Dați 3 vectori, găsiți aria unui triunghi. Produs încrucișat - definiții, proprietăți, formule, exemple și soluții

Testul nr. 1

Vectori. Elemente de algebră superioară

1-20. Lungimile vectorilor și și sunt cunoscute;

– unghiul dintre acești vectori.

Calculați: 1) și, 2).3) Aflați aria triunghiului construit pe vectorii și.

Faceți un desen. Soluţie.

Folosind definiția produsului scalar al vectorilor: ,

Și proprietățile produsului scalar:

1) găsiți pătratul scalar al vectorului:

adică Atunci .

1) găsiți pătratul scalar al vectorului:

Argumentând în mod similar, obținem

Prin definiția unui produs vectorial: ,

tinand cont ca

21-40. Aria unui triunghi construit din vectori și este egală cu Coordonatele cunoscute a trei vârfuri A, B, D paralelogram ABCD

. Folosind algebra vectorială, aveți nevoie de:(3;0;-7), O(2;4;6), B(-7;-5;1)

Faceți un desen.

D Se știe că diagonalele unui paralelogram sunt împărțite la jumătate în punctul de intersecție. Prin urmare, coordonatele punctului E - intersecția diagonalelor - găsiți ca coordonate ale mijlocului segmentului BD . Indicându-le prin Se știe că diagonalele unui paralelogram sunt împărțite la jumătate în punctul de intersecție. Prin urmare, coordonatele punctului ,x Se știe că diagonalele unui paralelogram sunt împărțite la jumătate în punctul de intersecție. Prin urmare, coordonatele punctului , y Se știe că diagonalele unui paralelogram sunt împărțite la jumătate în punctul de intersecție. Prin urmare, coordonatele punctului z

înţelegem asta

Primim. Se știe că diagonalele unui paralelogram sunt împărțite la jumătate în punctul de intersecție. Prin urmare, coordonatele punctului Cunoscând coordonatele punctului - intersecția diagonalelor - găsiți ca coordonate ale mijlocului segmentului- punctul de mijloc al diagonalei . Folosind algebra vectorială, aveți nevoie de:(3;0;-7), și coordonatele unuia dintre capete ale acestuia Folosind formule determinăm coordonatele necesare ale vârfului CU

paralelogram:

Deci, de sus.

2) Pentru a găsi proiecția unui vector pe un vector, găsim coordonatele acestor vectori: ,

în mod similar . Proiecția unui vector pe un vector se găsește folosind formula:

3) Unghiul dintre diagonalele unui paralelogram se găsește ca unghi între vectori

Și prin proprietatea produsului scalar:

Apoi

4) Găsiți aria paralelogramului ca modulul produsului vectorial:

5) Volumul piramidei se găsește ca o șesime din modulul produsului mixt al vectorilor, unde O(0;0;0), atunci

41-60. Apoi volumul necesar (unități cubice)

Matrici date:

V C -1 +3A T

Denumiri:

În primul rând, găsim matricea inversă a matricei C.

Pentru a face acest lucru, găsim determinantul său:

Determinantul este diferit de zero, prin urmare, matricea este nesingulară și pentru aceasta puteți găsi matricea inversă C -1

Să găsim complementele algebrice folosind formula , unde este minorul elementului:

61–80. Apoi, .

Rezolvați sistemul de ecuații liniare:

Faceți un desen.

metoda lui Cramer; 2. Metoda matricei.

a) metoda lui Cramer

Să găsim determinantul sistemului

Din , sistemul are o soluție unică.

Să găsim determinanții și prin înlocuirea prima, a doua și a treia coloană din matricea coeficienților cu o coloană de termeni liberi.

Conform formulelor lui Cramer:b)

Scriem acest sistem sub formă de matrice și îl rezolvăm folosind matricea inversă.

Lasă O– matricea coeficienților pentru necunoscute; X– matrice-coloană de necunoscute . Indicându-le prin, x, yŞi N– matrice-coloană de membri liberi:

Partea stângă a sistemului (1) poate fi scrisă ca produs de matrice, iar partea dreaptă ca o matrice N.

Prin urmare, avem ecuația matriceală O Deoarece determinantul matricei O este diferit de zero (punctul „a”), apoi matricea

are o matrice inversă. Să înmulțim ambele părți ale egalității (2) din stânga cu matricea, obținem De unde E

este matricea identității și , atunci

Să avem o matrice nesingulară A:

Apoi găsim matricea inversă folosind formula: . Folosind algebra vectorială, aveți nevoie de: Unde ij - complement algebric al unui element Unde o Oîn determinantul matricei , care este produsul dintre (-1) i+j și minorul (determinant) n-1 ordine obtinuta prin stergere i-a linii şi jth

coloana din determinantul matricei A:

De aici obținem matricea inversă:

81–100. Coloana X: X=A -1 H

Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss

Soluţie. Să scriem sistemul sub forma unei matrice extinse:

Efectuăm transformări elementare cu șiruri.

