Cum să rezolvi rapid ecuații logaritmice. Ecuație logaritmică: soluție cu exemple

Ecuații logaritmice. De la simplu la complex.

Atenţie!
Există suplimentare
materiale în secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Ce este o ecuație logaritmică?

Aceasta este o ecuație cu logaritmi. Sunt surprins, nu?) Apoi voi clarifica. Aceasta este o ecuație în care se găsesc necunoscutele (x-urile) și expresiile cu acestea în interiorul logaritmilor.Și numai acolo! Acest lucru este important.

Iată câteva exemple ecuații logaritmice:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Ei bine, înțelegi... )

Fiţi atenți! Sunt localizate cele mai diverse expresii cu X exclusiv în cadrul logaritmilor. Dacă, brusc, un X apare undeva în ecuație exterior, De exemplu:

log 2 x = 3+x,

aceasta va fi deja o ecuație de tip mixt. Astfel de ecuații nu au reguli clare pentru rezolvarea lor. Nu le vom lua în considerare deocamdată. Apropo, există ecuații în care sunt în interiorul logaritmilor doar numere. De exemplu:

Ce pot spune? Ai noroc dacă dai peste asta! Logaritmul cu numere este oarecare număr. Asta e tot. Este suficient să cunoaștem proprietățile logaritmilor pentru a rezolva o astfel de ecuație. Cunoașterea unor reguli speciale, tehnici adaptate special pentru rezolvare ecuații logaritmice, nu este necesar aici.

Aşa, ce este o ecuație logaritmică- ne-am dat seama.

Cum se rezolvă ecuațiile logaritmice?

Soluţie ecuații logaritmice- de fapt treaba nu este foarte simplă. Deci secțiunea noastră este un patru... Ai nevoie de o cantitate decentă de cunoștințe despre tot felul de lucruri subiecte conexe. În plus, există o caracteristică specială în aceste ecuații. Și această caracteristică este atât de importantă încât poate fi numită în siguranță problema principală în rezolvarea ecuațiilor logaritmice. Vom trata această problemă în detaliu în lecția următoare.

Deocamdată, nu-ți face griji. Vom merge pe drumul cel bun de la simplu la complex. Pe exemple concrete. Principalul lucru este să vă aprofundați în lucruri simple și să nu fi lene să urmați linkurile, le-am pus acolo cu un motiv... Și totul va funcționa pentru dvs. Neapărat.

Să începem cu cele mai elementare, mai simple ecuații. Pentru a le rezolva, este recomandabil să aveți o idee despre logaritm, dar nimic mai mult. Doar habar nu logaritm, ia o decizie logaritmică ecuații – cumva chiar incomode... Foarte îndrăznețe, aș spune).

Cele mai simple ecuații logaritmice.

Acestea sunt ecuații de forma:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

Procesul de rezolvare orice ecuație logaritmică consta in trecerea de la o ecuatie cu logaritmi la o ecuatie fara acestia. În cele mai simple ecuații, această tranziție se realizează într-un singur pas. De aceea sunt cele mai simple.)

Și astfel de ecuații logaritmice sunt surprinzător de ușor de rezolvat. Vezi singur.

Să rezolvăm primul exemplu:

log 3 x = log 3 9

Pentru a rezolva acest exemplu, nu trebuie să știți aproape nimic, da... Pur intuiție!) De ce avem nevoie în special nu iti place acest exemplu? Ce-ce... nu-mi plac logaritmii! Corect. Deci hai să scăpăm de ei. Privim cu atentie exemplul, si in noi apare o dorinta fireasca... De-a dreptul irezistibil! Luați și aruncați logaritmii cu totul. Și ce e bine este că Can do! Matematica permite. Logaritmii dispar raspunsul este:

Grozav, nu? Acest lucru poate (și ar trebui) să fie făcut întotdeauna. Eliminarea logaritmilor în acest mod este una dintre principalele modalități de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților logaritmice. În matematică această operație se numește potențare. Desigur, există reguli pentru o astfel de lichidare, dar sunt puține. Amintiți-vă:

Puteți elimina logaritmii fără nicio teamă dacă au:

a) aceleaşi baze numerice

c) logaritmii stânga-dreapta sunt puri (fără coeficienți) și sunt într-o izolare splendidă.

Permiteți-mi să clarific ultimul punct. În ecuație, să spunem

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

Logaritmii nu pot fi eliminati. Cei doi din dreapta nu-i permit. Coeficientul, știi... În exemplu

log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)

De asemenea, este imposibil să potențați ecuația. Nu există un logaritm singur pe partea stângă. Sunt doi dintre ei.

Pe scurt, puteți elimina logaritmii dacă ecuația arată așa și doar așa:

log a (.....) = log a (.....)

