Formule scurte de înmulțire. Formule de multiplicare prescurtate – Hypermarket de cunoștințe

Unul dintre primele subiecte studiate într-un curs de algebră este formulele de înmulțire prescurtate. În clasa a 7-a, se folosesc în cele mai simple situații, în care trebuie să recunoașteți una dintre formulele dintr-o expresie și să factorizați un polinom sau, dimpotrivă, să pătrați sau să cubați rapid o sumă sau o diferență. În viitor, FSU este folosit pentru a rezolva rapid inecuații și ecuații și chiar pentru a calcula unele expresii numerice fără un calculator.

Cum arată o listă de formule?

Există 7 formule de bază care vă permit să înmulțiți rapid polinoamele între paranteze.

Uneori, această listă include și o extindere pentru gradul al patrulea, care decurge din identitățile prezentate și are forma:

a⁴ — b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).

Toate egalitățile au o pereche (sumă - diferență), cu excepția diferenței de pătrate. Formula pentru suma pătratelor nu este dată.

Egalitățile rămase sunt ușor de reținut:

Trebuie amintit că FSU funcționează în orice caz și pentru orice valoare oŞi b: acestea pot fi fie numere arbitrare, fie expresii întregi.

Într-o situație în care brusc nu vă puteți aminti care semn se află în fața unui anumit termen din formulă, puteți deschide parantezele și obțineți același rezultat ca după folosirea formulei. De exemplu, dacă a apărut o problemă la aplicarea cubului de diferență FSU, trebuie să notați expresia originală și efectuează înmulțirea una câte una:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Ca urmare, după aducerea tuturor termenilor similari, s-a obținut același polinom ca în tabel. Aceleași manipulări pot fi efectuate cu toate celelalte FSU.

Aplicarea FSU pentru rezolvarea ecuațiilor

De exemplu, trebuie să rezolvați o ecuație care conține polinom de gradul 3:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

ÎN programa școlară tehnicile universale pentru rezolvarea ecuațiilor cubice nu sunt luate în considerare, iar astfel de sarcini sunt cel mai adesea rezolvate în mai multe metode simple(de exemplu, prin factorizare). Dacă observăm că partea stângă a identității seamănă cu cubul unei sume, atunci ecuația poate fi scrisă într-o formă mai simplă:

(x + 1)³ = 0.

Rădăcina unei astfel de ecuații se calculează oral: x = -1.

Inegalitățile sunt rezolvate în mod similar. De exemplu, puteți rezolva inegalitatea x³ – 6x² + 9x > 0.

În primul rând, trebuie să factorizați expresia. Mai întâi trebuie să puneți paranteze x. După aceasta, rețineți că expresia din paranteze poate fi convertită în pătratul diferenței.

Apoi trebuie să găsiți punctele în care expresia ia valori zero și să le marcați pe linia numerică. Într-un caz particular, acestea vor fi 0 și 3. Apoi, folosind metoda intervalului, determinați în ce intervale x vor corespunde condiției de inegalitate.

FSU-urile pot fi utile atunci când executați unele calcule fără ajutorul unui calculator:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

În plus, prin factorizarea expresiilor, puteți reduce cu ușurință fracțiile și simplifica diferite expresii algebrice.

Exemple de probleme pentru clasele 7-8

În concluzie, vom analiza și rezolva două sarcini privind utilizarea formulelor de înmulțire abreviate în algebră.

Sarcina 1. Simplificați expresia:

(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).

Soluţie. Condiția sarcinii necesită simplificarea expresiei, adică deschiderea parantezelor, efectuarea operațiilor de înmulțire și exponențiere și, de asemenea, aducerea tuturor termenilor similari. Să împărțim condiționat expresia în trei părți (în funcție de numărul de termeni) și să deschidem parantezele unul câte unul, folosind FSU acolo unde este posibil.

• (m + 3)² = m² + 6m + 9(suma pătratului);
• (3m + 1)(3m - 1) = 9m² – 1(diferența de pătrate);
• În ultimul termen trebuie să înmulțiți: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

Să substituim rezultatele obținute în expresia originală:

(m² + 6m + 9) + (9m² – 1) - (10m² + 6m).

