Cum să găsiți raza unei sfere dacă aria este cunoscută. Zona unei sfere

Mulți dintre noi ne place să joace fotbal, sau cel puțin aproape toți am auzit despre acest celebru joc sportiv. Toată lumea știe că fotbalul se joacă cu o minge.

Dacă întrebi un trecător ce formă geometrică are mingea, atunci unii oameni vor spune că este sferică, iar unii vor spune că este sferică. Deci care are dreptate? Și care este diferența dintre o sferă și o minge?

Important!

minge este un corp spațial. Interiorul mingii este plin cu ceva. Prin urmare, volumul unei sfere poate fi găsit.

Exemple de minge în viață: un pepene verde și o minge de oțel.

O minge și o sferă, ca un cerc și un cerc, au centru, rază și diametru.

Important!

Sferă- suprafata mingii. Puteți găsi suprafața unei sfere.

Exemple de sfere în viață: o minge de volei și o minge de tenis de masă.

Cum să găsiți aria unei sfere

Ține minte!

Formula pentru aria unei sfere: S=4 π R 2

Pentru a găsi aria unei sfere, trebuie să vă amintiți ce este puterea unui număr. știind determinarea gradului
, putem scrie formula pentru aria unei sfere după cum urmează. S=4

π R2 = 4π R · R; Să consolidăm cunoştinţele dobândite şi

Să rezolvăm problema pe zona unei sfere.

Zubareva clasa a VI-a. Numărul 692(a)

• Stare problema: Calculați aria unei sfere dacă raza acesteia este
  = = = 88

  88

  = 1
• 1 = 3 · = = / (4 · 3) = ) = = ) =
• R3 = 1

Important!

R = 1 m

Dragi parinti!

Când se calculează în sfârșit raza, nu este nevoie să forțezi copilul să numere rădăcina cubă. Elevii de clasa a VI-a nu au luat încă și nu cunosc definiția rădăcinilor în matematică.

În clasa a VI-a, atunci când rezolvați o astfel de problemă, folosiți metoda forței brute.

Întrebați elevul ce număr, dacă este înmulțit de 3 ori cu el însuși, va da unul.

O minge și o sferă sunt, în primul rând, figuri geometrice, iar dacă o minge este un corp geometric, atunci o sferă este suprafața unei mingi. Aceste cifre au fost de interes cu multe mii de ani în urmă î.Hr. Ulterior, când s-a descoperit că Pământul este o sferă și cerul este sferă cerească

, s-a dezvoltat o nouă direcție interesantă în geometrie - geometria pe o sferă sau geometria sferică. Pentru a vorbi despre dimensiunea și volumul unei mingi, trebuie mai întâi să o definiți.

minge O bilă cu raza R cu un centru în punctul O în geometrie este un corp care este creat de toate punctele din spațiu având. Aceste puncte sunt situate la o distanță care nu depășește raza mingii, adică umplu întreg spațiul mai puțin decât raza mingii în toate direcțiile de la centrul acesteia. Dacă luăm în considerare doar acele puncte care sunt echidistante de centrul mingii, vom lua în considerare suprafața acesteia sau învelișul mingii.

Cum pot lua mingea? Putem tăia un cerc din hârtie și începem să-l rotim în jurul propriului diametru. Adică, diametrul cercului va fi axa de rotație. Figura formată va fi o minge. Prin urmare, mingea este numită și corp de revoluție. Pentru că se poate forma prin rotație figură plată- cerc.

Să luăm un avion și să ne tăiem mingea cu el. La fel cum am tăiat o portocală cu un cuțit. Piesa pe care o tăiem din minge se numește segment sferic.

ÎN Grecia antică au putut să lucreze nu numai cu o minge și o sferă, ci și cu forme geometrice, de exemplu, le folosește în construcții și, de asemenea, știa să calculeze suprafața unei mingi și volumul unei mingi.

O sferă este un alt nume pentru suprafața unei mingi. O sferă nu este un corp - este suprafața unui corp de revoluție. Cu toate acestea, deoarece atât Pământul, cât și multe corpuri au o formă sferică, de exemplu o picătură de apă, studiul relațiilor geometrice din interiorul sferei a devenit larg răspândit.

De exemplu, dacă conectăm două puncte ale unei sfere între ele printr-o linie dreaptă, atunci această linie dreaptă va fi numită coardă, iar dacă această coardă trece prin centrul sferei, care coincide cu centrul mingii, atunci coarda se va numi diametrul sferei.

