Graficul funcției rădăcină x. Rădăcină pătrată

Ai căutat rădăcina x a lui x egal? . O soluție detaliată cu descriere și explicații vă va ajuta să rezolvați chiar și cea mai complexă problemă, iar x este rădăcina lui y, fără excepție. Vă vom ajuta să vă pregătiți pentru teme, teste, olimpiade, precum și pentru intrarea la universitate.

Și indiferent de exemplu, indiferent de interogarea matematică pe care o introduceți, avem deja o soluție. De exemplu, „x este rădăcina lui x este egală”. Utilizarea diverselor probleme matematice, calculatoare, ecuații și funcții este larg răspândită în viața noastră. Ele sunt folosite în multe calcule, construcție de structuri și chiar sport. Omul a folosit matematica din cele mai vechi timpuri și de atunci utilizarea lor a crescut. Totuși, acum știința nu stă pe loc și ne putem bucura de roadele activității sale, cum ar fi un calculator online care poate rezolva probleme precum x rădăcina lui x este egală, x rădăcina lui y, rădăcina lui x, rădăcina lui x este egală cu x, rădăcina lui x este egală cu x, rădăcina lui x egal cu x, funcție rădăcină y minus x,funcția y minus rădăcină rădăcină x,x

rădăcină y,x

de x este egal. Pe această pagină veți găsi un calculator care vă va ajuta să rezolvați orice întrebare, inclusiv x rădăcina lui x egal. (de exemplu, rădăcina lui x).

Unde poți rezolva orice problemă de matematică, precum și rădăcina x a lui x egală online?

Puteți rezolva problema x rădăcina lui x egală pe site-ul nostru. Soluția online gratuită vă va permite să rezolvați o problemă online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să introduceți pur și simplu datele dvs. în soluție. De asemenea, puteți viziona instrucțiunile video și puteți afla cum să vă introduceți corect sarcina pe site-ul nostru web. Și dacă mai aveți întrebări, le puteți adresa în chat-ul din stânga jos a paginii calculatorului.

M-am uitat din nou la semn... Și, să mergem!

Să începem cu ceva simplu:

Doar un minut. asta, ceea ce înseamnă că îl putem scrie astfel:

Am înţeles? Iată următorul pentru tine:

Nu sunt extrase exact rădăcinile numerelor rezultate? Nicio problemă - iată câteva exemple:

Ce se întâmplă dacă nu există doi, ci mai mulți multiplicatori? Aceeași! Formula de înmulțire a rădăcinilor funcționează cu orice număr de factori: Acum complet pe cont propriu:

Raspunsuri:

Bine făcut! De acord, totul este foarte ușor, principalul lucru este să cunoști tabla înmulțirii!

Permiteți-mi să vă reamintesc că formula generală arată astfel:

Ceea ce înseamnă că rădăcina coeficientului este egală cu câtul rădăcinilor.

Ei bine, să ne uităm la câteva exemple:

Asta e tot știința. Iată un exemplu:

Totul nu este la fel de lin ca în primul exemplu, dar, după cum puteți vedea, nu este nimic complicat.

Ce se întâmplă dacă dai peste această expresie:

Trebuie doar să aplicați formula în direcția opusă:

Și iată un exemplu:

Puteți întâlni și această expresie:

Totul este la fel, doar că aici trebuie să vă amintiți cum să traduceți fracțiile (dacă nu vă amintiți, uitați-vă la subiect și reveniți!). Vă amintiți? Acum haideți să decidem!

Sunt sigur că ai făcut față cu totul, acum hai să încercăm să ridicăm rădăcinile la grade.

Exponentiație

Ce se întâmplă dacă rădăcina pătrată este pătrată? Este simplu, amintiți-vă semnificația rădăcinii pătrate a unui număr - acesta este un număr a cărui rădăcină pătrată este egală cu.

Deci, dacă pătratăm un număr a cărui rădăcină pătrată este egală, ce obținem?

Ei bine, desigur!

Să ne uităm la exemple:

E simplu, nu? Ce se întâmplă dacă rădăcina este într-un grad diferit? E bine!

Urmați aceeași logică și amintiți-vă proprietățile și acțiunile posibile cu grade.

Citiți teoria despre subiectul „” și totul va deveni extrem de clar pentru dvs.

