Cum să desenezi un pentagon obișnuit. Pentagon obișnuit: informațiile minime necesare
Este imposibil să faci fără a studia tehnica acestui proces. Există mai multe opțiuni pentru a face treaba. Cum să desenați o stea folosind o riglă vă va ajuta să înțelegeți cele mai faimoase metode ale acestui proces.
Tipuri de stele
Există multe opțiuni aspect o figură ca o stea.
Din cele mai vechi timpuri, varietatea sa cu cinci colțuri a fost folosită pentru a desena pentagrame. Acest lucru se explică prin proprietatea sa, care vă permite să faceți un desen fără a ridica stiloul de pe hârtie.
Există, de asemenea, comete cu șase vârfuri, cu coadă.
Cinci vârfuri au în mod tradițional stea de mare. Imaginile versiunii de Crăciun se găsesc adesea în aceeași formă.
În orice caz, pentru a desena o stea cu cinci colțuri pas cu pas, trebuie să recurgeți la ajutorul unor instrumente speciale, deoarece o imagine desenată manual este puțin probabil să arate simetrică și frumoasă.
Executarea desenului
Pentru a înțelege cum să desenați o stea uniformă, ar trebui să înțelegeți esența acestei figuri.
Baza desenului său este o linie întreruptă, ale cărei capete converg la punctul de plecare. Formează un pentagon obișnuit - un pentagon.
Proprietățile distinctive ale unei astfel de figuri sunt posibilitatea de a o înscrie într-un cerc, precum și cercul în acest poligon.
Toate laturile pentagonului sunt egale între ele. Înțelegând cum să executați corect un desen, puteți înțelege esența procesului de construire a tuturor figurilor, precum și diferite diagrame ale pieselor și componentelor.
Pentru a atinge un astfel de obiectiv precum desenarea unei stele folosind o riglă, trebuie să cunoașteți cele mai simple formule matematice care sunt fundamentale în geometrie. De asemenea, veți avea nevoie de capacitatea de a număra pe un calculator. Dar cel mai important lucru este gândirea logică.
Munca nu este dificilă, dar va necesita precizie și scrupulozitate. Efortul depus va fi răsplătit cu o imagine bună simetrică și, prin urmare, frumoasă a unei stele cu cinci colțuri.
Tehnica clasică
Cel mai faimos mod de a desena o stea folosind o busolă, o riglă și un raportor este destul de simplă.
Pentru această tehnică veți avea nevoie de mai multe instrumente: o busolă sau raportor, o riglă, un creion simplu, o gumă de șters și o foaie de hârtie albă.
Pentru a înțelege cum să desenezi frumos o stea, ar trebui să acționezi secvenţial, pas cu pas.
Puteți utiliza calcule speciale în munca dvs.
Calcul cifrei
În această etapă de desenare a stelei corecte, apar contururile figurii finite.
Dacă totul este făcut corect, imaginea rezultată va fi netedă. Acest lucru poate fi verificat vizual rotind o bucată de hârtie și evaluând forma. Va rămâne același de fiecare dată când vă întoarceți.
Contururile principale sunt desenate mai clar folosind o riglă și un creion simplu. Toate liniile auxiliare sunt eliminate.
Pentru a înțelege cum să desenați o stea pas cu pas, ar trebui să efectuați toți pașii cu atenție. În cazul unei erori, puteți corecta desenul cu o radieră sau puteți efectua din nou toate manipulările.
Înregistrarea lucrării
Forma finită poate fi decorată într-o varietate de moduri. Principalul lucru este să nu vă fie frică să experimentați. Fantezia va sugera o imagine originală și frumoasă.
Puteți decora steaua dreaptă desenată cu un simplu creion sau puteți folosi o mare varietate de culori și nuanțe.
Pentru a vă da seama cum să desenați steaua potrivită, trebuie să rămâneți la liniile perfecte pe tot parcursul. Prin urmare, cea mai populară opțiune de design este împărțirea fiecărei raze a figurii în două părți egale, cu o linie care emană de sus spre centru.
Nu trebuie să separați laturile stelei cu linii. Puteți picta pur și simplu peste fiecare rază a figurii cu o nuanță mai închisă pe o parte.
Această opțiune va fi, de asemenea, răspunsul la întrebarea cum să desenați steaua potrivită, deoarece toate liniile sale vor fi simetrice.
Dacă doriți, atunci când proiectați estetic o figură, puteți adăuga un ornament sau alte elemente diverse. Adăugând cercuri în vârfuri, puteți obține o stea a șerifului. Aplicând umbrirea netedă a părților umbră, puteți obține o stea de mare.
