Formula pentru aflarea coordonatelor punctului mijlociu al unui segment. Cum să găsiți coordonatele punctului de mijloc al unui segment

Informații geometrice inițiale

Conceptul de segment, ca și conceptul de punct, linie, rază și unghi, se referă la informațiile geometrice inițiale. Studiul geometriei începe cu conceptele de mai sus.

Prin „informații inițiale” înțelegem de obicei ceva elementar și simplu. În înțelegere, poate că acest lucru este adevărat. Totuși, așa concepte simple apar adesea și se dovedesc a fi necesare nu numai la noi viata de zi cu zi, dar și în producție, construcții și alte domenii ale vieții noastre.

Să începem cu definiții.

Definiția 1

Un segment este o parte a unei linii delimitate de două puncte (capete).

Dacă capetele segmentului sunt punctele $A$ și $B$, atunci segmentul rezultat este scris ca $AB$ sau $BA$. Un astfel de segment conține punctele $A$ și $B$, precum și toate punctele de pe linia care se află între aceste puncte.

Definiția 2

Punctul de mijloc al unui segment este punctul de pe un segment care îl împarte la jumătate în două segmente egale.

Dacă acesta este punctul $C$, atunci $AC=CB$.

Măsurarea unui segment are loc prin comparație cu un anumit segment luat ca unitate de măsură. Cel mai des folosit este un centimetru. Dacă într-un anumit segment un centimetru este plasat exact de patru ori, aceasta înseamnă că lungimea acestui segment este de $4$ cm.

Să introducem o observație simplă. Dacă un punct împarte un segment în două segmente, atunci lungimea întregului segment este egală cu suma lungimilor acestor segmente.

Formula pentru aflarea coordonatelor punctului mijlociu al unui segment

Formula pentru găsirea coordonatelor punctului mijlociu al unui segment se referă la antet geometrie analiticăîntr-un avion.

Să definim coordonatele.

Definiția 3

Coordonatele sunt numere specifice (sau ordonate) care arată poziția unui punct pe un plan, pe o suprafață sau în spațiu.

În cazul nostru, coordonatele sunt marcate pe un plan definit de axele de coordonate.

Figura 3. Planul de coordonate. Autor24 - schimb online munca elevului

Să descriem desenul. Un punct este selectat pe plan, numit origine. Este notat cu litera $O$. Două linii drepte sunt trase prin originea coordonatelor ( axele de coordonate), intersectându-se în unghi drept, unul dintre ele strict orizontal, iar celălalt vertical. Această situație este considerată normală. Linia orizontală se numește axa absciselor și este desemnată $OX$, linia verticală se numește axa ordonatelor $OY$.

Astfel, axele definesc planul $XOY$.

Coordonatele punctelor dintr-un astfel de sistem sunt determinate de două numere.

Există diferite formule (ecuații) care determină anumite coordonate. De obicei, într-un curs de geometrie analitică, ei studiază diverse formule pentru linii drepte, unghiuri, lungimea unui segment și altele.

Să mergem direct la formula pentru coordonatele mijlocului segmentului.

Definiția 4

Dacă coordonatele punctului $E(x,y)$ sunt mijlocul segmentului $M_1M_2$, atunci:

Figura 4. Formula pentru aflarea coordonatelor mijlocului unui segment. Autor24 - schimb online de lucrări ale studenților

Partea practică

Exemplele dintr-un curs de geometrie școlar sunt destul de simple. Să ne uităm la câteva dintre cele de bază.

Pentru o mai bună înțelegere, să luăm mai întâi în considerare un exemplu vizual elementar.

Exemplul 1

Avem o poza:

În figură, segmentele $AC, CD, DE, EB$ sunt egale.

1. Punctul de mijloc al căror segmente este punctul $D$?
2. Care este punctul de mijloc al segmentului $DB$?

1. punctul $D$ este punctul de mijloc al segmentelor $AB$ și $CE$;
2. punctul $E$.

Să ne uităm la un alt exemplu simplu în care trebuie să calculăm lungimea.

Exemplul 2

Punctul $B$ este mijlocul segmentului $AC$. $AB = 9$ cm Care este lungimea $AC$?