Din a 2-a linie scadem prima linie inmultita cu 2. Din linia 3 scadem prima linie inmultita cu 4. Din linia 4 scadem prima linie, obtinem matricea:

Apoi, obținem zero în prima coloană a rândurilor următoare, pentru a face acest lucru, scădem al treilea rând din al doilea rând. Din al treilea rând, scădeți al doilea rând, înmulțit cu 2. Din al patrulea rând, scădeți al doilea rând, înmulțit cu 3. Ca rezultat, obținem o matrice de forma:

Din a patra linie o scadem pe a treia.

Să schimbăm penultimul și ultimul rând:

Ultima matrice este echivalentă cu sistemul de ecuații:

Din ultima ecuație a sistemului găsim . .

Înlocuind în penultima ecuație, obținem

Din a doua ecuație a sistemului rezultă că

Din prima ecuație găsim x:

Răspuns:

Testul nr. 2

1-20. Geometrie analitică Având în vedere coordonatele vârfurilor triunghiului ABC.

Găsi: . Folosind algebra vectorială, aveți nevoie de:1) lungimea laterală;

ÎN 2) ecuațiile laturilorŞi AB Soare

și coeficienții lor unghiulari; 1) lungimea laterală 3) unghi

în radiani cu precizie de două cifre; 4) ecuația înălțimii CD

și lungimea acesteia; 5) ecuația mediană

AE 4) ecuația înălțimii;

înălţime LA paralel cu laterala

AB,

7) faceți un desen.

Faceți un desen.

A(3;6), B(15;-3), C(13;11) 2) ecuațiile laturilor:

ÎN 2) ecuațiile laturilorŞi AB Aplicând (1), găsim lungimea laturii

și coeficienții lor unghiulari:

Ecuația unei drepte care trece prin puncte și are forma OÎnlocuirea coordonatele punctelor în (2) 1) lungimea lateralăŞi 2) ecuațiile laturilor:

(2) ecuațiile laturilor).

(, obținem ecuația laturii).

și coeficienții lor unghiulari; 1) lungimea laterală B.C.

Se știe că tangenta unghiului dintre două drepte, ai căror coeficienți unghiulari sunt, respectiv, egali și se calculează prin formula

Unghiul necesar 1) lungimea laterală format din linii drepte 2) ecuațiile laturilorŞi AB, ai caror coeficienti unghiulari se gasesc: ;

. Aplicând (3), obținem

în radiani cu precizie de două cifre; 4) ecuația înălțimii;

, sau

și lungimea acesteia; 5) ecuația mediană si lungimea acestuia.

AE 4) ecuația înălțimii.

Distanța de la punctul C la dreapta AB:

iar coordonatele punctului K de intersectie a acestei mediane cu

mijlocul părții soarelui:

Atunci ecuația AE: înălţime LA 2) ecuațiile laturilor:

Rezolvam sistemul de ecuatii: 2) ecuațiile laturilor 6) ecuația unei drepte care trece printr-un punct 2) ecuațiile laturilor Deoarece linia dorită este paralelă cu latura înălţime, atunci panta sa va fi egală cu panta dreptei

; (.).

Înlocuirea coordonatele punctului găsit în (4) iar panta, ajungem KF Aria paralelogramului este de 12 metri pătrați. unități, cele două vârfuri ale sale sunt puncte A(-1;3)

Şi

B(-2;4).

Găsiți celelalte două vârfuri ale acestui paralelogram dacă se știe că punctul de intersecție al diagonalelor sale se află pe axa x.

Faceți un desen.

Soluţie. Fie punctul de intersecție al diagonalelor să aibă coordonate.

