Vechiul continent Pangea a fost împărțit în.

Deschide meniul

Material din neciclopedie

Cunoașterea noastră cu matematica începe cu aritmetica, știința numerelor. Unul dintre primele manuale de aritmetică rusă, scris de L. F. Magnitsky în 1703, începea cu cuvintele: „Aritmetica, sau numărătorul, este o artă cinstită, de neinvidiat și ușor de înțeles pentru toată lumea, cea mai utilă și foarte lăudată, din cele mai vechi. iar cel mai nou, care a trăit în vremuri diferite ale celor mai drepți aritmetici, a inventat și a expus.” Cu aritmetica intrăm, așa cum spunea M.V Lomonosov, în „porțile învățării” și începem drumul nostru lung și dificil, dar fascinant, de înțelegere a lumii. Cuvântul „aritmetică” provine din grecescul arithmos, care înseamnă „număr”. Această știință studiază operațiile cu numere, diverse reguli de manipulare a acestora și învață cum să rezolvi probleme care se rezumă la adunare, scădere, înmulțire și împărțire a numerelor. Aritmetica este adesea imaginată ca o primă etapă a matematicii, pe baza căreia se pot studia secțiunile sale mai complexe - algebra, analiza matematică etc. Chiar și numerele întregi - obiectul principal al aritmeticii - sunt luate în considerare atunci când le luăm în considerare. proprietăți generale

și modele, la aritmetică superioară sau teoria numerelor. Această viziune asupra aritmeticii, desigur, are temeiuri - rămâne într-adevăr „alfabetul numărării”, dar alfabetul este „cel mai util” și „ușor de înțeles”.

Aritmetica și geometria sunt tovarășii de lungă durată ai omului. Aceste științe au apărut atunci când a apărut nevoia de a număra obiectele, de a măsura loturi de pământ, de a împărți prada și de a ține evidența timpului. Aritmetica își are originea în țări Orientul antic

2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365.

: Babilon, China, India, Egipt. De exemplu, papirusul egiptean Rind (numit după proprietarul său G. Rind) datează din secolul al XX-lea. î.Hr Printre alte informații, conține descompunerea unei fracții într-o sumă de fracții cu un numărător egal cu unu, de exemplu: Comorile de cunoștințe matematice acumulate în țările din Orientul Antic au fost dezvoltate și continuate de oamenii de știință Grecia antică . Există multe nume de oameni de știință care au studiat aritmetica în, istoria ne-a păstrat - Anaxagoras și Zenon, Euclid (vezi Euclid și „Elementele sale”), Arhimede, Eratostene și Diofantus. Numele lui Pitagora (sec. VI î.Hr.) scânteie aici ca o stea strălucitoare. Pitagoreii (studenți și adepți ai lui Pitagora) se închinau numerelor, crezând că acestea conțin toată armonia lumii. Au fost atribuite numere individuale și perechi de numere proprietăți speciale. Numerele 7 și 36 au fost ținute la mare cinste, iar apoi s-a acordat atenție așa-ziselor numere perfecte, numere prietenoase etc.

În Evul Mediu, dezvoltarea aritmeticii a fost asociată și cu Orientul: India, țările lumii arabe și Asia Centrală. De la indieni ne-au venit numerele pe care le folosim, zero și sistem de pozitionare calcul; de la al-Kashi (secolul al XV-lea), care a lucrat la Observatorul Samarkand din Ulugbek, - fracții zecimale.

Datorită dezvoltării comerțului și influenței culturii orientale încă din secolul al XIII-lea. Interesul pentru aritmetică crește și în Europa. Merită să ne amintim numele omului de știință italian Leonardo din Pisa (Fibonacci), a cărui lucrare „Cartea lui Abacus” ia introdus pe europeni în principalele realizări ale matematicii orientale și a fost începutul multor studii în aritmetică și algebră.

Odată cu invenția tiparului (mijlocul secolului al XV-lea) au apărut și primele cărți de matematică tipărite. Prima carte tipărită despre aritmetică a fost publicată în Italia în 1478. În „Aritmetica completă” a matematicianului german M. Stiefel (începutul secolului al XVI-lea) există deja numere negative și chiar ideea logaritmizării.

Din aproximativ secolul al XVI-lea. dezvoltarea întrebărilor pur aritmetice s-a revărsat în curentul principal al algebrei - ca o piatră de hotar semnificativă, se poate remarca apariția lucrărilor omului de știință francez F. Vieta, în care numerele sunt indicate prin litere. Din acest moment, regulile aritmetice de bază sunt în sfârșit înțelese din punctul de vedere al algebrei.

