Constructia odografului Nyquist. Caracteristica amplitudine-fază (hodograf Nyquist)

Hodograful din stânga este un hodograf al unui sistem evident stabil, care nu acoperă punctele, care este cerut conform criteriului Nyquist pentru stabilitatea unui sistem în buclă închisă. Hodograf drept – odograf tripolar, un sistem evident instabil ocolește punctul de trei oriîn sens invers acelor de ceasornic, ceea ce este necesar conform criteriului Nyquist pentru stabilitatea unui sistem în buclă închisă.

Comentariu.

Caracteristicile amplitudine-fază ale sistemelor cu parametri reali - și numai așa se întâlnesc în practică - sunt simetrice față de axa reală. Prin urmare, doar jumătate din caracteristica amplitudine-fază corespunzătoare frecvențelor pozitive este de obicei luată în considerare. În acest caz, se iau în considerare jumătate de cursă ale punctului. Intersecția segmentului () când frecvența crește de sus în jos (faza crește) este considerată o intersecție, iar de jos în sus este considerată o intersecție. Dacă caracteristica amplitudine-fază a unui sistem în buclă deschisă începe pe segmentul (), atunci aceasta va corespunde fie unei intersecții, în funcție de faptul că caracteristica scade sau crește pe măsură ce frecvența crește.

Numărul de intersecții ale segmentului () poate fi calculat utilizând caracteristicile frecvenței logaritmice. Să lămurim că acestea sunt intersecțiile care corespund unei faze când mărimea caracteristicii de amplitudine este mai mare decât unu.

Determinarea stabilității folosind caracteristici de frecvență logaritmică.

Pentru a utiliza criteriul Mikhailov, trebuie să construiți un hodograf. Iată polinomul caracteristic sistemului închis.

În cazul criteriului Nyquist, este suficient să cunoaștem funcția de transfer a sistemului în buclă deschisă. În acest caz, nu este nevoie să construiți un hodograf. Pentru a determina stabilitatea Nyquist, este suficient să construiți caracteristicile de amplitudine logaritmică și frecvență de fază ale unui sistem în buclă deschisă.

Cea mai simplă construcție se obține atunci când funcția de transfer a unui sistem în buclă deschisă poate fi reprezentată sub formă

, apoi LAH ,

Poza de mai jos corespunde functie de transfer

.

Aici și construit ca functii.

Caracteristicile frecvenței logaritmice prezentate mai jos corespund sistemului menționat anterior cu o funcție de transfer (buclă deschisă)

.

În stânga sunt caracteristicile de amplitudine și frecvență de fază pentru funcția de transfer, în dreapta - pentru funcția de transfer, în centru - pentru funcția de transfer originală (așa cum este calculată de programul Les, metoda „Integrare”).

Cei trei poli ai funcției sunt deplasați la stânga (sistem stabil). Caracteristica de fază, în consecință, are 0 treceri la nivel. Cei trei poli ai funcției sunt deplasați la dreapta (sistem instabil). Caracteristica de fază, în consecință, are trei intersecții de jumătate de nivel în zonele în care modulul funcției de transfer este mai mare decât unitatea.

În orice caz, sistemul închis este stabil.

Imaginea centrală - calculul în absența mișcărilor rădăcinii, este limita pentru imaginea din dreapta, cursul fazei din imaginea din stânga este radical diferit. Unde este adevarul?

Exemple din.

Fie funcția de transfer a sistemului în buclă deschisă să aibă forma:

.

Un sistem în buclă deschisă este stabil pentru orice pozitiv kŞi T. Un sistem închis este, de asemenea, stabil, așa cum se poate observa din hodograful din stânga în figură.

Când este negativ T sistemul cu buclă deschisă este instabil - are un plus în semiplanul drept. Sistemul închis este stabil la , așa cum se poate observa din hodograful din centru, și instabil la (hodograf în dreapta).

Fie ca funcția de transfer a sistemului în buclă deschisă să aibă forma ():

.

Are un pol pe axa imaginară. În consecință, pentru stabilitatea unui sistem în buclă închisă, este necesar ca numărul de intersecții ale segmentului () a axei reale cu caracteristica amplitudine-fază a sistemului în buclă deschisă să fie egal (dacă luăm în considerare doar hodograful). pentru frecvenţe pozitive).

