Care este derivata lui e Erorile tipice la calcularea derivatei

Cum să găsesc derivatul, cum să iau derivatul? Pe această lecție vom învăța să găsim derivate ale funcțiilor. Dar înainte de a studia această pagină, vă recomand cu tărie să vă familiarizați cu materialul metodologicFormule fierbinți curs şcolar matematicienii. Manualul de referință poate fi deschis sau descărcat de pe pagină Formule și tabele matematice . Tot de acolo vom avea nevoieTabelul derivatelor, este mai bine să-l tipăriți, va trebui adesea să vă referiți la el, nu numai acum, ci și offline.

Mânca? Să începem. Am două vești pentru tine: bună și foarte bună. Vestea bună este aceasta: pentru a învăța cum să găsești derivate, nu trebuie să știi sau să înțelegi ce este un derivat. Mai mult decât atât, este mai potrivit să digerăm mai târziu definiția derivatei unei funcții, semnificația matematică, fizică, geometrică a derivatei, deoarece un studiu de înaltă calitate al teoriei, în opinia mea, necesită studiul unui număr de alte subiecte, precum și ceva experiență practică.

Și acum sarcina noastră este să stăpânim aceste derivate din punct de vedere tehnic. Vestea foarte bună este că a învăța să luați derivate nu este atât de dificil, există un algoritm destul de clar pentru rezolvarea (și explicarea) acestei sarcini, de exemplu, mai greu de stăpânit;

Vă sfătuiesc să studiați subiectul în următoarea ordine: mai întâi, Acest articol. Atunci trebuie să citești cea mai importantă lecție Derivat functie complexa. Aceste două clase de bază îți vor lua abilitățile de la zero. În continuare, vă puteți familiariza cu derivate mai complexe în articol Derivate complexe.

Derivată logaritmică. Dacă bara este prea sus, citește mai întâi chestia Protozoare sarcini tipice cu derivat. Pe lângă noul material, lecția acoperă alte tipuri de derivate mai simple și este o oportunitate excelentă de a vă îmbunătăți tehnica de diferențiere. În plus, în teste Aproape întotdeauna există sarcini pentru găsirea derivatelor de funcții care sunt specificate implicit sau parametric. Există și o astfel de lecție: Derivate ale funcţiilor implicite şi definite parametric.

Voi încerca într-o formă accesibilă, pas cu pas, să vă învăț cum să găsiți derivate ale funcțiilor. Toate informațiile sunt prezentate în detaliu, în cuvinte simple.

De fapt, să ne uităm imediat la un exemplu: Exemplul 1

Aflați derivata funcției Soluție:

Acest cel mai simplu exemplu, vă rugăm să-l găsiți în tabelul cu derivate functii elementare. Acum să ne uităm la soluție și să analizăm ce s-a întâmplat? Și s-a întâmplat următorul lucru:

am avut o funcție care, ca urmare a soluției, s-a transformat în funcție.

Pentru a spune simplu, pentru a găsi derivata

funcție, trebuie să o transformați într-o altă funcție conform anumitor reguli . Privește din nou tabelul derivatelor - acolo funcțiile se transformă în alte funcții. Singurul

excepţia este funcţia exponenţială, care

se transformă în sine. Operația de găsire a derivatei se numeștediferenţiere.

Notație: Derivatul este notat cu sau.

ATENȚIE, IMPORTANT! A uita să pui o lovitură (acolo unde este necesar), sau să desenezi o lovitură în plus (unde nu este necesar) este o GREȘELĂ GRAVE! O funcție și derivata ei sunt două funcții diferite!

Să revenim la tabelul nostru de derivate. Din acest tabel este de dorit memora: reguli de diferențiere și derivate ale unor funcții elementare, în special:

derivata constantei:

Unde este un număr constant; derivat functie de putere:

În special: , , .

De ce să-ți amintești? Aceste cunoștințe sunt cunoștințe de bază despre derivate. Și dacă nu poți răspunde la întrebarea profesorului „Care este derivata unui număr?”, atunci studiile tale la universitate se pot încheia pentru tine (eu personal știu două cazuri reale din viață). În plus, acestea sunt cele mai comune formule pe care trebuie să le folosim aproape de fiecare dată când întâlnim derivate.

ÎN În realitate, exemplele tabelare simple sunt rare, de obicei, atunci când se găsesc derivate, se folosesc mai întâi reguli de diferențiere și apoi un tabel de derivate ale funcțiilor elementare;

ÎN de această legătură trecem să luăm în considerarereguli de diferențiere:

1) Un număr constant poate (și ar trebui) să fie scos din semnul derivat

Unde este un număr constant (constant) Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții

Să ne uităm la tabelul derivatelor. Derivata cosinusului este acolo, dar avem .

