Cum să determinați aria unei sfere. Cum să găsiți aria și volumul unei sfere

Având o singură formulă și știind inițial care este diametrul sau raza, puteți calcula cu ușurință aria suprafeței mingii. Formula va arăta ca S = 4πR2, unde pi este înmulțit cu 4, apoi cu raza bilei la puterea pătratului. Dar înainte de calcule directe, ar trebui să înțelegeți imediat termenii.

Interpretarea semnificațiilor

Asta ar trebui să știți:

• minge- un obiect geometric rezultat din mișcări semicirculare de rotație în jurul centrului. Orice punct de pe suprafața mingii este la aceeași distanță de centru.
• Sferă- nu la fel cu o minge. Dacă este un obiect volumetric și include spatiu interior, atunci o sferă este doar suprafața unui obiect dat și are doar propria sa zonă. Cu alte cuvinte, nu se poate spune că o sferă are un asemenea volum, spre deosebire de minge.
• Pi este un număr constant egal cu raportul circumferința unui cerc până la diametrul acestuia. În formă prescurtată, este de obicei notat cu un număr egal cu 3,14. Dar de fapt, după cele trei sunt mai mult de o mie de numere!
• Raza mingii este egală cu jumătate din diametrul acesteia. Diametrul exact poate fi calculat folosind mai multe obiecte plate și nivelate. Trebuie doar să prindeți mingea între aceste obiecte care prind mingea și sunt situate perpendicular unul pe celălalt, apoi măsurați diametrul rezultat.
• Grad pătrat notat ca doi și înseamnă că acest număr trebuie înmulțit cu el însuși o dată. Dacă puterea unui număr ar fi sub formă de trei, atunci ar trebui să vă înmulțiți de două ori. Notând expresia pe hârtie, puteți înțelege de ce se folosesc doi și trei, și nu unul și doi.
• Volum– o cantitate care indică dimensiunea în spațiu ocupată de un obiect. Volumul mingii depinde de diametru. Formula va fi egală cu patru treimi înmulțite cu pi și din nou înmulțită cu raza sa cub.
• Pătrat– o cantitate care indică dimensiunea suprafeței unui obiect, dar nu și spațiul interior.

Fapte interesante

Acesta este interesant:

1. Numărul „pi” are propriile cluburi de fani în toată lumea. Membrii societății încearcă să-și amintească cât mai multe semne posibil din acest număr și, de asemenea, încearcă să dezvăluie secretele universale ascunse în număr.
2. Suprafața terestră a Pământului reprezintă doar 29,2% din suprafața sa totală. Număr exact Zona este dificil de numit din cauza topografiei neuniforme a Pământului, cum ar fi depresiunile și munții.
3. Cunoștințele despre formula pentru zona unei sfere pot fi utilizate în viața de zi cu zi. De asemenea, cu aceste cunoștințe vă puteți suprima adversarul într-o dispută.

Demonstrând amploarea cunoștințelor tale în domeniul geometriei, poți câștiga inițial respect și le poți face clar reparatorilor și vânzătorilor că pur și simplu nu poți fi păcălit.

Aplicarea formulei

Să ne uităm la un exemplu, cum se calculează aria unei mingi rotunde, al cărui diametru este de 50 cm Urmând formula, trebuie să împărțiți 50 la doi (pentru a obține raza), pătrați numărul rezultat și înmulțiți totul mai întâi cu 4, apoi cu 3,14. Drept urmare, obținem un număr de 7.850 de centimetri pătrați.

Formula pentru calcularea suprafeței Este folosit nu numai printre profesorii din școală și cercetătorii din laborator. Această formulă poate fi util pentru pictorul obișnuit. La urma urmei, dacă mingea este mare și nu este suficientă vopsea, atunci se pune întrebarea: va fi acest amestec suficient pentru a picta întregul obiect? Și acesta este departe de singurul caz de zi cu zi în care formula poate fi utilă.

Formula de calcul al volumului Poate fi util și pentru echipa de construcții care efectuează reparații. Și nu contează ce fel de obiect este - o clădire industrială, o casă mică sau un apartament obișnuit. Acesta este ceea ce îi distinge pe profesioniști - ei știu să-și aplice cunoștințele în practică.

Dar ce să faci dacă nu se poate măsura obiectul? Această întrebare poate apărea în cazul dimensiunii enorme a obiectului sau inaccesibilitatea acestuia. În acest caz, tehnologiile electronice pot ajuta, a căror funcționare se bazează pe scanarea spațiului cu anumite frecvențe și lasere. CU tehnologii moderne Nu este necesar să știi toate formulele pe de rost. Este suficient să ai o conexiune la Internet și să mergi la orice calculator online.