O teoremă importantă din teoria funcțiilor unei stări variabile complexe: să fie funcția unică în interiorul unui contur simplu conectat C și, în plus, să fie unică și analitică pe acest contur. Dacă nu este egal cu zero pe C și dacă în interiorul conturului C poate exista doar un număr finit de puncte singulare (poli), atunci

unde este numărul de zerouri și este numărul de poli din interiorul C, dintre care fiecare este luat în considerare în funcție de multiplicitatea sa.

Această teoremă decurge direct din teorema reziduurilor a lui Cauchy, care afirmă că

Să înlocuim cu și să observăm că singularitățile sunt păstrate atât la zerouri, cât și la poli. Atunci reziduurile găsite în aceste puncte singulare vor fi egale cu multiplicitățile punctelor singulare cu un semn pozitiv la zero și un semn negativ la zero. poli Teorema formulată mai sus este acum evidentă.

Relația (11.2-1) poate fi scrisă și sub formă

Deoarece conturul C va avea în general atât părți reale, cât și părți imaginare, logaritmul său va fi scris sub formă

Cu condiția ca C să nu dispară nicăieri pe graniță, integrarea în (II.2-3) dă direct

unde indică începutul și sfârșitul arbitrar al conturului închis C. În consecință,

Combinând rezultatele (II.2-1) și (II.2-7), aflăm că produsul modificării totale a unghiului (revoluție completă în jurul originii) atunci când curge conturul C este egal cu diferența dintre zerouri și poli în interiorul conturului C.

Dacă este numărul total de rotații în jurul originii pe măsură ce C rulează, atunci putem scrie

în plus, conturul C se învârte în direcția corespunzătoare creșterii unghiului pozitiv, iar revoluția se numește pozitivă dacă are loc și în direcția corespunzătoare creșterii unghiului pozitiv.

Orez. II.2-1. Un contur închis care cuprinde partea finită a semiplanului drept.

Acum aceste rezultate pot fi aplicate direct problemei determinării stabilității. Vrem să știm dacă numitorul funcției de transfer are zerouri în semiplanul drept.

În consecință, conturul C este ales pentru a cuprinde complet semiplanul drept. Acest circuit este prezentat în Fig. unde marele semicerc care cuprinde semiplanul drept este dat de relaţiile

în timp ce tinde spre infinit în limită.

Să presupunem că este scris ca

unde este o întreagă funcție a și care nu au factori comuni. Să construim în continuare o diagramă în plan complex, schimbând valorile de-a lungul conturului C. Această diagramă ne va oferi un contur închis. În cazul general, va fi o întreagă funcție de formă polinomială, care în mod evident nu are poli în partea finită a planului. Dacă este transcendental, atunci trebuie determinat numărul P de poli din partea finită a semiplanului drept. Cunoscând P și determinând din diagramă când trece C, putem determina acum, conform ecuației (II.2-8), numărul de zerouri în semiplanul drept.

Orez. II.2-2. Sistem simplu de control cu ​​un singur circuit.

Pentru ca sistemul să fie stabil, acesta trebuie să fie egal cu zero. În consecință, aplicarea acestui criteriu include două etape: prima este determinarea polilor în semiplanul drept, iar a doua este construcția unei diagrame atunci când trece C. Prima etapă se realizează de obicei foarte simplu. Al doilea poate reprezenta dificultăți semnificative, mai ales dacă de ordin al treilea sau superior și dacă conține termeni transcendentali.

Pentru un sistem de control cu feedback arătat în vedere generalăîn fig. Complexitatea diagramării poate fi redusă semnificativ prin utilizarea unei funcții de transfer în buclă deschisă. Funcția de transfer a unui sistem în buclă închisă este legată de funcția de transfer a unui sistem în buclă deschisă prin relație

unde poate avea atât poli, cât și zerouri. Într-o problemă de stabilitate, este de dorit să se știe dacă are poli în semiplanul drept. Acest lucru este echivalent cu a fi în semiplanul drept al zerourilor funcției, sau a fi în semiplanul drept, deplasat cu -1, zerourile funcției câștig în buclă deschisă și, în același timp, minimizăm munca de construire a diagramei Nyquist, rescriem expresiile numitorului (II.2-12) sub forma în care K este câștigul sistemului în buclă deschisă. Acum polii sunt identici cu zerourile în raport cu