Deoarece t. $B$ împarte $AC$ la jumătate, atunci $AB = BC= 9$ cm. Prin urmare, $AC = 9+9=18$ cm.

Raspuns: 18 cm.

Alţii exemple similare de obicei identice și concentrate pe capacitatea de a compara valorile lungimii și reprezentarea lor cu operații algebrice. Adesea, în probleme există cazuri când centimetrul nu se potrivește exact de numărul de ori într-un segment. Apoi unitatea de măsură este împărțită în părți egale. În cazul nostru, un centimetru este împărțit în 10 milimetri. Măsurați separat restul, comparându-l cu un milimetru. Să dăm un exemplu care demonstrează un astfel de caz.

După o muncă minuțioasă, am observat brusc că dimensiunea paginilor web este destul de mare, iar dacă lucrurile continuă așa, atunci pot să mă năpădesc în liniște =) Prin urmare, aduc în atenție un scurt eseu dedicat unei probleme geometrice foarte frecvente - despre împărțirea unui segment în acest sensși, ca caz special, despre împărțirea unui segment în jumătate.

Dintr-un motiv sau altul, această sarcină nu s-a încadrat în alte lecții, dar acum există o mare oportunitate de a o analiza în detaliu și pe îndelete. Vestea bună este că vom lua o pauză de la vectori și ne vom concentra pe puncte și segmente.

Formule de împărțire a unui segment în acest sens

Conceptul de împărțire a unui segment în acest sens

Adesea nu trebuie să așteptați deloc ceea ce este promis, să ne uităm imediat la câteva puncte și, evident, incredibilul – segmentul:

Problema luată în considerare este valabilă atât pentru segmente de plan, cât și pentru segmente de spațiu. Adică, segmentul demonstrativ poate fi plasat după dorință pe un plan sau în spațiu. Pentru ușurința explicației, l-am desenat pe orizontală.

Ce vom face cu acest segment? De data asta pentru a tăia. Cineva taie un buget, cineva taie un soț, cineva taie lemne de foc și vom începe să tăiem segmentul în două părți. Segmentul este împărțit în două părți folosind un anumit punct, care, desigur, este situat direct pe el:

În acest exemplu, punctul împarte segmentul în așa fel încât segmentul să fie jumătate din lungimea segmentului. De asemenea, puteți spune că un punct împarte un segment într-un raport („unu la doi”), numărând de la vârf.

În limbajul matematic sec, acest fapt se scrie astfel: , sau mai des sub forma proporției obișnuite: . Raportul segmentelor este de obicei notat cu litera greacă „lambda”, în acest caz: .

Este ușor să compuneți proporția într-o ordine diferită: - această notație înseamnă că segmentul este de două ori mai lung decât segmentul, dar aceasta nu are nicio semnificație fundamentală pentru rezolvarea problemelor. Poate fi așa, sau poate fi așa.

Desigur, segmentul poate fi împărțit cu ușurință în alte privințe și, pentru a consolida conceptul, al doilea exemplu:

Aici este valabil următorul raport: . Dacă facem proporția invers, atunci obținem: .

După ce ne-am dat seama ce înseamnă împărțirea unui segment în acest sens, trecem la luarea în considerare a problemelor practice.

Dacă sunt cunoscute două puncte ale planului, atunci coordonatele punctului care împarte segmentul în raport cu sunt exprimate prin formulele:

De unde au venit aceste formule? În cursul geometriei analitice, aceste formule sunt derivate strict folosind vectori (unde am fi fără ei? =)). În plus, ele sunt valabile nu numai pentru sistemul de coordonate carteziene, ci și pentru un sistem de coordonate afine arbitrar (vezi lecția Dependența liniară (non) a vectorilor. Baza vectorilor). Aceasta este o sarcină atât de universală.

Exemplul 1

Aflați coordonatele punctului care împarte segmentul în relația dacă punctele sunt cunoscute

Soluţie: În această problemă. Folosind formulele de împărțire a unui segment în această relație, găsim punctul:

Răspuns:

Acordați atenție tehnicii de calcul: mai întâi trebuie să calculați separat numărătorul și numitorul separat. Rezultatul este adesea (dar nu întotdeauna) o fracție cu trei sau patru etaje. După aceasta, scăpăm de structura cu mai multe etaje a fracției și efectuăm simplificările finale.