Ținând cont de semne, vom deschide parantezele și vom prezenta termeni similari:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² – 6m = 8.

Problema 2. Rezolvați o ecuație care conține necunoscuta k la puterea a 5-a:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ – 4k² – 4k = k³.

Soluţie. În acest caz, este necesar să se utilizeze FSU și metoda de grupare. Este necesar să mutați ultimul și penultimul termen în partea dreaptă a identității.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Factorul comun este derivat din partea dreaptă și stângă (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

Totul este transferat în partea stângă a ecuației, astfel încât 0 rămâne în dreapta:

k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.

Din nou, este necesar să eliminați factorul comun:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

Din primul factor obținut putem deduce k. Conform formulei scurte de multiplicare, al doilea factor va fi identic egal cu (k+2)²:

k (k² - 1)(k + 2)² = 0.

Folosind formula diferenței pătratelor:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

Deoarece un produs este egal cu 0 dacă cel puțin unul dintre factorii săi este zero, găsirea tuturor rădăcinilor ecuației nu este dificilă:

1. k = 0;
2. k - 1 = 0; k = 1;
3. k + 1 = 0; k = -1;
4. (k + 2)² = 0; k = -2.

Pe baza exemplelor ilustrative, puteți înțelege cum să vă amintiți formulele, diferențele lor și, de asemenea, să rezolvați mai multe probleme practice folosind FSU. Sarcinile sunt simple și nu ar trebui să existe dificultăți în îndeplinirea lor.

Formulele de multiplicare abreviate (FMF) sunt folosite pentru a exponenția și înmulți numerele și expresiile. Adesea, aceste formule vă permit să faceți calcule mai compact și mai rapid.

În acest articol, vom enumera formulele de bază pentru înmulțirea prescurtată, le vom grupa într-un tabel, vom lua în considerare exemple de utilizare a acestor formule și, de asemenea, vom insista asupra principiilor demonstrației formulelor pentru înmulțirea abreviată.

Pentru prima dată, tema FSU este luată în considerare în cadrul cursului de Algebră pentru clasa a VII-a. Mai jos sunt 7 formule de bază.

Formule de înmulțire prescurtate

1. formula pentru pătratul sumei: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. formula diferenței pătrate: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
3. formula cubului sumei: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. Formula cubului de diferență: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. formula diferenței pătrate: a 2 - b 2 = a - b a + b
6. formula pentru suma cuburilor: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
7. formula pentru diferența de cuburi: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Literele a, b, c din aceste expresii pot fi orice numere, variabile sau expresii. Pentru ușurință în utilizare, este mai bine să învățați pe de rost cele șapte formule de bază. Să le punem într-un tabel și să le prezentăm mai jos, încercuindu-le cu un cadru.

Primele patru formule vă permit să calculați, respectiv, pătratul sau cubul sumei sau diferenței a două expresii.

A cincea formulă calculează diferența dintre pătratele expresiilor înmulțind suma și diferența acestora.

Formula a șasea și, respectiv, a șaptea înmulțesc suma și diferența expresiilor cu pătratul incomplet al diferenței și pătratul incomplet al sumei.

Formula de înmulțire abreviată este uneori numită și identități de înmulțire abreviată. Acest lucru nu este surprinzător, deoarece fiecare egalitate este o identitate.

La hotărâre exemple practice folosiți adesea formule de înmulțire abreviate cu părțile din stânga și din dreapta schimbate. Acest lucru este deosebit de convenabil atunci când factorizarea unui polinom.

Formule suplimentare de înmulțire abreviate

Să nu ne limităm la cursul de algebră de clasa a VII-a și să mai adăugăm câteva formule la tabelul nostru FSU.

Mai întâi, să ne uităm la formula binomială a lui Newton.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Aici C n k sunt coeficienții binomi care apar în numărul liniei n din triunghiul lui Pascal. Coeficienții binomi se calculează folosind formula:

C n k = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

După cum putem vedea, FSF pentru pătratul și cubul diferenței și sumei este un caz special al formulei binomiale Newton pentru n=2 și, respectiv, n=3.

