Apotema într-o piramidă obișnuită. Apotema piramidei

O piramidă este un poliedru spațial, sau poliedru, care se găsește în problemele geometrice. Principalele proprietăți ale acestei figuri sunt volumul și suprafața ei, care sunt calculate din cunoașterea oricăror două dintre caracteristicile sale liniare. Una dintre aceste caracteristici este apotema piramidei. Se va discuta în articol.

Figura piramidală

Înainte de a da definiția apotemei unei piramide, să facem cunoștință cu figura în sine. O piramidă este un poliedru format dintr-o bază n-gonală și n triunghiuri care alcătuiesc suprafata laterala cifre.

Fiecare piramidă are un vârf - punctul de legătură al tuturor triunghiurilor. Perpendiculara trasată de la acest vârf la bază se numește înălțime. Dacă înălțimea intersectează baza la centrul geometric, atunci figura se numește linie dreaptă. O piramidă dreaptă cu o bază echilaterală se numește regulată. Figura prezintă o piramidă cu bază hexagonală, văzută din lateral și din margini.

Apotema unei piramide regulate

Se mai numește și apotema. Este înțeles ca o perpendiculară trasată din vârful piramidei până în lateralul bazei figurii. Prin definiția sa, această perpendiculară corespunde înălțimii triunghiului care formează fața laterală a piramidei.

Deoarece luăm în considerare o piramidă obișnuită cu o bază n-gonală, atunci toate n apotemele pentru aceasta vor fi aceleași, deoarece sunt triunghiuri isoscele suprafața laterală a figurii. Rețineți că apotemele identice sunt o proprietate a unei piramide obișnuite. Pentru figură tip general(oblic cu un n-gon neregulat) toate n apotemele vor fi diferite.

O altă proprietate a apotema unei piramide regulate este că este simultan înălțimea, mediana și bisectoarea triunghiului corespunzător. Aceasta înseamnă că îl împarte în două triunghiuri dreptunghiulare identice.

şi formule pentru determinarea apotema acestuia

În orice piramidă corectă, important caracteristici liniare sunt lungimea laturii bazei sale, marginea laterală b, înălțimea h și apotema h b. Aceste mărimi sunt legate între ele prin formulele corespunzătoare, care pot fi obținute prin desenarea unei piramide și luând în considerare triunghiurile dreptunghice necesare.

O piramidă triunghiulară obișnuită este formată din 4 fețe triunghiulare, iar una dintre ele (baza) trebuie să fie echilaterală. Restul sunt isoscele în cazul general. Apotema piramidă triunghiulară poate fi determinată în termeni de alte cantități folosind următoarele formule:

h b = √(b 2 - a 2 /4);

h b = √(a 2 /12 + h 2)

Prima dintre aceste expresii este valabilă pentru o piramidă cu orice bază regulată. A doua expresie este tipică exclusiv pentru o piramidă triunghiulară. Arată că apotema este întotdeauna mai mare decât înălțimea figurii.

Apotema unei piramide nu trebuie confundată cu cea a unui poliedru. În acest ultim caz, o apotema este un segment perpendicular desenat pe latura poliedrului din centrul acestuia. De exemplu, apotema unui triunghi echilateral este √3/6*a.

Problema calculului apotema

Să ni se dea o piramidă regulată cu un triunghi la bază. Este necesar să-i calculăm apotema dacă se știe că aria acestui triunghi este de 34 cm 2, iar piramida în sine este formată din 4 fețe identice.

În conformitate cu condițiile problemei, avem de-a face cu un tetraedru format din triunghiuri echilaterale. Formula pentru zona unei fețe este:

De unde obținem lungimea laturii a:

Pentru a determina apotema h b, folosim o formulă care conține marginea laterală b. În cazul în cauză, lungimea sa este egală cu lungimea bazei, avem:

h b = √(b 2 - a 2 /4) = √3/2*a

Înlocuind valoarea lui a prin S, obținem formula finală:

h b = √3/2*2*√(S/√3) = √(S*√3)

Am obținut o formulă simplă în care apotema unei piramide depinde doar de aria bazei acesteia. Dacă înlocuim valoarea lui S din condițiile problemei, obținem răspunsul: h b ≈ 7,674 cm.

