O serie de numere se numește convergentă dacă. Seria de numere

Definiții de bază.

Definiţie. Se numește suma termenilor unei șiruri infinite de numere serie de numere.

În același timp, numerele
îi vom numi membri ai seriei și u n– un membru comun al seriei.

Definiţie. Sume
,n = 1, 2, … sunt numite sume private (parțiale). rând.

Astfel, este posibil să se ia în considerare șiruri de sume parțiale ale seriei S 1 , S 2 , …, S n , …

Definiţie. Rând
numit convergent, dacă șirul sumelor sale parțiale converge. Suma seriilor convergente este limita succesiunii sumelor sale parțiale.

Definiţie. Dacă succesiunea sumelor parțiale ale unei serii diverge, i.e. nu are limită, sau are o limită infinită, atunci seria se numește divergenteși nu i se atribuie nicio sumă.

Proprietățile rândurilor.

1) Convergența sau divergența seriei nu va fi încălcată dacă un număr finit de termeni ai seriei sunt modificați, aruncați sau adăugați.

2) Luați în considerare două rânduri
Şi
, unde C este un număr constant.

Teorema. Dacă rândul
converge iar suma sa este egalăS, apoi serialul
de asemenea, converge, iar suma sa este egală cu CS. (C  0)

3) Luați în considerare două rânduri
Şi
.Cantitate sau diferenţă dintre aceste serii se va numi serie
, unde elementele se obțin prin adunarea (scăderea) elementelor originale cu aceleași numere.

Teorema. Dacă rândurile
Şi
converg, iar sumele lor sunt egaleSŞi , apoi serialul
de asemenea, converge și suma sa este egalăS +  .

Diferența dintre două serii convergente va fi, de asemenea, o serie convergentă.

Suma unei serii convergente și a unei serii divergente este o serie divergentă.

Este imposibil să faci o afirmație generală despre suma a două serii divergente.

Când studiază seriale, ele rezolvă în principal două probleme: studierea convergenței și găsirea sumei seriei.

Criteriul Cauchy.

(condiții necesare și suficiente pentru convergența seriei)

În ordinea secvenței
a fost convergent, este necesar și suficient ca pentru orice
a existat un astfel de numărN, că lan > Nși oricep> 0, unde p este un număr întreg, următoarea inegalitate ar fi valabilă:

.

Dovada. (necesitate)

Lasă
, apoi pentru orice număr
există un număr N astfel încât inegalitatea

este îndeplinită când n>N. Pentru n>N și orice număr întreg p>0 inegalitatea este de asemenea valabilă
. Ținând cont de ambele inegalități, obținem:

Necesitatea a fost dovedită. Nu vom lua în considerare dovada suficienței.

Să formulăm criteriul Cauchy pentru serie.

Pentru serie
a fost convergent, este necesar și suficient ca pentru orice
era un numărNastfel încât lan> Nși oricep>0 inegalitatea s-ar menține

.

Cu toate acestea, în practică, utilizarea directă a criteriului Cauchy nu este foarte convenabilă. Prin urmare, de regulă, se folosesc teste de convergență mai simple:

1) Dacă rândul
converge, atunci este necesar ca termenul comun u n tinde spre zero. Cu toate acestea, această condiție nu este suficientă. Putem spune doar că dacă termenul comun nu tinde spre zero, atunci seria diverge cu siguranță. De exemplu, așa-numita serie armonică este divergent, deși termenul său comun tinde spre zero.

Exemplu. Investigați convergența seriei

Vom găsi
- nu este îndeplinit criteriul necesar de convergență, ceea ce înseamnă că seria diverge.

2) Dacă o serie converge, atunci șirul sumelor sale parțiale este mărginită.

Cu toate acestea, acest semn nu este suficient.

De exemplu, seria 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +... diverge, deoarece succesiunea sumelor sale parţiale diverge datorită faptului că

Cu toate acestea, succesiunea sumelor parțiale este limitată, deoarece
la orice n.

Serii cu termeni nenegativi.

Când studiem serii de semn constant, ne vom limita la a considera serii cu termeni nenegativi, deoarece prin simpla înmulțire cu –1, aceste serii pot fi obținute cu termeni negativi.

Teorema. Pentru convergența seriei
cu termeni nenegativi este necesar şi suficient ca sumele parţiale ale seriei să fie mărginite.

Un semn pentru compararea serii cu termeni nenegativi.

Să fie date două rânduri
Şi
la u n , v n  0 .

Teorema. Dacă u n  v n la orice n, apoi de la convergența seriei
seria converge
, și din divergența seriei
seria diverge
.

Dovada. Să notăm prin S n Şi  n sume parțiale de serie
Şi
. Deoarece conform condiţiilor teoremei, seria
converge, atunci sumele sale parțiale sunt mărginite, adică în fața tuturor n n  M, unde M este un anumit număr. Dar pentru că u n  v n, Asta S n   n apoi sumele parțiale ale seriei
sunt, de asemenea, limitate, iar acest lucru este suficient pentru convergență.

Exemplu. Examinați seria pentru convergență

Deoarece
, și seria armonică diverge, apoi seria diverge
.

Exemplu.

Deoarece
, și serialul
converge (ca o progresie geometrică descrescătoare), apoi seria
de asemenea converge.

Se folosește și următorul criteriu de convergență:

Teorema. Dacă
și există o limită
, Undeh– un alt număr decât zero, apoi seria
Şi
se comportă identic în termeni de convergenţă.

semnul lui D'Alembert.

(Jean Leron d'Alembert (1717 - 1783) - matematician francez)

Dacă pentru o serie
cu termeni pozitivi există un astfel de numărq<1, что для всех достаточно больших ninegalitatea este valabilă

apoi o serie
converge dacă pentru toate sunt suficient de marincondiția este îndeplinită

apoi o serie
diverge.

Semnul limitativ al lui D'Alembert.

Criteriul limitativ al lui D'Alembert este o consecință a criteriului D'Alembert de mai sus.

Dacă există o limită
, apoi când < 1 ряд сходится, а при  > 1 – diverge. Dacă = 1, atunci nu se poate răspunde la întrebarea convergenței.

Exemplu. Determinați convergența seriei .

Concluzie: seria converge.

Exemplu. Determinați convergența seriei

Concluzie: seria converge.

semnul lui Cauchy. (semn radical)

Dacă pentru o serie
cu termeni nenegativi există un astfel de numărq<1, что для всех достаточно больших ninegalitatea este valabilă

,

apoi o serie
converge dacă pentru toate sunt suficient de marininegalitatea este valabilă

apoi o serie
diverge.

Consecinţă. Dacă există o limită
, apoi când<1 ряд сходится, а при >Rândul 1 diverge.

Exemplu. Determinați convergența seriei
.

Concluzie: seria converge.

Exemplu. Determinați convergența seriei
.

Aceste. Testul Cauchy nu răspunde la întrebarea convergenței seriei. Să verificăm dacă sunt îndeplinite condițiile de convergență necesare. După cum am menționat mai sus, dacă o serie converge, atunci termenul comun al seriei tinde spre zero.

,

Astfel, condiția necesară pentru convergență nu este îndeplinită, ceea ce înseamnă că seria diverge.

Testul Cauchy integral.

Dacă (x) este o funcție pozitivă continuă care descrește pe intervalŞi
apoi integralele
Şi
se comportă identic în termeni de convergenţă.

Serii alternante.

Alternând rânduri.

O serie alternativă poate fi scrisă astfel:

Unde

semnul lui Leibniz.

Dacă semnul rândului alternativ valori absoluteu i sunt în scădere
iar termenul comun tinde spre zero
, apoi seria converge.

Convergența absolută și condiționată a seriei.

Să luăm în considerare câteva serii alternative (cu termeni de semne arbitrare).

(1)

și o serie compusă din valorile absolute ale membrilor seriei (1):

(2)

Teorema. Din convergența seriei (2) urmează convergența seriei (1).

Dovada. Seria (2) este o serie cu termeni nenegativi. Dacă seria (2) converge, atunci după criteriul Cauchy pentru orice >0 există un număr N astfel încât pentru n>N și orice număr întreg p>0 următoarea inegalitate este adevărată:

După proprietatea valorilor absolute:

Adică, după criteriul Cauchy, din convergența seriei (2) rezultă convergența seriei (1).

Definiţie. Rând
numit absolut convergente, dacă seria converge
.

Este evident că pentru serii de semn constant conceptele de convergență și convergență absolută coincid.

Definiţie. Rând
numit convergent condiționat, dacă converge și seria
diverge.

