8 inegalitatea numerică este proprietatea lor. Inegalitățile numerice și proprietățile lor
Inegalitate este o înregistrare în care numerele, variabilele sau expresiile sunt legate printr-un semn<, >, sau . Adică, inegalitatea poate fi numită o comparație de numere, variabile sau expresii. Semne < , > , ⩽ Şi ⩾ sunt numite semne de inegalitate.
Tipuri de inegalități și modul în care sunt citite:
După cum se poate vedea din exemple, toate inegalitățile constau din două părți: stânga și dreapta, conectate prin unul dintre semnele de inegalitate. În funcție de semnul care leagă părțile inegalităților, acestea sunt împărțite în stricte și nestrictive.
Inegalități stricte- inegalități ale căror părți sunt legate printr-un semn< или >. Inegalități nestricte- inegalităţi în care părţile sunt legate prin semn sau.
Să luăm în considerare regulile de bază ale comparației în algebră:
- Orice număr pozitiv mai mare decât zero.
- Orice număr negativ este mai mic decât zero.
- Dintre două numere negative, cel a cărui valoare absolută este mai mică este mai mare. De exemplu, -1 > -7.
- oŞi b pozitiv:
o - b > 0,
Că o Mai mult b (o > b).
- Dacă diferenţa a două numere inegale oŞi b negativ:
o - b < 0,
Că o Mai puțin b (o < b).
- Dacă numărul este mai mare decât zero, atunci este pozitiv:
o> 0, ceea ce înseamnă o- număr pozitiv.
- Dacă numărul este mai mic decât zero, atunci este negativ:
o < 0, значит o- număr negativ.
Inegalități echivalente- inegalități care sunt o consecință a altor inegalități. De exemplu, dacă o Mai puțin b, Asta b Mai mult o:
o < bŞi b > o- inegalități echivalente
Proprietățile inegalităților
- Dacă adăugați același număr la ambele părți ale unei inegalități sau scădeți același număr din ambele părți, obțineți o inegalitate echivalentă, adică
Dacă o > b, Asta o + c > b + c Şi o - c > b - c
De aici rezultă că este posibil să se transfere termeni de inegalitate dintr-o parte în alta cu semnul opus. De exemplu, adăugarea la ambele părți ale inegalității o - b > c - d De d, obținem:
o - b > c - d
o - b + d > c - d + d
o - b + d > c
- Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite sau împărțite cu același număr pozitiv, atunci se obține o inegalitate echivalentă, adică
- Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite sau împărțite cu același număr negativ, atunci se va obține inegalitatea opusă celui dat, adică prin urmare, la înmulțirea sau împărțirea ambelor părți ale inegalității cu un număr negativ, semnul lui inegalitatea trebuie schimbată la opus.
Această proprietate poate fi folosită pentru a schimba semnele tuturor termenilor unei inegalități prin înmulțirea ambelor părți cu -1 și schimbarea semnului inegalității la opus:
-o + b > -c
(-o + b) · -1< (-c) · -1
o - b < c
Inegalitate -o + b > -c echivalează cu inegalitatea o - b < c
Instituția de învățământ bugetar municipal „Școala secundară Kachalinskaya nr. 2”
Districtul Ilovlinsky, regiunea Volgograd
Dezvoltarea unei lecții folosind o tablă interactivă
algebră pentru elevii clasei a VIII-a
pe subiect„Inegalități numerice”
Profesor de matematică
Postoeva Zh.V.
Stanița Kachalinskaya
2009
O lecție pe tema „Inegalități numerice” a fost dezvoltată pentru elevii de clasa a VIII-a pe baza manualului „Algebra” de Yu.N. Makarychev.
Obiective:
Continuați să vă îmbunătățiți abilitățile în utilizarea formulelor de înmulțire abreviate. Deduceți o metodă de comparare a numerelor și a expresiilor literale. Să realizeze de la elevi capacitatea de a aplica cunoștințe pentru a îndeplini sarcini de tip standard (exerciții de antrenament), de tip reconstructiv-variativ, de tip creativ;
Dezvoltarea abilităților de aplicare a cunoștințelor într-o situație specifică; dezvoltarea gândirii logice, abilități de a compara, generaliza, formula corect sarcini și exprima gânduri; dezvoltarea activității independente a elevilor.