Sarcina nu necesită desen, dar este întotdeauna util să o faceți în formă de schiță:

Într-adevăr, relația este valabilă, adică segmentul este de trei ori mai scurt decât segmentul . Dacă proporția nu este evidentă, atunci segmentele pot fi întotdeauna măsurate prostește cu o riglă obișnuită.

La fel de valoroase a doua soluție: în ea numărătoarea inversă începe de la un punct și următoarea relație este corectă: (în cuvinte umane, un segment este de trei ori mai lung decât un segment). Conform formulelor de împărțire a unui segment în acest sens:

Răspuns:

Vă rugăm să rețineți că în formule este necesar să mutați coordonatele punctului pe primul loc, deoarece micul thriller a început cu el.

De asemenea, este clar că a doua metodă este mai rațională datorită calculelor mai simple. Dar totuși, această problemă este adesea rezolvată în mod „tradițional”. De exemplu, dacă în funcție de condiția este dat un segment, atunci se presupune că veți alcătui o proporție dacă este dat un segment, atunci proporția este implicită „tacit”.

Și am dat a doua metodă pentru că adesea încearcă să confunde în mod deliberat condițiile problemei. De aceea, este foarte important să se efectueze un desen brut pentru, în primul rând, a analiza corect starea și, în al doilea rând, în scopuri de verificare. Este păcat să faci greșeli într-o sarcină atât de simplă.

Exemplul 2

Puncte acordate . Găsi:

a) un punct care împarte segmentul în raport cu ;
b) un punct care împarte segmentul în raport cu .

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Uneori apar probleme în care unul dintre capetele segmentului este necunoscut:

Exemplul 3

Punctul aparține segmentului. Se știe că un segment este de două ori mai lung decât un segment. Găsiți punctul dacă .

Soluţie: Din condiția rezultă că punctul împarte segmentul în raportul , numărând de la vârf, adică proporția este valabilă: . Conform formulelor de împărțire a unui segment în acest sens:

Acum nu știm coordonatele punctului :, dar aceasta nu este o problemă specială, deoarece acestea pot fi exprimate cu ușurință din formulele de mai sus. ÎN vedere generală nu costă nimic de exprimat, este mult mai ușor de înlocuit numere specificeși tratați cu atenție calculele:

Răspuns:

Pentru a verifica, puteți lua capetele segmentului și, folosind formule în ordine directă, vă asigurați că relația are ca rezultat un punct. Și, desigur, desigur, un desen nu va fi de prisos. Și pentru a vă convinge în sfârșit de beneficiile unui caiet în carouri, a unui simplu creion și a unei rigle, vă propun o problemă dificilă pe care să o rezolvați singur:

Exemplul 4

Perioadă. Segmentul este de o ori și jumătate mai scurt decât segmentul. Găsiți un punct dacă sunt cunoscute coordonatele punctelor .

Soluția este la sfârșitul lecției. Apropo, nu este singurul dacă urmați o cale diferită de eșantion, nu va fi o greșeală, principalul este că răspunsurile se potrivesc.

Pentru segmentele spațiale totul va fi exact la fel, se va mai adăuga o singură coordonată.

Dacă sunt cunoscute două puncte din spațiu, atunci coordonatele punctului care împarte segmentul în raport cu sunt exprimate prin formulele:
.

Exemplul 5

Se acordă puncte. Aflați coordonatele unui punct aparținând segmentului dacă se știe că .

Soluţie: Condiția implică relația: . Acest exemplu este luat dintr-un test real, iar autorul său și-a permis o mică farsă (în cazul în care cineva se împiedică) - ar fi fost mai rațional să scrieți proporția în condiție astfel: .

Conform formulelor pentru coordonatele punctului mijlociu al segmentului:

Răspuns:

Desenele 3D în scopuri de inspecție sunt mult mai dificil de produs. Cu toate acestea, puteți face oricând un desen schematic pentru a înțelege cel puțin condiția - care segmente trebuie corelate.

În ceea ce privește fracțiile din răspuns, nu fi surprins, este un lucru obișnuit. Am spus-o de multe ori, dar o repet: matematică superioară Se obișnuiește să se folosească fracții obișnuite regulate și improprii. Răspunsul este în formă va face, dar opțiunea cu fracții improprii este mai standard.

