Cum se numește gradul de măsură a unui unghi? Măsura gradului de unghi

Măsura gradului de unghi. Măsura radianilor unghiului. Transformarea gradelor în radiani și invers.

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

În lecția anterioară am învățat cum să măsuram unghiurile pe un cerc trigonometric. Am învățat cum să numărăm unghiurile pozitive și negative. Am învățat cum să desenăm un unghi mai mare de 360 ​​de grade. Este timpul să vă dați seama cum să măsurați unghiurile. Mai ales cu numărul „Pi”, care se străduiește să ne încurce în sarcini dificile, da...

Problemele standard de trigonometrie cu numărul „Pi” sunt bine rezolvate. Memoria vizuală ajută. Dar orice abatere de la șablon este un dezastru! Pentru a evita căderea - înţelege necesar. Ceea ce vom face acum cu succes. Adică, vom înțelege totul!

Aşa, ce unghiurile conteaza? ÎN curs şcolar trigonometria folosește două măsuri: gradul de măsură a unghiuluiŞi măsura unghiului radian. Să ne uităm la aceste măsuri. Fără aceasta, nu există nicăieri în trigonometrie.

Măsura gradului de unghi.

Ne-am obișnuit cumva cu grade. Cel puțin am trecut de geometrie... Și în viață întâlnim adesea sintagma „întors la 180 de grade”, de exemplu. O diplomă, pe scurt, este un lucru simplu...

Da? Răspunde-mi atunci ce este o diplomă? Ce, nu merge imediat? Asta este...

Gradele au fost inventate în Babilonul antic. A fost cu mult timp în urmă... acum 40 de secole... Și le-a venit o idee simplă. Am luat și am împărțit cercul în 360 părţi egale. 1 grad este 1/360 dintr-un cerc. Asta e tot. L-ar fi putut sparge în 100 de bucăți. Sau 1000. Dar l-au împărțit în 360. Apropo, de ce exact 360? Cum este 360 ​​mai bun decât 100? 100 pare să fie oarecum mai lin... Încercați să răspundeți la această întrebare. Sau slab împotriva Babilonului antic?

Undeva în același timp, în Egiptul antic au fost chinuiți de o altă întrebare. De câte ori este lungimea unui cerc mai mare decât lungimea diametrului său? Și l-au măsurat așa, și așa... Totul s-a dovedit a fi puțin mai mult de trei. Dar cumva s-a dovedit umplut, neuniform... Dar ei, egiptenii, nu sunt de vină. După ei, au suferit încă 35 de secole. Până când s-au dovedit în sfârșit că oricât de fin ai tăia un cerc în bucăți egale, din astfel de bucăți poți face netezi lungimea diametrului este imposibilă... În principiu, este imposibil. Ei bine, de câte ori circumferința este mai mare decât diametrul a fost stabilit, desigur. Aproximativ. 3.1415926... ori.

Acesta este numărul „Pi”. Atât de zbuciumat, atât de zdruncinat. După virgulă există un număr infinit de numere fără nicio ordine... Astfel de numere se numesc iraționale. Acest lucru, apropo, înseamnă că din bucăți egale de cerc diametrul netezi nu plia. Nu.

Pentru aplicare practică Este obișnuit să vă amintiți doar două cifre după virgulă. Amintiți-vă:

Deoarece înțelegem că circumferința unui cerc este mai mare decât diametrul său de ori „Pi”, este logic să ne amintim formula pentru circumferința unui cerc:

Unde L- circumferința și d- diametrul acestuia.

Util în geometrie.

Pentru învăţământul general Voi adăuga că numărul „Pi” nu se găsește doar în geometrie... În diverse ramuri ale matematicii, și mai ales în teoria probabilităților, acest număr apare constant! De la sine. Dincolo de dorințele noastre. Ca aceasta.

Dar să revenim la grade. V-ați dat seama de ce în Babilonul antic cercul era împărțit în 360 de părți egale? Și nu până la 100, de exemplu? Nu? BINE. Îți dau o versiune. Nu îi puteți întreba pe vechii babilonieni... Pentru construcție sau, să zicem, astronomie, este convenabil să împărțiți cercul în părți egale. Acum află cu ce numere este divizibil complet 100, și care - 360? Și în ce versiune a acestor divizori complet- Mai mult? Această diviziune este foarte convenabilă pentru oameni. Dar...