Apotema apotema

(din grecescul apotíthēmi - pus deoparte), 1) un segment (precum și lungimea acestuia) de perpendiculară O, coborât din centru poligon regulat pe oricare dintre laturile sale. 2) Într-o piramidă obișnuită, apotema este înălțimea O marginea laterală.

APOTEM

APOTHEMA (greacă apothema - ceva amânat),
1) un segment (precum și lungimea acestuia) al unei perpendiculare a, coborât din centrul unui poligon regulat la oricare dintre laturile sale.
2) Într-o piramidă obișnuită, apotema este înălțimea feței laterale.

Dicţionar enciclopedic . 2009 .

Sinonime:

Vedeți ce este „apotema” în alte dicționare:

Vezi APOTEMA. Dicţionar cuvinte străine, inclus în limba rusă. Chudinov A.N., 1910. APOTHEMA vezi APOTHEMA. Dicționar de cuvinte străine incluse în limba rusă. Pavlenkov F., 1907... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse

- (din grecescul apotithemi am pus deoparte) ..1) un segment (precum si lungimea lui) al unei perpendiculare a, coborat de la centrul unui poligon regulat la oricare dintre laturile sale2)] Intr-o piramida regulata, apotema este înălțimea feței laterale... Dicţionar enciclopedic mare

Substantiv, număr de sinonime: 3 apotem (2) lungime (10) perpendicular (4) Dicționar ... Dicţionar de sinonime

APOTEM- (1) lungimea unei perpendiculare trasate din centrul unui cerc circumscris unui poligon regulat la oricare dintre laturile acestuia; (2) înălțimea feței laterale a unei piramide regulate; (3) înălțimea trapezului, care este fața laterală a unui trunchi obișnuit... ... Marea Enciclopedie Politehnică

- (din grecescul apotithçmi am pus deoparte) 1) lungimea perpendicularei coborâte din centrul unui poligon regulat la oricare dintre laturile sale (Fig. 1); 2) într-o piramidă regulată A. înălțimea a a feței sale laterale (Fig. 2). Orez. 1 k… … Mare Enciclopedia sovietică

- (din grecescul apotfthemi am pus deoparte) 1) un segment (precum și lungimea lui) al unei perpendiculare a, coborât din centrul unui poligon regulat la oricare dintre laturile sale. 2) Într-o piramidă obișnuită, A. este înălțimea a feței laterale (vezi figura). La art. Apotema... Big Enciclopedic Polytechnic Dictionary

Lungimea unei perpendiculare trasate de la centrul unui poligon regulat la una dintre laturile acestuia; Apotema este egală cu raza cercului înscris în poligonul dat. A. a fost numită și partea înclinată a conului... Dicţionar Enciclopedic F.A. Brockhaus și I.A. Efron

- (din grecescul apotithemi am pus deoparte), 1) un segment (precum și lungimea acestuia) al unei perpendiculare a, coborât din centrul unui poligon regulat la oricare dintre laturile sale. 2) Într-o piramidă regulată A. înălțimea a feței laterale... Știința naturii. Dicţionar enciclopedic

Apotema, apotema, apotema, apotema, apotema, apotema, apotema, apotema, apotema, apotema, apotema, apotema

Definiţie. Marginea laterală- acesta este un triunghi în care un unghi se află în vârful piramidei, iar latura opusă coincide cu latura bazei (poligon).

Definiţie. Coaste laterale- acestea sunt laturile comune ale fețelor laterale. O piramidă are tot atâtea muchii cât unghiurile unui poligon.

Definiţie. Înălțimea piramidei- aceasta este o perpendiculară coborâtă de la vârf la baza piramidei.

Definiţie. Apotema- aceasta este o perpendiculară pe fața laterală a piramidei, coborâtă din vârful piramidei până în lateralul bazei.

Definiţie. Secțiune diagonală- aceasta este o secțiune a unei piramide printr-un plan care trece prin vârful piramidei și diagonala bazei.

Definiţie. Piramida corectă este o piramidă în care baza este un poligon regulat, iar înălțimea coboară până în centrul bazei.

Volumul și suprafața piramidei

Formula. Volumul piramidei prin zona de bază și înălțimea:

Proprietățile piramidei

Dacă toate marginile laterale sunt egale, atunci un cerc poate fi desenat în jurul bazei piramidei, iar centrul bazei coincide cu centrul cercului. De asemenea, o perpendiculară căzută din vârf trece prin centrul bazei (cercului).