Testele lui D'Alembert și Cauchy pentru serii alternante.

Lasă
- serii alternante.

semnul lui D'Alembert. Dacă există o limită
, apoi când<1 ряд
va fi absolut convergent, iar când>

semnul lui Cauchy. Dacă există o limită
, apoi când<1 ряд
va fi absolut convergent, iar dacă >1 seria va fi divergentă. Când =1, semnul nu oferă un răspuns despre convergența seriei.

Proprietățile serii absolut convergente.

1) Teorema. Pentru convergența absolută a seriei
este necesar şi suficient să poată fi reprezentat ca diferenţa a două serii convergente cu termeni nenegativi.

Consecinţă. O serie convergentă condiționat este diferența dintre două serii divergente cu termeni nenegativi care tind spre zero.

2) Într-o serie convergentă, orice grupare a termenilor seriei care nu își schimbă ordinea păstrează convergența și mărimea seriei.

3) Dacă o serie converge absolut, atunci seria obținută din ea prin orice permutare a termenilor converge și ea absolut și are aceeași sumă.

Prin rearanjarea termenilor unei serii convergente condiționat, se poate obține o serie convergentă condiționat având orice sumă predeterminată și chiar o serie divergentă.

4) Teorema. Pentru orice grupare de membri ai unei serii absolut convergente (în acest caz, numărul de grupuri poate fi fie finit, fie infinit, iar numărul de membri dintr-un grup poate fi finit sau infinit), se obține o serie convergentă, suma dintre care este egală cu suma seriei originale.

5) Dacă rândurile Şi converg absolut, iar sumele lor sunt egale S și , apoi o serie compusă din toate produsele formei
luată în orice ordine, de asemenea converge absolut și suma sa este egală cu S - produsul sumelor seriei înmulțite.

Dacă înmulțiți serii convergente condiționat, puteți obține o serie divergentă ca rezultat.

Secvențe funcționale.

Definiţie. Dacă membrii seriei nu sunt numere, ci funcții ale X, atunci seria se numește funcţional.

Studiul convergenței seriilor funcționale este mai complicat decât studiul seriilor numerice. Aceeași serie funcțională poate, cu aceleași valori variabile X converg, iar cu alții - diverge. Prin urmare, problema convergenței seriilor funcționale se rezumă la determinarea acelor valori ale variabilei X, la care converge seria.

Setul de astfel de valori este numit zona de convergenta.

Deoarece limita fiecărei funcții incluse în regiunea de convergență a seriei este un anumit număr, limita secvenței funcționale va fi o anumită funcție:

Definiţie. Urmare ( f n (x) } converge a functiona f(x) pe segment dacă pentru orice număr >0 şi orice punct X din segmentul luat în considerare există un număr N = N(, x), astfel încât inegalitatea

este îndeplinită când n>N.

Cu valoarea selectată >0, fiecare punct al segmentului are propriul său număr și, prin urmare, va exista un număr infinit de numere corespunzătoare tuturor punctelor segmentului. Dacă alegeți cel mai mare dintre toate aceste numere, atunci acest număr va fi potrivit pentru toate punctele segmentului, adică. vor fi comune tuturor punctelor.

Definiţie. Urmare ( f n (x) } converge uniform a functiona f(x) pe intervalul dacă pentru orice număr >0 există un număr N = N() astfel încât inegalitatea

este îndeplinită pentru n>N pentru toate punctele segmentului.

Exemplu. Luați în considerare succesiunea

Această secvență converge pe întreaga linie numerică către funcție f(x)=0 , pentru că

Să construim grafice ale acestei secvențe:

sinx

După cum se vede, cu numărul tot mai mare n graficul secvenței se apropie de axă X.

Serii funcționale.

Definiţie. Sume private (parțiale). gamă funcțională
sunt numite funcții

Definiţie. Gama funcțională
numit convergent la un moment dat ( x=x 0 ), dacă succesiunea sumelor sale parțiale converge în acest punct. Limită de secvență
numit cantitate rând
la punct X 0 .

Definiţie. Set de toate valorile X, pentru care seria converge
numit zona de convergenta rând.

Definiţie. Rând
numit uniform convergente pe intervalul dacă șirul sumelor parțiale ale acestei serii converge uniform pe acest interval.

Teorema. (Criteriul Cauchy pentru convergența uniformă a seriei)

Pentru convergența uniformă a seriei
este necesar şi suficient ca pentru orice număr >0 a existat un astfel de numărN( ), care lan> Nși orice întregp>0 inegalitate

ar fi valabil pentru tot x din intervalul [o, b].

Teorema. (Testul Weierstrass pentru convergență uniformă)

(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 – 1897) – matematician german)

Rând
converge uniform si absolut asupra intervalului [o, b], dacă modulele termenilor săi pe același segment nu depășesc termenii corespunzători unei serii de numere convergente cu termeni pozitivi:

aceste. exista o inegalitate:

.

Ei mai spun că în acest caz seria funcțională
este majorat serie de numere
.

Exemplu. Examinați seria pentru convergență
.

Deoarece
întotdeauna, este evident că
.

Mai mult, se știe că seria armonică generală când=3>1 converge, atunci, conform testului Weierstrass, seria studiată converge uniform și, mai mult, în orice interval.

Exemplu. Examinați seria pentru convergență .

Pe intervalul [-1,1] inegalitatea este valabilă
aceste. după criteriul Weierstrass seria studiată converge pe acest segment, dar diverge pe intervalele (-, -1)  (1, ).

Proprietățile serii uniform convergente.

1) Teorema privind continuitatea sumei unei serii.

Dacă membrii seriei
- continuu pe segmentul [o, b] și seria converge uniform, apoi suma saS(x) Există functie continua pe segmentul [o, b].

2) Teorema privind integrarea termen cu termen a unei serii.

Convergând uniform pe segmentul [o, b] o serie cu termeni continui poate fi integrată termen cu termen pe acest interval, i.e. o serie compusă din integrale ale termenilor săi peste segmentul [o, b] , converge către integrala sumei seriei peste acest segment.

3) Teorema privind diferențierea termen cu termen a unei serii.

Dacă membrii seriei
convergând pe segmentul [o, b] reprezintă funcții continue având derivate continue și o serie compusă din aceste derivate
converge uniform pe acest segment, apoi aceasta serie converge uniform si poate fi diferentiata termen cu termen.

Pe baza faptului că suma seriei este o funcție a variabilei X, puteți efectua operația de reprezentare a unei funcții sub formă de serie (extinderea unei funcții într-o serie), care este utilizată pe scară largă în integrare, diferențiere și alte operații cu funcții.

În practică, extinderea seriei de putere a funcțiilor este adesea folosită.

Seria de putere.

Definiţie. Seria de putere se numește o serie a formei

.

Pentru a studia convergența seriei de puteri, este convenabil să folosiți testul d'Alembert.

Exemplu. Examinați seria pentru convergență

Aplicam semnul lui d'Alembert:

.

Constatăm că această serie converge la
și diverge la
.

Acum determinăm convergența la punctele limită 1 și –1.

Pentru x = 1:
Seria converge după criteriul lui Leibniz (vezi semnul lui Leibniz.).

La x = -1:
seria diverge (seria armonică).

teoremele lui Abel.

(Nils Henrik Abel (1802 – 1829) – matematician norvegian)

Teorema. Dacă seria de putere
converge lax = x 1 , apoi converge și, mai mult, pentru absolut toată lumea
.

Dovada. Conform condițiilor teoremei, deoarece termenii seriei sunt limitați, atunci

Unde k- un număr constant. Următoarea inegalitate este adevărată:

Din această inegalitate este clar că atunci când x< x 1 valorile numerice ale termenilor seriei noastre vor fi mai mici (cel puțin nu mai mult) decât termenii corespunzători ai seriei din partea dreaptă a inegalității scrise mai sus, care formează o progresie geometrică. Numitorul acestei progresii conform condiţiilor teoremei mai putin de unul, prin urmare, această progresie este o serie convergentă.

Prin urmare, pe baza criteriului de comparație, concluzionăm că seria
converge, ceea ce înseamnă seria
converge absolut.

Astfel, dacă seria de putere
converge într-un punct X 1 , atunci converge absolut în orice punct din intervalul de lungime 2 centrat într-un punct X = 0.

Consecinţă. Dacă la x = x 1 seria diverge, apoi diverge pentru toata lumea
.

Astfel, pentru fiecare serie de puteri există un număr R pozitiv astfel încât pentru toate X astfel încât
seria este absolut convergentă, și pentru toți
rândul diverge. În acest caz, se numește numărul R raza de convergenta. Se numește intervalul (-R, R). interval de convergență.