Pentru a aplica criteriul Nyquist, desenăm mai întâi un contur C, care acoperă

întregul semiplan drept. După aceasta, calculăm numărul total de rotații pentru aceeași mișcare în jurul punctului Modificarea câștigului K modifică doar poziția punctului și nu afectează locația [-Se determină numărul de poli P ai funcției în PPP. direct din funcția în sine, dacă are forma unui produs de factori simpli, sau prin mai greu de calculat dacă are o formă polinomială sau transcendentală. Stabilitatea sistemului este apoi determinată prin aplicarea directă a ecuației (II.2-8), care stabilește

În consecință, sistemul este stabil doar dacă este egal cu zero, unde acum numărul de zerouri al numitorului (II.2-12) în

Orez. II.2-3. Două posibile modificări ale circuitelor cu bypass de poli pe axa imaginară.

Când se aplică criteriul în această formă, trebuie acordată atenție alegerii conturului C, acoperind semiplanul drept. Relația (11.2-1), și deci (11.2-13) necesită absența singularităților funcției afișate pe conturul C. Sunt frecvente cazuri când are un pol la origine sau chiar mai multe perechi de poli conjugați complecși pe axa imaginară. Pentru a aborda aceste cazuri speciale, kongur C este modificat prin parcurgerea fiecărei singularități în semicercuri foarte mici, așa cum se arată în Fig. II.2-3. Dacă caracteristicile sunt poli, atunci conturul C modificat poate trece fie la dreapta, fie la stânga acestora, așa cum se arată în Fig. II.2-3,a și, respectiv, II.2-3,b. Dacă singularitatea nu este un pol, atunci conturul trebuie să treacă întotdeauna în dreapta acestuia, deoarece relația (II.2-1) permite numai astfel de singularități ca poli în interiorul conturului C. Acei poli de pe axa imaginară care sunt ocoliți din stânga se află în interiorul conturului C și, prin urmare, trebuie luați în considerare în P. În acest caz, conturul C în imediata vecinătate a punctului singular este de obicei ales sub forma

unde unghiul variază de la până în limita tinde spre zero.

Hodograful pe măsură ce trece prin conturul C este format în principal din patru părți. Hodograf la

excluzând vecinătatea singularităților pe axa imaginară, este pur și simplu răspunsul în frecvență al sistemului în buclă deschisă. Prin urmare, hodograful la poate fi obținut prin reprezentarea lui în raport cu axa reală. Când se trece printr-un semicerc infinit, valoarea pentru toate sistemele fezabile fizic este zero sau, cel mult, o valoare constantă finită. În cele din urmă, hodograful la trecerea prin semicercuri mici în vecinătatea polilor de pe axa imaginară este determinat prin substituirea directă a expresiei (II.2-14) în această funcție. Astfel, maparea conturului C pe planul funcției este finalizată.

La aplicarea criteriului în această formă devine evidentă natura restricțiilor impuse acestuia. În primul rând, poate avea doar un număr finit de singularități de tip pol în semiplanul drept. În al doilea rând, poate avea doar un număr finit de singularități (poli sau puncte de ramificație) pe axa imaginară. Clasa de funcții poate fi extinsă pentru a include funcții care au puncte de ramificație, atâta timp cât punctele de ramificare se află în semiplanul stâng și dacă este utilizată valoarea principală a funcției. În al treilea rând, sunt permise caracteristici semnificative ale formei din numărător, deoarece valoarea absolută a acestei funcții, atunci când se schimbă în semiplanul drept, este între și 0.

Este recomandabil să demonstrați aplicarea criteriului Nyquist cu un exemplu. Lăsați sistemul controlat cu feedback să fie definit de relații

Funcția de transfer a elementelor date corespunde unui motor cu inducție bifazat care funcționează la o frecvență de la un amplificator magnetic cu jumătate de undă. Prezența amortizarii negative este asociată cu rezistența scăzută a rotorului. Apare prima întrebare: este posibilă stabilizarea elementelor date doar datorită factorului de câștig? Să punem așadar

Funcția de transfer a sistemului cu buclă deschisă ia forma

Vedem, în primul rând, că are un singur pol în semiplanul drept și acest pol este situat în punctul O diagramă aproximativă când trece prin conturul C prezentat în Fig. II.2-4, a, este prezentat în Fig. II.2-4, b și arată că la câștigul selectat există o revoluție pozitivă în jurul punctului.