Această tehnică este cea mai comună, deoarece fără prea mult efort vă permite să înțelegeți cum să desenați o stea cu cinci colțuri pas cu pas. Fără a recurge la complex calcule matematice, este posibil să obțineți o imagine corectă, frumoasă.
Având în vedere toate modalitățile de a desena o stea folosind o riglă, o poți alege pe cea mai potrivită pentru tine. Cea mai populară este metoda geometrică pas cu pas. Este destul de simplu și eficient. Folosind fantezie și imaginație, poți, din rezultatul corect obținut, formă frumoasă creați o compoziție originală. Există o mare varietate de opțiuni de design. Dar poți oricând să vină cu propriul tău complot, cel mai neobișnuit și memorabil. Principalul lucru este să nu vă fie frică să experimentați!
Această cifră este un poligon cu un număr minim de unghiuri, care nu poate fi folosit pentru a acoperi zona. Doar un pentagon are același număr de diagonale ca și numărul de laturi. Folosind formule pentru un poligon regulat arbitrar, puteți determina toți parametrii necesari pe care îi are un pentagon. De exemplu, potriviți-l într-un cerc cu o rază dată sau construiți-l pe baza unei laturi date.
Cum să desenezi corect o grindă și de ce consumabile de desen vei avea nevoie? Luați o bucată de hârtie și marcați un punct într-un loc aleatoriu. Apoi aplicați o riglă și trageți o linie pornind de la punctul indicat și continuând până la infinit. Pentru a desena o linie dreaptă, apăsați tasta Shift și trageți o linie de lungimea dorită. Imediat după desenare, se va deschide fila „Format”. Eliminați selecția din linie și veți vedea că la începutul liniei apare un punct. Pentru a crea o inscripție, faceți clic pe butonul „Desenați inscripția” și creați un câmp în care va fi localizată inscripția.
Prima metodă de construire a unui pentagon este considerată mai „clasică”. Figura rezultată va fi un pentagon obișnuit. Dodecagonul nu face excepție, așa că construcția sa va fi imposibilă fără utilizarea unei busole. Problema construirii unui pentagon regulat se rezumă la problema împărțirii unui cerc în cinci părţi egale. Puteți desena o pentagramă folosind instrumente simple.
M-am luptat mult timp încercând să obțin acest lucru și să găsesc singur proporțiile și dependențele, dar am eșuat. S-a dovedit că există mai multe opțiuni diferite pentru construirea unui pentagon obișnuit, dezvoltat de matematicieni celebri. Un punct interesant este că această problemă poate fi rezolvată doar aritmetic aproximativ exact, deoarece va trebui să folosiți numere iraționale. Dar se poate rezolva geometric.
Împărțirea cercurilor. Punctele de intersecție ale acestor drepte cu cercul sunt vârfurile pătratului. Într-un cerc cu raza R (Pasul 1), desenați un diametru vertical. În punctul de joncțiune N al unei drepte și al unui cerc, linia este tangentă la cerc.
Primirea folosind o bandă de hârtie
Un hexagon obișnuit poate fi construit folosind o margine dreaptă și un pătrat de 30X60°. Vârfurile unui astfel de triunghi pot fi construite folosind un compas și un pătrat cu unghiuri de 30 și 60° sau doar un compas. Pentru a construi latura 2-3, setați bara transversală în poziția indicată de liniile întrerupte și trageți o linie dreaptă prin punctul 2, care va determina al treilea vârf al triunghiului. Marcam punctul 1 pe cerc și îl luăm ca unul dintre vârfurile pentagonului. Conectăm secvențial vârfurile găsite între ele. Un heptagon poate fi construit prin trasarea razelor de la polul F și prin diviziuni impare ale diametrului vertical.
Și la celălalt capăt al firului, instalați un creion și atașați-l. Dacă știi să desenezi o stea, dar nu știi să desenezi un pentagon, desenează o stea cu un creion, apoi conectează capetele adiacente ale stelei și apoi șterge steaua însăși. Apoi puneți o foaie de hârtie (este mai bine să o fixați pe masă cu patru nasturi sau ace). Fixați aceste 5 benzi pe o bucată de hârtie cu ace sau ace, astfel încât să rămână nemișcate. Apoi încercuiți pentagonul rezultat și îndepărtați aceste dungi de pe foaie.
