Inegalități iraționale. Teorie și exemple

ÎN această lecție Ne vom uita la rezolvarea inegalităților iraționale și vom da diverse exemple.

Tema: Ecuații și inegalități. Sisteme de ecuații și inegalități

Lecţie:Inegalități iraționale

Când se rezolvă inegalitățile iraționale, este destul de adesea necesar să se ridice ambele părți ale inegalității într-o anumită măsură, aceasta este o operație destul de responsabilă. Să ne amintim caracteristicile.

Ambele părți ale inegalității pot fi pătrate dacă ambele sunt nenegative, numai atunci obținem o inegalitate adevărată dintr-o inegalitate adevărată.

Ambele părți ale inegalității pot fi cudate în orice caz dacă inegalitatea inițială a fost adevărată, atunci când sunt cuburi, obținem inegalitatea corectă.

Luați în considerare o inegalitate de forma:

Expresia radicală trebuie să fie nenegativă. Funcția poate lua orice valoare, trebuie luate în considerare două cazuri.

În primul caz, ambele părți ale inegalității sunt nenegative, avem dreptul să o pătram. În al doilea caz, partea dreaptă este negativă și nu avem dreptul să o pătram. În acest caz, este necesar să ne uităm la sensul inegalității: aici este o expresie pozitivă ( rădăcină pătrată) este mai mare decât o expresie negativă, ceea ce înseamnă că inegalitatea este întotdeauna satisfăcută.

Deci, avem următoarea schemă de soluții:

În primul sistem, nu protejăm separat expresia radicală, deoarece atunci când a doua inegalitate a sistemului este satisfăcută, expresia radicală trebuie să fie automat pozitivă.

Exemplul 1 - rezolvarea inegalității:

Conform diagramei, trecem la un set echivalent de două sisteme de inegalități:

Să ilustrăm:

Orez. 1 - ilustrarea soluției la exemplul 1

După cum vedem, atunci când scăpăm de iraționalitate, de exemplu, la pătrat, obținem un set de sisteme. Uneori, acest design complex poate fi simplificat. În mulțimea rezultată, avem dreptul de a simplifica primul sistem și de a obține o mulțime echivalentă:

Ca exercițiu independent, este necesar să se dovedească echivalența acestor mulțimi.

Luați în considerare o inegalitate de forma:

Similar cu inegalitatea anterioară, luăm în considerare două cazuri:

În primul caz, ambele părți ale inegalității sunt nenegative, avem dreptul să o pătram. În al doilea caz, partea dreaptă este negativă și nu avem dreptul să o pătram. În acest caz, este necesar să ne uităm la sensul inegalității: aici expresia pozitivă (rădăcina pătrată) este mai mică decât expresia negativă, ceea ce înseamnă că inegalitatea este contradictorie. Nu este nevoie să luăm în considerare al doilea sistem.

Avem un sistem echivalent:

Uneori, inegalitățile iraționale pot fi rezolvate grafic. Această metodă aplicabil atunci când graficele corespunzătoare pot fi construite destul de ușor și pot fi găsite punctele lor de intersecție.

Exemplul 2 - rezolvați grafic inegalitățile:

O)

b)

Am rezolvat deja prima inegalitate și știm răspunsul.

Pentru a rezolva grafic inegalitățile, trebuie să construiți un grafic al funcției în partea stângă și un grafic al funcției în partea dreaptă.

Orez. 2. Grafice de funcţii şi

Pentru a reprezenta grafic o funcție, este necesar să transformați parabola într-o parabolă (oglindiți-o în raport cu axa y) și să mutați curba rezultată cu 7 unități la dreapta. Graficul confirmă asta această funcție scade monoton în domeniul său de definire.

Graficul unei funcții este o linie dreaptă și este ușor de construit. Punctul de intersecție cu axa y este (0;-1).

Prima funcție scade monoton, a doua crește monoton. Dacă ecuația are o rădăcină, atunci este singura, este ușor de ghicit din grafic: .

Când valoarea argumentului este mai mică decât rădăcina, parabola este deasupra liniei drepte. Când valoarea argumentului este între trei și șapte, linia dreaptă trece deasupra parabolei.