De exemplu, iată o expresie:

În acest exemplu, gradul este par, dar dacă este impar? Din nou, aplicați proprietățile puterilor și factorizați totul:

Totul pare clar cu asta, dar cum se extrage rădăcina unui număr la o putere? Iată, de exemplu, aceasta:

Destul de simplu, nu? Ce se întâmplă dacă gradul este mai mult de două? Urmăm aceeași logică folosind proprietățile gradelor:

Ei bine, totul este clar? Apoi rezolvați singur exemplele:

Și iată răspunsurile:

Intrând sub semnul rădăcinii

Ce nu am învățat să facem cu rădăcinile! Tot ce rămâne este să exersezi introducerea numărului sub semnul rădăcină!

Este chiar ușor!

Să presupunem că avem un număr notat

Ce putem face cu el? Ei bine, bineînțeles, ascunde-i pe cei trei sub rădăcină, amintindu-ți că cei trei sunt rădăcina pătrată a!

De ce avem nevoie de asta? Da, doar pentru a ne extinde capacitățile atunci când rezolvăm exemple:

Cum vă place această proprietate a rădăcinilor? Îți face viața mult mai ușoară? Pentru mine, exact așa este! Numai Trebuie să ne amintim că nu putem introduce decât numere pozitive sub semnul rădăcinii pătrate.

Rezolva singur acest exemplu -
Te-ai descurcat? Să vedem ce ar trebui să obțineți:

Bine făcut! Ai reușit să introduci numărul sub semnul rădăcină! Să trecem la ceva la fel de important - să ne uităm la cum să comparăm numerele care conțin o rădăcină pătrată!

Comparația rădăcinilor

De ce trebuie să învățăm să comparăm numerele care conțin o rădăcină pătrată?

Foarte simplu. Adesea, în expresii mari și lungi întâlnite la examen, primim un răspuns irațional (rețineți ce este acesta? Am vorbit deja despre asta astăzi!)

Trebuie să plasăm răspunsurile primite pe linia de coordonate, de exemplu, pentru a determina care interval este potrivit pentru rezolvarea ecuației. Și aici apare problema: nu există calculator în examen și, fără el, cum vă puteți imagina ce număr este mai mare și care este mai mic? Asta este!

De exemplu, determinați care este mai mare: sau?

Nu poți spune imediat. Ei bine, să folosim proprietatea dezasamblată de a introduce un număr sub semnul rădăcină?

Apoi mergeți mai departe:

Ei bine, evident, ce număr mai mare sub semnul rădăcinii, cu atât rădăcina în sine este mai mare!

Aceste. dacă, atunci, .

De aici concluzionăm ferm că. Și nimeni nu ne va convinge de contrariul!

Extragerea rădăcinilor din număr mare

Înainte de aceasta, am introdus un multiplicator sub semnul rădăcinii, dar cum să-l eliminăm? Trebuie doar să-l factorizezi în factori și să extragi ceea ce extragi!

A fost posibil să luăm o cale diferită și să ne extindem în alți factori:

Nu-i rău, nu? Oricare dintre aceste abordări este corectă, decideți cum doriți.

Factorizarea este foarte utilă atunci când rezolvați astfel de probleme non-standard ca aceasta:

Să nu ne fie frică, ci să acționăm! Să descompunăm fiecare factor sub rădăcină în factori separați:

Acum încercați singur (fără calculator! Nu va fi la examen):

Acesta este sfârșitul? Să nu ne oprim la jumătate!

Asta e tot, nu e chiar atât de înfricoșător, nu?

A funcționat? Bravo, asa e!

Acum încearcă acest exemplu:

Dar exemplul este o nucă greu de spart, așa că nu vă puteți da seama imediat cum să o abordați. Dar, desigur, ne putem descurca.

Ei bine, să începem factorizarea? Să observăm imediat că puteți împărți un număr la (amintiți-vă semnele de divizibilitate):

Acum, încercați singur (din nou, fără calculator!):

Ei bine, a funcționat? Bravo, asa e!

Să rezumam

1. Rădăcina pătrată (rădăcină pătrată aritmetică) a unui număr nenegativ este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu.
   .
2. Dacă pur și simplu luăm rădăcina pătrată a ceva, obținem întotdeauna un rezultat nenegativ.
3. Proprietățile unei rădăcini aritmetice:
4. La comparare rădăcini pătrate este necesar să ne amintim că, cu cât numărul de sub semnul rădăcinii este mai mare, cu atât rădăcina însăși este mai mare.

