Ce este greutatea într-un sistem pozițional. Sisteme numerice

Notaţie este o metodă de scriere a unui număr folosind un set specificat de caractere speciale (cifre).

Notaţie:

• oferă o reprezentare a unui set de numere (întregi și/sau reale);

• dă fiecărui număr o reprezentare unică (sau cel puțin o reprezentare standard);

• afișează structura algebrică și aritmetică a unui număr.

Scrierea unui număr într-un sistem de numere este numită codul numeric.

Este apelată o poziție separată într-un afișaj numeric deversare, ceea ce înseamnă că numărul poziției este număr de rang.

Se numește numărul de cifre dintr-un număr adâncimea de bițiși coincide cu lungimea sa.

Sistemele numerice sunt împărțite în poziționalŞi nepozițională. Sistemele de numere poziționale sunt împărțite

pe omogenŞi amestecat.

sistem de numere octale, sistem de numere hexazecimale și alte sisteme de numere.

Traducerea sistemelor numerice. Numerele pot fi convertite dintr-un sistem numeric în altul.

Tabelul de corespondență numerică în diverse sisteme Socoteala.

Notaţie este o modalitate de a scrie numere folosind un set dat de caractere speciale (cifre).

Scrierea unui număr într-un sistem de numere este numită codul numeric.

O poziție separată în imaginea unui număr este de obicei numită deversare, iar numărul poziției este numărul cifrei. Numărul de cifre dintr-un număr se numește adâncimea de biți și coincide cu lungimea acestuia.

Există sisteme poziționale și nepoziționale .

În sistemele nepoziționale socoteala greutatea figurii nu depinde de poziție, pe care ea se clasează la număr. Deci, de exemplu, în sistemul numeric roman în numărul XXXII (treizeci și doi), greutatea cifrei X în orice poziție este pur și simplu zece.

Un exemplu de sistem de numere nepozițional este cel roman. Numerele folosite în sistemul roman sunt: ​​I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000).
Mărimea unui număr în sistemul numeric roman este definită ca suma sau diferența cifrelor din număr. Dacă numărul mai mic este la stânga celui mai mare, atunci se scade, dacă la dreapta se adună.
Exemplu:

CCXXXII=232
IX =9

În sistemele poziționale socoteala greutatea fiecărei cifre se modificăîn funcţie de poziţia sa în succesiunea cifrelor reprezentând numărul.
Orice sistem pozițional se caracterizează prin baza sa.
Baza unui sistem de numere pozițional este numărul de semne sau simboluri diferite utilizate pentru a reprezenta numerele dintr-un sistem dat.
Se poate lua orice bază număr natural- doi, trei, patru, șaisprezece etc. Prin urmare, este posibil set infinit sisteme poziționale.

Exemple de sisteme de numere poziționale sunt binare, zecimale, octale, hexazecimale etc.

D sistem numeric zecimal.

ÎN acest sistem are 10 cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dar informațiile sunt transportate nu numai de număr, ci și de locul în care se află numărul (adică, poziţie). Cifra cea mai din dreapta a numărului arată numărul de unități, a doua din dreapta - numărul de zeci, următoarea - numărul de sute etc.

Exemplu:
333 10 = 3*100 + 3*10+3*1 = 300 + 30 + 3

Sistem de numere binar.

Există doar două cifre în acest sistem - 0 și 1. Baza sistemului este numărul 2. Cifra cea mai din dreapta a numărului arată numărul de unități, următoarea cifră arată numărul de doi, următoarea arată numărul din patru, etc. Sistemul de numere binare vă permite să codificați orice număr natural - reprezentați-l ca o secvență de zerouri și unu.

Exemplu:
1011 2 = 1*2^3 + 0*2*2+1*2^1+1*2^0 =1*8 + 1*2+1=11 10

Sistem de numere octale. Acest sistem de numere are 8 cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Pentru a converti în sistem binar, de exemplu, numărul 611 (octal), trebuie să înlocuiți fiecare cifră cu triada sa binară echivalentă (trei cifre). Este ușor de ghicit că pentru a converti un număr binar cu mai multe cifre în sistemul octal, trebuie să-l împărțiți în triade de la dreapta la stânga și să înlocuiți fiecare triadă cu cifra octală corespunzătoare.