După cum sa dovedit mult mai târziu decât Babilonul Antic, nu tuturor le plac diplomele. Matematicilor superioare nu le plac... Matematică superioară- o doamna serioasa, organizata dupa legile naturii. Și această doamnă declară: „Astăzi ai rupt cercul în 360 de părți, mâine îl vei sparge în 100, poimâine în 245... Și ce să fac nu, chiar...” Trebuia să ascult. Nu poți păcăli natura...

A trebuit să introducem o măsură a unghiului care nu depindea de invențiile umane. Faceți cunoștință cu - radian!

Măsura radianilor unghiului.

Ce este un radian? Definiția radianului se bazează încă pe un cerc. Un unghi de 1 radian este unghiul care taie un arc dintr-un cerc a cărui lungime este ( L) este egală cu lungimea razei ( R). Să ne uităm la poze.

Un unghi atât de mic, este aproape inexistent... Mutăm cursorul peste imagine (sau atingem poza de pe tabletă) și vedem cam una radian. L = R

Simți diferența?

Un radian este mult mai mult de un grad. De câte ori?

Să ne uităm la următoarea poză. Pe care am desenat un semicerc. Unghiul desfășurat este, în mod natural, de 180°.

Acum voi tăia acest semicerc în radiani! Plasăm cursorul peste imagine și vedem că 180° se potrivește cu 3 radiani și jumătate.

Cine poate ghici cu ce este egală această coadă!?

Da! Aceasta coada este 0.1415926.... Buna ziua, numarul "Pi", inca nu te-am uitat!

Într-adevăr, 180° grade conține 3,1415926... radiani. După cum înțelegeți, să scrieți 3.1415926 tot timpul... este incomod. Prin urmare, în loc de acest număr infinit, ei scriu întotdeauna simplu:

Dar pe internet numărul

Este incomod să scrii... De aceea îi scriu numele în text - „Pi”. Nu te confuzi, bine?...

Acum putem scrie o egalitate aproximativă într-un mod complet semnificativ:

Sau egalitate exactă:

Să stabilim câte grade sunt într-un radian. Cum? Uşor! Dacă există 180° de grade în 3,14 radiani, atunci sunt de 3,14 ori mai puține într-un radian! Adică împărțim prima ecuație (formula este, de asemenea, o ecuație!) la 3.14:

Acest raport este util de reținut Un radian este de aproximativ 60°. În trigonometrie, de multe ori trebuie să estimați și să evaluați situația. Aici aceste cunoștințe ajută foarte mult.

Dar principala abilitate a acestui subiect este transformarea gradelor în radiani și invers.

Dacă unghiul este dat în radiani cu numărul „Pi”, totul este foarte simplu. Știm că „Pi” radiani = 180°. Deci înlocuim radianii cu „Pi” - 180°. Obținem unghiul în grade. Reducem ceea ce este redus, iar răspunsul este gata. De exemplu, trebuie să aflăm câți gradeîn unghiul „Pi”/2 radian? Deci scriem:

Sau, o expresie mai exotică:

Ușor, nu?

Traducerea inversă este puțin mai complicată. Dar nu mult. Dacă unghiul este dat în grade, trebuie să ne dăm seama cu ce un grad este egal în radiani și să înmulțim acel număr cu numărul de grade. Cât este egal cu 1° în radiani?

Ne uităm la formulă și realizăm că dacă 180° = „Pi” radiani, atunci 1° este de 180 de ori mai mic. Sau, cu alte cuvinte, împărțim ecuația (o formulă este și o ecuație!) la 180. Nu este nevoie să reprezentăm „Pi” ca 3.14, oricum se scrie întotdeauna cu o literă. Constatăm că un grad este egal cu:

Asta este. Înmulțim numărul de grade cu această valoare și obținem unghiul în radiani. De exemplu:

Sau, similar:

După cum puteți vedea, într-o conversație pe îndelete cu digresiuni lirice, s-a dovedit că radianii sunt foarte simpli. Iar traducerea nu este nicio problemă... Și „Pi” este un lucru cu totul tolerabil... Deci de unde confuzia!?

