Butozov, Kadomtsev, Poznyak: Planimetrie. Un manual pentru studiul aprofundat al matematicii
M.: Fizmatlit, 2005. - 488 p.
Acest manual oferă o prezentare sistematică a unui curs aprofundat de planimetrie. Împreună cu informațiile geometrice de bază incluse în standard programa școlarăîn geometrie, conține o mulțime de material suplimentar care extinde și aprofundează informațiile de bază. Stilul de prezentare adoptat în manual diferă net de cel tradițional: teoremă – demonstrație. Într-o serie de cazuri, autorii nu formulează teoreme și axiome în prealabil, ci își caută formulările împreună cu cititorul. Această abordare se explică prin dorința autorilor de a da o idee despre cum este construită matematica și cum lucrează matematicienii.
Cartea acordă o atenție considerabilă geometriei Lobachevsky, curbelor de lățime constantă, problemelor izoperimetrice și demonstrează o serie intreaga teoreme remarcabile de planimetrie.
Manualul se adresează studenților care au un interes crescut pentru matematică, precum și tuturor celor care sunt atrași de frumusețea geometriei. Poate fi folosit în clasele cu studiul aprofundat al matematicii, în activitatea cluburilor de matematică și a cursurilor opționale și poate servi drept manual principal în școlile specializate în fizică și matematică.
Format: pdf
Dimensiune: 7,7 MB
Urmăriți, descărcați: drive.google
Prefață 3
Capitolul 1. Informații geometrice de bază 6
§ 1. Puncte, drepte, segmente 6
1. Punct ( 6).
2. Linie dreaptă (b). 3. Grinda și segmentul (9). 4. Mai multe sarcini A0).
5. Colț A3). b. Semiplan A4).
§2. Măsurarea segmentelor și unghiurilor 17
7. Egalitatea figurilor geometrice A7).
8. Comparaţia segmentelor şi unghiurilor A7). 9. Punctul de mijloc al segmentului și bisectoarea unghiului A8). 10. Măsurarea segmentelor și unghiurilor A9). 11. Despre numerele B0).
§3. Drepte perpendiculare și paralele 25
12. Drepte perpendiculare B5). 13. Semne de paralelism a două drepte B8). 14. Metode practice de construire a dreptelor paralele C1). 15. Există un pătrat? C2). 16. Observații finale C4). Capitolul 2. Triunghiuri 37§ 1. Triunghiuri și tipurile lor 37
17. Triunghiul C7). 18.
Colț exterior
triunghiul C8).
19. Clasificarea triunghiurilor C9). 20. Mediane, bisectoare și altitudini ale triunghiului D0). triunghi isoscel D4).
§3. Relațiile dintre laturile și unghiurile unui triunghi 46
24. Teoremă privind relațiile dintre laturile și unghiurile unui triunghi D6). 25. Teoreme inverse D7). 26. Inegalitatea triunghiului D9).
§4. Teste pentru echivalența triunghiurilor 52
27. Trei semne de egalitate ale triunghiurilor E2). 28. Există și alte semne că triunghiurile sunt egale? E6). 29. Teste pentru egalitatea triunghiurilor folosind mediane, bisectoare și altitudini F1).
§5. Teste pentru egalitatea triunghiurilor dreptunghiulare 68
30. Cinci semne de egalitate triunghiuri dreptunghiulare F8).
31. Bisectoare perpendiculară pe un segment. Simetria axială G2).
32. Distanţa de la un punct la o dreaptă G5).
33. Proprietatea bisectoarei unghiului G5). 34. Teorema privind intersectia bisectoarelor triunghiului G7).
§6. Probleme de construcție 79
35. Cercul. Simetria centrală G9). 36. Poziția relativă a unei drepte și a unui cerc (81). 37. Cerc înscris într-un triunghi (84). 38. Poziția relativă a două cercuri (85). 39. Construcția unui triunghi folosind trei laturi (88).
40. Sarcini de bază pentru construirea (91).
41. Încă câteva probleme la construirea unui triunghi (94).