Atunci este evident că prin urmare, coordonatele vectorilor sunt . Găsim aria unui paralelogram folosind formula

Atunci coordonatele celorlalte două vârfuri sunt . În problemele 51-60 sunt date coordonatele punctelor A și B

. Necesar:

Scrieți ecuația canonică a unei hiperbole care trece prin aceste puncte

A și B,

dacă focarele hiperbolei sunt situate pe axa x;

Găsiți semiaxele, focarele, excentricitatea și ecuațiile asimptotelor acestei hiperbole;

Apoi găsim matricea inversă folosind formula: - complement algebric al unui element Aflați toate punctele de intersecție ale unei hiperbole cu un cerc cu centrul la origine, dacă acest cerc trece prin focarele hiperbolei; Construiți o hiperbolă, asimptotele și cercul acesteia. A(6;-2), B(-8;12). OÎnlocuirea coordonatele punctelor în (2) 1) lungimea laterală Soluţie. Se scrie ecuația hiperbolei dorite în formă canonică

- semiaxa reală a hiperbolei,

b-

semiaxă imaginară. Înlocuind coordonatele punctelor

În această ecuație găsim aceste semi-axe:

– ecuația hiperbolei: .

Semi-axele a=4,

distanta focala Focalizeaza (-8.0) si (8.0)

Excentricitate

Asyptotes:

Dacă un cerc trece prin origine, ecuația lui este /8 (0   Înlocuind unul dintre focare, găsim ecuația cercului

Faceți un desen. Găsiți punctele de intersecție ale hiperbolei și cercului:

Construim un desen:	φ ,	În problemele 61-80, construiți un grafic al unei funcții din sistemul de coordonate polar punct cu punct, dând valori  prin intervalul 			Construim un desen:	φ , 2). Găsiți ecuația dreptei într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare (semiaxa pozitivă a abscisei coincide cu axa polară, iar polul cu originea).	Să construim o linie cu puncte, completând mai întâi tabelul de valori și φ.
								3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 - 3 concluzionăm că această ecuație definește o elipsă: Se acordă puncte O,ÎN , C, D . Trebuie să găsiți: 1. Ecuația plană (Q), trecând prin puncte A, B, C Bîn avion (Q); 2. Ecuația dreptei (eu), trecând prin puncte 1) lungimea lateralăși D; 3. Unghiul dintre plan (Q) si drept (eu); 4. Ecuația plană (P), trecând printr-un punct O perpendicular pe o linie dreaptă (eu); 5. Unghiul dintre planuri (P)Şi (Q) ; 6. Ecuația unei linii (T), trecând printr-un punct Oîn direcția vectorului său de rază; 7. Unghiul dintre liniile drepte (eu)Şi (T). A(9;-8;1), B(-9;4;5), C(9;-5;5),B(6;4;0) 1. Ecuația plană (Q), trecând prin puncte A, B, Cși verificați dacă este cazul Bîn plan este determinată de formula Găsiţi: 1) . 2) Pătrat paralelogram, construit peŞi. 3) Volumul paralelipipedului, construit pe vectori, Și. Controla Post pe tema " Elemente teoria spatiilor liniare... Recomandări metodologice pentru finalizarea probelor pentru studii universitare de licență cu frecvență redusă în calificarea 080100. 62 în direcția Recomandări metodice Paralelepiped și volumul piramidei, construit pe vectori, Și. Rezolvare: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2)... . . . 4. SARCINI PENTRU CONTROLA FABRICĂ Secţiunea I. Linear algebră. 1 – 10. Având în vedere...

În această lecție ne vom uita la alte două operații cu vectori: produs vectorial al vectorilorÎnlocuirea coordonatele punctelor în (2) produs mixt al vectorilor (link imediat pentru cei care au nevoie). Este în regulă, uneori se întâmplă că pentru fericire deplină, în plus produsul scalar al vectorilor, sunt necesare din ce în ce mai multe. Aceasta este dependența de vectori. Poate părea că intrăm în jungla geometriei analitice. Acest lucru este greșit. În această secțiune a matematicii superioare există în general puțin lemn, cu excepția poate suficient pentru Pinocchio. De fapt, materialul este foarte comun și simplu - cu greu mai complicat decât același produs punctual, vor fi chiar mai puține sarcini tipice. Principalul lucru în geometria analitică, așa cum mulți vor fi convinși sau s-au lăsat deja convinși, este A NU FACE GREȘELI LA CALCULE. Repetă ca o vrajă și vei fi fericit =)

Dacă vectorii strălucesc undeva departe, ca fulgerul la orizont, nu contează, începe cu lecția Vectori pentru manechine pentru a restabili sau redobândi cunoștințe de bază despre vectori. Cititorii mai pregătiți se pot familiariza cu informațiile în mod selectiv. Am încercat să colectez cea mai completă colecție de exemple care se găsesc adesea în lucrările practice

Ce te va face fericit imediat? Când eram mică, puteam jongla cu două și chiar trei mingi. A mers bine. Acum nu va trebui să jonglați deloc, pentru că vom lua în considerare numai vectori spațiali, iar vectorii plati cu două coordonate vor fi lăsați afară. De ce? Așa s-au născut aceste acțiuni - vectorul și produsul mixt al vectorilor sunt definite și funcționează în spațiul tridimensional. Deja este mai ușor!