De exemplu, trebuie să desenăm o stea cu cinci colțuri (pentagramă) pentru o imagine despre trecutul sovietic sau despre prezentul Chinei. Adevărat, pentru aceasta trebuie să poți crea un desen al unei stele în perspectivă. În același mod, puteți desena o figură cu un creion pe hârtie. Cum să desenezi corect o stea, astfel încât să pară netedă și frumoasă, nu se poate răspunde imediat.
Din centru, coborâți 2 raze pe cerc, astfel încât unghiul dintre ele să fie de 72 de grade (cu un raportor). Împărțirea unui cerc în cinci părți se face folosind o busolă obișnuită sau un raportor. Deoarece un pentagon obișnuit este una dintre figurile care conțin proporțiile secțiunii de aur, pictorii și matematicienii au fost de mult interesați de construcția lui. Aceste principii de construcție folosind busole și rigle au fost stabilite în „Elementele” lui Euclidean.
Dacă nu aveți o busolă la îndemână, puteți desena o stea simplă cu cinci raze și apoi conectați pur și simplu aceste raze. După cum puteți vedea în imaginea de mai jos, se obține un pentagon absolut regulat.
Matematica este o știință complexă și are multe secrete, dintre care unele sunt destul de amuzante. Dacă te interesează astfel de lucruri, te sfătuiesc să găsești cartea Fun Math.
Un cerc poate fi desenat nu numai folosind o busolă. Puteți, de exemplu, să folosiți un creion și ață. Măsurăm diametrul necesar pe filet. Prindem strâns un capăt pe o foaie de hârtie unde vom desena un cerc. Și la celălalt capăt al firului, instalați un creion și atașați-l. Acum funcționează ca la busolă: tragem firul și, apăsând ușor cu un creion, marchem cercul din jurul circumferinței.
În interiorul cercului desenăm țărani din centru: o linie verticală și o linie orizontală. Punctul de intersecție al liniei verticale și al cercului va fi vârful pentagonului (punctul 1). Acum împărțim jumătatea dreaptă a liniei orizontale în jumătate (punctul 2). Măsurăm distanța de la acest punct până la vârful pentagonului și acest segment este așezat la stânga punctului 2 (punctul 3). Folosind un fir și un creion, trageți un arc de la punctul 1 cu o rază până la punctul 3, intersectând primul cerc la stânga și la dreapta - punctele de intersecție vor fi vârfurile pentagonului. Să le numim punctele 4 și 5.
Acum din punctul 4 facem un arc care intersectează cercul din partea de jos, cu o rază egală cu lungimea de la punctul 1 la 4 - acesta va fi punctul 6. La fel de la punctul 5 - îl vom desemna ca fiind punctul 7.
Tot ce rămâne este să ne conectăm pentagonul cu vârfurile 1, 5, 7, 6, 4.
Știu cum să construiesc un pentagon simplu folosind o busolă: construiește un cerc, marchează cinci puncte, conectează-le. Puteți construi un pentagon cu laturi egale, pentru asta mai avem nevoie de un raportor. Am pus aceleași 5 puncte pe raportor. Pentru a face acest lucru, marcați unghiurile la 72 de grade. Apoi ne conectăm și cu segmente și obținem cifra de care avem nevoie.
Cercul verde poate fi desenat cu o rază arbitrară. Vom înscrie un pentagon regulat în acest cerc. Este imposibil să desenezi un cerc exact fără busolă, dar acest lucru nu este necesar. Cercul și toate construcțiile ulterioare pot fi realizate manual. Apoi, prin centrul cercului O, trebuie să desenați două linii drepte reciproc perpendiculare și să desemnați unul dintre punctele de intersecție ale liniei cu cercul ca A. Punctul A va fi vârful pentagonului. Împărțim raza OB în jumătate și plasăm punctul C. Din punctul C desenăm un al doilea cerc cu raza AC. Din punctul A desenăm un al treilea cerc cu raza AD. Punctele de intersecție ale celui de-al treilea cerc cu primul (E și F) vor fi, de asemenea, vârfurile pentagonului. Din punctele E și F cu raza AE facem crestături pe primul cerc și obținem vârfurile rămase ale pentagonului G și H.
Adepții artei negre: pentru a desena simplu, frumos și rapid un pentagon, ar trebui să desenați baza corectă și armonioasă pentru pentagramă (stea cu cinci colțuri) și să conectați capetele razelor acestei stele folosind linii drepte, uniforme. Dacă totul a fost făcut corect, linia de legătură din jurul bazei va fi pentagonul dorit.
(în imagine există o pentagramă completă, dar necompletată)
Pentru cei care nu sunt siguri de corectitudinea pentagramei: luați ca bază Omul Vitruvian al lui Da Vinci (vezi mai jos)
Dacă aveți nevoie de un pentagon, trageți aleatoriu 5 puncte și conturul lor exterior va fi un pentagon.