Voi dezvălui secretul. Cert este că în funcțiile trigonometrice simbolul grade este scris. Întotdeauna. De exemplu, sin35°. Acesta este sinusul 35 grade . Și icoana radian ( bucuros) - nu scris! Este subînțeles. Ori matematicienii au fost copleșiți de lene, ori altceva... Dar s-au hotărât să nu scrie. Dacă nu există simboluri în interiorul cotangentei sinusoidale, atunci unghiul este în radiani ! De exemplu, cos3 este cosinusul lui trei radiani .

Acest lucru duce la confuzie... O persoană vede „Pi” și crede că este 180°. Întotdeauna și peste tot. Apropo, asta funcționează. Deocamdată, exemplele sunt standard. Dar „Pi” este un număr! Cifra este 3,14, dar nu grade! Acesta este radiani „Pi” = 180°!

Încă o dată: „Pi” este un număr! 3.14. Irațional, dar un număr. La fel ca 5 sau 8. Puteți, de exemplu, să faceți despre pașii „Pi”. Trei pași și încă puțin. Sau cumpărați „Pi” kilograme de dulciuri. Dacă un vânzător educat se întâlnește cu...

„Pi” este un număr! Ce, te-am enervat cu fraza asta? Ai înțeles deja totul cu mult timp în urmă? BINE. Să verificăm. Spune-mi, care număr este mai mare?

Sau ce este mai putin?

Aceasta este una dintr-o serie de întrebări ușor nestandardizate care te pot duce în stupoare...

Dacă și tu ai căzut în stupoare, amintește-ți vraja: „Pi” este un număr! 3.14. În primul sinus se spune clar că unghiul este în grade! Prin urmare, este imposibil să înlocuiți „Pi” cu 180°! Gradele „Pi” sunt de aproximativ 3,14°. Prin urmare, putem scrie:

Nu există notații în al doilea sinus. Deci, acolo - radiani! Aici înlocuirea „Pi” cu 180° va funcționa foarte bine. Convertind radiani în grade, așa cum este scris mai sus, obținem:

Rămâne să comparăm aceste două sinuri. Ce. ai uitat cum? Folosind un cerc trigonometric, desigur! Desenați un cerc, desenați unghiuri aproximative de 60° și 1,05°. Să vedem ce sinusuri au aceste unghiuri. Pe scurt, totul este descris ca la sfârșitul subiectului despre cercul trigonometric. Pe un cerc (chiar și cel strâmb!) se va vedea clar că păcat60° semnificativ mai mult decât sin1.05°.

Vom face exact același lucru cu cosinus. Pe cerc, desenați unghiuri de aproximativ 4 gradeși 4 radian(Ați uitat cu ce este aproximativ egal 1 radian?). Cercul va spune totul! Desigur, cos4 este mai mic decât cos4°.

Să exersăm utilizarea măsurilor de unghi.

Convertiți aceste unghiuri din grade în radiani:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Ar trebui să obțineți aceste valori în radiani (în altă ordine!)

0

Apropo, am evidențiat în mod special răspunsurile în două rânduri. Ei bine, să ne dăm seama care sunt colțurile din prima linie? Cel puțin în grade, cel puțin în radiani?

Da! Acestea sunt axele sistemului de coordonate! Dacă te uiți la cercul trigonometric, atunci latura în mișcare a unghiului cu aceste valori se potriveste exact pe axe. Aceste valori trebuie cunoscute. Și am notat unghiul de 0 grade (0 radiani) din motive întemeiate. Și apoi unii oameni pur și simplu nu pot găsi acest unghi pe un cerc... Și, în consecință, se confundă în funcțiile trigonometrice ale lui zero... Un alt lucru este că poziția laturii în mișcare la zero grade coincide cu poziția la 360°, deci sunt complet coincidențe pe cercul din apropiere.

În a doua linie sunt și unghiuri speciale... Acestea sunt 30°, 45° și 60°. Și ce este atât de special la ei? Nimic special. Singura diferență dintre aceste unghiuri și toate celelalte este că ar trebui să știți despre aceste unghiuri Toate. Și unde sunt situate și ce funcții trigonometrice au aceste unghiuri. Să spunem valoarea sin100° nu trebuie sa stii. O păcat45°- Te rog fii atât de amabil! Acestea sunt cunoștințe obligatorii, fără de care nu există nimic de făcut în trigonometrie... Dar mai multe despre asta în lecția următoare.