Rețineți că acest interval poate fi închis pe una sau ambele părți, sau nu poate fi închis.

Raza de convergență poate fi găsită folosind formula:

Exemplu. Găsiți aria de convergență a seriei

Găsirea razei de convergență
.

Prin urmare, această serie converge pentru orice valoare X. Termenul comun al acestei serii tinde spre zero.

Teorema. Dacă seria de putere
converge spre o valoare pozitivă x=x 1 , apoi converge uniform în orice interval în interior
.

Acțiuni cu serii de putere.

Luați în considerare o succesiune infinită de numere, adică un set de numere în care fiecare număr natural n după o anumită regulă, un anumit număr corespunde un n. O expresie a formei se numește serie de numere, numerele în sine sunt membri ai seriei, - membru comun al seriei. Pe scurt seria este scrisă astfel: .

Sume care conțin numai n se numesc primii membri ai seriei sume parțiale ale unei serii.

Se spune că o serie de numere este convergentă dacă șirul sumelor sale parțiale are o limită finită. Număr S se numește suma seriei.

Dacă limita nu există, atunci seria se spune că este divergentă.

Exemplul 1. Este dată o progresie geometrică infinită. Să facem o serie

și examinează-l pentru convergență, pe baza definiției convergenței unei serii. Pentru a face acest lucru, să facem o sumă parțială =. Din curs şcolar matematicienii știu asta. Să ne amintim cum funcționează asta. Pentru a demonstra acest lucru, haideți să împărțim

Să calculăm acum limita, ținând cont de faptul că aici sunt posibile trei cazuri:

2) dacă q= 1, atunci = și ,

3) dacă q= -1, atunci =, și , a = și . Aceasta înseamnă că succesiunea sumelor parțiale nu are o singură limită.

Prin urmare, concluzionăm: o progresie geometrică converge dacă și diverge la .

Exemplul 2. Demonstrați divergența seriei

Soluţie. Să estimăm suma parțială a seriei:

> , adică > ,

iar limita sumei parțiale este egală cu infinitul (prin celebra teoremă despre limite: dacă x n > y n, apoi ): = ¥. Aceasta înseamnă că această serie diverge.

Proprietățile seriei convergente

Luați în considerare două rânduri și . Al doilea rând se obține din primul, aruncând primul m membrii săi. Această serie se numește restul seriei și este desemnată r n.

Teorema 1. Dacă termenii unei serii convergente sunt înmulțiți cu un anumit număr CU, atunci convergența seriei nu va fi încălcată, iar suma va fi înmulțită cu CU.

Teorema 2. Două serii convergente se pot adăuga (scădea) termen cu termen și suma seriei rezultate va fi egală cu , unde este suma primei serii și este suma celei de-a doua.

Teorema 3. Dacă o serie converge, atunci oricare dintre resturile sale converge. Din convergența restului seriei, urmează convergența seriei în sine.

O putem spune altfel: convergența unei serii nu este afectată de eliminarea (sau atribuirea) unui număr finit de termeni din serie. Și această proprietate este cea mai remarcabilă. Într-adevăr, să fie suma seriei egală cu infinitul (seria diverge). Adăugăm un număr foarte mare, dar finit de termeni ai seriei. Această sumă poate fi foarte mare, dar, din nou, este un număr finit. Deci, aceasta înseamnă că suma restului seriei, și acolo membrii seriei sunt deja numere neglijabile, este încă egală cu infinit datorită infinitului numărului de termeni.

Teorema 4. Un semn necesar de convergență.

Dacă o serie converge, atunci termenul său comun un n tinde spre zero, adică .

Dovada. într-adevăr,

Și dacă seria converge, atunci și , și deci pentru .

Rețineți că acest semn nu este suficient, adică seria poate diverge, iar termenul său comun tinde spre zero. În exemplul 2, seria diverge, deși termenul său comun este .

Dar dacă și n nu tinde spre zero la , atunci seria este divergentă ( o indicație suficientă a divergenței unei serii).

Convergența seriilor cu termeni pozitivi

Se spune că o serie este pozitivă dacă toate .

Sume parțiale ale unei astfel de serii S n formează o secvență crescătoare, deoarece fiecare precedentă este mai mică decât următoarea, adică . Din teoria limitelor se știe (teorema Bolzano-Weierstrass) că dacă o succesiune crescătoare este mărginită de sus (adică pentru toate S n există un astfel de număr M, Ce S n < M pentru toată lumea n), atunci are o limită. Aceasta implică următoarea teoremă.

Teorema. O serie cu termeni pozitivi converge dacă sumele sale parțiale sunt mărginite mai sus și diverge în caz contrar.

Toate se bazează pe această proprietate semne suficiente de convergenţă a seriilor cu termeni pozitivi. Să ne uităm la cele principale.

Semn de comparație

Să considerăm două serii cu termeni nenegativi: - (3) și - (4), și pornind de la unii n. Apoi din convergența seriei (4) urmează convergența seriei (3). Și din divergența seriei (3) urmează divergența seriei (4).

În caz contrar: dacă o serie cu termeni mai mari converge, atunci converge și seria cu termeni mai mici; dacă o serie cu termeni mai mici diverge, atunci și seria cu termeni mai mari diverge.

Exemplu. Examinați seria pentru convergență.

Soluţie. Termenul general al unei serii și o serie este o sumă infinită de termeni ai unei progresii geometrice cu numitor< 1, т.е. это сходящийся ряд. По признаку сравнения (т.к. сходится ряд с б?льшими членами, то сходится и ряд с меньшими) данный ряд сходится.

Semnul de comparație în formă extremă

Se consideră două serii și , și fie , un număr finit. Apoi ambele serii converg sau diverg simultan.

Exemplu.

Soluţie. Să alegem o serie pentru comparație, aflând cum se comportă termenul comun al seriei pentru mare n:

Aceste. ~ , iar ca serie de comparație luăm seria care diverge, așa cum sa arătat mai devreme.

Să calculăm limita

și asta înseamnă că ambele rânduri se comportă la fel, adică. această serie diverge.

semnul lui D'Alembert

Să fie dată o serie și să existe o limită. Atunci dacă l < 1, то ряд сходится, если l> 1, atunci seria diverge dacă l= 1, atunci acest semn nu oferă un răspuns (adică este necesară o cercetare suplimentară).

Exemplu. Examinați seria pentru convergență (reamintiți-vă că, i.e. n-factorial este produsul tuturor numerelor întregi de la 1 la n).

Soluţie. Pentru această serie, (pentru a-l găsi este necesar în schimb n substitui n+ 1). Să calculăm limita

iar din moment ce limita este mai mică de 1, această serie converge.

Semnul lui Cauchy radical

Să fie dată o serie și să existe o limită. Dacă l< 1, то ряд сходится, если l> 1, atunci seria diverge dacă l= 1, atunci acest semn nu dă un răspuns (este necesare cercetări suplimentare).

Exemplu. Examinați seria pentru convergență

Soluţie. Membru comun al seriei. Să calculăm limita. Aceasta înseamnă că seria converge.

Testul Cauchy integral

Să luăm în considerare seria și să presupunem că pe interval XÎ există o funcție continuă, pozitivă și monoton descrescătoare astfel încât , n= 1, 2, 3… . Apoi seria și integrala improprie converg sau diverg simultan.

Rețineți că, dacă este dată o serie, atunci funcția este considerată pe interval.

Să ne amintim că cele indicate integrală improprie se numește convergent dacă există o limită finită și atunci =. Dacă at nu are o limită finită, atunci ei spun asta integrală improprie diverge

Exemplu. Să luăm în considerare seria - serii armonice generalizate sau seria Dirichlet cu exponent s. Dacă s= 1, atunci seria se numește serie armonică.

Examinăm această serie folosind testul Cauchy integral: =, iar funcția = are toate proprietățile specificate în test. Să calculăm integrala improprie.

Sunt posibile trei cazuri:

1) s < 1, и тогда

integrala diverge.

2) când s = 1

integrala diverge.

3) dacă s> 1, atunci

integrala converge.

Concluzie. Seria armonică generalizată converge dacă s> 1 și diverge dacă s ≤ 1.

Această serie este adesea folosită pentru comparație cu alte serii care conțin grade n.

Exemplu. Examinați seria pentru convergență.

Soluţie. Pentru această serie ~ =, ceea ce înseamnă că comparăm această serie cu seria, care converge ca o serie Dirichlet cu un exponent s = 2 > 1.

