Funcții și grafică. Proprietățile unei funcții Exemple de grafice ale unei funcții iraționale

Principalele funcții elementare sunt următoarele:

Funcția de putere, unde;

Funcția exponențială, unde;

Funcție logaritmică unde ;

Funcții trigonometrice;

Funcții trigonometrice inverse: ,

Funcțiile elementare sunt funcțiile elementare de bază și cele care pot fi formate din ele folosind un număr finit de operații (adunare, scădere, înmulțire, împărțire) și suprapunere, de exemplu:

Să numim câteva clase de funcții elementare.

Întreaga funcție rațională, sau polinom, unde n este un întreg nenegativ (gradul polinomului), sunt numere constante (coeficienți).

Funcție rațională fracțională, care este raportul dintre două funcții raționale întregi:

Funcțiile raționale întregi și fracționale formează clasa funcții raționale.

Funcția irațională este cea care este reprezentată folosind suprapuneri de funcții raționale și funcții de putere cu exponenți întregi raționali, de exemplu:

Funcțiile raționale și iraționale formează o clasă algebric funcții.

MATERIAL DE REFERINȚĂ

Funcția de putere

Orez. 2.1. Orez. 2.2.

Orez. 2.3. Orez. 2.4.

Orez. 2.5. invers proporțional Fig. 2.6. invers proporțional

dependenta dependenta

Orez. 2.7. Funcția de putere cu rațional pozitiv

indicator

Orez. 2.8. Funcția de putere cu rațional pozitiv

indicator

Orez. 2.9. Funcția de putere cu rațional pozitiv

indicator

Orez. 2.10. Funcția de putere cu rațional negativ

indicator

Orez. 2.11. Funcția de putere cu rațional negativ

indicator

Orez. 2.12. Funcția de putere cu negativ

indicator rațional

Orez. 2.13. Funcția exponențială

Orez. 2.14. Funcția logaritmică

3p/2 -p/2 0 p/2 3p/2 x

Orez. 2.15. Funcția trigonometrică

3p/2 p/2 p/2 3p/2

Orez. 2.16. Funcția trigonometrică

P/2 p/2 -p p/2 3p/2

P 0 p x -p/2 0 p x

Orez. 2.17. Fig. trigonometrică. 2.18. Trigonometric

funcția funcției

Orez. 2.19. Trigonometrie inversă - Fig. 2.20. Trigonometrie inversă

funcţia ric funcţia ric

Orez. 2.21. trigonometric invers Fig. 2.22. Trigonometrie inversă

functie functionala

Orez. 2.23. Trigonometrie inversă - Fig. 2.24. Funcția trigonometrică inversă

Orez. 2.25. Trigonometrie inversă - Fig. 2.26. Trigonometric invers

funcția funcției ice

INSTRUCȚIUNI PENTRU EFECTUAREA UNUI CALCUL TIPIC

Sarcina 1.

Folosind graficul funcției, construiți un grafic al funcției folosind deplasări și deformații.

Construcția unei anumite funcții se realizează în mai multe etape, pe care le vom lua în considerare aici. Vom apela funcția de bază.

Reprezentarea grafică a unei funcții .

Să presupunem că pentru unele x 1 și x 2 funcțiile principale și date au ordonate egale, adică. Dar apoi trebuie să existe

În funcție de semnul a, sunt posibile două cazuri.

1. Dacă a > 0, atunci punctul de pe graficul funcției este deplasat de-a lungul axei OX cu unități la dreapta în comparație cu punctul N(x,y) de pe graficul funcției f(x) (Fig. 3.1).

2. Dacă a< 0, то точка смещена вдоль оси OX на единиц влево по сравнению с точкой N(x,y) графика функции f(x) (рис. 3.2). Таким образом получаем

y N(x; y) M(x+a; y) M(x+a; y) y N(x; y)

0 x x+a x x+a 0 x x

Orez. 3.1 Fig. 3.2

Regula 1. Dacă a > 0, atunci graficul funcției f(x-a) se obține din graficul funcției principale f(x) paralelizând-o de-a lungul axei OX cu unitățile „a” corect.

