Ce se află la baza unui paralelipiped. Paralepiped dreptunghiular – Knowledge Hypermarket

În această lecție vom defini un paralelipiped, vom discuta structura lui și elementele sale (diagonalele unui paralelipiped, laturile unui paralelipiped și proprietățile lor). Vom lua în considerare și proprietățile fețelor și diagonalelor unui paralelogram. În continuare vom decide sarcină tipică a construi o secțiune într-un paralelipiped.

Tema: Paralelismul dreptelor și planurilor

Lecția: Paralelepiped. Proprietățile fețelor și diagonalelor unui paralelipiped

În această lecție vom defini un paralelipiped, vom discuta structura lui, proprietățile și elementele sale (laturile, diagonalele).

Paralepipedul se formează folosind două paralelograme egale ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1, care sunt în plane paralele. Denumire: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sau AD 1 (Fig. 1.).

2. Festivalul ideilor pedagogice „Lecția deschisă” ()

1. Geometrie. Clasele 10-11: manual pentru elevi institutii de invatamant(de bază și niveluri de profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - ediția a V-a, corectată și extinsă - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.

Sarcinile 10, 11, 12 p. 50

2. Construiți o secțiune a unui paralelipiped dreptunghiular ABCDA1B1C1D1 planul care trece prin punctele:

a) A, C, B1

b) B1, D1 iar mijlocul coastei AA1.

3. Muchia cubului este egală cu a. Construiți o secțiune a cubului cu un plan care trece prin punctele de mijloc a trei muchii care ies dintr-un vârf și calculați perimetrul și aria acestuia.

4. Ce forme se pot obține în urma intersecției unui paralelipiped cu un plan?

Un paralelipiped este o prismă patruunghiulară cu paralelograme la bază. Înălțimea unui paralelipiped este distanța dintre planurile bazelor sale. În figură, înălțimea este indicată de segment . Există două tipuri de paralelipipede: drepte și înclinate. De regulă, un profesor de matematică oferă mai întâi definițiile adecvate pentru o prismă și apoi le transferă pe un paralelipiped. Vom face la fel.

Permiteți-mi să vă reamintesc că o prismă se numește dreptă dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe baze, dacă nu există perpendicularitate, prisma se numește înclinată. Această terminologie este moștenită și de paralelipiped. Un paralelipiped drept nu este altceva decât un tip de prismă dreaptă, a cărei margine laterală coincide cu înălțimea. Sunt păstrate definițiile unor concepte precum față, margine și vârf, care sunt comune întregii familii de poliedre. Apare conceptul de fețe opuse. Un paralelipiped are 3 perechi de fețe opuse, 8 vârfuri și 12 muchii.

Diagonala unui paralelipiped (diagonala unei prisme) este un segment care leagă două vârfuri ale unui poliedru și nu se află pe niciuna dintre fețele sale.

Secțiune diagonală - o secțiune a unui paralelipiped care trece prin diagonala și diagonala bazei sale.

Proprietățile unui paralelipiped înclinat:
1) Toate fețele sale sunt paralelograme, iar fețele opuse sunt paralelograme egale.
2)Diagonalele unui paralelipiped se intersectează într-un punct și bisectează în acest punct.
3)Fiecare paralelipiped este format din șase piramide triunghiulare de volum egal. Pentru a le arăta elevului, profesorul de matematică trebuie să taie jumătate din paraleliped cu secțiunea diagonală și să o împartă separat în 3 piramide. Bazele lor trebuie să se afle fețe diferite paralelipipedul original. Un profesor de matematică va găsi aplicarea acestei proprietăți în geometrie analitică. Este folosit pentru a deduce volumul unei piramide printr-un produs mixt de vectori.