Folosind criteriul de comparație în forma limită, găsim limita raportului dintre termenii comuni ai acestei serii și seria Dirichlet:

Prin urmare, această serie converge.

Recomandări de utilizaresemne de convergenţă

În primul rând, ar trebui să utilizați criteriul necesar pentru convergența unei serii și să calculați limita termenului comun al seriei la . Dacă , atunci seria diverge în mod evident, iar dacă , atunci ar trebui utilizat unul dintre semnele suficiente.

Semne de comparație Este util de utilizat în cazurile în care, prin transformarea expresiei pentru termenul general al seriei, este posibilă trecerea de la seria originală la o serie a cărei convergență (sau divergență) este cunoscută. În special, dacă conține doar puteri nși nu conține alte funcții, se poate face oricând.

Semne de comparație sunt folosite atunci când seria originală poate fi comparată cu o serie armonică generalizată sau cu o serie compusă din termeni ai unei progresii geometrice infinite.< применяют, если при замене n . Самой медленно растущей функцией является логарифм, а быстрее всего растёт степенно-показательная функция . Между ними другие известные функции располагаются в следующем порядке:

Prin urmare, dacă numărătorul conține una dintre aceste funcții, iar numitorul conține o funcție în stânga acesteia, atunci cel mai probabil seria diverge și invers.

1. Dacă a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= converge, atunci seria a m+1 +a m+2 +a m+3 +…, obținută din această serie prin eliminarea primilor m termeni, de asemenea converge. Această serie rezultată se numește al-lea rest al seriei. Și, invers: din convergența celui de-al mi-lea rest al seriei, urmează convergența acestei serii. Aceste. Convergența și divergența unei serii nu este încălcată dacă un număr finit al termenilor ei este adăugat sau eliminat.

2 . Dacă seria a 1 + a 2 + a 3 +... converge și suma sa este egală cu S, atunci seria Ca 1 + Ca 2 +..., unde C = converge și suma sa este egală cu CS.

3. Dacă seria a 1 +a 2 +... și b 1 +b 2 +... converg și sumele lor sunt egale cu S1 și, respectiv, S2, atunci seria (a 1 +b 1)+(a 2 + b 2)+(a 3 +b 3)+... și (a 1 -b 1)+(a 2 -b 2)+(a 3 -b 3)+... converg de asemenea. Sumele lor sunt egale cu S1+S2 și respectiv S1-S2.

4. O). Dacă o serie converge, atunci al n-lea termen al său tinde spre 0 pe măsură ce n crește la nesfârșit (reversul nu este adevărat).

- necesar semn (condiție)convergenţă rând.

b). Dacă
atunci seria este divergentă - suficient staredivergente rând.

-seriile de acest tip sunt studiate numai conform proprietatii 4. Acest divergente rânduri.

Seria semn pozitiv.

Semne de convergență și divergență ale seriei cu semne pozitive.

Seriile pozitive sunt serii în care toți termenii sunt pozitivi. Vom lua în considerare aceste semne de convergență și divergență pentru seriile cu semne pozitive.

1. Primul semn de comparație.

Să fie date două serii cu semne pozitive a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= (1) иb 1 +b 2 +b 3 +…+b n +…= (2).

Dacă membrii seriei (1) nu mai multb n și seria (2) converge, apoi converge și seria (1).

Dacă membrii seriei (1) nici mai puțin membrii corespunzători ai seriei (2), adică și n b n și rândul (2) diverge, apoi seria (1) diverge.

Acest criteriu de comparație este valabil dacă inegalitatea nu este satisfăcută pentru toți n, ci doar pornind de la unii.

2. Al doilea semn de comparație.

Dacă există o limită finită și diferită de zero
, atunci ambele serii converg sau diverg simultan.

- rânduri de acest tip diverge conform celui de-al doilea criteriu de comparaţie. Ele trebuie comparate cu seria armonică.

3. Semnul lui D'Alembert.

Dacă pentru un semn serie pozitivă(a 1 +a 2 +a 3 +…+a n +…= ) există
(1), atunci seria converge dacă q<1, расходится, если q>

4. Semnul lui Cauchy este radical.

Dacă există o limită pentru o serie pozitivă
(2), atunci seria converge dacăq<1, расходится, если q>1. Dacă q=1 atunci întrebarea rămâne deschisă.

5. Testul lui Cauchy este integral.

Să ne amintim integralele improprii.

Dacă există o limită
. Aceasta este o integrală improprie și este desemnată
.

Dacă această limită este finită, atunci se spune că integrala improprie converge. Seria, respectiv, converge sau diverge.

Fie seria a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= - serii pozitive.

Să notăm a n =f(x) și să considerăm funcția f(x). Dacă f(x) este o funcție pozitivă, monoton descrescătoare și continuă, atunci dacă integrala improprie converge, atunci seria dată converge. Și invers: dacă integrala improprie diverge, atunci seria diverge.

Dacă seria este finită, atunci converge.

Rândurile sunt foarte frecvente
-Seria Derichlet. Converge dacă p>1, diverge p<1. Гармонический ряд является рядом Дерихле при р=1. Сходимость и расходимость данного ряда легко доказать с помощью интегрального признака Коши.

Introducere

numeric Cauchy d'Alembert

Conceptul de sume infinite era de fapt cunoscut oamenilor de știință din Grecia Antică (Eudoxus, Euclid, Arhimede). Găsirea sumelor infinite a fost o parte integrantă a așa-numitei metode de epuizare, utilizată pe scară largă de oamenii de știință greci antici pentru a găsi zonele figurilor, volumele corpurilor, lungimile curbelor etc. Deci, de exemplu, Arhimede, pentru a calcula aria unui segment parabolic (adică, o figură delimitată de o dreaptă și o parabolă), a găsit suma unei progresii geometrice infinite cu un numitor de 1/4.

Matematicienii au început să folosească seria ca concept independent în secolul al XVII-lea. I. Newton şi G. Leibniz au folosit serii pentru rezolvarea algebricii şi ecuații diferențiale. Teoria seriei în secolele XVIII-XIX. dezvoltat în lucrările lui J. și I. Bernoulli, B. Taylor, C. Maclaurin, L. Euler, J. d'Alembert, J. Lagrange și alții O teorie riguroasă a seriei a fost creată în secolul al XIX-lea. bazat pe conceptul de limită în lucrările lui K. Gauss, B. Bolzano, O. Cauchy, P. Dirichlet, N. Abel, K. Weierstrass, B. Riemann ș.a.

Relevanța studierii acestei probleme se datorează faptului că ramura matematicii care face posibilă rezolvarea oricărei probleme bine puse cu suficientă acuratețe pentru utilizare practică se numește teoria serii. Chiar dacă unele concepte subtile analiză matematică apărute în afara conexiunii cu teoria seriilor, au fost imediat aplicate seriei, care au servit ca un fel de instrument de testare a semnificației acestor concepte. Această situație continuă și astăzi. Astfel, pare relevant să studiem seriile de numere, conceptele lor de bază și caracteristicile convergenței serii.

1. Istorie

.1 Prima mențiune și utilizare a seriei de numere

Regulile aritmeticii ne oferă capacitatea de a determina suma a doi, trei, patru și, în general, orice set finit de numere. Ce se întâmplă dacă numărul de termeni este infinit? Chiar dacă este „cel mai mic” infinit, i.e. să fie numărabil numărul de termeni.

Găsirea sumelor infinite a fost o parte integrantă a așa-numitei metode de epuizare, utilizată pe scară largă de oamenii de știință greci antici pentru a găsi zonele figurilor, volumele corpurilor, lungimile curbelor etc. Deci, de exemplu, Arhimede, pentru a calcula aria unui segment parabolic (adică, o figură delimitată de o dreaptă și o parabolă), a găsit suma unei progresii geometrice infinite cu un numitor de 1/4.

În urmă cu aproape două mii și jumătate de ani, matematicianul și astronomul grec Eudoxus din Cnidus a folosit metoda „epuizării” pentru a găsi zone și volume. Ideea acestei metode este de a împărți corpul studiat într-un număr numărabil de părți, ale căror zone sau volume sunt cunoscute, apoi adăugați aceste volume. Această metodă a fost folosită atât de Euclid, cât și de Arhimede. Desigur, nu a existat o justificare completă și exactă a metodei în lucrările matematicienilor antici. Înainte de aceasta, a fost necesar să treacă printr-o lungă călătorie de două mii de ani, în care au existat revelații strălucitoare, greșeli și curiozități.

Iată, de exemplu, cum a raționat un teolog medieval atunci când a dovedit - nici mai mult, nici mai puțin - existența lui Dumnezeu Atotputernic.