Cum este rădăcina pătrată? Este totul clar?

Am încercat să vă explicăm fără nicio bătaie de cap tot ce trebuie să știți la examen despre rădăcina pătrată.

Acum e rândul tău. Scrie-ne dacă acest subiect este dificil pentru tine sau nu.

Ați învățat ceva nou sau totul era deja clar?

Scrieți în comentarii și mult succes la examene!

Lecție și prezentare pe tema: „Grafic al funcției rădăcinii pătrate. Domeniul de definire și construcție a graficului”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările voastre. Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Ajutoare și simulatoare educaționale în magazinul online Integral pentru clasa a VIII-a
Manual electronic pentru manual de Mordkovich A.G.
Caiet de lucru algebră electronică pentru clasa a VIII-a

Graficul funcției rădăcinii pătrate

Băieți, ne-am întâlnit deja cu construirea de grafice de funcții și de mai multe ori. Am construit seturi funcții liniareși parabole. În general, este convenabil să scrieți orice funcție ca $y=f(x)$. Aceasta este o ecuație cu două variabile - pentru fiecare valoare a lui x obținem y. După ce a făcut niște operațiune dată f, mapăm mulțimea tuturor posibilelor x pe mulțimea y. Putem scrie aproape orice operație matematică ca funcție f.

De obicei, atunci când trasăm grafice de funcții, folosim un tabel în care înregistrăm valorile lui x și y. De exemplu, pentru funcția $y=5x^2$ este convenabil să folosiți următorul tabel: Marcați punctele rezultate pe sistemul de coordonate carteziene și conectați-le cu grijă cu o curbă netedă. Funcția noastră nu este limitată. Numai cu aceste puncte putem înlocui absolut orice valoare x din domeniul de definiție dat, adică acele x pentru care expresia are sens.

Într-una din lecțiile anterioare, am învățat o nouă operație de extragere a rădăcinii pătrate. Apare întrebarea: putem, folosind această operație, să definim o funcție și să construim graficul acesteia? Să profităm vedere generală funcțiile $y=f(x)$. Să lăsăm y și x în locul lor, iar în loc de f introducem operația cu rădăcina pătrată: $y=\sqrt(x)$.
Cunoscând operația matematică, am putut defini funcția.

Reprezentarea grafică a funcției rădăcină pătrată

Să reprezentăm grafic această funcție. Pe baza definiției rădăcinii pătrate, o putem calcula numai din numere nenegative, adică $x≥0$.
Să facem un tabel:
Să ne marchem punctele pe planul de coordonate.

Tot ce trebuie să facem este să conectăm cu atenție punctele rezultate.

Băieți, fiți atenți: dacă graficul funcției noastre este întors pe partea sa, obținem ramura stângă a unei parabole. De fapt, dacă liniile din tabelul de valori sunt schimbate (linia de sus cu cea de jos), atunci obținem valori doar pentru parabolă.

Domeniul funcției $y=\sqrt(x)$

Folosind graficul unei funcții, este destul de ușor să descrii proprietățile.
1. Domeniul de aplicare: $$.
b) $$.

Soluţie.
Ne putem rezolva exemplul în două moduri. În fiecare scrisoare vom descrie diferite metode.

A) Să revenim la graficul funcției construite mai sus și să marchem punctele necesare ale segmentului. Se vede clar că pentru $x=9$ funcția este mai mare decât toate celelalte valori. Asta înseamnă cea mai mare valoare ajunge în acest punct. Când $x=4$ valoarea funcției este mai mică decât toate celelalte puncte, ceea ce înseamnă că aceasta este cea mai mică valoare.

$y_(cel mai mult)=\sqrt(9)=3$, $y_(cel mai mult)=\sqrt(4)=2$.

B) Știm că funcția noastră este în creștere. Aceasta înseamnă că fiecare valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției. Cele mai mari și cele mai scăzute valori sunt obținute la sfârșitul segmentului:

$y_(cel mai mult)=\sqrt(11)$, $y_(cel mai mult)=\sqrt(2)$.

