Seria de numere converge dacă. Semne de convergență a seriilor de numere

În practică, adesea nu este atât de important să găsiți suma unei serii încât să răspundeți la întrebarea convergenței serii. În acest scop, se folosesc criterii de convergență pe baza proprietăților termenului comun al seriei.

Un semn necesar de convergență a unei serii

TEOREMA 1

Dacă rândulconverge, apoi termenul său comun tinde spre zero la
, aceste.
.

Scurt: Dacă o serie converge, atunci termenul său comun tinde spre zero.

Dovada. Fie seria converge și suma ei egală . Pentru oricine suma parțială

.

Apoi . 

Din criteriul dovedit necesar pentru convergenţă rezultă un semn suficient al divergenței unei serii: dacă la
Dacă termenul comun al seriei nu tinde spre zero, atunci seria diverge.

Exemplul 4.

Pentru această serie termenul comun este
Şi
.

Prin urmare, această serie diverge.

Exemplul 5. Examinați seria pentru convergență

Este evident că termenul general al acestei serii, a cărui formă nu este indicată din cauza greutății expresiei, tinde spre zero ca
, adică este îndeplinit criteriul necesar pentru convergența unei serii, dar această serie diverge, deoarece suma sa tinde spre infinit.

Serii de numere pozitive

Se numește o serie de numere în care toți termenii sunt pozitivi semn pozitiv.

TEOREMA 2 (Criteriul de convergență a unei serii pozitive)

Pentru ca o serie cu semn pozitiv să convergă, este necesar și suficient ca toate sumele sale parțiale să fie mărginite de sus de același număr.

Dovada. Din moment ce pentru oricine
, atunci, i.e. ulterior
– crescător monoton, prin urmare pentru existența limitei este necesară și suficientă restrângerea succesiunii de sus cu un anumit număr.

Această teoremă are mai multă semnificație teoretică decât practică. Mai jos sunt alte teste de convergență care sunt mai utilizate pe scară largă.

Semne suficiente de convergență a seriilor pozitive

TEOREMA 3 (primul semn de comparație)

Să fie date două serii cu semne pozitive:

(1)

(2)

și, începând de la un anumit număr
, pentru oricine
inegalitatea este valabilă
Apoi:

Notarea schematică a primei caracteristici de comparație:

coborâre.adunare.

exp.exp.

Dovada. 1) Deoarece eliminarea unui număr finit de termeni ai seriei nu afectează convergența acestuia, demonstrăm teorema pentru cazul
. Să fie pentru oricine
avem

, (3)

Unde
Şi
- respectiv sume parțiale din seria (1) și (2).

Dacă seria (2) converge, atunci există un număr
. Întrucât în ​​acest caz succesiunea
- crescând, limita sa este mai mare decât oricare dintre membrii săi, i.e.
pentru oricine . Prin urmare, din inegalitatea (3) rezultă
. Astfel, toate sumele parțiale ale seriei (1) sunt mărginite mai sus de numărul . Conform teoremei 2, această serie converge.

2) Într-adevăr, dacă seria (2) ar converge, atunci, prin comparație, și seria (1) ar converge. 

Pentru a aplica această caracteristică, se folosesc adesea astfel de serii standard, a căror convergență sau divergență este cunoscută în prealabil, de exemplu:

3) - Seria Dirichlet (converge la
și diverge la
).

În plus, se folosesc adesea serii care pot fi obținute folosind următoarele inegalități evidente:

,

,
,
.

Să luăm în considerare, folosind exemple specifice, o schemă de studiere a unei serii pozitive pentru convergență folosind primul criteriu de comparație.

Exemplul 6. Explorează rândul
pentru convergenţă.

Pasul 1. Verificați semnul pozitiv al seriei:
Pentru

Pasul 2. Să verificăm îndeplinirea criteriului necesar pentru convergența unei serii:
. Deoarece
, Asta

(dacă calcularea limitei este dificilă, puteți sări peste acest pas).

Pasul 3. Utilizați primul semn de comparație. Pentru a face acest lucru, vom selecta o serie standard pentru această serie. Deoarece
, atunci putem lua seria ca standard
, adică Seria Dirichlet. Această serie converge deoarece exponentul
. În consecință, conform primului criteriu de comparație, converge și seria studiată.

Exemplul 7. Explorați rândul
pentru convergenţă.

1) Această serie este pozitivă, deoarece
Pentru

2) Criteriul necesar pentru convergenţa unei serii este îndeplinit, deoarece

3) Să selectăm un rând standard. Deoarece
, atunci putem lua seria geometrică ca standard

. Această serie converge și, prin urmare, converge și seria în studiu.

TEOREMA 4 (Al doilea criteriu de comparare)

Dacă pentru serii pozitive Şi există o limită finită diferită de zero
, Asta rândurile converg sau diverg simultan.

Dovada. Fie seria (2) să convergă; Să demonstrăm că atunci și seria (1) converge. Să alegem un număr , mai mult decât . Din condiție
rezultă că un astfel de număr există asta e pentru toata lumea
inegalitatea este adevărată
, sau, ce este la fel,

(4)

După ce le-am aruncat pe primele din rândurile (1) și (2) termeni (care nu afectează convergența), putem presupune că inegalitatea (4) este valabilă pentru toți
Dar o serie cu un membru comun
converge datorită convergenţei serii (2). Conform primului criteriu de comparație, inegalitatea (4) implică convergența seriei (1).

Acum să convergă seria (1); Să demonstrăm convergența seriei (2). Pentru a face acest lucru, schimbați pur și simplu rolurile rândurilor date. Deoarece

atunci, conform celor dovedite mai sus, convergența seriei (1) ar trebui să implice convergența seriei (2). 

Dacă
la
(un semn necesar de convergență), apoi din condiție
, rezultă că Şi – infinitezimale de același ordin de micime (echivalent cu
). Prin urmare, dacă i se oferă o serie , Unde
la
, atunci pentru această serie puteți lua seria standard , unde este termenul comun are aceeași ordine de micime ca și termenul general al seriei date.

Atunci când alegeți o serie standard, puteți utiliza următorul tabel de infinitezimale echivalente la
:

1)
; 4)
;

2)
; 5)
;

3)
; 6)
.

Exemplul 8. Examinați seria pentru convergență

.

pentru oricine
.

Deoarece
, apoi luăm seria divergentă armonică ca o serie standard
. Din moment ce limita raportului termenilor comuni Şi este finită și diferită de zero (este egală cu 1), apoi pe baza celui de-al doilea criteriu de comparație, această serie diverge.

Exemplul 9.
după două criterii de comparaţie.

Acest serial este pozitiv, din moment ce
, Și
. Din moment ce
, atunci seria armonică poate fi luată ca o serie standard . Această serie diverge și de aceea, conform primului semn de comparație, seria studiată diverge și ea.