Cultivarea interesului pentru subiect prin conținutul materialului educațional, cultivarea unor calități de caracter precum comunicarea în timpul lucrului în grup, perseverența în atingerea obiectivelor.
Tip de lecție: învăţarea de materiale noi.
Formă: lecție – cercetare.
Echipament:
Tablă interactivă și echipamente multimedia
Structura lecției
Etapa lecției
Captură de ecran a ferestrei programului Caiet
Pentru a lucra în clasă, elevii sunt așezați în grupuri de 3-4 persoane.
Mesaj cu subiectul lecției
Comunicarea scopurilor și obiectivelor lecției.
Activarea cunoștințelor și abilităților elevilor necesare pentru a percepe noile cunoștințe.
Folosind exemple, se repetă formulele pentru înmulțirea abreviată și compararea diferitelor numere:
Fracții zecimale,
Fracții comune cu numărătoare similare,
Fracții comune cu numitori diferiți,
Fracții proprii și improprii.
Natural
zecimale
Fracții comune
primul numărul a fost Mai puțin doilea, iar diferența era negativ .
Lucrări orale privind compararea diferitelor numere:
Natural
zecimale
Fracții comune
și compararea diferențelor rezultate cu zero.
Pentru comparație, următoarele numere sunt luate astfel încât primul numărul a fost Mai mult doilea, iar diferența era pozitiv .
În spatele cortinei se află o concluzie la care elevii trebuie să ajungă singuri.
Lucrări orale privind compararea diferitelor numere:
zecimale
Fracții comune
și compararea diferențelor rezultate cu zero.
Pentru comparație, următoarele numere sunt luate astfel încât primul numărul a fost egală doilea, iar diferența era egal cu zero .
În spatele cortinei se află o concluzie la care elevii trebuie să ajungă singuri.
Profesorul sugerează să faceți un exercițiu oral pentru a compara numerele dacă diferența lor este cunoscută.
Dacă elevilor le este greu să răspundă, în spatele ecranului există un indiciu pe care îl pot folosi.
Acest exercițiu se efectuează și pe cale orală. Elevii trebuie să-și justifice răspunsul.
Profesor: cine poate formula: când un număr este mai mare decât altul;
când un număr este mai mic decât altul
când două numere sunt egale.
Cine îmi poate spune ce să fac pentru a compara două numere?
Ascunsă în spatele cortinei este o declarație despre cum să comparați numerele, care este dezvăluită după ce elevii răspund.
Este oferit un exemplu pentru a demonstra acest lucru - comparând două expresii literale. Dovada se realizează împreună cu elevii, în timp ce profesorul deschide cortina treptat.
Profesorul revine din nou la formularea metodei de comparare a numerelor.
Exercițiul nr. 728 este dat pentru aplicarea cunoștințelor Elevii efectuează sarcinile a) și b) exerciții în caiete și la tablă cu comentarii la soluție. Sarcinile c) și d) sunt efectuate independent în grupuri.
Profesorul analizează soluțiile în grupuri și răspunde la întrebările elevilor.
Sarcina a) elevii rezolvă la tablă și în caiete, b) li se cere să o rezolve oral cu comentarii, c) - independent.
Elevii îndeplinesc sarcinile a) și b) pe grupe. Profesorul revizuiește soluțiile și unul din grup explică soluția.
Sarcina d) se execută pe tablă cu comentarii.
Pentru a consolida noul material, elevilor li se pun întrebări, iar după ce le-au răspuns, regulile pentru percepția vizuală repetată sunt scoase din spatele ecranului.
Rezumatul lecției: comentarii despre munca elevilor la clasă, notare, înregistrarea temelor în jurnale.
Tema lecției:
Inegalități numerice.
Algebră clasa a VIII-a
Obiective:
- repetați regulile pentru compararea diferitelor numere;
- consolidarea conceptelor de „mai puțin” și „mai mult”;
- familiarizați-vă cu metoda de comparare a oricăror numere și expresii cu litere;
- învață să folosești metoda comparației atunci când faci exerciții
Comparați numerele:
11 și -13 7 și 2
Lucrări orale
, =
17 -3 -17-(-3) 0
11,5 13,6 11,5-13,6 0
Concluzie: Dacă a b, apoi a – b 0.