Obiectul principal al aritmeticii este numărul. Numerele naturale, adică numerele 1, 2, 3, 4, ... etc., au apărut din numărarea unor obiecte specifice. Au trecut multe mii de ani înainte ca omul să învețe că doi fazani, două mâini, doi oameni etc. poate fi numit prin același cuvânt „doi”. O sarcină importantă a aritmeticii este să înveți să depășești sensul specific al numelor obiectelor care se numără, să fie distras de la forma, dimensiunea, culoarea lor etc. Fibonacci are deja o sarcină: „Șapte bătrâne merg la Roma. Fiecare are 7 catîri, fiecare catîr poartă 7 pungi, fiecare pungă conține 7 pâini, fiecare pâine conține 7 cuțite, fiecare cuțit are 7 teci. Câți sunt?" Pentru a rezolva problema, va trebui să puneți împreună bătrâne, catâri, saci și pâine.

Dezvoltarea conceptului de număr - apariția numerelor zero și negative, obișnuite și zecimale, moduri de scriere a numerelor (cifre, notații, sisteme numerice) - toate acestea au o istorie bogată și interesantă.

În aritmetică, numerele se adună, se scad, se înmulțesc și se împart. Arta de a efectua rapid și precis aceste operații pe orice numere a fost mult timp considerată cea mai importantă sarcină a aritmeticii. În zilele noastre, în capul nostru sau pe o bucată de hârtie, facem doar cele mai simple calcule, încredințând tot mai mult lucrări de calcul mai complexe microcalculatoarelor, care înlocuiesc treptat dispozitive precum un abac, o mașină de adăugare (vezi Tehnologia calculatoarelor) și un diapozitiv. regulă. Cu toate acestea, funcționarea tuturor calculatoarelor - simple și complexe - se bazează pe cea mai simplă operațiune - adăugarea. numere naturale. Se pare că cele mai complexe calcule pot fi reduse la adunare, dar această operație trebuie făcută de multe milioane de ori. Dar aici invadăm o altă zonă a matematicii, care își are originea în aritmetică - matematica computațională.

Operațiile aritmetice pe numere au o varietate de proprietăți. Aceste proprietăți pot fi descrise în cuvinte, de exemplu: „Suma nu se schimbă prin schimbarea locurilor termenilor”, poate fi scrisă cu litere: a + b = b + a, poate fi exprimată în termeni speciali.

De exemplu, această proprietate a adunării se numește lege comutativă sau comutativă. Aplicam legile aritmeticii adesea din obisnuinta, fara sa ne dam seama. Adesea, elevii de la școală întreabă: „De ce să înveți toate aceste legi comutative și combinaționale, deoarece este deja clar cum să adunăm și să înmulțim numerele?” În secolul al XIX-lea matematica a făcut un pas important - a început să adauge și să înmulțească în mod sistematic nu numai numere, ci și vectori, funcții, deplasări, tabele de numere, matrice și multe altele, și chiar doar litere, simboluri, fără să-i pese cu adevărat de sensul lor specific. Și aici s-a dovedit că cel mai important lucru este ce legi respectă aceste operațiuni. Studiul operațiilor specificate pe obiecte arbitrare (nu neapărat pe numere) este deja domeniul algebrei, deși această sarcină se bazează pe aritmetică și legile acesteia.

Aritmetica conține multe reguli pentru rezolvarea problemelor. În cărțile vechi se găsesc probleme cu privire la „regula triplă”, la „diviziunea proporțională”, la „metoda scalelor”, la „regula falsă”, etc. Cele mai multe dintre aceste reguli sunt acum depășite, deși problemele care erau rezolvate cu ajutorul lor nu sunt în niciun caz considerate învechite. Celebra problemă a unei piscine care este umplută cu mai multe țevi este veche de cel puțin două mii de ani și încă nu este ușor pentru școlari. Dar dacă mai devreme pentru a rezolva această problemă era necesar să se cunoască o regulă specială, atunci în prezent şcolari juniori sunt învățați să rezolve o astfel de problemă introducând litera x a cantității dorite. Astfel, problemele aritmetice au dus la necesitatea rezolvării ecuațiilor, iar aceasta este din nou o problemă de algebră.

