Cum să găsiți unghiurile unui trapez, laturile sunt cunoscute. Cum să găsești un unghi într-un trapez

Unghiurile unui trapez isoscel. Buna ziua! Acest articol se va concentra pe rezolvarea problemelor cu trapezele. Acest grup de sarcini face parte din examen, problemele sunt simple. Vom calcula unghiurile trapezului, bazei și înălțimii. Rezolvarea unui număr de probleme se rezumă la rezolvarea, după cum se spune: unde suntem fără teorema lui Pitagora?

Vom lucra cu un trapez isoscel. Are laturi și unghiuri egale la baze. Există un articol despre trapez pe blog.

Să notăm o nuanță mică și importantă, pe care nu o vom descrie în detaliu în procesul de rezolvare a sarcinilor în sine. Uite, dacă ni se dau două baze, atunci baza mai mare cu înălțimile coborâte este împărțită în trei segmente - unul este egal cu baza mai mică (acestea sunt laturile opuse ale dreptunghiului), celelalte două sunt egale cu fiecare. altele (acestea sunt catetele triunghiurilor dreptunghice egale):

Un exemplu simplu: date două baze ale unui trapez isoscel 25 și 65. Baza mai mare este împărțită în segmente, după cum urmează:

*Si mai mult! Simbolurile cu litere nu sunt incluse în probleme. Acest lucru a fost făcut în mod deliberat pentru a nu supraîncărca soluția cu rafinamente algebrice. Sunt de acord că acest lucru este analfabet din punct de vedere matematic, dar scopul este de a înțelege ideea. Și puteți oricând să faceți singur desemnările pentru vârfuri și alte elemente și să scrieți o soluție corectă din punct de vedere matematic.

Să luăm în considerare sarcinile:

27439. Bazele unui trapez isoscel sunt 51 și 65. Laturile sunt 25. Aflați sinusul unghiului ascuțit al trapezului.

Pentru a găsi unghiul, trebuie să construiți înălțimile. În schiță notăm datele în condiția de cantitate. Baza inferioară este de 65, cu înălțimi este împărțită în segmente 7, 51 și 7:

Într-un triunghi dreptunghic, cunoaștem ipotenuza și catetul, putem găsi al doilea catet (înălțimea trapezului) și apoi să calculăm sinusul unghiului.

Conform teoremei lui Pitagora, piciorul indicat este egal cu:

Astfel:

Răspuns: 0,96

27440. Bazele unui trapez isoscel sunt 43 și 73. Cosinusul unui unghi ascuțit al unui trapez este 5/7. Găsiți partea.

Să construim înălțimile și să notăm datele în condiția de mărime, baza inferioară este împărțită în segmentele 15, 43 și 15:

27441. Baza mai mare a unui trapez isoscel este 34. Latura este 14. Sinusul unui unghi ascuțit este (2√10)/7. Găsiți baza mai mică.

Să construim înălțimi. Pentru a găsi baza mai mică, trebuie să găsim cu ce este egal segmentul care este catetul din triunghiul dreptunghic (indicat cu albastru):

Putem calcula înălțimea trapezului și apoi găsim piciorul:

Folosind teorema lui Pitagora, calculăm piciorul:

Deci baza mai mică este:

27442. Bazele unui trapez isoscel sunt 7 și 51. Tangenta unui unghi ascuțit este 5/11. Aflați înălțimea trapezului.

Să construim înălțimile și să marchem datele în condiția de mărime. Baza inferioară este împărțită în segmente:

Ce să fac? Exprimăm tangenta unghiului pe care îl cunoaștem la bază într-un triunghi dreptunghic:

27443. Baza mai mică a unui trapez isoscel este 23. Înălțimea trapezului este 39. Tangenta unui unghi ascuțit este 13/8. Găsiți o bază mai mare.

Construim înălțimile și calculăm cu ce este egal piciorul:

Astfel, baza mai mare va fi egală cu:

27444. Bazele unui trapez isoscel sunt 17 și 87. Înălțimea trapezului este 14. Aflați tangentei unghiului ascuțit.

Construim înălțimi și notăm valorile cunoscute pe schiță. Baza inferioară este împărțită în segmente 35, 17, 35:

Prin definiția tangentei:

77152. Bazele unui trapez isoscel sunt 6 și 12. Sinusul unui unghi ascuțit al unui trapez este 0,8. Găsiți partea.

Să construim o schiță, să construim înălțimi și să marchem valorile cunoscute, baza mai mare este împărțită în segmentele 3, 6 și 3:

Să exprimăm ipotenuza desemnată cu x prin cosinus:

Din identitatea trigonometrică principală găsim cosα

Astfel:

27818. Care este unghiul mai mare al unui trapez isoscel dacă se știe că diferența dintre unghiurile opuse este 50 0? Dați răspunsul în grade.