Între timp, să continuăm antrenamentele. Convertiți aceste unghiuri din radian în grade:

Ar trebui să obțineți rezultate ca acestea (în dezordine):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

A funcționat? Atunci putem presupune că transformând grade în radiani și înapoi- nu mai este problema ta.) Dar translatarea unghiurilor este primul pas către înțelegerea trigonometriei. Acolo trebuie să lucrați și cu sinusuri și cosinusuri. Și cu tangente și cotangente...

Al doilea pas puternic este capacitatea de a determina poziția oricărui unghi pe un cerc trigonometric. Atât în ​​grade, cât și în radiani. Îți voi oferi indicii plictisitoare despre această abilitate pe parcursul trigonometriei, da...) Dacă știi totul (sau crezi că știi totul) despre cercul trigonometric și măsurarea unghiurilor pe cercul trigonometric, poți să-l verifici. Rezolvați aceste sarcini simple:

1. În ce sfert se încadrează unghiurile:

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

Uşor? Să continuăm:

2. În ce sfert se încadrează colțurile:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Nici o problemă? Ei bine, uite...)

3. Puteți așeza colțurile în sferturi:

Ai putea? Ei bine, dai..)

4. Pe ce axe va cădea colțul:

si colt:

Este si usor? Hm...)

5. În ce sfert se încadrează colțurile:

Și a funcționat!? Ei bine, atunci chiar nu știu...)

6. Stabiliți în ce sfert se încadrează colțurile:

1, 2, 3 și 20 de radiani.

Voi da un răspuns doar la ultima întrebare (este puțin complicată) a ultimei sarcini. Un unghi de 20 de radiani va cădea în primul trimestru.

Nu voi da restul răspunsurilor, nu din lăcomie.) Simply, if you nu m-am hotarat ceva te îndoiești de asta ca rezultat, sau cheltuit pentru sarcina nr. 4 mai mult de 10 secunde, esti prost orientat intr-un cerc. Aceasta va fi problema ta în toată trigonometrie. Este mai bine să scapi de ea (problema, nu trigonometrie!) imediat. Acest lucru se poate face în subiectul: Lucrări practice cu cercul trigonometric din secțiunea 555.

Vă spune cum să rezolvați astfel de sarcini simplu și corect. Ei bine, aceste sarcini au fost rezolvate, desigur. Și a patra sarcină a fost rezolvată în 10 secunde. Da, s-a decis că oricine o poate face!

Dacă sunteți absolut încrezător în răspunsurile dvs. și nu sunteți interesat de modalități simple și fără probleme de a lucra cu radiani, nu trebuie să vizitați 555. Nu insist.)

O bună înțelegere este un motiv suficient de bun pentru a merge mai departe!)

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Unghi - principal figură geometrică, pe care o vom analiza pe parcursul întregului subiect. Definiții, metode de setare, notare și măsurare a unghiului. Să ne uităm la principiile de evidențiere a colțurilor în desene. Întreaga teorie este ilustrată și are un număr mare de desene vizuale.

Definiția 1

Colţ– o simplă figură importantă în geometrie. Unghiul depinde direct de definiția razei, care la rândul ei constă în concepte de bază puncte, drepte și plane. Pentru un studiu amănunțit, trebuie să aprofundați subiecte linie dreaptă pe un plan - informații necesareŞi avion - informații necesare.

Conceptul de unghi începe cu conceptele de punct, plan și linie dreaptă descrise pe acest plan.

Definiția 2

Dată o linie dreaptă a pe plan. Să notăm un anumit punct O pe el. O linie dreaptă este împărțită de un punct în două părți, fiecare având un nume grindă, iar punctul O – începutul fasciculului.

Cu alte cuvinte, grinda sau pe jumătate drept - este o parte a unei linii constând din puncte ale unei linii date situate pe aceeași parte față de punctul de plecare, adică punctul O.

Desemnarea fasciculului este permisă în două variante: o literă mică sau două litere mari ale alfabetului latin. Când este desemnată cu două litere, fasciculul are un nume format din două litere. Să aruncăm o privire mai atentă asupra desenului.

Să trecem la conceptul de determinare a unui unghi.

Definiția 3

Colţ este o figură situată în avion dat, format din două raze divergente care au o origine comună. Partea unghiulară este o rază vârf– origine comună a laturilor.