Exemplu:

6118 =011 001 001 2

1 110 011 101 2 =1435 8 ​​​​(4 triade)

Sistemul numeric hexazecimal.
Scrierea unui număr în sistemul numeric octal este destul de compactă, dar este și mai compactă în sistemul hexazecimal. Primele 10 din 16 cifre hexazecimale sunt numerele obișnuite 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dar celelalte 6 cifre sunt primele litere ale alfabetului latin: A, B, C , D, E, F. Conversia din hexazecimal în binar și înapoi se face în același mod ca și pentru sistemul octal.

Conversia numerelor întregi în alte sisteme de numere

Un număr întreg de bază 10 este convertit într-un sistem numeric de bază 2 prin împărțirea secvenţială a numărului la baza 2 până când se obține un rest. Resturile rezultate din împărțire și ultimul coeficient sunt scrise în ordine inversă celei obținute în timpul împărțirii. Numărul generat va fi un număr cu baza N2.

Conversia numerelor în sistem zecimal realizat prin redactare serie de putere cu baza sistemului din care este tradus numărul. Apoi se calculează valoarea sumei.

a) Traduceți 10101101 s.s.

101011012 = 1*2^7+ 0*2^6+ 1*2^5+ 0*2^4+ 1*2^3+ 1*2^2+ 0*2^1+ 1*2^0 = 173

b) Traduceți 7038.

7038 = 7*8^2+ 0*8^1+ 3*8^0= 451

c) Traduceți B2E16.

B2E16 = 11*16^2+ 2*16^1+ 14*16^0= 2862

Capitolul 4. Fundamentele aritmetice ale calculatoarelor

4.1. Ce este un sistem numeric?

Există sisteme numerice poziționale și nepoziționale.

În sistemele numerice nepoziționale greutatea unei cifre (adică contribuția pe care o aduce la valoarea numărului) nu depinde de pozitia eiîn scris numărul. Astfel, în sistemul numeric roman în numărul XXXII (treizeci și doi), ponderea numărului X în orice poziție este pur și simplu zece.

În sistemele de numere poziționale greutatea fiecărei cifre variază în funcţie de poziţia (poziţia) acesteia în succesiunea cifrelor reprezentând numărul. De exemplu, în numărul 757,7, primul șapte înseamnă 7 sute, al doilea - 7 unități, iar al treilea - 7 zecimi de unitate.

Însăși notația numărului 757,7 înseamnă o notație prescurtată a expresiei

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 . 10 2 + 5 . 10 1 + 7 . 10 0 + 7 . 10 -1 = 757,7.

Orice sistem de numere pozițional este caracterizat de acesta bază.

Orice număr natural poate fi luat ca bază a sistemului - doi, trei, patru etc. Prin urmare, nenumărate sisteme poziționale posibile: binar, ternar, cuaternar etc. Scrierea numerelor în fiecare sistem numeric cu o bază qînseamnă o expresie stenografică

o n-1 q n-1 +a n-2 q n-2 + ... +a 1 q 1 +a 0 q 0 +a -1 q -1 + ... +a -m q -m ,

Unde o i - numerele sistemului de numere; n Şi m - numărul de cifre întregi și, respectiv, fracționale.
De exemplu:

4.2. Cum sunt generate numerele întregi în sistemele de numere poziționale?

În fiecare sistem numeric, cifrele sunt ordonate în funcție de semnificația lor: 1 este mai mare decât 0, 2 este mai mare decât 1 etc.

A promova numărul 1 înseamnă a-l înlocui cu 2, a promova numărul 2 înseamnă a-l înlocui cu 3 etc. Avansare majoră a cifrelor(de exemplu, numerele 9 din sistemul zecimal) înseamnă înlocuirea lui cu 0. Într-un sistem binar care folosește doar două cifre, 0 și 1, promovarea lui 0 înseamnă înlocuirea lui cu 1, iar promovarea 1 înseamnă înlocuirea lui cu 0.