În paranteze, acolo unde există o elipsă, poate exista orice expresii. Simplu, super complex, de tot felul. Tot ceea ce. Important este că după eliminarea logaritmilor rămânem ecuație mai simplă. Se presupune, desigur, că știți deja cum să rezolvați ecuații liniare, pătratice, fracționale, exponențiale și alte ecuații fără logaritmi.)

Acum puteți rezolva cu ușurință al doilea exemplu:

log 7 (2x-3) = log 7 x

De fapt, este hotărât în ​​minte. Potentiam, obtinem:

Ei bine, este foarte greu?) După cum puteți vedea, logaritmică o parte a soluției ecuației este doar in eliminarea logaritmilor...Și apoi vine soluția ecuației rămase fără ele. O chestiune banala.

Să rezolvăm al treilea exemplu:

log 7 (50x-1) = 2

Vedem că există un logaritm în stânga:

Să ne amintim că acest logaritm este un număr la care trebuie ridicată baza (adică șapte) pentru a obține o expresie sublogaritmică, i.e. (50x-1).

Dar acest număr este doi! Conform Eq. Aşa:

Asta e practic tot. Logaritm a dispărut, Ceea ce rămâne este o ecuație inofensivă:

Am rezolvat această ecuație logaritmică doar pe înțelesul logaritmului. Este încă mai ușor să eliminați logaritmii?) Sunt de acord. Apropo, dacă faci un logaritm din doi, poți rezolva acest exemplu prin eliminare. Orice număr poate fi transformat într-un logaritm. Mai mult, felul în care avem nevoie. O tehnică foarte utilă în rezolvarea ecuațiilor logaritmice și (mai ales!) a inegalităților.

Nu știi cum să faci un logaritm dintr-un număr!? E bine. Secțiunea 555 descrie această tehnică în detaliu. Îl poți stăpâni și îl poți folosi la maximum! Reduce foarte mult numărul de erori.

A patra ecuație este rezolvată într-un mod complet similar (prin definiție):

Asta este.

Să rezumam această lecție. Am analizat soluția celor mai simple ecuații logaritmice folosind exemple. Acest lucru este foarte important. Și nu numai pentru că astfel de ecuații apar în teste și examene. Cert este că până și cele mai rele și mai complicate ecuații se reduc neapărat la cele mai simple!

De fapt, cele mai simple ecuații sunt partea finală a soluției orice ecuații. Și această parte finală trebuie înțeleasă strict! Și încă un lucru. Asigurați-vă că citiți această pagină până la sfârșit. E o surpriză acolo...)

Acum decidem singuri. Să ne îmbunătățim, ca să zic așa...)

Găsiți rădăcina (sau suma rădăcinilor, dacă sunt mai multe) ecuațiilor:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

Răspunsuri (în dezordine, desigur): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.

Ce, nu totul merge? Se întâmplă. Nu vă faceți griji! Secțiunea 555 explică soluția pentru toate aceste exemple într-o manieră clară și detaliată. Cu siguranță o să-ți dai seama acolo. Veți învăța și tehnici practice utile.

Totul a mers!? Toate exemplele de „unul rămas”?) Felicitări!

Este timpul să-ți dezvălui adevărul amar. Rezolvarea cu succes a acestor exemple nu garantează succesul în rezolvarea tuturor celorlalte ecuații logaritmice. Chiar și cele mai simple ca acestea. Vai.

Cert este că soluția oricărei ecuații logaritmice (chiar și cea mai elementară!) constă în două părți egale. Rezolvarea ecuației și lucrul cu ODZ. Am stăpânit o parte - rezolvarea ecuației în sine. Nu este atât de greu corect?

Pentru această lecție am selectat special exemple în care DL nu afectează în niciun fel răspunsul. Dar nu toți sunt la fel de amabili ca mine, nu?...)

Prin urmare, este imperativ să stăpânești cealaltă parte. ODZ. Aceasta este principala problemă în rezolvarea ecuațiilor logaritmice. Și nu pentru că ar fi dificil - această parte este chiar mai ușoară decât prima. Dar pentru că oamenii pur și simplu uită de ODZ. Sau ei nu știu. Sau ambele). Și cad din senin...

În următoarea lecție ne vom ocupa de această problemă. Atunci poți decide cu încredere orice ecuații logaritmice simple și abordează sarcini destul de solide.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Înainte de a rezolva ecuațiile logaritmice, să repetăm ​​încă o dată definiția logaritmului și a formulelor de bază.

Logaritm număr pozitiv b bazat pe o- acesta este un indicator al puterii la care trebuie ridicat o a obține b.