Dacă aveți nevoie de un pentagon obișnuit, atunci fără o busolă matematică această construcție nu poate fi finalizată, deoarece fără el este imposibil să desenați două segmente identice, dar nu paralele. Orice alt instrument care vă permite să desenați două segmente identice, dar nu paralele, este echivalent cu o busolă matematică.
Mai întâi trebuie să desenați un cerc, apoi ghiduri, apoi un al doilea cerc punctat, găsiți punctul de sus, apoi măsurați cele două colțuri superioare, desenați pe cele inferioare din ele. Rețineți că raza busolei este aceeași pe întreaga construcție.
Totul depinde de ce tip de pentagon aveți nevoie. Dacă există, atunci puneți cinci puncte și conectați-le între ele (desigur că nu punem punctele în linie dreaptă). Și dacă aveți nevoie de un pentagon de forma corectă, luați oricare cinci pe lungime (fâșii de hârtie, chibrituri, creioane etc.), așezați pentagonul și conturați-l.
Un pentagon poate fi desenat, de exemplu, dintr-o stea. Dacă știi să desenezi o stea, dar nu știi să desenezi un pentagon, desenează o stea cu un creion, apoi conectează capetele adiacente ale stelei și apoi șterge steaua însăși.
A doua cale. Tăiați o fâșie de hârtie cu o lungime egală cu partea dorită a pentagonului și o lățime îngustă, să zicem 0,5 - 1 cm. Conform șablonului, decupați încă patru benzi similare de-a lungul acestei benzi, astfel încât să fie 5 în total.
Apoi puneți o foaie de hârtie (este mai bine să o fixați pe masă cu patru nasturi sau ace). Apoi așezați aceste 5 dungi pe bucata de hârtie astfel încât să formeze un pentagon. Fixați aceste 5 benzi pe o bucată de hârtie cu ace sau ace, astfel încât să rămână nemișcate. Apoi încercuiește pentagonul rezultat și îndepărtează aceste dungi de pe foaie.
Dacă nu aveți o busolă și trebuie să construiți un pentagon, vă pot sfătui următoarele. Eu însumi l-am construit așa. Puteți desena o stea obișnuită cu cinci colțuri. Și după aceea, pentru a obține un pentagon, trebuie doar să conectați toate vârfurile stelei. Așa obțineți un pentagon. Aceasta este ceea ce primim
Am conectat vârfurile stelei cu linii negre drepte și am obținut un pentagon.
5.3. Pentagonul de Aur; construcția lui Euclid.
Un exemplu minunat al „raportului de aur” este un pentagon regulat - convex și în formă de stea (Fig. 5).
Pentru a construi o pentagramă, trebuie să construiți un pentagon obișnuit.
Fie O centrul cercului, A punctul de pe cerc și E punctul de mijloc al segmentului OA. Perpendiculara pe raza OA, restabilită în punctul O, intersectează cercul în punctul D. Cu ajutorul unui compas, trasează segmentul CE = ED pe diametru. Lungimea laturii unui pentagon regulat înscris într-un cerc este egală cu DC. Trasăm segmentele DC pe cerc și obținem cinci puncte pentru a desena un pentagon obișnuit. Conectăm colțurile pentagonului unul prin altul cu diagonale și obținem o pentagramă. Toate diagonalele pentagonului se împart reciproc în segmente conectate prin raportul de aur.
Fiecare capăt al stelei pentagonale reprezintă un triunghi de aur. Laturile sale formează un unghi de 36° la vârf, iar baza, depusă la lateral, o împarte proporțional cu raportul de aur.
Există și un cuboid auriu - acesta cuboid cu muchii având lungimile 1,618, 1 și 0,618.
Acum luați în considerare demonstrația oferită de Euclid în Elemente.
| |
din centrul cercului circumscris. Să începem cu
segmentul ABE, împărțit la medie și
Deci să fie AC=AE. Să notăm cu a unghiuri egale EBC și SEV. Deoarece AC=AE, unghiul ACE este de asemenea egal cu a. Teorema că suma unghiurilor unui triunghi este egală cu 180 de grade ne permite să găsim unghiul ALL: este egal cu 180-2a, iar unghiul EAC este 3a - 180. Dar atunci unghiul ABC este egal cu 180. -o. Însumând unghiurile triunghiului ABC obținem,
180=(3a -180) + (3a-180) + (180 - a)
Unde 5a=360 înseamnă a=72.
