Graficul funcției y sin 1. Graficul funcției y=sin x

Lecția video „Funcția y = sinx, proprietăți ee și grafic” prezintă material vizual pe această temă, precum și comentarii la acesta. În timpul demonstrației, sunt luate în considerare tipul funcției, proprietățile acesteia, comportamentul pe diferite segmente ale planului de coordonate, caracteristicile graficului sunt descrise în detaliu și este descris un exemplu de soluție grafică a ecuațiilor trigonometrice care conțin un sinus. Cu ajutorul unei lecții video, este mai ușor pentru un profesor să formuleze înțelegerea de către elev a acestei funcții și să-i învețe să rezolve problemele grafic.

Lecția video folosește instrumente pentru a facilita memorarea și înțelegerea informațiilor educaționale. În prezentarea graficelor și în descrierea soluționării problemelor se folosesc efecte de animație care ajută la înțelegerea comportamentului funcției și la prezentarea succesivă a progresului soluției. De asemenea, exprimarea materialului îl completează cu comentarii importante care înlocuiesc explicația profesorului. Astfel, acest material poate fi folosit și ca ajutor vizual. Și ca parte independentă a lecției în loc de explicația profesorului pe un subiect nou.

Demonstrația începe prin introducerea subiectului lecției. Este prezentată funcția sinus, a cărei descriere este evidențiată într-o casetă pentru memorare - s=sint, în care argumentul t poate fi orice număr real. Descrierea proprietăților acestei funcții începe cu domeniul definiției. Se observă că domeniul de definire al funcției este întreaga axă numerică a numerelor reale, adică D(f)=(- ∞;+∞). A doua proprietate este ciudățenia funcției sinus. Elevilor li se reamintește că această proprietate a fost studiată în clasa a IX-a, când s-a remarcat că pentru o funcție impară este valabilă egalitatea f(-x)=-f(x). Pentru sinus, confirmarea ciudățeniei funcției este demonstrată pe cercul unitar, împărțit în sferturi. Cunoscând ce semn ia funcția în diferite sferturi ale planului de coordonate, se observă că pentru argumentele cu semne opuse, folosind exemplul punctelor L(t) și N(-t), condiția de ciudățenie este îndeplinită pentru sinus. Prin urmare s=sint este o funcție impară. Aceasta înseamnă că graficul funcției este simetric față de origine.

A treia proprietate a sinusului demonstrează intervalele funcțiilor crescătoare și descrescătoare. Se notează că această funcție crește pe segment și scade pe segment [π/2;π]. Proprietatea este demonstrată în figură, care arată un cerc unitar și la deplasarea din punctul A în sens invers acelor de ceasornic, ordonata crește, adică valoarea funcției crește la π/2. La trecerea din punctul B la C, adică atunci când unghiul se schimbă de la π/2 la π, valoarea ordonatei scade. În al treilea sfert de cerc, la trecerea din punctul C în punctul D, ordonata scade de la 0 la -1, adică valoarea sinusului scade. În ultimul trimestru, la trecerea din punctul D în punctul A, valoarea ordonatei crește de la -1 la 0. Astfel, putem trage o concluzie generală despre comportamentul funcției. Ecranul afișează ieșirea pe care sint crește pe segmentul [-(π/2)+2πk; (π/2)+2πk], scade pe intervalul [(π/2)+2πk; (3π/2)+2πk] pentru orice întreg k.

A patra proprietate a sinusului ia în considerare mărginirea funcției. Se observă că funcția sint este mărginită atât deasupra cât și dedesubt. Elevilor li se reamintesc informațiile din algebra de clasa a IX-a când au fost introduși în conceptul de mărginire a unei funcții. Pe ecran este afișată condiția unei funcții mărginite de sus, pentru care există un anumit număr pentru care inegalitatea f(x)>=M este valabilă în orice punct al funcției. De asemenea, ne amintim de condiția unei funcții mărginite mai jos, pentru care există un număr m mai mic decât fiecare punct al funcției. Pentru sint condiția -1 este îndeplinită<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.

A cincea proprietate ia în considerare cele mai mici și mai mari valori ale funcției. Se notează realizarea celei mai mici valori -1 în fiecare punct t=-(π/2)+2πk, iar cea mai mare în punctele t=(π/2)+2πk.

