Algoritm pentru rezolvarea unui sistem omogen de ecuații liniare. Soluție de mlaștini omogene

Puteți comanda o soluție detaliată la problema dvs.!!!

Pentru a înțelege ce este sistem fundamental de decizie puteți viziona un tutorial video pentru același exemplu făcând clic. Acum să trecem la descrierea reală a tuturor lucrărilor necesare. Acest lucru vă va ajuta să înțelegeți esența acestei probleme mai detaliat.

Cum să găsiți sistemul fundamental de soluții la o ecuație liniară?

Să luăm de exemplu următorul sistem de ecuații liniare:

Să găsim soluția acestui sistem liniar de ecuații. Pentru început, noi trebuie să scrieți matricea de coeficienți a sistemului.

Să transformăm această matrice într-una triunghiulară. Rescriem prima linie fără modificări. Și toate elementele care sunt sub $a_(11)$ trebuie făcute zero. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(21)$, trebuie să scădeți primul din a doua linie și să scrieți diferența pe a doua linie. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(31)$, trebuie să scădeți primul din a treia linie și să scrieți diferența pe a treia linie. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(41)$, trebuie să scădeți primul înmulțit cu 2 din a patra linie și să scrieți diferența pe a patra linie. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(31)$, trebuie să scădeți primul înmulțit cu 2 din a cincea linie și să scrieți diferența pe a cincea linie.

Rescriem primul și al doilea rând fără modificări. Și toate elementele care sunt sub $a_(22)$ trebuie făcute zero. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(32)$, trebuie să scădeți pe al doilea înmulțit cu 2 din a treia linie și să scrieți diferența pe a treia linie. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(42)$, trebuie să scădeți al doilea înmulțit cu 2 din a patra linie și să scrieți diferența pe a patra linie. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(52)$, trebuie să scădeți al doilea înmulțit cu 3 din a cincea linie și să scrieți diferența în a cincea linie.

Vedem asta ultimele trei rânduri sunt aceleași, deci dacă scădeți a treia din a patra și a cincea, acestea vor deveni zero.

Conform acestei matrice scrie un nou sistem de ecuații.

Vedem că avem doar trei ecuații liniar independente și cinci necunoscute, deci sistemul fundamental de soluții va consta din doi vectori. Deci noi trebuie să mutăm ultimele două necunoscute la dreapta.

Acum, începem să exprimăm acele necunoscute care sunt pe partea stângă prin cele care sunt pe partea dreaptă. Începem cu ultima ecuație, mai întâi exprimăm $x_3$, apoi substituim rezultatul rezultat în a doua ecuație și exprimăm $x_2$, apoi în prima ecuație și aici exprimăm $x_1$. Astfel, am exprimat toate necunoscutele care sunt pe partea stângă prin necunoscutele care sunt pe partea dreaptă.

Apoi, în loc de $x_4$ și $x_5$, putem înlocui orice numere și găsim $x_1$, $x_2$ și $x_3$. Fiecare cinci dintre aceste numere va fi rădăcinile sistemului nostru original de ecuații. Pentru a găsi vectorii care sunt incluși în FSR trebuie să înlocuim 1 în loc de $x_4$ și să înlocuim 0 în loc de $x_5$, să găsim $x_1$, $x_2$ și $x_3$ și apoi invers $x_4=0$ și $x_5=1$.

Sistem m ecuații liniare c n numite necunoscute sistem de omogen liniar ecuații dacă toți termenii liberi sunt egali cu zero. Un astfel de sistem arată astfel:

Unde şi ij (eu = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - numere date; x i– necunoscut.

Un sistem de ecuații liniare omogene este întotdeauna consistent, deoarece r(A) = r(). Are întotdeauna cel puțin zero ( banal) soluție (0; 0; …; 0).

Să luăm în considerare în ce condiții sistemele omogene au soluții diferite de zero.

Teorema 1. Un sistem de ecuații liniare omogene are soluții diferite de zero dacă și numai dacă rangul matricei sale principale este r mai putine necunoscute n, adică r < n.