Există un caz în care laturile unui unghi pot acționa ca o linie dreaptă.

Definiția 4

Când ambele laturi ale unui unghi sunt situate pe aceeași linie dreaptă sau laturile sale servesc ca semilinii suplimentare ale unei linii drepte, atunci un astfel de unghi se numește extins.

Imaginea de mai jos arată un colț rotit.

Un punct de pe o dreaptă este vârful unui unghi. Cel mai adesea este desemnat de punctul O.

Un unghi în matematică este notat cu semnul „∠”. Când laturile unui unghi sunt desemnate prin mici latine, atunci pentru definiție corectă unghiuri, literele sunt scrise pe rând în funcție de laturi. Dacă două laturi sunt desemnate k și h, atunci unghiul este desemnat ∠ k h sau ∠ h k.

Când vine desemnarea cu majuscule, atunci respectiv laturile unghiului se numesc O A si O B. În acest caz, unghiul are un nume alcătuit din trei litere ale alfabetului latin, scrise pe rând, în centru cu un vârf - ∠ A O B și ∠ B O A. Există o desemnare sub formă de numere atunci când unghiurile nu au nume sau denumiri de litere. Mai jos este o poză unde în moduri diferite unghiurile sunt indicate.

Un unghi împarte un plan în două părți. Dacă unghiul nu este rotit, atunci se numește o parte a planului zona colțului interior, celălalt - zona colțului exterior. Mai jos este o imagine care explică ce părți ale avionului sunt externe și care sunt interne.

Când este împărțită la un unghi dezvoltat pe un plan, oricare dintre părțile sale este considerată a fi regiunea interioară a unghiului dezvoltat.

Zona interioară a unghiului este un element care servește pentru a doua definiție a unghiului.

Definiția 5

Unghi numită figură geometrică formată din două raze divergente care au o origine comună și o zonă unghiulară internă corespunzătoare.

Această definiție este mai strictă decât cea anterioară, deoarece are mai multe condiții. Nu este indicat să luăm în considerare ambele definiții separat, deoarece un unghi este o figură geometrică transformată folosind două raze care emană dintr-un punct. Când este necesar să se efectueze acțiuni cu un unghi, definiția înseamnă prezența a două raze cu un început comun și o zonă internă.

Definiția 6

Cele două unghiuri se numesc adiacent, dacă există o latură comună, iar celelalte două sunt semilinii suplimentare sau formează un unghi drept.

Figura arată că unghiurile adiacente se completează unul pe celălalt, deoarece sunt o continuare unul celuilalt.

Definiția 7

Cele două unghiuri se numesc vertical, dacă laturile uneia sunt semilinii complementare ale celeilalte sau sunt continuare ale laturilor celeilalte. Imaginea de mai jos prezintă o imagine a unghiurilor verticale.

Când liniile drepte se intersectează, se obțin 4 perechi de unghiuri adiacente și 2 perechi de unghiuri verticale. Mai jos este prezentat în imagine.

Articolul prezintă definițiile unghiurilor egale și inegale. Să ne uităm la ce unghi este considerat mai mare, care este mai mic și alte proprietăți ale unghiului. Două cifre sunt considerate egale dacă, atunci când sunt suprapuse, coincid complet. Aceeași proprietate se aplică și pentru compararea unghiurilor.

Sunt date două unghiuri. Este necesar să ajungem la o concluzie dacă aceste unghiuri sunt egale sau nu.

Se știe că există o suprapunere a vârfurilor a două unghiuri și a laturilor primului unghi cu orice altă latură a celui de-al doilea. Adică, dacă există o coincidență completă atunci când unghiurile sunt suprapuse, laturile unghiurilor date se vor alinia complet, unghiurile egal.

Este posibil ca atunci când sunt suprapuse, părțile laterale să nu se alinieze, apoi colțurile inegal, mai mic din care constă dintr-un altul, și Mai mult conține un unghi complet diferit. Mai jos sunt unghiuri inegale care nu au fost aliniate atunci când au fost suprapuse.

Unghiurile drepte sunt egale.

Măsurarea unghiurilor începe cu măsurarea laturii unghiului măsurat și a zonei sale interioare, umplându-le cu unghiuri unitare și aplicându-le unul altuia. Este necesar să se numără numărul de unghiuri așezate, ele predetermină măsura unghiului măsurat.

