentru a crea telescoape cu oglindă, diverse instalații de încălzire solară și, de asemenea, proiectoare. Prin plasarea unei surse punctiforme puternice de lumină în focarul unei oglinzi parabolice, obținem un flux dens de raze reflectate paralel cu axa oglinzii.

Când o parabolă se rotește în jurul axei sale, se obține o figură numită paraboloid. Dacă suprafața interioară a paraboloidului este făcută oglindă și un fascicul de raze paralel cu axa de simetrie a parabolei este îndreptat spre ea, atunci razele reflectate vor converge într-un punct, care se numește focar. În același timp, dacă sursa de lumină este plasată la focar, atunci razele reflectate de pe suprafața oglinzii paraboloidului vor fi paralele și nu împrăștiate.

Prima proprietate face posibilă obținerea unei temperaturi ridicate la focarul paraboloidului. Potrivit legendei, această proprietate a fost folosită de savantul grec antic Arhimede (287-212 î.Hr.). În timp ce apăra Siracuza în războiul împotriva romanilor, el a construit un sistem de oglinzi parabolice care a permis ca razele reflectate ale soarelui să fie concentrate asupra navelor romane. Ca urmare, temperatura la focarele oglinzilor parabolice s-a dovedit a fi atât de ridicată încât a izbucnit un incendiu pe nave și acestea au ars.

A doua proprietate este folosită, de exemplu, în fabricarea de spoturi și faruri auto.

Hiperbolă

4. Definiția unei hiperbole ne oferă o modalitate simplă de a o construi cu o mișcare continuă: luați două fire, a căror diferență de lungimi este de 2a, și atașați un capăt al acestor fire la punctele F" și F. Dacă țineți celălalt două capete împreună cu mâna și deplasați-vă de-a lungul firelor cu vârful unui creion, având grijă ca firele să fie presate pe hârtie, întinse și atingându-se, începând de la vârful desenului până la punctul în care se întâlnesc capetele, vârful va desena parte a uneia dintre ramurile hiperbolei (cu cât firele sunt mai mari) (Fig.).

Inversând rolurile punctelor F" și F, obținem o parte dintr-o altă ramură.

De exemplu, La subiectul „Curbe de ordinul 2” puteți lua în considerare următoarea problemă:

Sarcină. Două gări A și B sunt situate la o distanță de s km una de cealaltă. În orice punct M, mărfurile pot fi livrate de la stația A fie prin transport rutier direct (prima rută), fie pe calea ferată până la stația B și de acolo cu mașina (a doua rută). Tariful feroviar (prețul de transport de 1 tonă pe 1 km) este de m ruble, tariful de transport rutier este de n ruble, n > m, tariful de încărcare și descărcare este de k ruble. Determinați aria de influență a gării B, adică zona în care este mai ieftin să livrați mărfuri de la stația A prin mijloace mixte - pe calea ferată și apoi pe drum, de exemplu. determinați locația geometrică a punctelor pentru care a doua cale este mai profitabilă decât prima.

Soluţie. Să notăm AM = r, BM = r, atunci costul livrării (transport și încărcare-descărcare) de-a lungul rutei AM este egal cu nr + k, iar costul livrării pe traseul ABM este egal cu ms + 2k + ng. Atunci punctele M pentru care ambele valori sunt egale satisfac ecuația nr + k = ms+2k+nг, sau

ms + k = nr - ng

r - r = = const > O,

prin urmare, linia care delimitează regiunea este una dintre ramurile hiperbolei | r - r | = const. Pentru toate punctele planului situate pe aceeași parte cu punctul A al acestei hiperbole, prima cale este mai avantajoasă, iar pentru punctele situate pe cealaltă parte - a doua, prin urmare ramura hiperbolei conturează aria de influență a statiei B.

Varianta acestei probleme.

Două gări A și B sunt situate la o distanță de l km una de cealaltă. Până la punctul M, mărfurile pot fi livrate de la stația A fie prin transport rutier direct, fie pe calea ferată până la stația B și de acolo cu mașina (Fig. 49). În acest caz, tariful feroviar (prețul de transport a 1 tonă la 1 km) este de m ruble, costurile de încărcare și descărcare k ruble (pe 1 tonă), iar tariful de transport rutier este de n ruble (n > m). Să determinăm așa-numita zonă de influență a gării B, adică zona către care este mai ieftin să livrezi mărfuri din A folosind o rută mixtă: pe calea ferată și apoi pe drum.