Orez. II.2-4. Exemple de diagrame Nyquist.

Prin urmare, folosind criteriul Nyquist exprimat prin ecuația (II.2-13), ajungem la rezultat

Creșterea K creează posibilitatea Mai mult rotații pozitive din cauza naturii spiralate a părții diagramei datorate multiplicatorului, putem, prin urmare, concluziona că sistemul este instabil pentru toate valorile pozitive ale lui K.

Pentru valorile negative ale lui K, putem fie să ne rotim diagrama în raport cu originea și să luăm în considerare revoluțiile în jurul punctului, fie să folosim o diagramă existentă și să luăm în considerare revoluțiile în jurul punctului. arată direct că, cel puțin, nu există evoluții pozitive în jur. Acest lucru dă cel puțin un zero în semiplanul drept pentru valorile negative ale lui K. Prin urmare, concluzionăm că sistemul este instabil pentru toate valorile lui K, atât pozitive, cât și negative și, prin urmare, este necesară o anumită corecție pentru a face sistem stabil.

Criteriul Nyquist poate fi folosit și atunci când răspunsul în frecvență al unui sistem în buclă deschisă este construit din date experimentale. Funcția de transfer a sistemului cu buclă deschisă trebuie să fie în acest caz stabilă și, prin urmare, nu poate avea poli în semiplanul drept, adică. Pentru a construi corect un hodograf Nyquist, ar trebui să aveți grijă definiție precisă comportamentul sistemului la frecvențe foarte joase.

Când se aplică criteriul Nyquist sistemelor cu mai multe bucle, construcția începe cu cea mai interioară buclă și continuă până la buclele exterioare, numărând cu atenție numărul de poli din PPP din fiecare buclă individuală. Munca depusă în această metodă poate fi adesea redusă prin eliminarea unora dintre circuite prin conversia diagramei de flux. Alegerea secvenței pentru construirea unui hodograf pentru sisteme cu mai multe bucle depinde de diagrama structurală, precum și de locația elementelor specificate și corective în contururi.

Acesta este locul punctelor pe care le descrie capătul vectorului funcției de transfer de frecvență atunci când frecvența se schimbă de la -∞ la +∞. Mărimea segmentului de la origine până la fiecare punct al hodografului arată de câte ori la o anumită frecvență semnalul de ieșire este mai mare decât semnalul de intrare, iar defazarea dintre semnale este determinată de unghiul față de segmentul menționat.

Toate celelalte dependențe de frecvență sunt generate din AFC:

• U(w) - par (pentru sisteme de control automat închise P(w));
• V(w) - impar;
• O(w) - par (răspuns în frecvență);
• j(w) - impar (răspuns de fază);
• LACHH & LFCH - folosite cel mai des.

Caracteristicile frecvenței logaritmice.

Caracteristicile de frecvență logaritmică (LFC) includ o caracteristică de amplitudine logaritmică (LAFC) și o caracteristică de fază logaritmică (LPFC) construite separat pe un singur plan. Construcția LFC și LFCH se realizează folosind următoarele expresii:

L(w) = 20 lg | W(j w)| = 20 lg O(w), [dB];

j(w) = arg( W(j w)), [rad].

Magnitudinea L(w) se exprimă în decibeli . Bel este o unitate logaritmică corespunzătoare unei creșteri de zece ori a puterii. Un Bel corespunde unei creșteri a puterii de 10 ori, 2 Bels - de 100 de ori, 3 Bels - de 1000 de ori etc. Un decibel este egal cu o zecime de Bel.

Exemple de AFC, AFC, PFC, LFC și LPFC pentru legăturile dinamice tipice sunt date în Tabelul 2.

Tabelul 2. Caracteristicile de frecvență ale legăturilor dinamice tipice.

Principiile reglării automate

Pe baza principiului de control, tunurile autopropulsate pot fi împărțite în trei grupuri:

1. Cu reglementare bazată pe influențe externe - principiul Poncelet (utilizat la tunurile autopropulsate cu buclă deschisă).
2. Cu reglare prin abatere - principiul Polzunov-Watt (utilizat la tunurile autopropulsate închise).
3. Cu reglementare combinată. În acest caz, ACS conține bucle de control închise și deschise.