Dacă a< 0, то график функции f(x-a) получается из графика основной функции f(x) путем его параллельного переноса вдоль оси OX на единиц stânga.

Exemple. Construiți grafice de funcții: 1) ; 2) .

1) Aici a = 2 > 0. Construim un grafic al funcției. Deplasându-l cu 2 unități la dreapta de-a lungul axei OX, obținem un grafic al funcției

2) Aici a = -3< 0. Строим график функции . Сдвинув его на 3 единицы влево, получим график функции (рис. 3.4).

Y=(x+3) 2 y=x 2

1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 x

Orez. 3.3 Fig. 3.4

Comentariu. Construirea unui grafic al unei funcții se poate face diferit: după construirea unui grafic al funcției principale din sistem, trebuie să mutați axa la o unitate stânga, dacă , și pe unități corect, Dacă . Apoi obținem un grafic al funcției din sistem. Sistemul are o semnificație auxiliară, astfel încât axa este reprezentată punctată sau cu creion.

Ca exemplu, să construim din nou grafice ale funcțiilor și (Fig. 3.5) și (Fig. 3.6)

0 1 2 x -3 -2 -1 0 x

Orez. 3.5 Fig. 3.6

Reprezentarea grafică a unei funcții Unde

Fie pentru unele valori și ordonatele funcțiilor și să fie egale, adică . Apoi și. Astfel, fiecare punct de pe graficul funcției principale corespunde unui punct de pe graficul funcției Sunt posibile două cazuri.

1. Dacă , atunci punctul se află de k ori mai aproape de axa OY decât punctul (Fig. 3.7).

2. Dacă 0< k < 1, то точка лежит в раз дальше от оси OY по сравнению с точкой (рис. 3.8). Таким образом, происходит сжатие или растяжение графика функции.

Orez. 3.7 Fig. 3.8

Regula 2. Fie k > 1. Atunci graficul funcției f(kx) se obține din graficul funcției f(x) comprimându-l de-a lungul axei OX de k ori (cu alte cuvinte: comprimându-l pe axa OY prin k ori).

Fie 0< k < 1. Тогда график f(kx) получается из графика f(x) путем его растяжения вдоль оси OX в раз.

Exemple. Construiți grafice ale funcțiilor: 1) și ;

2 -1 0 ½ 1 2 x 0 p/2 p 2p x

Orez. 3.9 Fig. 3.10

1. Construim un grafic al funcției - curba (1) din Fig. 3.9. Comprimând-o de două ori pe axa OY, obținem un grafic al funcției - curba (2) din Fig. 3.9. În acest caz, de exemplu, punctul (1; 0) merge la punct, punctul merge la punct.

Comentariu. Vă rugăm să rețineți: punctul situat pe axa OY rămâne pe loc. Într-adevăr, fiecare punct N(0, y) al graficului f(x) corespunde unui punct al graficului f(kx).

Graficul funcției se obține prin întinderea graficului funcției de pe axa OY de 2 ori. În acest caz, punctul rămâne din nou neschimbat (curba (3) din Fig. 3.9).

2. Folosind graficul funcției construite în interval, construim grafice de funcții - curbele (1), (2), (3) din Fig. 3.10. Rețineți că punctul (0; 0) rămâne staționar.

Reprezentarea grafică a unei funcții y=f(-x).

Funcțiile f(x) și f(-x) iau valori egale pentru valori opuse ale argumentului x. În consecință, punctele N(x;y) și M(-x;y) ale graficelor lor vor fi simetrice față de axa OY.

Regula 3. Pentru a construi un grafic al lui f(-x), trebuie să oglindiți graficul funcției f(x) în raport cu axa OY.

Exemple.

Soluțiile sunt prezentate în Fig. 3.11 și 3.12.

Orez. 3.11 Fig. 3.12

Reprezentarea grafică a unei funcții y=f(-kx), unde k > 0.

Regula 4. Construim un grafic al funcției y=f(kx) în conformitate cu regula 2. Graficul funcției f(kx) este oglindit de pe axa OY în conformitate cu regula.

restul 3. Ca rezultat, obținem un grafic al funcției f(-kx).

Exemple. Funcții grafice

Soluțiile sunt prezentate în Fig. 3.13 și 3.14.