Capitolul 3. Liniile paralele 101
§ 1. Axioma dreptelor paralele 101
42. Axiome A01). 43. Concepte de bază A02). 44. Sistem de axiome de planimetrie 45. Două corolare din axiomele A08).
46. Despre teoremele A09). 48. Axioma dreptelor paralele A14).
49. Despre al cincilea postulat al lui Euclid A16). 50. Încă o dată despre existența pătratului A17).
§2. Proprietățile dreptelor paralele 119
51. Distanţa dintre liniile paralele A19). 52. O altă modalitate de a construi drepte paralele A20). 53. Probleme de construcție A21).
Capitolul 4: Mai multe despre triunghiuri 127
§1. Suma unghiurilor unui triunghi. Linia de mijloc a triunghiului 127
54. Problemă de tăiere triunghiulară A27). 55. Suma unghiurilor triunghiului A29). 56. Linia mediană a triunghiului A34). 57. Teorema lui Thales A34). 58. Fapt neașteptat A36).
§2. Patru puncte minunate ale triunghiului 139
59. Teorema privind intersectia bisectoarelor perpendiculare la laturile unui triunghi A39). 60. Cerc circumscris triunghiului A41). 61. Teorema privind intersectia altitudinilor unui triunghi A42). 62. Reflecţii asupra punctului de intersecţie a medianelor unui triunghi A43). 63. Teoremă privind intersecția medianelor unui triunghi A45).
64. Polilinie A50). 65. Poligonul A52). 66. Poligon convex A58). 67. Linie convexă A61). 68. Linie închisă A62). 69. Linie convexă închisă A63). 70. Poligonul înscris A64). 71. Poligon circumscris A66).
§2. Patrulatere 168
72. Proprietatea diagonalelor unui patrulater convex A68).
73. Proprietatea caracteristică a figurii A70). 74. Paralelogram A70). 75. Teoremele lui Varignon şi Gauss A72).
76. Dreptunghi, romb și pătrat A73). 77. Trapez A76).
Capitolul 6. Zona 180
§ 1. Poligoane egale 180
78. Probleme la tăierea poligoanelor A80). 79. poligoane compuse A83). 80. Tăierea unui pătrat în pătrate inegale A85).
§2. Conceptul de zonă 188
81. Măsurarea ariei unui poligon A88). 82. Aria unei figuri arbitrare A93).
84. §3. Aria triunghiului 197 Aria unui dreptunghi
, paralelogram și triunghi A97). 85. Poligoane cu arii egale A98). 86. Metoda lui Euclid B00). 87. Două teoreme privind raportul ariilor triunghiurilor B01). 88. Două teoreme asupra bisectoarelor unui triunghi B03). 89. Test pentru egalitatea triunghiurilor bazat pe două laturi și o bisectoare trasă dintr-un vârf B04).
§4. Formula lui Heron și aplicațiile sale 210
90. Formula lui Heron B10). 91. Teorema mediană B11). 92. Formula pentru bisectoarea unui triunghi B12).
§5. Teorema lui Pitagora 213
93. Teorema lui Pitagora generalizată B13).
94. Problema tăierii pătratelor B15).
Capitolul 7. Triunghiuri similare 219 § 1. Teste pentru asemănarea triunghiurilor 219 95. Asemănarea și egalitatea triunghiurilor B19). 96. Alte semne de asemănare ale triunghiurilor B22). 97.
Funcții trigonometrice
B24).
§2. Aplicarea similarității la demonstrarea teoremelor și la rezolvarea problemelor. . 230
98. Teorema generalizată a lui Thales B30). 99. Corolar la teorema generalizată a lui Thales B32). 100. Teoremă asupra segmentelor proporţionale dintr-un triunghi B35). 101. Teorema lui Ceva B37).
102. Teorema lui Menelaus B41).
§3. Probleme de construcție 245
103. Media geometrică B45). 104. Media aritmetică, medie armonică și medie pătratică pentru două segmente B46). 105. Metoda similitudinii B47).
§4. Despre punctele remarcabile ale triunghiului 255
106. Pe altitudinile triunghiului B55). 107. Pe bisectoarele triunghiului B57). 108. Încă două puncte conectate la triunghiul B58).