□ 1). Fie ca un sistem de ecuații liniare omogene să aibă o soluție diferită de zero. Deoarece rangul nu poate depăși dimensiunea matricei, atunci, evident, r ≤ n. Lasă r = n. Apoi una dintre dimensiunile minore n n diferit de zero. Prin urmare, sistemul corespunzător de ecuații liniare are o soluție unică: . Asta înseamnă că nu există alte soluții decât cele banale. Deci, dacă există o soluție non-trivială, atunci r < n.

2). Lasă r < n. Atunci sistemul omogen, fiind consistent, este incert. Aceasta înseamnă că are un număr infinit de soluții, adică. are soluții diferite de zero. ■

Luați în considerare un sistem omogen n ecuații liniare c n necunoscut:

(2)

Teorema 2. Sistem omogen n ecuații liniare c n necunoscute (2) are soluții diferite de zero dacă și numai dacă determinantul său este egal cu zero: = 0.

□ Dacă sistemul (2) are o soluție diferită de zero, atunci = 0. Pentru că atunci când sistemul are o singură soluție zero. Dacă = 0, atunci rangul r matricea principală a sistemului este mai mică decât numărul de necunoscute, adică r < n. Și, prin urmare, sistemul are un număr infinit de soluții, adică. are soluții diferite de zero. ■

Să notăm soluția sistemului (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n ca o sfoară .

Soluțiile unui sistem de ecuații liniare omogene au următoarele proprietăți:

1. Dacă linia este o soluție pentru sistemul (1), atunci linia este o soluție pentru sistemul (1).

2. Dacă liniile și sunt soluții ale sistemului (1), apoi pentru orice valoare Cu 1 și Cu 2 combinația lor liniară este, de asemenea, o soluție pentru sistemul (1).

Valabilitatea acestor proprietăți poate fi verificată prin substituirea lor directă în ecuațiile sistemului.

Din proprietățile formulate rezultă că orice combinație liniară de soluții la un sistem de ecuații liniare omogene este, de asemenea, o soluție pentru acest sistem.

Sistem de soluții liniar independente e 1 , e 2 , …, e r numit fundamental, dacă fiecare soluție a sistemului (1) este o combinație liniară a acestor soluții e 1 , e 2 , …, e r.

Teorema 3. Dacă rang r matricele de coeficienți pentru variabilele sistemului de ecuații liniare omogene (1) sunt mai mici decât numărul de variabile n, atunci orice sistem fundamental de soluții la sistemul (1) constă din n–r deciziilor.

De aceea solutie generala sistemul de ecuații liniare omogene (1) are forma:

Unde e 1 , e 2 , …, e r– orice sistem fundamental de soluții ale sistemului (9), Cu 1 , Cu 2 , …, cu p- numere arbitrare, r = n–r.

Teorema 4. Soluția generală a sistemului m ecuații liniare c n necunoscute este egală cu suma soluției generale a sistemului corespunzător de ecuații liniare omogene (1) și a unei soluții particulare arbitrare a acestui sistem (1).

Exemplu. Rezolvați sistemul

Soluţie. Pentru acest sistem m = n= 3. Determinant

prin teorema 2, sistemul are doar o soluție banală: x = y = z = 0.

Exemplu. 1) Găsiți soluții generale și particulare ale sistemului

2) Găsiți sistemul fundamental de soluții.

Soluţie. 1) Pentru acest sistem m = n= 3. Determinant

prin teorema 2, sistemul are soluții diferite de zero.

Deoarece există o singură ecuație independentă în sistem

x + y – 4z = 0,

apoi din ea ne vom exprima x =4z- y. De unde obținem un număr infinit de soluții: (4 z- y, y, z) – aceasta este soluția generală a sistemului.

La z= 1, y= -1, obținem o soluție particulară: (5, -1, 1). Punerea z= 3, y= 2, obținem a doua soluție particulară: (10, 2, 3), etc.

2) În soluția generală (4 z- y, y, z) variabile yŞi z sunt libere, iar variabila X- dependent de ele. Pentru a găsi sistemul fundamental de soluții, să atribuim valori variabilelor libere: mai întâi y = 1, z= 0, atunci y = 0, z= 1. Obținem soluții parțiale (-1, 1, 0), (4, 0, 1), care formează sistemul fundamental de soluții.