În acest caz, class="tex" alt="b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">.!}

Să acordăm atenție intervalului de valori permise ale logaritmului:

class="tex" alt="b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">. !}

Identitatea logaritmică de bază:

Formule de bază pentru logaritmi:

(Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor)

(Logaritmul coeficientului este egal cu diferența logaritmilor)
(Formula pentru logaritmul puterii)

Formula pentru mutarea la o nouă bază:

Știm cum arată graficul unei funcții logaritmice. Această funcție este monotonă. Dacă baza logaritmului este mai mare decât unu, funcția logaritmică crește monoton. Dacă baza este mai mare decât zero și mai putin de unul, funcția logaritmică scade monoton. Și, în orice caz, ia fiecare dintre valorile sale o singură dată. Aceasta înseamnă că, dacă logaritmii a două numere sunt egali cu orice bază, atunci numerele în sine sunt egale.

Toate acestea ne vor fi utile în rezolvarea ecuațiilor logaritmice.

Cele mai simple ecuații logaritmice

1. Rezolvați ecuația:

Bazele logaritmilor sunt egale, logaritmii înșiși sunt de asemenea egali, ceea ce înseamnă că numerele din care sunt luate sunt și ele egale.
De obicei, elevii își amintesc această regulă într-o formulare scurtă de jargon: „Să renunțăm la logaritmi!” Desigur, le „aruncăm” nu doar așa, ci folosind proprietatea de monotonitate a funcției logaritmice.

Primim:

Când rezolvați ecuații logaritmice, nu uitați de intervalul de valori acceptabile logaritm Rețineți că expresia este definită cu class="tex" alt="b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">.!}

Este foarte bine dacă, după ce ați găsit rădăcina ecuației, pur și simplu o înlocuiți în ecuație. Dacă după o astfel de înlocuire partea stângă sau dreaptă a ecuației nu are sens, înseamnă că numărul găsit nu este rădăcina ecuației și nu poate fi răspunsul la problemă. Acest cale bună teste pentru examenul de stat unificat.

2. Rezolvați ecuația:

În partea stângă a ecuației este logaritmul, în dreapta este numărul 7. Aplicând identitatea logaritmică de bază, reprezentăm numărul 7 sub forma . Atunci totul este simplu.

Răspuns: -124

3. Rezolvați ecuația:

Vedeți numărul 2 în fața logaritmului din partea dreaptă a ecuației? Acum vă împiedică să „scăpați logaritmii”. Ce ar trebui să fac cu el, astfel încât părțile din stânga și din dreapta să fie pur și simplu logaritmi bazați pe baza 5? Desigur, formula pentru logaritmul gradului va ajuta.

4. Rezolvați ecuația:

Interval de valori acceptabile: class="tex" alt="4-x> 0."> Значит, class="tex" alt="x> -4.">!}

Să reprezentăm 2 în partea dreaptă a ecuației ca - astfel încât părțile stânga și dreaptă ale ecuației să fie logaritmi la baza 5.

Funcția crește monoton și ia fiecare valoare exact o dată. Logaritmii sunt egali, bazele lor sunt egale. Să „aruncăm” logaritmii! Desigur, în acest caz class="tex" alt="x> -4">.!}

5. Rezolvați ecuația:

Să scriem soluția ca un lanț de tranziții echivalente. Notăm ODZ și „eliminăm” logaritmii:

Class="tex" alt="\log _(8)\left (x^(2)+x \right)=\log _(8)\left (x^(2)-4 \right) )\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) x^(2)+x> 0\\ x^(2)-4> 0\\ x^(2)+x=x^(2)-4 \ sfârșit(matrice)\right.\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) x^(2)+x> 0\\ x^(2)-4> 0\\ x=-4 \end(matrix)\ dreapta.\Leftrightarrow x=-4">!}
Răspuns: -4.

Rețineți că soluțiile ecuațiilor logaritmice sunt cel mai bine scrise sub forma unui lanț de tranziții echivalente. Acest lucru ne va ajuta să nu uităm de gama de valori acceptabile.

6.Rezolvați ecuația: .

Să trecem de la logaritmul din baza 4 (în exponent) la logaritmul din baza 2. Facem acest lucru folosind formula pentru trecerea la o altă bază:

Să scriem soluția ca un lanț de tranziții echivalente.

Class="tex" alt="2^(\log _(4)\left (4x+5 \right))=9\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) 2^\frac(( \log _(2)\left (4x+5 \right)))(2)=9\\ 4x+5> 0 \end(matrice)\right.\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) \left (2^(\log _(2)\left (4x+5 \right)) \right)^(\frac(1)(2))=9\\ x> -1\frac(1)(4) \end(matrice)\right.\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) \left (4x+5 \right)^(\frac(1)(2))=9\\ x> -1\frac( 1)(4) \end(matrice)\right.\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) \sqrt(4x+5)=9\\ x> -1\frac(1)(4) \end( matrice)\right.\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) 4x+5=81\\ x> -1\frac(1)(4) \end(matrix)\right.\Leftrightarrow \left\(\ begin(matrix) x=19\\ x> -1\frac(1)(4) \end(matrix)\right.">!}

7.Rezolvați ecuația: .