Să scriem S în cantități egale ca o sumă infinită

S = 1010101010… (1)

„Să înlocuim fiecare zero din partea dreaptă a acestei egalități cu suma 1+(-1)

S =1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+… (2)

Lăsând primul termen în partea dreaptă a (2), folosim paranteze pentru a combina al doilea termen cu al treilea, al patrulea cu al cincilea etc. Apoi

S=1 + ((-1) +1) + ((-1) +1) +… = 1+0+0+… = 1.”

„Dacă poți obține unul de la zero după bunul plac, atunci presupunerea de a crea lumea din nimic este de asemenea acceptabilă!”

Suntem de acord cu acest raționament? Desigur că nu. Din punctul de vedere al matematicii moderne, greșeala autorului este că încearcă să opereze cu concepte cărora nu le este dată o definiție (ce este - „suma unui număr infinit de termeni”) și face transformări (paranteze de deschidere, regruparea), a cărui legalitate nu este a fost justificată de acesta.

Cei mai mari matematicieni ai secolelor al XVII-lea și al XVIII-lea - Isaac Newton (1642-1727), Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), Brooke Taylor (1685-1731) - au folosit pe scară largă sumele de numărare fără a acorda suficientă atenție întrebării despre ce anume aceasta concept înseamnă ), Colin Maclaurin (1698-1746), Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Leonard și Euler (1707-1783) s-au remarcat pentru măiestria lor virtuoasă în manipularea rândurilor, dar în același timp a recunoscut adesea justificarea insuficientă a tehnicilor pe care le folosea. O sută de lucrări conțin în mod repetat propoziții ca aceasta: „Am descoperit că aceste două expresii infinite sunt egale, deși s-a dovedit a fi imposibil de demonstrat.” El îi avertizează pe matematicieni împotriva utilizării „seriilor divergente”, deși lui însuși nu i-a păsat întotdeauna acest lucru și doar intuiția strălucitoare îl protejează de concluziile incorecte; Adevărat, are și „puncturi”.

Până la începutul secolului al XIX-lea, a devenit clară necesitatea unei justificări atentă a proprietăților „sumelor de numărare”. În 1812, Carl Friedrich Gauss (1777-1865) a dat primul exemplu de studiu al convergenței seriilor în 1821, bunul nostru prieten Augustin Louis Cauchy (1789-1857) a stabilit principiile moderne de bază ale teoriei seriilor;

.2 Studiu suplimentar al seriilor de numere. O formulare clară a conceptului de serie de numere

Însumarea progresiilor geometrice infinite cu un numitor mai mic de 1 era deja realizată în antichitate (Arhimede). Divergența seriei armonice a fost stabilită de omul de știință italian Mengoli în 1650. Seriile de putere au apărut la Newton (1665), care credea că orice funcție poate fi reprezentată printr-o serie de puteri. Oamenii de știință din secolul al XVIII-lea au întâlnit în mod constant serii în calcule, dar atenția nu a fost întotdeauna acordată problemei convergenței. Teoria exactă a seriei începe cu lucrările lui Gauss (1812), Bolzano (1817) și, în sfârșit, Cauchy, unde a fost dată mai întâi definiția modernă a sumei unei serii convergente și au fost stabilite principalele teoreme. În 1821, Cauchy a publicat „Cursul de analiză la Școala Politehnică Regală”, care a fost de cea mai mare importanță pentru diseminarea de noi idei pentru fundamentarea analizei matematice în prima jumătate a secolului al XIX-lea.

„Următorul este o succesiune nelimitată de cantități

rezultând unul din altul după o anumită lege... Să

este suma primilor n termeni, unde n este orice număr întreg. Dacă, cu o creștere constantă a valorilor lui n, suma se apropie la nesfârșit de o limită cunoscută S, seria se numește convergentă, iar această limită este suma seriei. Dimpotrivă, dacă, cu o creștere nelimitată a n, suma nu se apropie de nicio limită definită, seria va fi divergentă și nu va avea sumă...” [Din prima parte a „Cursului de analiză la Şcoala Politehnică Regală” de O. Cauchy (1821) ( nr. 54 vol. III, p. 114-116, traducere de A.P. Iuşkevici}]

.3 Probleme care duc la conceptul de serie de numere și cele în care a fost folosită

Ahile cu picior iute nu va ajunge niciodată din urmă broasca țestoasă dacă la începutul mișcării broasca țestoasă se afla la oarecare distanță în fața lui. Într-adevăr, să fie distanța inițială a și lăsați-l pe Ahile să alerge de k ori mai repede decât broasca țestoasă. Când Ahile trece de distanța a, broasca țestoasă se târăște până la a/k, când Ahile trece de această distanță, țestoasa se târăște până la a/, etc., i.e. de fiecare dată va exista o distanţă diferită de zero între concurenţi.

În această aporie, pe lângă aceeași dificultate a infinitului numărat, mai există una. Să presupunem că la un moment dat Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Să scriem calea lui Ahile

și drumul țestoasei

Fiecărui segment al drumului a/ parcurs de Ahile îi corespunde un segment al potecii a/ al broaștei țestoase. Prin urmare, până la momentul întâlnirii, Ahile trebuie să fi parcurs „atât de multe” secțiuni ale căii cât broasca țestoasă. Pe de altă parte, fiecare segment a/ străbătut de broasca țestoasă poate fi asociat cu un segment egal al drumului lui Ahile. Dar, în plus, Ahile trebuie să parcurgă încă un segment de lungime a, adică. trebuie să călătorească cu un segment în plus decât țestoasa. Dacă numărul de segmente acoperite de ultimul este b, atunci obținem

"Săgeată". "Săgeată". Dacă timpul și spațiul constau din particule indivizibile, atunci o săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment indivizibil de timp ea ocupă o poziție egală, adică. este în repaus, iar o perioadă de timp este suma acestor momente indivizibile.

Această aporie este îndreptată împotriva ideii unei cantități continue - ca sumă a unui număr infinit de particule indivizibile.

"Stadion". Lăsați mase egale să se deplaseze pe stadion de-a lungul liniilor drepte paralele la viteze egale, dar în direcții opuse. Fie rândul înseamnă masele staționare, rândul masele medii care se deplasează spre dreapta și rândul masele medii care se deplasează spre stânga (Fig. 1). Să luăm acum în considerare masele. ca indivizibile. Într-un moment indivizibil al timpului trece o parte indivizibilă a spațiului. Într-adevăr, dacă la un moment indivizibil de timp un anumit corp ar trece prin mai mult de o parte indivizibilă a spațiului, atunci momentul indivizibil al timpului ar fi divizibil, dar dacă este mai mic, atunci partea indivizibilă a spațiului ar putea fi divizată. Să luăm acum în considerare mișcarea indivizibililor unul față de celălalt: în două momente indivizibile de timp vor trece două părți indivizibile și, în același timp, numărăm patru părți indivizibile, i.e. un moment indivizibil de timp se va dovedi a fi divizibil.

Această aporie poate primi o formă ușor diferită. În același timp t, punctul trece de jumătatea segmentului și întregul segment. Dar fiecare moment indivizibil de timp corespunde unei părți indivizibile a spațiului străbătut în acest timp. Atunci un anumit segment a și segmentul 2a conțin „același” număr de puncte, „același” în sensul că se poate stabili o corespondență unu-la-unu între punctele ambelor segmente. Aceasta a fost prima dată când s-a stabilit o astfel de corespondență între puncte ale segmentelor de lungimi diferite. Dacă presupunem că măsura unui segment se obține ca sumă a măsurilor indivizibile, atunci concluzia este paradoxală.

2. Aplicarea seriei de numere

.1 Definiție

Să fie dată o succesiune infinită de numere

Definiție 1.1. Seria de numere sau doar aproape se numește expresie (sumă) a formei

Numerele sunt numite membri ai unui număr, - general sau al n-lea membru al seriei.

Pentru a defini seria (1.1), este suficient să precizăm funcția argumentului natural de calcul al celui de-al treilea termen al seriei prin numărul său.

Din termenii seriei (1.1) formăm un numeric succesiune de partiale sume unde este suma primilor termeni ai seriei, care se numește n-suma parțială, adică

…………………………….

…………………………….

O secvență numerică cu o creștere nelimitată a numărului poate:

) au o limită finită;

) nu au limită finită (limita nu există sau este egală cu infinitul).

Definiție 1.2. Se numește seria (1.1). convergent, dacă succesiunea sumelor sale parțiale (1.5) are o limită finită, i.e.