Ilustrații:

Orez. 1 Clasificarea sistemelor de ecuații liniare

Orez. 2 Studiul sistemelor de ecuații liniare

Prezentări:

· Soluție metoda SLAE_matrix

· Soluție metoda SLAE_Cramer

· Soluție metoda SLAE_Gauss

· Pachete pentru rezolvarea problemelor matematice Mathematica, MathCad: căutarea soluțiilor analitice și numerice ale sistemelor de ecuații liniare

Întrebări de securitate:

1. Definiți o ecuație liniară

2. Ce tip de sistem arată? m ecuații liniare cu n necunoscut?

3. Ce se numește rezolvarea sistemelor de ecuații liniare?

4. Ce sisteme se numesc echivalente?

5. Care sistem se numește incompatibil?

6. Ce sistem se numește articulație?

7. Care sistem se numește definit?

8. Care sistem se numește nedefinit

9. Enumeraţi transformările elementare ale sistemelor de ecuaţii liniare

10. Enumeraţi transformările elementare ale matricelor

11. Formulați o teoremă privind aplicarea transformărilor elementare la un sistem de ecuații liniare

12. Ce sisteme pot fi rezolvate folosind metoda matricei?

13. Ce sisteme pot fi rezolvate prin metoda lui Cramer?

14. Ce sisteme pot fi rezolvate prin metoda Gauss?

15. Enumerați 3 cazuri posibile care apar la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Gauss

16. Descrieți metoda matriceală pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

17. Descrieți metoda lui Cramer pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

18. Descrieți metoda lui Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

19. Ce sisteme pot fi rezolvate folosind o matrice inversă?

20. Enumerați 3 cazuri posibile care apar la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Cramer

Literatură:

1. Matematică superioară pentru economiști: Manual pentru universități / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman. Ed. N.Sh. Kremer. – M.: UNITATEA, 2005. – 471 p.

2. Curs general de matematică superioară pentru economiști: Manual. / Ed. V.I. Ermakova. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 p.

3. Culegere de probleme de matematică superioară pentru economiști: Manual / Editat de V.I. Ermakova. M.: INFRA-M, 2006. – 574 p.

4. Gmurman V. E. Ghid de rezolvare a problemelor în teoria probabilităților și statistica magmatică. - M.: Liceu, 2005. – 400 p.

5. Gmurman. V.E Teoria probabilității și statistică matematică. - M.: Liceu, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Matematică superioară în exerciții și probleme. Partea 1, 2. – M.: Onix secolul XXI: pace și educație, 2005. – 304 p. Partea 1; – 416 p. Partea 2.

7. Matematică în economie: Manual: În 2 părți / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Finanțe și Statistică, 2006.

8. Shipachev V.S. Matematică superioară: manual pentru elevi. universități - M.: Liceu, 2007. - 479 p.

Informații conexe.

Ecuația liniară se numește omogen, dacă termenul său liber este egal cu zero, iar neomogen în caz contrar. Un sistem format din ecuații omogene se numește omogen și are forma generală:

Este evident că fiecare sistem omogen este consistent și are o soluție zero (trivială). Prin urmare, în raport cu sistemele omogene de ecuații liniare, de multe ori trebuie să căutați un răspuns la întrebarea existenței soluțiilor non-nule. Răspunsul la această întrebare poate fi formulat ca următoarea teoremă.

Teorema . Un sistem omogen de ecuații liniare are o soluție diferită de zero dacă și numai dacă rangul său este mai mic decât numărul de necunoscute .

Dovada: Să presupunem că un sistem al cărui rang este egal are o soluție diferită de zero. Evident ca nu depaseste . În cazul în care sistemul are o soluție unică. Deoarece un sistem de ecuații liniare omogene are întotdeauna o soluție zero, atunci soluția zero va fi această soluție unică. Astfel, soluțiile diferite de zero sunt posibile numai pentru .

Corolarul 1 : Un sistem omogen de ecuații, în care numărul de ecuații este mai mic decât numărul de necunoscute, are întotdeauna o soluție diferită de zero.

Dovada: Dacă un sistem de ecuații are , atunci rangul sistemului nu depășește numărul de ecuații, i.e. . Astfel, condiția este îndeplinită și, prin urmare, sistemul are o soluție diferită de zero.

Corolarul 2 : Un sistem omogen de ecuații cu necunoscute are o soluție diferită de zero dacă și numai dacă determinantul său este zero.