1/2 0 1/2 x -p/2 0 p/2 x

Orez. 3.13 Fig. 3.14

Reprezentarea grafică a unei funcții, unde A > 0. Dacă A > 1, atunci pentru fiecare valoare ordonata funcției date este de A ori mai mare decât ordonata funcției principale f(x). În acest caz, graficul f(x) este întins de A ori de-a lungul axei OY (cu alte cuvinte: din axa OX).

Daca 0< A < 1, то происходит сжатие графика f(x) в раз вдоль оси OY (или от оси OX).

Regula 5. Fie A > 1. Atunci graficul funcției se obține din graficul lui f(x) prin întinderea lui de A ori de-a lungul axei OY (sau din axa OX).

Fie 0< A < 1. Тогда график функции получается из графика f(x) путем его сжатия в раз вдоль оси OY (или к оси OX).

Exemple. Construiți grafice ale funcțiilor 1) și 2),

1 0 p/2 p p/3 p x

Orez. 3.15 Fig. 3.16

Reprezentarea grafică a unei funcții .

Pentru fiecare punct N(x,y) funcțiile f(x) și M(x, -y) funcțiile -f(x) sunt simetrice față de axa OX, deci obținem regula.

Regula 6. Pentru a reprezenta graficul unei funcții, trebuie să oglindiți graficul în raport cu axa OX.

Exemple. Construiți grafice ale funcțiilor și (Fig. 3.17 și 3.18).

0 1 x 0 π /2 π 3π/2 2π x

Orez. 3.17 Fig. 3.18

Reprezentarea grafică a unei funcții, unde A>0.

Regula 7. Construim un grafic al funcției, unde A>0, în conformitate cu regula 5. Graficul rezultat este oglindit de pe axa OX în conformitate cu regula 6.

Reprezentarea grafică a unei funcții .

Dacă B>0, atunci pentru fiecare ordonată a unei funcții date există B unități mai mari decât ordonata lui f(x). Dacă B<0, то для каждого ордината первой функции уменьшается на единиц по сравнению с ординатой f(x). Таким образом, получаем правило.

Regula 8. Pentru a construi un grafic al unei funcții din graficul y=f(x), trebuie să mutați acest grafic de-a lungul axei OY cu B unități în sus dacă B>0, sau în jos cu unități dacă B<0.

Exemple. Construiți grafice ale funcțiilor: 1) și

2) (Fig. 3.19 și 3.20).

0 x 0 π/2 π 3π/2 2π x

Orez. 3.19 Fig. 3.20

Schema pentru construirea unui grafic al unei funcții .

În primul rând, scriem ecuația funcției sub forma și notăm . Apoi construim un grafic al funcției conform următoarei scheme.

1. Construim un grafic al funcției principale f(x).

2. În conformitate cu regula 1, construim un grafic f(x-a).

3. Prin comprimarea sau întinderea graficului f(x-a) ținând cont de semnul lui k, conform regulilor 2-4, construim un grafic al funcției f.

Vă rugăm să rețineți: graficul f(x-a) este comprimat sau întins în raport cu linia dreaptă x=a (de ce?)

4. Folosind graficul conform regulilor 5-7, construim un grafic al functiei.

5. Graficul rezultat este deplasat de-a lungul axei OY în conformitate cu regula 8.

Vă rugăm să rețineți: la fiecare pas de construcție, graficul anterior acționează ca graficul funcției principale.

Exemplu. Construiți un grafic al funcției. Aici k=-2, prin urmare. Ținând cont de ciudățenie, avem .

1. Construim un grafic al funcției principale.

2. Deplasându-l de-a lungul axei OX cu unități la dreapta, obținem un grafic al funcției

(Fig. 3.21).

3. Comprimăm graficul rezultat de 2 ori la o dreaptă și obținem astfel un grafic al funcției (Fig. 3.22).

4. Prin comprimarea ultimului grafic pe axa OX de 2 ori și oglindirea lui din axa OX, obținem un grafic al funcției (Fig. 3.22 și 3.23).

5. În final, prin deplasarea în sus de-a lungul axei OY, obținem un grafic al funcției dorite (Fig. 3.23).