Numerele întregi din orice sistem numeric sunt generate folosind Regulile contului [44 ]:

Aplicând această regulă, notăm primele zece numere întregi

în binar: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

în sistemul ternar: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

în sistemul chinar: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

în sistem octal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

4.3. Ce sisteme numerice folosesc specialiștii pentru a comunica cu un computer?

Pe lângă zecimal, sistemele cu o bază care este o putere întreagă de 2 sunt utilizate pe scară largă, și anume:

binar(se folosesc cifrele 0, 1);

octal(se folosesc cifrele 0, 1, ..., 7);

hexazecimal(pentru primele numere întregi de la zero la nouă se folosesc cifrele 0, 1, ..., 9, iar pentru următoarele numere - de la zece la cincisprezece - se folosesc simbolurile A, B, C, D, E, F ca cifre).

Este util să ne amintim notația din aceste sisteme de numere pentru primele două zeci de numere întregi:

Dintre toate sistemele numerice mai ales simpluşi prin urmare Sistemul de numere binare este interesant pentru implementarea tehnică în computere.

4.4. De ce oamenii folosesc sistemul zecimal, iar computerele folosesc sistemul binar?

Oamenii preferă sistemul zecimal probabil pentru că numără pe degete din cele mai vechi timpuri, iar oamenii au zece degete de la mâini și de la picioare. Oamenii nu întotdeauna și nu peste tot folosesc sistemul numeric zecimal. În China, de exemplu, au folosit mult timp sistemul de numere din cinci cifre.

Și computerele folosesc sistemul binar, deoarece are o serie de avantaje față de alte sisteme:

pentru implementarea lui avem nevoie dispozitive tehnice cu două stări stabile(există curent - nu există curent, magnetizat - nu magnetizat etc.), și nu, de exemplu, cu zece - ca în zecimală;

reprezentarea informaţiei prin doar două stări în mod fiabilŞi rezistent la zgomot;

Pot fi aplicarea aparatului algebrei booleene să efectueze transformări logice ale informațiilor;

Aritmetica binară este mult mai simplă decât aritmetica zecimală.

Dezavantajul sistemului binar - creștere rapidă a numărului de cifre necesare pentru a scrie numere.

4.5. De ce computerele folosesc și sisteme de numere octale și hexazecimale?

Sistemul binar, convenabil pentru computere, este incomod pentru oameni din cauza volumului său și a notării neobișnuite.

Conversia numerelor din sistemul zecimal în sistemul binar și invers este efectuată de o mașină. Cu toate acestea, pentru a folosi un computer în mod profesional, trebuie să înveți să înțelegi cuvântul mașină. Acesta este motivul pentru care au fost dezvoltate sistemele octal și hexazecimal.

Numerele din aceste sisteme sunt aproape la fel de ușor de citit ca și cele zecimale necesită, respectiv, de trei (octale) și, respectiv, de patru (hexazecimale) mai puține cifre decât în ​​sistemul binar (la urma urmei, numerele 8 și, respectiv, 16; a treia și a patra putere a numărului 2) .

De exemplu:

De exemplu,

4.6. Cum se transformă un număr întreg din sistemul zecimal în orice alt sistem de numere pozițional?

Exemplu: Să convertim numărul 75 din sistemul zecimal în binar, octal și hexazecimal:

Răspuns: 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16.

4.7. Cum se transformă o fracție zecimală adecvată în orice alt sistem de numere pozițional?

Pentru a converti fracția zecimală corectăF într-un sistem numeric cu o bazăq necesarF multiplica cuq , scris în același sistem zecimal, apoi înmulțiți din nou partea fracționară a produsului rezultat cuq, etc., până când partea fracțională a următorului produs devine egală cu zero sau este atinsă precizia necesară de reprezentare a numărului F Vq -ic sistem. Reprezentarea părții fracționale a unui numărF în noul sistem de numere va exista o secvență de părți întregi din lucrările rezultate, scrise în ordinea în care au fost primite și descrise într-o singură q -cifră ară. În cazul în care numărul necesar precizia traduceriiF se ridică lak zecimale, atunci eroarea absolută maximă este egală cuq -(k+1) / 2.