Această operație, la fel ca și produsul scalar, implică doi vectori. Să fie acestea litere nepieritoare.

Acțiunea în sine notat cu după cum urmează: . Există și alte opțiuni, dar sunt obișnuit să notez produsul vectorial al vectorilor în acest fel, între paranteze pătrate cu o cruce.

Și imediat întrebare: dacă în produsul scalar al vectorilor sunt implicați doi vectori și aici se înmulțesc și doi vectori, atunci care este diferenta? Diferența evidentă este, în primul rând, în REZULTAT:

Rezultatul produsului scalar al vectorilor este NUMĂR:

Rezultatul produsului încrucișat al vectorilor este VECTOR: , adică înmulțim vectorii și obținem din nou un vector. Club închis. De fapt, de aici provine numele operațiunii. În diferite literaturi educaționale, desemnările pot varia, de asemenea, voi folosi litera.

Definiţia cross product

Mai întâi va fi o definiție cu o imagine, apoi comentarii.

Definiţie: produs vectorial necoliniare vectori, luate în această ordine, numit VECTOR, lungime care este numeric egală cu aria paralelogramului, construit pe acești vectori; vector ortogonală la vectori, și este îndreptată astfel încât baza să aibă o orientare corectă:

Să descompunem definiția bucată cu bucată, există o mulțime de lucruri interesante aici!

Astfel, se pot evidenția următoarele puncte semnificative:

1) Vectorii originali, indicați prin săgeți roșii, prin definiție nu coliniare. Va fi potrivit să luăm în considerare cazul vectorilor coliniari puțin mai târziu.

2) Se iau vectori într-o ordine strict definită: – „a” se înmulțește cu „fi”, nu „fi” cu „a”. Rezultatul înmulțirii vectoriale este VECTOR, care este indicat cu albastru. Dacă vectorii sunt înmulțiți în ordine inversă, obținem un vector egal ca lungime și opus ca direcție (culoarea zmeurului). Adică, egalitatea este adevărată .

3) Acum să ne familiarizăm cu semnificația geometrică a produsului vectorial. Acesta este un punct foarte important! LUNGIMEA vectorului albastru (și, prin urmare, a vectorului purpuriu) este numeric egală cu AREA paralelogramului construit pe vectori. În figură, acest paralelogram este umbrit în negru.

Nota : desenul este schematic și, desigur, lungimea nominală a produsului vectorial nu este egală cu aria paralelogramului.

Să ne amintim una dintre formulele geometrice: Aria unui paralelogram este egală cu produsul laturilor adiacente și sinusul unghiului dintre ele. Prin urmare, pe baza celor de mai sus, formula de calcul a LUNGIMEI unui produs vectorial este valabilă:

Subliniez că formula este despre LUNGIMEA vectorului și nu despre vectorul în sine. Care este sensul practic? Și semnificația este că în problemele de geometrie analitică, aria unui paralelogram este adesea găsită prin conceptul de produs vectorial:

Să obținem a doua formulă importantă. Diagonala unui paralelogram (linie punctată roșie) îl împarte în două triunghiuri egale. Prin urmare, aria unui triunghi construit pe vectori (umbrire roșie) poate fi găsită folosind formula:

4) Un fapt la fel de important este că vectorul este ortogonal cu vectorii, adică . Desigur, vectorul direcționat opus (săgeata zmeură) este, de asemenea, ortogonal cu vectorii originali.

5) Vectorul este îndreptat astfel încât bază are corect orientare. În lecția despre trecerea la o nouă bază Am vorbit suficient de detaliat despre orientarea planului, iar acum ne vom da seama ce este orientarea în spațiu. Îți voi explica pe degete mâna dreaptă. Combinați mental degetul arătător cu vector şi degetul mijlociu cu vector. Degetul inelar și degetul mic apăsați-l în palmă. Ca urmare degetul mare– produsul vectorial va căuta în sus. Aceasta este o bază orientată spre dreapta (este cea din figură). Acum schimbați vectorii ( degetele arătător și mijlociu) în unele locuri, ca rezultat, degetul mare se va întoarce, iar produsul vectorial va privi deja în jos. Aceasta este, de asemenea, o bază orientată spre dreapta. S-ar putea să aveți o întrebare: ce bază a lăsat orientarea? „Atribuiți” acelorași degete mâna stângă vectori și obțineți baza stângă și orientarea la stânga a spațiului (în acest caz, degetul mare va fi situat în direcția vectorului inferior). Figurat vorbind, aceste baze „întorc” sau orientează spațiul în direcții diferite. Și acest concept nu ar trebui considerat ceva exagerat sau abstract - de exemplu, orientarea spațiului este schimbată de cea mai obișnuită oglindă, iar dacă „trageți obiectul reflectat din oglindă”, atunci în cazul general nu va fi posibil să-l combinați cu „originalul”. Apropo, ține trei degete de oglindă și analizează reflexia ;-)