Pe baza proprietăților considerate, pe segment se construiește un grafic al funcției sint. Pentru a construi funcția, se folosesc valorile tabelare ale sinusului în punctele corespunzătoare. Coordonatele punctelor π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π sunt marcate pe planul de coordonate. Prin marcarea valorilor de tabel ale funcției în aceste puncte și conectându-le cu o linie netedă, construim un grafic.

Pentru a reprezenta un grafic al funcției sint pe segmentul [-π;π], se folosește proprietatea de simetrie a funcției față de origine. Figura arată cum linia obținută ca rezultat al construcției este transferată fără probleme simetric față de originea coordonatelor la segmentul [-π;0].

Folosind proprietatea funcției sint, exprimată în formula de reducere sin(x+2π) = sin x, se observă că la fiecare 2π graficul sinus se repetă. Astfel, pe intervalul [π; 3π] graficul va fi același ca pe [-π;π]. Astfel, graficul acestei funcții reprezintă fragmente care se repetă [-π;π] de-a lungul întregului domeniu de definiție. Se observă separat că un astfel de grafic al unei funcții se numește sinusoid. Este introdus și conceptul de undă sinusoidală - un fragment de grafic construit pe segmentul [-π;π] și un arc sinusoid construit pe segmentul . Aceste fragmente sunt afișate din nou pentru memorare.

Se observă că funcția sint este o funcție continuă pe întregul domeniu de definiție și, de asemenea, că intervalul de valori al funcției se află în setul de valori al segmentului [-1;1].

La sfârșitul lecției video, este luată în considerare o soluție grafică a ecuației sin x=x+π. În mod evident, soluția grafică a ecuației va fi intersecția graficului funcției date de expresia din stânga și funcția dată de expresia din dreapta. Pentru a rezolva problema, se construiește un plan de coordonate, pe care se conturează sinusoida corespunzătoare y=sin x și se construiește o dreaptă corespunzătoare graficului funcției y=x+π. Graficele construite se intersectează într-un singur punct B(-π;0). Prin urmare, x=-π va fi soluția ecuației.

Lecția video „Funcția y = sinx, ee properties and graph” va ajuta la creșterea eficienței unei lecții tradiționale de matematică la școală. De asemenea, puteți utiliza material vizual atunci când efectuați învățământ la distanță. Manualul poate ajuta la stăpânirea subiectului pentru studenții care au nevoie de lecții suplimentare pentru o înțelegere mai profundă a materialului.

DECODIFICAREA TEXTULUI:

Subiectul lecției noastre este „Funcția y = sin x, proprietățile și graficul acesteia”.

Anterior, ne-am familiarizat deja cu funcția s = sin t, unde tϵR (es este egal cu sine te, unde te aparține mulțimii numerelor reale). Să studiem proprietățile acestei funcții:

PROPRIETĂȚI 1. Domeniul de definiție este mulțimea numerelor reale R (er), adică D(f) = (- ; +) (de din ef reprezintă intervalul de la minus infinit la plus infinit).

PROPRIETATE 2. Functia s = sin t este impara.

La lecțiile de clasa a IX-a, am învățat că funcția y = f (x), x ϵX (y este egal cu eff lui x, unde x aparține mulțimii x este mare) se numește impară dacă pentru orice valoare x din mulțime X egalitatea

f (- x) = - f (x) (eff din minus x este egal cu minus ef din x).

Și deoarece ordonatele punctelor L și N care sunt simetrice față de axa absciselor sunt opuse, atunci sin(- t) = -sint.

Adică, s = sin t este o funcție impară și graficul funcției s = sin t este simetric față de originea într-un sistem de coordonate dreptunghiular tos(te o es).

Să considerăm PROPRIETATEA 3. Pe intervalul [ 0; ] (de la zero la pi cu doi) funcția s = sin t crește și scade pe segmentul [; ](de la pi cu doi la pi).

Acest lucru este clar vizibil în figuri: atunci când un punct se mișcă de-a lungul cercului numeric de la zero la pi cu doi (de la punctul A la B), ordonata crește treptat de la 0 la 1 și când se deplasează de la pi cu doi la pi (de la punctul B la C), ordonata scade treptat de la 1 la 0.