Deci, fiecare dintre unghiurile de bază ale triunghiului GREUTATE este de două ori unghiul vârfului, care este de 36 de grade. Prin urmare, pentru a construi un pentagon regulat, trebuie doar să desenați orice cerc cu un centru în punctul E, intersectând EC în punctul X și latura EB în punctul Y: segmentul XY servește ca una dintre laturile unui pentagon regulat înscris în cerc; Înconjurând întregul cerc, puteți găsi toate celelalte părți.
Să demonstrăm acum că AC = AE. Să presupunem că vârful C este legat printr-un segment de linie dreaptă la mijlocul N al segmentului BE. Rețineți că, deoarece CB = CE, atunci unghiul CNE este drept. Conform teoremei lui Pitagora:
CN 2 = a 2 – (a/2j) 2 = a 2 (1-4j 2)
Prin urmare avem (AC/a) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2
Deci, AC = ja = jAB = AE, care este ceea ce trebuia demonstrat
5.4 Spirala lui Arhimede.
Tăiind în mod constant pătrate din dreptunghiuri aurii la infinit, conectând de fiecare dată puncte opuse cu un sfert de cerc, obținem o curbă destul de elegantă. Primul care a atras atenția asupra lui a fost savantul grec antic Arhimede, al cărui nume îl poartă. El a studiat-o și a derivat ecuația acestei spirale.
În prezent, spirala lui Arhimede este utilizată pe scară largă în tehnologie.
6.Numerele Fibonacci.
Numele matematicianului italian Leonardo din Pisa, care este mai bine cunoscut sub porecla lui Fibonacci (Fibonacci - abreviat filius Bonacci, adică fiul lui Bonacci), este indirect legat de raportul de aur.
În 1202 a scris cartea „Liber abacci”, adică „Cartea lui Abacus”. „Liber abacci” este o lucrare voluminoasă care conține aproape toată informația aritmetică și algebrică din acea vreme și a jucat un rol semnificativ în dezvoltarea matematicii în Europa de Vestîn următoarele câteva secole. În special, din această carte europenii s-au familiarizat cu cifrele hinduse („arabe”).
Materialul raportat în carte este explicat printr-un număr mare de probleme care alcătuiesc o parte semnificativă a acestui tratat.
Să luăm în considerare o astfel de problemă:
„Câte perechi de iepuri se nasc dintr-o pereche într-un an?
Cineva a așezat o pereche de iepuri într-un anumit loc, îngrădiți pe toate părțile de un zid, pentru a afla câte perechi de iepuri se vor naște în cursul acestui an, dacă natura iepurilor este de așa natură încât într-o lună o pereche de iepuri iepurii vor reproduce altul, iar iepurii nasc din a doua lună după naștere”.
| Luni | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Perechi de iepuri | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 |
Să trecem acum de la iepuri la numere și să luăm în considerare următoarea secvență de numere:
u 1 , u 2 ... u n
în care fiecare termen este egal cu suma celor doi anteriori, i.e. pentru orice n>2
u n =u n -1 +u n -2 .
Această secvență asimptotic (apropiindu-se din ce în ce mai încet) tinde spre o relație constantă. Cu toate acestea, acest raport este irațional, adică este un număr cu o succesiune infinită, imprevizibilă de cifre zecimale în partea fracțională. Este imposibil să o exprim cu precizie.
Dacă orice termen al șirului Fibonacci este împărțit la predecesorul său (de exemplu, 13:8), rezultatul va fi o valoare care fluctuează în jurul valorii iraționale de 1,61803398875... și uneori o depășește, alteori nu o atinge.
Comportamentul asimptotic al secvenței, oscilații amortizate relațiile sale în jurul numărului irațional Ф pot deveni mai înțelese dacă arătăm relațiile primilor câțiva termeni ai șirului. Acest exemplu arată relațiile dintre al doilea termen și primul, al treilea cu al doilea, al patrulea cu al treilea și așa mai departe:
1:1 = 1,0000, care este mai mic decât phi cu 0,6180
2:1 = 2,0000, care este cu 0,3820 mai mult decât phi
3:2 = 1,5000, care este mai mic decât phi cu 0,1180
5:3 = 1,6667, care este cu 0,0486 mai mult decât phi
8:5 = 1,6000, care este mai mic decât phi cu 0,0180
Pe măsură ce treceți prin secvența de însumare a lui Fibonacci, fiecare termen nou îl va împărți pe următorul cu o aproximare din ce în ce mai mare față de F de neatins.