- Și, invers, dacă a – b 0, apoi a 0.
b, atunci a – b 0. Și, invers, dacă a – b 0, atunci a b "width="640" Lucrări orale
Comparați numerele. Comparați diferența dintre aceste numere cu zero. , =
0,7 0,03 0,7-0,03 0
- Concluzie: dacă a b, atunci a – b 0.
- Și, invers, dacă a – b 0, atunci a b
Lucrări orale
Comparați numerele. Comparați diferența dintre aceste numere cu zero. , =
Concluzie: Dacă a = b, apoi a – b = 0.
Și, invers, dacă a – b = 0, apoi a = b.
Comparați numerele a și b dacă:
a – b = - 0,07, apoi a b
a – b = 0, apoi a b
a – b = 11,5, apoi a b
Se știe că a b.
Diferența a – b poate fi exprimată ca 7,15? -12? 0 ?
O modalitate de a compara orice numere
Număr a este mai mare decât b , dacă diferența a – b – număr pozitiv
Număr a este mai mic decât b , dacă diferența a – b – număr negativ
Metoda de comparare a numerelor
Pentru a compara două numere aveți nevoie de:
- găsiți diferența lor;
- comparați diferența cu zero;
- trage o concluzie.
Lucrul cu manualul
№ 726,
№ 730,
№ 731.
Reflecţie
Când este primul număr mai mic decât al doilea?
Când este primul număr mai mare decât al doilea?
Când este primul număr egal cu al doilea?
Formulați o modalitate de a compara numerele (expresii literale).
- Sunt multumit de lectie, mi-a placut foarte mult.
- Mi-a plăcut lecția, dar există lacune în cunoștințele mele.
- Nu sunt multumit de lectie, nu am inteles nimic si nu stiu sa rezolv exemplele.
Temă pentru acasă
clauza 28. def.; nr. 728,
Inegalitățile joacă un rol proeminent în matematică. La școală ne ocupăm mai ales inegalități numerice, cu definiția căreia vom începe acest articol. Și apoi vom enumera și justifica proprietăţile inegalităţilor numerice, pe care se bazează toate principiile de lucru cu inegalitățile.
Să observăm imediat că multe proprietăți ale inegalităților numerice sunt similare. Prin urmare, vom prezenta materialul după aceeași schemă: formulăm o proprietate, îi dăm justificarea și exemplele, după care trecem la următoarea proprietate.
Navigare în pagină.
Inegalități numerice: definiție, exemple
Când am introdus conceptul de inegalitate, am observat că inegalitățile sunt adesea definite prin modul în care sunt scrise. Deci am numit inegalitățile expresii algebrice semnificative care conțin semnele diferite de ≠, mai puțin<, больше >, mai mic sau egal cu ≤ sau mai mare sau egal cu ≥. Pe baza definiției de mai sus, este convenabil să oferim o definiție a inegalității numerice:
Întâlnirea cu inegalitățile numerice are loc la lecțiile de matematică din clasa I, imediat după familiarizarea cu primele numere naturale de la 1 la 9 și familiarizarea cu operația de comparare. Adevărat, acolo ele sunt numite pur și simplu inegalități, omițând definiția „numerice”. Pentru claritate, nu ar strica să oferim câteva exemple ale celor mai simple inegalități numerice din acea etapă a studiului lor: 1<2 , 5+2>3 .
Și mai departe de numerele naturale, cunoștințele se extind și la alte tipuri de numere (numere întregi, raționale, reale), se studiază regulile de comparare a acestora, iar aceasta extinde semnificativ varietatea tipurilor de inegalități numerice: −5>−72, 3> −0,275 (7−5, 6) , .
Proprietățile inegalităților numerice
În practică, lucrul cu inegalități permite un număr de proprietăţile inegalităţilor numerice. Ele decurg din conceptul de inegalitate pe care l-am introdus. În legătură cu numere, acest concept este dat de următoarea afirmație, care poate fi considerată o definiție a relațiilor „mai puțin decât” și „mai mult decât” pe un set de numere (este adesea numită definiția diferenței a inegalității):
Definiţie.