Dovada: Să presupunem că un sistem de ecuații liniare omogene, a cărui matrice cu determinantul , are o soluție diferită de zero. Apoi, conform teoremei dovedite, și asta înseamnă că matricea este singulară, adică. .

Teorema Kronecker-Capelli: Un SNL este consecvent dacă și numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse a acestui sistem. Un sistem ur se numește consistent dacă are cel puțin o soluție.

Sistem omogen de ecuații algebrice liniare.

Un sistem de m ecuații liniare cu n variabile se numește sistem de ecuații liniare omogene dacă toți termenii liberi sunt egali cu 0. Un sistem de ecuații liniare omogene este întotdeauna consistent, deoarece are întotdeauna cel puțin o soluție zero. Un sistem de ecuații liniare omogene are o soluție diferită de zero dacă și numai dacă rangul matricei sale de coeficienți pentru variabile este mai mic decât numărul de variabile, i.e. pentru rangul A (n. Orice combinație liniară

Soluții de sistem Lin. omogen. ur-ii este, de asemenea, o soluție pentru acest sistem.

Un sistem de soluții liniare independente e1, e2,...,еk se numește fundamental dacă fiecare soluție a sistemului este o combinație liniară de soluții. Teoremă: dacă rangul r al matricei de coeficienți pentru variabilele unui sistem de ecuații liniare omogene este mai mic decât numărul de variabile n, atunci fiecare sistem fundamental de soluții ale sistemului este format din n-r soluții. Prin urmare, soluția generală a sistemului liniar. într-o zi ur-th are forma: c1e1+c2e2+...+skek, unde e1, e2,..., ek – orice sistem fundamental de soluții, c1, c2,..., ck – numere arbitrare și k=n-r. Soluția generală a unui sistem de m ecuații liniare cu n variabile este egală cu suma

a soluţiei generale a sistemului corespunzător acestuia este omogenă. ecuații liniare și o soluție particulară arbitrară a acestui sistem.

7. Spații liniare. Subspații. Baza, dimensiunea. Înveliș liniar. Se numește spațiu liniar n-dimensională, dacă există un sistem de vectori liniar independenți în el și orice sistem cu un număr mai mare de vectori este dependent liniar. Numărul este sunat dimensiune (numar de dimensiuni) spațiu liniar și se notează cu . Cu alte cuvinte, dimensiunea unui spațiu este numărul maxim de vectori liniar independenți ai acestui spațiu. Dacă un astfel de număr există, atunci spațiul se numește dimensional finit. Dacă, pentru orice număr natural n, există un sistem în spațiu format din vectori liniar independenți, atunci un astfel de spațiu se numește infinit-dimensional (scris: ). În cele ce urmează, dacă nu se specifică altfel, vor fi luate în considerare spațiile cu dimensiuni finite.

Baza unui spațiu liniar n-dimensional este o colecție ordonată de vectori liniar independenți ( vectori de bază).

Teorema 8.1 privind expansiunea unui vector în raport cu o bază. Dacă este baza unui spațiu liniar n-dimensional, atunci orice vector poate fi reprezentat ca o combinație liniară de vectori de bază:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
si, mai mult, in singurul mod, i.e. coeficienţii sunt determinaţi în mod unic. Cu alte cuvinte, orice vector al spațiului poate fi extins într-o bază și, în plus, într-un mod unic.

Într-adevăr, dimensiunea spațiului este . Sistemul de vectori este liniar independent (aceasta este o bază). După adăugarea oricărui vector la bază, obținem un sistem dependent liniar (deoarece acest sistem este format din vectori ai spațiului n-dimensional). Folosind proprietatea a 7 vectori liniar dependenți și liniar independenți, obținem concluzia teoremei.

Sisteme omogene de ecuații algebrice liniare

Ca parte a lecțiilor metoda gaussianaŞi Sisteme/sisteme incompatibile cu o soluție comună am luat în considerare sisteme neomogene de ecuaţii liniare, Unde membru liber(care este de obicei în dreapta) cel putin unul din ecuații a fost diferit de zero.
Și acum, după o bună încălzire cu rangul matricei, vom continua să lustruim tehnica transformări elementare pe sistem omogen de ecuații liniare.
Pe baza primelor paragrafe, materialul poate părea plictisitor și mediocru, dar această impresie este înșelătoare. Pe lângă dezvoltarea ulterioară a tehnicilor, vor exista o mulțime de informații noi, așa că vă rugăm să încercați să nu neglijați exemplele din acest articol.