Soluţie. Costul livrării a 1 tonă de marfă de-a lungul rutei AM este r n, unde r = AM, iar de-a lungul rutei ABM va fi egal cu 1m + k + r n. Trebuie să rezolvăm inegalitatea dublă r n 1m+ k+ r n și să stabilim cum sunt distribuite punctele din plan (x, y), cărora le este mai ieftin să livrăm marfa fie pe prima, fie pe a doua rută.

Să găsim ecuația dreptei care formează granița dintre aceste două zone, adică locul punctelor pentru care ambele căi sunt „la fel de benefice”:

r n = 1m+ k+ r n

Din această condiție obținem r - r = = const.

Prin urmare, linia de despărțire este o hiperbolă. Pentru toate punctele externe ale acestei hiperbole, prima cale este mai avantajoasă, iar pentru punctele interne - a doua. Prin urmare, hiperbola va contura zona de influență a stației B. A doua ramură a hiperbolei va contura zona de influență a stației A (marfa este livrată de la stația B). Să găsim parametrii hiperbolei noastre. Axa sa majoră este 2a = , iar distanța dintre focare (care sunt stațiile A și B) în acest caz este 2c = l.

Astfel, condiția posibilității acestei probleme, determinată de relația a< с, будет

Această problemă leagă conceptul geometric abstract al unei hiperbole cu o problemă de transport și economică.

Locul necesar al punctelor este setul de puncte aflate în interiorul ramurii drepte a hiperbolei care conține punctul B.

6. În știință" Masini agricole» caracteristici operaționale importante ale unui tractor care funcționează în pantă, care arată stabilitatea acestuia, sunt unghiul de înclinare longitudinală și unghiul de rulare laterală.

Pentru simplitate, vom lua în considerare un tractor cu roți. Suprafața pe care operează tractorul (cel puțin o parte destul de mică a acestuia) poate fi considerată un plan (plan de mișcare). Axa longitudinală a tractorului este proiecția liniei drepte care leagă punctele medii ale axelor față și spate pe planul de mișcare. Unghiul de rulare lateral este unghiul format cu planul orizontal al unei linii drepte, perpendicular pe axa longitudinală și situat în planul de mișcare.

Când studiem subiectul „Linii și plane în spațiu” la un curs de matematică, luăm în considerare următoarele probleme:

a) Aflați unghiul de înclinare longitudinală al unui tractor care se deplasează de-a lungul unei pante dacă sunt cunoscute unghiul de înclinare a pantei și unghiul de abatere a traiectoriei tractorului față de direcția longitudinală.

b) Unghiul maxim de rulare laterală al tractorului este unghiul maxim admis de înclinare a pantei peste care tractorul poate sta fără să se răstoarne. Ce parametri ai tractorului sunt suficienți pentru a determina unghiul maxim de rulare laterală; cum să-l găsesc pe acesta
colţ?

7. Prezența generatoarelor rectilinie este utilizată în echipamentele de construcții. Fondatorul aplicării practice a acestui fapt este celebrul inginer rus Vladimir Grigorievici Şuhov (1853-1939). V. G. Shukhov a realizat proiectarea catargelor, turnurilor și suporturilor formate din grinzi metalice situate de-a lungul generatoarelor rectilinii hiperboloid cu o singură foaie de revoluție. Rezistența ridicată a unor astfel de structuri, combinată cu ușurința, costul redus de fabricație și eleganța, asigură utilizarea lor pe scară largă în construcțiile moderne.

8. LEGILE MIȘCĂRII UNUI CORPS RIGID LIBER

Pentru un corp liber, toate tipurile de mișcare sunt la fel de posibile, dar asta nu înseamnă că mișcarea unui corp liber este dezordonată și nu respectă nicio lege; dimpotrivă, mișcarea de translație a unui corp rigid, indiferent de forma sa exterioară, este constrânsă de legea centrului de masă și se reduce la mișcarea unui punct, iar mișcarea de rotație este de așa-numitele axe principale. de inerţie sau elipsoid de inerție. Astfel, un băț aruncat în spațiul liber, sau cereale care zboară dintr-un sortator etc., se deplasează înainte ca un punct (centrul de masă) și în același timp se rotește în jurul centrului de masă. În general, în timpul mișcării de translație, orice corp rigid, indiferent de forma sa, sau o mașină complexă poate fi înlocuit cu un punct (centrul de masă), iar în timpul mișcării de rotație, cu un elipsoid de inerție. , ai caror vectori de raza sunt egali cu --, unde / este momentul de inertie al acestui corp fata de axele care trec prin centrul elipsoidului.