Deoarece pentru această serie și seria standard condiția este îndeplinită
(aici se folosește prima limită remarcabilă), apoi pe baza celui de-al doilea criteriu de comparare seria
– diverge.

TEOREMA 5 (testul lui D'Alembert)

există o limită finită
, apoi seria converge la
și diverge la
.

Dovada. Lasă
. Să luăm un număr , încheiat între si 1:
. Din condiție
rezultă că plecând de la un anumit număr inegalitatea este valabilă

;
;
(5)

Luați în considerare serialul

Conform (5), toți termenii seriei (6) nu depășesc termenii corespunzători ai progresiei geometrice infinite
Din moment ce
, această progresie este convergentă. De aici, datorită primului criteriu de comparație, urmează convergența seriei

Se întâmplă
ia în considerare pentru tine.

Note :

rezultă că restul seriei

.

Testul lui D'Alembert este convenabil în practică atunci când termenul comun al seriei conține o funcție exponențială sau factorial.

Exemplul 10. Examinați seria pentru convergență după semnul lui D'Alembert.

Această serie este pozitivă și

.

(Aici, în calcul, se aplică de două ori regula lui L'Hopital).

apoi, după criteriul lui d'Alembert, această serie converge.

Exemplul 11..

Această serie este pozitivă și
. Din moment ce

atunci această serie converge.

TEOREMA 6 (testul Cauchy)

Dacă pentru o serie pozitivă există o limită finită
, apoi când
seria converge și când
rândul diverge.

Dovada este similară cu teorema 5.

Note :

Exemplul 12. Examinați seria pentru convergență
.

Acest serial este pozitiv, din moment ce
pentru oricine
. De la calculul limitei
provoacă anumite dificultăți, atunci omitem verificarea fezabilității criteriului necesar pentru convergența unei serii.

apoi, după criteriul Cauchy, această serie diverge.

TEOREMA 7 (Testul integral pentru convergența Maclaurin - Cauchy)

Să se dea o serie

ai căror termeni sunt pozitivi și nu cresc:

Să, mai departe
- o funcție care este definită pentru toate reale
, este continuă, nu crește și

Să fie dată o serie de numere pozitive $ \sum_(n=1) ^\infty a_n $. Să formulăm criteriul necesar pentru convergența unei serii:

1. Dacă seria converge, atunci limita termenului său comun este zero: $$ \lim _(n \to \infty) a_n = 0 $$
2. Dacă limita termenului comun al seriei nu este egală cu zero, atunci seria diverge: $$ \lim _(n \to \infty) a_n \neq 0 $$

Serii armonice generalizate

Această serie se scrie astfel: $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n^p) $. Mai mult, în funcție de $p$, seria converge sau diverge:

1. Dacă $ p = 1 $, atunci seria $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n) $ diverge și se numește armonică, în ciuda faptului că termenul comun $ a_n = \frac(1 )( n) \la 0 $. De ce este așa? Remarca spunea că criteriul necesar nu dă un răspuns despre convergență, ci doar despre divergența seriei. Prin urmare, dacă aplicăm un criteriu suficient, precum criteriul Cauchy integral, devine clar că seria diverge!
2. Dacă $ p \leqslant 1 $, atunci seria diverge. Exemplu, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n)) $, în care $ p = \frac(1)(2) $
3. Dacă $p > 1$, atunci seria converge. Exemplu, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n^3)) $, în care $ p = \frac(3)(2) > 1 $

Exemple de soluții

Exemplul 1

Demonstrați divergența seriei $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(n)(6n+1) $

Soluţie

Seria este pozitivă, notăm termenul comun: $$ a_n = \frac(n)(6n+1) $$ Calculăm limita la $ n \to \infty $: $$ \lim _(n \to \infty) \frac(n)(6n+1) = \frac(\infty)(\infty) = $$ Scoatem $n$ la numitor și apoi efectuăm o reducere: $$ = \lim_(n \to \infty) \frac(n)(n(6+\frac(1)(n))) = \lim_(n \to \infty) \frac(1)(6 + \frac(1)(n)) = \frac(1)(6) $$ Deoarece am constatat că $ \lim_(n\to \infty) a_n = \frac(1)(6) \neq 0 $, atunci testul Cauchy necesar nu este îndeplinit și, prin urmare, seria diverge. Dacă nu vă puteți rezolva problema, trimiteți-ne-o. Vom oferi o soluție detaliată. Veți putea vizualiza progresul calculului și veți obține informații. Acest lucru vă va ajuta să obțineți nota de la profesorul dvs. în timp util!

Răspuns

Seria diverge

Înainte de a începe să lucrați cu acest subiect, vă sfătuiesc să vă uitați la secțiunea cu terminologie pentru seriile de numere. În special, merită să acordăm atenție conceptului de membru comun al unei serii și proprietăților seriei de numere (în special, vom avea nevoie de proprietățile nr. 3 și nr. 4). Dacă aveți îndoieli cu privire la alegerea corectă a unui criteriu de convergență, vă sfătuiesc să priviți subiectul „Alegerea unui criteriu de convergență pentru seria de numere”.

Criteriile de comparație sunt utilizate pentru a studia seriile de numere ai căror termeni sunt nenegativi, de ex. mai mare sau egal cu zero. Se numesc astfel de serii pozitiv(în literatură - nenegativ sau pozitiv). Tocmai aceste serii le vom lua în considerare în acest subiect.

Primul criteriu de comparație (sau prima teoremă de comparație) este formulat după cum urmează:

Primul semn de comparație

Să fie date două serii pozitive $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ și $\sum\limits_(n=1)^(\infty)v_n$. Dacă pornind de la un număr $n_0$ inegalitatea $u_n≤ v_n$ este valabilă, atunci:

1. dacă seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ este divergentă, atunci seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)v_n$ va fi divergentă.
2. dacă seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)v_n$ converge, atunci seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ va fi convergentă.

Pentru a spune simplu, dacă o serie cu termeni mai mici nu are o sumă (diverge), atunci și seria cu termeni mai mari va diverge. Și acest lucru este logic, deoarece dacă suma inițială a fost infinit de mare, atunci după creșterea termenilor va rămâne așa.

Ei bine, dacă o serie cu termeni mai mari are o sumă (converge), atunci și seria cu termeni mai mici va converge.

Semnul comparației poate fi formulat și sub altă formă. De obicei, ei spun că acesta este al doilea criteriu de comparație (sau a doua teoremă de comparație). Uneori se numește semnul limitativ al comparației sau semnul comparației în forma limitativă. Formularea sa este următoarea:

Al doilea semn de comparație

Să fie date două serii pozitive $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ și $\sum\limits_(n=1)^(\infty)v_n$. Dacă, în condiția $v_n\neq 0$, există o limită $$\lim_(n\to\infty)\frac(u_n)(v_n)=K,$$ unde $0< K < \infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$ сходятся либо расходятся одновременно.