Ce este un sistem omogen de ecuații liniare?

Răspunsul se sugerează de la sine. Un sistem de ecuații liniare este omogen dacă termenul liber toată lumea ecuația sistemului este zero. De exemplu:

Este absolut clar că un sistem omogen este întotdeauna consistent, adică are întotdeauna o soluție. Și, în primul rând, ceea ce îți atrage atenția este așa-zisul banal soluţie . Trivial, pentru cei care nu înțeleg deloc sensul adjectivului, înseamnă fără o prezentare. Nu academic, bineînțeles, dar inteligibil =) ...De ce să ne batem prin tufiș, să aflăm dacă acest sistem are alte soluții:

Exemplul 1

Soluţie: pentru a rezolva un sistem omogen este necesar să scriem matricea sistemului iar cu ajutorul transformărilor elementare aduceți-o într-o formă treptat. Vă rugăm să rețineți că aici nu este nevoie să scrieți bara verticală și coloana zero a termenilor liberi - la urma urmei, indiferent ce faceți cu zerouri, acestea vor rămâne zero:

(1) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –3.

(2) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –1.

Împărțirea celei de-a treia rânduri la 3 nu are prea mult sens.

Ca urmare a transformărilor elementare se obține un sistem omogen echivalent , și, folosind inversul metodei Gauss, este ușor de verificat că soluția este unică.

Răspuns:

Să formulăm un criteriu evident: un sistem omogen de ecuaţii liniare are doar o solutie banala, Dacă rangul matricei sistemului(în acest caz 3) este egal cu numărul de variabile (în acest caz – 3 bucăți).

Să ne încălzim și să ne acordăm radioul la valul de transformări elementare:

Exemplul 2

Rezolvați un sistem omogen de ecuații liniare

Din articol Cum să găsiți rangul unei matrice? Să ne amintim tehnica rațională de scădere simultană a numerelor matriceale. În caz contrar, va trebui să tăiați pește mare și adesea mușcător. Un exemplu aproximativ de sarcină la sfârșitul lecției.

Zerourile sunt bune și convenabile, dar în practică cazul este mult mai comun atunci când rândurile matricei sistemului dependent liniar. Și atunci apariția unei soluții generale este inevitabil:

Exemplul 3

Rezolvați un sistem omogen de ecuații liniare

Soluţie: să notăm matricea sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte. Prima acțiune vizează nu numai obținerea unei singure valori, ci și scăderea numerelor din prima coloană:

(1) La prima linie a fost adăugată o a treia linie, înmulțită cu –1. A treia linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. În stânga sus, am primit o unitate cu un „minus”, care este adesea mult mai convenabil pentru transformări ulterioare.

(2) Primele două rânduri sunt aceleași, unul dintre ele a fost șters. Sincer, nu am împins soluția - așa s-a dovedit. Dacă efectuați transformări într-o manieră șablon, atunci dependență liniară liniile ar fi fost dezvăluite puțin mai târziu.

(3) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu 3.

(4) Semnul primei linii a fost schimbat.

Ca urmare a transformărilor elementare s-a obținut un sistem echivalent:

Algoritmul funcționează exact la fel ca pentru sisteme eterogene. Variabilele „șezând pe trepte” sunt principalele, variabila care nu a primit „pas” este liberă.

Să exprimăm variabilele de bază printr-o variabilă liberă:

Răspuns: solutie generala:

Soluția banală este inclusă în formula generală și nu este necesar să o notăm separat.

Verificarea se efectuează, de asemenea, conform schemei obișnuite: soluția generală rezultată trebuie înlocuită în partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului și trebuie obținut un zero legal pentru toate substituțiile.

Ar fi posibil să se termine acest lucru în liniște și pașnic, dar soluția unui sistem omogen de ecuații trebuie adesea reprezentată sub formă de vector prin folosire sistem fundamental de soluții. Vă rog să uitați de asta pentru moment geometrie analitică, întrucât acum vom vorbi despre vectori în sens algebric general, pe care i-am deschis puțin în articolul despre rangul matricei. Nu este nevoie să trecem peste terminologie, totul este destul de simplu.