...ce bine e despre care știi acum orientat spre dreapta și spre stânga baze, deoarece afirmațiile unor lectori despre o schimbare de orientare sunt înfricoșătoare =)

Produsul încrucișat al vectorilor coliniari

Definiția a fost discutată în detaliu, rămâne de văzut ce se întâmplă când vectorii sunt coliniari. Dacă vectorii sunt coliniari, atunci ei pot fi plasați pe o singură linie dreaptă și paralelogramul nostru se „adună” într-o singură linie dreaptă. Zona de astfel de, așa cum spun matematicienii, degenera paralelogramul este egal cu zero. Același lucru rezultă din formula - sinusul lui zero sau 180 de grade este egal cu zero, ceea ce înseamnă că aria este zero

Astfel, dacă , atunci Înlocuirea coordonatele punctelor în (2) . Vă rugăm să rețineți că produsul vectorial în sine este egal cu vectorul zero, dar în practică acest lucru este adesea neglijat și se scrie că este, de asemenea, egal cu zero.

Un caz special este produsul încrucișat al unui vector cu el însuși:

Folosind produsul vectorial, puteți verifica coliniaritatea vectorilor tridimensionali și vom analiza și această problemă, printre altele.

Pentru a rezolva exemple practice este posibil să aveți nevoie tabel trigonometric pentru a găsi valorile sinusurilor din ea.

Ei bine, hai să aprindem focul:

Exemplul 1

a) Aflați lungimea produsului vectorial al vectorilor dacă

b) Aflați aria unui paralelogram construit pe vectori dacă

Soluţie: Nu, aceasta nu este o greșeală de tipar, am făcut în mod deliberat datele inițiale din clauze la fel. Pentru că designul soluțiilor va fi diferit!

a) În funcție de condiție, trebuie să găsiți lungime vector (produs încrucișat). Conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

Dacă ați fost întrebat despre lungime, atunci în răspuns indicăm dimensiunea - unități.

b) În funcție de condiție, trebuie să găsiți pătrat paralelogram construit pe vectori. Aria acestui paralelogram este numeric egală cu lungimea produsului vectorial:

Răspuns:

Vă rugăm să rețineți că răspunsul nu vorbește deloc despre produsul vectorial despre care am fost întrebați zona figurii, în consecință, dimensiunea este unități pătrate.

Ne uităm mereu la CE trebuie să găsim în funcție de condiție și, pe baza acesteia, formulăm clar răspuns. Poate părea literalism, dar există o mulțime de literaliști printre profesori, iar misiunea are șanse mari să fie returnată pentru revizuire. Deși aceasta nu este o dispută deosebit de exagerată - dacă răspunsul este incorect, atunci se are impresia că persoana nu înțelege lucruri simple și/sau nu a înțeles esența sarcinii. Acest punct trebuie ținut întotdeauna sub control atunci când rezolvăm orice problemă la matematică superioară, dar și la alte materii.

Unde a ajuns litera mare „en”? În principiu, ar fi putut fi atașat suplimentar la soluție, dar pentru a scurta intrarea, nu am făcut asta. Sper că toată lumea înțelege asta și este o desemnare pentru același lucru.

Un exemplu popular pentru o soluție de bricolaj:

Exemplul 2

Găsiți aria unui triunghi construit pe vectori dacă

Formula pentru găsirea ariei unui triunghi prin produsul vectorial este dată în comentariile la definiție. Soluția și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.

În practică, sarcina este într-adevăr foarte comună, în general, triunghiurile te pot chinui.

Pentru a rezolva alte probleme vom avea nevoie de:

Proprietăți ale produsului vectorial al vectorilor

Am luat în considerare deja unele proprietăți ale produsului vectorial, totuși, le voi include în această listă.

Pentru vectorii arbitrari și un număr arbitrar, următoarele proprietăți sunt adevărate:

1) În alte surse de informații, acest articol nu este de obicei evidențiat în proprietăți, dar este foarte important din punct de vedere practic. Asa ca lasa sa fie.