Vă rugăm să rețineți: variabilă X atât sub logaritm cât și la baza logaritmului. Ne amintim că baza logaritmului trebuie să fie pozitivă și nu egală cu 1.

ODZ:
class="tex" alt="\left\(\begin(matrix) 12-x> 0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end(matrix)\right.">!}

Acum puteți „elimina” logaritmii.

O rădăcină străină deoarece trebuie îndeplinită condiția class="tex" alt="x> 0).">.!}

8. Rezolvați ecuația.

Ecuații ODZ: class="tex" alt="x> 0">!}

Să facem un înlocuitor. Ca și în ecuațiile algebrice, facem modificări de variabilă ori de câte ori este posibil.

Să revenim la variabilă X:

9. Rezolvați ecuația:

Expresia de sub logaritm este întotdeauna pozitivă - deoarece adăugăm 25 la o valoare nenegativă și expresia de sub rădăcina din partea dreaptă este pozitivă. Mijloace, X poate fi orice număr real.

Să ne imaginăm suma logaritmilor din partea stângă ca logaritm al produsului. În partea dreaptă, să trecem la logaritmul de bază 3 și să folosim formula pentru logaritmul puterii.

„Aruncarea” logaritmilor.

O astfel de ecuație se numește biquadratică. Include expresii și . Să facem un înlocuitor

Să revenim la variabilă X. Primim:

Am găsit toate rădăcinile ecuației originale.

De asemenea, puteți întâlni ecuații logaritmice în sarcina nr. 5 Examinare de stat unificată de profil la matematică și la sarcina nr. 13. Și dacă în sarcina nr. 5 trebuie să rezolvați cea mai simplă ecuație, atunci în sarcina 13 soluția constă din două puncte. Al doilea punct este selectarea rădăcinilor pe un anumit segment sau interval.

Pregătirea pentru proba finală la matematică include o secțiune importantă - „Logaritmi”. Sarcinile din acest subiect sunt incluse în mod necesar în Examenul de stat unificat. Experiența din anii trecuți arată că ecuațiile logaritmice au cauzat dificultăți pentru mulți școlari. Prin urmare, elevii cu diferite niveluri de pregătire trebuie să înțeleagă cum să găsească răspunsul corect și să le facă față rapid.

Trece testul de certificare cu succes folosind portalul educațional Shkolkovo!

În pregătirea pentru unificat examen de stat absolvenţii de liceu necesită o sursă de încredere care să ofere cele mai complete şi informatii corecte pentru o soluție de succes probleme de testare. Cu toate acestea, un manual nu este întotdeauna la îndemână, iar căutarea regulilor și formulelor necesare pe Internet necesită adesea timp.

Portalul educațional Shkolkovo vă permite să vă pregătiți pentru examenul de stat unificat oriunde și oricând. Site-ul nostru web oferă cea mai convenabilă abordare pentru repetarea și asimilarea unei cantități mari de informații despre logaritmi, precum și cu una și mai multe necunoscute. Începeți cu ecuații ușoare. Dacă le faci față fără dificultate, treci la altele mai complexe. Dacă întâmpinați probleme la rezolvarea unei anumite inegalități, o puteți adăuga la Favorite, astfel încât să reveniți la ea mai târziu.

Puteți găsi formulele necesare pentru a finaliza sarcina, repeta cazuri speciale și metode pentru calcularea rădăcinii unei ecuații logaritmice standard, urmărind secțiunea „Ajutor teoretic”. Profesorii Shkolkovo au colectat, sistematizat și conturat tot ce este necesar pentru finalizare cu succes materiale în cea mai simplă și mai înțeleasă formă.

Pentru a face față cu ușurință sarcinilor de orice complexitate, pe portalul nostru vă puteți familiariza cu rezolvarea unor ecuații logaritmice standard. Pentru a face acest lucru, accesați secțiunea „Cataloguri”. Avem un număr mare de exemple, inclusiv cele cu ecuații de profil Nivel de examen de stat unificatîn matematică.

Elevii din școlile din toată Rusia pot folosi portalul nostru. Pentru a începe cursurile, pur și simplu înregistrați-vă în sistem și începeți să rezolvați ecuații. Pentru a consolida rezultatele, vă sfătuim să reveniți zilnic pe site-ul Shkolkovo.

Matematica este mai mult decât știință, acesta este limbajul științei.