Rețineți că pentru a aplica criterii de comparație trebuie să avem o anumită serie a cărei convergență este cunoscută dinainte. Cel mai adesea, rolul unei serii pentru comparație este seria armonică generalizată

\begin(equation)\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^\alpha)\end(equation)

Dacă $\alpha > 1$, atunci seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^\alpha)$ converge, iar dacă $\alpha ≤ 1$, atunci seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^\alpha)$ diverge. De exemplu, seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^5)$ converge, deoarece $5 > 1$, iar seria $\sum\limits_(n= 1) ^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n^4))=\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^(\frac(4)) (7) )))$ diverge deoarece $\frac(4)(7)≤ 1$.

Merită să acordați atenție mai ales cazului $\alpha=1$, adică. seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^1)=\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ . Seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ se numește serie armonică. Seria armonică diverge.

În plus, o serie de acest tip este adesea folosită pentru comparație:

\begin(equation)\sum\limits_(n=1)^(\infty)aq^n\end(equation)

Această serie este suma termenilor unei progresii geometrice cu primul termen $b_1=a$ și numitorul $q$. Această serie converge dacă $|q|< 1$ и расходится если $|q|≥ 1$. Например, ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4\cdot 3^n}{5^n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(4\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^n\right)$ подпадает под вид ряда (2). Этот ряд сходится, так как $\left| \frac{3}{5}\right|=\frac{3}{5} < 1$.

Cel mai adesea, în exemplele standard, criteriile de comparație sunt utilizate dacă termenul comun al unei serii este reprezentat de o fracție, al cărei numărător și numitor sunt un fel de polinoame. De exemplu, $u_n=\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$ (vezi exemplul nr. 1). Sau, în loc de polinoame (sau împreună cu acestea), pot fi prezente rădăcini de polinoame (vezi exemplul nr. 3). Pentru serii de acest tip, trebuie să alegeți între criteriul necesar pentru convergență și criteriile pentru comparație. Uneori, un termen comun al unei serii poate conține nu numai un polinom, ci și un „element care distrag atenția” care nu afectează convergența (vezi a doua parte a acestui subiect). Uneori, pentru a vedea o serie pentru comparație, trebuie să utilizați funcții infinitezimale echivalente (vezi exemplele din partea a treia).

Exemplul nr. 1

Investigați convergența seriei $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$.

Deoarece limita inferioară a însumării este 1, termenul general al seriei se scrie sub semnul sumei: $u_n=\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$. Deoarece pentru $n≥ 1$ avem $9n+7 > 0$ și $2n^3+5n^2-4 > 0$, apoi $u_n > 0$. Prin urmare, seria noastră este pozitivă. Apropo, pentru o serie pozitivă este suficient să se satisfacă condiția $u_n≥ 0$. Totuși, pentru seria noastră putem scrie mai precis: $u_n > 0$.

Pentru început, ar fi bine să verificați execuția, adică. găsi $\lim_(n\to\infty)u_n$. Ce se întâmplă dacă avem noroc și se dovedește că $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$? Apoi seria va diverge, iar soluția se va termina acolo. La găsirea limitei, vom folosi metoda descrisă în subiect. În procesul de rezolvare, împărțim numărătorul și numitorul la $n^3$:

$$ \lim_(n\la\infty)u_n=\lim_(n\la\infty)\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)=\left|\frac(\infty) (\infty) \right|=\lim_(n\la\infty)\frac(\frac(9)(n^2)+\frac(7)(n^3))(2+\frac(5) (n)-\frac(4)(n^3))=\frac(0+0)(2+0-0)=0. $$

Pentru a folosi aceste semne avem nevoie de o serie cu care vom compara. Pentru a selecta o serie pentru comparație, să examinăm comportamentul termenului comun al seriei date pentru $n\to\infty$. Acest lucru se poate face folosind un raționament oarecum informal. Deoarece este posibil ca aceste discuții să nu fie de interes pentru toți cititorii, le voi ascunde sub o notă.

Cum să alegi un rând pentru comparație? arată\ascunde

Nu voi atinge un astfel de subiect precum ordinea creșterii, voi oferi doar câteva considerații generale. Să privim mai îndeaproape termenul comun al seriei. Mai întâi, să ne uităm la numitor, de exemplu. Numitorul termenului comun al seriei conține puteri $n^3$, $n^2$ și numărul -4. Numărul $n$ continuă să crească, tinde spre infinit. Întrebare: ce element ($n^3$ sau $n^2$) va crește mai repede decât alții pe măsură ce numărul $n$ crește?

Răspunsul aici este simplu: $n^3$ își va crește valorile cel mai repede. De exemplu, când $n=100$, atunci $n^2=10\,000$ și $n^3=1\,000\,000$. Și acest decalaj între valorile $n^2$ și $n^3$ va deveni din ce în ce mai mare. Prin urmare, aruncăm mental toți termenii numitorului, cu excepția celor care conțin $n^3$. În numărător vom efectua și o procedură similară de „descartare”, lăsând doar $9n$ (numărul 7 din numărător nu va juca în mod clar niciun rol față de $9n$). Astfel, fracția $\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$ după toate aruncările va deveni: $\frac(9n)(2n^3)=\frac(9)(2) \ cdot\frac(1)(n^2)$. Cu alte cuvinte, dacă $n\to\infty$, atunci termenul general al seriei va diferi foarte puțin de expresia $\frac(9)(2)\cdot\frac(1)(n^2)$.

Factorul $\frac(9)(2)$ poate fi de asemenea eliminat, deoarece nu afectează convergența. Și după o astfel de „curățare” va rămâne doar $\frac(1)(n^2)$. Ce putem spune despre o serie cu un termen comun $v_n=\frac(1)(n^2)$? Aceasta . La numitorul termenului comun al acestei serii, gradul $n$ este egal cu 2, prin urmare, deoarece $2 > 1$, seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1 )(n^2)$ converge .

Cu această serie convergentă $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$ vom compara seria dată $\sum\limits_(n=1)^ ( \infty)\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$. De fapt, am rezolvat deja problema informal: seria noastră va converge. Rămâne doar să arătăm acest lucru printr-un raționament riguros.

Să ne gândim cum să ne rezolvăm problema folosind atât primul, cât și cel de-al doilea criteriu de comparație.

Deci, termenul general al seriei este: $u_n=\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$. Prin raționament informal (ascuns sub o notă de mai sus), am ajuns la concluzia că seria noastră converge. În acest caz, se aplică al doilea paragraf. Trebuie să arătăm că termenul general al seriei noastre satisface inegalitatea $\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)≤ v_n$, în timp ce seria $\sum\limits_(n=1) ^(\ infty)v_n$ converge. Atunci seria care ne-a fost dată va converge.