Capitolul 8. Cercul 260
§ 1. Proprietăţile unui cerc 260
112. Unghiuri înscrise B68). 113. Unghiuri dintre coarde şi secante B71). 114. Unghiul dintre tangenta si coarda B72). 115. Teoremă asupra pătratului tangentei B73). 116. Teorema lui Pascal B75).
117. Excercurile triunghiului B76).
Capitolul 9. Vectori 285
§ 1. Adunare vectorială 285
118. Vectori codirecţionali B85). 119. Egalitatea vectorilor B88). 120. Suma vectorilor B89).
§2. Înmulțirea unui vector cu numărul 292
121. Produsul unui vector și al unui număr B92).
122. Mai multe probleme B94).
Capitolul 10. Metoda coordonatelor 298
§ 1. Coordonatele punctelor si vectorilor 298
123. Axa de coordonate B98). 124. Sistemul de coordonate dreptunghiular B99). 125. Coordonatele vectorului C00).
126. Lungimea unui vector și distanța dintre două puncte C02). 127. Teorema lui Stewart C02).
§2. Ecuațiile unei drepte și ale unui cerc 304
128. Vectori perpendiculari C04). 129. Ecuația dreptei C05). 130. Ecuația unui cerc C06).
§3. Axa radicală și centrul radical al cercurilor 309
131. Axa radicală a două cercuri C09). 132. Localizarea axei radicalilor în raport cu cercurile C11). 133. Centru radical a trei cercuri C13). 134. Teorema lui Brianchon C15).
§4. Cvadruple armonice ale punctelor 317
135. Exemple de cvadruple armonice C17). 136. Polar C20).
137. Cvadruplu C21). 138. Construirea unei tangente folosind o riglă C22).
Capitolul 11. Relații trigonometrice într-un triunghi. Produsul punctual al vectorilor 324
§1. Relațiile dintre laturile și unghiurile unui triunghi 324
139. Sinus şi cosinus al unghiului dublu C24).
140. Funcţii trigonometrice ale unghiurilor arbitrare C25). 141. Formule de reducere C25). 142. O altă formulă pentru aria unui triunghi C26).
143. Teorema sinusurilor C27). 144. Teorema cosinusului C28).
§2. Utilizarea formulelor trigonometrice în rezolvarea problemelor geometrice 331 145. Sinusul şi cosinusul sumei şi diferenţei unghiurilor C31). 146. Teorema lui Morley C33). 147. Zona patrulaterului C35). 148. Arii de patrulatere înscrise și circumscrise C37).§3. Produsul punctual al vectorilor 339
149. Unghiul dintre vectori C39). 150. Definiție și proprietăți
produs punctual
vectorii C41). 151. Teorema lui Euler C43). 152. Teorema lui Leibniz C44).
Capitolul 12. Poligoane regulate.
Lungime și suprafață 347
§ 1. Poligoane regulate 347
153. Poligoane echilaterale și echiunghiulare C47).
154. Construirea poligoanelor regulate C50). §2. Lungime 355 C65). 160. Problemă izoperimetrică C67).
Capitolul 13. Transformări geometrice 374
§ 1. Mişcări 374
161. Simetrie axială C74). 162. Mişcarea C75). 163. Folosirea mişcărilor pentru rezolvarea problemelor C77).
§2. Asemănarea centrală 386
164. Proprietăţile asemănării centrale C86).
165. Teorema lui Napoleon C88). 166. Problema Euler C89). 167. Linia dreaptă a lui Simeon C92).
§3. Inversiunea 396
168. Definiţia inversării C96). 169. Proprietăţile de bază ale inversării C98). 170. Teorema lui Ptolemeu D01). 171. Formula lui Euler D02). 172. Cercurile lui Apollonius D02). 173. Cercurile lui Apollonius sunt necesare chiar și filibusterii D05). 174. Teorema lui Feuerbach D07).