Dar dacă există mai mult de doi termeni în sumă care trebuie ridicate la o putere? Formula pentru pătratul sumei a trei, patru sau mai mulți termeni va fi utilă.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

O altă formulă care poate fi utilă este formula pentru diferența dintre puterile a n-a a doi termeni.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Această formulă este de obicei împărțită în două formule - pentru puterile par și, respectiv, impare.

Pentru indicatoare chiar și de 2 m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Pentru exponenți impari 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Formulele pentru diferența de pătrate și diferența de cuburi, după cum ați ghicit, sunt cazuri speciale ale acestei formule pentru n = 2 și, respectiv, n = 3. Pentru diferența de cuburi, b se înlocuiește și cu - b.

Cum se citesc formulele de înmulțire prescurtate?

Vom da formulările adecvate pentru fiecare formulă, dar mai întâi vom înțelege principiul citirii formulelor. Cel mai convenabil mod de a face acest lucru este cu un exemplu. Să luăm chiar prima formulă pentru pătratul sumei a două numere.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Ei spun: pătratul sumei a două expresii a și b este egal cu suma pătratului primei expresii, de două ori produsul expresiilor și pătratul celei de-a doua expresii.

Toate celelalte formule sunt citite în mod similar. Pentru pătratul diferenței a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 scriem:

pătratul diferenței dintre două expresii a și b este egal cu suma pătratelor acestor expresii minus de două ori produsul primei și celei de-a doua expresii.

Să citim formula a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Cubul sumei a două expresii a și b este egal cu suma cuburilor acestor expresii, se triplează produsul pătratului primei expresii cu a doua și se triplează produsul pătratului celei de-a doua expresii cu prima expresie.

Să trecem la citirea formulei pentru diferența de cuburi a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Cubul diferenței dintre două expresii a și b este egal cu cubul primei expresii minus produsul triplu al pătratului primei expresii și al celui de-al doilea, plus produsul triplu al pătratului celei de-a doua expresii și al primei expresii , minus cubul celei de-a doua expresii.

A cincea formulă a 2 - b 2 = a - b a + b (diferența de pătrate) arată astfel: diferența pătratelor a două expresii este egală cu produsul diferenței și suma celor două expresii.

Pentru comoditate, expresii precum a 2 + a b + b 2 și a 2 - a b + b 2 se numesc, respectiv, pătratul incomplet al sumei și, respectiv, pătratul incomplet al diferenței.

Ținând cont de acest lucru, formulele pentru suma și diferența cuburilor pot fi citite după cum urmează:

Suma cuburilor a două expresii este egală cu produsul dintre suma acestor expresii și pătratul parțial al diferenței lor.

Diferența dintre cuburile a două expresii este egală cu produsul diferenței dintre aceste expresii și pătratul parțial al sumei lor.

Dovada FSU

Demonstrarea FSU este destul de simplă. Pe baza proprietăților înmulțirii, vom înmulți părțile formulelor din paranteze.

De exemplu, luați în considerare formula pentru diferența pătratului.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Pentru a ridica o expresie la a doua putere, trebuie să înmulțiți această expresie de la sine.

a - b 2 = a - b a - b .

Să extindem parantezele:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Formula este dovedită. FSU-urile rămase sunt dovedite în mod similar.

Exemple de aplicații FSU

Scopul utilizării formulelor de înmulțire abreviate este de a înmulți rapid și concis și de a ridica expresiile la puteri. Cu toate acestea, acesta nu este întregul domeniu de aplicare al FSU. Ele sunt utilizate pe scară largă în reducerea expresiilor, reducerea fracțiilor și factorizarea polinoamelor. Să dăm exemple.

Exemplul 1. FSU

Să simplificăm expresia 9 y - (1 + 3 y) 2.

Să aplicăm formula sumei pătratelor și să obținem:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Exemplul 2. FSU

Să reducem fracția 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.

Observăm că expresia din numărător este diferența de cuburi, iar la numitor este diferența de pătrate.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

Reducem și obținem:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU-urile ajută, de asemenea, la calcularea valorilor expresiilor. Principalul lucru este să puteți observa unde să aplicați formula. Să arătăm asta cu un exemplu.