Să creștem fracția $\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$. Scopul nostru: să reducem această fracție la forma $\frac(1)(n^2)$. De ce acest tip anume? Pentru a răspunde la această întrebare, vă rugăm să deschideți nota de mai sus.

Pentru a crește o anumită fracție, există două moduri: măriți numărătorul sau micșorați numitorul. De acord că, deoarece $n≥ 1$, atunci $9n+7 ≥ 9n+7n=16n$. Prin urmare, dacă plasăm expresia $16n$ în numărător în loc de $9n+7$, atunci vom crește fracția în cauză:

$$ \frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)≤\frac(16n)(2n^3+5n^2-4). $$

Să mergem mai departe și să lucrăm cu numitorul. Pentru a crește o fracție, numitorul trebuie micșorat. De exemplu, putem raționa astfel: știm că $n≥ 1$. Apoi $5n^2-4 > 0$. Aceasta înseamnă că dacă aruncăm expresia $5n^2-4$ la numitor, atunci numitorul va scădea. Prin urmare, fracția noastră va crește. Să continuăm inegalitatea anterioară:

$$ \frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)≤\frac(16n)(2n^3+5n^2-4)< \frac{16n}{2n^3}=8\cdot\frac{1}{n^2}. $$

Deoarece seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$ converge, seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty )\left (8\cdot\frac(1)(n^2)\right)$ (vezi punctul nr. 4 din secțiunea despre proprietățile seriilor de numere). Deoarece seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(8\cdot\frac(1)(n^2)\right)$ converge și $\frac(9n+7)(2n ^3+5n^2-4)< 8\cdot\frac{1}{n^2}$, то согласно (пункт №2) ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}$ сходится.

Dacă în paragraful anterior am fost angajați în activități de amatori, selectând și aruncând anumite „piese” în formula termenului general al seriei, atunci soluția folosind criteriul de comparare limitativ este complet algoritmică. În nota de mai sus, am aflat deja că trebuie să comparăm seria noastră cu seria convergentă $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$. Deci, termenul general al seriei noastre este $u_n=\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$. Termenul comun al seriei cu care comparăm: $v_n=\frac(1)(n^2)$. funcționează cu limita $\lim_(n\to\infty)\frac(u_n)(v_n)$. Apropo, nu ne interesează deloc ce termen comun se află la numărător și care la numitor. Principalul lucru este că expresia din numitor nu este egală cu zero. De exemplu, deoarece $v_n\neq 0$, acest termen comun poate fi plasat la numitor:

$$ \lim_(n\la\infty)\frac(\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4))(\frac(1)(n^2))=\lim_(n \to\infty)\frac(n^2\cdot(9n+7))(2n^3+5n^2-4)=\lim_(n\to\infty)\frac(9n^3+7n^2 )(2n^3+5n^2-4)=\left|\frac(\infty)(\infty) \right|=\\ =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(9n^ 3)(n^3)+\frac(7n^2)(n^3))(\frac(2n^3)(n^3)+\frac(5n^2)(n^3)-\frac (4)(n^3))=\lim_(n\la\infty)\frac(9+\frac(7)(n))(2+\frac(5)(n)-\frac(4) (n^3))=\frac(9+0)(2+0-0)=\frac(9)(2). $$

De la 0 USD<\frac{9}{2}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}$.

În cazul general, desigur, ei aleg un singur criteriu de comparație, și nu ambele deodată :) Când rezolv exemplele de pe această pagină, voi folosi ambele metode - pentru claritate.

Răspuns: seria converge.

Exemplul nr. 2

Investigați convergența seriei $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2)$.

Deoarece limita inferioară a însumării este 1, termenul general al seriei se scrie sub semnul sumei: $u_n=\frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2)$. Termenul general este $u_n > 0$, i.e. seria noastră este pozitivă.

Ca și în exemplul anterior, să încercăm să verificăm îndeplinirea condiției de convergență necesare, adică. să găsim $\lim_(n\to\infty)u_n$. La găsirea limitei, vom folosi metoda descrisă în subiectul „Limita raportului a două polinoame”. În timpul soluției, împărțim atât numărătorul, cât și numitorul la $n^4$:

$$ \lim_(n\la\infty)u_n=\lim_(n\la\infty)\frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2)=\left|\ frac(\infty)(\infty)\right|=\lim_(n\la\infty)\frac(\frac(4)(n)+\frac(2)(n^3)+\frac(9) (n^4))(\left(3+\frac(5)(n)\right)^2)=\frac(0+0+0)((3+0)^2)=0. $$

Deoarece $\lim_(n\to\infty)u_n=0$, nu putem trage nicio concluzie despre convergența seriei noastre. O serie poate fie converge, fie diverge. Să încercăm să aplicăm criterii de comparație.

Să aflăm cu ce serie trebuie să comparăm seria specificată în condiție. Să încercăm să aruncăm elementele „în plus” ale numărătorului și numitorului în același mod ca în exemplul nr. 1. Vom rămâne cu următoarea fracție: $\frac(4n^3)(n^2\cdot (3n)^2)=\frac(4)(9)\cdot\frac(1)(n)$. Vom compara seria dată cu seria armonică $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$. Seria armonică diverge, așa că și seria noastră va diverge. Tot ce trebuie să facem este să arătăm acest lucru în mod formal folosind semne de comparație.

Soluție folosind primul semn de comparație

Pe baza raționamentului informal efectuat mai sus, am ajuns la concluzia că seria noastră diverge. În acest caz, se aplică primul paragraf. Trebuie să arătăm că termenul general al seriei noastre satisface inegalitatea $v_n≤ \frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2)$, în timp ce seria $\sum\limits_ (n= 1)^(\infty)v_n$ diverge. Atunci seria care ni se va da se va diverge.

Să începem să reducem fracția $\frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2)$. Scopul nostru: să reducem această fracție la forma $\frac(1)(n)$.

Pentru a reduce o fracție, există două moduri: reduceți numărătorul sau creșteți numitorul. Deoarece $n≥ 1$, atunci $2n+9 > 0$. Prin urmare, dacă aruncăm $2n+9$ în numărător, atunci vom reduce numărătorul, reducând astfel fracția în cauză:

$$ \frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2) > \frac(4n^3)(n^2(3n+5)^2) $$

Să lucrăm cu numitorul. Dacă o creștem, fracția va scădea. Deoarece $n≥ 1$, atunci $3n+5≤ 3n+5n=8n$. Deci, dacă scriem $8n$ în loc de $3n+5$, atunci numitorul va crește:

$$ \frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2) > \frac(4n^3)(n^2(3n+5)^2)≥ \frac(4n ^3)(n^2(8n)^2)=\frac(4n^3)(64n^4)=\frac(1)(16)\cdot\frac(1)(n). $$

Raționamentul suplimentar este standard: deoarece seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ diverge, atunci seria $\sum\limits_(n=1)^( \ infty)\left(\frac(1)(16)\cdot\frac(1)(n)\right)$. Deoarece seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(\frac(1)(16)\cdot\frac(1)(n)\right)$ diverge și $\frac(4n ^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2) > \frac(1)(16)\cdot\frac(1)(n)$, apoi conform (punctul nr. 1) seria $\ sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2)$ va diverge.