Omul caută subconștient proporția Divină: este necesară pentru a-și satisface nevoia de confort.
Când împărțiți orice membru al șirului Fibonacci la următorul, rezultatul este pur și simplu inversul lui 1,618 (1: 1,618 = 0,618). Dar acesta este și un fenomen foarte neobișnuit, chiar remarcabil. Deoarece raportul inițial este o fracție infinită, acest raport ar trebui, de asemenea, să nu aibă sfârșit.
Când împărțim fiecare număr la următorul după el, obținem numărul 0,382
Selectând rapoartele în acest fel, obținem setul principal de rapoarte Fibonacci: 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236 Toate acestea joacă un rol deosebit în natură și în special în analiza tehnică.
Trebuie remarcat aici că Fibonacci a amintit umanității doar de secvența sa, deoarece era cunoscută încă din timpuri străvechi numită Raportul de Aur.
Raportul de aur, după cum am văzut, apare în legătură cu un pentagon obișnuit, prin urmare numerele Fibonacci joacă un rol în tot ceea ce are de-a face cu pentagoane obișnuite - convexe și în formă de stea.
Seria Fibonacci ar fi putut rămâne doar un incident matematic, dacă nu pentru faptul că toți cercetătorii diviziunii de aur din lumea plantelor și animale, ca să nu mai vorbim de artă, au ajuns invariabil la această serie ca o expresie aritmetică a legii aurului. diviziune. Oamenii de știință au continuat să dezvolte în mod activ teoria numerelor Fibonacci și a raportului de aur. Yu Matiyasevich rezolvă a 10-a problemă a lui Hilbert (despre rezolvarea ecuațiilor diofante) folosind numerele Fibonacci. Apar metode elegante pentru rezolvarea unui număr de probleme cibernetice (teoria căutării, jocuri, programare) folosind numerele Fibonacci și raportul de aur. În SUA se creează chiar și Asociația Mathematical Fibonacci, care publică un jurnal special din 1963.
Una dintre realizările în acest domeniu este descoperirea numerelor Fibonacci generalizate și a rapoartelor de aur generalizate. Seria Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8) și seria „binară” de numere descoperite de el 1, 2, 4, 8, 16... (adică o serie de numere până la n , unde există număr natural, mai puțin decât n poate fi reprezentat prin suma unor numere din această serie) la prima vedere sunt complet diferite. Dar algoritmii pentru construcția lor sunt foarte asemănători între ei: în primul caz, fiecare număr este suma numărului anterior cu el însuși 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., în al doilea - aceasta este suma celor două numere anterioare 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Este posibil să găsim un general formulă matematică din care obținem „ serie binară și seria Fibonacci?
Într-adevăr, să definim un parametru numeric S, care poate lua orice valoare: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Luați în considerare serie de numere, S + 1 ai căror primii termeni sunt uni, iar fiecare dintre cei următori este egal cu suma a doi termeni ai celui precedent și distanțați de cel anterior cu S trepte. Dacă al n-lea termen Notăm această serie cu S (n), obținem formula generala S (n) = S (n – 1) + S (n – S – 1).
Este evident că la S = 0 din această formulă vom obține o serie „binară”, la S = 1 – o serie Fibonacci, la S = 2, 3, 4 – serie nouă de numere, care se numesc numere S-Fibonacci .
ÎN vedere generală Proporția S de aur este rădăcina pozitivă a ecuației secțiunii S de aur x S+1 – x S – 1 = 0.
Este ușor de arătat că la S = 0 segmentul este împărțit la jumătate, iar la S = 1 se obține raportul de aur clasic familiar.
Rapoartele numerelor S din Fibonacci învecinate coincid cu acuratețea matematică absolută în limita cu proporțiile S de aur! Adică, secțiunile S de aur sunt invarianți numerici ai numerelor S Fibonacci.
7.Proporția de aur în art.
7.1. Raportul de aur în pictură.
Trecând la exemplele „raportului de aur” în pictură, nu se poate să nu se concentreze asupra operei lui Leonardo da Vinci. Personalitatea lui este unul dintre misterele istoriei. Leonardo da Vinci însuși a spus: „Nimeni care nu este matematician să nu îndrăznească să-mi citească lucrările.”
Fără îndoială că Leonardo da Vinci a fost un mare artist, acest lucru fiind deja recunoscut de contemporanii săi, dar personalitatea și activitățile sale vor rămâne învăluite în mister, întrucât a lăsat urmașilor săi nu o prezentare coerentă a ideilor sale, ci doar numeroase scrise de mână. schițe, note care spun „despre toată lumea din lume”.