Principiul de control bazat pe perturbații externe

Structura necesită senzori de perturbare. Sistemul este descris de funcția de transfer în buclă deschisă: x(t) = g(t) - f(t).

Avantaje:

• Este posibil să se obțină o invarianță completă la anumite perturbații.
• Problema stabilității sistemului nu se pune, deoarece fara OS.

Defecte:

• Un număr mare de perturbări necesită un număr corespunzător de canale de compensare.
• Modificările parametrilor obiectului controlat duc la erori de control.
• Poate fi aplicat numai obiectelor ale căror caracteristici sunt clar cunoscute.

Principiul controlului abaterii

Sistemul este descris de funcția de transfer în buclă deschisă și ecuația de închidere: x(t) = g(t) - y(t) W oc( t). Algoritmul sistemului se bazează pe dorința de a reduce eroarea x(t) la zero.

Avantaje:

• OOS duce la o reducere a erorii, indiferent de factorii care au determinat-o (modificări ale parametrilor obiectului controlat sau condiții externe).

Defecte:

• În sistemele de operare, există o problemă de stabilitate.
• Este fundamental imposibil să se obțină o invarianță absolută față de perturbațiile din sisteme. Dorința de a obține o invarianță parțială (nu cu primul OS) duce la complicarea sistemului și la deteriorarea stabilității.

Control combinat

Controlul combinat constă dintr-o combinație a două principii de control bazate pe abatere și perturbare externă. Aceste. Semnalul de control către obiect este generat de două canale. Primul canal este sensibil la deviația variabilei controlate de la țintă. Al doilea generează o acțiune de control direct de la un semnal principal sau perturbator.

x(t) = g(t) - f(t) - y(t)Woc(t)

Avantaje:

• Prezența OOS face ca sistemul să fie mai puțin sensibil la modificările parametrilor obiectului controlat.
• Adăugarea de canale sensibile la referință sau sensibile la perturbare nu afectează stabilitatea buclei de feedback.

Defecte:

• Canalele care sunt sensibile la o sarcină sau la o perturbare conțin de obicei legături diferențiate. Implementarea lor practică este dificilă.
• Nu toate obiectele permit forțarea.

Analiza stabilității ATS

Conceptul de stabilitate a unui sistem de reglare este asociat cu capacitatea sa de a reveni la o stare de echilibru după dispariția forțelor externe care l-au scos din această stare. Stabilitatea este una dintre principalele cerințe pentru sistemele automate.

Conceptul de stabilitate poate fi extins la cazul mișcării ATS:

• mișcare netulburată
• mișcare indignată.

Mișcarea oricărui sistem de control este descrisă folosind ecuație diferențială, care descrie în general 2 moduri de funcționare a sistemului:

Modul stare de echilibru

Modul de conducere

În același timp solutie generalaîn orice sistem poate fi scris ca:

Forţat componenta este determinată de influența intrării asupra intrării sistemului de control. Sistemul ajunge în această stare la sfârșitul proceselor tranzitorii.

Tranzitorie componenta se determină prin rezolvarea unei ecuații diferențiale omogene de forma:

Coeficienții a 0 ,a 1 ,…a n includ parametrii sistemului => modificarea oricărui coeficient al ecuației diferențiale duce la modificarea unui număr de parametri ai sistemului.

Rezolvarea unei ecuații diferențiale omogene

unde sunt constantele de integrare și sunt rădăcinile ecuației caracteristice de următoarea formă:

Ecuația caracteristică reprezintă numitorul funcției de transfer egal cu zero.

Rădăcinile ecuației caracteristice pot fi reale, complexe conjugate și complexe, care sunt determinate de parametrii sistemului.

Pentru a evalua stabilitatea sistemelor, un număr de criterii de durabilitate

Toate criteriile de sustenabilitate sunt împărțite în 3 grupuri:

Rădăcină

- algebric

Condiția sarcinii.

Folosind criteriul de stabilitate Mikhailov și Nyquist, determinați stabilitatea unui sistem de control cu ​​o singură buclă care are o funcție de transfer a formei în stare deschisă

Introduceți valorile K, a, b și c în formulă conform opțiunii.

W(e) = , (1)

Construiți hodografe Mikhailov și Nyquist.