Dacă toate marginile laterale sunt egale, atunci ele sunt înclinate față de planul bazei la aceleași unghiuri.

Nervele laterale sunt egale când se formează cu planul bazei unghiuri egale sau dacă se poate descrie un cerc în jurul bazei piramidei.

Dacă fetele lateraleînclinat pe planul bazei la un unghi, atunci se poate înscrie un cerc la baza piramidei, iar vârful piramidei este proiectat în centrul acesteia.

Dacă fețele laterale sunt înclinate față de planul bazei la același unghi, atunci apotemele fețelor laterale sunt egale.

Proprietățile unei piramide obișnuite

1. Vârful piramidei este echidistant de toate colțurile bazei.

2. Toate marginile laterale sunt egale.

3. Toate nervurile laterale sunt înclinate la unghiuri egale față de bază.

4. Apotemele tuturor fețelor laterale sunt egale.

5. Suprafețele tuturor fețelor laterale sunt egale.

6. Toate fețele au aceleași unghiuri diedrice (plate).

7. O sferă poate fi descrisă în jurul piramidei. Centrul sferei circumscrise va fi punctul de intersecție al perpendicularelor care trec prin mijlocul marginilor.

8. Puteți încadra o sferă într-o piramidă. Centrul sferei înscrise va fi punctul de intersecție al bisectoarelor care emană din unghiul dintre margine și bază.

9. Dacă centrul sferei înscrise coincide cu centrul sferei circumscrise, atunci suma unghiurilor plane de la vârf este egală cu π sau invers, un unghi este egal cu π/n, unde n este numărul de unghiuri la baza piramidei.

Legătura dintre piramidă și sferă

O sferă poate fi descrisă în jurul unei piramide când la baza piramidei există un poliedru în jurul căruia poate fi descris un cerc (o condiție necesară și suficientă). Centrul sferei va fi punctul de intersecție al planurilor care trec perpendicular prin punctele de mijloc ale marginilor laterale ale piramidei.

Este întotdeauna posibil să descrii o sferă în jurul oricărei piramide triunghiulare sau regulate.

O sferă poate fi înscrisă într-o piramidă dacă planurile bisectoare ale unghiurilor diedrice interne ale piramidei se intersectează într-un punct (o condiție necesară și suficientă). Acest punct va fi centrul sferei.

Relația dintre o piramidă și un con

Se spune că un con este înscris într-o piramidă dacă vârfurile lor coincid și baza conului este înscrisă în baza piramidei.

Un con poate fi înscris într-o piramidă dacă apotemele piramidei sunt egale între ele.

Se spune că un con este circumscris în jurul unei piramide dacă vârfurile lor coincid, iar baza conului este circumscrisă în jurul bazei piramidei.

Un con poate fi descris în jurul unei piramide dacă toate marginile laterale ale piramidei sunt egale între ele.

Relația dintre o piramidă și un cilindru

O piramidă se numește înscrisă într-un cilindru dacă vârful piramidei se află pe o bază a cilindrului, iar baza piramidei este înscrisă într-o altă bază a cilindrului.

Un cilindru poate fi descris în jurul unei piramide dacă un cerc poate fi descris în jurul bazei piramidei.

Definiţie. Piramida trunchiată (prismă piramidală) este un poliedru care se află între baza piramidei și planul de secțiune paralel cu baza. Astfel, piramida are o bază mare și o bază mai mică care este similară cu cea mai mare. Fețele laterale sunt trapezoidale.

Definiţie. Piramida triunghiulara (tetraedru) este o piramidă în care trei fețe și baza sunt triunghiuri arbitrare.

Un tetraedru are patru fețe și patru vârfuri și șase muchii, unde oricare două muchii nu au vârfuri comune, dar nu se ating.

Fiecare vârf este format din trei fețe și muchii care se formează unghi triunghiular.

Segmentul care leagă vârful unui tetraedru cu centrul feței opuse se numește mediana tetraedrului(GM).

Bimedian numit segment care leagă punctele medii ale muchiilor opuse care nu se ating (KL).