Soluție folosind al doilea criteriu de comparație

Am aflat deja mai devreme că trebuie să comparăm o serie dată cu seria divergentă $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$. Să comparăm seria dată $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2)$ cu seria $\ sum\limits_( n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$, folosind . Această caracteristică funcționează cu limita $\lim_(n\to\infty)\frac(u_n)(v_n)$. Ambii termeni comuni ai seriei comparate nu sunt egali cu zero, deci putem plasa termenul comun al oricarei serii la numitor:

$$ \lim_(n\la\infty)\frac(\frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2))(\frac(1)(n))=\ lim_(n\la\infty)\frac(n\left(4n^3+2n+9\right))(n^2(3n+5)^2)=\lim_(n\la\infty)\frac (4n^3+2n+9)(n(3n+5)^2)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|=\\ =\lim_(n\to\infty)\ frac(\frac(4n^3)(n^3)+\frac(2n)(n^3)+\frac(9)(n^3))(\frac(n(3n+5)^2) (n^3))=\lim_(n\la\infty)\frac(4+\frac(2)(n^2)+\frac(9)(n^3))(\left(3+\ frac(5)(n)\right)^2)=\frac(4+0+0)((3+0)^2)=\frac(4)(9). $$

De la 0 USD<\frac{4}{9}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}$.

Răspuns: seria diverge.

Exemplul nr. 3

Examinați seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))$ pentru convergență.

Deoarece limita inferioară a însumării este 1, termenul general al seriei se scrie sub semnul sumei: $u_n=\frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4) )$. Observăm imediat că $u_n > 0$, adică. seria noastră este pozitivă. La fel ca în exemplele anterioare, puteți verifica îndeplinirea condiției necesare de convergență, dar această verificare va arăta doar că $\lim_(n\to\infty)u_n=0$. Aceste. nimic cert nu se poate spune despre convergența seriei și trebuie folosite alte criterii.

Pentru a verifica convergența unei serii date folosind criterii de comparație, mai întâi vom compila o serie cu care vom compara. Să încercăm să aruncăm elementele „în plus” ale numărătorului și numitorului în același mod ca în exemplele nr. 1 și nr. 2. Rămânem cu această fracție:

$$\frac(5n^2)(\sqrt(7n^(10)))=\frac(5)(\sqrt(7))\cdot\frac(n^2)(n^(\frac(10) )(3)))=\frac(5)(\sqrt(7))\cdot\frac(1)(n^(\frac(10)(3)-2))= \frac(5)(\ sqrt(7))\cdot\frac(1)(n^(\frac(4)(3))).$$

Cu seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^(\frac(4)(3)))$ vom compara seria dată. Deoarece $\frac(4)(3) > 1$, atunci seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^(\frac(4)(3)) )$ converge. În consecință, seria noastră va converge; tot ce trebuie să facem este să arătăm acest lucru în mod formal folosind criterii de comparație.

Soluție folosind primul semn de comparație

Prin raționamentul informal de mai sus, am ajuns la concluzia că seria noastră converge. În acest caz, se aplică al doilea paragraf. Trebuie să arătăm că termenul general al seriei noastre satisface inegalitatea $\frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))≤ v_n$ și seria $\sum \limits_(n =1)^(\infty)v_n$ converge. Atunci seria care ne-a fost dată va converge.

Să creștem fracția $\frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))$. Scopul nostru: să reducem această fracție la forma $\frac(1)(n^(\frac(4)(3)))$.

Pentru a crește această fracție, mai întâi creșteți numărătorul. Dacă renunțăm la numărul (-3), numărătorul devine mai mare. Aceasta înseamnă că fracția în sine va crește:

< \frac{5n^2}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}} $$

Să lucrăm cu numitorul. Dacă o reducem, fracția va crește. Deoarece $n≥ 1$, atunci $7n^(10)-4≥ 7n^(10)-4n^(10)=3n^(10)$. Deci, dacă în loc de $7n^(10)-4$ scriem $3n^(10)$, atunci numitorul va scădea și fracția va crește:

$$ \frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))< \frac{5n^2}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}≤ \frac{5n^2}{\sqrt{3n^{10}+2n^3}} $$

Acum să facem asta: eliminați termenul $2n^3$ de la numitor. Astfel, vom reduce numitorul și vom crește fracția în sine:

$$ \frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))< \frac{5n^2}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}≤ \frac{5n^2}{\sqrt{3n^{10}+2n^3}} < \frac{5n^2}{\sqrt{3n^{10}}}= \frac{5}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}. $$

Deoarece seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^(\frac(4)(3)))$ converge, și seria $\sum\limits_ va converge (n=1)^(\infty)\left(\frac(5)(\sqrt(3))\cdot\frac(1)(n^(\frac(4)(3)))\right)$ . Deoarece seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(\frac(5)(\sqrt(3))\cdot\frac(1)(n^(\frac(4)() ) 3)))\right)$ converge și $\frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))<\frac{5}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}$, то согласно (пункт №2) ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n^2-3}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}$ будет сходиться.

Soluție folosind al doilea criteriu de comparație

Am aflat deja că trebuie să comparăm o serie dată cu seria convergentă $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^(\frac(4)(3)) )$. Să comparăm seria dată $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))$ cu seria $\sum \limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^(\frac(4)(3)))$ folosind . Această caracteristică funcționează cu limita $\lim_(n\to\infty)\frac(u_n)(v_n)$. Ambii termeni comuni ai seriei comparate nu sunt egali cu zero, deci putem plasa termenul comun al oricarei serii la numitor:

$$ \lim_(n\la\infty)\frac(\frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4)))(\frac(1)(n^ (\frac(4)(3)))))=\lim_(n\la\infty)\frac(5n^(\frac(10)(3))-3n^(\frac(4)(3)) )(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|=\left|\text(împărțiți numărătorul și numitorul la )n ^ (\frac(10)(3))\right|=\\ =\lim_(n\la\infty)\frac(\frac(5n^(\frac(10)(3)))(n^( \ frac(10)(3)))-\frac(3n^(\frac(4)(3)))(n^(\frac(10)(3))))(\sqrt(\frac(7n) ^ (10))(n^(10))+\frac(2n^3)(n^(10))-\frac(4)(n^(10))))=\lim_(n\la\ infty )\frac(5-\frac(3)(n^2))(\sqrt(7+\frac(2)(n^7)-\frac(4)(n^(10))))= \ frac(5-0)(\sqrt(7+0-0))=\frac(5)(\sqrt(7)). $$

Pentru calcularea limitei a fost utilizată metoda prezentată în subiectul „Limite cu iraționalități”. De la 0 USD<\frac{5}{\sqrt{7}}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n^2-3}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}$ сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n^2-3}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}$.