Portretul Monnei Lisei (La Gioconda) a atras de mulți ani atenția cercetătorilor, care au descoperit că compoziția imaginii se bazează pe triunghiuri de aur, care sunt părți ale unui pentagon obișnuit în formă de stea.
De asemenea, proporția proporției de aur apare în pictura lui Shishkin. În această pictură faimoasă a lui I. I. Shishkin, motivele raportului de aur sunt clar vizibile. Un pin puternic luminat de soare (stă în prim plan) împarte lungimea imaginii în funcție de raportul de aur. În dreapta pinului se află un deal însorit. Împarte partea dreaptă a imaginii pe orizontală în funcție de raportul de aur.
În pictura lui Rafael „Masacrul inocenților” este vizibil un alt element al proporției de aur - spirala aurie. În schița pregătitoare a lui Rafael, linii roșii sunt trasate din centrul semantic al compoziției - punctul în care degetele războinicului s-au închis în jurul gleznei copilului - de-a lungul figurilor copilului, femeia ținându-l aproape, războinicul cu sabia ridicată, iar apoi de-a lungul figurilor aceluiași grup din partea dreaptă a schiței. Nu se știe dacă Raphael a construit spirala de aur sau a simțit-o.
T. Cook a folosit raportul de aur când a analizat pictura lui Sandro Botticelli „Nașterea lui Venus”.
7.2. Piramidele raportului de aur.
Proprietățile medicale ale piramidelor, în special proporția de aur, sunt cunoscute pe scară largă. Potrivit unora dintre cele mai comune opinii, camera în care se află o astfel de piramidă pare mai mare, iar aerul este mai transparent. Visele încep să fie amintite mai bine. De asemenea, se știe că raportul de aur a fost utilizat pe scară largă în arhitectură și sculptură. Un exemplu în acest sens a fost: Panteonul și Partenonul din Grecia, clădiri ale arhitecților Bazhenov și Malevich
8. Concluzie.
Trebuie spus că raportul de aur are o mare aplicație în viața noastră.
S-a dovedit că corpul uman este împărțit proporțional cu raportul de aur de linia centurii.
Cochilia de nautilus este răsucită ca o spirală aurie.
Datorită raportului de aur, centura de asteroizi dintre Marte și Jupiter a fost descoperită - în funcție de proporție, ar trebui să existe o altă planetă acolo.
Excitarea corzii în punctul care o împarte în raport cu diviziunea de aur nu va face ca șirul să vibreze, adică acesta este punctul de compensare.
Pe aeronave cu surse de energie electromagnetică se creează celule dreptunghiulare cu proporția raportului de aur.
La Gioconda este construită pe triunghiuri de aur; spirala de aur este prezentă în pictura lui Rafael „Masacrul inocenților”.
Proporția a fost descoperită în pictura lui Sandro Botticelli „Nașterea lui Venus”
Există multe monumente arhitecturale cunoscute construite folosind proporția de aur, inclusiv Panteonul și Partenonul din Atena, clădiri ale arhitecților Bazhenov și Malevich.
John Kepler, care a trăit acum cinci secole, a spus: „Geometria are două comori mari, prima este teorema lui Pitagora, a doua este împărțirea unui segment în raportul extrem și mediu”.
Referințe
1. D. Pidou. Geometrie și artă. – M.: Mir, 1979.
2. Revista „Știință și tehnologie”
3. Revista „Kvant”, 1973, nr 8.
4. Revista „Matematica la școală”, 1994, nr.2; nr. 3.
5. Kovalev F.V. Raportul de aur în pictură. K.: Școala Vyshcha, 1989.
6. Stakhov A. Codurile proporției de aur.
7. Vorobiev N.N. „Numerele Fibonacci” - M.: Nauka 1964
8. „Matematică – Enciclopedie pentru copii” M.: Avanta +, 1998
9. Informații de pe Internet.
Matrici Fibonacci și așa-numitele matrici „de aur”, noua aritmetică computerizată, noua teorie a codificării și noua teorie criptografie Esența noii științe este revizuirea întregii matematici din punctul de vedere al secțiunii de aur, începând cu Pitagora, care, în mod firesc, va atrage după sine rezultate matematice noi și cu siguranță foarte interesante în teorie. În termeni practici – informatizare „de aur”. Și din moment ce...
Nu va afecta acest rezultat. Baza proporției de aur este un invariant al relațiilor recursive 4 și 6. Aceasta demonstrează „stabilitatea” secțiunii de aur, unul dintre principiile organizării materiei vii. De asemenea, baza proporției de aur este o soluție a două secvențe recursive exotice (Fig. 4.) Fig. 4 secvențe recursive de Fibonacci...