Determinați frecvența de tăiere a sistemului.

Determinați valoarea critică a câștigului sistemului.

Soluţie. Problemele de analiză și sinteză a sistemelor de control sunt rezolvate folosind un astfel de puternic aparate matematice

, care este calculul operațional (transformarea) lui Laplace. Problemele de analiză și sinteză a sistemelor de control sunt rezolvate folosind un aparat matematic atât de puternic precum calculul operațional (transformata Laplace). Soluția generală a ecuației operatorului este suma termenilor determinată de valorile rădăcinilor polinomului caracteristic (polinom): D (s) =  d s n d s ) .

d

Construcția odografului lui Mihailov.

, care este calculul operațional (transformarea) lui Laplace. Problemele de analiză și sinteză a sistemelor de control sunt rezolvate folosind un aparat matematic atât de puternic precum calculul operațional (transformata Laplace). Soluția generală a ecuației operatorului este suma termenilor determinată de valorile rădăcinilor polinomului caracteristic (polinom): A) Scriem polinomul caracteristic pentru sistemul închis descris de ecuația (1)

(s) = 50 + (25s+1)(0,1s+1)(0,01s+1) = 50+(625+50s+1)(0,001+0,11s+1) =0,625+68,85 +630,501+50,11s +51. , care este calculul operațional (transformarea) lui Laplace. Problemele de analiză și sinteză a sistemelor de control sunt rezolvate folosind un aparat matematic atât de puternic precum calculul operațional (transformata Laplace). Soluția generală a ecuației operatorului este suma termenilor determinată de valorile rădăcinilor polinomului caracteristic (polinom): Rădăcinile unui polinom

(s) poate fi: nul; real (negativ, pozitiv); imaginar (întotdeauna pereche, conjugat) și conjugat complex.

, care este calculul operațional (transformarea) lui Laplace. Problemele de analiză și sinteză a sistemelor de control sunt rezolvate folosind un aparat matematic atât de puternic precum calculul operațional (transformata Laplace). Soluția generală a ecuației operatorului este suma termenilor determinată de valorile rădăcinilor polinomului caracteristic (polinom): B) Transformați la forma s→ ωj

()=0,625+68,85+630,501+50,11+51=0,625ω-68,85jω- 630,501ω+50,11jω+51

ω – frecvența semnalului, j = (1) 1/2 – unitate imaginară. J 4 =(-1) 4/2 =1, J 3 =(-1) 3/2 =-(1) 1/2 = - j, J 2 =(-1) 2/2 =-1, J =(-1) 1/2 = j,

, care este calculul operațional (transformarea) lui Laplace. Problemele de analiză și sinteză a sistemelor de control sunt rezolvate folosind un aparat matematic atât de puternic precum calculul operațional (transformata Laplace). Soluția generală a ecuației operatorului este suma termenilor determinată de valorile rădăcinilor polinomului caracteristic (polinom): C) Să selectăm părțile reale și imaginare.

= U()+jV(), unde U() este partea reală și V() este partea imaginară.

U(ω) =0,625ω-630,501ω+51

V(ω) =ω(50,11-68,85ω)

Să construim hodograful lui Mihailov aproape și departe de zero, pentru aceasta, să construim D(jw) pe măsură ce w se schimbă de la 0 la +∞. Să găsim punctele de intersecție U(w) și V(w) cu axe. Să rezolvăm problema folosind Microsoft Excel.

Setăm valorile lui w în intervalul de la 0 la 0,0001 la 0,1 și le calculăm în tabel. valori Excel U(ω) și V(ω), D(ω); găsiți punctele de intersecție U(w) și V(w) cu axe,

Setăm valorile lui w în intervalul de la 0,1 la 20 și le calculăm în tabel. valori Excel U(w) și V(w), D; găsiți punctele de intersecție U(w) și V(w) cu axe.

Tabelul 2.1 – Definirea părților reale și imaginare și a polinomului în sine , care este calculul operațional (transformarea) lui Laplace. Problemele de analiză și sinteză a sistemelor de control sunt rezolvate folosind un aparat matematic atât de puternic precum calculul operațional (transformata Laplace). Soluția generală a ecuației operatorului este suma termenilor determinată de valorile rădăcinilor polinomului caracteristic (polinom):()folosind Microsoft Excel

Orez. A, B, ..... Dependențe U(ω) și V(ω), D(ω) din ω

Conform fig. A, B, .....aflați punctele de intersecție U(w) și V(w) cu axe:

la ω = 0 U(ω)= …. Şi V(ω)= ……

Fig.1. Hodograful lui Mihailov la ω = 0:000.1:0.1.