Din cursul de geometrie știm că dacă avem două drepte paralele și o transversală, suma unghiurilor interne unilaterale este egală cu 180 0. În cazul nostru este

Condiția spune că diferența dintre unghiurile opuse este de 50 0, adică

Problemele trapezoidale nu par dificile într-o serie de forme care au fost studiate anterior. Un trapez dreptunghiular este considerat un caz special. Și când căutați zona sa, uneori este mai convenabil să o împărțiți în două deja familiare: un dreptunghi și un triunghi. Trebuie doar să te gândești puțin și cu siguranță vei găsi o soluție.

Definiția unui trapez dreptunghiular și proprietățile acestuia

Un trapez arbitrar are baze paralele, iar laturile pot avea unghiuri arbitrare față de ele. Dacă luăm în considerare un trapez dreptunghiular, atunci una dintre laturile sale este întotdeauna perpendiculară pe baze. Adică, două unghiuri din el vor fi egale cu 90 de grade. Mai mult, ele aparțin întotdeauna vârfurilor adiacente sau, cu alte cuvinte, aceleiași laturi.

Alte unghiuri dintr-un trapez dreptunghiular sunt întotdeauna acute și obtuze. În plus, suma lor va fi întotdeauna egală cu 180 de grade.

Fiecare diagonală formează un triunghi dreptunghic cu latura sa mai mică. Și înălțimea, care este desenată dintr-un vârf cu un unghi obtuz, împarte figura în două. Unul dintre ele este un dreptunghi, iar celălalt este triunghi dreptunghic. Apropo, această latură este întotdeauna egală cu înălțimea trapezului.

Ce notații sunt folosite în formulele prezentate?

Toate cantitățile utilizate în expresii diferite, care descriu un trapez, este convenabil să specificați imediat și să prezentați în tabel:

Formule care descriu elementele unui trapez dreptunghiular

Cel mai simplu dintre ele se referă la înălțimea și latura mai mică:

Încă câteva formule pentru această latură a unui trapez dreptunghiular:

с = d *sinα;

c = (a - b) * tan α;

c = √ (d 2 - (a - b) 2).

Primul decurge dintr-un triunghi dreptunghic. Și spune că catetul la ipotenuză dă sinusul unghiului opus.

În același triunghi, al doilea catet este egal cu diferența celor două baze. Prin urmare, afirmația care echivalează tangenta unui unghi cu raportul catetelor este adevărată.

Din același triunghi puteți deriva o formulă bazată pe cunoașterea teoremei lui Pitagora. Aceasta este a treia expresie înregistrată.

Puteți scrie formule pentru cealaltă parte. Există și trei dintre ele:

d = (a - b) /cosα;

d = c / sin α;

d = √ (c 2 + (a - b) 2).

Primele două sunt obținute din nou din raportul laturilor din același triunghi dreptunghic, iar al doilea este derivat din teorema lui Pitagora.

Ce formulă poți folosi pentru a calcula suprafața?

Cel dat pentru trapez liber. Trebuie doar să țineți cont de faptul că înălțimea este latura perpendiculară pe baze.

S = (a + b) * h / 2.

Aceste cantități nu sunt întotdeauna date explicit. Prin urmare, pentru a calcula aria unui trapez dreptunghiular, va trebui să efectuați câteva calcule matematice.

Ce se întâmplă dacă trebuie să calculezi diagonalele?

În acest caz, trebuie să vedeți că formează două triunghiuri dreptunghiulare. Aceasta înseamnă că poți folosi întotdeauna teorema lui Pitagora. Atunci prima diagonală va fi exprimată după cum urmează:

d1 = √ (c 2 + b 2)

sau într-un alt mod, înlocuind „c” cu „h”:

d1 = √ (h 2 + b 2).

Formulele pentru a doua diagonală sunt obținute într-un mod similar:

d2 = √ (c 2 + b 2) sau d 2 = √ (h 2 + a 2).

Sarcina nr. 1

Stare. Aria unui trapez dreptunghiular este cunoscută și egală cu 120 dm 2. Înălțimea sa are o lungime de 8 cm. Este necesar să se calculeze toate laturile trapezului. O condiție suplimentară este ca o bază să fie cu 6 dm mai mică decât cealaltă.