Urechea este j5, iar distanța de la ureche la coroană este j6. Astfel, în această statuie vedem o progresie geometrică cu numitorul j: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (Fig.9). Astfel, raportul de aur este unul dintre principiile fundamentale în arta Greciei antice. Ritmurile inimii și creierului. Inima umană bate uniform - aproximativ 60 de bătăi pe minut în repaus. Inima îmi strânge ca un piston...
Dicționarul explicativ al lui Ozhegov afirmă că un pentagon este delimitat de cinci linii drepte care se intersectează care formează cinci unghiuri interne, precum și orice obiect de formă similară. Dacă un poligon dat are toate aceleași laturi și unghiuri, atunci se numește regulat (pentagon).
Ce este interesant la pentagonul obișnuit?
În această formă a fost construită binecunoscuta clădire a Departamentului de Apărare al Statelor Unite. Din volumetric poliedre regulate doar dodecaedrul are fețe în formă de pentagon. Și în natură nu există absolut nicio cristale ale căror fețe să semene cu un pentagon obișnuit. În plus, această cifră este un poligon cu un număr minim de unghiuri, care nu poate fi folosit pentru a placa zona. Doar un pentagon are același număr de diagonale ca și numărul de laturi. De acord, asta e interesant!
Proprietăți și formule de bază
Folosind formule pentru un poligon regulat arbitrar, puteți determina toți parametrii necesari pe care îi are un pentagon.
- Unghiul central α = 360 / n = 360/5 =72°.
- Unghiul intern β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°. În consecință, suma unghiurilor interne este de 540°.
- Raportul dintre diagonală și latură este (1+√5)/2, adică (aproximativ 1,618).
- Lungimea laturii unui pentagon obișnuit poate fi calculată folosind una dintre cele trei formule, în funcție de parametrul care este deja cunoscut:
- dacă în jurul lui este descris un cerc și este cunoscută raza lui R, atunci a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1,1756*R;
- în cazul în care un cerc cu raza r este înscris într-un pentagon regulat, a = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1,453*r;
- se întâmplă ca în loc de raze să se cunoască valoarea diagonalei D, atunci latura se determină astfel: a ≈ D/1,618.
- Aria unui pentagon obișnuit este determinată, din nou, în funcție de parametrul pe care îl cunoaștem:
- dacă există un cerc înscris sau circumscris, atunci se folosește una dintre cele două formule:
S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r sau S = (n*R2*sin a)/2 = 2,3776*R2;
- Aria poate fi determinată și știind doar lungimea laturii laterale a:
S = (5*a 2 *tg54°)/4 ≈ 1,7205* a 2 .
Pentagon obișnuit: construcție
Acest figură geometrică poate fi construit în diferite moduri. De exemplu, potriviți-l într-un cerc cu o rază dată sau construiți-l pe baza unei laturi date. Secvența acțiunilor a fost descrisă în Elementele lui Euclid aproximativ 300 î.Hr. În orice caz, vom avea nevoie de o busolă și o riglă. Să luăm în considerare o metodă de construcție folosind un cerc dat.
1. Selectați o rază arbitrară și desenați un cerc, marcând centrul acestuia cu punctul O.
2. Pe linia cercului, selectați un punct care va servi drept unul dintre vârfurile pentagonului nostru. Fie acesta punctul A. Conectați punctele O și A cu o dreaptă.
3. Desenați o dreaptă prin punctul O perpendicular pe dreapta OA. Desemnați intersecția acestei drepte cu linia cercului drept punct B.
4. La jumătatea distanței dintre punctele O și B, construiți punctul C.
5. Acum desenați un cerc al cărui centru va fi în punctul C și care va trece prin punctul A. Locul intersecției sale cu dreapta OB (va fi chiar în interiorul primului cerc) va fi punctul D.
6. Construiți un cerc care trece prin D, al cărui centru va fi în A. Locurile de intersecție cu cercul original trebuie marcate cu punctele E și F.
7. Acum construiți un cerc al cărui centru va fi în E. Acest lucru trebuie făcut astfel încât să treacă prin A. Cealaltă intersecție a cercului original trebuie să fie marcată.
8. În cele din urmă, construiți un cerc prin A cu centrul său în punctul F. Etichetați cealaltă intersecție a cercului original cu punctul H.
9. Acum nu mai rămâne decât să conectați vârfurile A, E, G, H, F. Pentagonul nostru obișnuit va fi gata!