În acest caz, numărul este apelat cantitate seria (1.1) și se notează

Definiție 1.3. Se numește seria (1.1). divergente, dacă şirul sumelor sale parţiale nu are o limită finită.

Nu se atribuie nicio sumă seriei divergente.

Astfel, problema găsirii sumei unei serii convergente (1.1) este echivalentă cu calcularea limitei succesiunii sumelor sale parțiale.

.2 Proprietățile de bază ale seriei de numere

Proprietățile unei sume a unui număr finit de termeni diferă de proprietățile unei serii, i.e. suma unui număr infinit de termeni. Deci, în cazul unui număr finit de termeni, aceștia pot fi grupați în orice ordine, acest lucru nu va schimba suma. Există serii convergente (condițional convergente), pentru care, așa cum a arătat Riemann Georg Friedrich Bernhard, prin schimbarea corectă a ordinii termenilor lor, puteți face suma seriei egală cu orice număr și chiar o serie divergentă.

Exemplul 2.1.Luați în considerare o serie divergentă a formei

Prin gruparea membrilor săi în perechi, obținem o serie de numere convergente cu o sumă egală cu zero:

Pe de altă parte, prin gruparea termenilor săi în perechi, începând cu al doilea termen, obținem și o serie convergentă, dar cu o sumă egală cu unu:

Seriile convergente au anumite proprietăți care fac posibilă tratarea lor ca și cum ar fi sume finite. Deci ele pot fi înmulțite cu numere, adunate și scăzute termen cu termen. Ei pot combina orice termeni adiacente în grupuri.

Teorema 2.1.(Un semn necesar de convergență a unei serii).

Dacă seria (1.1) converge, atunci termenul său comun tinde spre zero pe măsură ce n crește la nesfârșit, adică.

Dovada teoremei rezultă din faptul că, și dacă

S este suma seriei (1.1), atunci

Condiția (2.1) este o condiție necesară, dar nu suficientă pentru convergența seriei. Adică, dacă termenul comun al unei serii tinde spre zero la, aceasta nu înseamnă că seria converge. De exemplu, pentru seria armonică (1.2), totuși, diverge.

Consecinţă(Un semn suficient al divergenței seriei).

Dacă termenul comun al unei serii nu tinde spre zero la, atunci această serie diverge.

Proprietatea 2.1. Convergența sau divergența unei serii nu se va modifica dacă un număr finit de termeni sunt îndepărtați în mod arbitrar din ea, adăugați sau rearanjați în ea (în acest caz, pentru o serie convergentă, suma sa se poate modifica).

Dovada proprietății rezultă din faptul că seria (1.1) și oricare dintre resturile sale converg sau diverg simultan.

Proprietatea 2.2. O serie convergentă poate fi înmulțită cu un număr, adică dacă seria (1.1) converge, are suma S și c este un anumit număr, atunci

Dovada rezultă din faptul că următoarele egalități sunt valabile pentru sume finite:

Proprietatea 2.3. Serii convergente pot fi adăugate și scăzute termen cu termen, adică. dacă rândurile

converge,

converge iar suma sa este egală cu i.e.

Dovada rezultă din proprietățile limitei sumelor finite, i.e.

Semn de comparație

Să fie date două serii pozitive

iar condițiile sunt îndeplinite pentru toți n=1,2,...

Atunci: 1) din convergența seriei (3.2) urmează convergența seriei (3.1);

) din divergența seriei (3.1) urmează divergența seriei (3.2).

Dovada. 1. Fie seria (3.2) să convergă și suma ei egală cu B. Secvența sumelor parțiale ale seriei (3.1) este nedescrescătoare mărginită mai sus de numărul B, adică.

Apoi, datorită proprietăților unor astfel de secvențe, rezultă că are o limită finită, i.e. seria (3.1) converge.

Fie seria (3.1) diverge. Atunci, dacă seria (3.2) converge, atunci în virtutea punctului 1 demonstrat mai sus, ar converge și seria inițială, ceea ce contrazice condiția noastră. În consecință, și seria (3.2) diverge.

Acest criteriu este convenabil de aplicat la determinarea convergenței seriilor, comparându-le cu serii a căror convergență este deja cunoscută.

semnul lui D'Alembert

Apoi: 1) la q< 1 ряд (1.1) сходится;

) pentru q > 1, seria (1.1) diverge;

) pentru q = 1 nu se poate spune nimic despre convergența seriei (1.1);

Comentariu: Seria (1.1) va diverge și în cazul în care

semnul lui Cauchy

Fie termenii seriei pozitive (1.1) astfel încât să existe o limită

Apoi: 1) la q< 1 ряд (1.1) сходится;

) pentru q > 1, seria (1.1) diverge;

3) pentru q = 1, nu se poate spune nimic despre convergența seriei (1.1);

Testul integral Cauchy-Maclaurin

Fie funcția f(x) o funcție continuă nenegativă necrescătoare pe interval

Apoi seria și integrala improprie converg sau diverg simultan.

.3 Obiective

Seria de numere sunt folosite nu numai în matematică, ci și într-o serie de alte științe. Aș dori să dau câteva exemple de astfel de utilizare.

De exemplu, pentru a studia proprietățile structurilor de roci clastice. În practică, utilizarea conceptului de „structură” s-a redus în principal la caracterizarea parametrilor dimensionali ai boabelor. În acest sens, conceptul de „structură” în petrografie nu corespunde conceptului de „structură” din cristalografie, geologia structurală și alte științe despre structura materiei. În cea din urmă, „structura” este mai în concordanță cu conceptul de „textură” din petrografie și reflectă modul în care spațiul este umplut. Dacă acceptăm că „structură” este un concept spațial, atunci următoarele structuri ar trebui considerate lipsite de sens: structuri și texturi secundare sau primare; structuri cristaline, chimice, substituții (coroziune, recristalizare etc.), structuri de deformare, structuri orientate, reziduale etc. Prin urmare, aceste „structuri” sunt numite „structuri false”.

Structura este un set elemente structurale, caracterizate prin mărimea granulelor și raporturile lor cantitative.

Atunci când se efectuează clasificări specifice, parametrii granulației liniare cu secvența

deși estimările cantitative ale prevalenței se fac prin parametrii de suprafață (procentual). Această secvență poate avea o lungime considerabilă și nu este niciodată construită. De obicei, se vorbește doar despre limitele variației parametrilor, denumind valorile maxime (max) și minime (min) ale granulelor.

Una dintre direcțiile pentru reprezentarea P4 este utilizarea seriilor de numere, care sunt construite în același mod ca și secvența de mai sus, dar în loc de (?) este plasat un semn de sumă (+). Convoluția tuturor secvențelor se realizează prin combinarea elementelor egale și adăugarea ariilor acestora. Atunci avem succesiunea:

Expresia înseamnă că se măsoară suprafața ocupată de toate secțiunile acelor boabe i a căror dimensiune este egală.

Această caracteristică a boabelor permite o analiză numerică a relațiilor obținute. În primul rând, parametrul poate fi considerat ca fiind valori axa de coordonateși astfel construiți un grafic S=f(l). În al doilea rând, secvența (RSl) 1 poate fi clasată, de exemplu, în ordinea descrescătoare a coeficienților, rezultând o serie

Această serie este numită structura unei anumite secțiuni de rocă și este, de asemenea, definiția conceptului de „structură”. Parametrul este un element al structurii, iar parametrul k= este lungimea structurii. Prin construcție n=k. Această reprezentare a structurii permite compararea diferitelor structuri între ele.

De asemenea, Kirill Pavlovici Butusov a descoperit fenomenul de „rezonanță a undelor de bătaie”, pe baza căruia a formulat „legea perioadelor planetare”, datorită căreia perioadele de revoluție ale planetelor formează seriile de numere Fibonacci și Lucas și a demonstrat că „legea distanțelor planetare” a lui Johann Titius este o consecință a „rezonanței undelor bătăi” (1977). În același timp, a descoperit manifestarea „secțiunii de aur” în distribuția unui număr de alți parametri ai corpurilor din Sistemul Solar (1977). În acest sens, el lucrează pentru a crea „matematică de aur” - sistem nou notație bazată pe numărul lui Fidias (1,6180339), mai adecvată problemelor de astronomie, biologie, arhitectură, estetică, teoria muzicii etc.

Din istoria astronomiei se știe că I. Titius, un astronom german al secolului al XVIII-lea, cu ajutorul acestei serii Fibonacci, a găsit un model și o ordine în distanțele dintre planete. sistem solar.