- număr a este mai mare decât b dacă și numai dacă diferența a−b este un număr pozitiv;
- numărul a este mai mic decât numărul b dacă și numai dacă diferența a−b este un număr negativ;
- numărul a este egal cu numărul b dacă și numai dacă diferența a−b este zero.
Această definiție poate fi reformulată în definiția relațiilor „mai puțin decât sau egal cu” și „mai mare decât sau egal cu”. Iată formularea lui:
Definiţie.
- număr a este mai mare sau egal cu b dacă și numai dacă a−b este un număr nenegativ;
- a este mai mic sau egal cu b dacă și numai dacă a−b este un număr nepozitiv.
Vom folosi aceste definiții atunci când demonstrăm proprietățile inegalităților numerice, la o trecere în revistă.
Proprietăți de bază
Începem revizuirea cu trei proprietăți principale ale inegalităților. De ce sunt de bază? Pentru că sunt o reflectare a proprietăților inegalităților în sensul cel mai general, și nu numai în raport cu inegalitățile numerice.
Inegalitățile numerice scrise folosind semne< и >, caracteristica:
În ceea ce privește inegalitățile numerice scrise folosind semnele de inegalitate slabă ≤ și ≥, acestea au proprietatea de reflexivitate (și nu de antireflexivitate), întrucât inegalitățile a≤a și a≥a includ cazul egalității a=a. De asemenea, se caracterizează prin antisimetrie și tranzitivitate.
Deci, inegalitățile numerice scrise folosind semnele ≤ și ≥ au următoarele proprietăți:
- reflexivitatea a≥a și a≤a sunt inegalități adevărate;
- antisimetrie, dacă a≤b, atunci b≥a, iar dacă a≥b, atunci b≤a.
- tranzitivitatea, dacă a≤b și b≤c, atunci a≤c și, de asemenea, dacă a≥b și b≥c, atunci a≥c.
Dovada lor este foarte asemănătoare cu cele date deja, așa că nu ne vom opri asupra lor, ci trecem la alte proprietăți importante ale inegalităților numerice.
Alte proprietăți importante ale inegalităților numerice
Să completăm proprietățile de bază ale inegalităților numerice cu o serie de rezultate care sunt de mare importanță practică. Metodele de estimare a valorilor expresiilor se bazează pe ele; soluții la inegalități etc. Prin urmare, este indicat să le înțelegeți bine.
În această secțiune, vom formula proprietățile inegalităților doar pentru un semn de inegalitate strictă, dar merită să rețineți că proprietăți similare vor fi valabile pentru semnul opus, precum și pentru semnele de inegalități nestrictive. Să explicăm acest lucru cu un exemplu. Mai jos formulăm și demonstrăm următoarea proprietate a inegalităților: dacă a
Pentru comoditate, vom prezenta proprietățile inegalităților numerice sub forma unei liste, în timp ce vom da declarația corespunzătoare, o vom scrie formal folosind litere, vom da o dovadă și apoi vom arăta exemple de utilizare. Și la sfârșitul articolului vom rezuma toate proprietățile inegalităților numerice într-un tabel. Să mergem!
Consecinţă. Înmulțirea în termeni a inegalităților adevărate identice de forma a
Adăugarea (sau scăderea) oricărui număr de ambele părți ale unei inegalități numerice adevărate produce o inegalitate numerică adevărată. Cu alte cuvinte, dacă numerele a și b sunt astfel încât a
Pentru a demonstra acest lucru, să facem diferența dintre părțile din stânga și din dreapta ultimei inegalități numerice și să arătăm că este negativă în condiția a (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. Întrucât prin condiția a
Nu ne oprim pe demonstrarea acestei proprietăți a inegalităților numerice pentru scăderea unui număr c, deoarece pe mulțimea numerelor reale scăderea poate fi înlocuită prin adăugarea −c.
De exemplu, dacă adăugați numărul 15 de ambele părți ale inegalității numerice corecte 7>3, obțineți inegalitatea numerică corectă 7+15>3+15, care este același lucru, 22>18.