Să punem la pătrat numărul 79. În loc de calcule greoaie, să scriem:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

S-ar părea că un calcul complex se realizează rapid doar folosind formule de înmulțire abreviate și o tabelă de înmulțire.

Altul punct important- identificarea pătratului binomului. Expresia 4 x 2 + 4 x - 3 poate fi convertită în 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Astfel de transformări sunt utilizate pe scară largă în integrare.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Când calculați polinoame algebrice, pentru a simplifica calculele, utilizați formule de înmulțire prescurtate. Există șapte astfel de formule în total. Trebuie să le cunoști pe toate pe de rost.

De asemenea, trebuie amintit că în loc de „a” și „b” în formule pot exista fie numere, fie orice alte polinoame algebrice.

Diferența de pătrate

Ține minte!

Diferența de pătrate două numere este egal cu produsul dintre diferența acestor numere și suma lor.

a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)

• 15 2 − 2 2 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 17 = 221
• 9a 2 − 4b 2 cu 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

Patratul sumei

Ține minte!

Pătratul sumei a două numere este egal cu pătratul primului număr plus de două ori produsul primului număr și al doilea plus pătratul celui de-al doilea număr.

(o + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Vă rugăm să rețineți că cu această formulă de înmulțire prescurtată este ușor găsi pătrate numere mari fără a folosi un calculator sau o înmulțire lungă. Să explicăm cu un exemplu:

Găsiți 112 2.

• Să descompunăm 112 în suma numerelor ale căror pătrate le amintim bine.
  112 = 100 + 1
• Scrieți suma numerelor între paranteze și plasați un pătrat deasupra parantezelor.
  112 2 = (100 + 12) 2
• Să folosim formula pentru pătratul sumei:
  112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 100 12 + 12 2 = 10.000 + 2.400 + 144 = 12.544

Rețineți că formula sumei pătrate este valabilă și pentru orice polinoame algebrice.

• (8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Avertizare!

(a + b) 2 nu este egal cu (a 2 + b 2)

Diferența pătrată

Ține minte!

Pătratul diferenței a două numere este egal cu pătratul primului număr minus de două ori produsul primului și celui de-al doilea plus pătratul celui de-al doilea număr.

(o − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

De asemenea, merită să ne amintim o transformare foarte utilă:

(a − b) 2 = (b − a) 2

Formula de mai sus poate fi dovedită prin simpla deschidere a parantezelor:

(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2

Cubul sumei

Ține minte!

Cubul sumei a două numere este egal cu cubul primului număr plus triplul produsului din pătratul primului număr și al doilea plus triplul produsului primului cu pătratul celui de-al doilea plus cubul celui de-al doilea .

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Cum să ne amintim cubul unei sume

Este destul de ușor să vă amintiți această formulă cu aspect „înfricoșător”.

• Aflați că „a 3” vine la început.
• Cele două polinoame din mijloc au coeficienți de 3.
• Amintiți-vă că orice număr până la puterea zero este 1.
  (a 0 = 1, b 0 = 1) . Este ușor de observat că în formulă există o scădere a gradului „a” și o creștere a gradului „b”. Puteți verifica acest lucru:

Avertizare!

(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a + b) 3 nu este egal cu a 3 + b 3

Ține minte!

Cub de diferență Cub de diferență

două numere este egal cu cubul primului număr minus de trei ori produsul pătratului primului număr și al doilea plus de trei ori produsul primului număr și pătratul celui de-al doilea minus cubul celui de-al doilea.

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Această formulă este reținută ca și cea anterioară, dar ținând cont doar de alternanța semnelor „+” și „−”. Primul termen „a 3” este precedat de „+” (după regulile matematicii, nu îl scriem).

Aceasta înseamnă că următorul termen va fi precedat de „−”, apoi din nou de „+”, etc.

(a − b) 3 =

Ține minte!

+ a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 Suma de cuburi

A nu se confunda cu cubul sumă!

Suma de cuburi

• este egal cu produsul dintre suma a două numere și pătratul parțial al diferenței.
• a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2)
  Suma cuburilor este produsul dintre două paranteze.
  Prima paranteză este suma a două numere.