Formule pentru volumul unui paralelipiped:
1), unde este aria bazei, h este înălțimea.
2) Volumul unui paralelipiped este egal cu produsul dintre aria secțiunii transversale și marginea laterală.
Profesor de matematică: După cum știți, formula este comună tuturor prismelor și dacă tutorele a dovedit-o deja, nu are rost să repeți același lucru pentru un paralelipiped. Totuși, atunci când lucrezi cu un elev de nivel mediu (formula nu este utilă unui elev slab), este indicat ca profesorul să acționeze exact invers. Lăsați prisma în pace și efectuați o probă atentă pentru paralelipiped.
3) , unde este volumul unuia dintre cele șase piramidă triunghiulară din care este format paralelipipedul.
4) Dacă , atunci

Aria suprafeței laterale a unui paralelipiped este suma ariilor tuturor fețelor sale:
Suprafața totală a unui paralelipiped este suma ariilor tuturor fețelor sale, adică aria + două zone ale bazei: .

Despre munca unui tutore cu un paralelipiped înclinat:
Un profesor de matematică nu lucrează adesea la probleme care implică un paralelipiped înclinat. Probabilitatea ca acestea să apară la Examenul Unificat de Stat este destul de mică, iar didactica este indecent de slabă. O problemă mai mult sau mai puțin decentă asupra volumului unui paralelipiped înclinat ridică probleme serioase asociate cu determinarea locației punctului H - baza înălțimii acestuia. În acest caz, profesorul de matematică poate fi sfătuit să taie paralelipipedul la una dintre cele șase piramide ale sale (care sunt discutate în proprietatea nr. 3), să încerce să-i găsească volumul și să-l înmulțească cu 6.

Dacă marginea laterală a unui paralelipiped are unghiuri egale cu laturile bazei, atunci H se află pe bisectoarea unghiului A a bazei ABCD. Și dacă, de exemplu, ABCD este un romb, atunci

Sarcini de profesor de matematică:
1) Fețele paralelipipedului sunt egale între ele cu latura de 2 cm și unghi ascuțit. Aflați volumul paralelipipedului.
2) Într-un paralelipiped înclinat, marginea laterală este de 5 cm. Secțiunea perpendiculară pe aceasta este un patrulater cu diagonale reciproc perpendiculare având lungimi de 6 cm și 8 cm. Calculați volumul paralelipipedului.
3) Într-un paralelipiped înclinat se știe că , iar în ABCD baza este un romb cu latura de 2 cm și un unghi . Determinați volumul paralelipipedului.

Profesor de matematică, Alexander Kolpakov

Sau (echivalent) un poliedru, care are șase fețe și fiecare dintre ele - paralelogram.

Tipuri de paralelipiped

Există mai multe tipuri de paralelipipede:

• Un cuboid este un paralelipiped ale cărui fețe sunt toate dreptunghiuri.
• Un paralelipiped drept este un paralelipiped cu 4 fetele laterale dreptunghiuri.
• Un paralelipiped înclinat este un paralelipiped ale cărui fețe laterale nu sunt perpendiculare pe baze.

Elemente de bază

Două fețe ale unui paralelipiped care nu au o muchie comună sunt numite opuse, iar cele care au o muchie comună sunt numite adiacente. Două vârfuri ale unui paralelipiped care nu aparțin aceleiași fețe sunt numite opuse. Segmentul care leagă vârfuri opuse se numește diagonala paralelipipedului. Lungimi de trei Marginile unui paralelipiped dreptunghiular care au un vârf comun se numesc dimensiunile acestuia.

Proprietăți

• Paralepipedul este simetric în jurul mijlocului diagonalei sale.
• Orice segment cu capete aparținând suprafeței paralelipipedului și care trece prin mijlocul diagonalei acestuia este împărțit în jumătate de acesta; în special, toate diagonalele unui paralelipiped se intersectează într-un punct și sunt tăiate în două de acesta.
• Fețele opuse ale unui paralelipiped sunt paralele și egale.
• Pătratul lungimii diagonale a unui paralelipiped dreptunghic este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale.