Este în general acceptat că prima persoană care a găsit și a obținut formula pentru volumul și aria unei sfere , a fost Arhimede. Acesta este cel mai mare om de știință grec antic care a trăit 300 de ani î.Hr. Nu a fost doar un matematician, ci și un fizician și inginer. Este unul dintre primii oameni care au încercat să „digitizeze” lumea din jurul nostru. Teoremele și lucrările sale sunt folosite și astăzi.

Arhimede a fost cel care a determinat limitele numărului „pi”și le-a identificat fără a avea niciun gadget modern. Arhimede însuși era foarte mândru de formula pe care a găsit-o, cu ajutorul căreia se calculează volumul unei sfere. În cinstea acestui lucru, descendenții săi au înfățișat un cilindru și o minge pe piatra sa funerară.

Dacă printr-un miracol ar renaște în vremea noastră, ar putea imediat să transforme această lume și să o ducă la un nou nivel.

Video

Folosind acest videoclip ca exemplu, vă va fi ușor să înțelegeți cum să găsiți suprafața unei mingi.

Mulți dintre noi ne place să joace fotbal, sau cel puțin aproape toți am auzit despre acest celebru joc sportiv. Toată lumea știe că fotbalul se joacă cu o minge.

Dacă întrebi un trecător ce formă figură geometrică are o minge, atunci unii oameni vor spune că are formă de minge, iar alții că are forma de sferă. Deci care are dreptate? Și care este diferența dintre o sferă și o minge?

Important!

minge este un corp spațial. Interiorul mingii este plin cu ceva. Prin urmare, volumul unei sfere poate fi găsit.

Exemple de minge în viață: un pepene verde și o minge de oțel.

O minge și o sferă, ca un cerc și un cerc, au centru, rază și diametru.

Important!

Sferă- suprafata mingii. Puteți găsi suprafața unei sfere.

Exemple de sfere în viață: o minge de volei și o minge de tenis de masă.

Cum să găsiți aria unei sfere

Ține minte!

Formula pentru aria unei sfere: S=4 π R 2

Pentru a găsi aria unei sfere, trebuie să vă amintiți ce este puterea unui număr. știind determinarea gradului
, putem scrie formula pentru aria unei sfere după cum urmează. S=4

π R2 = 4π R · R; Să consolidăm cunoştinţele dobândite şi

Să rezolvăm problema pe zona unei sfere.

Zubareva clasa a VI-a. Numărul 692(a)

• Stare problema: Calculați aria unei sfere dacă raza acesteia este
  = = = 88

  88

  = 1
• 1 = 3 · = = / (4 · 3) = ) = = ) =
• R3 = 1

Important!

R = 1 m

Dragi parinti!

Când se calculează în sfârșit raza, nu este nevoie să forțezi copilul să numere rădăcina cubă. Elevii de clasa a VI-a nu au luat încă și nu cunosc definiția rădăcinilor în matematică.

În clasa a VI-a, atunci când rezolvați o astfel de problemă, folosiți metoda forței brute.

Întrebați elevul ce număr, dacă este înmulțit de 3 ori cu el însuși, va da unul.

Definiția unei mingi minge chemați un set de puncte îndepărtate dintr-un punct ales în mod arbitrar (centrul mingii) la o distanță care nu depășește R R R

- raza acestei mingi.

Calculator online O minge, ca un cerc, are un diametru D D D

, care este de două ori lungimea razei mingii. D = 2 ⋅ R D=2\cdot R2 ⋅ R R

D=

Suprafața unei mingi poate fi găsită folosind atât raza, cât și diametrul mingii.

Formula pentru suprafața unei mingi bazată pe raza mingiiS = 4 ⋅ π ⋅ R 2 S=4\cdot\pi\cdot R^24 ⋅ π ⋅ S= 2

R R R R R

- raza mingii.

Exemplu O bilă este înscrisă într-un cub a cărui diagonală este d d d egal cu 3 0 0 ​ 300\sqrt(300)

(cm.). Găsiți aria suprafeței sferei.

Soluţie D = 300 d= \sqrt(300)3 0 0 ​

d = Primul pas în rezolvarea problemei este să găsiți lungimea laturii cubului. Să o notăm prin a a o

. Apoi, conform teoremei lui Pitagora:D 2 = a 2 + a 2 + a 2 d^2=a^2+a^2+a^2 2 = d 2 + d 2 + d 2

oD 2 = a 2 + a 2 + a 2 d^2=a^2+a^2+a^2 2 = 3 ⋅ d 2

D 2 = 3 ⋅ a 2 d^2=3\cdot a^2 A = d 3 a=\frac(d)(\sqrt(3))3 ​ d d​

A = 300 3 = 100 = 10 a=\frac(\sqrt(300))(\sqrt(3))=\sqrt(100)=10A = d 3 a=\frac(d)(\sqrt(3))3 ​ 3 0 0 ​ ​ = 1 0 0 ​ = 1 0

Raza unei bile înscrise într-un cub este egală cu jumătate din latura acestui cub:

R = a 2 = 10 2 = 5 R=\frac(a)(2)=\frac(10)(2)=5R=2 a a​ = 2 1 0 ​ = 5

Atunci aria suprafeței mingii este:

S = 4 ⋅ π ⋅ R 2 = 4 ⋅ π ⋅ 5 2 ≈ 314 S=4\cdot\pi\cdot R^2=4\cdot\pi\cdot 5^2\approx314S = 4 ⋅ π ⋅ R 2 S=4\cdot\pi\cdot R^24 ⋅ π ⋅ S= 2 = 4 ⋅ π ⋅ 5 2 ≈ 3 1 4 (vezi mp)

Răspuns: 314 cm patrati.