Fizicianul și personajul public danez Niels Bohr

Ecuații logaritmice

Printre sarcinile tipice, oferite la probele de admitere (competitive)., sunt sarcinile, legate de rezolvarea ecuațiilor logaritmice. Pentru a rezolva cu succes astfel de probleme, trebuie să aveți o bună cunoaștere a proprietăților logaritmilor și să aveți abilitățile de a le folosi.

Acest articol prezintă mai întâi conceptele și proprietățile de bază ale logaritmilor., iar apoi sunt luate în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor logaritmice.

Concepte și proprietăți de bază

În primul rând, prezentăm proprietățile de bază ale logaritmilor, a căror utilizare permite rezolvarea cu succes a ecuațiilor logaritmice relativ complexe.

Identitatea logaritmică principală este scrisă ca

, (1)

Printre cele mai cunoscute proprietăți ale logaritmilor se numără următoarele egalități:

1. Dacă , , și , atunci , ,

2. Dacă , , , și , atunci .

3. Dacă , , și , atunci .

4. Dacă , , și număr natural, Asta

5. Dacă , , și număr natural, Asta

6. Dacă , , și , atunci .

7. Dacă , , și , atunci .

Proprietățile mai complexe ale logaritmilor sunt formulate prin următoarele afirmații:

8. Dacă , , , și , atunci

9. Dacă , , și , atunci

10. Dacă , , , și , atunci

Dovada ultimelor două proprietăți ale logaritmilor este dată în manualul autorului „Matematică pentru elevi de liceu: secțiuni suplimentare de matematică școlară” (M.: Lenand / URSS, 2014).

De asemenea, merită remarcat care este functia este în creștere, dacă , și în scădere , dacă .

Să ne uităm la exemple de probleme de rezolvare a ecuațiilor logaritmice, aranjate în ordinea dificultății crescânde.

Exemple de rezolvare a problemelor

Exemplul 1. Rezolvați ecuația

. (2)

Soluţie. Din ecuația (2) avem . Să transformăm ecuația după cum urmează: , sau .

Pentru ca, atunci rădăcina ecuației (2) este.

Raspuns: .

Exemplul 2. Rezolvați ecuația

Soluţie. Ecuația (3) este echivalentă cu ecuațiile

Sau .

De aici obținem.

Raspuns: .

Exemplul 3. Rezolvați ecuația

Soluţie. Din ecuația (4) rezultă, Ce . Utilizarea identității logaritmice de bază (1), putem scrie

sau .

Daca pui apoi de aici obținem o ecuație pătratică, care are două rădăciniȘi . Cu toate acestea, prin urmare și o rădăcină adecvată a ecuației este doar . De când , atunci sau .

Raspuns: .

Exemplul 4. Rezolvați ecuația

Soluţie.Gama de valori admisibile ale variabileiîn ecuația (5) sunt.

Lăsați-l să fie . Din moment ce funcţiape domeniul definiţiei este în scădere, și funcția crește de-a lungul întregii drepte numerice, apoi ecuația nu poate avea mai mult de o rădăcină.

Prin selecție găsim singura rădăcină.

Raspuns: .

Exemplul 5. Rezolvați ecuația.

Soluţie. Dacă ambele părți ale ecuației sunt luate logaritmic la baza 10, atunci

Sau .

Rezolvând ecuația pătratică pentru , obținem și . Prin urmare, aici avem și .

Răspuns: , .

Exemplul 6. Rezolvați ecuația

. (6)

Soluţie.Să folosim identitatea (1) și să transformăm ecuația (6) după cum urmează:

Sau .

Răspuns: , .

Exemplul 7. Rezolvați ecuația

. (7)

Soluţie. Luând în considerare proprietatea 9, avem . În acest sens, ecuația (7) ia forma

De aici obținem sau .

Raspuns: .

Exemplul 8. Rezolvați ecuația

. (8)

Soluţie.Să folosim proprietatea 9 și să rescriem ecuația (8) în forma echivalentă.

Dacă atunci desemnăm, atunci obținem o ecuație pătratică, Unde . Din moment ce ecuațiaare o singură rădăcină pozitivă, apoi sau . De aici rezultă.

Raspuns: .

Exemplul 9. Rezolvați ecuația

. (9)

Soluţie. Deoarece din ecuația (9) rezultă apoi aici. Conform proprietății 10, poate fi notat.

În acest sens, ecuația (9) va fi echivalentă cu ecuațiile

Sau .

De aici obținem rădăcina ecuației (9).

Exemplul 10. Rezolvați ecuația

. (10)

Soluţie. Intervalul valorilor admisibile ale variabilei din ecuația (10) este . Conform proprietății 4, aici avem

. (11)

Deoarece , atunci ecuația (11) ia forma ecuație pătratică, Unde . Rădăcinile unei ecuații pătratice sunt și .