Unitatea de unghi poate fi exprimată prin orice unghi măsurabil. Există unități de măsură general acceptate care sunt utilizate în știință și tehnologie. Ei sunt specializați în alte titluri.

Conceptul cel mai des folosit grad.

Definiția 8

Un grad numit unghi care are o sută optzecea parte a unui unghi drept.

Denumirea standard pentru un grad este „°”, apoi un grad este 1°. Prin urmare, un unghi drept este format din 180 de astfel de unghiuri de un grad. Toate colțurile disponibile sunt așezate strâns între ele, iar părțile laterale ale celuilalt sunt aliniate cu următoarea.

Se știe că numărul de grade dintr-un unghi este însăși măsura unghiului. Un unghi desfășurat are 180 de unghiuri stivuite în compoziția sa. Figura de mai jos prezintă exemple în care unghiul este așezat de 30 de ori, adică o șesime din desfășurat și de 90 de ori, adică jumătate.

Minutele și secundele sunt folosite pentru a măsura cu precizie unghiurile. Ele sunt utilizate atunci când valoarea unghiului nu este o desemnare a unui grad întreg. Aceste fracții de grad permit calcule mai precise.

Definiția 9

într-un minut numită o șaizecime de grad.

Definiția 10

Într-o secundă numit o şaizecime de minut.

Un grad conține 3600 de secunde. Minutele sunt desemnate cu """, iar secundele sunt "" Desemnarea are loc:

1 ° = 60 " = 3600 "", 1 " = (1 60) ° , 1 " = 60 "" , 1 "" = (1 60) " = (1 3600) ° ,

iar desemnarea pentru un unghi de 17 grade 3 minute și 59 secunde este 17 ° 3 "59"".

Definiția 11

Să dăm un exemplu de desemnare a gradului de măsură a unui unghi egal cu 17 ° 3 "59 ". Intrarea are o altă formă: 17 + 3 60 + 59 3600 = 17 239 3600.

Pentru a măsura cu precizie unghiurile, utilizați acest lucru metru, ca un raportor. Când notăm unghiul ∠ A O B și măsura gradului său de 110 grade, se folosește o notație mai convenabilă ∠ A O B = 110 °, care spune „Unghiul A O B este egal cu 110 grade”.

În geometrie, se folosește o măsură a unghiului din intervalul (0, 180], iar în trigonometrie, o măsură de grad arbitrară se numește unghiuri de rotație. Valoarea unghiurilor este întotdeauna exprimată număr real. Unghi drept- Acesta este un unghi care are 90 de grade. Unghi ascuțit– un unghi care este mai mic de 90 de grade și bont- Mai mult.

Un unghi ascuțit este măsurat în intervalul (0, 90), iar un unghi obtuz - (90, 180). Trei tipuri de unghiuri sunt prezentate clar mai jos.

Orice măsură de grad a oricărui unghi are aceeași valoare. Un unghi mai mare are în mod corespunzător o măsură de grad mai mare decât unul mai mic. Gradul de măsurare a unui unghi este suma tuturor gradelor de măsură disponibile ale unghiurilor interioare. Mai jos este o figură care arată unghiul AOB, format din unghiurile AOC, COD și DOB. În detaliu arată astfel: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45° + 30° + 60° = 135°.

Pe baza acestui fapt, putem concluziona că sumă toată lumea colțurile adiacente egal cu 180 de grade, pentru că toate formează un unghi drept.

Rezultă că orice unghiurile verticale sunt egale. Dacă luăm asta ca exemplu, constatăm că unghiurile A O B și C O D sunt verticale (în desen), atunci perechile de unghiuri A O B și B O C, C O D și B O C sunt considerate adiacente. În acest caz, egalitatea ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° împreună cu ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° sunt considerate unic adevărate. Prin urmare avem că ∠ A O B = ∠ C O D . Mai jos este un exemplu de imagine și denumirea capturilor verticale.

Pe lângă grade, minute și secunde, se folosește o altă unitate de măsură. Se numește radian. Cel mai adesea poate fi găsit în trigonometrie atunci când se notează unghiurile poligoanelor. Cum se numeste un radian?