175. Problema Apollonius D08).
Anexa 1. Din nou despre numere* 414 176. Numere reale nenegative D14). 177. Comparaţia numerelor reale nenegative D17). 178. Adunarea numerelor reale nenegative D17). 179. Înmulțirea numerelor reale pozitive D18). 180. Numere reale negative D19). 181. Fata superioara exacta D20). 182. Teorema lui Weierstrass D21). 183. Forma binară a scrierii numărului D21). 184. O
poziție relativă
linie dreaptă și cercul D23). 185. Despre măsurarea unghiurilor D26). 186. Pe poziţia relativă a două cercuri D27).
Anexa 2. Din nou despre geometria Lobachevsky 430
Răspunsuri și indicații 437
Blocnotesul nostru 471
Nume index 473
Index de subiecte 474
Din prefață: Acest manual se adresează studenților care manifestă un interes sporit pentru matematică și este destinat în primul rând claselor cu studiu aprofundat al matematicii, cluburilor de matematică și cursurilor opționale. Este alcătuit din 13 capitole corespunzătoare capitolelor din manualul „Geometrie 7-9” de L.S., extinderea și aprofundarea informațiilor de bază. În special, se acordă o atenție considerabilă teoriei liniilor paralele și se oferă o idee despre geometria Lobachevsky legată de aceasta.
În fiecare capitol, pe măsură ce este prezentat materialul teoretic, sunt date probleme cu soluții, ilustrând aplicarea anumitor afirmații. Pentru fiecare paragraf al capitolului sunt date sarcini pentru munca independenta, complet cu răspunsuri și indicații. Cele mai dificile sarcini și secțiuni sunt marcate cu un asterisc. Există de asemenea index al subiectelor
, permițându-vă să navigați cu ușurință în carte. Sperăm că cartea noastră va fi de interes nu numai pentru profesorii și studenții de la cursurile avansate de matematică, ci și pentru toți cei care sunt atrași de frumusețea geometriei.
Când studiul este distractiv
Învățarea poate fi atât ușoară, cât și interesantă. Cheia pentru aceasta este alegerea ghidului de studiu potrivit. Un manual de geometrie de clasa a VII-a (Butuzov, Prasolov, Kadomtsev) va deveni fără probleme un partener atât de fidel. Promovează învățarea de înaltă calitate de către copii și îi ajută să obțină un mare succes. Este extrem de convenabil să lucrați cu această carte de referință online pe Vklasse.
Folosim materiale și rezolvăm sarcini
Avem cel mai bun manual de geometrie, care va aduce multe surprize plăcute în viața copiilor. Ni se pare extrem de confortabil să lucrăm cu această carte educațională pentru clasa a șaptea. Nu am pus niciun obstacol pe această cale. Toate materialele de pe resursă sunt deschise în orice moment al zilei, iar înregistrarea nu este necesară pentru a începe colaborarea cu ele. Manualele noastre sunt gratuite și ușor de vizualizat.
Mare influență a manualului asupra Vklasse
Manualele influențează copiii mai mult decât orice altă carte de referință. Chestia este că datorită acestor cărți, elevii de clasa a VIII-a pot învăța cu ușurință geometria. Cu manuale, ei primesc cele mai importante cunoștințe ale subiectului, care sunt prezentate într-o formă accesibilă. Le pot studia cu ușurință pentru a le utiliza în scopuri practice în viitor. Acest lucru va aduce note excelente la studii și va deveni un însoțitor pentru un viitor de succes.
În interiorul cărții Dorind să studieze cu un A+, școlarii lucrează constant cu un manual calificat pe resursa noastră. Acest director este caracterizat de o structură corectă și conține doar curent informatii educationale
, care se află în programa școlară. Acest ghid de studiu din 2010 include o mare varietate de subiecte: cercuri, triunghiuri și multe altele. Ele conțin regulile de bază pentru disciplină.
Catedră are 55 de cadre didactice și cercetători, dintre care 13 profesori și 19 conferențiari, 17 angajați ai catedrei sunt doctori și 36 sunt candidați la știință.
, care se află în programa școlară. Acest ghid de studiu din 2010 include o mare varietate de subiecte: cercuri, triunghiuri și multe altele. Ele conțin regulile de bază pentru disciplină.