De când , atunci și . De aici obținem și .

Răspuns: , .

Exemplul 11. Rezolvați ecuația

. (12)

Soluţie. Să notăm atunci iar ecuația (12) ia forma

Sau

. (13)

Este ușor de observat că rădăcina ecuației (13) este . Să arătăm asta ecuația dată nu are alte rădăcini. Pentru a face acest lucru, împărțiți ambele părți la și obțineți ecuația echivalentă

. (14)

Deoarece funcția este în scădere, iar funcția este în creștere pe întreaga axă numerică, atunci ecuația (14) nu poate avea mai mult de o rădăcină. Deoarece ecuațiile (13) și (14) sunt echivalente, ecuația (13) are o singură rădăcină.

De când , atunci și .

Raspuns: .

Exemplul 12. Rezolvați ecuația

. (15)

Soluţie. Să notăm și . Deoarece funcția scade pe domeniul definiției, iar funcția crește pentru orice valoare, ecuația nu poate avea aceeași rădăcină. Prin selecție directă stabilim că rădăcina dorită a ecuației (15) este .

Raspuns: .

Exemplul 13. Rezolvați ecuația

. (16)

Soluţie. Folosind proprietățile logaritmilor, obținem

De atunci și avem inegalitate

Inegalitatea rezultată coincide cu ecuația (16) numai în cazul în care sau .

Prin substituirea valoriiîn ecuația (16) suntem convinși că, Ce este rădăcina sa.

Raspuns: .

Exemplul 14. Rezolvați ecuația

. (17)

Soluţie. Deoarece aici , atunci ecuația (17) ia forma .

Dacă punem , atunci obținem ecuația

, (18)

Unde . Din ecuația (18) rezultă: sau . Deoarece, ecuația are o rădăcină potrivită. Totuși, de aceea.

Exemplul 15. Rezolvați ecuația

. (19)

Soluţie. Să notăm , atunci ecuația (19) ia forma . Dacă luăm această ecuație la baza 3, obținem

Sau

Rezultă că și . De când , atunci și . În acest sens, și.

Răspuns: , .

Exemplul 16. Rezolvați ecuația

. (20)

Soluţie. Să introducem parametrulși rescrieți ecuația (20) sub forma unei ecuații pătratice în raport cu parametrul, adică

. (21)

Rădăcinile ecuației (21) sunt

sau ,. Deoarece , avem ecuații și . De aici obținem și .

Răspuns: , .

Exemplul 17. Rezolvați ecuația

. (22)

Soluţie. Pentru a stabili domeniul de definire al variabilei din ecuația (22), este necesar să se considere o mulțime de trei inegalități: , și .

Aplicarea proprietății 2, din ecuația (22) obținem

Sau

. (23)

Dacă în ecuația (23) punem, apoi obținem ecuația

. (24)

Ecuația (24) va fi rezolvată astfel:

Sau

Rezultă că și , i.e. ecuația (24) are două rădăcini: și .

Din moment ce , atunci , sau , .

Răspuns: , .

Exemplul 18. Rezolvați ecuația

. (25)

Soluţie. Folosind proprietățile logaritmilor, transformăm ecuația (25) după cum urmează:

, , .

De aici obținem.

Exemplul 19. Rezolvați ecuația

. (26)

Soluţie. De atunci.

În continuare, avem. Prin urmare, egalitatea (26) este satisfăcută numai dacă, când ambele părți ale ecuației sunt egale cu 2 în același timp.

Astfel, ecuația (26) este echivalentă cu sistemul de ecuații

Din a doua ecuație a sistemului obținem

Sau .

Este ușor de văzut care este sensul satisface si prima ecuatie a sistemului.

Raspuns: .

Pentru un studiu mai aprofundat al metodelor de rezolvare a ecuațiilor logaritmice, vă puteți referi la manuale din lista literaturii recomandate.

1. Kushnir A.I. Capodopere ale matematicii școlare (probleme și soluții în două cărți). – Kiev: Astarte, cartea 1, 1995. – 576 p.

2. Culegere de probleme de matematică pentru candidații la colegii / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Pace și educație, 2013. – 608 p.

3. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: secțiuni suplimentare programa școlară. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 p.

4. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: probleme complexitate crescută. – M.: CD „Librocom” / URSS, 2017. – 200 p.

5. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: metode non-standard de rezolvare a problemelor. – M.: CD „Librocom” / URSS, 2017. – 296 p.

Mai ai întrebări?

Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Ecuație logaritmică este o ecuație în care necunoscuta (x) și expresiile cu aceasta se află sub semnul funcției logaritmice. Rezolvarea ecuațiilor logaritmice presupune că sunteți deja familiarizat cu și .
Cum se rezolvă ecuațiile logaritmice?