Formule de bază

Paralepipedul drept

Suprafata laterala S b =P o *h, unde P o este perimetrul bazei, h este înălțimea

Suprafata totala S p =S b +2S o, unde S o este aria bazei

Volum V=S o *h

Paralepiped dreptunghiular

Suprafata laterala S b =2c(a+b), unde a, b sunt laturile bazei, c este marginea laterală a paralelipipedului dreptunghiular

Suprafata totala S p =2(ab+bc+ac)

Volum V=abc, unde a, b, c sunt dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic.

Cub

Suprafata: $S=6a^2$
Volum: $V=a^3$, Unde $o$- marginea unui cub.

Orice paralelipiped

Volumul și rapoartele dintr-un paralelipiped înclinat sunt adesea determinate folosind algebră vectorială. Volumul unui paralelipiped este egal cu valoarea absolută a produsului mixt a trei vectori determinată de cele trei laturi ale paralelipipedului care emană dintr-un vârf. Relația dintre lungimile laturilor paralelipipedului și unghiurile dintre ele dă afirmația că determinantul Gram al celor trei vectori indicați este egal cu pătratul produsului lor mixt: 215.

În analiza matematică

ÎN analiză matematică sub un cuboid n-dimensional $B$ inteleg multe puncte $x\; =\; (x\_1,\backslash ldots,x\_n)$ fel $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

Scrieți o recenzie despre articolul „Paralelepiped”

Note

Legături

Corecta Corecta neconvex Convex Formule, teoreme, teorii Alte

Un fragment care caracterizează Paralelepipedul

- On dit que les rivaux se sont reconcilies grace a l "angine... [Se spune că rivalii s-au împăcat datorită acestei boli.]
Cuvîntul angine a fost repetat cu mare plăcere.
– Le vieux comte est touchant a ce qu"on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait dangereux. a spus acel caz periculos.]
- Oh, ce ar fi uneori teribil. C"est une femme ravissante. [Oh, asta ar fi o mare pierdere. O femeie atât de drăguță.]
„Vous parlez de la pauvre comtesse”, a spus Anna Pavlovna, apropiindu-se. "J"ai envoye savoir de ses nouvelles. On m"a dit qu"elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c"est la plus charmante femme du monde", a spus Anna Pavlovna zâmbind la entuziasmul ei. – Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m"empeche pas de l"estimer, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [Vorbiți despre biata contesă... Am trimis să aflu despre sănătatea ei. Mi-au spus că se simțea puțin mai bine. Oh, fără îndoială, aceasta este cea mai frumoasă femeie din lume. Noi aparținem unor tabere diferite, dar asta nu mă împiedică să o respect pe meritele ei. E atât de nefericită.] – a adăugat Anna Pavlovna.
Crezând că prin aceste cuvinte Anna Pavlovna ridica ușor vălul secretului asupra bolii contesei, un tânăr nepăsător și-a permis să-și exprime surpriza că nu au fost chemați medici celebri, ci că contesa era tratată de un șarlatan care putea da riscuri. remedii.
„Vos informations peuvent etre meilleures que les miennes”, s-a aruncat brusc Anna Pavlovna, veninoasă, asupra celor neexperimentați. tânăr. – Mais je sais de bonne source que ce medecin este un homme tres savant et tres habile. C"est le medecin intime de la Reine d"Espagne. [Veștile tale pot fi mai exacte decât ale mele... dar știu din surse bune că acest doctor este o persoană foarte învățată și pricepută. Acesta este medicul de viață al reginei Spaniei.] - Și astfel distrugând tânărul, Anna Pavlovna s-a întors către Bilibin, care, într-un alt cerc, a ridicat pielea și, se pare, pe cale să o desfacă pentru a spune un mot, a vorbit despre austrieci.
„Je trouve que c"est charmant! [Mi se pare fermecător!]”, a spus el despre ziarul diplomatic cu care au fost trimise la Viena bannerele austriece luate de Wittgenstein, le heros de Petropol [eroul din Petropol] (cum el a fost numit la Petersburg).
- Cum, cum e asta? - Anna Pavlovna se întoarse spre el, trezind tăcerea pentru a auzi motul, pe care îl știa deja.
Și Bilibin a repetat următoarele cuvinte originale din depeșa diplomatică pe care a compilat-o:
„L"Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens," a spus Bilibin, "drapeaux amis et egares qu"il a trouve hors de la route, [Împăratul trimite steagurilor austriece, stindarde prietenoase și pierdute pe care le-a găsit în afara drumului real.], Termină Bilibin, slăbind pielea.
„Fermecător, fermecător, [Frumos, fermecător”, a spus prințul Vasily.
„C"est la route de Varsovie peut être, [Acesta este drumul din Varșovia, poate.] - a spus prințul Hippolyte cu voce tare și neașteptat. Toată lumea s-a uitat înapoi la el, neînțelegând ce voia să spună prin asta. Prințul Hippolyte s-a uitat și în urmă. cu o surpriză veselă în jurul său El, ca și ceilalți, nu înțelegea ce înseamnă cuvintele pe care le-a spus În timpul carierei sale diplomatice, a observat de mai multe ori că cuvintele rostite în acest fel s-au dovedit brusc a fi foarte duhovnicești. pentru orice eventualitate, primul care i-a venit în minte „Poate că va merge foarte bine”, gândi el, „și dacă nu va merge, într-adevăr, în timp ce un Domnea o tăcere stânjenită, a intrat în Anna Pavlovna acel chip insuficient de patriot, iar ea, zâmbind și scuturând degetul lui Ippolit, l-a invitat la masă pe prințul Vasily și, dându-i două lumânări și un manuscris, i-a cerut să înceapă .