șef de departamentValentin Fedorovich Butuzov s-a născut la 23 noiembrie 1939. la Moscova într-o familie de angajați. Tatăl, Butuzov Fedor Grigorievich (1909-1975) este tehnician în construcții, mamă, Butuzova (Kuraeva) Anastasia Vladimirovna (1912-1994) a absolvit o facultate de artă și a lucrat mulți ani ca șef al unui club rural. În 1957 V.F. Butuzov a absolvit Sukharevskaya cu medalie de aur liceu(districtul Krasnopolyansky, regiunea Moscova) și a intrat la Facultatea de Fizică a Universității de Stat din Moscova M.V. La finalizare în 1963. a fost acceptat la liceu. Alegerea specialității și formarea intereselor științifice au fost foarte influențate de profesorii și profesorii de la Facultatea de Fizică A.N. Sveshnikov, A.B. În 1966 absolvent, a susținut teza de doctorat „Asimptotica soluțiilor unor probleme pentru ecuații integro-diferențiale cu un parametru mic pentru derivate” și a fost angajat la Catedra de Matematică a Facultății de Fizică. Din 1970 se citește anual cursuri generale prelegeri despre matematica superioara, precum și un curs special despre metode asimptotice. În 1972 aprobat pentru gradul academic de conferențiar. În 1979 și-a susținut teza de doctorat „Singularly perturbed boundary value problems with an angular boundary layer”, în care a dezvoltat metoda eficienta construirea expansiunilor asimptotice ale soluțiilor la o clasă largă de probleme perturbate singular în domenii cu puncte de colț ale graniței.
Din 1981 lucrează ca profesor (gradul academic de profesor a fost aprobat în 1982), din 1993. - Șef al Departamentului de Matematică, Facultatea de Fizică, Universitatea de Stat din Moscova.
Din 1979 V.F Butuzov, împreună cu colegii săi, participă activ la crearea de noi manuale școlare de geometrie. În 1988 Aceste manuale (pentru clasele 7-9 și clasele 10-11) au ocupat locul 1 la Concursul de manuale școlare All-Union. În prezent, zeci de milioane de școlari din Rusia și țările CSI învață să le folosească. A editat două mijloace didactice la matematică superioară pentru universități, care au trecut prin mai multe ediții și traduse în engleză și spaniolă.
V.F. Butuzov a primit medaliile „Pentru distincția muncii” (1986) și „În memoria celei de-a 850-a aniversări a Moscovei” (1997), insignele „Excelență în învățământul public” (1985) și „Lucrător onorat din învățământul superior” învăţământul profesional RF" (1999). Este laureat al Premiului Lomonosov al Universității de Stat din Moscova pentru activitate pedagogică(1993), laureat al Premiului Lomonosov al Universității de Stat din Moscova, gradul I pentru munca stiintifica(2003).
A pregătit 12 candidați la știință, trei dintre studenții săi au devenit doctori în științe. În colaborare cu prof. A.B Vasilyeva, a scris patru monografii despre metodele asimptotice în teoria perturbațiilor singulare.
Lucrari principale:
- Expansiuni asimptotice ale soluțiilor la ecuații perturbate singular M., Nauka, 1973 (împreună cu A.B. Vasilyeva).
- Metode asimptotice în teoria perturbațiilor singulare M., Școala superioară, 1990 (împreună cu A.B. Vasilyeva).
- Analiza matematică în întrebări şi probleme M., Şcoala superioară, ediţia I, 1984; M., Fizmatlit, ediția a IV-a, 2001 (împreună cu N.Ch. Krutitskaya, G.N. Medvedev, A.A. Shishkin).
- Geometry 7-9 (manual pentru instituțiile de învățământ general M., Educație, ediția I, 1990, ediția a XV-a, 2005 (împreună cu L.S. Atanasyan, S.B. Kadomtsev, E.G. Poznyak, I.I. Yudina).
- Geometry 10-11 (manual pentru instituțiile de învățământ general M., Educație, ediția I, 1992, ediția a XI-a, 2005 (împreună cu L.S. Atanasyan, S.B. Kadomtsev, L.S. Kiseleva, E.G. Poznyak).