Este timpul să folosim regula, scoatem factorul constant din semnul derivatei:

Acum convertim cosinusul nostru conform tabelului:

Ei bine, este recomandabil să „pieptănați” puțin rezultatul - puneți semnul minus pe primul loc, scăpând în același timp de paranteze:

2) Derivata sumei este egala cu suma derivatelor

Aflați derivata unei funcții

Să decidem. După cum probabil ați observat deja, primul pas care este întotdeauna efectuat atunci când găsiți o derivată este acela de a include întreaga expresie în paranteze și de a pune un prim în dreapta sus:

Să aplicăm a doua regulă:

Vă rugăm să rețineți că pentru diferențiere, toate rădăcinile și puterile trebuie să fie reprezentate sub forma , iar dacă sunt la numitor, atunci

mută-le în sus. Cum să fac acest lucru este discutat în materialele mele didactice.

Acum să ne amintim prima regulă de diferențiere - luăm factorii (numerele) constanți în afara semnului derivatei:

De obicei, în timpul rezolvării, aceste două reguli sunt aplicate simultan (pentru a nu rescrie din nou o expresie lungă).

Toate funcțiile situate sub liniile sunt funcții elementare de tabel folosind tabelul, efectuăm transformarea:

Puteți lăsa totul așa cum este, deoarece nu mai sunt lovituri, iar derivatul a fost găsit. Cu toate acestea, expresii ca aceasta simplifică de obicei:

Este recomandabil să reprezentați din nou toate puterile formei sub formă de rădăcini,

puteri cu exponenți negativi – aruncați la numitor. Deși nu trebuie să faci asta, nu va fi o greșeală.

Aflați derivata unei funcții

Încercați să rezolvați singur acest exemplu (răspundeți la sfârșitul lecției).

3) Derivată a produsului de funcții

Se pare că analogia sugerează formula ...., dar surpriza este că:

Aceasta este o regulă neobișnuită(ca, de fapt, altele) rezultă din definiții derivate. Dar vom renunța la teorie pentru moment - acum este mai important să învățăm cum să rezolvăm:

Aflați derivata unei funcții

Aici avem produsul a două funcții în funcție de . Mai întâi aplicăm regula noastră ciudată și apoi transformăm funcțiile folosind tabelul de derivate:

Dificil? Deloc, destul de accesibil chiar și pentru un ceainic.

Aflați derivata unei funcții

Această funcție conține suma și produsul a două funcții - trinom pătratic și logaritm. De la școală ne amintim că înmulțirea și împărțirea au prioritate față de adunarea și scăderea.

La fel este și aici. ÎNTÂI folosim regula de diferențiere a produsului:

Acum, pentru paranteză, folosim primele două reguli:

Ca urmare a aplicării regulilor de diferențiere sub stroke, ne rămân doar funcții elementare folosind tabelul de derivate le transformăm în alte funcții:

Cu o oarecare experiență în găsirea de derivate, derivatele simple nu par să fie nevoie să fie descrise atât de detaliat. În general, acestea sunt de obicei decise oral și se notează imediat asta .

Aflați derivata unei funcții Acesta este un exemplu pentru decizie independentă(răspuns la sfârșitul lecției)

4) Derivată de funcții de coeficient

S-a deschis o trapă în tavan, nu vă alarmați, este o eroare. Dar aceasta este realitatea dură:

Aflați derivata unei funcții

Ce lipsește aici - suma, diferența, produsul, fracția... De unde să încep?! Există îndoieli, nu există îndoieli, dar, ÎN ORICE CAZ, mai întâi tragem paranteze și punem o lovitură în dreapta sus:

Acum ne uităm la expresia dintre paranteze, cum o putem simplifica? În acest caz, observăm un multiplicator, care, conform primei reguli, este recomandabil să scoateți semnul derivatului:

În același timp, scăpăm de parantezele din numărător, care nu mai sunt necesare. În general, factori constanți la găsirea derivatei

Poate că nu trebuie să le îndurați, dar în acest caz ele „vă vor ajunge sub picioare”, ceea ce aglomera și complică soluția.

Să ne uităm la expresia dintre paranteze. Avem adunare, scădere și împărțire. De la școală ne amintim că împărțirea se face prima. Și aici - mai întâi aplicăm regula de diferențiere a coeficientilor:

Astfel, teribilul nostru derivat a fost redus la derivate de doi expresii simple. Aplicam prima si a doua reguli, aici o vom face pe cale orala, sper ca v-ati familiarizat deja putin cu derivatele:

Nu mai sunt lovituri, sarcina este finalizată.