Cea mai simplă ecuație este log a x = b, unde a și b sunt numere, x este o necunoscută.
Rezolvarea unei ecuații logaritmice este x = a b cu condiția: a > 0, a 1.

Trebuie remarcat faptul că, dacă x este undeva în afara logaritmului, de exemplu log 2 x = x-2, atunci o astfel de ecuație este deja numită mixtă și este necesară o abordare specială pentru a o rezolva.

Cazul ideal este atunci când dai peste o ecuație în care doar numerele sunt sub semnul logaritmului, de exemplu x+2 = log 2 2. Aici este suficient să cunoști proprietățile logaritmilor pentru a o rezolva. Dar un astfel de noroc nu se întâmplă des, așa că pregătește-te pentru lucruri mai dificile.

Dar mai întâi, să începem cu ecuații simple. Pentru a le rezolva, este de dorit să aveți cel mai mult idee generală despre logaritm.

Rezolvarea ecuațiilor logaritmice simple

Acestea includ ecuații de tipul log 2 x = log 2 16. Ochiul liber poate vedea că omițând semnul logaritmului obținem x = 16.

Pentru a rezolva o ecuație logaritmică mai complexă, aceasta se reduce de obicei la rezolvarea obișnuită ecuație algebrică sau la soluția celei mai simple ecuații logaritmice log a x = b. În cele mai simple ecuații acest lucru se întâmplă într-o singură mișcare, motiv pentru care sunt numite cele mai simple.

Metoda de mai sus de eliminare a logaritmilor este una dintre principalele modalități de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților logaritmice. În matematică, această operație se numește potențare. Există anumite reguli sau restricții pentru acest tip de operațiuni:

• logaritmii au aceleași baze numerice
• Logaritmii din ambele părți ale ecuației sunt liberi, adică. fără coeficienți sau alte tipuri diferite de expresii.

Să presupunem că în ecuație log 2 x = 2log 2 (1 - x) potențarea nu este aplicabilă - coeficientul 2 din dreapta nu o permite. În exemplul următor, log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) nu satisface nici una dintre restricții - există doi logaritmi în stânga. Dacă ar fi doar unul, ar fi cu totul altă chestiune!

În general, puteți elimina logaritmii numai dacă ecuația are forma:

log a (...) = log a (...)

Absolut orice expresii pot fi plasate între paranteze, acest lucru nu are absolut niciun efect asupra operației de potențare. Și după eliminarea logaritmilor, va rămâne o ecuație mai simplă - liniară, pătratică, exponențială etc., pe care, sper, deja știi să o rezolvi.

Să luăm un alt exemplu:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Aplicăm potențarea, obținem:

log 3 (2x-1) = 2

Pe baza definiției unui logaritm, și anume, că un logaritm este un număr la care trebuie ridicată baza pentru a obține o expresie care se află sub semnul logaritmului, i.e. (4x-1), obținem:

Din nou am primit un răspuns frumos. Aici am făcut fără eliminarea logaritmilor, dar potențarea este aplicabilă și aici, pentru că un logaritm se poate face din orice număr, și exact cel de care avem nevoie. Această metodă este foarte utilă în rezolvarea ecuațiilor logaritmice și în special a inegalităților.

Să rezolvăm ecuația noastră logaritmică log 3 (2x-1) = 2 folosind potențarea:

Să ne imaginăm numărul 2 ca un logaritm, de exemplu, acest log 3 9, deoarece 3 2 =9.

Apoi log 3 (2x-1) = log 3 9 și din nou obținem aceeași ecuație 2x-1 = 9. Sper că totul este clar.

Așa că ne-am uitat la cum să rezolvăm cele mai simple ecuații logaritmice, care sunt de fapt foarte importante, deoarece rezolvarea ecuațiilor logaritmice, chiar și cele mai groaznice și întortocheate, până la urmă întotdeauna se rezumă la rezolvarea celor mai simple ecuații.

În tot ceea ce am făcut mai sus, am ratat unul foarte mult punct important, care va juca un rol decisiv în viitor. Faptul este că soluția oricărei ecuații logaritmice, chiar și cea mai elementară, constă din două părți egale. Prima este soluția ecuației în sine, a doua lucrează cu intervalul de valori admisibile (APV). Aceasta este exact prima parte pe care am stăpânit-o. În exemplele de mai sus, ODZ nu afectează în niciun fel răspunsul, așa că nu l-am luat în considerare.

Să luăm un alt exemplu:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

În exterior, această ecuație nu este diferită de una elementară, care poate fi rezolvată cu mare succes. Dar acest lucru nu este în întregime adevărat. Nu, bineînțeles că o vom rezolva, dar cel mai probabil incorect, deoarece conține o mică ambuscadă, în care cad imediat în ea atât elevii de clasa C, cât și studenții excelenți. Să aruncăm o privire mai atentă.