Soluţie. Deoarece este dat un trapez dreptunghiular, în care se cunoaște înălțimea, putem spune imediat că una dintre laturi este egală cu 8 dm, adică cea mai mică lateral.

Acum îl puteți număra pe celălalt: d = √ (c 2 + (a - b) 2). Mai mult, aici sunt date simultan atât latura c cât și diferența bazelor. Acesta din urmă este egal cu 6 dm, acest lucru se știe din condiție. Atunci d va fi egal cu rădăcina pătrată a lui (64 + 36), adică a lui 100. Așa se găsește o altă latură, egală cu 10 dm.

Suma bazelor poate fi găsită din formula pentru suprafață. Va fi egal cu de două ori suprafața împărțită la înălțime. Dacă numărați, rezultă 240 / 8. Aceasta înseamnă că suma bazelor este de 30 dm. Pe de altă parte, diferența lor este de 6 dm. Combinând aceste ecuații, puteți număra ambele baze:

a + b = 30 și a - b = 6.

Puteți exprima a ca (b + 6), înlocuiți-l în prima egalitate. Apoi se dovedește că 2b va fi egal cu 24. Prin urmare, pur și simplu b se va dovedi a fi 12 dm.

Apoi ultima latură a este de 18 dm.

Răspuns. Laturile unui trapez dreptunghiular: a = 18 dm, b = 12 dm, c = 8 dm, d = 10 dm.

Sarcina nr. 2

Stare. Dat un trapez dreptunghiular. Latura sa majoră este egală cu suma bazelor. Înălțimea sa este de 12 cm lungime Este construit un dreptunghi, ale cărui laturi sunt egale cu bazele trapezului. Este necesar să se calculeze aria acestui dreptunghi.

Soluţie. Trebuie să începi cu ceea ce cauți. Aria necesară este determinată ca produsul dintre a și b. Ambele cantități sunt necunoscute.

Va fi necesar să se utilizeze egalități suplimentare. Una dintre ele se bazează pe afirmația din condiția: d = a + b. Este necesar să folosiți a treia formulă pentru această parte, care este dată mai sus. Rezultă: d 2 = c 2 + (a - b) 2 sau (a + b) 2 = c 2 + (a - b) 2.

Este necesar să se facă transformări substituind în loc de c valoarea acesteia din condiția - 12. După deschiderea parantezelor și aducerea unor termeni similari, rezultă că 144 = 4 ab.

La începutul soluției s-a spus că a*b dă aria necesară. Prin urmare, în ultima expresie puteți înlocui acest produs cu S. Un calcul simplu va da suprafața. S = 36 cm 2.

Răspuns. Suprafața necesară este de 36 cm 2.

Sarcina nr. 3

Stare. Aria unui trapez dreptunghiular este de 150√3 cm². Unghi ascuțit este egal cu 60 de grade. Unghiul dintre baza mică și diagonala mai mică are același sens. Trebuie să calculăm diagonala mai mică.

Soluţie. Din proprietatea unghiurilor unui trapez rezultă că acesta unghi obtuz este egal cu 120º. Apoi diagonala o împarte în părți egale, deoarece o parte din ea are deja 60 de grade. Apoi unghiul dintre această diagonală și a doua bază este de asemenea de 60 de grade. Adică un triunghi format dintr-o bază mare, o latură înclinată și o diagonală mai mică este echilateral. Astfel, diagonala dorită va fi egală cu a, precum și latura laterală d = a.

Acum trebuie să luăm în considerare un triunghi dreptunghic. Al treilea unghi din el este de 30 de grade. Aceasta înseamnă că catetul opus acestuia este egal cu jumătate din ipotenuză. Adică, baza mai mică a trapezului este egală cu jumătate din diagonala dorită: b = a/2. Din ea trebuie să găsiți înălțimea egală cu latura perpendiculară pe baze. Partea cu piciorul aici. Din teorema lui Pitagora:

c = (a/2) * √3.

Acum, tot ce rămâne este să înlocuiți toate cantitățile în formula zonei:

150√3 = (a + a/2) * (a/2 * √3) / 2.

Rezolvarea acestei ecuații dă rădăcina 20

Răspuns. Diagonala mai mică are o lungime de 20 cm.

Un trapez este un patru plat pătrat, ale căror două laturi opuse sunt paralele. Se numesc baze trapeze, iar celelalte două laturi sunt laturile laterale trapeze.