Un sistem omogen este întotdeauna consistent și are o soluție banală
. Pentru ca o soluție netrivială să existe, este necesar ca rangul matricei a fost mai mic decât numărul de necunoscute:

.

Sistem fundamental de soluții sistem omogen
numiți un sistem de soluții sub formă de vectori coloană
, care corespund temeiului canonic, i.e. bază în care constantele arbitrare
setate alternativ egale cu unu, în timp ce restul sunt setate egale cu zero.

Atunci soluția generală a sistemului omogen are forma:

Unde
- constante arbitrare. Cu alte cuvinte, soluția globală este o combinație liniară a sistemului fundamental de soluții.

Astfel, soluțiile de bază pot fi obținute din soluția generală dacă necunoscutelor libere li se dă pe rând valoarea unu, punând toate celelalte egale cu zero.

Exemplu. Să găsim o soluție la sistem

Să acceptăm, apoi obținem o soluție sub forma:

Să construim acum un sistem fundamental de soluții:

.

Soluția generală se va scrie astfel:

Soluțiile unui sistem de ecuații liniare omogene au următoarele proprietăți:

Cu alte cuvinte, orice combinație liniară de soluții la un sistem omogen este din nou o soluție.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Gauss

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare i-a interesat pe matematicieni de câteva secole. Primele rezultate au fost obținute în secolul al XVIII-lea. În 1750, G. Kramer (1704–1752) și-a publicat lucrările despre determinanții matricilor pătrate și a propus un algoritm pentru găsirea matricei inverse. În 1809, Gauss a schițat o nouă metodă de soluție cunoscută sub numele de metoda eliminării.

Metoda Gauss, sau metoda eliminării secvenţiale a necunoscutelor, constă în faptul că, folosind transformări elementare, un sistem de ecuaţii se reduce la un sistem echivalent de formă în trepte (sau triunghiulară). Astfel de sisteme fac posibilă găsirea secvenţială a tuturor necunoscutelor într-o anumită ordine.

Să presupunem că în sistemul (1)
(ceea ce este întotdeauna posibil).

(1)

Înmulțind prima ecuație una câte una cu așa-numita numere potrivite

și adunând rezultatul înmulțirii cu ecuațiile corespunzătoare ale sistemului, obținem un sistem echivalent în care în toate ecuațiile cu excepția primei nu va exista necunoscută. X 1

(2)

Să înmulțim acum a doua ecuație a sistemului (2) cu numere adecvate, presupunând că

,

iar adăugând-o cu cele inferioare, eliminăm variabila din toate ecuațiile, începând cu a treia.

Continuând acest proces, după
pas obtinem:

(3)

Dacă cel puţin unul dintre numere
nu este egal cu zero, atunci egalitatea corespunzătoare este contradictorie și sistemul (1) este inconsecvent. Dimpotrivă, pentru orice sistem de numere comun
sunt egale cu zero. Număr nu este altceva decât rangul matricei sistemului (1).

Se numește trecerea de la sistemul (1) la (3). drept înainte Metoda Gauss și găsirea necunoscutelor din (3) – în sens invers .

Comentariu : Este mai convenabil să efectuați transformări nu cu ecuațiile în sine, ci cu matricea extinsă a sistemului (1).

Exemplu. Să găsim o soluție la sistem

.

Să scriem matricea extinsă a sistemului:

.

Să-l adăugăm pe primul la liniile 2,3,4, înmulțit cu (-2), (-3), respectiv (-2):

.

Să schimbăm rândurile 2 și 3, apoi în matricea rezultată adăugați rândul 2 la rândul 4, înmulțit cu :

.

Adaugă la linia 4 linia 3 înmulțită cu
:

.

Este evident că
, prin urmare, sistemul este consistent. Din sistemul de ecuații rezultat

găsim soluția prin substituție inversă:

,
,
,
.

Exemplul 2. Găsiți o soluție pentru sistem:

.

Este evident că sistemul este inconsecvent, pentru că
, A
.

Avantajele metodei Gauss :

Mai puțin intensivă de muncă decât metoda lui Cramer.

Stabilește fără ambiguitate compatibilitatea sistemului și vă permite să găsiți o soluție.

Face posibilă determinarea rangului oricăror matrici.