Formula pentru suprafața unei mingi bazată pe diametrul mingii

Formula pentru suprafața unei mingi poate fi obținută cu ușurință prin diametrul acesteia, folosind relația dintre raza și diametrul mingii:

S = 4 ⋅ π ⋅ R 2 = 4 ⋅ π ⋅ (D 2) 2 = π ⋅ D 2 S=4\cdot\pi\cdot R^2=4\cdot\pi\cdot\Big(\frac(D )(2)\Big)^2=\pi\cdot D^2S = 4 ⋅ π ⋅ R 2 S=4\cdot\pi\cdot R^24 ⋅ π ⋅ S= 2 = 4 ⋅ π ⋅ ( 2 D D​ ) 2 = π ⋅ D 2

S = π ⋅ D 2 S=\pi\cdot D^2S = 4 ⋅ π ⋅ R 2 S=4\cdot\pi\cdot R^2π ⋅ D 2

D D D D- diametrul mingii.

- raza mingii.

Diametrul mingii este de 10 (cm). Găsiți suprafața acesteia.

(cm.). Găsiți aria suprafeței sferei.

D=10 D=10 D = 2 ⋅ R D=2\cdot R1 0

Folosind formula obținem:

S = π ⋅ D 2 = π ⋅ 1 0 2 ≈ 314 S=\pi\cdot D^2=\pi\cdot 10^2\approx314S = 4 ⋅ π ⋅ R 2 S=4\cdot\pi\cdot R^2π ⋅ D 2 = π ⋅ 1 0 2 ≈ 3 1 4 (vezi mp)

Răspuns: 314 cm patrati.

Oferim aici o derivare foarte simplă, deși nu complet riguroasă, a formulei pentru suprafața unei suprafețe sferice; în ideea sa este foarte apropiată de metodele calculului integral. Deci, să ni se dea o anumită bilă cu raza R. Să selectăm o zonă mică de pe suprafața ei (Fig. 412) și să considerăm o piramidă sau un con cu vârful său în centrul bilei O, având ca bază această zonă. ; strict vorbind, vorbim doar condiționat despre un con sau o piramidă, deoarece baza nu este plată, ci sferică. Dar dacă dimensiunea bazei este mică în comparație cu raza mingii, aceasta va diferi foarte puțin de una plată (de exemplu, atunci când se măsoară un teren nu foarte mare, ei neglijează faptul că nu se află pe un plan, dar pe o sferă).

Apoi, notând baza „piramidei” prin zona acestei secțiuni, găsim volumul acesteia ca produsul unei treimi din înălțime cu aria bazei (înălțimea este raza mingii) :

Dacă acum descompunem întreaga suprafață a mingii într-un număr foarte mare N de astfel de zone mici, astfel volumul mingii în N volume de „piramide” având aceste zone ca bază, atunci întregul volum va fi reprezentat de sumă

unde ultima sumă este egală cu suprafața totală a mingii:

Deci, volumul unei sfere este egal cu o treime din produsul razei și suprafeței sale. Prin urmare, pentru suprafața avem formula

Ultimul rezultat este formulat astfel:

Suprafața unei sfere este egală cu de patru ori aria cercului său mare.

Concluzia de mai sus este valabilă și pentru suprafața unui sector al unei mingi (ne referim doar la bază, adică. suprafata sferica, sau „caps”; vezi fig. 409). Și în acest caz, volumul sectorului este egal cu o treime din produsul razei mingii și aria bazei sale sferice:

unde găsim formula pentru zona capacului

Suprafața sferică a stratului sferic se numește centură sferică (vezi Fig. 408). Pentru a calcula suprafața centurii sferice, găsim diferența dintre suprafețele a două capace sferice:

unde este înălțimea stratului. Deci, suprafața centurii sferice pentru o minge dată depinde numai de înălțimea stratului corespunzător, dar nu și de poziția acestuia pe minge.

Sarcină. Suprafata laterala un con circumscris în jurul unei mingi are o suprafață egală cu o dată și jumătate suprafața mingii. Aflați înălțimea conului dacă raza bilei este .

Soluţie. Pentru comoditate, să introducem unghiul a dintre înălțimea și generatria conului (Fig. 413). Să găsim expresiile pentru înălțimea, raza bazei și generatoarea conului