Instrucţiuni

Problema găsirii unui unghi arbitrar în trapeze necesită o cantitate suficientă de date suplimentare. Luați în considerare un exemplu în care sunt cunoscute două unghiuri de bază trapeze. Să fie cunoscute unghiurile &ang-BAD și &ang-CDA, să găsim unghiurile &ang-ABC și &ang-BCD. Un trapez are proprietatea că suma unghiurilor de pe fiecare parte este 180°. Apoi &ang-ABC = 180°--&ang-BAD și &ang-BCD = 180°--&ang-CDA.

trapezoid" class="lightbx" data-lightbox="article-image">

O altă problemă poate indica egalitatea laturilor trapezeși câteva unghiuri suplimentare. De exemplu, ca în figură, se poate ști că laturile AB, BC și CD sunt egale, iar diagonala formează un unghi &ang-CAD = α- cu baza inferioară pătrat ABC, este isoscel, deoarece AB = BC. Apoi &ang-BAC = &ang-BCA. Să-l notăm x pentru concizie și &ang-ABC - y. Suma unghiurilor oricăror trei pătrat a este egal cu 180°-, rezultă că 2x + y = 180°-, apoi y = 180°- - 2x. În același timp, din proprietăți trapeze: y + x + α- = 180°- și deci 180°- - 2x + x + α- = 180°-. Astfel x = α-. Am găsit două colțuri trapeze: &ang-BAC = 2x = 2α- și &ang-ABC = y = 180°- - 2α- Deoarece AB = CD prin condiție, trapezul este isoscel sau isoscel. Mijloace,

Un trapez este un patru plat pătrat, ale căror două laturi opuse sunt paralele. Se numesc baze trapeze, iar celelalte două laturi sunt laturile laterale trapeze .

Instrucţiuni

1. Problema găsirii unui unghi arbitrar în trapeze necesită o cantitate destul de mare de date suplimentare. Să ne uităm la un exemplu în care două unghiuri de la bază sunt celebre trapeze. Să știm unghiurile ∠BAD și ∠CDA, să găsim unghiurile ∠ABC și ∠BCD. Un trapez are proprietatea că suma unghiurilor de pe fiecare parte este 180°. Atunci ∠ABC = 180°-∠BAD și ∠BCD = 180°-∠CDA.

2. O altă problemă poate indica egalitatea laturilor trapezeși orice unghiuri suplimentare. Să zicem, ca în figură, se poate ști că laturile AB, BC și CD sunt egale, iar diagonala formează un unghi ∠CAD = α. Să ne uităm la cele trei pătrat ABC, este isoscel deoarece AB = BC. Atunci ∠BAC = ∠BCA. Să-l notăm cu x pentru concizie și ∠ABC cu y. Suma unghiurilor oricăror trei pătrat a este egal cu 180°, rezultă că 2x + y = 180°, apoi y = 180° – 2x. În același timp, din proprietăți trapeze: y + x + α = 180° și deci 180° – 2x + x + α = 180°. Astfel x = α. Am găsit două colțuri trapeze: ∠BAC = 2x = 2α și ∠ABC = y = 180° – 2α Deoarece AB = CD prin condiție, atunci trapezul este isoscel sau isoscel. Aceasta înseamnă că diagonalele sunt egale și unghiurile de la baze sunt egale. Astfel, ∠CDA = 2α și ∠BCD = 180° – 2α.

Diagonala mult pătrat– un segment care conectează două vârfuri neadiacente ale unei figuri (adică vârfuri neadiacente sau cele care nu aparțin aceleiași laturi) pătrat). Într-un paralelogram, cunoscând lungimea diagonalelor și lungimea laturilor, puteți calcula unghiurile dintre diagonalele .

Instrucţiuni

1. Pentru a facilita perceperea informațiilor, desenați un paralelogram arbitrar ABCD pe o foaie de hârtie (un paralelogram este un patrulater laturi opuse care sunt egale și paralele în perechi). Conectați vârfurile opuse cu segmentele. AC și BD rezultate sunt diagonale. Marcați punctul de intersecție al diagonalelor cu litera O. Trebuie să găsiți unghiurile BOC (AOD) și COD (AOB).

2. Un paralelogram are o serie de proprietăți matematice: - diagonalele se împart la jumătate la punctul de intersecție; – diagonala unui paralelogram îl împarte în două triunghiuri egale pătrat;- suma tuturor unghiurilor dintr-un paralelogram este egală cu 360 de grade - suma unghiurilor adiacente unei laturi a unui paralelogram este egală cu 180 de grade - suma pătratelor diagonalelor este egală cu suma duală; a pătratelor laturilor sale adiacente.