Dacă ambele părți ale unei inegalități numerice valide sunt înmulțite (sau împărțite) cu același număr pozitiv c, obțineți o inegalitate numerică validă. Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite (sau împărțite) cu un număr negativ c și semnul inegalității este inversat, atunci inegalitatea va fi adevărată. În formă literală: dacă numerele a și b satisfac inegalitatea a b·c.
Dovada. Să începem cu cazul când c>0. Să facem diferența dintre laturile stânga și dreapta ale inegalității numerice care se dovedește: a·c−b·c=(a−b)·c . Întrucât prin condiția a 0 , atunci produsul (a−b)·c va fi un număr negativ ca produsul dintre un număr negativ a−b și un număr pozitiv c (care decurge din ). Prin urmare, a·c−b·c<0
, откуда a·c Nu ne oprim asupra demonstrației proprietății considerate pentru împărțirea ambelor părți ale unei inegalități numerice adevărate la același număr c, deoarece împărțirea poate fi întotdeauna înlocuită cu înmulțirea cu 1/c. Să arătăm un exemplu de utilizare a proprietății analizate pe anumite numere. De exemplu, puteți avea ambele părți ale inegalității numerice corecte 4<6
умножить на положительное число 0,5
, что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5
, откуда −2<3
. А если обе части верного числового неравенства −8≤12
разделить на отрицательное число −4
, и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4)
, откуда 2≥−3
. Din proprietatea tocmai discutată de a înmulți ambele părți ale unei egalități numerice cu un număr, urmează două rezultate practic valoroase. Așa că le formulăm sub formă de consecințe. Toate proprietățile discutate mai sus în acest paragraf sunt unite de faptul că mai întâi se dă o inegalitate numerică corectă, iar din aceasta, prin unele manipulări cu părțile inegalității și semnului, se obține o altă inegalitate numerică corectă. Acum vom prezenta un bloc de proprietăți în care sunt date inițial nu una, ci mai multe inegalități numerice corecte și se obține un nou rezultat din utilizarea lor comună după adăugarea sau înmulțirea părților lor. Dacă numerele a, b, c și d satisfac inegalitățile a
Să demonstrăm că (a+c)−(b+d) este un număr negativ, aceasta va demonstra că a+c Prin inducție, această proprietate se extinde la adăugarea termen cu termen a trei, patru și, în general, la orice număr finit de inegalități numerice. Deci, dacă pentru numerele a 1, a 2, …, a n și b 1, b 2, …, b n sunt adevărate următoarele inegalități: a 1 a 1 +a 2 +…+a n . De exemplu, ni se dau trei inegalități numerice corecte de același semn −5<−2
, −1<12
и 3<4
. Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4
– тоже верное. Puteți înmulți inegalitățile numerice ale aceluiași semn termen cu termen, ambele părți ale cărora sunt reprezentate prin numere pozitive. În special, pentru două inegalități a
Pentru a demonstra acest lucru, puteți înmulți ambele părți ale inegalității a
Această proprietate este valabilă și pentru înmulțirea oricărui număr finit de inegalități numerice adevărate cu părți pozitive. Adică, dacă a 1, a 2, ..., a n și b 1, b 2, ..., b n sunt numere pozitive și a 1 a 1 a 2... a n . Separat, este de remarcat faptul că, dacă notația pentru inegalitățile numerice conține numere nepozitive, atunci înmulțirea lor termen cu termen poate duce la inegalități numerice incorecte. De exemplu, inegalitățile numerice 1<3
и −5<−4
– верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4)
, что то же самое, −5<−12
, а это неверное неравенство.
La sfârșitul articolului, așa cum am promis, vom colecta toate proprietățile studiate în tabelul proprietăților inegalităților numerice:
Referințe.
- Moro M.I.. Matematică. Manual pentru 1 clasa. început şcoală În 2 părți. Partea 1. (Prima jumătate a anului) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova - Ed. - M.: Învăţământ, 2006. - 112 p.: ill.+Add. (2 separate l. ill.). - ISBN 5-09-014951-8.
- Matematică: manual pentru clasa a 5-a. învăţământul general instituții / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Ed. 21, șters. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
- Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. învăţământul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 8-a. În 2 ore. Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