2) – mai sus se discută și proprietatea, uneori se numește anticomutativitatea. Cu alte cuvinte, ordinea vectorilor contează.

3) – asociativ sau asociativ legile produselor vectoriale. Constantele pot fi mutate cu ușurință în afara produsului vectorial. Serios, ce ar trebui să facă acolo?

4) – distribuție sau distributiv legile produselor vectoriale. Nici cu deschiderea consolelor nu sunt probleme.

Pentru a demonstra, să ne uităm la un exemplu scurt:

Exemplul 3

Găsiți dacă

Soluţie: Condiția necesită din nou găsirea lungimii produsului vectorial. Să ne pictăm miniatura:

(1) Conform legilor asociative, luăm constantele în afara domeniului produsului vectorial.

(2) Mutăm constanta în afara modulului, iar modulul „mâncă” semnul minus. Lungimea nu poate fi negativă.

(3) Restul este clar.

Răspuns:

Este timpul să adăugați mai multă lemne la foc:

Exemplul 4

Calculați aria unui triunghi construit pe vectori dacă

Soluţie: Găsiți aria triunghiului folosind formula . Problema este că vectorii „tse” și „de” sunt ei înșiși prezentați ca sume de vectori. Algoritmul de aici este standard și amintește oarecum de exemplele nr. 3 și 4 ale lecției Produsul punctual al vectorilor. Pentru claritate, vom împărți soluția în trei etape:

1) La primul pas, exprimăm produsul vectorial prin produsul vectorial, de fapt, să exprimăm un vector în termeni de vector. Încă nu se vorbește despre lungimi!

(1) Înlocuiți expresiile vectorilor.

(2) Folosind legi distributive, deschidem parantezele după regula înmulțirii polinoamelor.

(3) Folosind legile asociative, mutăm toate constantele dincolo de produsele vectoriale. Cu puțină experiență, pașii 2 și 3 pot fi executați simultan.

(4) Primul și ultimul termen sunt egali cu zero (vector zero) datorită proprietății frumoase. În al doilea termen folosim proprietatea de anticomutativitate a unui produs vectorial:

(5) Prezentăm termeni similari.

Ca rezultat, vectorul sa dovedit a fi exprimat printr-un vector, care este ceea ce trebuia să fie realizat:

2) În a doua etapă, găsim lungimea produsului vectorial de care avem nevoie. Această acțiune este similară cu Exemplul 3:

3) Găsiți aria triunghiului necesar:

Etapele 2-3 ale soluției ar fi putut fi scrise într-un singur rând.

Răspuns:

Problema luată în considerare este destul de comună în teste, iată un exemplu pentru a o rezolva singur:

Exemplul 5

Găsiți dacă

O scurtă soluție și răspuns la sfârșitul lecției. Să vedem cât de atent ai fost când ai studiat exemplele anterioare ;-)

Produsul încrucișat al vectorilor în coordonate

, specificat pe o bază ortonormală, exprimat prin formula:

Formula este foarte simplă: în linia de sus a determinantului scriem vectorii de coordonate, în a doua și a treia linie „punem” coordonatele vectorilor și punem în ordine strictă– mai întâi coordonatele vectorului „ve”, apoi coordonatele vectorului „dublu-ve”. Dacă vectorii trebuie înmulțiți într-o ordine diferită, atunci rândurile ar trebui schimbate:

Exemplul 10

Verificați dacă următorii vectori spațiali sunt coliniari:
O)
b)

Soluţie: Verificarea se bazează pe una dintre afirmațiile din această lecție: dacă vectorii sunt coliniari, atunci produsul lor vectorial este egal cu zero (vector zero): .

a) Găsiți produsul vectorial:

Astfel, vectorii nu sunt coliniari.

b) Găsiți produsul vectorial:

Răspuns: a) nu este coliniar, b)

Iată, probabil, toate informațiile de bază despre produsul vectorial al vectorilor.

Această secțiune nu va fi foarte mare, deoarece există puține probleme în care se utilizează produsul mixt al vectorilor. De fapt, totul va depinde de definiție, semnificația geometrică și câteva formule de lucru.

Un produs mixt de vectori este produsul a trei vectori:

Așa că s-au aliniat ca un tren și abia așteaptă să fie identificați.

Mai întâi, din nou, o definiție și o imagine:

Definiţie: Lucru mixt necoplanare vectori, luate în această ordine, numit volum paralelipiped, construit pe acești vectori, echipat cu un semn „+” dacă baza este dreapta și un semn „–” dacă baza este stângă.