3. Pentru a găsi unghiurile dintre diagonalele, folosiți teorema cosinusului din teoria geometriei elementare (euclidiană). Conform teoremei cosinusului, pătratul laturii trei pătrat(A) se poate obține prin adunarea pătratelor celorlalte 2 laturi ale sale (B și C), iar din suma rezultată scade produsul dublu al acestor laturi (B și C) cu cosinusul unghiului dintre ele.

4. În raport cu triunghiul BOS al paralelogramului ABCD, teorema cosinusului va arăta astfel: Pătrat BC = pătrat BO + pătrat OC – 2*BO*OS*cos unghi BOC De aici cos unghi BOC = (pătrat BC – pătrat BO – pătrat OC) / (2*BO *OS)

5. După ce ați descoperit valoarea unghiului BOS (AOD), este ușor să calculați valoarea unui alt unghi cuprins între diagonalele– COD (AOB). Pentru a face acest lucru, scădeți valoarea unghiului BOC (AOD) de la 180 de grade - deoarece sumă colțurile adiacente este egal cu 180 de grade, iar unghiurile BOC și COD și unghiurile AOD și AOB sunt adiacente.

Video pe tema

Pentru a rezolva această problemă folosind metode de algebră vectorială, trebuie să cunoașteți următoarele reprezentări: suma vectorială geometrică și produsul scalar al vectorilor și ar trebui să vă amintiți, de asemenea, calitatea sumei unghiurilor interne ale unui patrulater.

vei avea nevoie

• - hartie;
• - stilou;
• - riglă.

Instrucţiuni

1. Un vector este un segment direcționat, adică o mărime care este considerată complet dată dacă lungimea și direcția sa (unghiul) la axa dată. Locația vectorului mai mare nu este limitată de nimic. Doi vectori care au lungimi identice și aceeași direcție sunt considerați egali. În consecință, atunci când se folosesc coordonate, vectorii sunt reprezentați prin vectori de rază ai punctelor capătului său (prefața este situată la originea coordonatelor).

2. Prin definiție: vectorul rezultat al unei sume geometrice de vectori este un vector care începe de la începutul primului și are un sfârșit la sfârșitul celui de-al doilea, cu condiția ca sfârșitul primului să fie combinat cu începutul celui de-al doilea. Acest lucru poate fi continuat mai departe, construind un lanț de vectori localizați în mod similar. Desenați patrulaterul ABCD dat cu vectorii a, b, c și d conform fig. 1. Aparent, cu acest aranjament, vectorul rezultat este d=a+ b+c.

3. În acest caz, este mai convenabil pentru toată lumea să determine produsul scalar pe baza vectorilor a și d. Produsul punctual, notat cu (a, d)= |a||d|cosф1. Aici φ1 este unghiul dintre vectorii a și d. Produsul scalar al vectorilor dat de coordonate este determinat de următoarea expresie: (a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, | d|^2 = dx^2+ dy^2, apoi cos Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).

4. Conceptele de bază ale algebrei vectoriale în relație cu problema în cauză conduc la faptul că pentru o formulare unică a acestei probleme este suficient să se precizeze 3 vectori localizați, eventual, pe AB, BC și CD, adică a, b, c. În sfârșit puteți seta imediat coordonatele punctelor A, B, C, D, dar această metodă este redundantă (4 parametri în loc de 3).

5. Exemplu. Patrulaterul ABCD este definit de vectorii laturilor sale AB, BC, CD a(1,0), b(1,1), c(-1,2). Găsiți unghiurile dintre laturile sale. Soluţie. În legătură cu cele de mai sus, al 4-lea vector (pentru AD) d(dx,dy)=a+ b+c=(ax+bx +cx, ay+by+cy)=(1,3). Urmând metoda de calcul a unghiului dintre vectori аcosф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2))=1/sqrt(10), Ф1=arcos (1/ sqrt(10)).-cosф2=(axbx+ayby)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(bx^2+ by^2))=1/sqrt2, ф2=arcos(- 1/sqrt2 ), f2=3п/4.-cosф3=(bxcx+bycy)/(sqrt(bx^2+ by^2)sqrt(cx^2+ cy^2))=1/(sqrt2sqrt5), f3 =arcos( -1/sqrt(10))=p-f1. În conformitate cu Nota 2 – f4=2p- f1 – f2- f3=p/4.

Video pe tema

Fiţi atenți!
Nota 1: În definiție produs punctual se aplică unghiul dintre vectori. Aici, să zicem, φ2 este unghiul dintre AB și BC și dintre a și b unghi dat p-f2. cos(n- ph2)=- cosph2. Similar pentru f3 Nota 2. Se știe că suma unghiurilor unui patrulater este 2n. În consecință, φ4 = 2p- φ1 – φ2- φ3.