În această lecție, toată lumea va putea studia subiectul „Paralepiped dreptunghiular”. La începutul lecției, vom repeta ce sunt paralelipipedele drepte și arbitrare, amintiți-vă proprietățile fețelor și diagonalelor lor opuse ale paralelipipedului. Apoi ne vom uita la ce este un cuboid și vom discuta proprietățile sale de bază.

Tema: Perpendicularitatea dreptelor și a planurilor

Lecția: Cuboid

O suprafață compusă din două paralelograme egale ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 și patru paralelograme ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 se numește paralelipiped(Fig. 1).

Orez. 1 Paralelepiped

Adică: avem două paralelograme egale ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 (baze), acestea se află în plane paralele astfel încât marginile laterale AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 să fie paralele. Astfel, o suprafață compusă din paralelograme se numește paralelipiped.

Astfel, suprafața unui paralelipiped este suma tuturor paralelogramelor care alcătuiesc paralelipipedul.

1. Fețele opuse ale unui paralelipiped sunt paralele și egale.

(formele sunt egale, adică pot fi combinate prin suprapunere)

De exemplu:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (paralelograme egale prin definiție),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (deoarece AA 1 B 1 B și DD 1 C 1 C sunt fețe opuse ale paralelipipedului),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (deoarece AA 1 D 1 D și BB 1 C 1 C sunt fețe opuse ale paralelipipedului).

2. Diagonalele unui paralelipiped se intersectează într-un punct și sunt tăiate în două de acest punct.

Diagonalele paralelipipedului AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B se intersectează într-un punct O, iar fiecare diagonală este împărțită la jumătate de acest punct (Fig. 2).

Orez. 2 Diagonalele unui paralelipiped se intersectează și sunt împărțite la jumătate la punctul de intersecție.

3. Sunt trei patru egali și coaste paralele paralelipiped: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Definiţie. Un paralelipiped se numește drept dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe baze.

Lăsați marginea laterală AA 1 să fie perpendiculară pe bază (Fig. 3). Aceasta înseamnă că dreapta AA 1 este perpendiculară pe liniile drepte AD și AB, care se află în planul bazei. Aceasta înseamnă că fețele laterale conțin dreptunghiuri. Și bazele conțin paralelograme arbitrare. Să notăm ∠BAD = φ, unghiul φ poate fi oricare.