Dacă trasăm o linie dreaptă care atinge sfera doar într-un punct, atunci această linie se va numi tangentă. În plus, această tangentă la sferă în acest punct va fi perpendiculară pe raza sferei trase la punctul de contact.

Dacă extindem coarda la o linie dreaptă într-o direcție sau alta dinspre sferă, atunci această coardă va fi numită secantă. Sau o putem spune altfel - secanta la sferă conține acordul său.

Volumul mingii

Formula de calcul a volumului unei mingi este:

unde R este raza bilei.

Dacă trebuie să găsiți volumul unui segment sferic, utilizați formula:

V seg =πh 2 (R-h/3), h este înălțimea segmentului sferic.

Suprafața unei mingi sau sfere

Pentru a calcula aria unei sfere sau aria suprafeței unei mingi (sunt același lucru):

unde R este raza sferei.

Arhimede era foarte îndrăgostit de minge și sferă, chiar a cerut să lase pe mormânt un desen în care era înscrisă o minge într-un cilindru. Arhimede credea că volumul unei sfere și suprafața ei sunt egale cu două treimi din volumul și suprafața cilindrului în care este înscrisă sfera.”

Aria unei suprafețe curbe care nu poate fi transformată într-un plan se calculează după cum urmează. Ele sparg suprafața în bucăți care diferă destul de puțin de cele plate. Apoi găsesc zonele acestor piese ca și cum ar fi plate (de exemplu, înlocuindu-le cu proiecții pe planuri de la care suprafața se abate puțin). Suma ariilor lor dă aproximativ suprafața. Acesta este ceea ce se face în practică: suprafața cupolei se obține ca suma suprafețelor bucăților de tablă care o acoperă (Fig. 17.5). Mai mult

Acest lucru se vede cel mai bine pe exemplul suprafeței pământului. Este curbat - aproximativ sferic. Dar zonele care sunt mici în comparație cu dimensiunea întregului Pământ sunt măsurate ca plate.

Atunci când calculează planul unei sfere, ei descriu o suprafață poliedrică aproape de ea în jurul acesteia. Fețele sale vor reprezenta aproximativ piesele sferei, iar aria sa va oferi aproximativ aria sferei în sine. Calculul suplimentar al acestuia se bazează pe următoarea lemă.

Lema. Volumul unui poliedru P circumscris în jurul unei sfere cu raza R și aria sa suprafeței sunt legate prin relația

Notă: O relație similară raportează aria poligonului Q descris în jurul unui cerc cu rază și perimetrul acestuia (Fig. 17.6):

Să descriem un poliedru P în jurul sferei. Împărțim P în piramide cu un vârf comun la centrul O și cu fețe la baze.

Fiecare astfel de față se află în planul tangent al sferei și, prin urmare, este perpendiculară pe raza sferei în punctul de contact. Aceasta înseamnă că această rază este înălțimea piramidei. Prin urmare, volumul acesteia va fi:

unde este aria feței Suma acestor zone dă aria suprafeței poliedrului P, iar suma volumelor piramidelor dă volumul acestuia

Teorema (despre aria unei sfere). Aria unei sfere cu raza R este exprimată prin formula:

Să ni se dea o sferă cu raza R. Să luăm pe ea P puncte care nu se află în aceeași emisferă și să desenăm prin ele plane tangente la sferă. Aceste planuri vor limita poliedrul descris în jurul sferei. Fie - volumul poliedrului - aria suprafeței acestuia, V - volumul bilei delimitată de sfera în cauză și S - aria sa.

Definiţie.

Sferă (suprafata mingii) este colecția tuturor punctelor din spațiul tridimensional care se află la aceeași distanță de un punct, numită centrul sferei(DESPRE).

Sfera poate fi descrisă ca figură tridimensională, care se formează prin rotirea unui cerc în jurul diametrului său cu 180° sau a unui semicerc în jurul diametrului său cu 360°.

Definiţie.

minge este colecția tuturor punctelor din spațiul tridimensional, distanța de la care nu depășește o anumită distanță până la un punct numit centrul mingii(O) (mulțimea tuturor punctelor spațiului tridimensional limitate de o sferă).

O minge poate fi descrisă ca o figură tridimensională care se formează prin rotirea unui cerc în jurul diametrului său cu 180° sau a unui semicerc în jurul diametrului său cu 360°.

Definiţie. Raza sferei (minge)(R) este distanța de la centrul sferei (minge) Oîn orice punct al sferei (suprafața mingii).