Când un punct se deplasează de-a lungul celui de-al treilea sfert (de la punctul C la punctul D), ordonata punctului în mișcare scade de la zero la minus unu, iar când se deplasează de-a lungul celui de-al patrulea trimestru, ordonata crește de la minus unu la zero. Prin urmare, putem trage o concluzie generală: funcția s = sin t crește pe interval

(de la minus pi cu doi plus doi pi ka la pi cu doi plus doi pi ka), și scade pe segmentul [; (de la pi cu doi plus doi pi ka la trei pi cu doi plus doi pi ka), unde

(ka aparține mulțimii numerelor întregi).

PROPRIETATE 4. Funcția s = sint este mărginită deasupra și dedesubt.

De la cursul de clasa a IX-a, amintiți-vă definiția mărginirii: o funcție y = f (x) se numește mărginită de jos dacă toate valorile funcției nu sunt mai mici decât un anumit număr m m astfel încât pentru orice valoare x din domeniul de definire al funcției inegalitatea f (x) ≥ m(ef din x este mai mare sau egal cu em). Se spune că o funcție y = f (x) este mărginită mai sus dacă toate valorile funcției nu sunt mai mari decât un anumit număr M, asta înseamnă că există un număr M astfel încât pentru orice valoare x din domeniul de definire al funcției inegalitatea f (x) ≤ M(eff din x este mai mic sau egal cu em). O funcție se numește mărginită dacă este mărginită atât dedesubt, cât și de deasupra.

Să revenim la funcția noastră: mărginirea rezultă din faptul că pentru orice te inegalitatea este adevărată - 1 ≤ sint≤ 1. (sinusul lui te este mai mare sau egal cu minus unu, dar mai mic sau egal cu unu).

PROPRIETATE 5. Cea mai mică valoare a unei funcții este egală cu minus unu și funcția atinge această valoare în orice punct de forma t = (te este egală cu minus pi cu două plus două vârfuri, iar cea mai mare valoare a funcției este egală la unu și se realizează prin funcția în orice punct de forma t = (te este egal cu pi ori doi plus doi pi ka).

Cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției s = sin t indică s cel mai mult. și s max. .

Folosind proprietățile obținute, vom construi un grafic al funcției y = sin x (y este egal cu sinus x), deoarece suntem mai obișnuiți să scriem y = f (x) decât s = f (t).

Pentru început, să alegem o scară: de-a lungul axei ordonatelor, să luăm două celule ca segment unitar, iar de-a lungul axei absciselor, două celule sunt pi cu trei (deoarece ≈ 1). Mai întâi, să construim un grafic al funcției y = sin x pe segment. Avem nevoie de un tabel de valori ale funcției pe acest segment pentru a-l construi, vom folosi tabelul de valori pentru unghiurile cosinus și sinus corespunzătoare:

Astfel, pentru a construi un tabel cu valori de argument și funcție, trebuie să vă amintiți asta X(x) acest număr este egal în mod corespunzător cu unghiul din intervalul de la zero la pi și la(greacă) valoarea sinusului acestui unghi.

Să marchem aceste puncte pe planul de coordonate. Conform PROPRIETATEI 3 ​​pe segment

[ 0; ] (de la zero la pi cu doi) funcția y = sin x crește și scade pe segmentul [; ](de la pi cu doi la pi) și conectând punctele rezultate cu o linie netedă, obținem o parte a graficului (Fig. 1).

Folosind simetria graficului unei funcții impare în raport cu originea, obținem un grafic al funcției y = sin x deja pe segment

[-π; π ] (de la minus pi la pi (Fig. 2)).

Amintiți-vă că sin(x + 2π)= sinx

(sinusul lui x plus doi pi este egal cu sinusul lui x). Aceasta înseamnă că în punctul x + 2π funcția y = sin x ia aceeași valoare ca în punctul x. Și întrucât (x + 2π)ϵ [π; 3π ](x plus doi pi aparține segmentului de la pi la trei pi), dacă xϵ[-π; π ], apoi pe segmentul [π; 3π ] graficul funcției arată exact la fel ca pe segmentul [-π; π]. În mod similar, pe segmentele , , [-3π; -π ] și așa mai departe, graficul funcției y = sin x arată la fel ca pe segment

[-π; π].(Fig.3)

Linia care este graficul funcției y = sin x se numește undă sinusoidală. Porțiunea de unde sinusoidală prezentată în figura 2 este numită undă sinusoidală, în timp ce în figura 1 este numită undă sinusoidală sau jumătate de undă.