Avem raspunsul:

Metodă eficientă Metoda intervalelor este utilizată pentru rezolvarea inegalităților iraționale.

Exemplul 3 - rezolvați inegalitățile folosind metoda intervalului:

O)

b)

Conform metodei intervalului, este necesar să se îndepărteze temporar de inegalitate. Pentru a face acest lucru, mutați totul în inegalitatea dată în partea stângă (obțineți zero în dreapta) și introduceți o funcție egală cu partea stângă:

Acum trebuie să studiem funcția rezultată.

ODZ:

Am rezolvat deja această ecuație grafic, așa că nu ne oprim pe determinarea rădăcinii.

Acum este necesar să selectați intervale de semn constant și să determinați semnul funcției pe fiecare interval:

Orez. 3. Intervale de constanță a semnului de exemplu 3

Să ne amintim că pentru a determina semnele pe un interval, este necesar să luăm un punct de probă și să îl înlocuim în funcție, funcția va păstra semnul rezultat pe tot intervalul;

Să verificăm valoarea la punctul de limită:

Raspunsul este evident:

Luați în considerare următorul tip de inegalități:

Mai întâi, să scriem ODZ:

Rădăcinile există, sunt nenegative, putem pătra ambele laturi. Primim:

Avem un sistem echivalent:

Sistemul rezultat poate fi simplificat. Când a doua și a treia inegalități sunt satisfăcute, prima este adevărată automat. Avem::

Exemplul 4 - rezolvarea inegalității:

Acționăm conform schemei - obținem un sistem echivalent.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Orice inegalitate care include o funcție sub rădăcină este numită iraţional. Există două tipuri de astfel de inegalități:

În primul caz, rădăcina este mai mică decât funcția g(x), în al doilea este mai mare. Dacă g(x) - constant, inegalitatea este mult simplificată. Vă rugăm să rețineți: în exterior aceste inegalități sunt foarte asemănătoare, dar schemele lor de soluție sunt fundamental diferite.

Astăzi vom învăța cum să rezolvăm inegalitățile iraționale de primul tip - acestea sunt cele mai simple și mai ușor de înțeles. Semnul de inegalitate poate fi strict sau nestrict. Următoarea afirmație este adevărată pentru ei:

Teorema. Orice inegalitate irațională a formei

Echivalent cu sistemul de inegalități:

Nu slab? Să vedem de unde provine acest sistem:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - totul este clar aici. Aceasta este inegalitatea originală la pătrat;
2. f (x) ≥ 0 este ODZ a rădăcinii. Permiteți-mi să vă reamintesc: rădăcina pătrată aritmetică există numai din nenegativ numere;
3. g(x) ≥ 0 este intervalul rădăcinii. Punând la pătrat inegalitatea, ardem negativele. Ca rezultat, pot apărea rădăcini suplimentare. Inegalitatea g(x) ≥ 0 le întrerupe.

Mulți elevi „se blochează” de prima inegalitate a sistemului: f (x) ≤ g 2 (x) - și uită complet de celelalte două. Rezultatul este previzibil: decizie greșită, puncte pierdute.

Deoarece inegalitățile iraționale sunt un subiect destul de complex, să ne uităm la 4 exemple deodată. De la bază la cu adevărat complexă. Toate problemele sunt luate de la examenele de admitere la Universitatea de Stat din Moscova. M. V. Lomonosov.

Exemple de rezolvare a problemelor

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

În fața noastră este un clasic inegalitatea irațională: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 este o constantă. Avem:

Din cele trei inegalități, doar două au rămas la finalul soluției. Deoarece inegalitatea 2 ≥ 0 este întotdeauna valabilă. Să traversăm inegalitățile rămase:

Deci, x ∈ [−1,5; 0,5]. Toate punctele sunt umbrite deoarece inegalitățile nu sunt stricte.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

Aplicam teorema:

Să rezolvăm prima inegalitate. Pentru a face acest lucru, vom dezvălui pătratul diferenței. Avem:

2x 2 − 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 − 10x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Acum să rezolvăm a doua inegalitate. Și acolo trinom pătratic:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)