Hai să facem desenul. Liniile invizibile pentru noi sunt desenate cu linii punctate:

Să ne afundăm în definiție:

2) Se iau vectori într-o anumită ordine, adică rearanjarea vectorilor în produs, după cum ați putea ghici, nu are loc fără consecințe.

3) Înainte de a comenta semnificația geometrică, voi observa un fapt evident: produsul mixt al vectorilor este un NUMĂR: . În literatura educațională, designul poate fi ușor diferit. Sunt obișnuit să desemnez un produs mixt prin , iar rezultatul calculelor cu litera „pe”.

Prin definiție produsul amestecat este volumul paralelipipedului, construit pe vectori (figura este desenată cu vectori roșii și linii negre). Adică, numărul este egal cu volumul unui paralelipiped dat.

Nota : Desenul este schematic.

4) Să nu ne îngrijorăm din nou cu privire la conceptul de orientare a bazei și a spațiului. Semnificația părții finale este că se poate adăuga un semn minus la volum. Cu cuvinte simple, un produs mixt poate fi negativ: .

Direct din definiție urmează formula de calcul a volumului unui paralelipiped construit pe vectori.

În acest articol vom arunca o privire mai atentă asupra conceptului de produs încrucișat a doi vectori. Vom da definițiile necesare, vom scrie o formulă pentru găsirea coordonatelor unui produs vectorial, vom enumera și vom justifica proprietățile acestuia. După aceasta, ne vom opri asupra semnificației geometrice a produsului vectorial al doi vectori și vom lua în considerare soluții la diferite exemple tipice.

Navigare în pagină.

Definiţia cross product.

Înainte de a defini un produs vectorial, să înțelegem orientarea unui triplu ordonat de vectori în spațiul tridimensional.

Să trasăm vectorii dintr-un punct. În funcție de direcția vectorului, cele trei pot fi la dreapta sau la stânga. Să vedem de la sfârșitul vectorului cum cea mai scurtă viraj de la vector la . Dacă cea mai scurtă rotație are loc în sens invers acelor de ceasornic, atunci se numește triplul vectorilor corect, altfel - stânga.

Acum să luăm doi vectori necoliniari și . Să reprezentăm grafic vectorii și din punctul A. Să construim un vector perpendicular pe ambele și și . Evident, atunci când construim un vector, putem face două lucruri, oferindu-i fie o direcție, fie invers (vezi ilustrația).

În funcție de direcția vectorului, tripletul ordonat de vectori poate fi dreptaci sau stângaci.

Acest lucru ne aduce aproape de definiția unui produs vectorial. Este dat pentru doi vectori dați în sistem de coordonate dreptunghiular spatiu tridimensional.

Definiţie.

Produsul încrucișat a doi vectoriși , specificat într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional, se numește vector astfel încât

Produsul încrucișat al vectorilor și este notat ca .

Coordonatele produsului vectorial.

Acum vom da a doua definiție a unui produs vectorial, care vă permite să găsiți coordonatele acestuia din coordonatele vectorilor dați și.

Definiţie.

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional produs vectorial al doi vectori Înlocuirea coordonatele punctelor în (2) este un vector, unde sunt vectorii de coordonate.

Această definiție ne oferă produsul încrucișat sub formă de coordonate.

Este convenabil să se reprezinte produsul vectorial ca determinant al unei matrice pătrate de ordinul trei, al cărei prim rând este reprezentat de vectori, al doilea rând conține coordonatele vectorului, iar al treilea conține coordonatele vectorului dintr-un anumit rând. sistem de coordonate dreptunghiular:

Dacă extindem acest determinant în elementele primului rând, obținem egalitatea din definiția produsului vectorial în coordonate (dacă este necesar, consultați articolul):

Trebuie remarcat faptul că forma de coordonate a produsului vectorial este pe deplin în concordanță cu definiția dată în primul paragraf al acestui articol. În plus, aceste două definiții ale unui produs încrucișat sunt echivalente. Dovada acestui fapt o puteți vedea în cartea listată la sfârșitul articolului.

Proprietățile unui produs vectorial.

Deoarece produsul vectorial în coordonate poate fi reprezentat ca un determinant al matricei, următoarele pot fi ușor justificate pe baza proprietățile produsului încrucișat:

Ca exemplu, să demonstrăm proprietatea anticomutativă a unui produs vectorial.

Prin definiție Înlocuirea coordonatele punctelor în (2) . Știm că valoarea determinantului unei matrice este inversată dacă două rânduri sunt schimbate, prin urmare, , care demonstrează proprietatea anticomutativă a unui produs vectorial.