Definiția 12

Un unghi radian numit unghi central, care are raza unui cerc egală cu lungimea arcului.

În figură, radianul este reprezentat ca un cerc, unde există un centru, indicat printr-un punct, cu două puncte de pe cerc legate și transformate în raze O A și O B. Prin definiție, acest triunghi A O B este echilateral, ceea ce înseamnă lungimea arcului A B este egală cu lungimile razelor O B și O A.

Denumirea unghiului este considerată „rad”. Adică, scrierea a 5 radiani este abreviată ca 5 rad. Uneori puteți găsi o notație numită pi. Radianii nu depind de lungimea unui cerc dat, deoarece figurile au o anumită limitare prin unghi și arcul său cu centrul situat la vârful unghiului dat. Sunt considerate similare.

Radianii au aceeași semnificație ca și grade, doar că diferența este în mărimea lor. Pentru a determina acest lucru, este necesar să împărțiți lungimea arcului calculată a unghiului central la lungimea razei acestuia.

În practică ei folosesc transformarea gradelor în radiani și a radianilor în grade pentru rezolvarea mai convenabilă a problemelor. Acest articol conține informații despre legătura dintre măsura gradului și radian, unde puteți studia în detaliu conversiile de la grade la radiani și invers.

Desenele sunt folosite pentru a descrie vizual și convenabil arcuri și unghiuri. Nu este întotdeauna posibil să descrieți și să marcați corect acest sau acel unghi, arc sau nume. Unghiuri egale sunt desemnate ca același număr de arce, iar cele inegale ca diferite. Desenul arată desemnarea corectă a unghiurilor acute, egale și inegale.

Când trebuie marcate mai mult de 3 colțuri, sunt folosite simboluri speciale de arc, cum ar fi ondulate sau zimțate. Nu este atât de important. Mai jos este o imagine care arată denumirea lor.

Simbolurile unghiulare trebuie păstrate simple pentru a nu interfera cu alte semnificații. La rezolvarea unei probleme, se recomandă evidențierea doar a unghiurilor necesare soluționării, pentru a nu aglomera întregul desen. Acest lucru nu va interfera cu soluția și dovada și va oferi, de asemenea, un aspect estetic desenului.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Curs: Mărimea unghiului, măsura gradului unghiului, corespondența dintre mărimea unghiului și lungimea arcului de cerc

Măsurarea unghiului este cantitatea cu care o rază deviază față de poziția inițială.

Măsura unui unghi poate fi măsurată în două mărimi: grade și radiani, de unde și denumirea unităților - grad și radian măsura unghiului.

Măsura gradului de unghi

Măsura gradului face posibilă estimarea câte grade, minute sau secunde sunt plasate într-un anumit unghi.

Calculul unghiurilor în grade se realizează din punctul de vedere că rotația completă a fasciculului este de 360°. O jumătate de viraj de 180° este un unghi drept, un sfert - 90° este un unghi drept etc.

Măsura radianilor unghiului

Acum să ne dăm seama care este măsura radianilor unui unghi. După cum știm din fizică, există unități suplimentare. De exemplu, pentru a măsura temperatura, unitatea principală este Kelvin, iar unitatea suplimentară este Celsius. Pentru a măsura lungimea folosim metri, dar britanicii folosesc picioare. Această listă continuă și continuă. Ideea este să înțelegeți că, pe lângă măsura gradului de unghi, există și o măsură radian, care are și dreptul de a exista.

Pentru a determina măsura radianilor unui unghi, se folosește un cerc. Se crede că măsura radianilor este lungimea arcului de cerc descrisă de unghiul central.

Amintiți-vă că un unghi central este un unghi al cărui vârf se află în centrul cercului, iar razele se sprijină pe un arc.

Deci, un unghi de 1 rad are o măsură a gradului de 57,3°. Este descrisă fie măsura radianilor unui unghi numere naturale, sau folosind numărul π ≈ 3,14.

Pentru geometrie este mai convenabil să se folosească măsura gradului de unghi, dar pentru trigonometrie folosesc măsura radianilor.

Unghiurile sunt măsurate în diferite unități. Pot fi grade, radiani. Cel mai adesea, unghiurile sunt măsurate în grade. (Acest grad nu trebuie confundat cu măsura temperaturii, care folosește și cuvântul „grad”).