Sarcină de încălzire pentru soluție independentă:

Exemplul 6

Se acordă puncte. Aflați coordonatele punctului dacă se știe că acesta împarte segmentul în raport.

Soluția și răspunsul sunt la sfârșitul lecției. Dacă este dificil să navigați în proporții, faceți un desen schematic.

În independent şi teste Exemplele luate în considerare apar atât pe cont propriu, cât și ca parte a unor probleme mai mari. În acest sens, problema găsirii centrului de greutate al unui triunghi este tipică.

Nu văd prea mult rost să analizez tipul de sarcină în care unul dintre capetele segmentului este necunoscut, deoarece totul va fi similar cu cazul plat, cu excepția faptului că există puțin mai multe calcule. Să ne amintim mai bine anii noștri de școală:

Formule pentru coordonatele punctului de mijloc al unui segment

Chiar și cititorii neînvățați își pot aminti cum să împartă un segment în jumătate. Problema împărțirii unui segment în două părți egale este un caz special de împărțire a unui segment în acest sens. Ferăstrăul cu două mâini funcționează în cel mai democratic mod, iar fiecare vecin de la birou primește același baston:

La această oră solemnă bate tobele, salutând proporția semnificativă. Și formule generale transformat miraculos în ceva familiar și simplu:

Un punct convenabil este faptul că coordonatele capetelor segmentului pot fi rearanjate fără durere:

ÎN formule generale o cameră atât de luxoasă, după cum înțelegeți, nu funcționează. Și aici nu este nevoie în mod special de el, așa că este un lucru mic drăguț.

Pentru cazul spațial, este valabilă o analogie evidentă. Dacă sunt date capetele unui segment, atunci coordonatele punctului său de mijloc sunt exprimate prin formulele:

Exemplul 7

Un paralelogram este definit de coordonatele vârfurilor sale. Aflați punctul de intersecție al diagonalelor sale.

Soluţie: Cei care doresc pot finaliza desenul. Recomand în special graffiti celor care au uitat complet curs şcolar geometrie.

Conform proprietății binecunoscute, diagonalele unui paralelogram sunt împărțite la jumătate la punctul lor de intersecție, astfel încât problema poate fi rezolvată în două moduri.

Metoda unu: Luați în considerare vârfuri opuse . Folosind formulele de împărțire a unui segment în jumătate, găsim mijlocul diagonalei:

Articolul de mai jos va acoperi problemele de a găsi coordonatele mijlocului unui segment dacă coordonatele punctelor sale extreme sunt disponibile ca date inițiale. Dar înainte de a începe să studiem problema, să introducem o serie de definiții.

Definiția 1

Segment– o linie dreaptă care leagă două puncte arbitrare, numite capetele unui segment. De exemplu, să fie acestea punctele A și B și, în consecință, segmentul A B.

Dacă segmentul A B este continuat în ambele direcții din punctele A și B, obținem o dreaptă A B. Atunci segmentul A B face parte din dreapta rezultată, mărginită de punctele A și B. Segmentul A B unește punctele A și B, care sunt capetele sale, precum și setul de puncte aflate între ele. Dacă, de exemplu, luăm orice punct K arbitrar situat între punctele A și B, putem spune că punctul K se află pe segmentul A B.

Definiția 2

Lungimea secțiunii– distanța dintre capetele unui segment la o scară dată (un segment de lungime unitară). Să notăm lungimea segmentului A B astfel: A B .

Definiția 3

Punctul de mijloc al segmentului– un punct situat pe un segment și echidistant de capetele acestuia. Dacă mijlocul segmentului A B este desemnat de punctul C, atunci egalitatea va fi adevărată: A C = C B

Date inițiale: linia de coordonate O x și puncte necoincidente pe ea: A și B. Aceste puncte corespund numere reale x A și x B . Punctul C este mijlocul segmentului A B: este necesar să se determine coordonatele x C .

Deoarece punctul C este mijlocul segmentului A B, egalitatea va fi adevărată: | A C | = | C B | . Distanța dintre puncte este determinată de modulul diferenței dintre coordonatele lor, adică.