A doua paranteză este pătratul incomplet al diferenței dintre numere. Pătratul incomplet al diferenței este expresia:

(a 2 − ab + b 2)

Ține minte!

Acest pătrat este incomplet, deoarece în mijloc, în locul produsului dublu, există produsul obișnuit al numerelor. Diferența de cuburi

A nu se confunda cu cubul de diferență!

Diferența de cuburi

este egal cu produsul dintre diferența a două numere și pătratul parțial al sumei.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Aveți grijă când scrieți semnele.

• Folosind formule de înmulțire prescurtate
• Trebuie amintit că toate formulele prezentate mai sus sunt folosite și de la dreapta la stânga.

Multe exemple din manuale sunt concepute pentru ca tu să reunești un polinom folosind formule.

a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2

! (ac − 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2 Puteți descărca un tabel cu toate formulele de înmulțire abreviate din secțiunea „Înmulțirea unui polinom cu un polinom

La înmulțiți un polinom cu un polinom

, trebuie să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt polinom și să adăugați produsele rezultate. Atenție!

Fiecare termen are propriul său semn.Formule de înmulțire prescurtate

Polinoamele sunt în general 7 (șapte) cazuri comune de înmulțire a polinoamelor.

Definiții și

1. Formule de înmulțire prescurtate. Masă

Tabelul 2. Definițiile formulelor de înmulțire abreviate (click pentru a mări) două expresii este egal cu pătratul primei expresii plus de două ori produsul primei expresii și al doilea plus pătratul celei de-a doua expresii.

Pentru a înțelege mai bine formula, să simplificăm mai întâi expresia (extindem formula pentru pătratul sumei)

Acum să factorizăm (restrângem formula)

Secvența de acțiuni la factorizare:

1. determinați care monomii au fost pătrate ( 5 Şi 3m);
2. verificați dacă produsul lor dublu este în mijlocul formulei (2 5 3m = 30m);
3. notează răspunsul (5 + 3m) 2.

2. Formula diferenței pătrate

Diferența pătrată două expresii este egal cu pătratul primei expresii minus de două ori produsul primei expresii și al doilea plus pătratul celei de-a doua expresii.

Mai întâi, să simplificăm expresia (extindem formula):

Și apoi invers, să o factorizăm (restrângeți formula):

3. Formula diferenței pătrate

Produsul sumei a două expresii și diferența lor este egal cu diferența pătratelor acestor expresii.

Să restrângem formula (efectuăm înmulțirea)

Acum să extindem formula (factorizați-o)

Patru formule de înmulțire abreviate pentru cuburi

4. Formula pentru cubul sumei a două numere

Cubul sumei a două expresii este egal cu cubul primei expresii plus triplul produsului pătratului primei expresii și al doilea plus triplul produsului primei expresii și pătratul celei de-a doua plus cubul a doua expresie.

Secvența de acțiuni la „restrângerea” formulei:

1. găsiți monomii care au fost tăiați în cuburi (aici 4xŞi 1 );
2. verifica termenii medii pentru respectarea formulei;
3. notează răspunsul.

5. Formula pentru cubul diferenței a două numere

Cubul diferenței a două expresii este egal cu cubul primei expresii minus triplu produsul pătratului primei expresii și al doilea plus triplu produsul primei expresii și pătratul celei de-a doua minus cubul a doua expresie.

6. Formula pentru suma cuburilor

Suma cuburilor a două expresii este egală cu produsul dintre suma primei și a doua expresii și pătratul incomplet al diferenței acestor expresii.

Și înapoi:

7. Formula diferențelor cuburilor

Diferența dintre cuburile a două expresii este egală cu produsul diferenței dintre prima și a doua expresie și pătratul parțial al sumei acestor expresii.

Aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate. Masă

Un exemplu de utilizare a formulelor în practică (calcul oral).

Sarcină: Aflați aria unui pătrat cu latura a = 71 cm.