1 grad este un unghi care este egal cu 1/180 din unghiul desfășurat. Cu alte cuvinte, dacă luați un unghi drept și îl împărțiți în 180 de părți-unghiuri egale, atunci fiecare astfel de unghi mic va fi egal cu 1 grad. Mărimea tuturor celorlalte unghiuri este determinată de câte astfel de unghiuri mici pot fi plasate în interiorul unghiului măsurat.

Gradul este indicat prin semnul °. Acesta nu este un zero sau litera O. Acesta este un simbol special introdus pentru a indica un grad.

Astfel, un unghi drept este de 180°, un unghi drept este de 90°, colțuri ascuțite au o dimensiune mai mică de 90°, iar cele obtuze au o dimensiune mai mare de 90°.

Sistemul metric folosește un metru pentru a măsura distanța. Cu toate acestea, sunt folosite și unități mai mari și mai mici. De exemplu, centimetru, milimetru, kilometru, decimetru. Prin analogie, gradele unghiurilor sunt, de asemenea, împărțite în minute și secunde.

Un minut de grad este egal cu 1/60 de grad. Este indicat printr-un singur semn”.

Un grad secundă este egal cu 1/60 dintr-un minut sau cu 1/3600 dintr-un grad. Al doilea este indicat prin două semne „, adică „”.

În geometria școlii, grade minute și secunde sunt rareori folosite, dar trebuie să poți înțelege, de exemplu, următoarea notație: 35°21"45". Aceasta înseamnă că unghiul este de 35 de grade + 21 de minute + 45 de secunde.

Pe de altă parte, dacă unghiul nu poate fi măsurat cu precizie doar în grade întregi, atunci nu este necesar să introduceți minute și secunde. Este suficient să folosiți grade fracționale. De exemplu, 96,5°.

Este clar că minutele și secundele pot fi convertite în grade exprimându-le în fracțiuni de grad. De exemplu, 30" este egal cu (30/60)° sau 0,5°. Și 0,3° este egal cu (0,3 * 60)" sau 18". Deci, utilizarea minutelor și secundelor este doar o chestiune de comoditate.

Matematică, geometrie - aceste științe, precum și majoritatea celorlalte științe exacte, sunt extrem de dificile pentru mulți. Oamenilor le este greu să înțeleagă formulele și terminologia ciudată. Ce se ascunde sub acest concept ciudat?

Definiţie

Pentru început, trebuie să luați în considerare pur și simplu măsura unghiului. Imaginea unei raze și a unei linii drepte va ajuta în acest sens. Mai întâi trebuie să desenați, de exemplu, o linie dreaptă orizontală. Apoi o rază este desenată din primul său punct, nu paralelă cu dreapta. Astfel, între linie dreaptă și rază apare o anumită distanță, un unghi mic. Măsura unui unghi este dimensiunea acestei rotații a fasciculului.

Acest concept denotă o anumită valoare digitală care va fi mai mare decât zero. Se exprimă în grade, precum și componentele sale, adică minute și secunde. Numărul de grade care se încadrează în unghiul dintre rază și linie dreaptă va fi măsura gradului.

Proprietățile colțurilor

• Absolut fiecare unghi va avea o anumită măsură de grad.
• Dacă este desfășurat complet, numărul va fi de 180 de grade.
• Pentru a găsi măsura gradului, se ia în considerare suma tuturor unghiurilor întrerupte de fascicul.
• Folosind orice rază, puteți crea un semiplan în care puteți face de fapt un unghi. Va avea o măsură a gradului, a cărui valoare va fi mai mică de 180 și nu poate exista decât un astfel de unghi.

Cum să afli măsura unui unghi?

De regulă, măsura minimă a gradului este de 1 grad, care este 1/180 din unghiul rotit. Cu toate acestea, uneori nu puteți obține o cifră atât de clară. În aceste cazuri, se folosesc secunde și minute.

Odată găsită, valoarea poate fi convertită în grade, obținând astfel o fracțiune de grad. Uneori sunt folosite numere fracționale, cum ar fi 80,7 grade.

De asemenea, este important să rețineți cantitățile cheie. Un unghi drept va fi întotdeauna de 90 de grade. Dacă măsura este mai mare, atunci va fi considerată obtuză, iar dacă este mai mică, atunci ascuțită.