Printre conceptele importante pe care le-a introdus aritmetica se numără proporțiile și procentele. Cele mai multe concepte și metode de aritmetică se bazează pe compararea diferitelor dependențe între numere. În istoria matematicii, procesul de îmbinare a aritmeticii și geometriei a avut loc de-a lungul mai multor secole.

Se poate urmări clar „geometrizarea” aritmeticii: regulile complexe și modelele exprimate prin formule devin mai clare dacă pot fi reprezentate geometric. Rol mareîn matematică în sine și în aplicațiile sale, procesul invers joacă un rol - traducerea informațiilor vizuale, geometrice în limbajul numerelor (vezi Calcule grafice). Această traducere se bazează pe ideea filozofului și matematicianului francez R. Descartes despre definirea punctelor de pe un plan prin coordonate. Desigur, această idee fusese deja folosită înaintea lui, de exemplu în afacerile maritime, când era necesar să se determine locația unei nave, precum și în astronomie și geodezie. Dar de la Descartes și studenții săi vine utilizarea consecventă a limbajului coordonatelor în matematică. Și în timpul nostru, când controlăm procese complexe (de exemplu, zborul nava spatiala) preferă să aibă toate informațiile sub formă de numere, care sunt procesate de un computer. Dacă este necesar, mașina ajută o persoană să traducă informațiile numerice acumulate în limbajul desenului.

Vedeți că, vorbind despre aritmetică, depășim întotdeauna limitele ei - în algebră, geometrie și alte ramuri ale matematicii.

Cum putem delimita limitele aritmeticii în sine?

În ce sens este folosit acest cuvânt?

Cuvântul „aritmetică” poate fi înțeles astfel:

subiect academic care se ocupă în primul rând numere raționale(numere întregi și fracții), acțiuni asupra acestora și probleme rezolvate cu ajutorul acestor acțiuni;

parte a clădirii istorice a matematicii, care a acumulat diverse informații despre calcule;

„aritmetica teoretică” este o parte a matematicii moderne care se ocupă cu construcția diferitelor sisteme numerice (naturale, întregi, raționale, reale, numere complexeși generalizările acestora);

„aritmetica formală” este o parte a logicii matematice (vezi Logica matematică), care se ocupă cu analiza teoriei axiomatice a aritmeticii;

„aritmetică superioară” sau teoria numerelor, în mod independent partea în curs de dezvoltare matematică.

Aritmetica este ramura matematicii al cărei subiect de studiu este numerele, proprietățile și relațiile lor.

Numele său este de origine greacă: în limba Eladei antice cuvântul „ aritmii„(se mai pronunță ca „ aritmetica") înseamnă " număr».

Aritmetică studiază regulile de calcul și cele mai simple proprietăți ale numerelor. În secțiunea numită teoria numerelor (sau aritmetică superioară), sunt studiate proprietățile numerelor întregi individuale.

Aritmetică este cel mai strâns legat de teoria numerelor, algebra și geometria și este una dintre principalele științe matematice, precum și cea mai veche dintre ele.

Principalele subiecte ale aritmeticii sunt operațiile asupra numerelor, proprietățile acestora, precum și mulțimile numerice. În plus, aritmetica studiază aspecte precum originea și dezvoltarea conceptului de numere, tehnicile de măsurare și numărare.

Operațiile cu numere care fac obiectul aritmeticii sunt adunarea, scăderea, împărțirea și înmulțirea. Acestea includ, de asemenea, operații precum extragerea rădăcinilor, exponențiarea și rezolvarea diverselor ecuații numerice.

În plus, istoric s-a dezvoltat că operațiile aritmetice includ, pe lângă înmulțire, și dublarea; pe lângă împărțire, împărțire cu un rest și cu doi; verifica; calcularea sumei progresiilor geometrice si aritmetice. Mai mult, toate operațiile aritmetice au o ierarhie proprie, în care nivelul cel mai înalt este ocupat de extragerea rădăcinilor și exponentiație, nivelul inferior prin înmulțire și împărțire, iar apoi prin adunare și scădere.

Trebuie remarcat faptul că acele măsurători și calcule matematice care sunt pe scară largă aplicare practică(de exemplu, procentele, proporțiile etc.) aparțin așa-numitei aritmetice inferioare, iar conceptul de număr și analiza lui logică aparțin aritmeticii teoretice.