În practică, răspunsul este de obicei (dar nu întotdeauna) simplificat folosind metode „școală”:

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (răspunsul la sfârșitul lecției). Din când în când există puzzle-uri dificile:

Aflați derivata unei funcții

Să ne uităm la această funcție. Iată din nou o fracțiune. Cu toate acestea, înainte de a utiliza regula pentru diferențierea coeficientilor (și poate fi folosită), este întotdeauna logic să vedem dacă este posibil să simplificați fracția în sine sau să scăpați de ea?

Ideea este că formula Este destul de greoaie și nu vreau să-l folosesc deloc.

În acest caz, puteți împărți numărătorul la numitor termen cu termen. Să transformăm funcția:

Ei bine, aceasta este o chestiune complet diferită, acum diferențierea este simplă și plăcută:

Aflați derivata unei funcții

Aici situația este similară, să ne transformăm fracția într-un produs, pentru a face acest lucru ridicăm exponentul la numărător, schimbând semnul exponentului:

Este încă mai ușor să diferențiezi produsul:

Găsiți derivata unei funcții Acesta este un exemplu pentru a o rezolva singur (răspuns la sfârșitul lecției).

5) Derivată a unei funcții complexe

Această regulă apare, de asemenea, foarte des. Dar puteți spune multe despre asta, așa că am creat o lecție separată pe tema Derivată a unei funcții complexe.

iti doresc succes!

Exemplul 4: . În timpul deciziei

În acest exemplu, ar trebui să acordați atenție faptului că și sunt numere constante, nu contează cu ce sunt egale, este important ca acestea să fie constante. Prin urmare, este scos din semnul derivat și .

Exemplul 7:

Exemplul 9:

Data: 05/10/2015

Cum să găsesc derivatul?

Reguli de diferențiere.

Pentru a găsi derivata oricărei funcții, trebuie să stăpânești doar trei concepte:

2. Reguli de diferențiere.

3. Derivata unei functii complexe.

Exact în acea ordine. Acesta este un indiciu.)

Desigur, ar fi bine să aveți o idee despre derivate în general). Ce este un derivat și cum se lucrează cu tabelul derivatelor este explicat clar în lecția anterioară. Aici ne vom ocupa de regulile de diferențiere.

Diferențierea este operația de găsire a derivatei. Nu se ascunde nimic mai mult în spatele acestui termen. Aceste. expresii „găsește derivata unei funcții”Şi „diferențierea unei funcții”- este acelasi lucru.

Expresie „reguli de diferențiere” se referă la găsirea derivatei din operatii aritmetice. Această înțelegere ajută foarte mult la evitarea confuziei în capul tău.

Să ne concentrăm și să ne amintim toate, toate, toate operațiile aritmetice. Sunt patru). Adunare (suma), scădere (diferență), înmulțire (produs) și împărțire (cot). Iată-le, regulile de diferențiere:

Placa arată cinci reguli asupra patru operatii aritmetice. Nu am fost preschimbat.) Doar că regula 4 este o consecință elementară a regulii 3. Dar este atât de populară încât are sens să o scrii (și să reții!) ca o formulă independentă.

Sub denumirile UŞi V unele (absolut orice!) funcții sunt implicate U(x)Şi V(x).

Să ne uităm la câteva exemple. În primul rând - cele mai simple.

Aflați derivata funcției y=sinx - x 2

Aici avem diferenţă două funcţii elementare. Aplicam regula 2. Vom presupune ca sinx este o functie U, iar x 2 este funcția V. Avem fiecare drept scrie:

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"

Este mai bine, nu?) Tot ce rămâne este să găsiți derivatele sinusului și pătratului lui x. Există un tabel de derivate în acest scop. Căutăm doar funcțiile de care avem nevoie în tabel ( sinxŞi x 2), uită-te la ce derivate au și notează răspunsul:

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

Asta este. Regula 1 a diferențierii sumelor funcționează exact la fel.

Dacă avem mai mulți termeni? Nu e mare lucru.) Împărțim funcția în termeni și căutăm derivata fiecărui termen independent de ceilalți. De exemplu:

Aflați derivata funcției y=sinx - x 2 +cosx - x +3

Scriem cu curaj:

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

La sfârșitul lecției voi oferi sfaturi pentru a face viața mai ușoară atunci când diferențiez.)

Sfaturi practice:

1. Înainte de diferențiere, vedeți dacă este posibil să simplificați funcția inițială.

2. În exemple complicate, descriem soluția în detaliu, cu toate parantezele și liniuțele.

3. La diferențierea fracțiilor cu un număr constant la numitor, transformăm împărțirea în înmulțire și folosim regula 4.

Procesul de găsire a derivatei unei funcții se numește diferenţiere. Derivatul trebuie găsit într-o serie de probleme din curs analiză matematică. De exemplu, atunci când găsiți puncte extreme și puncte de inflexiune ale unui grafic al funcției.

Cum să găsești?