Exemplul 2.
Rezolvați ecuația:

$\sqrt(x)=12-x$.

Soluţie.
Cel mai simplu mod este de a construi două grafice ale unei funcții și de a găsi punctul lor de intersecție.
Punctul de intersecție cu coordonatele $(9;3)$ este clar vizibil pe grafic. Aceasta înseamnă că $x=9$ este soluția ecuației noastre.
Răspuns: $x=9$.

Băieți, putem fi siguri că acest exemplu nu mai are soluții? Una dintre funcții crește, cealaltă scade. În general, ele fie nu au puncte comune, fie se intersectează doar la unul.

Exemplul 3.

Construiți și citiți graficul funcției:

$\begin (cazuri) -x, x 9. \end (cazuri)$

Trebuie să construim trei grafice parțiale ale funcției, fiecare pe propriul interval.

Să descriem proprietățile funcției noastre:
1. Domeniul definiției: $(-∞;+∞)$.
2. $y=0$ pentru $x=0$ și $x=12$; $у>0$ pentru $хϵ(-∞;12)$; $y 3. Funcția scade pe intervalele $(-∞;0)U(9;+∞)$. Funcția crește pe intervalul $(0;9)$.
4. Funcția este continuă pe întregul domeniu de definire.
5. Nu există o valoare maximă sau minimă.
6. Interval de valori: $(-∞;+∞)$.

Probleme de rezolvat independent

1. Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției rădăcinii pătrate pe segment:
a) $$;
b) $$.
2. Rezolvați ecuația: $\sqrt(x)=30-x$.
3. Construiți și citiți graficul funcției: $\begin (cases) 2-x, x 4. \end (cases)$
4. Construiți și citiți graficul funcției: $y=\sqrt(-x)$.

Rădăcina pătrată ca funcție elementară.

Rădăcină pătrată - Asta funcţie elementară si un caz special functie de putere la . Rădăcina pătrată aritmetică este netedă la , iar la zero este continuă, dar nu este diferențiabilă.

Ca funcție, o rădăcină variabilă complexă este o funcție cu două valori ale cărei frunze converg la zero.

Reprezentarea grafică a funcției rădăcinii pătrate.

1. Completarea tabelului de date:

X
la

2. Reprezentăm punctele pe care le-am primit pe planul de coordonate.

3. Conectați aceste puncte și obțineți un grafic al funcției rădăcinii pătrate:

Transformarea graficului unei funcții rădăcină pătrată.

Să determinăm ce transformări de funcții trebuie făcute pentru a construi grafice de funcții. Să definim tipurile de transformări.

	Tip de conversie	Conversie
		Transferarea unei funcții de-a lungul unei axe OY pentru 4 unitati Sus.
	intern	Transferarea unei funcții de-a lungul unei axe BOU pentru 1 unitate La dreapta.
	intern	Graficul se apropie de axă OY de 3 ori și se comprimă de-a lungul axei OH.
		Graficul se îndepărtează de axă BOU OY.
	intern	Graficul se îndepărtează de axă OY de 2 ori și întins de-a lungul axei OH.

Adesea, transformările funcțiilor sunt combinate.

De exemplu, trebuie să grafici funcția . Acesta este un diagramă cu rădăcină pătrată care trebuie mutat cu o unitate în jos pe axă OYși o unitate la dreapta de-a lungul axei OHși în același timp întinzându-l de 3 ori de-a lungul axei OY.

Se întâmplă că imediat înainte de a construi un grafic al unei funcții, sunt necesare transformări identice preliminare sau simplificări ale funcțiilor.

Municipal instituție de învățământ

medie școală gimnazială №1

Artă. Bryukhovetskaya

formarea municipală districtul Bryukhovetsky

Profesor de matematică

Gucenko Angela Viktorovna

2014

Funcția y =
, proprietățile și graficul acestuia

Tip de lecție: învăţarea de materiale noi

Obiectivele lecției:

Probleme rezolvate la lecție:

învață elevii să lucreze independent;

face presupuneri și presupuneri;

să poată generaliza factorii studiati.

Echipament: tablă, cretă, proiector multimedia, fișă

Momentul lecției.

Stabilirea temei lecției împreună cu elevii -1 min.

Determinarea scopurilor și obiectivelor lecției împreună cu elevii -1 min.