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

Atunci sunt posibile două egalități: x C - x A = x B - x C și x C - x A = - (x B - x C)

Din prima egalitate derivăm formula pentru coordonatele punctului C: x C = x A + x B 2 (jumătate din suma coordonatelor capetelor segmentului).

Din a doua egalitate obținem: x A = x B, ceea ce este imposibil, deoarece în datele sursă – puncte necoincidente. Astfel, formula de determinare a coordonatelor mijlocului segmentului A B cu capete A (x A) si B(xB):

Formula rezultată va sta la baza determinării coordonatelor mijlocului unui segment pe un plan sau în spațiu.

Date inițiale: sistem de coordonate dreptunghiulare pe planul O x y, două puncte arbitrare necoincidente cu coordonatele date A x A, y A și B x B, y B. Punctul C este mijlocul segmentului A B. Este necesar să se determine coordonatele x C și y C pentru punctul C.

Să luăm spre analiză cazul când punctele A și B nu coincid și nu se află pe aceeași dreaptă de coordonate sau pe o dreaptă perpendiculară pe una dintre axe. A x , A y ; B x, B y și C x, C y - proiecții ale punctelor A, B și C pe axele de coordonate (drepte O x și O y).

Conform construcției, dreptele A A x, B B x, C C x sunt paralele; liniile sunt de asemenea paralele între ele. Împreună cu aceasta, conform teoremei lui Thales, din egalitatea A C = C B rezultă egalitățile: A x C x = C x B x și A y C y = C y B y, iar ele la rândul lor indică faptul că punctul C x este mijlocul segmentului A x B x, iar C y este mijlocul segmentului A y B y. Și apoi, pe baza formulei obținute mai devreme, obținem:

x C = x A + x B 2 și y C = y A + y B 2

Aceleași formule pot fi folosite în cazul în care punctele A și B se află pe aceeași linie de coordonate sau pe o linie perpendiculară pe una dintre axe. Nu vom efectua o analiză detaliată a acestui caz, îl vom lua în considerare doar grafic:

Rezumând toate cele de mai sus, coordonatele mijlocului segmentului A B pe planul cu coordonatele capetelor A (x A , y A) Şi B(xB, yB) sunt definite ca:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Date inițiale: sistemul de coordonate O x y z și două puncte arbitrare cu coordonatele date A (x A, y A, z A) și B (x B, y B, z B). Este necesar să se determine coordonatele punctului C, care este mijlocul segmentului A B.

A x , A y , A z ; B x , B y , B z și C x , C y , C z - proiecții ale tuturor punctelor date pe axele sistemului de coordonate.

Conform teoremei lui Thales, sunt adevărate următoarele egalități: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Prin urmare, punctele C x , C y , C z sunt punctele medii ale segmentelor A x B x , A y B y , respectiv A z B z . Apoi, Pentru a determina coordonatele mijlocului unui segment în spațiu, următoarele formule sunt corecte:

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

Formulele rezultate sunt aplicabile și în cazurile în care punctele A și B se află pe una dintre liniile de coordonate; pe o linie dreaptă perpendiculară pe una dintre axe; într-una plan de coordonate sau un plan perpendicular pe unul dintre planurile de coordonate.

Determinarea coordonatelor mijlocului unui segment prin coordonatele vectorilor de rază ai capetelor acestuia

Formula pentru aflarea coordonatelor mijlocului unui segment poate fi derivată și în funcție de interpretarea algebrică a vectorilor.

Date inițiale: sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare O x y, puncte cu coordonatele date A (x A, y A) și B (x B, x B). Punctul C este mijlocul segmentului A B.