Folosind graficul construit, notăm câteva proprietăți suplimentare ale acestei funcții.

PROPRIETATE 6. Functia y = sin x este o functie continua. Aceasta înseamnă că graficul funcției este continuu, adică nu are sărituri sau înțepături.

PROPRIETATE 7. Domeniul de valori al funcției y = sin x este segmentul [-1; 1] (din minus unu la unu) sau se poate scrie astfel: (e din ef este egal cu segmentul din minus unu la unu).

Să ne uităm la un EXEMPLU. Rezolvați grafic ecuația sin x = x + π (sinus x este egal cu x plus pi).

Soluţie. Să construim grafice de funcții y = păcat XŞi y = x + π.

Graficul funcției y = sin x este o sinusoidă.

y = x + π este o funcție liniară, al cărei grafic este o dreaptă care trece prin punctele cu coordonatele (0; π) și (- π ; 0).

Graficele construite au un punct de intersecție - punctul B(- π;0) (fie cu coordonatele minus pi, zero). Aceasta înseamnă că această ecuație are o singură rădăcină - abscisa punctului B - -π. Răspuns: X = - π.

Am aflat că comportamentul funcțiilor trigonometrice și funcțiile y = sin x în special, pe întreaga linie numerică (sau pentru toate valorile argumentului X) este complet determinată de comportamentul său în interval 0 < X < π / 2 .

Prin urmare, în primul rând, vom reprezenta grafic funcția y = sin x exact in acest interval.

Să facem următorul tabel de valori ale funcției noastre;

Prin marcarea punctelor corespunzătoare pe planul de coordonate și conectându-le cu o linie netedă, obținem curba prezentată în figură

Curba rezultată ar putea fi construită și geometric, fără a compila un tabel cu valorile funcției y = sin x .

1. Împărțiți primul sfert de cerc cu raza 1 în 8 părți egale.

2.Primul sfert de cerc corespunde unghiurilor de la 0 la π / 2 . Prin urmare, pe axă X Să luăm un segment și să-l împărțim în 8 părți egale.

3. Să desenăm linii drepte paralele cu axele X, iar din punctele de împărțire construim perpendiculare până când acestea se intersectează cu linii orizontale.

4. Conectați punctele de intersecție cu o linie netedă.

Acum să ne uităm la interval π / 2 < X < π .
Fiecare valoare de argument X din acest interval poate fi reprezentat ca

x = π / 2 + φ

Unde 0 < φ < π / 2 . Conform formulelor de reducere

păcat( π / 2 + φ ) = cos φ = păcat( π / 2 - φ ).

Punctele axei X cu abscise π / 2 + φ Şi π / 2 - φ simetrice între ele în jurul punctului axei X cu abscisă π / 2 , iar sinusurile din aceste puncte sunt aceleași. Acest lucru ne permite să obținem un grafic al funcției y = sin x în intervalul [ π / 2 , π ] prin simpla afișare simetrică a graficului acestei funcții în intervalul relativ la linia dreaptă X = π / 2 .

Acum folosind proprietatea funcţie de paritate impară y = sin x,

păcat(- X) = - păcat X,

este ușor să reprezentați această funcție în intervalul [- π , 0].

Funcția y = sin x este periodică cu o perioadă de 2π ;. Prin urmare, pentru a construi întregul grafic al acestei funcții, este suficient să continuați periodic curba prezentată în figură la stânga și la dreapta cu o perioadă 2π .

Curba rezultată se numește sinusoid . Reprezintă graficul funcției y = sin x.

Figura ilustrează bine toate proprietățile funcției y = sin x , lucru pe care l-am dovedit anterior. Să ne amintim aceste proprietăți.

1) Funcție y = sin x definit pentru toate valorile X , deci domeniul său este mulțimea tuturor numerelor reale.

2) Funcția y = sin x limitat. Toate valorile pe care le acceptă sunt între -1 și 1, inclusiv aceste două numere. În consecință, intervalul de variație al acestei funcții este determinat de inegalitatea -1 < la < 1. Când X = π / 2 + 2k π funcția ia cele mai mari valori egale cu 1, iar pentru x = - π / 2 + 2k π - cele mai mici valori egale cu - 1.