Teme gata făcute pentru un manual de geometrie pentru elevii din clasele 7-9, autori: L.S. Atanasyan, V.F. Butozov, S.B. Kadomtsev, E.G. Poznyak, I.I. Yudina, editura Prosveshchenie pentru anul universitar 2015-2016.
Băieți, în clasele 7-9 veți studia asta subiect interesant precum geometria. Pentru a evita problemele de a înțelege această lecție în viitor, trebuie să munciți din greu de la bun început.
În orele anterioare ați făcut deja cunoștință cu unele forme geometrice. În acest buzz vei extinde acest minim de cunoștințe. Întregul curs este împărțit în două secțiuni: planimetrie și stereometrie. În clasele a 7-a și a 8-a veți privi figurile pe un avion - aceasta este o secțiune despre planimetrie. În clasa a IX-a, proprietățile figurilor din spațiu - stereometrie.
Adesea apare o situație când, pe baza condițiilor, nu este posibil să faci desenul corect, să desenezi toate detaliile în spațiu, iar atunci geometria ți se pare un subiect imposibil. Dacă începeți să aveți astfel de dificultăți, atunci vă recomandăm să folosiți testul nostru de geometrie pentru clasele 7-9 L.S. Atanasyan, care este postat mai jos.
Caietul de lucru GDZ Geometry gradul 7 Atanasyan poate fi descărcat.
Caietul de lucru GDZ Geometry gradul 8 Atanasyan poate fi descărcat.
Caietul de lucru GDZ Geometry gradul 9 Atanasyan poate fi descărcat.
GDZ la materiale didactice la geometrie pentru nota 7 Ziv B.G. poate fi descărcat.
GDZ pentru materiale didactice de geometrie pentru clasa a VIII-a Ziv B.G. poate fi descărcat.
GDZ pentru materiale didactice despre geometrie pentru clasa a 9-a Ziv B.G. poate fi descărcat.
GDZ la independentă și testeîn geometrie pentru clasele 7-9 Ichenskaya M.A. poate fi descărcat.
GDZ pentru colectarea temelor de geometrie pentru clasa a VII-a Ershova A.P. poate fi descărcat.
GDZ pentru colectarea temelor de geometrie pentru clasa a VIII-a Ershova A.P. poate fi descărcat.
GDZ la registrul de lucruîn geometrie pentru clasa a 9-a Mishchenko T.M. poate fi descărcat.
GDZ pentru teste tematice în geometrie pentru clasa a 7-a Mishchenko T.M. poate fi descărcat.
GDZ pentru teste tematice în geometrie pentru clasa a 8-a Mishchenko T.M. poate fi descărcat
Manualul se adresează studenților care au un interes crescut pentru matematică, precum și tuturor celor care sunt atrași de frumusețea geometriei. Poate fi folosit la orele cu studiu aprofundat al matematicii, la lucru...
Acest manual oferă o prezentare sistematică a unui curs aprofundat de planimetrie. Alături de informațiile geometrice de bază incluse în programa școlară standard în geometrie, acesta conține o cantitate mare de material suplimentar care extinde și aprofundează informațiile de bază. Stilul de prezentare adoptat în manual diferă net de cel tradițional: teoremă – demonstrație. Într-o serie de cazuri, autorii nu formulează teoreme și axiome în prealabil, ci își caută formulările împreună cu cititorul. Această abordare se explică prin dorința autorilor de a da o idee despre cum este construită matematica și cum lucrează matematicienii.
Cartea acordă o atenție considerabilă geometriei Lobachevsky, curbelor de lățime constantă, problemelor izoperimetrice și demonstrează o serie de teoreme remarcabile ale planimetriei.
Manualul se adresează studenților care au un interes crescut pentru matematică, precum și tuturor celor care sunt atrași de frumusețea geometriei. Poate fi folosit în clasele cu studiul aprofundat al matematicii, în activitatea cluburilor de matematică și a cursurilor opționale și poate servi drept manual principal în școlile specializate în fizică și matematică.
Ediția a II-a, stereotip.