Răspuns: seria converge.

Exemplul nr. 4

Investigați convergența seriei $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(\sqrt(2n+3)-\sqrt(2n-1)\right)$.

Deoarece limita inferioară a însumării este 1, termenul general al seriei se scrie sub semnul sumei: $u_n=\sqrt(2n+3)-\sqrt(2n-1)$. Aici puteți observa imediat că, deoarece $\sqrt(2n+3)> \sqrt(2n-1)$, atunci $u_n > 0$, i.e. seria noastră este pozitivă. Puteți, dacă doriți, să verificați dacă este îndeplinită condiția de convergență necesară, dar această verificare nu va da nimic (limita $\lim_(n\to\infty)u_n$ este calculată prin analogie cu exemplul nr. 8 de pe această pagină ), deoarece $\lim_(n\to \infty)u_n=0$. Să trecem la utilizarea caracteristicilor de comparație.

Înainte de a aplica anumite criterii de comparație, este mai bine să transformați ușor expresia membrului comun al seriei. Înmulțirea prin expresia conjugată va ajuta aici, i.e. cu $\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1)$. Desigur, dacă înmulțim cu o anumită expresie, atunci trebuie să împărțim cu ea. La simplificare, formula $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ ne va ajuta. Aşa:

$$ u_n=\sqrt(2n+3)-\sqrt(2n-1)=\frac(\left(\sqrt(2n+3)-\sqrt(2n-1)\right)\cdot \left(\ sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1)\right))(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))=\\ =\frac(\left(\sqrt(2n+ 3) )\right)^2-\left(\sqrt(2n-1)\right)^2)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))=\frac(2n+3-( 2n -1))(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))= \frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1)). $$

Acum seria noastră arată ca $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))$. Aplicând argumente similare cu cele efectuate în exemplele anterioare, constatăm că trebuie să comparăm seria noastră cu seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n)) $. Seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))=\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n ^(\frac(1)(2)))$ diverge deoarece gradul $\frac(1)(2)≤ 1$. Aceasta înseamnă că și seria noastră va diverge; tot ce rămâne este să arătăm acest lucru în mod formal.

Soluție folosind primul semn de comparație

Prin raționamentul informal de mai sus, am ajuns la concluzia că seria noastră diverge. Să începem să reducem fracția $\frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))$. Deoarece $\sqrt(2n+3)> \sqrt(2n-1)$, atunci prin scrierea expresiei $\sqrt(2n+3)$ în loc de $\sqrt(2n-1)$ vom crește numitorul, reducând astfel fracția:

$$ \frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1)) > \frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n+3))=\frac (4)(2\sqrt(2n+3))=\frac(2)(\sqrt(2n+3)). $$

Să creștem din nou numitorul. De la $2n+3< 2n+7n=9n$, то заменяя выражение в знаменателе на $\sqrt{9n}$ мы увеличим знаменатель, тем самым уменьшив дробь:

$$ \frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1)) >\frac(2)(\sqrt(2n+3)) > \frac(2)(\sqrt(9n) ))=\frac(2)(3)\cdot\frac(1)(\sqrt(n)). $$

Deoarece seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))$ diverge, seria $\sum\limits_(n=1)^( \infty) \left(\frac(2)(3)\cdot\frac(1)(\sqrt(n))\right)$. Deoarece seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(\frac(2)(3)\cdot\frac(1)(\sqrt(n))\right)$ diverge și $ \frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1)) >\frac(2)(3)\cdot\frac(1)(\sqrt(n))$, apoi conform ( punctul nr. 1) seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))$ va diverge.

Soluție folosind al doilea criteriu de comparație

Am aflat deja că trebuie să comparăm o serie dată cu seria divergentă $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))$. Să comparăm seria dată $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))$ cu seria $\sum \limits_(n =1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))$ folosind . Ambii termeni comuni ai seriei comparate nu sunt egali cu zero, deci putem plasa termenul comun al oricarei serii la numitor:

$$ \lim_(n\la\infty)\frac(\frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1)))(\frac(1)(\sqrt(n)) )=\lim_(n\la\infty)\frac(4\sqrt(n))(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))=\left|\frac(\infty)(\ infty) \right|=\left|\text(împărțiți numărătorul și numitorul la )\sqrt(n)\right|=\\ =\lim_(n\to\infty)\frac(4)(\sqrt(2) + \frac(3)(n))+\sqrt(2-\frac(1)(n)))=\frac(4)(\sqrt(2+0)+\sqrt(2-0))= \ frac(2)(\sqrt(2))=\sqrt(2). $$

De la 0 USD<\sqrt{2}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$ расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}$.

Răspuns: seria diverge.

Vom continua subiectul studierii convergenței seriilor folosind criterii de comparație în partea a doua și a treia.

Rânduri pentru manechine. Exemple de soluții

Urmează bun venit tuturor supraviețuitorilor în al doilea an! În această lecție, sau mai bine zis, într-o serie de lecții, vom învăța cum să gestionăm rândurile. Subiectul nu este foarte complicat, dar stăpânirea lui va necesita cunoștințe din primul an, în special, trebuie să înțelegeți ce este o limita , și să poată găsi cele mai simple limite. Cu toate acestea, este în regulă, așa cum explic, voi oferi linkuri relevante către lecțiile necesare. Pentru unii cititori, subiectul seriilor matematice, metodelor de rezolvare, semnelor, teoremelor poate părea ciudat, și chiar pretențios, absurd. În acest caz, nu trebuie să fii prea „încărcat”; acceptăm faptele așa cum sunt și pur și simplu învățăm să rezolvăm sarcinile obișnuite.

1) Rânduri pentru manechine, iar pentru samovaruri mulțumiți imediat :)

Pentru o pregătire super-rapidă pe subiect Există un curs expres în format pdf, cu ajutorul căruia vă puteți „crește” cu adevărat practica într-o zi.

Conceptul de serie de numere

În general serie de numere se poate scrie astfel: .
Aici:
– pictograma sumă matematică;
– termen comun al seriei(amintiți-vă acest termen simplu);
– variabila „contor”. Notația înseamnă că însumarea se efectuează de la 1 la „plus infinit”, adică mai întâi cu noi, apoi, apoi și așa mai departe - la infinit. În loc de o variabilă, uneori se folosește o variabilă sau. Însumarea nu începe neapărat de la unu, în unele cazuri, poate începe de la zero, de la doi sau de la oricare număr natural.