3) Funcția y = sin x este impar (unda sinusoidală este simetrică față de origine).

4) Funcția y = sin x periodic cu perioada 2 π .

5) În intervale de 2n π < x < π + 2n π (n este orice număr întreg) este pozitiv și în intervale π + 2k π < X < 2π + 2k π (k este orice număr întreg) este negativ. La x = k π funcția ajunge la zero. Prin urmare, aceste valori ale argumentului x (0; ± π ; ±2 π ; ...) se numesc zerouri ale funcției y = sin x

6) La intervale - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funcţie y = sin x creste monoton, si in intervale π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π scade monoton.

Ar trebui să acordați o atenție deosebită comportamentului funcției y = sin x aproape de punct X = 0 .

De exemplu, sin 0,012 ≈ 0,012; păcat (-0,05) ≈ -0,05;

sin 2° = sin π 2 / 180 = sin π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

În același timp, trebuie remarcat faptul că pentru orice valoare a lui x

| păcat x| < | x | . (1)

Într-adevăr, să fie raza cercului prezentat în figură egală cu 1,
o / AOB = X.

Apoi păcatul x= AC. Dar AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Lungimea acestui arc este evident egală cu X, deoarece raza cercului este 1. Deci, la 0< X < π / 2

sin x< х.

Prin urmare, din cauza ciudățeniei funcției y = sin x este ușor să arăți că atunci când - π / 2 < X < 0

| păcat x| < | x | .

În sfârșit, când x = 0

| sin x | = | x |.

Astfel, pentru | X | < π / 2 inegalitatea (1) a fost dovedită. De fapt, această inegalitate este valabilă și pentru | x | > π / 2 datorită faptului că | păcat X | < 1, a π / 2 > 1

Exerciții

1.După graficul funcției y = sin x determina: a) sin 2; b) sin 4; c) păcatul (-3).

2.Conform graficului funcţiei y = sin x determinați ce număr din interval
[ - π / 2 , π / 2 ] are un sinus egal cu: a) 0,6; b) -0,8.

3. După graficul funcţiei y = sin x determinați ce numere au sinus,
egal cu 1/2.

4. Aflați aproximativ (fără a folosi tabele): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) sin (-0,015); d) păcat (-2°30").

Funcţiey = păcatx

Graficul funcției este o sinusoidă.

Porțiunea completă care nu se repetă a unei undă sinusoidală se numește undă sinusoidală.

Jumătate de undă sinusoidală se numește jumătate de undă sinusoidală (sau arc).

Proprietățile funcțieiy = păcatx:

3) Aceasta este o funcție ciudată. 4) Aceasta este o funcție continuă. - cu axa absciselor: (πn; 0), - cu axa ordonatelor: (0; 0). 6) Pe segmentul [-π/2; funcția π/2] crește pe intervalul [π/2; 3π/2] – scade. 7) Pe intervale funcția ia valori pozitive. Pe intervalele [-π + 2πn; Funcția 2πn] ia valori negative. 8) Intervale ale funcției crescătoare: [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn]. Intervale descrescătoare a funcției: [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn]. 9) Puncte minime ale funcției: -π/2 + 2πn. Puncte maxime ale funcției: π/2 + 2πn cea mai mare valoare este 1.

Pentru a reprezenta grafic o funcție y= păcat x Este convenabil să utilizați următoarele scale:

Pe o foaie de hârtie cu un pătrat, luăm lungimea a două pătrate ca unitate de segment.

Pe axa x Să măsurăm lungimea π. În același timp, pentru comoditate, prezentăm 3,14 sub formă de 3 - adică fără fracție. Apoi, pe o foaie de hârtie într-o celulă π vor fi 6 celule (de trei ori 2 celule). Și fiecare celulă va primi propriul nume natural (de la prima la a șasea): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Acestea sunt semnificațiile x.

Pe axa y marchem 1, care include două celule.

Să creăm un tabel cu valorile funcției folosind valorile noastre x:

			√3 - 2		√3 - 2

În continuare, să creăm un program. Rezultatul este o jumătate de undă, cel mai înalt punct al căruia este (π/2; 1). Acesta este graficul funcției y= păcat x pe segment. Să adăugăm o semiundă simetrică la graficul construit (simetrică față de origine, adică pe segmentul -π). Creasta acestei semi-unde se află sub axa x cu coordonatele (-1; -1). Rezultatul va fi un val. Acesta este graficul funcției y= păcat x pe segmentul [-π; π].