Aritmetică este în foarte legătură strânsă cu algebra, al cărui subiect principal de studiu îl constituie diverse operații cu numere care nu țin cont de proprietățile și caracteristicile acestora. În același timp, extragerea rădăcinilor și exponentiația sunt partea tehnică a algebrei.

Din moment ce în viata de zi cu zi aritmetică este folosit aproape peste tot, atunci absolut toată lumea are nevoie de anumite cunoștințe în această știință. De-a lungul vieții, operațiuni precum numărarea, calcularea volumelor, suprafețelor, vitezei, intervalelor de timp și lungimii trebuie efectuate foarte des.

Pentru a stăpâni orice profesie, trebuie să ai cunoștințe de bază de aritmetică, iar acest lucru este valabil mai ales pentru acele specialități legate de economie, tehnologie și științele naturii.

Pe de o parte, aceasta este o întrebare foarte simplă. Pe de altă parte, școlari și mulți adulți confundă adesea aritmetica și matematica și nu știu cu adevărat care este diferența dintre aceste două materii. Matematica este cel mai extins concept care include orice operații cu numere. Aritmetica este doar una dintre ramurile matematicii. Aritmetica include introducerea în numere, numărare simplă și operații cu numere. Anterior, lecțiile din școli se numeau aritmetică și abia cu timpul au început să poarte numele de matematică, care se revarsă lin în algebră. În esență, algebra începe atunci când în exemple apar numere necunoscute și sunt folosite în schimb litere. Adică, într-un mod simplu, operațiuni cu xŞi y.

Termen "aritmetică" coborât din cuvânt grecesc "aritmetica", care înseamnă „număr”. În secolele XIV-XV, acest termen a fost tradus în Anglia nu în totalitate corect - „arta metrică”, care în esență însemna „artă metrică”, potrivită mai mult pentru geometrie decât pentru simpla numărare și operații simple cu numere.

Unul dintre motivele pentru care conceptul de „aritmetică” nu este folosit în școli este că chiar și în lecțiile din școală primară Pe lângă numere, ei studiază și formele geometrice și unitățile de măsură (centimetru, metru etc.), iar acest lucru depășește deja numărarea obișnuită. Cu toate acestea, învățarea aritmeticii mentale are loc într-o oarecare măsură în mod natural în viața unui copil, în procesul de cunoaștere a lumii din jurul lui. Termen "aritmetica mentala"înseamnă capacitatea de a face matematică mentală. De acord, fiecare dintre noi învață acest lucru la un moment dat în viața noastră și nu doar prin lecțiile de la școală.

Astăzi există metode întregi pentru dezvoltarea abilităților de aritmetică mentală a vitezei copiilor. De exemplu, deosebit de popular este antrenamentul antic Abacus, care se bazează pe capacitatea de a conta pe abaci speciale (diferiți de cele obișnuite cu zeci). Abac tradus din engleză este "abac", de aceea numele tehnicii sună la fel. Japonezii numesc această tehnică antrenament Soroban, pentru că... în limba lor, „abacus” se numește „soroban”.

Aritmetica folosește patru operații elementare - adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea. Nu contează dacă în exemplu sunt folosite numere întregi sau zecimale și fracții. Îți poți face cunoștințele copilului cu numerele încă din copilărie și să o faci cu ușurință și prin joacă. Părinții vor fi ajutați în acest sens nu numai de imaginația lor, ci și de o varietate de materiale educaționale speciale care pot fi găsite în orice magazin.

De cerințe moderne Până în clasa întâi, copilul ar trebui să fie deja capabil să numere cel puțin până la zece (și de preferință până la 20) și, de asemenea, să efectueze operații de bază cu numere familiare - adunarea și scăderea lor. De asemenea, este important ca copilul să compare ce numere sunt mai mari, care sunt mai mici și care sunt numere egale. Astfel, putem spune că este o aritmetică pe care un copil ar trebui să o știe chiar înainte de a intra la școală.

Astfel de cerințe sunt prezentate nu numai în Rusia, ci în întreaga lume, deoarece Ritmul vieții se accelerează, iar volumul cunoștințelor crește zilnic. Ce a fost suficient să știi în programa școlară Acum 20-30 de ani, astazi ocupa nu mai mult de 50% din informatiile predate de profesori. Oricum ar fi, aritmetica va rămâne întotdeauna baza pentru învățarea numerelor și a numărării, precum și a nivelului inițial de matematică, fără de care este imposibil să înveți sarcini și abilități mai complexe.