Să presupunem că trebuie să găsiți rădăcina ecuației sau suma rădăcinilor, dacă există mai multe dintre ele:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Folosim potențarea, este acceptabilă aici. Ca rezultat, obținem o ecuație pătratică obișnuită.

Găsirea rădăcinilor ecuației:

S-au dovedit două rădăcini.

Răspuns: 3 și -1

La prima vedere totul este corect. Dar haideți să verificăm rezultatul și să-l înlocuim în ecuația originală.

Să începem cu x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Verificarea a avut succes, acum coada este x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Bine, oprește-te! La exterior totul este perfect. Un lucru - nu există logaritmi din numerele negative! Aceasta înseamnă că rădăcina x = -1 nu este potrivită pentru rezolvarea ecuației noastre. Și, prin urmare, răspunsul corect va fi 3, nu 2, așa cum am scris.

Aici și-a jucat ODZ rolul fatal, de care uitasem.

Permiteți-mi să vă reamintesc că intervalul de valori acceptabile include acele valori ale lui x care sunt permise sau au sens pentru exemplul original.

Fără ODZ, orice soluție, chiar și una absolut corectă, a oricărei ecuații se transformă într-o loterie - 50/50.

Cum am putea fi prinși rezolvând un exemplu aparent elementar? Dar tocmai în momentul potențarii. Logaritmii au dispărut și odată cu ei toate restricțiile.

Ce să faci în acest caz? Refuzați să eliminați logaritmii? Și refuză complet să rezolvi această ecuație?

Nu, noi, ca niște eroi adevărați dintr-un cântec celebru, vom face un ocol!

Înainte de a începe să rezolvăm orice ecuație logaritmică, vom nota ODZ. Dar după aceea, poți face orice dorește inima ta cu ecuația noastră. După ce am primit răspunsul, pur și simplu aruncăm acele rădăcini care nu sunt incluse în ODZ-ul nostru și notăm versiunea finală.

Acum să decidem cum să înregistrăm ODZ. Pentru a face acest lucru, examinăm cu atenție ecuația originală și căutăm locuri suspecte în ea, cum ar fi împărțirea cu x, chiar rădăcină etc. Până nu rezolvăm ecuația, nu știm cu ce este egal x, dar știm sigur că există x care, atunci când sunt înlocuiți, vor da împărțire cu 0 sau extracție. rădăcină pătrată dintr-un număr negativ nu sunt în mod evident potrivite ca răspuns. Prin urmare, astfel de x sunt inacceptabile, în timp ce restul vor constitui ODZ.

Să folosim din nou aceeași ecuație:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

După cum puteți vedea, nu există nicio împărțire cu 0, rădăcini pătrate de asemenea, nu, dar există expresii cu x în corpul logaritmului. Să ne amintim imediat că expresia din interiorul logaritmului trebuie să fie întotdeauna >0. Scriem această condiție sub forma ODZ:

Aceste. Încă nu ne-am hotărât nimic, dar am notat deja condiție prealabilă pentru întreaga expresie sublogaritmică. Acolada înseamnă că aceste condiții trebuie să fie adevărate simultan.

ODZ este notat, dar este și necesar să rezolvăm sistemul de inegalități rezultat, ceea ce vom face. Obținem răspunsul x > v3. Acum știm sigur care x nu ne va potrivi. Și apoi începem să rezolvăm ecuația logaritmică în sine, ceea ce am făcut mai sus.

După ce am primit răspunsurile x 1 = 3 și x 2 = -1, este ușor de observat că doar x1 = 3 ni se potrivește și îl notăm ca răspuns final.

Pentru viitor, este foarte important să rețineți următoarele: rezolvăm orice ecuație logaritmică în 2 etape. Primul este de a rezolva ecuația în sine, al doilea este de a rezolva condiția ODZ. Ambele etape se desfășoară independent una de cealaltă și sunt comparate numai la scrierea răspunsului, adică. aruncați tot ce nu este necesar și scrieți răspunsul corect.

Pentru a consolida materialul, vă recomandăm insistent să urmăriți videoclipul:

Videoclipul prezintă alte exemple de rezolvare a jurnalului. ecuații și exersarea în practică a metodei intervalului.

La aceasta intrebare, cum se rezolvă ecuații logaritmice Asta e tot deocamdată. Dacă ceva se decide prin jurnal. ecuațiile rămân neclare sau de neînțeles, scrieți-vă întrebările în comentarii.

Notă: Academia de Educație Socială (ASE) este pregătită să accepte noi studenți.