Definiţie. Diametrul sferei (mingii).(D) este un segment care leagă două puncte ale unei sfere (suprafața unei mingi) și care trece prin centrul acesteia.

Formula. Volumul sferei:

V=	4	π R 3 =	1	π D 3
	3		6

Formula. Suprafața unei sfere prin rază sau diametru:

S = 4π R 2 = π D 2

Ecuația sferei

1. Ecuația unei sfere cu raza R și centru la originea sistemului de coordonate carteziene:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Ecuația unei sfere cu raza R și centru într-un punct cu coordonatele (x 0, y 0, z 0) în sistemul de coordonate carteziene:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Definiţie. Puncte diametral opuse sunt oricare două puncte de pe suprafața unei bile (sfere) care sunt conectate printr-un diametru.

Proprietățile de bază ale unei sfere și ale unei mingi

1. Toate punctele sferei sunt la fel de îndepărtate de centru.

2. Orice secțiune a unei sfere de către un plan este un cerc.

3. Orice secțiune a unei mingi de către un plan este un cerc.

4. Sfera are cel mai mare volum dintre toate figurile spațiale cu aceeași suprafață.

5. Prin oricare două puncte diametral opuse puteți desena multe cercuri mari pentru o sferă sau cercuri pentru o minge.

6. Prin oricare două puncte, cu excepția punctelor diametral opuse, puteți desena un singur cerc mare pentru o sferă sau un cerc mare pentru o minge.

7. Orice două cercuri mari ale unei bile se intersectează de-a lungul unei linii drepte care trece prin centrul bilei, iar cercurile se intersectează în două puncte diametral opuse.

8. Dacă distanța dintre centrele oricăror două bile este mai mică decât suma razelor lor și mai mare decât modulul diferenței razelor lor, atunci astfel de bile se intersectează, iar în planul de intersecție se formează un cerc.

Secanta, coardă, planul secant al unei sfere și proprietățile acestora

Definiţie. Sferă secante este o linie dreaptă care intersectează sfera în două puncte. Punctele de intersecție sunt numite puncte de perforare suprafețe sau puncte de intrare și ieșire de pe suprafață.

Definiţie. Coarda unei sfere (minge)- acesta este un segment care leagă două puncte de pe o sferă (suprafața unei mingi).

Definiţie. Planul de tăiere este planul care intersectează sfera.

Definiţie. Plan diametral- acesta este un plan secant care trece prin centrul unei sfere sau bile, secțiunea se formează în consecință cerc mareŞi cerc mare. Cercul mare și cercul cel mare au un centru care coincide cu centrul sferei (minge).

Orice coardă care trece prin centrul unei sfere (bile) este un diametru.

O coardă este un segment al unei linii secante.

Distanța d de la centrul sferei la secanta este întotdeauna mai mică decât raza sferei:

d< R

Distanța m dintre planul de tăiere și centrul sferei este întotdeauna mai mică decât raza R:

m< R

Locația secțiunii planului de tăiere pe sferă va fi întotdeauna cerc mic, iar pe minge secțiunea va fi cerc mic. Cercul mic și cercul mic au propriile lor centre care nu coincid cu centrul sferei (minge). Raza r a unui astfel de cerc poate fi găsită folosind formula:

r = √R 2 - m 2,

Unde R este raza sferei (bilei), m este distanța de la centrul bilei până la planul de tăiere.

Definiţie. Emisferă (emisferă)- aceasta este o jumătate de sferă (minge), care se formează atunci când este tăiată de un plan diametral.

Tangenta, planul tangent la o sferă și proprietățile acestora

Definiţie. Tangenta la o sfera este o linie dreaptă care atinge sfera într-un singur punct.

Definiţie. Plan tangent la o sferă este un plan care atinge sfera doar într-un punct.

Linia tangentă (planul) este întotdeauna perpendiculară pe raza sferei trasate la punctul de contact

Distanța de la centrul sferei la linia tangentă (planul) este egală cu raza sferei.

Definiţie. Segment de minge- aceasta este partea de minge care este tăiată de minge de un plan de tăiere. Baza segmentului numit cercul care s-a format la locul secțiunii. Înălțimea segmentului h este lungimea perpendicularei trase de la mijlocul bazei segmentului până la suprafața segmentului.

Formula. Suprafața exterioară a unui segment de sferă cu înălțimea h prin raza sferei R:

S = 2πRh