Fig.2. Hodograful lui Mihailov la ω = 0,1:20

D) Concluzii despre stabilitatea sistemului bazat pe hodograf.

Stabilitatea (ca concept) a oricărui sistem dinamic este determinată de comportamentul acestuia după îndepărtarea influenței externe, adică libera sa circulatie sub influenta conditiilor initiale. Un sistem este stabil dacă revine la starea inițială de echilibru după ce semnalul (perturbația) care l-a scos din această stare încetează să acționeze asupra sistemului. Un sistem instabil nu revine la starea inițială, ci se îndepărtează continuu de el în timp. Pentru a evalua stabilitatea sistemului, este necesar să se studieze componenta liberă a soluției ecuației de dinamică, adică soluția ecuației:.

, care este calculul operațional (transformarea) lui Laplace. Problemele de analiză și sinteză a sistemelor de control sunt rezolvate folosind un aparat matematic atât de puternic precum calculul operațional (transformata Laplace). Soluția generală a ecuației operatorului este suma termenilor determinată de valorile rădăcinilor polinomului caracteristic (polinom):(s) =  (s) =  d s n d s )= 0.

Verificați stabilitatea sistemului folosind criteriul Mikhailov :

Criteriul lui Mihailov: Pentru un ASR stabil, este necesar și suficient ca hodograful Mihailov (vezi Fig. 1 și Fig. 2), începând de la w = 0 pe semiaxa reală pozitivă, să se învârtească succesiv în direcția pozitivă (în sens invers acelor de ceasornic) ca w crește de la 0 la ∞ n cadrane, unde n este gradul polinomului caracteristic.

Din soluție reiese clar (vezi Fig. 1 și Fig. 2) că odograful îndeplinește următoarele condiții criteriale: Pornește pe semiaxa reală pozitivă la w = 0. Hodograful nu îndeplinește următoarele condiții criteriu: it nu ocolește toate cele 4 cadrane în direcția pozitivă (gradul polinomului n=4) la ω.

Concluzionăm că acest sistem în buclă deschisă nu este stabil .

Construcția hodografului Nyquist.

A) Să facem o înlocuire în formula (1) s→ ωj

W(e) = =,

B) Deschideți parantezele și evidențiați părțile reale și imaginare la numitor

C) Înmulțiți cu conjugat și selectați părțile reale și imaginare

,

unde U() este partea reală și V() este partea imaginară.

D) Să construim un odograf Nyquist: - dependența lui W() de .

Fig.3. Odograf Nyquist.

E) Să verificăm stabilitatea sistemului folosind criteriul Nyquist:

Criteriul Nyquist: Pentru ca un sistem care este stabil în starea deschisă să fie stabil în starea închisă, este necesar ca hodograful Nyquist, când frecvența se schimbă de la zero la infinit, să nu acopere punctul cu coordonatele (-1; j0) .

Din soluție reiese clar (vezi Fig. 3) că hodograful îndeplinește toate condițiile criteriului:

Hodograful își schimbă direcția în sensul acelor de ceasornic

Hodograful nu acoperă punctul (-1; j0)

Concluzionăm că acest sistem în buclă deschisă este stabil .

Determinarea valorii critice a câștigului sistemului.

A) La paragraful 2 au fost deja distinse părțile reale și imaginare

B) Pentru a găsi valoarea critică a câștigului sistemului, este necesar să echivalăm partea imaginară cu zero și partea reală cu -1

C) Să aflăm din a doua (2) ecuație

Numătorul trebuie să fie 0.

Acceptăm asta, atunci

C) Înlocuiți în prima (1) ecuație și găsiți

Valoarea critică a câștigului sistemului.

Literatură:

1.Metode ale teoriei clasice și moderne a controlului automat. Volumul 1.

Analiza si dinamica statistica a sistemelor de control automat. M: Ed. MSTU numit după Bauman. 2000

2. Voronov A.A. Teoria controlului automat. T. 1-3, M., Nauka, 1992