Toate bimedianele și medianele unui tetraedru se intersectează într-un punct (S). În acest caz, bimedianele sunt împărțite în jumătate, iar medianele sunt împărțite într-un raport de 3:1 începând de sus.

Definiţie. Piramidă înclinată- este o piramidă în care se formează una dintre margini unghi obtuz(β) cu o bază.

Definiţie. Piramidă dreptunghiulară este o piramidă în care una dintre fețele laterale este perpendiculară pe bază.

Definiţie. Piramidă unghiulară ascuțită- o piramidă în care apotema are mai mult de jumătate din lungimea laturii bazei.

Definiţie. Piramidă obtuză- o piramidă în care apotema este mai mică de jumătate din lungimea laturii bazei.

Definiţie. Tetraedru regulat- un tetraedru în care toate cele patru fețe sunt triunghiuri echilaterale. Este unul dintre cele cinci poligoane regulate. ÎN tetraedru regulat toate unghiurile diedrice (între fețe) și unghiurile triedrice (la vârf) sunt egale.

Definiţie. Tetraedru dreptunghiular se numește tetraedru în care există un unghi drept între trei muchii la vârf (marginile sunt perpendiculare). Se formează trei fețe unghi triunghiular dreptunghiular iar fețele sunt triunghiuri dreptunghiulare, iar baza este un triunghi arbitrar. Apotema oricărei fețe este egală cu jumătate din latura bazei pe care cade apotema.

Definiţie. Tetraedru izoedric se numește tetraedru ale cărui fețe laterale sunt egale între ele, iar baza este un triunghi regulat. Un astfel de tetraedru are fețe care sunt triunghiuri isoscele.

Definiţie. tetraedru ortocentric se numește tetraedru în care se intersectează într-un punct toate înălțimile (perpendicularele) care sunt coborâte de sus pe fața opusă.

Definiţie. Piramida stelară Un poliedru a cărui bază este o stea se numește.

Definiţie. Bipiramida- un poliedru format din două piramide diferite (piramidele pot fi și tăiate), având o bază comună, iar vârfurile se află pe laturile opuse ale planului bazei. Nota. Aceasta face parte dintr-o lecție cu probleme de geometrie (stereometrie secțiuni, probleme despre piramidă). Dacă trebuie să rezolvați o problemă de geometrie care nu este aici, scrieți despre ea pe forum. În sarcini, în loc de simbolul „rădăcină pătrată”, se folosește funcția sqrt(), în care sqrt este simbolul rădăcină pătrată, iar expresia radicală este indicată între paranteze.Pentru expresiile radicale simple se poate folosi semnul „√”..

Pentru materiale și formule teoretice, vezi capitolul „Piramida corectă”.

Sarcină

Apotema unei piramide triunghiulare regulate este de 4 cm, iar unghiul diedric de la bază este de 60 de grade. Aflați volumul piramidei.

Soluţie.

Deoarece piramida este regulată, luați în considerare următoarele:

• Înălțimea piramidei este proiectată pe centrul bazei
• Conform problemei, centrul bazei unei piramide regulate este un triunghi echilateral
• Centrul unui triunghi echilateral este atât centrul unui cerc înscris cât și circumscris.
• Înălțimea piramidei formează un unghi drept cu planul bazei

Volumul piramidei poate fi găsit folosind formula:
V = 1/3 Sh

Deoarece apotema unei piramide regulate formează un triunghi dreptunghic împreună cu înălțimea piramidei, folosim teorema sinusurilor pentru a găsi înălțimea. În plus, vom lua în considerare:

• Prima etapă a subiectului triunghi dreptunghic este înălțimea, al doilea catet este raza cercului înscris (într-un triunghi regulat, centrul este simultan centrul cercului înscris și circumscris), ipotenuza este apotema piramidei
• Al treilea unghi al unui triunghi dreptunghic este egal cu 30 de grade (suma unghiurilor unui triunghi este de 180 de grade, unghiul de 60 de grade este dat de condiție, al doilea unghi este o linie dreaptă conform proprietăților piramidei, al treilea este 180-90-60 = 30)
• sinusul de 30 de grade este egal cu 1/2
• sinusul de 60 de grade este egal cu rădăcina a trei în jumătate
• sinusul de 90 de grade este 1

Conform teoremei sinusului:
4 / sin(90) = h / sin(60) = r / sin(30)
4 = h / (√3 / 2) = 2r
unde
r = 2
h = 2√3

La baza piramidei se află un triunghi regulat, a cărui zonă poate fi găsită folosind formula:
S triunghi regulat = 3√3 r 2.
S = 3√3 2 2 .
S = 12√3.