Puteți continua valul construind-o pe segmentul [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] etc. Pe toate aceste segmente, graficul funcției va arăta la fel ca pe segmentul [-π; π]. Veți obține o linie ondulată continuă cu valuri identice.

Funcţiey = cosx.

Graficul unei funcții este o undă sinusoidală (uneori numită undă cosinus).

Proprietățile funcțieiy = cosx:

1) Domeniul de definire al unei funcții este mulțimea numerelor reale. 2) Gama de valori ale funcției este segmentul [–1; 1] 3) Aceasta este o funcție uniformă. 4) Aceasta este o funcție continuă. 5) Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului: - cu axa absciselor: (π/2 + πn; 0), - cu axa ordonatelor: (0;1). 6) Pe segment funcția scade, pe segmentul [π; 2π] – crește. 7) Pe intervale [-π/2 + 2πn; Funcția π/2 + 2πn] ia valori pozitive. Pe intervalele [π/2 + 2πn; Funcția 3π/2 + 2πn] ia valori negative. 8) Intervale crescătoare: [-π + 2πn; 2πn]. Intervale descrescătoare: ; 9) Puncte minime ale funcției: π + 2πn. Puncte maxime ale funcției: 2πn. 10) Funcția este limitată de sus și de jos. Cea mai mică valoare a funcției este –1, cea mai mare valoare este 1. 11) Aceasta este o funcție periodică cu o perioadă de 2π (T = 2π)

Funcţiey = mf(x).

Să luăm funcția anterioară y=cos x. După cum știți deja, graficul său este o undă sinusoidală. Dacă înmulțim cosinusul acestei funcții cu un anumit număr m, atunci unda se va extinde de pe axă x(sau se va micșora, în funcție de valoarea lui m).
Acest nou val va fi graficul funcției y = mf(x), unde m este orice număr real.

Astfel, funcția y = mf(x) este funcția familiară y = f(x) înmulțită cu m.

Dacăm< 1, то синусоида сжимается к оси x prin coeficientm. Dacăm > 1, atunci sinusoida este întinsă de la axăx prin coeficientm.

Când efectuați întindere sau compresie, puteți mai întâi să reprezentați o singură jumătate de undă dintr-o undă sinusoidală și apoi să completați întregul grafic.

Funcţiey= f(kx).

Dacă funcţia y=mf(x) duce la întinderea sinusoidei din axă x sau compresie spre ax x, atunci funcția y = f(kx) duce la întinderea de pe axă y sau compresie spre ax y.

Mai mult, k este orice număr real.

La 0< k< 1 синусоида растягивается от оси y prin coeficientk. Dacăk > 1, atunci sinusoida este comprimată spre axăy prin coeficientk.

Când reprezentați grafic această funcție, puteți mai întâi să construiți o jumătate de undă dintr-o undă sinusoidală și apoi să o utilizați pentru a completa întregul grafic.

Funcţiey = tgx.

Graficul funcției y= tg x este o tangentă.

Este suficient să construiți o parte a graficului în intervalul de la 0 la π/2 și apoi o puteți continua simetric în intervalul de la 0 la 3π/2.

Proprietățile funcțieiy = tgx:

Funcţiey = ctgx

Graficul funcției y=ctg x este, de asemenea, un tangentoid (uneori este numit cotangentoid).

Proprietățile funcțieiy = ctgx:

Cum se grafică funcția y=sin x? Mai întâi, să ne uităm la graficul sinus al intervalului.

Luăm un singur segment de 2 celule lungime în caiet. Pe axa Oy marcam unul.

Pentru comoditate, rotunjim numărul π/2 la 1,5 (și nu la 1,6, așa cum este cerut de regulile de rotunjire). În acest caz, un segment de lungime π/2 corespunde la 3 celule.

Pe axa Ox nu marchem segmente individuale, ci segmente de lungime π/2 (la fiecare 3 celule). În consecință, un segment de lungime π corespunde la 6 celule, iar un segment de lungime π/6 corespunde unei celule.