Orez. 3 Paralepipedul drept

Deci, un paralelipiped drept este un paralelipiped în care marginile laterale sunt perpendiculare pe bazele paralelipipedului.

Definiţie. Paralepipedul se numește dreptunghiular, dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe bază. Bazele sunt dreptunghiuri.

Paralelepipedul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 este dreptunghiular (Fig. 4), dacă:

1. AA 1 ⊥ ABCD (margine laterală perpendiculară pe planul bazei, adică paralelipiped drept).

2. ∠BAD = 90°, adică baza este un dreptunghi.

Orez. 4 Paralepiped dreptunghiular

Un paralelipiped dreptunghiular are toate proprietățile unui paralelipiped arbitrar. Dar există proprietăți suplimentare care sunt derivate din definiția unui cuboid.

Aşa, cuboid este un paralelipiped ale cărui margini laterale sunt perpendiculare pe bază. Baza unui cuboid este un dreptunghi.

1. Într-un paralelipiped dreptunghiular, toate cele șase fețe sunt dreptunghiuri.

ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 sunt dreptunghiuri prin definiție.

2. Coastele laterale sunt perpendiculare pe bază. Aceasta înseamnă că toate fețele laterale ale unui paralelipiped dreptunghiular sunt dreptunghiuri.

3. Toate unghiurile diedrice ale unui paralelipiped dreptunghiular sunt drepte.

Să considerăm, de exemplu, unghiul diedric al unui paralelipiped dreptunghic cu muchia AB, adică unghiul diedric dintre planele ABC 1 și ABC.

AB este o muchie, punctul A 1 se află într-un plan - în planul ABB 1, iar punctul D în celălalt - în planul A 1 B 1 C 1 D 1. Atunci unghiul diedric luat în considerare mai poate fi notat astfel: ∠A 1 ABD.

Să luăm punctul A pe muchia AB. AA 1 este perpendicular pe muchia AB în planul АВВ-1, AD este perpendicular pe muchia AB în planul ABC. Aceasta înseamnă că ∠A 1 AD este unghiul liniar al unui unghi diedric dat. ∠A 1 AD = 90°, ceea ce înseamnă că unghiul diedrului la muchia AB este de 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

În mod similar, se dovedește că orice unghiuri diedrice ale unui paralelipiped dreptunghic sunt drepte.

Pătratul diagonalei unui paralelipiped dreptunghic este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale.

Nota. Lungimile celor trei muchii care emană dintr-un vârf al unui cuboid sunt măsurătorile cuboidului. Ele sunt uneori numite lungime, lățime, înălțime.

Dat: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - paralelipiped dreptunghiular (Fig. 5).

Demonstrează: .

Orez. 5 Paralepiped dreptunghiular

Dovada:

Linia dreaptă CC 1 este perpendiculară pe planul ABC și, prin urmare, pe dreapta AC. Aceasta înseamnă că triunghiul CC 1 A este dreptunghic. Conform teoremei lui Pitagora:

Să luăm în considerare triunghi dreptunghic ABC. Conform teoremei lui Pitagora:

Dar î.Hr. și d.Hr. - laturi opuse dreptunghi. Deci BC = AD. Apoi:

Deoarece , A , Asta. Deoarece CC 1 = AA 1, acesta este ceea ce trebuia demonstrat.

Diagonalele unui paralelipiped dreptunghiular sunt egale.