În conformitate cu variabila „contor”, orice serie poate fi extinsă:
- și așa mai departe, la infinit.

Componente - Asta NUMERE care sunt numite membrii rând. Dacă toate sunt nenegative (mai mare sau egal cu zero), atunci se numește o astfel de serie serie de numere pozitive.

Exemplul 1

Aceasta, apropo, este deja o sarcină „de luptă” - în practică, destul de des este necesar să scrieți mai mulți termeni ai unei serii.

Mai întâi, apoi:
Apoi, atunci:
Apoi, atunci:

Procesul poate fi continuat pe termen nelimitat, dar conform condiției a fost necesar să scrieți primii trei termeni ai seriei, așa că notăm răspunsul:

Vă rugăm să rețineți diferența fundamentală față de succesiune de numere ,
în care termenii nu sunt rezumați, ci sunt considerați ca atare.

Exemplul 2

Notează primii trei termeni ai seriei

Acesta este un exemplu pe care să-l rezolvi singur, răspunsul este la sfârșitul lecției

Chiar și pentru o serie care este complexă la prima vedere, nu este dificil să o descriem într-o formă extinsă:

Exemplul 3

Notează primii trei termeni ai seriei

De fapt, sarcina este efectuată oral: înlocuiți mental în termenul comun al seriei mai întâi, apoi și. Ca urmare:

Lăsăm răspunsul după cum urmează: Este mai bine să nu simplificați termenii seriei rezultați, adică nu executa acțiuni: , , . De ce? Răspunsul este în formă este mult mai ușor și mai convenabil pentru profesor să verifice.

Uneori apare sarcina opusă

Exemplul 4

Nu există un algoritm de soluție clar aici, trebuie doar să vezi modelul.
În acest caz:

Pentru a verifica, seria rezultată poate fi „scrisă înapoi” în formă extinsă.

Iată un exemplu care este puțin mai complicat de rezolvat pe cont propriu:

Exemplul 5

Notați suma în formă restrânsă cu termenul comun al seriei

Efectuați o verificare scriind din nou seria în formă extinsă

Convergența serii de numere

Unul dintre obiectivele cheie ale subiectului este studiul seriilor pentru convergenţă. În acest caz, sunt posibile două cazuri:

1) Rânddiverge. Aceasta înseamnă că o sumă infinită este egală cu infinitul: sau sume în general nu exista, ca, de exemplu, în serie
(iată, de altfel, un exemplu de serie cu termeni negativi). Un bun exemplu de serie de numere divergente a fost găsit la începutul lecției: . Aici este destul de evident că fiecare membru următor al seriei este mai mare decât cel precedent și, prin urmare, seria diverge. Un exemplu și mai banal: .

2) Rândconverge. Aceasta înseamnă că o sumă infinită este egală cu unele număr finit: . Vă rog: – această serie converge și suma ei este zero. Ca exemplu mai semnificativ, putem cita în scădere infinit progresie geometrică, cunoscută nouă încă de la școală: . Suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare se calculează prin formula: , unde este primul termen al progresiei și este baza acestuia, care se scrie de obicei sub forma corecta fractii În acest caz: , . Astfel: Se obține un număr finit, ceea ce înseamnă că seria converge, ceea ce trebuia demonstrat.

Cu toate acestea, în marea majoritate a cazurilor găsiți suma seriei nu este atât de simplu și, prin urmare, în practică, a studia convergența unei serii se folosesc semne speciale care au fost dovedite teoretic.

Există mai multe semne de convergență a seriei: test necesar pentru convergența unei serii, teste de comparație, testul lui D'Alembert, testele lui Cauchy, semnul lui Leibnizși alte câteva semne. Când să folosești ce semn? Depinde de membrul comun al seriei, la figurat vorbind, de „umplerea” seriei. Și foarte curând vom rezolva totul.

! Pentru a învăța în continuare lecția, trebuie intelege bine ce este o limită și este bine să poți dezvălui incertitudinea unui tip. Pentru a revizui sau a studia materialul, vă rugăm să consultați articolul Limite. Exemple de soluții .

Un semn necesar de convergență a unei serii

Dacă o serie converge, atunci termenul său comun tinde spre zero: .

Reversul nu este adevărat în cazul general, adică dacă , atunci seria poate fie să convergă, fie să diverge. Și, prin urmare, acest semn este folosit pentru a justifica divergente rând:

Dacă termenul comun al seriei nu tinde spre zero, apoi seria diverge

Sau pe scurt: dacă , atunci seria diverge. În special, este posibilă o situație în care limita nu există deloc, cum ar fi limită . Așa că au justificat imediat divergența unei serii :)

Dar mult mai des, limita unei serii divergente este egală cu infinitul, iar în loc de „x” acționează ca o variabilă „dinamică”. Să ne reîmprospătăm cunoștințele: se numesc limitele cu un „X”. dincolo de funcții, și limite cu variabila „en” – în afara secvenţelor de numere. Diferența evidentă este că variabila „en” ia valori naturale discrete (discontinue): 1, 2, 3 etc. Dar acest fapt are un efect redus asupra metodelor de rezolvare a limitelor și metodelor de dezvăluire a incertitudinilor.

Să demonstrăm că seria din primul exemplu diverge.
Membru comun al seriei:

Concluzie: rând diverge

Caracteristica necesară este adesea folosită în sarcini practice reale:

Exemplul 6

Avem polinoame în numărător și numitor. Cel care a citit cu atenție și a înțeles metoda de dezvăluire a incertitudinii în articol Limite. Exemple de soluții , probabil că am prins asta când cele mai mari puteri ale numărătorului și numitorului egal, atunci limita este număr finit .

Împărțiți numărătorul și numitorul la

Seria in studiu diverge, întrucât nu este îndeplinit criteriul necesar pentru convergența seriei.

Exemplul 7

Examinați seria pentru convergență

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției

Deci, când ni se oferă ORICE serie de numere, în primul rând verificăm (mental sau pe un draft): termenul său comun tinde spre zero? Dacă nu, formulăm o soluție pe baza exemplelor nr. 6, 7 și dăm un răspuns că seria diverge.

Ce tipuri de serii aparent divergente am luat în considerare? Este imediat clar că serialele plac sau diferă. Serii din exemplele nr. 6, 7 diferă de asemenea: când numărătorul și numitorul conțin polinoame, iar puterea principală a numărătorului este mai mare sau egală cu puterea principală a numitorului. În toate aceste cazuri, la rezolvarea și pregătirea exemplelor, folosim semnul necesar de convergență al seriei.

De ce se numește semnul necesar? Înțelegeți în modul cel mai natural: pentru ca o serie să converge, necesar , astfel încât termenul său comun tinde spre zero. Și totul ar fi grozav, dar sunt mai multe nu suficient . Cu alte cuvinte, dacă termenul comun al unei serii tinde spre zero, ASTA NU ÎNSEMNĂ că seria converge– poate converge și diverge!