1 0 1/2 3/2 x 0 1 3/2 2 x

Orez. 3.21 Fig. 3.22

0 1 3/2 2 x -π/2 0 π/2 x

Orez. 3.23 Fig. 3.24

Sarcina 2.

Trasarea graficelor de funcții care conțin semnul modulului.

Soluția la această problemă constă și în mai multe etape. În acest caz, trebuie să vă amintiți definiția modulului:

Reprezentarea grafică a unei funcții .

Pentru acele valori pentru care , vor exista . Prin urmare, aici graficele funcțiilor și f(x) coincid. Pentru cei pentru care f(x)<0, будет . Но график -f(x) получается из графика f(x) зеркальным отражением от оси OX. Получаем правило построения графика функции .

Regula 9. Construim un grafic al funcției y=f(x). După aceasta, lăsăm acea parte a graficului f(x), unde , neschimbată și partea în care f(x)<0, зеркально отражаем от оси OX.

Comentariu. Vă rugăm să rețineți că graficul se află întotdeauna deasupra sau atinge axa OX.

Exemple. Funcții grafice

(Fig. 3.24, 3.25, 3.26).

Orez. 3.25 Fig. 3.26

Reprezentarea grafică a unei funcții .

Deoarece , atunci , adică este dată o funcție pară al cărei grafic este simetric față de axa OY.

Regula 10. Reprezentăm grafic funcția y=f(x) pentru . Reflectăm graficul construit de pe axa OY. Apoi, combinația celor două curbe rezultate va da un grafic al funcției.

Exemple. Funcții grafice

(Fig. 3.27, 3.28, 3.29)

-π/2 0 π/2 x -2 0 2 x -1 1 x

Orez. 3.27 Fig. 3.28 Fig. 3.29

Reprezentarea grafică a unei funcții .

Construim un grafic al funcției conform regulii 10.

Construim un grafic al funcției conform regulii 9.

Exemple. Construiți grafice ale funcțiilor și .

1. Construiți un grafic al funcției (Fig. 3.28)

Partea negativă a graficului este reflectată de pe axa OX. Graficul este prezentat în Fig. 3.30.

2 0 2 x -1 0 1 x

Orez. 3.30 Fig. 3.31

2. Construim un grafic al funcției (Fig. 3.29).

Reflectăm partea negativă a graficului de pe axa OX. Graficul este prezentat în Fig. 3.31.

Atunci când trasați un grafic al unei funcții care conține semne de modul, este foarte important să cunoașteți intervalele de semn constant ale funcției. Prin urmare, soluția fiecărei probleme trebuie să înceapă cu determinarea acestor intervale.

Exemplu. Construiți un grafic al funcției.

Domeniul de aplicare al definiției. Expresiile x+1 și x-1 își schimbă semnele în punctele x=-1 și x=1. Prin urmare, împărțim domeniul definiției în patru intervale:

Ținând cont de semnele x+1 și x-1, avem

Astfel, funcția poate fi scrisă fără semne de modul după cum urmează:

Funcțiile corespund hiperbolelor, iar funcția y=2 corespunde unei linii drepte. Construcția ulterioară poate fi efectuată prin puncte (Fig. 3.32).

x	-4	-2	-1	-
y

4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

Comentariu. Rețineți că atunci când x=0 funcția nu este definită. Se spune că funcția suferă o discontinuitate în acest punct. În fig. 3.32 aceasta este marcată cu săgeți.

Sarcina 3. Trasarea unui grafic al unei funcții definite de mai multe expresii analitice.

În exemplul anterior, am reprezentat funcția cu mai multe expresii analitice. Deci, în interval se modifică conform legii hiperbolei; în interval, cu excepția x=0, este o funcție liniară; în interval avem din nou o hiperbolă. Funcții similare vor fi întâlnite frecvent în viitor. Să ne uităm la un exemplu simplu.

Ruta de tren de la stația A la stația B este formată din trei tronsoane. În prima secțiune, preia viteză, adică în intervalul viteza sa este , unde . În a doua secțiune se deplasează cu o viteză constantă, adică v=c, dacă . În cele din urmă, la frânare, viteza acestuia va fi de . Astfel, în interval viteza de deplasare se modifică conform legii

Să reprezentăm grafic această funcție, presupunând a 1 =2, c=2, b=6, a 2 =1 (Fig. 3.33).