Cu această alegere a unui segment unitar, graficul reprezentat pe o foaie de caiet într-o cutie corespunde pe cât posibil graficului funcției y=sin x.

Să facem un tabel cu valorile sinusului pe interval:

Marcam punctele rezultate pe planul de coordonate:

Deoarece y=sin x este o funcție impară, graficul sinus este simetric față de origine - punctul O(0;0). Ținând cont de acest fapt, continuăm trasarea graficului spre stânga, apoi punctele -π:

Funcția y=sin x este periodică cu perioada T=2π. Prin urmare, graficul unei funcții luate pe intervalul [-π;π] se repetă de un număr infinit de ori la dreapta și la stânga.

În această lecție vom arunca o privire detaliată asupra funcției y = sin x, proprietățile sale de bază și graficul. La începutul lecției, vom da definiția funcției trigonometrice y = sin t pe cercul de coordonate și vom considera graficul funcției pe cerc și dreaptă. Să arătăm periodicitatea acestei funcții pe grafic și să luăm în considerare principalele proprietăți ale funcției. La sfârșitul lecției, vom rezolva câteva probleme simple folosind graficul unei funcții și proprietățile acesteia.

Tema: Funcții trigonometrice

Lecția: Funcția y=sinx, proprietățile ei de bază și graficul

Când luăm în considerare o funcție, este important să asociați fiecare valoare de argument cu o singură valoare a funcției. Acest legea corespondențeiși se numește funcție.

Să definim legea corespondenței pentru .

Orice număr real corespunde unui singur punct de pe cercul unității. Un punct are o singură ordonată, care se numește sinusul numărului (Fig. 1).

Fiecare valoare de argument este asociată cu o singură valoare a funcției.

Proprietăți evidente rezultă din definiția sinusului.

Figura arată că deoarece este ordonata unui punct de pe cercul unitar.

Luați în considerare graficul funcției. Să ne amintim interpretarea geometrică a argumentului. Argumentul este unghiul central, măsurat în radiani. De-a lungul axei vom reprezenta numere reale sau unghiuri în radiani, de-a lungul axei valorile corespunzătoare ale funcției.

De exemplu, un unghi pe cercul unității corespunde unui punct de pe grafic (Fig. 2)

Am obținut un grafic al funcției din zonă. Dar cunoscând perioada sinusului, putem reprezenta graficul funcției pe întregul domeniu de definiție (Fig. 3).

Perioada principală a funcției este. Aceasta înseamnă că graficul poate fi obținut pe un segment și apoi continuat pe întregul domeniu de definiție.

Luați în considerare proprietățile funcției:

1) Domeniul de aplicare al definiției:

2) Interval de valori:

3) Funcția impară:

4) Cea mai mică perioadă pozitivă:

5) Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu axa absciselor:

6) Coordonatele punctului de intersecție a graficului cu axa ordonatelor:

7) Intervale la care funcția ia valori pozitive:

8) Intervale la care funcția ia valori negative:

9) Creșterea intervalelor:

10) Intervale descrescătoare:

11) Puncte minime:

12) Funcții minime:

13) Puncte maxime:

14) Funcții maxime:

Ne-am uitat la proprietățile funcției și graficul acesteia. Proprietățile vor fi folosite în mod repetat la rezolvarea problemelor.

Referințe

1. Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Manual pentru instituțiile de învățământ general (nivel de profil), ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Cartea de probleme pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil), ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebră și analiză matematică pentru clasa a 10-a (manual pentru elevii școlilor și claselor cu studiu aprofundat al matematicii - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Studiu aprofundat al algebrei și analizei matematice.-M.: Educație, 1997.

5. Culegere de probleme de matematică pentru solicitanţii la instituţiile de învăţământ superior (editate M.I. Skanavi - M.: Şcoala superioară, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulator algebric.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Probleme de algebră și principii de analiză (manual pentru elevii din clasele 10-11 din instituțiile de învățământ general - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karp A.P. Culegere de probleme de algebră și principii de analiză: manual. indemnizatie pentru 10-11 clase. cu profunzime studiat Matematică.-M.: Educaţie, 2006.

Teme pentru acasă

Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Cartea de probleme pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil), ed.

A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Resurse web suplimentare

3. Portal educațional pentru pregătirea examenelor ().