Să notăm dimensiunile paralelipipedului ABC ca a, b, c (vezi Fig. 6), apoi AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

În geometrie concepte cheie sunt plan, punct, drept și unghi. Folosind acești termeni, puteți descrie orice figură geometrică. Poliedrele sunt de obicei descrise în termeni de figuri mai simple care se află în același plan, cum ar fi un cerc, triunghi, pătrat, dreptunghi etc. În acest articol ne vom uita la ce este un paralelipiped, vom descrie tipurile de paralelipiped, proprietățile sale, din ce elemente constă și vom oferi, de asemenea, formulele de bază pentru calcularea ariei și volumului pentru fiecare tip de paralelipiped.

Definiţie

Un paralelipiped în spațiul tridimensional este o prismă, toate laturile căreia sunt paralelograme. În consecință, poate avea doar trei perechi de paralelograme paralele sau șase fețe.

Pentru a vizualiza un paralelipiped, imaginați-vă o cărămidă standard obișnuită. O cărămidă este un bun exemplu de paralelipiped dreptunghiular pe care și-l poate imagina chiar și un copil. Alte exemple includ case cu panouri cu mai multe etaje, dulapuri, containere de depozitare produse alimentare formă adecvată etc.

Varietăți de figură

Există doar două tipuri de paralelipipede:

1. Dreptunghiular, ale căror toate fețele laterale sunt la un unghi de 90° față de bază și sunt dreptunghiuri.
2. Înclinat, ale cărui margini laterale sunt situate la un anumit unghi față de bază.

În ce elemente poate fi împărțită această figură?

• Ca în orice altă figură geometrică, într-un paralelipiped orice 2 fețe cu muchie comună se numesc adiacente, iar cele care nu o au sunt paralele (pe baza proprietății paralelogramului, care are perechi de laturi opuse paralele).
• Vârfurile unui paralelipiped care nu se află pe aceeași față se numesc opuse.
• Segmentul care leagă astfel de vârfuri este o diagonală.
• Lungimile celor trei margini ale unui cuboid care se întâlnesc la un vârf sunt dimensiunile acestuia (și anume lungimea, lățimea și înălțimea).

Proprietăți forme

1. Este întotdeauna construită simetric față de mijlocul diagonalei.
2. Punctul de intersecție al tuturor diagonalelor împarte fiecare diagonală în două segmente egale.
3. Fețele opuse sunt egale ca lungime și se află pe linii paralele.
4. Dacă adăugați pătratele tuturor dimensiunilor unui paralelipiped, valoarea rezultată va fi egală cu pătratul lungimii diagonalei.

Formule de calcul

Formulele pentru fiecare caz particular al unui paralelipiped vor fi diferite.

Pentru un paralelipiped arbitrar este adevărat că volumul său este egal cu valoarea absolută a triplu-ului produs punctual vectori a trei laturi care emană dintr-un vârf. Cu toate acestea, nu există o formulă pentru calcularea volumului unui paralelipiped arbitrar.

Pentru un paralelipiped dreptunghiular se aplică următoarele formule:

• V=a*b*c;
• Sb=2*c*(a+b);
• Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

• V este volumul figurii;
• Sb - suprafata laterala;
• Sp - suprafata totala;
• a - lungime;
• b - latime;
• c - înălțime.

Un alt caz special al unui paralelipiped în care toate laturile sunt pătrate este un cub. Dacă oricare dintre laturile pătratului este desemnată de litera a, atunci următoarele formule pot fi utilizate pentru suprafața și volumul acestei figuri:

• S=6*a*2;
• V=3*a.

• S - zona figurii,
• V este volumul figurii,
• a este lungimea feței figurii.

Ultimul tip de paralelipiped pe care îl luăm în considerare este un paralelipiped drept. Care este diferența dintre un paralelipiped drept și un cuboid, vă întrebați. Faptul este că baza unui paralelipiped dreptunghiular poate fi orice paralelogram, dar baza unui paralelipiped drept poate fi doar un dreptunghi. Dacă notăm perimetrul bazei, egal cu suma lungimilor tuturor laturilor, cu Po, și notăm înălțimea cu litera h, avem dreptul să folosim următoarele formule pentru a calcula volumul și ariile totalului și suprafețele laterale.