Pentru a găsi derivata unei funcții trebuie să cunoașteți tabelul derivatelor funcțiilor elementare și să aplicați regulile de bază de diferențiere:

1. Mutarea constantei dincolo de semnul derivatei: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Derivată a sumei/diferenței funcțiilor: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. Derivată a produsului a două funcții: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Derivată a unei fracții: $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv"))(v^2) $$
5. Derivată a unei funcții complexe: $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Exemple de soluții

Exemplul 1

Aflați derivata funcției $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $

Soluţie

Derivata sumei/diferenței de funcții este egală cu suma/diferenței derivatelor: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ Folosind regula pentru derivata unei funcții de putere $ (x^p)" = px^(p-1) $ avem: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ S-a mai ținut cont de faptul că derivata unei constante este egală cu zero. Dacă nu vă puteți rezolva problema, trimiteți-ne-o. Vom asigura solutie detaliata. Veți putea vizualiza progresul calculului și veți obține informații. Acest lucru vă va ajuta să obțineți nota de la profesorul dvs. în timp util!

Răspuns

$$y" = 3x^2 - 4x + 7 $$

Rezolvarea problemelor fizice sau a exemplelor de matematică este complet imposibilă fără cunoașterea derivatei și a metodelor de calcul. Derivata este unul dintre cele mai importante concepte în analiza matematică. Am decis să dedicăm articolul de astăzi acestui subiect fundamental. Ce este o derivată, care este semnificația sa fizică și geometrică, cum se calculează derivata unei funcții? Toate aceste întrebări pot fi combinate într-una singură: cum să înțelegeți derivatul?

Sensul geometric și fizic al derivatului

Să existe o funcție f(x) , specificat într-un anumit interval (a, b) . Punctele x și x0 aparțin acestui interval. Când x se schimbă, funcția în sine se schimbă. Schimbarea argumentului - diferența de valori x-x0 . Această diferență este scrisă ca delta x și se numește increment de argument. O modificare sau o creștere a unei funcții este diferența dintre valorile unei funcții în două puncte. Definiția derivatului:

Derivata unei funcții într-un punct este limita raportului dintre incrementul funcției la un punct dat și incrementul argumentului atunci când acesta din urmă tinde spre zero.

Altfel se poate scrie asa:

Ce rost are să găsești o astfel de limită? Și iată ce este:

derivata unei funcții într-un punct este egală cu tangentei unghiului dintre axa OX și tangentei la graficul funcției într-un punct dat.

Sensul fizic al derivatului: derivata traseului în raport cu timpul este egală cu viteza mișcării rectilinie.

Într-adevăr, încă din timpul școlii, toată lumea știe că viteza este o cale anume x=f(t) si timp t . Viteza medie pentru o anumită perioadă de timp:

Pentru a afla viteza de mișcare la un moment dat t0 trebuie să calculați limita:

Prima regulă: setați o constantă

Constanta poate fi scoasă din semnul derivatului. Mai mult, acest lucru trebuie făcut. Când rezolvați exemple la matematică, luați-o ca regulă - Dacă puteți simplifica o expresie, asigurați-vă că o simplificați .

Exemplu. Să calculăm derivata:

Regula a doua: derivata sumei functiilor

Derivata sumei a doua functii este egala cu suma derivatelor acestor functii. Același lucru este valabil și pentru derivata diferenței de funcții.

Nu vom oferi o dovadă a acestei teoreme, ci mai degrabă luăm în considerare un exemplu practic.

Aflați derivata funcției:

Regula trei: derivată a produsului funcțiilor

Derivata produsului a doua functii diferentiabile se calculeaza prin formula:

Exemplu: găsiți derivata unei funcții:

Soluţie:

Este important să vorbim aici despre calcularea derivatelor funcțiilor complexe. Derivata unei functii complexe este egala cu produsul derivatei acestei functii fata de argumentul intermediar si derivata argumentului intermediar fata de variabila independenta.

În exemplul de mai sus întâlnim expresia:

În acest caz, argumentul intermediar este de 8x față de a cincea putere. Pentru a calcula derivata unei astfel de expresii, mai întâi calculăm derivata funcției externe în raport cu argumentul intermediar și apoi înmulțim cu derivata argumentului intermediar în sine față de variabila independentă.

Regula a patra: derivată a câtului a două funcții

Formula pentru determinarea derivatei coeficientului a două funcții:

Am încercat să vorbim despre derivate pentru manechine de la zero. Acest subiect nu este atât de simplu pe cât pare, așa că fiți atenți: există adesea capcane în exemple, așa că aveți grijă când calculați derivatele.

Cu orice întrebări pe acest subiect și pe alte subiecte, puteți contacta serviciul studenți. În scurt timp, vă vom ajuta să rezolvați cel mai dificil test și să înțelegeți sarcinile, chiar dacă nu ați mai făcut niciodată calcule derivate.