Dacă momentul de inerție al unui corp se modifică dintr-un motiv oarecare în timpul rotației, atunci viteza de rotație se va modifica în consecință. De exemplu, în timpul unui salt deasupra capului, acrobații se comprimă într-o minge, determinând scăderea momentului de inerție al corpului și creșterea vitezei de rotație, ceea ce este necesar pentru succesul săriturii. La fel, după alunecare, oamenii își întind brațele în lateral, ceea ce face ca momentul de inerție să crească și viteza de rotație să scadă. În același mod, momentul de inerție al greblei de recoltare în jurul axei verticale este variabil în timpul rotației acestuia în jurul axei orizontale.

Înălțimea unui paraboloid poate fi determinată prin formula

Volumul paraboloidului care atinge fundul este egal cu jumătate din volumul unui cilindru cu raza bazei R și înălțimea H, același volum ocupă spațiul W’ sub paraboloid (Fig. 4.5a)

Fig.4.5. Raportul volumelor dintr-un paraboloid care atinge fundul.

Wп – volumul paraboloidului, W’ – volumul sub paraboloid, Hп – înălțimea paraboloidului

Fig.4.6. Raportul volumelor dintr-un paraboloid care atinge marginile cilindrului Hp este înălțimea paraboloidului., R este raza vasului, Wl este volumul sub înălțimea lichidului din vas înainte de începerea rotației, z 0 este poziția vârfului paraboloidului, H este înălțimea lichidului din vas înainte de începerea rotației.

În Fig. 4.6a, nivelul lichidului din cilindru înainte de începerea rotației este H. Volumul lichidului Wl înainte și după rotație este menținut și este egal cu suma volumului Wt al cilindrului cu înălțimea z 0 plus volumul de lichid sub paraboloid, care este egal cu volumul paraboloidului Wp cu înălțimea Hn

Dacă paraboloidul atinge marginea superioară a cilindrului, înălțimea lichidului din cilindru înainte de începerea rotației H împarte înălțimea paraboloidului Hn în două părți egale, punctul cel mai de jos (vârful) al paraboloidului este situat în relație. la bază (Fig. 4.6c)

În plus, înălțimea H împarte paraboloidul în două părți (Fig. 4.6c), ale căror volume sunt egale cu W 2 = W 1. Din egalitatea volumelor inelului parabolic W 2 și ale cupei parabolice W 1, Fig. 4.6c

Când suprafața paraboloidului intersectează fundul vasului (Fig. 4.7) W 1 =W 2 = 0,5W inel

Fig. 4.7 Volume și înălțimi când suprafața unui paraboloid intersectează partea inferioară a cilindrului

Înălțimile din Fig. 4.6

volumele din fig. 4.6.

Amplasarea suprafeței libere în vas

Fig.4.8. Trei cazuri de repaus relativ în timpul rotației

1. Dacă vasul este deschis, Po = Ratm (Fig. 4.8a). În timpul rotației, vârful paraboloidului scade sub nivelul inițial-H, iar marginile se ridică deasupra nivelului inițial, poziția vârfului

2. Dacă vasul este complet umplut, acoperit cu un capac, nu are suprafață liberă, este sub presiune în exces Po>Patm, înainte de rotație suprafața (PP) pe care Po=Patm va fi deasupra nivelului capacului la o înălțime h0i =M/ρg, H1 =H+ M/ρg.

3. Dacă vasul este complet umplut, acesta este sub vid Po<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h 0и =-V/ρg, Н 2 =Н-V/ρg ,

4.7. Rotație la viteză unghiulară mare (Fig. 4.9)

Când un vas care conține lichid se rotește cu o viteză unghiulară mare, forța gravitațională poate fi neglijată în comparație cu forțele centrifuge. Legea modificării presiunii într-un lichid poate fi obținută din formulă

(4.22),

Suprafețele nivelului formează cilindri cu o axă comună în jurul căreia se rotește vasul. Dacă vasul nu este complet umplut înainte de începerea rotației, presiunea P 0 va acţiona de-a lungul razei r = r 0 , în loc de expresie (4.22) vom avea

în care luăm g(z 0 - z) = 0,

Orez. 4.9 Amplasarea suprafețelor de revoluție în absența gravitației.

Raza suprafeței interioare pentru H și h cunoscute