0 1 2 3 4 5 6 x 0 π/2 π x

Orez. 3.33 Fig. 3.34

În acest exemplu, viteza v se modifică continuu. Cu toate acestea, în cazul general, procesul poate fi mai complex. Da, funcția

are un grafic mai complex (Fig. 3.34), care se descompune într-un punct.

Astfel, dacă funcția este dată

atunci trebuie să construiți un grafic al funcției y=f(x) în interval și un grafic al funcției în intervalul . Combinația a două astfel de linii va da un grafic al funcției date.

Sarcina 4. Construcția curbelor specificate parametric.

Definiția curbei L este caracterizată parametric prin faptul că coordonatele x, y ale fiecărui punct sunt specificate în funcție de parametrul t:

În acest caz, parametrul t poate fi timpul, unghiul de rotație etc.

Se recurge la specificarea parametrică a curbei L în cazurile în care este dificil sau imposibil de exprimat explicit y în funcție de argumentul x, adică y=f(x). Să dăm câteva exemple.

Exemplul 1. O foaie carteziană este o curbă L a cărei ecuație are forma .

Să punem aici , atunci sau , adică . Deci, ecuațiile parametrice ale foii carteziene au forma: , , unde .

Curba este prezentată în Fig. 3.35. Are o asimptotă y=-a-x.

„Transformarea graficelor de funcții”- Întinderea. Simetrie. Consolidați construcția graficelor funcțiilor folosind transformări ale graficelor funcțiilor elementare. Trasarea graficelor de funcții complexe. Munca independentă Opțiunea 1 Opțiunea 2. Transfer paralel. Potriviți fiecare grafic cu o funcție. Transformarea graficelor de funcții. Să ne uităm la exemple de transformări și să explicăm fiecare tip de transformare.

„Ecuația irațională”- Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor. Istoria numerelor nerezonabile. Care pas în rezolvarea ecuației duce la apariția unor rădăcini suplimentare. „Lecție-discuție”. Găsiți greșeala. Introducere. „Prin ecuații și teoreme, am rezolvat o mulțime de probleme diferite.” Progresul lecției. Într-o dispută, insultele, reproșurile și ostilitatea față de colegii tăi sunt inacceptabile.

„Graficul unei funcții”- Dacă o funcție liniară este dată de o formulă de forma y = khx, adică b = 0, se numește proporționalitate directă. Dacă o funcție liniară este dată de formula y = b, adică k = 0, atunci graficul ei trece prin punctul cu coordonatele (b; 0) paralele cu axa OX. Funcţie. O funcție liniară este o funcție care poate fi specificată prin formula y = kx + b, unde x este variabila independentă, k și b sunt niște numere.

Cum se grafică o funcție liniară? - Valoarea lui y la care x=3. Întărirea materialului acoperit. Subiect metodologic. Construiți un grafic al funcției liniare y=-3x+6. - Determinați proprietățile acestei funcții. Verificați: Student la tablă. Studiul funcțiilor. In scris cu verificare. În sfera programului școlar.

„Graficul funcției Y X”- Exemplul 1. Să construim un grafic al funcției y=(x - 2)2, pe baza graficului funcției y=x2 (clic de mouse). Pentru a vedea graficele, faceți clic cu mouse-ul. Exemplul 2. Să construim un grafic al funcției y = x2 + 1, pe baza graficului funcției y=x2 (clic de mouse). Modelul parabolelor y = x2. Graficul funcției y=(x - m)2 este o parabolă cu vârful său în punctul (m; 0).

„Ecuații și inegalități iraționale” - Metode de rezolvare. 3. Introducerea variabilelor auxiliare. 1. Exponentiatie. Ecuații iraționale Metode de rezolvare. Ecuații și inegalități iraționale. 2. Înmulțirea prin expresia conjugată. 4. Selectarea unui pătrat complet sub semnul radical. 6. Metoda grafică. Inegalități iraționale.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în procedurile judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea autorităților guvernamentale de pe teritoriul Federației Ruse - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terțul succesor aplicabil.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.