Acum să găsim volumul piramidei:
V = 1/3 Sh
V = 1/3 * 12√3 * 2√3
V = 24 cm 3.

Răspuns: 24 cm 3 .

Sarcină

Înălțimea și latura bazei sunt corecte piramida patruunghiulara respectiv egal cu 24 şi 14. aflaţi apotema piramidei.

Soluție.

Deoarece piramida este regulată, la baza ei se află un patrulater regulat - un pătrat. În plus, înălțimea piramidei este proiectată în centrul pătratului. Astfel, catetul unui triunghi dreptunghic, care este format din apotema piramidei, înălțimea și segmentul care le leagă, este egal cu jumătate din lungimea bazei unei piramide patrulatere obișnuite.

Unde, conform teoremei lui Pitagora, lungimea apotemului va fi găsită din ecuația:

7 2 + 24 2 = x 2
x 2 = 625
x = 25

Raspuns: 25 cm

• apotema- înălțimea feței laterale a unei piramide regulate, care este desenată din vârful acesteia (în plus, apotema este lungimea perpendicularei, care este coborâtă de la mijlocul poligonului regulat la una dintre laturile sale);
• fetele laterale (ASB, BSC, CSD, DSA) - triunghiuri care se întâlnesc la vârf;
• coaste laterale ( CA , B.S. , C.S. , D.S. ) — laturile comune ale fețelor laterale;
• vârful piramidei (t. S) - un punct care leagă nervurile laterale și care nu se află în planul bazei;
• înălţime ( AŞA ) - un segment perpendicular trasat prin vârful piramidei până la planul bazei acesteia (capetele unui astfel de segment vor fi vârful piramidei și baza perpendicularei);
• secțiunea diagonală a piramidei- o sectiune a piramidei care trece prin varful si diagonala bazei;
• baza (ABCD) - un poligon care nu aparține vârfului piramidei.

Proprietățile piramidei.

1. Când toate marginile laterale sunt de aceeași dimensiune, atunci:

• este ușor să descrii un cerc lângă baza piramidei, iar vârful piramidei va fi proiectat în centrul acestui cerc;
• nervurile laterale formează unghiuri egale cu planul bazei;
• Mai mult, este adevărat și opusul, adică. când nervurile laterale formează unghiuri egale cu planul bazei sau când un cerc poate fi descris în jurul bazei piramidei și vârful piramidei va fi proiectat în centrul acestui cerc, înseamnă că toate marginile laterale ale piramidei au aceeași dimensiune.

2. Când fețele laterale au un unghi de înclinare față de planul bazei de aceeași valoare, atunci:

• este ușor să descrii un cerc lângă baza piramidei, iar vârful piramidei va fi proiectat în centrul acestui cerc;
• înălțimile fețelor laterale sunt de lungime egală;
• aria suprafeței laterale este egală cu ½ produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea feței laterale.

3. O sferă poate fi descrisă în jurul unei piramide dacă la baza piramidei există un poligon în jurul căruia poate fi descris un cerc (o condiție necesară și suficientă). Centrul sferei va fi punctul de intersecție al planurilor care trec prin mijlocul marginilor piramidei perpendicular pe acestea. Din această teoremă concluzionăm că o sferă poate fi descrisă atât în ​​jurul oricărei piramide triunghiulare, cât și în jurul oricărei piramide regulate.

4. O sferă poate fi înscrisă într-o piramidă dacă planurile bisectoare ale unghiurilor diedrice interne ale piramidei se intersectează în punctul 1 (condiție necesară și suficientă). Acest punct va deveni centrul sferei.

Cea mai simplă piramidă.

Pe baza numărului de unghiuri, baza piramidei este împărțită în triunghiular, patruunghiular și așa mai departe.

Va fi o piramidă triunghiular, patruunghiular, și așa mai departe, când baza piramidei este un triunghi, un patrulater și așa mai departe. O piramidă triunghiulară este un tetraedru - un tetraedru. Patraunghiular - pentagonal și așa mai departe.