Actualizarea cunoștințelor (studiu frontal) –3 min.

Lucrare orala -3 min.

Explicarea noului material bazat pe crearea de situații problematice -7 min.

Fizminutka –2 min.

Trasarea unui grafic împreună cu clasa, întocmirea construcției în caiete și determinarea proprietăților unei funcții, lucrul cu un manual -10 min.

Consolidarea cunoștințelor dobândite și exersarea abilităților de transformare a graficelor -9 min .

Rezumând lecția, stabilind feedback – 3 min.

Teme pentru acasă -1 min.

Total 40 de minute.

Progresul lecției.

Stabilirea temei lecției împreună cu elevii (1 min).

Tema lecției este determinată de elevi folosind întrebări de ghidare:

funcţie- munca efectuată de un organ, organismul în ansamblu.

funcţie- posibilitatea, opțiunea, priceperea unui program sau dispozitiv.

funcţie- sarcina, gama de activitati.

funcţie personaj dintr-o operă literară.

funcţie- tip de subrutină în informatică

funcţieîn matematică – legea dependenței unei cantități de alta.

Determinarea scopurilor și obiectivelor lecției împreună cu elevii (1 min).

Profesorul, cu ajutorul elevilor, formulează și pronunță scopuri și obiective această lecție.

Actualizarea cunoștințelor (studiu frontal – 3 min).

Lucru oral – 3 min.

Lucru frontal.

(A și B aparțin, C nu)

Explicarea materialului nou (pe baza creării de situații problematice – 7 min).

Situatie problematica: descrie proprietățile unei funcții necunoscute.

Împărțiți clasa în echipe de 4-5 persoane, distribuiți formulare pentru a răspunde la întrebările adresate.

Formularul nr. 1

y=0, cu x=?

Domeniul de aplicare al funcției.

Set de valori ale funcției.

Unul dintre reprezentanții echipei răspunde la fiecare întrebare, restul echipelor votează „pentru” sau „împotrivă” cu cartonașe de semnalizare și, dacă este necesar, completează răspunsurile colegilor de clasă.

Împreună cu clasa, trageți o concluzie despre domeniul definiției, setul de valori și zerourile funcției y=.

Situatie problematica : încercați să construiți un grafic al unei funcții necunoscute (există o discuție în echipe, se caută o soluție).

Profesorul reamintește algoritmul pentru construirea graficelor de funcții. Elevii din echipe încearcă să descrie graficul funcției y= pe formulare, apoi schimbă formulare între ei pentru autotestare și testare reciprocă.

Fizminutka (Clown)

Construirea unui grafic împreună cu clasa cu designul în caiete – 10 min.

După o discuție generală, sarcina de a construi un grafic al funcției y= este finalizată individual de fiecare elev într-un caiet. În acest moment, profesorul oferă asistență diferențiată elevilor. După ce elevii termină sarcina, graficul funcției este afișat pe tablă și elevii sunt rugați să răspundă la următoarele întrebări:

Concluzie: Împreună cu elevii, trageți o concluzie despre proprietățile funcției și citiți-le din manual:

Consolidarea cunoștințelor dobândite și exersarea abilităților de transformare grafică – 9 min.

Elevii lucrează pe cardul lor (după opțiuni), apoi se schimbă și se verifică reciproc. Ulterior, graficele sunt afișate pe tablă, iar elevii își evaluează munca comparând-o cu tabla.

Cardul nr. 1

Cardul nr. 2

Concluzie: despre transformările grafice

1) transfer paralel de-a lungul axei op-amp

2) deplasarea de-a lungul axei OX.

9. Rezumarea lecției, oferirea de feedback – 3 min.

Slide-uri – introduceți cuvintele lipsă

Domeniul de definire al acestei funcții, cu excepția tuturor numerelor ...(negativ).

Graficul funcției este situat în... (eu) sferturi.

Când argumentul x = 0, valoarea... (funcții) y =... (0).

Cea mai mare valoare a funcției... (nu exista) cea mai mică valoare - …(egale cu 0)

10. Tema pentru acasă (cu comentarii – 1 min).

Conform manualului- §13

Conform cărții cu probleme– Nr. 13.3, Nr. 74 (repetarea ecuațiilor pătratice incomplete)