Soluţie: S = a 2 . Folosind formula sumei pătrate, avem

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2*70*1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041 cm 2

Răspuns: 5041 cm 2

Expresie ( o + b) 2 este pătratul sumei numere oŞi b. Prin definiția gradului, expresia ( o + bo + b)(o + b). Prin urmare, din pătratul sumei putem trage concluzia că

(o + b) 2 = (o + b)(o + b) = o 2 + ab + ab + b 2 = o 2 + 2ab + b 2 ,

adică pătratul sumei a două numere este egal cu pătratul primului număr, plus de două ori produsul primului număr și al doilea, plus pătratul celui de-al doilea număr.

formula sumei pătrate

(o + b) 2 = o 2 + 2ab + b 2

Polinom o 2 + 2ab + b 2 se numește expansiunea sumei pătrate.

Deoarece oŞi b notăm orice numere sau expresii, atunci regula ne oferă posibilitatea, într-o scurtătură, de a pătra orice expresie care poate fi considerată ca sumă a doi termeni.

Exemplu. Expresia pătrată 3 x 2 + 2xy.

Soluţie: Pentru a nu face transformări suplimentare, vom folosi formula pentru pătratul sumei. Ar trebui să obținem suma pătratului primului număr, de două ori produsul primului număr și al doilea și pătratul celui de-al doilea număr:

(3x 2 + 2xy) 2 = (3x 2) 2 + 2(3x 2 2 xy) + (2xy) 2

Acum, folosind regulile de înmulțire și exponențiere a monomiilor, simplificăm expresia rezultată:

(3x 2) 2 + 2(3x 2 2 xy) + (2xy) 2 = 9x 4 + 12x 3 y + 4x 2 y 2

Diferența pătrată

Expresie ( o - b) 2 este diferenta la patrat numere oŞi b. Expresie ( o - b) 2 este produsul a două polinoame ( o - b)(o - b). Prin urmare, din pătratul diferenței putem concluziona că

(o - b) 2 = (o - b)(o - b) = o 2 - ab - ab + b 2 = o 2 - 2ab + b 2 ,

adică pătratul diferenței a două numere este egal cu pătratul primului număr, minus de două ori produsul primului număr și al doilea, plus pătratul celui de-al doilea număr.

Din regula rezultă că totalul formula diferenței pătrate, fără transformări intermediare, va arăta astfel:

(o - b) 2 = o 2 - 2ab + b 2

Polinom o 2 - 2ab + b 2 se numește expansiunea diferenței la pătrat.

Această regulă se aplică la pătratul abreviat a expresiilor care pot fi exprimate ca diferență a două numere.

Exemplu. Reprezentați pătratul diferenței ca trinom:

(2o 2 - 5ab 2) 2

Soluţie: Folosind formula diferenței pătrate, găsim:

(2o 2 - 5ab 2) 2 = (2o 2) 2 - 2(2o 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2

Acum să transformăm expresia într-un polinom standard:

(2o 2) 2 - 2(2o 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2 = 4o 4 - 20o 3 b 2 + 25o 2 b 4

Diferența de pătrate

Expresie o 2 - b 2 este diferența de pătrate numere oŞi b. Expresie o 2 - b 2 este o modalitate scurtă de a înmulți suma a două numere cu diferența lor:

(o + b)(o - b) = o 2 + ab - ab - b 2 = o 2 - b 2 ,

adică produsul dintre suma a două numere și diferența lor este egal cu diferența pătratelor acestor numere.

Din regula rezultă că totalul formula diferenței pătrate arata asa:

o 2 - b 2 = (o + b)(o - b)

Această regulă se aplică înmulțirii prescurtate a expresiilor care pot fi reprezentate: una ca sumă a două numere, iar cealaltă ca diferență a acelorași numere.

Exemplu. Convertiți produsul într-un binom:

(5o 2 + 3)(5o 2 - 3)

Soluţie:

(5o 2 + 3)(5o 2 - 3) = (5o 2) 2 - 3 2 = 25o 4 - 9

În exemplu, am aplicat formula pentru diferența de pătrate de la dreapta la stânga, adică ni s-a dat partea dreaptă a formulei și am convertit-o la stânga:

(o + b)(o - b) = o 2 - b 2

În practică, toate cele trei formule discutate sunt aplicate atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga, în funcție de situație.