Conform definiție geometrică acţiuni asupra vectorilor, următoarea egalitate va fi adevărată: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Punctul C în acest caz este punctul de intersecție al diagonalelor unui paralelogram construit pe baza vectorilor O A → și O B →, adică. punctul din mijlocul diagonalelor Coordonatele vectorului raza punctului sunt egale cu coordonatele punctului, atunci egalitățile sunt adevărate: O A → = (x A, y A), O B → = (x B. , y B). Să efectuăm câteva operații pe vectori în coordonate și să obținem:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Prin urmare, punctul C are coordonatele:

x A + x B 2 , y A + y B 2

Prin analogie, se determină o formulă pentru a găsi coordonatele mijlocului unui segment în spațiu:

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Exemple de rezolvare a problemelor privind găsirea coordonatelor punctului mijlociu al unui segment

Printre problemele care presupun folosirea formulelor obtinute mai sus se numara cele in care intrebarea directa este calcularea coordonatelor mijlocului segmentului, iar cele care presupun aducerea conditiilor date la aceasta intrebare: termenul „mediana” este adesea folosit, scopul este de a găsi coordonatele unuia de la capetele unui segment, iar problemele de simetrie sunt, de asemenea, comune, a căror soluție, în general, nu ar trebui să provoace dificultăți după studierea acestui subiect. Să ne uităm la exemple tipice.

Exemplul 1

Date inițiale: pe plan - puncte cu coordonatele date A (- 7, 3) și B (2, 4). Este necesar să găsiți coordonatele punctului de mijloc al segmentului A B.

Soluţie

Să notăm mijlocul segmentului A B prin punctul C. Coordonatele sale vor fi determinate ca jumătate din suma coordonatelor capetelor segmentului, i.e. punctele A și B.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Răspuns: coordonatele mijlocului segmentului A B - 5 2, 7 2.

Exemplul 2

Date inițiale: se cunosc coordonatele triunghiului A B C: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). Este necesar să găsiți lungimea mediei A M.

Soluţie

1. Conform condițiilor problemei, A M este mediana, ceea ce înseamnă că M este punctul de mijloc al segmentului B C . În primul rând, să găsim coordonatele mijlocului segmentului B C, adică. M puncte:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Deoarece acum cunoaștem coordonatele ambelor capete ale medianei (punctele A și M), putem folosi formula pentru a determina distanța dintre puncte și pentru a calcula lungimea medianei A M:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Răspuns: 58

Exemplul 3

Date inițiale:într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional, este dat un paralelipiped A B C D A 1 B 1 C 1 D 1. Sunt date coordonatele punctului C 1 (1, 1, 0) și se definește și punctul M, care este punctul de mijloc al diagonalei B D 1 și are coordonatele M (4, 2, - 4). Este necesar să se calculeze coordonatele punctului A.

Soluţie

Diagonalele unui paralelipiped se intersectează într-un punct, care este punctul de mijloc al tuturor diagonalelor. Pe baza acestei afirmații, putem reține că punctul M, cunoscut din condițiile problemei, este punctul de mijloc al segmentului A C 1. Pe baza formulei de găsire a coordonatelor mijlocului unui segment în spațiu, găsim coordonatele punctului A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

Răspuns: coordonatele punctului A (7, 3, - 8).

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Cum să găsiți coordonatele punctului de mijloc al unui segment
Mai întâi, să ne dăm seama care este mijlocul unui segment.
Punctul de mijloc al unui segment este considerat a fi un punct care aparține unui segment dat și se află la aceeași distanță de la capetele acestuia.

Coordonatele unui astfel de punct sunt ușor de găsit dacă sunt cunoscute coordonatele capetelor acestui segment. În acest caz, coordonatele mijlocului segmentului vor fi egale cu jumătate din suma coordonatelor corespunzătoare ale capetelor segmentului.
Coordonatele punctului de mijloc al unui segment sunt adesea găsite prin rezolvarea problemelor mediane, linia mediană etc.
Să luăm în considerare calcularea coordonatelor mijlocului unui segment pentru două cazuri: când segmentul este specificat pe un plan și când este specificat în spațiu.
Fie specificat un segment din plan prin două puncte cu coordonatele și . Apoi coordonatele mijlocului segmentului PH sunt calculate folosind formula:

Fie un segment definit în spațiu prin două puncte cu coordonatele și . Apoi coordonatele mijlocului segmentului PH sunt calculate folosind formula:

Exemplu.
Aflați coordonatele punctului K - mijlocul lui MO, dacă M (-1; 6) și O (8; 5).

Soluţie.
Deoarece punctele au două coordonate, aceasta înseamnă că segmentul este definit în plan. Folosim formulele adecvate:

În consecință, mijlocul MO va avea coordonatele K (3,5; 5,5).

Răspuns. K (3,5; 5,5).