Cu toate acestea, un caz care părea să contrazică legea: nu exista nicio planetă între Marte și Jupiter. Observarea concentrată a acestei părți a cerului a dus la descoperirea centurii de asteroizi. Acest lucru s-a întâmplat după moartea lui Titius la începutul secolului al XIX-lea. Seria Fibonacci este utilizată pe scară largă: este folosită pentru a reprezenta arhitectura ființelor vii, structurile create de om și structura galaxiilor. Aceste fapte sunt dovezi ale independenței seriei de numere față de condițiile manifestării sale, care este unul dintre semnele universalității sale.

Criptografia este știința metode matematice asigurarea confidențialității (imposibilitatea de a citi informațiile de către persoane din afară) și a autenticității (integritatea și autenticitatea paternității, precum și imposibilitatea refuzului calității de autor) a informațiilor. Marea majoritate a sistemelor criptografice moderne utilizează algoritmi de flux sau bloc bazați pe diverse tipuri cifruri de substituție și permutare. Din păcate, aproape toți algoritmii folosiți în criptosistemele de flux sunt destinați utilizării în sistemele de comunicații militare și guvernamentale, precum și, în unele cazuri, pentru protejarea informațiilor comerciale, ceea ce le face în mod destul de natural secrete și inaccesibile pentru revizuire. Singurii algoritmi standard de criptare a fluxului sunt standardul american DES (modurile CFB și OFB) și standardul rusesc GOST 28147-89 (modul de joc). Cu toate acestea, algoritmii de criptare a fluxului utilizați în aceste standarde sunt clasificați.

Baza funcționării criptosistemelor de flux sunt generatoarele de secvențe aleatoare sau pseudoaleatoare. Să luăm în considerare această problemă mai detaliat.

Secvențe pseudo-aleatoare

Cheile secrete stau la baza transformărilor criptografice, pentru care, urmând regula lui Kerckhoff, puterea unui sistem de criptare bun este determinată doar de secretul cheii. Cu toate acestea, în practică, crearea, distribuirea și stocarea cheilor a fost rareori o sarcină complexă din punct de vedere tehnic, deși costisitoare. Problema principală a criptografiei clasice a fost mult timp dificultatea de a genera secvențe binare lungi imprevizibile folosind o cheie aleatorie scurtă. Pentru a rezolva această problemă, generatoarele de secvențe binare pseudoaleatoare sunt utilizate pe scară largă. Progrese semnificative în dezvoltarea și analiza acestor generatoare au fost realizate abia la începutul anilor șaizeci. Prin urmare, acest capitol discută regulile de obținere a cheilor și de generare, pe baza acestora, a secvențe lungi pseudoaleatoare utilizate de sistemele criptografice pentru a converti un mesaj în criptare.

Serii aleatoare sau pseudoaleatoare de numere obținute programatic dintr-o cheie se numesc gamma în jargonul criptografilor autohtoni, după numele y - literele alfabetului grecesc, care sunt folosite în notațiile matematice pentru a desemna variabile aleatoare. Este interesant de observat că în cartea „Străini pe un pod”, scrisă de avocatul ofițerului de informații Abel, este dat termenul gamma, pe care specialiștii CIA îl comentau despre „exercițiu muzical?”, adică în anii cincizeci nu îl cunoșteau. sensul ei. Obținerea și reproducerea implementărilor de serii aleatoare reale este periculoasă, dificilă și costisitoare. Modelarea fizică a aleatoriei folosind fenomene fizice precum radiatii radioactive, zgomotul de împușcare într-un tub vid sau defalcarea tunelului a unei diode zener semiconductoare nu produc procese adevărate aleatorii. Deși sunt cunoscute cazuri de utilizare cu succes a acestora în generarea cheilor, de exemplu, în dispozitivul criptografic rusesc KRYPTON. Prin urmare, în loc de procese fizice, se folosesc programe de calculator pentru a genera gamma, care, deși sunt numite generatoare de numere aleatorii, produc de fapt serii de numere deterministe care par doar aleatorii în proprietățile lor. Li se cere ca, cunoscând chiar legea de formare, dar neștiind cheia în formă conditiile initiale, nimeni nu putea distinge o serie de numere de una aleatoare, de parcă ar fi obținută prin aruncarea zarurilor perfecte. Putem formula trei cerințe principale pentru un generator criptografic sigur al unei secvențe pseudo-aleatoare sau gamma:

Perioada gamma trebuie să fie suficient de mare pentru a cripta mesajele de lungimi diferite.

Gamma ar trebui să fie dificil de prezis. Aceasta înseamnă că, dacă se cunosc tipul de generator și o bucată din gama, atunci este imposibil să se prezică următorul bit al gamma după această bucată cu o probabilitate mai mare decât x. Dacă un criptoanalist cunoaște vreo parte a gamei, tot nu va putea determina biții care o preced sau urmează.

Generarea unui interval nu ar trebui să fie asociată cu dificultăți tehnice și organizatorice majore.

Secvențele Fibonacci

Interesanta clasa Generatorii de numere aleatoare au fost propuși în mod repetat de mulți experți în aritmetică întregi, în special George Marsalia și Arif Zeiman. Generatoarele de acest tip se bazează pe utilizarea secvențelor Fibonacci. Un exemplu clasic al unei astfel de secvențe (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...). Cu excepția primilor doi termeni, fiecare termen ulterior este egal cu suma celor doi anteriori. Dacă luați doar ultima cifră a fiecărui număr din succesiune, veți obține o secvență de numere (0, 1, 1, 2, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4...) Dacă această secvență este folosită pentru a umple inițial o matrice mare, apoi, folosind această matrice, puteți crea un generator de numere aleatoare Fibonacci cu o întârziere, acolo unde nu sunt învecinate, dar sunt adăugate numere îndepărtate. Marsalia și Zeiman au propus introducerea unui „carry bit” în circuitul Fibonacci, care poate avea o valoare inițială de 0 sau 1. Generatorul de „carry addition” construit pe această bază dobândește proprietăți interesante, pe baza acestora, este posibil să se creeze secvențe a căror perioadă este mult mai mare decât cea a generatoarelor congruente utilizate în prezent. Conform expresiei figurative a lui Marsalia, generatoarele din această clasă pot fi considerate amplificatoare ale aleatoriei. „Luați o sămânță aleatoare care are câteva mii de biți lungime și generați secvențe lungi de numere aleatorii.” Cu toate acestea, o perioadă lungă în sine nu este o condiție suficientă. Punctele slabe ale scalelor pot fi dificil de detectat și necesită analist să folosească tehnici sofisticate de analiză a secvenței pentru a evidenția anumite modele care sunt ascunse într-o gamă largă de numere.

Concluzii

Seriile sunt utilizate pe scară largă în matematică și aplicațiile sale, în cercetarea teoretică și în soluțiile numerice aproximative ale problemelor. Multe numere pot fi scrise sub formă de serii speciale, cu ajutorul cărora este convenabil să se calculeze valorile lor aproximative cu precizia necesară. Metoda de extindere a seriei este metoda eficienta studierea funcţiilor. Este folosit pentru a calcula valori aproximative ale funcțiilor, pentru a calcula și evalua integrale, pentru a rezolva tot felul de ecuații (algebrice, diferențiale, integrale).

Referințe

1. Shilov G.E. Analiza matematică. Funcțiile unei variabile. Partea 1-2 - M.: Nauka, 1969

Maikov E.V. Analiza matematică. Seria de numere/E.V. Maikov. - 1999

.„Curs de analiză la Școala Politehnică Regală”

O. Cauchy (1821) (nr. 54 vol. III, p. 114-116, traducere de A.P. Yushkevich)

Istoria matematicii din cele mai vechi timpuri la începutul XIX secolul (editat de A.P. Yushkevich, volumul I)

Cititor despre istoria matematicii (partea a II-a) (editat de A.P. Yushkevich)

Matematică superioară: Curs general: Manual. - ed. a II-a, / A.I. Yablonsky, A.V. Kuznetsov, E.I. Shilkina și alții; Sub general ed. S.A. Samal. - Mn.: Mai sus. şcoală, 2000. - 351 p.

Markov L.N., Razmyslovich G.P. Matematică superioară. Partea 2. Fundamente ale analizei matematice și elemente ale ecuațiilor diferențiale. - Mn.: Amalthea, 2003. - 352 p.

8. Makarov V.P. Întrebări de geologie teoretică. 7. Elemente de teoria structurilor. / Probleme contemporaneși modalități de rezolvare a acestora în știință, transport, producție și educație 2007. Odesa, Chernomorye, 2007. T.19. pp. 27 - 40.