Faceți cunoștință cu:

Această serie se numește serie armonică. Vă rog să vă amintiți! Dintre serialele de numere, el este o prima balerină. Mai exact, o balerină =)

Este ușor să vezi asta , DAR. În teoria analizei matematice s-a dovedit că seria armonică diverge.

De asemenea, ar trebui să vă amintiți conceptul de serie armonică generalizată:

1) Acest rând diverge la . De exemplu, seria , , diverge.
2) Acest rând converge la . De exemplu, seria , , , converg. Subliniez încă o dată că în aproape toate sarcinile practice nu este deloc important pentru noi care este valoarea sumă, de exemplu, seria, însuşi faptul convergenţei sale este important.

Acestea sunt fapte elementare din teoria serielor care au fost deja dovedite, iar atunci când rezolvați orice exemplu practic, vă puteți referi în siguranță, de exemplu, la divergența unei serii sau la convergența unei serii.

În general, materialul în cauză este foarte asemănător cu studiul integralelor improprii , și va fi mai ușor pentru cei care au studiat acest subiect. Ei bine, pentru cei care nu l-au studiat, este de două ori mai ușor :)

Deci, ce să faceți dacă termenul comun al seriei TINDE la zero?În astfel de cazuri, pentru a rezolva exemple, trebuie să folosiți altele, suficient semne de convergență/divergență:

Criterii de comparare pentru seria de numere pozitive

iti atrag atentia, că aici vorbim doar de serii numerice pozitive (cu termeni nenegativi).

Există două semne de comparație, unul dintre ele îl voi numi pur și simplu un semn de comparație, altul - limita de comparatie.

Să luăm în considerare mai întâi semn de comparație, sau mai bine zis, prima parte a acesteia:

Se consideră două serii de numere pozitive și . Daca se stie, că seria – converge, iar, pornind de la un număr, inegalitatea este satisfăcută, apoi seria de asemenea converge.

Cu alte cuvinte: Din convergența seriei cu termeni mai mari, urmează convergența seriei cu termeni mai mici. În practică, inegalitatea este valabilă pentru toate valorile:

Exemplul 8

Examinați seria pentru convergență

Mai întâi, să verificăm(mental sau în schiță) execuție:
, ceea ce înseamnă că nu a fost posibil să „scăpăm cu puțin sânge”.

Ne uităm la „pachetul” seriei armonice generalizate și, concentrându-ne pe cel mai înalt grad, găsim o serie similară: se știe din teorie că converge.

Pentru toate numerele naturale, inegalitatea evidentă este valabilă:

iar numitorii mai mari corespund fracțiilor mai mici:
, ceea ce înseamnă că, pe baza criteriului de comparație, seria studiată convergeîmpreună cu lângă .

Dacă aveți îndoieli, puteți descrie oricând inegalitatea în detaliu! Să notăm inegalitatea construită pentru mai multe numere „en”:
Dacă, atunci
Dacă, atunci
Dacă, atunci
Dacă, atunci
….
iar acum este absolut clar că inegalitatea îndeplinită pentru toate numerele naturale „en”.

Să analizăm din punct de vedere informal criteriul de comparație și exemplul rezolvat. Totuși, de ce converge serialul? Iată de ce. Dacă o serie converge, atunci are unele final cantitate: . Și din moment ce toți membrii seriei Mai puțin termenii corespunzători ai seriei, atunci este clar că suma seriei nu poate fi mai mare decât numărul și, cu atât mai mult, nu poate fi egală cu infinitul!

În mod similar, putem demonstra convergența seriilor „similare”: , , etc.

! Vă rugăm să rețineți, că în toate cazurile avem „plusuri” la numitori. Prezența a cel puțin un minus poate complica serios utilizarea produsului în cauză. semn de comparație. De exemplu, dacă o serie este comparată în același mod cu o serie convergentă (scrieți mai multe inegalități pentru primii termeni), atunci condiția nu va fi satisfăcută deloc! Aici puteți eschiva și selecta o altă serie convergentă pentru comparație, de exemplu, dar acest lucru va implica rezerve inutile și alte dificultăți inutile. Prin urmare, pentru a demonstra convergența unei serii este mult mai ușor de utilizat limita de comparatie(vezi paragraful următor).

Exemplul 9

Examinați seria pentru convergență

Și în acest exemplu, vă sugerez să luați în considerare singur a doua parte a atributului de comparație:

Daca se stie, că seria – diverge, și pornind de la un anumit număr (deseori de la prima), inegalitatea este satisfăcută, apoi seria de asemenea diverge.

Cu alte cuvinte: Din divergența unei serii cu termeni mai mici urmează divergența unei serii cu termeni mai mari.

Ce trebuie făcut?
Este necesar să se compare seria studiată cu o serie armonică divergentă. Pentru o mai bună înțelegere, construiți mai multe inegalități specifice și asigurați-vă că inegalitatea este corectă.

Soluția și proiectarea eșantionului sunt la sfârșitul lecției.

După cum sa menționat deja, în practică, criteriul de comparație tocmai discutat este rar utilizat. Adevăratul cal de bătaie al seriei de numere este limita de comparatie, iar din punct de vedere al frecvenței de utilizare nu poate concura decât cu semnul lui d'Alembert .

Test limită pentru compararea seriilor numerice pozitive

Se consideră două serii de numere pozitive și . Dacă limita raportului termenilor comuni ai acestor serii este egală cu număr finit diferit de zero: , atunci ambele serii converg sau diverg simultan.

Când este utilizat criteriul de limitare? Criteriul limitativ pentru comparație este utilizat atunci când „umplerea” seriei este polinoame. Fie un polinom în numitor, fie polinoame atât la numărător, cât și la numitor. Opțional, polinoamele pot fi localizate sub rădăcini.

Să ne ocupăm de rândul pentru care semnul de comparație anterior sa blocat.

Exemplul 10

Examinați seria pentru convergență

Să comparăm această serie cu o serie convergentă. Folosim criteriul limitativ pentru comparație. Se știe că seria converge. Dacă putem arăta că este egal finit, diferit de zero număr, se va dovedi că și seria converge.

Se obține un număr finit diferit de zero, ceea ce înseamnă că seria studiată este convergeîmpreună cu lângă .

De ce a fost ales serialul pentru comparație? Dacă am fi ales orice altă serie din „colivia” seriei armonice generalizate, atunci nu am fi reușit în limită. finit, diferit de zero numere (puteți experimenta).

Nota: când folosim criteriul de comparare limitativ, nu contează, în ce ordine se compune relația de membri comuni, în exemplul luat în considerare, relația ar putea fi alcătuită invers: - aceasta nu ar schimba esența materiei.