Produs vectorial - exemple și soluții.

Există în principal trei tipuri de probleme.

În problemele de primul tip, sunt date lungimile a doi vectori și unghiul dintre ei și trebuie să găsiți lungimea produsului vectorial. În acest caz, se utilizează formula .

Exemplu.

Aflați lungimea produsului vectorial al vectorilor și , dacă se cunoaște .

Faceți un desen.

Știm din definiție că lungimea produsului vectorial al vectorilor și este egală cu produsul lungimilor vectorilor și cu sinusul unghiului dintre ei, prin urmare, .

Din prima ecuație găsim x:

.

Problemele de al doilea tip sunt legate de coordonatele vectorilor, în care produsul vectorial, lungimea lui sau orice altceva este căutat prin coordonatele vectorilor dați. Înlocuirea coordonatele punctelor în (2) .

Există o mulțime de opțiuni diferite posibile aici. De exemplu, nu coordonatele vectorilor și pot fi specificate, ci expansiunile lor în vectori de coordonate de forma și , sau vectori și pot fi specificate prin coordonatele punctelor lor de început și de sfârșit.

Să ne uităm la exemple tipice.

Exemplu.

Doi vectori sunt dați într-un sistem de coordonate dreptunghiular . Găsiți produsul lor încrucișat.

Faceți un desen.

Conform celei de-a doua definiții, produsul vectorial al doi vectori în coordonate se scrie astfel:

Am fi ajuns la același rezultat dacă produsul vectorial ar fi fost scris în termeni de determinant

Din prima ecuație găsim x:

.

Exemplu.

Aflați lungimea produsului vectorial al vectorilor și , unde sunt vectorii unitari ai sistemului de coordonate carteziene dreptunghiulare.

Faceți un desen.

Mai întâi găsim coordonatele produsului vectorial într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat.

Deoarece vectori și au coordonate și, respectiv (dacă este necesar, vezi articolul coordonate vectoriale într-un sistem de coordonate dreptunghiular), apoi prin a doua definiție a unui produs vectorial avem

Adică produsul vectorial are coordonate într-un sistem de coordonate dat.

Găsim lungimea produsului vectorial ca rădăcină pătrată a sumei pătratelor coordonatelor sale (am obținut această formulă pentru lungimea vectorului în secțiunea aflarea lungimii unui vector):

Din prima ecuație găsim x:

.

Exemplu.

Într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare, sunt date coordonatele a trei puncte. Găsiți un vector care este perpendicular și în același timp.

Faceți un desen.

Vectori și au coordonate și respectiv (vezi articolul găsirea coordonatelor vectoriale prin coordonatele punctului). Dacă găsim produsul vectorial al vectorilor și , atunci prin definiție este un vector perpendicular atât pe cât și pe , adică este o soluție la problema noastră. Să-l găsim

Din prima ecuație găsim x:

- unul dintre vectorii perpendiculari.

În probleme de al treilea tip, este testată abilitățile de utilizare a proprietăților produsului vectorial al vectorilor. După aplicarea proprietăților, se aplică formulele corespunzătoare.

Exemplu.

Vectorii și sunt perpendiculari, iar lungimile lor sunt 3 și, respectiv, 4. Aflați lungimea produsului încrucișat .

Faceți un desen.

Prin proprietatea distributivă a unui produs vectorial, putem scrie

Datorită proprietății combinaționale, scoatem coeficienții numerici din semnul produselor vectoriale din ultima expresie:

Produsele vectoriale și sunt egale cu zero, deoarece Înlocuirea coordonatele punctelor în (2) , Atunci .

Deoarece produsul vectorial este anticomutativ, atunci .

Deci, folosind proprietățile produsului vectorial, am ajuns la egalitate .

Prin condiție, vectorii și sunt perpendiculari, adică unghiul dintre ei este egal cu . Adică avem toate datele pentru a găsi lungimea necesară

Din prima ecuație găsim x:

.

Semnificația geometrică a unui produs vectorial.

Prin definiție, lungimea produsului vectorial al vectorilor este egală cu . Și dintr-un curs de geometrie de liceu știm că aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul lungimilor celor două laturi ale triunghiului și sinusul unghiului dintre ele. În consecință, lungimea produsului vectorial este egală cu dublul aria unui triunghi ale cărui laturi sunt vectorii și , dacă sunt reprezentați dintr-un punct. Cu alte cuvinte, lungimea produsului vectorial al vectorilor și este egală cu aria unui paralelogram cu laturile și unghiul dintre ele egal cu . Acesta este sensul geometric al produsului vectorial.