9. Polovinkina Yu Ir. Structuri de rocă. Partea 1: Roci magmatice; Partea 2: Roci sedimentare; Partea 3: Roci metamorfice. - M.: Gosgeolizdat, 1948.

10.http://shaping.ru/mku/butusov.asp

Http://www.abc-people.com/idea/zolotsech/gr-txt.htm

Complex educațional și metodologic disciplina „Matematică”. Secțiunea 10 „Rânduri”. Fundamente teoretice. Orientări pentru elevi. Materiale pentru munca independenta elevilor. - Ufa: Editura USNTU, 2007. - 113 p.

13.http://cryptolog.ru/? Psevdosluchainye_posledovatelmznosti

14. Galuev G.A. Bazele matematice ale criptologiei: Manual educațional și metodologic. Taganrog: Editura TRTU 2003.-120 p.

Îndrumare

Ai nevoie de ajutor pentru a studia un subiect?

Specialiștii noștri vă vor consilia sau vă vor oferi servicii de îndrumare pe teme care vă interesează.
Trimiteți cererea dvs indicând subiectul chiar acum pentru a afla despre posibilitatea de a obține o consultație.

1. Concepte de bază. Să ni se dea o succesiune infinită de numere

Definiţie. Expresie

unde este termenul comun al seriei.

Exemplul 7.1

Să luăm în considerare serialul. Iată termenul comun al seriei.

Să considerăm sumele formate dintr-un număr finit de termeni ai seriei (7.1): , , , ..., , . . . Se numesc astfel de sume sume parțiale rând. se numește suma parțială a seriei. Astfel, o sumă parțială este suma (un număr finit de) termeni:

.

(7.3)

Urmărire , , , ..., , ... sau .se numește șir de sume parțiale ale seriei (7.1).

Definiţie. Dacă există o limită finită , atunci se numește seria (1.1). convergent, iar numărul este suma acestei serii. În acest caz ei scriu

Dacă succesiunea nu are limită, atunci se numește seria (7.1). divergente. O serie divergentă nu are sumă.

Exemplul 7.2

Soluţie

Termenul general al seriei poate fi reprezentat ca

, (n= 1, 2, 3, . . .).

Prin urmare, această serie converge și suma ei este 1.

Exemplul 7.3(progresie geometrică)

Să considerăm o succesiune, a cărei fiecare termen, începând cu al doilea, se obține prin înmulțirea termenului anterior cu același număr:

Uneori seria (7.5) în sine este numită progresie geometrică.

Suma parțială a seriei (7.5) este suma termenilor progresiei geometrice și

calculate prin formula

.

(7.6)

Dacă, atunci. În consecință, când seria (7.5) converge. Dacă, atunci. În consecință, atunci când seria (7.5) diverge. Dacă , atunci (7.5) se transformă în seria 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... . Pentru un astfel de serial și

În consecință, atunci când seria (7.5) diverge.

Când luăm în considerare seriale, problema convergenței (divergenței) este importantă. Pentru a aborda această problemă, exemplele 7.1 și 7.2 au folosit definiția convergenței. Mai des, anumite proprietăți ale seriei sunt folosite pentru aceasta, care sunt numite semne de convergență a seriei.

Teorema 7.1(un semn necesar de convergență). Dacă seria (7.1) converge, atunci termenul său comun tinde spre zero cu o creștere nelimitată în , i.e.

Seria (7.8) se numește armonic aproape.

Pentru acest rând. Cu toate acestea, nu se poate face încă o concluzie despre convergența seriei (7.8), deoarece afirmația inversă teoremei 7.1 nu este adevărată.

Să arătăm că seria (7.8) diverge. Acest lucru poate fi stabilit prin raționament contradictoriu. Să presupunem că seria (7.8) converge și suma ei este egală cu S.Atunci = –

– , ceea ce contrazice inegalitatea

În consecință, seria armonică diverge.

Caracteristica necesară poate fi folosită pentru a stabili faptul divergenței unei serii. Într-adevăr, din teorema 7.1 rezultă că dacă termenul comun al seriei nu tinde spre zero, atunci seria diverge.

Exemplul 7.5

Să luăm în considerare serialul.

Aici , . Limita nu este egală cu zero, prin urmare seria diverge.

Astfel, dacă condiția (7.7) este îndeplinită, întrebarea convergenței seriei (7.1) rămâne deschisă. Seria poate diverge sau poate converge. Pentru a rezolva această problemă, pot

trebuie folosite proprietăţile seriei din care rezultă convergenţa acestei serii. Astfel de proprietăți sunt numite semne suficiente de convergenţă rânduri.

Serii cu termeni pozitivi. Luați în considerare semne suficiente de convergenţă a seriilor cu termeni pozitivi.

Teorema 7.2.(semnul lui D'Alembert).

sunt pozitive:

1) dacă , seria (7.1) converge;

2) dacă , seria (7.1) converge;

Nota. Seria (7.1) va diverge și în cazul în care , de atunci, pornind de la un anumit număr N, va fi și, prin urmare, nu tinde spre zero la .

Exemplul 7.6

Examinați seria pentru convergență.

Soluţie. . atunci =

Limita găsită este mai mică decât unitatea. Prin urmare, această serie converge.

Exemplul 7.7

Examinați seria pentru convergență.

Soluţie. . atunci =

= = = = = = = .

Limita găsită este mai mare decât unitatea. Prin urmare, această serie diverge.

Teorema 7.3.(semnul Radical Cauchy).

Să fie dată o serie (7.1) a cărei toți termeni sunt pozitive:

și există o limită

,

(7.11)

(unde este desemnarea limitei găsite). Apoi:

1) dacă , seria (7.1) converge;

2) dacă , seria (7.1) converge;

3) dacă , criteriul luat în considerare nu răspunde la întrebarea despre convergența seriei.

O dovadă a semnului poate fi găsită în .

Exemplul 7.8

Examinați seria pentru convergență.

Soluţie.

Să găsim limita (7.11):

Limita găsită este mai mare decât unitatea. În consecință, această serie diverge (Teorema 7.3).

Serii armonice generalizate.Serii armonice generalizate se numește o serie a formei

Teorema 7.3. (teorema lui Leibniz). Dacă pentru o serie(7.13) sunt îndeplinite două condiții:

1) termenii seriei scad monoton în valoare absolută:

2)termenul comun al seriei tinde spre zero:

apoi o serie(7.13) converge.

O dovadă a semnului poate fi găsită, de exemplu, în.

Exemplul 7.9.

Luați în considerare semnul seriei alternative

(7.14)

Pentru această serie sunt îndeplinite condițiile teoremei (7.13):

În consecință, seria (7.12) converge.

Corolarul teoremei 7.3. Restul seriei alternante (7.13), care îndeplinește condițiile teoremei lui Leibniz, are semnul primului său termen și este mai mic decât acesta în valoare absolută.

Exemplul 7.10. Calculați suma unei serii convergente cu o precizie de 0,1

Ca valoare aproximativă a sumei seriei, trebuie să luăm suma parțială pentru care . Potrivit anchetei, . Prin urmare, este suficient să puneți , adică atunci

Prin urmare, cu o precizie de 0,1.

Convergența absolută și condiționată. Luați în considerare o serie ai cărei termeni au semne arbitrare

Rețineți că seria (7.16) este o serie cu termeni pozitivi și i se aplică teoremele corespunzătoare date mai sus.

Teorema 7.4(Un semn de convergență absolută). Dacă seria (7.16) converge, atunci și seria (7.15) converge.

(Demonstrația teoremei poate fi găsită, de exemplu, în).

Definiţie.

Dacă seria (7.16) converge, atunci seria corespunzătoare (7.15) se numește absolut convergentă absolut descendentă Xia.

Se poate dovedi că seria (7.16) diverge, dar seria (7.15) converge. În acest caz, se numește seria (7.15). convergent condiționat.

Rețineți că seria alternativă (7.13) este un caz special al unei serii ai cărei termeni au semne arbitrare. Prin urmare, pentru a studia o serie alternativă, putem aplica și Teorema 7.5.

Exemplul 7.11

Soluţie

Să considerăm o serie alcătuită din valorile absolute ale membrilor unei serii date. Această serie converge, întrucât este o serie armonică generalizată (7.12) cu valoarea Prin urmare, conform criteriului de convergență absolută (Teorema 7.5), seria inițială converge absolut.

Exemplul 7.12

Seria este examinată pentru convergență.

Soluţie

conform teoremei lui Leibniz, converge, dar seria compusă din valorile absolute ale termenilor seriei originale diverge (aceasta este o serie armonică). În consecință, seria originală converge condiționat.