Exemplu. Să convertim numărul 0,36 din sistemul zecimal în binar, octal și hexazecimal:

4.8. Cum se transformă un număr din binar (octal, hexazecimal) în zecimal?

Conversia unui număr în sistem zecimalx , scris înq -sistem de numere arii (q = 2, 8 sau 16) în formăx q = (a n o n-1 ... a 0 , a -1 o -2 ... a -m ) q se reduce la calcularea valorii polinomului x 10 =a n q n +a n-1 q n-1 + ... +a 0 q 0 +a -1 q -1 +a -2 q -2 + ... +a -m q -m folosind aritmetica zecimală.

Exemple:

4.9. Tabel rezumativ al conversiilor numerelor întregi dintr-un sistem numeric în altul

Să luăm în considerare doar acele sisteme de numere care sunt utilizate în computere - zecimal, binar, octal și hexazecimal. Pentru a fi specific, să luăm un număr zecimal arbitrar, de exemplu 46, și pentru acesta vom efectua toate traducerile succesive posibile de la un sistem numeric la altul. Ordinea traducerilor va fi determinată în conformitate cu figura:

Această figură folosește următoarea notație:

bazele sistemelor numerice sunt scrise în cercuri;

săgețile indică direcția de translație;

numărul de lângă săgeată indică numărul de serie al exemplului corespunzător din tabelul rezumativ 4.1.

De exemplu: înseamnă o conversie din binar în hexazecimal, având numărul de serie 6 în tabel.

Tabel rezumat al conversiilor întregidouăsecțiuni- teorii ale statisticii... statistici, informatică ca discipline... KR (electronic versiune publicații). „.... E.P. Statistica microeconomică: Manual. indemnizatie. - M.: Delo, 2000. ... revista. Internet- Site-urile web Rosstat...

„formarea bazelor de date deschise cu resurse informaționale”

Raport

Publicații de referință. Bibliografic beneficii. Capitol 1. Publicaţii de referinţă... proceduri de conciliere. Internet-versiune revista oferă acces... URSS / Internet-magazin consta dindindouă departamente: ... Specialiști în management informatică si telecomunicatii...

Există sisteme numerice poziționale și nepoziționale.

În sistemele numerice nepoziționale greutatea unei cifre (adică contribuția pe care o aduce la valoarea numărului) nu depinde de pozitia eiîn scris numărul. Astfel, în sistemul numeric roman în numărul XXXII (treizeci și doi), ponderea numărului X în orice poziție este pur și simplu zece.

În sistemele numerice poziționale greutatea fiecărei cifre variază în funcţie de poziţia (poziţia) acesteia în succesiunea cifrelor reprezentând numărul. De exemplu, în numărul 757,7, primul șapte înseamnă 7 sute, al doilea - 7 unități, iar al treilea - 7 zecimi de unitate.

Însăși notația numărului 757,7 înseamnă o notație prescurtată a expresiei

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 . 10 2 + 5 . 10 1 + 7 . 10 0 + 7 . 10 -1 = 757,7.

Orice sistem de numere pozițional este caracterizat de acesta bază.

Orice număr natural poate fi luat ca bază a sistemului - doi, trei, patru etc. Prin urmare, nenumărate sisteme poziționale posibile: binar, ternar, cuaternar etc. Scrierea numerelor în fiecare sistem numeric cu o bază qînseamnă o expresie stenografică

o n-1 q n-1 +a n-2 q n-2 + ... +a 1 q 1 +a 0 q 0 +a -1 q -1 + ... +a -m q -m ,

Unde o i - numerele sistemului de numere; n Şi m - numărul de cifre întregi și, respectiv, fracționale. De exemplu:

Ce sisteme numerice folosesc specialiștii pentru a comunica cu un computer?

Pe lângă zecimal, sistemele cu o bază care este o putere întreagă de 2 sunt utilizate pe scară largă, și anume:

binar(se folosesc cifrele 0, 1);

octal(se folosesc cifrele 0, 1, ..., 7);

hexazecimal(pentru primele numere întregi de la zero la nouă se folosesc cifrele 0, 1, ..., 9, iar pentru următoarele numere - de la zece la cincisprezece - se folosesc simbolurile A, B, C, D, E, F ca cifre).

Este util să ne amintim notația din aceste sisteme de numere pentru primele două zeci de numere întregi:

Dintre toate sistemele numerice mai ales simpluşi prin urmare Sistemul de numere binare este interesant pentru implementarea tehnică în computere.